傅氏变换
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F ( , )
j 2 (x y ) dxdy f ( x, y ) e xp
F ( 0 ,0 ) f ( 0 ,0 )
f ( x , y ) dxdy
F ( , ) dd
f ( x, y )
F ( , )
y
x
物理意义：
二、傅里叶变换存在的条件
（1）、函数f(x,y)必须对整个XY平面绝对可积，即
f ( x , y ) dxdy
（2）、函数f(x,y)必须在XY平面上的每一个有限区域内局部 连续，即仅存在有限个不连续点和有限个极大和极小点。 （3）、函数f(x,y)必须没有无穷大间断点。
x x comb( ) e xp(j 2n ) a a n
a
2
所以，梳函数的傅里叶变换为
x x F comb( ) e xp(j 2 n ) e xp( j 2 x )dx a a n n n e xp{ j 2 ( ) x }d x ( ) a a n n
即两个函数的线性组合的傅里叶变换等于各函数的傅里叶变 换的相应组合。
2、迭次傅里叶变换
F
F f ( x , y )
f ( x , y )
对二元函数作二次傅里叶变换，可得其倒立像 3、坐标缩放性质
F
f ( x, y)
F ( , )
1 F f (ax, by) F( , ) ab a b
上述三个存在条件是从数学的角度提出的，我们不证明它。
这是因为，从应用的角度看，作为时间或空间函数而实际存
在的物理量，其傅里叶变换总是存在的。 但需说明的，为了物理学上描述方便起见，我们往往又用 理想化的数学函数来表示实际的物理图形，对这些有用的函 数而言，上面的三个条件中的一个或多个可能均不成立。例 如阶跃函数， 函数等就不满足存在条件。 因此，为了在傅里叶分析中能有更多的函数来描述物理图 形，有必要对傅里叶变换的定义作一些推广。
x y f ( x , y ) lim rect( )rect( ) a a a
1
a 2
x rect( ) a
0
a 2
x
先求矩形函数的傅里叶变换
请同学业们动手推导
1 dx j 2 (e
a 2 a 2
F {rect(x)}
x j 2 x rect( )e dx a
a
所以1的傅里叶变换是函数。 问题： 函数的逆傅里叶变换等于1吗？ 请同学业们动手推导
F -1 ( )
j 2x ( ) e d
物理图像
( )e d
0
( , )
( ) d
f (x,y)=1
1
( , )
j 2
)
sin a
sin a a sinc(a ) a a
F {rect(y/a)}
a sinc(a )
f (x,y)=1
F {f ( x , y ) }
lim a 2 sinc(a ) sinc(a ) ( , )
a
所以1的傅里叶变换是函数。 问题： 函数的逆傅里叶变换等于1吗？ 请同学业们动手推导
例题：求高斯函数的傅里叶变换
F Gaus( x ) e xp (- x 2 ) e xp (-j2 x )dx
e
( x 2 j2x )
dx
e
e
x e dx 1
2
2
2
e
2
e
( x j ) 2
1.3 二维傅里叶变换
1、二维傅里叶变换的定义 含有两个变量x,y的函数 f (x,y)，其二维傅里叶变换定义为
F ( , )
j 2 (x y ) dxdy f ( x, y ) e xp
F ( , ) F { f ( x , y ) }
在此定义中， 变换 F ( , ) 本身也是两个自变量 和 的函数。 F(ξ, η)称为f(x,y)的傅里叶谱或空间 频谱, ξ,η分别称 为X和Y方向的空间频 率.
x x comb( ) e xp(j 2n ) a a n
a
2
所以，梳函数的傅里叶变换为
x x F comb( ) e xp(j 2 n ) e xp( j 2 x )dx a a n n n e xp{ j 2 ( ) x }d x ( ) a a n n
4、位移定理
函数空域的位移，带 来频域中的线性相移， 另一方面函数在空域 中的相移，会导致频 域位移。
F F
f ( x x0 , y y0 ) exp j 2 (x0 y0 )F ( , ) exp j 2 (0 x 0 y) f ( x , y) F ( 0 , 0 )
三、广义傅里叶变换
对于不严格满足存在条件的函数，首先把它定义为某一个 序列的极限，该序列中的每一成分都具有通常的傅里叶变换， 然后求出该序列各成分的傅里叶变换，从而得到一个相应的变 换序列。如果后一序列极限存在，就称它为所考虑函数的广义 傅里叶变换。所以广义傅里叶变换就是极限意义下的傅里叶变 换。 例题：求函数f(x,y)=1的傅里叶变换 解：上述函数显然不符合傅里叶变换存在的条件，现在我们 把它定义为矩形函数序列的极限。
a (a n)
acomb (a )
n
其间隔为?
