研究生期末试题矩阵论a及答案
南航矩阵论研究生试卷及答案
(2)求广义逆矩阵 ;
(3)求该线性方程组的极小最小二乘解.
解答:(1) 矩阵 , 的满秩分解为
.…………………(5分)
(2) .……………………(10分)
(3)方程组的极小最小二乘解为 .…………(5分)
共6页第5页
四、(20分)已知幂级数 的收敛半径为3,矩阵 .
(1) 求 ;
,
证明 是 的一个内积;
(3)求 在题(2)所定义的内积下的一组标准正交基;
(4)证明 是 的线性变换,并求 在题(1)所取基下的矩阵.
解答:(1) 的一组基为 维数为3.
……………………………………(5分)
(2)直接验证内积定义的四个条件成立.……………………………(4分)
(3) 标准正交基 .…………(5分)
(4)由于 ,所以 是 的一个变换.又直接验证,知
,
因此 是 的一个线性变换.………………………………(3分)
线性变换 在基 下的矩阵为
.……………………………………………(3分)
二、(20分)设三阶矩阵 , , .
(1)求 的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan标准形;
(2)利用 矩阵的知识,判断矩阵 和 是否相似,并说明理由.
南京航空航天大学2012级硕士研究生
共6页 第1页
2012~2013学年第1学期《矩阵论》课程考试A卷
考试日期:2013年1月15日课程编号:A080001命题教师:阅卷教师:
学院专业学号姓名成绩
一、(20分)设 是 的一个线性子空间,对任意 ,定义: ,其中 .
(1)求 的一组基和维数;
(2)对任意 ,定义:
解答: ( 的行列式因子为 ;…(3分)
南京航空航天大学矩阵论07-08A试卷及答案.doc
南京航空航天大学研究生考试试卷r 1 1 -2'一、(20 分)设矩阵4= —2 —2 3 ,<-1 -1 1 >(1)求A的特征多项式和A的全部特征值;(2)求A的行列式因子、不变因子和初等因子;(3)求A的最小多项式,并计算A6+3A —2/;(4)写出A的Jordan标准型二、(20分)设Z?2"2是实数域上的全体2x2实矩阵构成的线性空间(按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法)。
(1)求尺2"2的维数,并写山其一组基;(2)设W是全体2x2实对称矩阵的集合,证明:W是/?2x2的子空间,并写出W的维数和一组基;(3)在W中定义闪积G4,B) = Zr(&4),其中人BeW,求出W的一组标准正交基;(4)给出尺〜2上的线性变换7\ T(A) = A+A r, VA G R^2写出线性变换T在(1)中所取基下的矩阵,并求7的核/^r(r)和值域/?(r)。
三、(20分)证明: 是C'w 上的矩阵范数并说明具有相容性(1)求矩阵A 的07?分解;(3)用广义逆判断方程组Av = 6是否相界?若相界,求其通解;若不相容,求其极小最小二乘解 五、(20分)证明:A,, >0, Ar-AgAjAuSO 。
(I-1 1、’2' 1 11,向量/?=11 、0 0b<2>四、(20分)已知矩阵4 =,5 3 2>12、 1)设矩阵汲二3 2 t ,B = 1 1 0.5/t 2; /<2 0.5/ 1 ,,其中f 为实数问当Z 满足什么条件时,A 〉B 成立?Ai A 2 A2 ^22>0,其巾 A u eCkxkau(1)设乂 =2 13 -1 21 ,喇"K, ML, h(2)设4 =(〜)e C ,IX \ 令p=n • max 騸⑶证明:-||<<||<<(2)设 n 阶 Hermite 矩阵 A =(3)己知Hermite 矩陈A =(七)€ (?■ , a ij〉工a ij (= l,2,".,n ),证明:A 正定一、(20 分)(2) VA ,fielV ,V 々e/?,贝ij v (A +B)7= A 7+ B 7= A+B , /. A + B G W ;v (M)7 =kA T = kA ; /.MeW 。
研究生期末试题矩阵论a及答案
,
可得谱分解式 (10分)
六、当 时, ;当 时,存在 与 使得 ,从而有
,(4分)
对于 ,有
,(7分)
对于 ,有
所以 是 中的矩阵范数.(10分)
七、解
,
, ,
.(10分)
八、容易求出矩阵A的最小多项式为 ,所以 ,于是
由此知 的内插多项式表示为
.(6分)
将矩阵A代入上式得
.
当 时, ,故
一、(10分) 为数域,对于线性空间 中任意矩阵 ,规则 , 分别为
,问 , 是否为 上的变换,如果是,证明该变换为线性变换,并求该变换在基 , , , 下的矩阵,判断该变换是否为可逆变换.
解:因 , ,故 为 上的变换, 不是 上的变换。(4分)
又对于线性空间 中任意矩阵 , , ,故为线性变换。(6分)
七、(10分)已知函数矩阵
,
其中 ,试求 , , , .
八、(10分)已知矩阵 ,写出矩阵函数 的Lagrange-Sylvester内插多项式表示,并计算 .
.
长 春 理 工 大 学
研 究 生 期 末 考 试标准答案及评分标准
科目名称:矩阵论命题人:姜志侠
适用专业:审核人:
开课学期:2012——2013学年第 一 学期□开卷√闭卷
长 春 理 工 大 学
研 究 生 期 末 考 试试 题
科目名称:矩 阵 论命题人:姜志侠
适用专业:理 工 科审核人:
开课学期:2013 ——2014 学年第 一 学期□开卷 √闭卷
一、(10分) 为数域,对于线性空间 中任意矩阵 ,规则 , 分别为 ,问 , 是否为 上的变换,如果是,证明该变换为线性变换,并求该变换在基 , , , 下的矩阵.
矩阵理论 (A-B卷)及答案
矩阵理论矩阵理论 2006-2007 学年第 一 学期末考试试题(A 卷)及答案一、 填空题(共20分,每空2分)1、 在欧氏空间4R 中,与三个向量(1,1,1,1),(1,1,1,1),(2,1,1,3)---都正交的单位向量为:)3,1,0,4(261-±2、 已知122212221A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 则12__________;__________;__________;F A A A A ∞====3、 已知三阶方阵A 的初等因子为()()21,1λλ--,则A 的约当标准形为:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1100100014、 已知cos sin ()sin cos t t A x t t ⎛⎫=⎪-⎝⎭,则1()______________;()______________;|()|______________;|()|______________.d dA t A t dt dtd dA t A t dt dt-====.1,0,s i n c o s c o s s i n ,s i n c o s c o s s i n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---t t t t t t t t 二、解答下列各题((共48分,每小题8分)1. 用最小二乘法求解线性方程组121312312312021x x x x x x x x x x +=⎧⎪+=⎪⎨++=⎪⎪+-=-⎩解:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=121111101011A ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1021,111021011111b A T,-------------(3’) 所以b A x x x Ax A TT =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=312311164144321-----------------------(7’)求得最小二乘解为.64,613,617321-=-==x x x -------------------------------------(8’) 2. 设111111111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,试计算43()322A A A A E φ=-++。
研究生矩阵论试题及答案与复习资料大全
B.
1 2 1
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
0 0 0
五、(15 分)求矩阵
的满秩分解:
1 0 1 2 A 1 2 1 1
2 2 2 1
解:
A
E
1 1
0 2
1 1
2 1
1 0
0 1
0 0
2 2 2 1 0 0 1
1 0 1 2 1 0 0
令 g n n2 2 1 n2 2 1 2 1
2 1 n2 1 2 1 1 n3 n4 1 3
由 Hamilton-Cayley 定理知 gA 0
et e 2t
a0 a0
a1 2a1
于是解得:
a0 a1
2et e2t
e 2t et
从而:
f A e At gA a0 E a1 A
矩阵论试卷及答案(2011A)
三(20分)设
(1) 证明: 是 的线性子空间,并求 的基和维数;
(2) 在 中定义变换 ,其中 为 的伴随矩阵, 证明: 为线性变换;
(3) 求 在(1)中所取基下的矩阵表示;
(4) 求(2)中线性变换 的值域 和核 ,并确定它们的维数.
(1)因为 ,则 非空。对任意 都有 则 是 的子空间.
(iii)写出 的Jordan标准形;
(2)设 ,试问A和B是否相似?并说明原因。
(1) , ;………5分
行列式因子
不变因子
初等因子 ……...8分
A的Jordan标准形为 ……..3分
(2)矩阵A,B的行列式因子均为 , A,B相似.
………4分
或A,B 的特征值均为-1和2,有两个互异的特征值,所以A,B均相似于 ,所以,A,B相似。
………3分
共5页第5页
五(20分)(1)设 , .
(i)求A的奇异值分解;
(ii)计算广义逆矩阵 ;
(iii)用广义逆矩阵判定线性方程组 是否相容。若相容,求其通解;若不相容,求其极小最小二乘解;
(2)设 ,判定矩阵级数 是否收敛。若收敛,求其和。
(1)(i) , 的奇异值为 , 对应于特征值3和2的标准正交特征向量为 , 对应于特征值3和2,0的标准正交特征向量分别为 , ,则 的奇异值分解为
Ni南京航空航天大学2010级硕士研究生
共5页第1页
2010~ 2011学年第1学期《矩阵论》课程考试A卷答案
考试日期:2011年1月12日,课程编号:A000003,命题教师:阅卷教师:
学院专业学号姓名成绩
一(20分)(1)设 。
(i)求 的特征多项式和 的全部特征值;
研究生期末试题矩阵论a及答案
验证 是 中的向量范数.
八、(10分)已知矩阵 ,写出矩阵函数 的Lagrange-Sylvester内插多项式表示,并计算 。
长 春 理Leabharlann 工 大 学研 究 生 期 末 考 试标准答案及评分标准
科目名称:矩阵论命题人:姜志侠
适用专业:审核人:
开课学期:2012——2013学年第 一 学期□开卷√闭卷
计算
,
则得谱分解式
+2 (10分)
六、
.
由于 ,
于是有 ,故
(10分)
七、当 时, ;当 不恒等于零时,由其连续性知 必在 的某个子区间 上不等于零,从而有
,
对于 ,有
,
对于 ,有
,
故 是 中的向量范数.(10分)
八、容易求出矩阵A的最小多项式为 ,所以 , ,于是
由此知 的内插多项式表示为
将矩阵A代入上式得
长 春 理 工 大 学
研 究 生 期 末 考 试试 题
科目名称:矩 阵 论命题人:姜志侠
适用专业:理 工 科审核人:
开课学期:2012——2013学年第 一 学期□开卷 √闭卷
一、(10分)设 是 的一个基,试求由 ,
, 生成的子空间 的基.
二、(10分)在 中,设 ,定义实数 为 ,判断是否为 中 与 的内积。
.