1-5 傅里叶变换的基本性质和有关定理
一、傅里叶变换的基本性质 1、线性性质 设
F
f ( x , y ) F ( , )
F
g( x , y ) G( , )
a,b为常数，则
F
af ( x , y ) bg( x , y ) aF( , ) bG( , )
(-j2 x )dx F rect( x ) e xp
1 2
1 e j e j j2
1 2
1 2
0
1 2
x
si nc ( )
s i n
F rect( x )rect( y ) si nc( ) si nc( )
=
F
-1{
F ( , ) }
上式称为F（，）的二维傅里叶逆变换。 正变换和逆变换在形式上非常相似，只是被积函数中指数 因子的符号和积分变量不同而已。 我们可以用傅里叶变换对偶式来表示两种变换之间的关系式。
f ( x, y )
F
( )
F ( , )
F -1（）
傅氏变换的意义 数学意义：
e
( x j ) 2
dx
d( x j )
Gaus( )
F Gaus( x )Gaus( y ) Gaus( )Gaus( )
例题：求余弦函数的傅里叶变换
F
cos20 x cos 2
0
x e xp (-j2 x )dx
1 (-j2 x )dx (e j 20 x e j 20 x ) e xp 2
F -1 ( )
j 2x ( ) e d
物理图像
( )e d
0
( , )
( ) d
f (x,y)=1
1
( , )
e j 2 (x y )dxdy
例子：求梳状函数comb(x/a)的傅里叶变换
a来自百度文库
1 a 2a a ( x )dx 1 a 2
1 a cn 2a a ( x na )e j 2nx / a dx a 2 n 1 a cn 2a a ( x )e j 2nx / a dx aa 2 a cn 2a ( x )dx 1
x comb( ) a
x ( n) a ( x na ) a n n
因为梳函数是周期性函数，可将其展开为傅里叶级数
x x comb( ) cn e xp(j 2n ) a a n
其中
a
a 1 a 1 2 2 c0 a f ( x ) dx a a ( x na )dx a 2 a 2 n
1 1 j 2 ( 0 ) x j 2 ( 0 ) x e dx e dx 2 2 1 1 ( 0 ) ( 0 ) 2 2 1 1 ( ) ( 0 ) 0 F cos20 x cos2 0 y 2 2 1 1 ( 0 ) ( 0 ) 2 2
傅里叶变换表
1
a 2
x rect( ) a
0
a 2
x
先求矩形函数的傅里叶变换
请同学业们动手推导
1 dx j 2 (e
a 2 a 2
F {rect(x/a)} rect( x )e j 2 x dx
a
a 2 a 2
e
j 2x
j 2
e
其中
a
a 1 a 1 2 2 c0 a f ( x ) dx a a ( x na )dx a 2 a 2 n
a
1 a 2a a ( x )dx 1 a 2
1 a cn 2a a ( x na )e j 2nx / a dx a 2 n 1 a cn 2a a ( x )e j 2nx / a dx aa 2 a cn 2a ( x )dx 1
e j 2 (x y )dxdy
例子：求梳状函数comb(x/a)的傅里叶变换
x comb( ) a
x ( n) a ( x na ) a n n
因为梳函数是周期性函数，可将其展开为傅里叶级数
x x comb( ) cn e xp(j 2n ) a a n
F ( , )用模和幅角表示如下
j ( , F ( , ) F ( , ) e xp
F ( , )
振幅谱 相位谱
2
( , )
F ( , )
功率谱
类似地，函数f (x,y)也可以用其频谱函数表示，即：
f ( x, y )
F ( , ) e xp j 2 (x y) dd
a 2 a 2
e
j 2x
j 2
e
j 2
)
sin a
sin a a sinc(a ) a a
F {rect(y)} a sinc(a )
f (x,y)=1
F {f ( x , y ) }
lim a 2 sinc(a ) sinc(a ) ( , )
6、复共轭傅里叶变换
F F
f f
* *
( x, y )
F * (- , )
( x, y)
*
F * ( , )
若f(x,y)为实函数，显然有
F ( , ) F (- , )
称
F ( , ) 具有厄米对称性
例题：求矩形函数的傅里叶变换
rect( x )
f ( x, y )
F ( , )
f
f ( x x0 , y y0 )
f
j 2 (x0 y0 )F ( , ) exp
f
j 2 (0 x 0 y) f ( x, y) exp
f