(2) 在基(Ⅱ)的坐标为 ,由坐标变换公式计算 在基(Ⅰ)下的坐标为
.(10分)
四、首先求出A的Jordan标准形
,
所以行列式因子 ;
不变因子 ;(6分)
那么A的初等因子为 ,故A的Jordan标准形为
.(10分)
五、解:求出 的特征根 (二重),计算对角化相似因子 及其逆 为
考博必备 研究生矩阵理论课后答案矩阵分析所有习题共73页
11、不为五斗米折腰。 12、芳菊开林耀,青松冠岩列。怀此 贞秀姿 ,卓为 霜下杰 。
13、归去来兮,田蜀将芜胡不归。 14、酒能祛百虑,菊为制颓龄。 15、春蚕收长丝,秋熟靡王税。
56、书不仅是生活,而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次,但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许,为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处, 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定,就要勇敢地 走
矩阵论期末试题及答案
矩阵论期末试题及答案1. 选择题题目1:矩阵的秩是指矩阵中非零行(列)线性无关的最大个数,下面关于矩阵秩的说法中,错误的是:A. 若矩阵A的秩为r,则只能确定 A 中有r个行(列)线性无关。
B. 若矩阵A的秩为r,则只能确定 A 中有r个坐标线性无关。
C. 设A,B为n×m矩阵,若A的秩为r,B的秩为s,则AB的秩至少为max{r,s}。
D. 同一矩阵的行秩与列秩相等。
题目2:对于阶梯形矩阵,以下说法正确的是:A. 阶梯形矩阵的行秩与列秩相等。
B. 阶梯形矩阵的行秩等于主元的个数。
C. 阶梯形矩阵的列秩等于主元的个数。
D. 阶梯形矩阵的行秩与列秩之和等于矩阵的阶数。
题目3:设A为n阶矩阵,下列说法正确的是:A. 若A为可逆矩阵,则A的行秩和列秩都为n。
B. 若A的行秩和列秩都为n,则A为可逆矩阵。
C. 若对于非零向量 x,都有Ax=0,则称矩阵A为零矩阵。
D. 若A为可逆矩阵,则方程Ax=b存在唯一解。
题目4:对于实对称矩阵A,以下说法正确的是:A. A一定有n个线性无关的特征向量。
B. A的所有特征值都是实数。
C. 若A的特征向量构成的特征子空间的维数为n,则称A为满秩矩阵。
D. A一定可以对角化。
2. 计算题题目1:已知矩阵A = [1, 2; 3, 4],求矩阵A的转置矩阵。
解答:转置矩阵的行与列互换,故矩阵A的转置矩阵为:A^T = [1, 3; 2, 4]题目2:已知矩阵B = [2, 1; -1, 3],求矩阵B的逆矩阵。
解答:逆矩阵满足BB^(-1) = I,其中I为单位矩阵。
对于矩阵B,可以使用伴随矩阵法求解:B^(-1) = (1/(ad-bc)) * [d, -b; -c, a]其中a、b、c、d分别为矩阵B的元素:B^(-1) = (1/(2*3-(-1)*1)) * [3, -1; 1, 2] = [3/7, -1/7; 1/7, 2/7]题目3:已知矩阵C = [1, 2, 3; 4, 5, 6],求矩阵C的行列式的值。
华北电力大学硕士研究生课程考试试题(A卷)矩阵论答案
华北电力大学硕士研究生课程考试试题(A卷)(2013-2014)一、判断题(每小题2分,共10分)1. 方阵的任意一个特征值的代数重数不大于它的几何重数。
(X)见书52页,代数重数指特征多项式中特征值的重数,几何重数指不变子空间的维数,前者加起来为n,后者小于等于n2.性无关的向量,则.正确,线性无关的向量张成一组基3.的线性子空间,的线性子空间.错误,按照线性子空间的定义进行验证。
Aλ4. n阶-()逆的充分必要条件是Aλ的秩是n .()见书60页,需要要求矩阵的行列式是一个非零的数5. n阶实矩阵A是单纯矩阵的充分且必要条件是的最小多项式没有重根.见书90页。
二、填空题(每小题3分,共27分)(6则Jordan标准型为首先写出然后对于若当标准型要求非对角元部分为1.(7的Smith标准型为见书61-63页,将矩阵做变换即得(8)设,则。
见书109页,可将A对角化再计算即得。
(9在基。
见书12页,自然基下坐标为(2,3,4,-5)T,再写出过渡矩阵A,坐标即A的逆乘以自然基下坐标。
对于本题来说。
由于第一行实际上只和前两个基有关,第二行只和后两个基有关。
因此不用那么麻烦,只需要计算(1,1)x+(1,2)y=(2,3)就可得解为1,1.再解(1,-3)x+(2,1)y=(4,-5)就可以得解为2,1.整理一下即得坐标。
(10)设15。
见书100页,计算每行的绝对值的和。
(11)对矩阵中的每个元素求极限。
12设是已知矩阵,则矩阵方程的极小范数最小二乘解是见书113-115页,将矩阵方程拉直,再用广义逆的定义去算。
(12)若n。
见书121以后面的项都为零。
(13)方阵的特征多项式是小多项式是则Jordan标准形是有1阶的若当块。
三(7分)、设证明有唯一解。
见书114页,本题需要验证A和-B没有相同的特征值,具体解法如下。
证明:非奇异。
显然,的特征值为,下证明:不是 的特征值:方法1:三个行圆盘分别是,的特征值,从而0不是的特征可逆,从而有唯一解。
研究生矩阵论课后习题答案(全)习题一
解
(1)设 Eij 是第 i 行第 j 列的元素为 1 而其余元素全为 0 的 n 阶方阵.
①令 Fij = ⎨
⎧ Eii , i = j , 则 Fij 是对称矩阵, 易证 F11 ,L , F1n , F22 , L , F2 n , ⎩ Eij + E ji , i ≠ j
L , Fnn 线 性 无 关 , 且 对 任 意 n 阶 对 称 矩 阵 A = (aij ) n×n , 其 中 aij = a ji , 有
1 −1 −1
= aa −1 = 1
⑥ k o (l o a ) = k o a = (a ) = a
l l k
lk
= (lk ) o a
⑦ (k +;l
= a k a l = a k ⊕ a l = (k o a) ⊕ (l o a )
k k k
⑧ k o ( a ⊕ b) = k o ( ab) = ( ab) = a b = ( k o a ) ⊕ (k o b) 所以 R+对这两种运算构成实数域 R 上的线性空间. (5)否.设 V2 = y ( x ) y ′′ + a1 y ′ + a 0 y = f ( x ), f ( x ) ≠ 0 ,则该集合对函数的 加法和数乘均不封闭.例如对任意的 y1 , y 2 ∈ V2 , y1 + y 2 ∉ V2 .故不构成线性空间. (6)是.集合 V 对函数的加法和数乘显然封闭.零函数是 V 的零元素;对任意
昆明理工14级硕士矩阵论试卷A
昆明理工大学14级工科硕士试卷(A )14~15学年第一学期学院:专业:科目:矩阵论学号:姓名:题号一二三四五六七总分评分一.填空题(每空3分,共30分)1.已知1001225i A i ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,A ∞=,1A =,F A =。
2.已知141130001A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭,则A 的Jordan 标准型为J =。
3.设11541132A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,是否为收敛矩阵?,其理由为。
4.在3R 中L 是由向量T =(1,0,0)α张成的子空间,则正交投影矩阵L P =,向量T =(3,2,1)x 沿L ⊥到L 的投影。
5.设T 是n 阶Givens 矩阵,H 是n 阶Householder 矩阵,则TH 的行列式为。
6.设11111111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则=)2,1(A 。
(注意:以上填空题答案标明题号答在答题纸上,答在试卷上的不给予评分。
)推导与计算二(10)设n n S C ⨯∈为可逆矩阵,给定n n C ⨯上的一种矩阵范数 ,证明:1M A S AS -=()n nA C ⨯∀∈是n n C ⨯上的矩阵范数。
三(15)已知200111113A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,22()0t t e t e ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b ,(1)求At e ,(2)用矩阵函数法求解微分方程()()()d t A t t dt=+x x b 满足条件T (0)(1,1,0)=-x 的解。
四(10)用Householder 变换法求031042212A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的QR 分解。
五(10)用Gerschgorin 定理隔离291111(1)113A i i ⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭的特征值。