F ( , )
F ( 0 , 0 )
f
f
5、体积对应关系
j 2 (x y ) dxdy f ( x, y ) e xp
F ( 0 ,0 ) f ( 0 ,0 )
f ( x , y ) dxdy
F ( , ) dd
f ( x, y )
F ( , )
y
x
物理意义：
二、傅里叶变换存在的条件
（1）、函数f(x,y)必须对整个XY平面绝对可积，即
f ( x , y ) dxdy
（2）、函数f(x,y)必须在XY平面上的每一个有限区域内局部 连续，即仅存在有限个不连续点和有限个极大和极小点。 （3）、函数f(x,y)必须没有无穷大间断点。
x x comb( ) e xp(j 2n ) a a n
a
2
所以，梳函数的傅里叶变换为
x x F comb( ) e xp(j 2 n ) e xp( j 2 x )dx a a n n n e xp{ j 2 ( ) x }d x ( ) a a n n
即两个函数的线性组合的傅里叶变换等于各函数的傅里叶变 换的相应组合。
2、迭次傅里叶变换
F
F f ( x , y )
f ( x , y )
对二元函数作二次傅里叶变换，可得其倒立像 3、坐标缩放性质
F
f ( x, y)
F ( , )
1 F f (ax, by) F( , ) ab a b
上述三个存在条件是从数学的角度提出的，我们不证明它。
这是因为，从应用的角度看，作为时间或空间函数而实际存
在的物理量，其傅里叶变换总是存在的。 但需说明的，为了物理学上描述方便起见，我们往往又用 理想化的数学函数来表示实际的物理图形，对这些有用的函 数而言，上面的三个条件中的一个或多个可能均不成立。例 如阶跃函数， 函数等就不满足存在条件。 因此，为了在傅里叶分析中能有更多的函数来描述物理图 形，有必要对傅里叶变换的定义作一些推广。
x y f ( x , y ) lim rect( )rect( ) a a a
1
a 2
x rect( ) a
0
a 2
x
先求矩形函数的傅里叶变换
请同学业们动手推导
1 dx j 2 (e
a 2 a 2
F {rect(x)}
x j 2 x rect( )e dx a
a
所以1的傅里叶变换是函数。 问题： 函数的逆傅里叶变换等于1吗？ 请同学业们动手推导
F -1 ( )
j 2x ( ) e d
物理图像
( )e d
0
( , )
( ) d
f (x,y)=1
1
( , )
j 2
)
sin a
sin a a sinc(a ) a a
F {rect(y/a)}
a sinc(a )
f (x,y)=1
F {f ( x , y ) }
lim a 2 sinc(a ) sinc(a ) ( , )
a
所以1的傅里叶变换是函数。 问题： 函数的逆傅里叶变换等于1吗？ 请同学业们动手推导
例题：求高斯函数的傅里叶变换
F Gaus( x ) e xp (- x 2 ) e xp (-j2 x )dx
e
( x 2 j2x )
dx
e
e
x e dx 1
2
2
2
e
2
e
( x j ) 2
1.3 二维傅里叶变换
1、二维傅里叶变换的定义 含有两个变量x,y的函数 f (x,y)，其二维傅里叶变换定义为
F ( , )
j 2 (x y ) dxdy f ( x, y ) e xp
F ( , ) F { f ( x , y ) }
在此定义中， 变换 F ( , ) 本身也是两个自变量 和 的函数。 F(ξ, η)称为f(x,y)的傅里叶谱或空间 频谱, ξ,η分别称 为X和Y方向的空间频 率.
x x comb( ) e xp(j 2n ) a a n
a
2
所以，梳函数的傅里叶变换为
x x F comb( ) e xp(j 2 n ) e xp( j 2 x )dx a a n n n e xp{ j 2 ( ) x }d x ( ) a a n n
4、位移定理
函数空域的位移，带 来频域中的线性相移， 另一方面函数在空域 中的相移，会导致频 域位移。
F F
f ( x x0 , y y0 ) exp j 2 (x0 y0 )F ( , ) exp j 2 (0 x 0 y) f ( x , y) F ( 0 , 0 )
三、广义傅里叶变换
对于不严格满足存在条件的函数，首先把它定义为某一个 序列的极限，该序列中的每一成分都具有通常的傅里叶变换， 然后求出该序列各成分的傅里叶变换，从而得到一个相应的变 换序列。如果后一序列极限存在，就称它为所考虑函数的广义 傅里叶变换。所以广义傅里叶变换就是极限意义下的傅里叶变 换。 例题：求函数f(x,y)=1的傅里叶变换 解：上述函数显然不符合傅里叶变换存在的条件，现在我们 把它定义为矩形函数序列的极限。
a (a n)
acomb (a )
n
其间隔为?