六(15)已知01111002,21131002A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭b ,(1)求A 的满秩分解;(2)求+A ;(3)用广义矩阵方法判断方程组是否相容;(4)求方程组A =x b 的极小范数解或极小范数最小二乘解(要求指出所求的是哪种解)。
线性代数a期末考试题及答案
线性代数a期末考试题及答案一、单项选择题(每题2分,共10分)1. 向量组\(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\)线性无关的充分必要条件是()。
A. 它们中任意一个向量不能由其余向量的线性组合表示B. 它们中任意两个向量不能由其余向量的线性组合表示C. 它们中任意三个向量不能由其余向量的线性组合表示D. 它们中任意四个向量不能由其余向量的线性组合表示答案:A2. 矩阵\(A\)的行列式为0,则矩阵\(A\)()。
A. 可逆B. 不可逆C. 秩小于行数D. 秩等于行数答案:B3. 矩阵\(A\)和\(B\)满足\(AB = BA\),则称\(A\)和\(B\)()。
A. 可交换B. 可逆C. 相似D. 合同答案:A4. 矩阵\(A\)的秩等于其行秩,也等于其列秩,这是矩阵的()。
A. 秩的性质B. 行列式的性质C. 特征值的性质D. 特征向量的性质答案:A5. 向量\(\beta\)是齐次线性方程组\(Ax = 0\)的解,则\(\beta\)()。
A. 与矩阵\(A\)的列向量线性无关B. 与矩阵\(A\)的列向量线性相关C. 与矩阵\(A\)的行向量线性无关D. 与矩阵\(A\)的行向量线性相关答案:B二、填空题(每题3分,共15分)1. 若矩阵\(A\)的行列式为1,则\(\det(A^{-1}) = ________\)。
答案:12. 矩阵\(A\)的特征值\(\lambda\)满足方程\(\det(A - \lambda I)= 0\),其中\(I\)是单位矩阵,\(\lambda\)是矩阵\(A\)的______。
答案:特征值3. 若向量\(\alpha\)和\(\beta\)正交,则它们的点积\(\alpha\cdot \beta = ________\)。
答案:04. 矩阵\(A\)的迹是其主对角线上元素的和,记作\(\text{tr}(A)\),若\(A\)是\(n \times n\)矩阵,则\(\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii}\),其中\(a_{ii}\)是矩阵\(A\)的第\(i\)行第\(i\)列的元素,\(\text{tr}(A)\)也等于矩阵\(A\)的______。
矩阵论试题及答案可编辑全文
2006矩阵论试题答案一.填空(每题4分,共40分)1. 设−−=41311221222832A ,则A 的值域4(){,R }R A y y Ax x ==∈的维数=)(dim A R 2 .2. 设A 的若当标准型−−−=10000011000001100000020000012000002J ,则A 的最小多项式=)(λψm 32(1)(2)λλ+−.3. 设110430102A −=−,则()5432333h A A A A A A =−++−=110430102−− −−. 4. 设埃尔米特阵为 −−+=2005111i i i i A , 则矩阵A 为 正定的 埃尔米特阵.5. 在3R 中有下列两组向量:()13,1,2Tα=−−,()21,1,1Tα=−,()32,3,1Tα=−; ()11,1,1Tβ=,()21,2,3Tβ=,()32,0,1Tβ=,则由321,,ααα到321,,βββ的过渡矩阵=P 619113421270−−−−−− −− .6.设33CA ×∈,21332211{}ij m j i A a ===∑∑,H AA 的非零特征值分别为15 ,5 ,3,则=2mA.7. 设12102101, 11111137A B −== −−,12,V V 分别为齐次线性方程组 0Ax =,0Bx =的解空间,则=)dim(21V V ∩ 1 .8. 设1(1)1(1)121()321nn n n n n n A n n n n +−−=++ −,则lim n n A →∞=1311e .9. 设213121202A −=,则A 的 LDU 分解为 A =100121012/51 2001123205200115004/5001− − − 10.设 −=5221A ,=0242B ,则2448204048102040100A B−−−⊗=. 二.(10分)设T 为n 维欧氏空间V 中的线性变换,且满足:),(),(Ty x y Tx −=,试证明:T 在标准正交基下的矩阵A 为反对称阵(T A A −=)证明:设n ααα,,,21 为V 的标准正交基,n n ij a A ×=}{,下证:ji ij a a −=: 由=),,,(21n T ααα A n ),,,(21ααα 知n ni i i i a a a T αααα+++= 2211,n nj j j j a a a T αααα+++= 2211, ),(),(j i j i T T αααα−=;=),(j i T ααji j n ni i i a a a a =+++),(2211αααα , =),(j i T ααij n nj j j i a a a a =+++),(2211αααα , 所以:ji ij a a −=.三.(10分)在复数域上求矩阵−−−=7137341024A 的若当标准形J ,并求出可逆矩阵P 使得J AP P =−1.解: A 的若当标准形210021002J=. 令123(,,)P p p p =,则有112123232,2,2Ap p Ap p p Ap p p ==+=+;1213262100621062104170,417,4173150315315p p p p p −−−−=−=−= −−−解得:123(2,1,1),(0,1,0),(1,2,1)T T Tp p p ===− , 201112101P=−.四. (10分)已知 =654321x x x x x xX ,162534()sin()x x f X e x x x x =++,求dXdf . 解答:16161234652543225516cos()cos()x x x x ff f x x x df dX ff f x x x x e x x x x x x x x x e ∂∂∂∂∂∂== ∂∂∂ ∂∂∂. 五.(10分)已知311202113A −=−−−,求4sin()A π,Ae .解:3||(2)E A λλ−=−,A 的最小多项式2)2()(−=λλϕ .待定系数一:令24sin ()(2)q a b πλλλλ=−++,则21,0a b b +==,4sin()A E π=;令2()(2)e q a b λλλλ=−++,则222,a b e b e +==.222211212112A e e e E e A −−=−+=− −−.待定系数二:令324sin ()(2)q a b c πλλλλλ=−+++,则22222414018,8,32216a b c b c a b c c ππππ ++=+=⇒=−==− =− ; 224sin()(44)32A E E A A E ππ=−−+=.令32()(2)e q a b c λλλλλ=−+++,则2222222414,,22a b c e b c e a e b e c e c e++= +=⇒==−== ; 2221()2211212112A e e E A A e −−− =− +−−= .六.(10分)设−=01200110A ,求A 的奇异值分解. 解答一:=5002A A H ,A 的奇异值为5,2; 00Σ= , 25H HV A AV = ,1001V =; 1100100100200100U AV −−− =Σ==; 00000000U− =; 0000010001 0 000 0 000A=.解答二:=5002A A H ,那么A 的奇异值为5,2,A A H对应于特征值5,2的标准特征向量为 = =01,1021x x ,=0110V ; 再计算H AA 的标准正交特征向量,解得分别与5,2,0,0对应的四个标准正交特征向量=0520511υ, −=2102102υ,−=0510523υ,=2102104υ,−−=210210051052210210052051U ; 所以=∆=HV UA 0000000000000110.七.(10分)设n n i A ×∈≠C 0,2rank rank i i A A =),,2,1(n i =,且当i j ≠时),,2,1,(0n j i A A j i ==.试用归纳法证明存在同一个可逆阵n n P ×∈C 使 得对所有的i ),,2,1(n i =有1−=P PE a A ii i i ,其中C ∈i a . 证明:1n =时,命题显然.假设n k ≤时,命题成立. 当1n k =+时,设1rank A r =.由若当分解11111000D A P P − =,其中1C r rD ×∈可逆; 当2,,j n = 时,由110j j A A A A ==可得1(1)(1)1100, C 0n n j jj A P P B B −−×− =∈(直接推出的j B 为()()n r n r −×−的) 再由0i j A A =得0i j B B =(,,2,,)i j i j n ≠= ;0j B ≠,2rank rank j j B B =也是明显的.由假设知存在可逆阵(1)(1)C n n Q −×−∈使得1j j jj B a QE Q −=,其中C j a ∈,2,,j n = .此时,再由110j j A A A A ==得到11111111110101010000000a A P P a P P Q Q −−− == ; 记1100P P Q =,则 11111111100000000 (2,,).0 j j j jj j j jj jj A P P P P B a QE Q a P P a P E P j n E −−−−− =====由归纳原理知命题为真.。
研究生矩阵论课后习题答案(全)习题三
习题三1.证明下列问题:(1)若矩阵序列{}m A 收敛于A ,则{}Tm A 收敛于T A ,{}m A 收敛于A ;(2)若方阵级数∑∞=0m m m A c 收敛,则∑∑∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛00)(m mT m Tm m m A c A c .证明:(1)设矩阵,,2,1,)()( ==⨯m a A n n m ij m则,)()(n n m ji Tm a A ⨯=,)()(n n m ij m a A ⨯=,,2,1 =m设,)(n n ij a A ⨯=则n n ji T a A ⨯=)(,,)(n n ij a A ⨯=若矩阵序列{}m A 收敛于A ,即对任意的n j i ,,2,1, =,有ij m ij m a a =∞→)(lim ,则ji m ji m a a =∞→)(lim ,ij m ij m a a =∞→)(lim ,n j i ,,2,1, =,故{}T m A 收敛于TA ,{}m A 收敛于A .(2)设方阵级数∑∞=0m m mA c的部分和序列为,,,,21m S S S ,其中mm m A c A c c S +++= 10.若∑∞=0m m mA c收敛,设其和为S ,即S A cm m m=∑∞=0,或S S m m =∞→lim ,则T Tm m S S =∞→lim .而级数∑∞=0)(m mTmA c的部分和即为TmS ,故级数∑∞=0)(m m T m A c 收敛,且其和为T S ,即∑∑∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛00)(m m T m Tm m m A c A c .2.已知方阵序列{}m A 收敛于A ,且{}1-m A ,1-A 都存在,证明:(1)A A m m =∞→lim ;(2){}11lim --∞→=A A m m .证明:设矩阵,,2,1,)()( ==⨯m a A n n m ij m ,)(n n ij a A ⨯=若矩阵序列{}m A 收敛于A ,即对任意的n j i ,,2,1, =,有ij m ij m a a =∞→)(lim .(1) 由于对任意的n j j j ,,,21 ,有,lim )(k kkj m kj m a a =∞→ n k ,,2,1 =, 故∑-∞→nn n j j j m nj m j m j j j j m a a a 2121)()(2)(1)()1(limτ=∑-nn n j j j nj j j j j j a a a 21212121)()1(τ,而∑-=nn n j j j m nj m j m j j j j m a a a A 2121)()(2)(1)()1(τ,∑-=nn n j j j nj j j j j j a a a A 21212121)()1(τ,故A A m m =∞→lim .(2) 因为n n m ij m m A A A ⨯-=)(1)(1,n n ij A AA ⨯-=)(11. 其中)(m ij A ,ij A 分别为矩阵m A 与A 的代数余子式.与(1)类似可证明对任意的n j i ,,2,1, =,有ij m ij m A A =∞→)(lim ,结合A A m m =∞→lim ,有n n m ij m m A A ⨯∞→)(1lim)(=n n ij A A⨯)(1, 即{}11lim --∞→=A A m m .3.设函数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321sin cos sin )(t t e t t t t t t A t , 其中0≠t ,计算),(),(lim 0t A dt d t A t →),(22t A dtd ,)(t A dt d)(t A dt d . 解:根据函数矩阵的极限与导数的概念与计算方法,有(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=→→→→→→→→→→001011010lim 0lim 1lim lim lim sin limlim cos lim sin lim )(lim 300200000t t e ttt ttt A t t t t tt t t t t t ;(2)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡'''''''''=22323002sin cos 1sin cos )(01)()()sin ()(cos )(sin )(t t e t t t t t tt t e t t t t t t A dt dt t ; (3)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----==t e t t t t t t t A dtd dt d t A dt d t 6002cos 2sin )2(0cos sin ))(()(222;(4)=)(t A dt d '3201sin cos sin t t e tt t t tt)2cos 2(sin )sin cos 2(]1)cos (sin sin 3[32t t t t t t t t t t t t t e t +--+--++=(5))(t A dt d =22302sin cos 1sin cos t t e t t t t t tt -- )sin cos (sin 3cos 32t t t t t e t t -+=.4.设函数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-00302)(222x e e x xe e x A x xx x , 计算⎰10)(dx x A 和⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰20)(x dt t A dx d . 解:根据函数矩阵积分变限积分函数的导数的概念与计算方法,有(1)⎰10)(dx x A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎰⎰⎰⎰⎰⎰-0030210102110210102xdx dx e dxe dx x dxxe dxe xx x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-0023011311)1(21212e e e ;(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰20)(x dt t A dx d =)(22x xA =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-00302224222222x e e x ex e x x x x. 5.设,))(,),(),((21Tn t y t y t y y =A 为n 阶常数对称矩阵,Ay y y f T =)(,证明:(1)dt dy A y dt df T 2=; (2)dtdy y y dt d T222=. 证明:(1)y A y Ay y Ay y dtdfT T T '+'='=)()(y A y Ay y T T T '+'=))((y A y T '=2dtdyA y T 2=,(2)dtdy y yy dt d y dt d TT 2)(22==. 6.证明关于迹的下列公式:(1)X X X tr dX d XX tr dX d T T 2)()(==; (2)T T T B B X tr dX d BX tr dX d ==)()(;(3)X A A AX X tr dXd T T )()(+=.其中m m ij m n ij n m ij a A b B x X ⨯⨯⨯===)(,)()(.