1-5 傅里叶变换的基本性质和有关定理
一、傅里叶变换的基本性质 1、线性性质 设
F
f ( x , y ) F ( , )
F
g( x , y ) G( , )
a,b为常数，则
F
af ( x , y ) bg( x , y ) aF( , ) bG( , )
(-j2 x )dx F rect( x ) e xp
1 2
1 e j e j j2
1 2
1 2
0
1 2
x
si nc ( )
s i n
F rect( x )rect( y ) si nc( ) si nc( )
=
F
-1{
F ( , ) }
上式称为F（，）的二维傅里叶逆变换。 正变换和逆变换在形式上非常相似，只是被积函数中指数 因子的符号和积分变量不同而已。 我们可以用傅里叶变换对偶式来表示两种变换之间的关系式。
f ( x, y )
F
( )
F ( , )
F -1（）
傅氏变换的意义 数学意义：
e
( x j ) 2
dx
d( x j )
Gaus( )
F Gaus( x )Gaus( y ) Gaus( )Gaus( )
例题：求余弦函数的傅里叶变换
F
cos20 x cos 2
0
x e xp (-j2 x )dx
1 (-j2 x )dx (e j 20 x e j 20 x ) e xp 2
F -1 ( )
j 2x ( ) e d
物理图像
( )e d
0
( , )
( ) d
f (x,y)=1
1
( , )
e j 2 (x y )dxdy
例子：求梳状函数comb(x/a)的傅里叶变换
a来自百度文库
1 a 2a a ( x )dx 1 a 2
1 a cn 2a a ( x na )e j 2nx / a dx a 2 n 1 a cn 2a a ( x )e j 2nx / a dx aa 2 a cn 2a ( x )dx 1
x comb( ) a
x ( n) a ( x na ) a n n
因为梳函数是周期性函数，可将其展开为傅里叶级数
x x comb( ) cn e xp(j 2n ) a a n
其中
a
a 1 a 1 2 2 c0 a f ( x ) dx a a ( x na )dx a 2 a 2 n
1 1 j 2 ( 0 ) x j 2 ( 0 ) x e dx e dx 2 2 1 1 ( 0 ) ( 0 ) 2 2 1 1 ( ) ( 0 ) 0 F cos20 x cos2 0 y 2 2 1 1 ( 0 ) ( 0 ) 2 2
傅里叶变换表
1
a 2
x rect( ) a
0
a 2
x
先求矩形函数的傅里叶变换
请同学业们动手推导
1 dx j 2 (e
a 2 a 2
F {rect(x/a)} rect( x )e j 2 x dx
a
a 2 a 2
e
j 2x
j 2
e
其中
a
a 1 a 1 2 2 c0 a f ( x ) dx a a ( x na )dx a 2 a 2 n
a
1 a 2a a ( x )dx 1 a 2
1 a cn 2a a ( x na )e j 2nx / a dx a 2 n 1 a cn 2a a ( x )e j 2nx / a dx aa 2 a cn 2a ( x )dx 1
e j 2 (x y )dxdy
例子：求梳状函数comb(x/a)的傅里叶变换
x comb( ) a
x ( n) a ( x na ) a n n
因为梳函数是周期性函数，可将其展开为傅里叶级数
x x comb( ) cn e xp(j 2n ) a a n
F ( , )用模和幅角表示如下
j ( , F ( , ) F ( , ) e xp
F ( , )
振幅谱 相位谱
2
( , )
F ( , )
功率谱
类似地，函数f (x,y)也可以用其频谱函数表示，即：
f ( x, y )
F ( , ) e xp j 2 (x y) dd
a 2 a 2
e
j 2x
j 2
e
j 2
)
sin a
sin a a sinc(a ) a a
F {rect(y)} a sinc(a )
f (x,y)=1
F {f ( x , y ) }
lim a 2 sinc(a ) sinc(a ) ( , )
6、复共轭傅里叶变换
F F
f f
* *
( x, y )
F * (- , )
( x, y)
*
F * ( , )
若f(x,y)为实函数，显然有
F ( , ) F (- , )
称
F ( , ) 具有厄米对称性
例题：求矩形函数的傅里叶变换
rect( x )
f ( x, y )
F ( , )
f
f ( x x0 , y y0 )
f
j 2 (x0 y0 )F ( , ) exp
f
j 2 (0 x 0 y) f ( x, y) exp
f
F ( , )
F ( 0 , 0 )
f
f
5、体积对应关系