证明:(1)因为∑∑====mi nj ij TTx X X tr XX tr 112)()(,而ij m i n j ij ij x x x 2)(112=∂∂∑∑==, 故X X X tr dXd XX tr dX d T T 2)()(== (2)因为n n mk kj ik x b BX ⨯=∑=)(1,则∑∑====n j mk kj jk TTx b B X tr BX tr 11)()(,而ji n j mk kj jk ij b x b x =∂∂∑∑==)(11, 故T T T B B X tr dXd BX tr dX d ==)()(. (3) 因为,212221212111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn n n m m Tx x x x x x x x x X⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========mk kn mk m k k mk mk k mk mk kn k mk k kmk k k mk kn k mk k k mk k k x a xax a x a x axa x a x a x a AX 112111212211211121111故)()()()(11ln 111111∑∑∑∑∑∑======++++=m l mk kn lk m l m k kj lk lj m l m k k lk l Tx a x x a x x a x AX X tr 则))(()(11∑∑==∂∂=∂∂m l mk kj lk lj ij Tij x a x x AX X tr x )]([111∑∑∑===∂∂+∂∂=mk kj lk ij lj mk kj lk ij ljml x a x x x a x x ∑∑==+=ml lj li mk kj ik x a x a 11故X A A X A AX AX X tr dXdT T T )()(+=+=. 7.证明:T T T T T T dXdb a dX da b b a dX d +=)(, 其中)(),(X b X a 为向量函数.证明:设Tm T m X b X b X b X b X a X a X a X a ))(,),(),(()(,))(,),(),(()(2121 ==,则∑==mi i i TX b X a X b X a 1)()()()(,故它是X 的数量函数,设)()()(X b X a X f T =,有),,,())()((21n TTx f x f x f X b X a dXd ∂∂∂∂∂∂= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∑∑==m i n i i i n i m i i i i i x X b X a X b x X a x X b X a X b x X a 1111)()()()(,,)()()()( ∑∑∑===∂∂∂∂∂∂=mi i ni m i i i mi i i X b x X a X b x X a X b x X a 11211))()(,,)()(,)()(( ))()(,,)()(,)()((11211∑∑∑===∂∂∂∂∂∂+mi n i i m i i i mi i i x X b X a x X b X a x X b X aTT T TdXdb a dX da b +=. 8.在2R 中将向量Tx x ),(21表示成平面直角坐标系21,x x 中的点Tx x ),(21,分别画出下列不等式决定的向量Tx x x ),(21=全体所对应的几何图形:(1) ,11≤x (2) ,12≤x(3) 1≤∞x .解:根据,1211≤+=x x x ,122212≤+=x x x{}1,max 21≤=∞x x x ,作图如下:9.证明对任何nC y x ∈,,总有)(212222y x y x x y y x T T --+=+. 证明:因为y y x y y x x x y x y x yx T T T T T +++=++=+)()(22y y x y y x x x y x y x y x T T T T T +--=--=-)()(22故x y y x y x y x T T +=--+)(212222 10.证明:对任意的nC x ∈,有12x x x≤≤∞.证明:设Tn x x x x ),,,(21 =,则{}nn n x x x x x x x xx x x x +++=+++==∞21122221221,,,,,max由于{}22122221221)(),,,(max n nn x x x x x x x x x +++≤+++≤ ,故21222x xx≤≤∞,即12x x x≤≤∞.11.设n a a a , ,,21是正实数,证明:对任意nT n C x x x X ∈=),,(21, ,2112⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=ni i i x a X是nC 中的向量范数.证明:因为(1),02112≥⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=ni i i x a X 且00=⇔=X X ; (2)X k x a k x a k kx a kX ni i i ni i i ni i i =⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===2112211222112;(3)对于nT n C y y y Y ∈=),,(21, ,T n n y x y x y x Y X ),,(2211+++=+, ,则21212122)(2Y X Y X y a x a y x a YX ni ii ni ii ni ii i +=++≤+=+∑∑∑===故Y X Y X +≤+.因此2112⎪⎭⎫⎝⎛=∑=ni i i x a X 是nC 中的向量范数. 12.证明:ij nj i a n A ≤≤=,1m ax是矩阵n n ij a A ⨯=)(的范数,并且与向量的1-范数是相容的.证明:因为(1) 0m ax ,1≥=≤≤ij nj i a n A ,且O A =⇔0=A ;(2) A k a n k ka n kA ij nj i ij nj i =≥=≤≤≤≤,1,1m ax m ax ;(3) B A b n a n b a n B A ij nj i ij nj i ij ij nj i +=+≥+=+≤≤≤≤≤≤,1,1,1m ax m ax m ax(4)设Tn x x x X ),,,(21 =,则T nj j nj n j j j n j j j x a x a x a AX ),,,(11211∑∑∑==== ,故∑∑∑===+++=nj j njnj j jnj j jx ax ax aAX 11111∑∑∑=≤≤=≤≤=≤≤+++≤nj j nj nj nj j j nj nj jjnj x a x a xa 11121111max max max11,1max X A xa n nj jijnj i =≤∑=≤≤因此ij nj i a n A ≤≤=,1m ax 是与向量的1-范数相容的矩阵范数.13.设nn CA ⨯∈,且A 可逆,证明:11--≥AA .证明:由于I AA =-1,1=I ,则111--≤==A A AA I ,故11--≥AA .14.设nn CA ⨯∈,且,1<A 证明:A I -可逆,而且有(1)AA I -≤--11)(1;(2)AA I A I -≤---1)(1.证明:(1)由于A A I I A I 11)()(---+=-,故A A I I A A I I A I 111)()()(----+≤-+≤-,即 AA I -≤--11)(1.(2)因为A I A I =-+)(,两边右乘1)(-+A I ,可得11)()(--+=+-A I A A I I ,左乘A ,整理得11)()(--+-=+A I AA A A I A ,则111)()()(---++≤+-=+A I A A A A I AA A A I A ,即 AA I A I -≤---1)(1.15.设C l k CB A nn ∈∈⨯,,,证明:(1)Al k klkA ee e )(+=,特别地A A e e --=1)(;(2)当BA AB =时,BA AB BA ee e e e +==;(3)A e Ae e dtd At At At==;(4)当BA AB =时,B A B A B A sin cos cos sin )sin(±=±. 证明:(1)∑∑∑∞==-∞=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=000)()()(!1!)(n n m m n m m n n n n Al k lA kA C n n A l k e∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=+++=+=-0000)()(!!)!()!(1)()()!(1m l l m m l lm m m l lA kA m l m l m l lA kA C m l l m nlA kA l l m m m l l m e e kA l kA m lA kA m l =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=0000)(!1)(!1)()(!!1.又因为A A A A O e e e e I --+===)(,故A A e e --=1)(.(2)当BA AB =时,二项式公式∑===+nm mm n m n nB AC B A 0)(成立,故∑∑∑∞==-∞=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=000!1)(!1n n m m m n m n n nBA B A C n B A n e∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=+=+=-0000!!1)!(1m l m l m l ml m m l B A m l B A C m l l m nBA m m l l e eB m A l =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∞=∞=00!1!1同理,有A B l l m m BA e e A lB m e=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∞=∞=+00!1!1, 故B A A B B A e e e e e +==.(3)由于幂级数∑∞=0!1n nn t A n 对给定的矩阵A ,以及任意的t 都是绝对收敛的,且对任意的t 都是一致收敛的,因此科可对此幂级数逐项求导,则A l ll n n n n n n At Ae l t A A n t A t A n dt d e dt d ==-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∞=∞=-∞=0110!)!1(!1, 同理,有A e A l t A e dt d Al ll At =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∞=0! 故A e Ae e dtd At At At==. (4) 因为-+-++=432!41!31!21A iA A iA I e iA )!51!31()!41!21(5342 -+-+-+-=A A A i A A IA i A sin cos +=故)(21sin iA iAe e iA --=.又当BA AB =时,B A A B B A e e e e e +==,则()()iB iA iBiA B A i B A i e e e e i e e i B A --+-+-=-=+2121)sin()()( )]sin )(cos sin (cos )sin )(cos sin [(cos 21B i B A i A B i B A i A i---++= B A B A sin cos cos sin += 同理,可得B A B A B A sin cos cos sin )sin(-=-16.求下列三类矩阵的矩阵函数2,sin ,cos A e A A (1)当A 为幂等矩阵(A A =2)时;(2)当A 为对合矩阵(I A =2)时;(3)当A 为幂零矩阵(O A =2)时.解:(1) A A =2,设矩阵A 的秩为r ,则A 的特征值为1或0, A 可对角化为J O O O I AP P r =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-1,则11001sin 1sin sin sin --⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==P P JP P AA PJP )1(sin )1(sin 1==-,11111cos 1cos cos cos --⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==P P JP P A110011cos 11cos 1111--⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=P P P PA I PJP I )11(cos )11(cos 1-+=-+=-111122--⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==P e e P P Pe e J A1100111111--⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=P e e P P PA e I PJP e I )1()1(1-+=-+=-(2) 当I A =2时,矩阵A 也可对角化,A 的特征值为1或1-, A 可对角化为J AP P =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=-11111 ,其中1有m 个. 则111sin 1sin 1sin 1sin sin sin --⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--==P P JP P AA PJP )1(sin )1(sin 1==-111cos 1cos 1cos 1cos cos cos --⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==P P JP P A I )1(cos =eI P e e e e P P Pe e J A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==--1122(3)当O A =2时, A 的特征值均为0,则存在可逆矩阵P ,使得11,--==PJP A J AP P ,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=m J J J 1,又O A =2,则O P PJ A ==-122,于是O J J J m =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2212故Jordan 块k J 的阶数最多为2,不妨设0=k J ),,1(r k =,B J k =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0010),,1(m r k +=,即 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=B B J 0则1=k iJ e ,1=-k iJ e ),,1(r k =;⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101i ekiJ ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-101i e k iJ ),,1(m r k +=. 故=--k k iJ iJ e e 0),,1(r k =,B ii e e k k iJ iJ 210020=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--),,1(m r k +=, 则2=+-k k iJ iJ e e ),,1(r k =,I e e k k iJ iJ 22002=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+-),,1(m r k +=, 因此J iB B i e e iJiJ 210021=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-- ,Ie e iJiJ 22222=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+- , 所以A PJP i i P e e P i e e i A iJ iJ iA iA =⋅=-=-=----11)2(21)(21)(21sin , I PIP P e e P e e A iJ iJ iA iA =⋅=+=+=----11221)(21)(21cos ,I I e e O A ==2.17.若矩阵A 的特征值的实部全为负,则O e At t =+∞→lim .证明: 设A 的特征值为0,1,<-=+=i i i i a j j b a λ,则存在可逆矩阵P ,使得11,--==PJP A J AP P ,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=m J J J 1,i n i i i J ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλ11 则1121--⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==P e e e P PPe et J tJ tJ Jt Atm, 其中⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=-t tt t t i n tttJ e tete e e n t tee ei i 11111111)!1(λλλλλλλ又)sin (cos lim lim lim t b j t b e e e i i t a t t jb t a t t t i i i i +==∞→+∞→∞→λ,且0<i a ,故0lim =∞→tt i eλ,因此O e t J t i =∞→lim ,则O e At t =+∞→lim .18.计算Ate 和At sin ,其中:(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110010002A ; (2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=010101010A ; (3)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6116100010A .解:(1)设,21=J ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11012J ,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21J JA . 由于⎥⎦⎤⎢⎣⎡=t J tAt e e e 22,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=t J t At 2sin 2sin sin , 且⎥⎦⎤⎢⎣⎡=t t ttJ e te e e02,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=t t t tt J sin cos 0sin sin 2,则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=t tt tAte te e e e 000002,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=t t t t tAt sin cos 00sin 0002sin sin . (2)该矩阵的特征多项式为,11101)(3λλλλλϕ=---=最小多项式为3)(λλ=m .19.计算下列矩阵函数:(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=221131122A ,求100A ; (2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=735946524A ,求Ae ;(3)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=4410A ,求4arcsin A; (4)⎥⎦⎤⎢⎣⎡=48816A ,求1)(-+A I 及21A 20.证明:I A A =+22cos sin ,A iI A e e =+π2,其中A 为任意方阵.证明:(1) 因为)(21sin iA iA e e i A --=,)(21cos iA iA e e A -+=, 故)2(41)(41sin 2222I e e e e A iA iA iA iA -+-=--=--,)2(41)(41cos 2222I e e e e A iA iA iA iA ++=+=--, 则I A A =+22cos sin .(2)因为矩阵iI π2的特征值均为i π2,故存在可逆矩阵P ,使得I P P P e e P e i i iI=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--1122211 πππ则A A iI A iI A e I e e e e ===+ππ2221.若A 为反实对称(反Hermite )矩阵,则Ae 为实正交(酉)矩阵.证明: 因为∑∞==0!k k A k A e ,又∑∑===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nk k n k k k A k A 0**0!)(!. 故**)(A A e e =.当A 为反实对称,即A A T-=时,I e e e e e e e O A A A A A T A T====-)(,故Ae 为实正交矩阵;当A 为反Hermite 矩阵,即A A -=*时,I e e e e e e e O A A A A A A ====-**)(,故Ae 为酉矩阵.22.若A 为Hermite 矩阵,则Aie 是酉矩阵,并说明当1=n 时此结论的意义.证明:因为A A =*,故Ai Ai Ai e e e -==*)(*)(,则I e e e e Ai Ai Ai Ai ==-*)(,故Aie 是酉矩阵.当A 为一阶Hermite 矩阵时, A 为一实数,设a A =,则上述命题为1=-ai ai e e23.将下列矩阵函数表示成矩阵幂级数,并说明对A 的限制: (1)shA ,(2))ln(A I +,(3)A arctan 解:(1) ∑∞=++=012)!12(1n n A n shA , n n C A ⨯∈∀; (2) ∑∞=--=+111)1(4)ln(n nn A nA I ,1<A ; (3) ∑∞=++-=112121)1(arctan n n nA n A ,1<A . 24.设nn C A ⨯∈,证明:(1))(A tr Ae e=,(2)AA ee ≤.证明:(1)设11,--==PJP A J AP P ,其中J 为若当标准形,则1121--⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==P e e e P PPe e m J J J J A, 其中⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111111λλλe e e e iJ, 则mJ J J JJAe e e e Pe P e211===-trA J J J e e e e e n m ===++λλ 121.(2)设∑==Nk kN k A S 0!,则∑∑∑===≤≤=Nk kN k k Nk k NA k A k k A S 000!1!1!, 因为∑∞==!k kAk A e ,对上式两边取极限,得 Ak kAeA k e≤≤∑∞=0!1.25.设nn CA ⨯∈,且A 可逆,若λ是A 的任一特征值,则2211A A ≤≤-λ.证明:因为2)(A A =≤ρλ,故2A ≤λ.又对任意的nC X ∈,有2212122AX A AX A IXX--≤==,所以2212AX AX ≤-.设α是矩阵A 的特征值λ对应的特征向量,即λαα=A ,则222212αλλααα==≤-A A,故有λ≤-211A .因此2211A A ≤≤-λ.。
2013矩阵论试题解答(A)
第 1 页 共 8 页 (A 卷)考试方式:闭卷太原理工大学 矩阵分析 试卷(A )适用专业:2013级硕士研究生 考试日期:2014.1.14 时间:120 分钟 共 8页一、本题共10小题,每小题3分,满分30分.1-5题为填空题:1.如果n 阶矩阵()=ii A diag a ,并且2014≡ii a ,则A 的最小多项式()m λ= . 解答2014(2014)(2014)(2014),()2014n n E A E E E E m λλλλλλλ-=-=-=-=-=-2.如果()ijA a =为n 阶可逆矩阵,则tA e d ττ=⎰.解答10000111110111!(1)!11()(1)!!t t A n n n n n n n n n n At n n e d A d A t n n A A t A A t A e E n n ττττ∞∞+==∞∞-++--====+===-+∑∑⎰⎰∑∑3.已知2阶矩阵1011A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则cos A = .解答 1cos 0cos10cos (cos )cos sin1cos1λλλλ=⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪'-⎝⎭⎝⎭A4.在3R 中,如果1V 是过原点的平面∏,2V 是平面∏上过原点的直线L ,那么12dim()V V += .解答 121212dim()dim()dim()dim()2112V V V V V V +=+-⋂=+-=5.已知()1234A =,则A 的全部奇异值为 . 解答(1234),,,30,T T T T T T A A A A A ααααααααα===== 所以全部奇异值为第 2 页 共 8 页 (A 卷)6-10题为单项选择题:6.下列矩阵中不是正规矩阵的是( B ).(A) HA A = (B )1TA A -=(C )HAA (D )HA A =-7.如果A A =2,则下列多项式中不是A 的零化多项式的是( C ). (A)A 的特征多项式 (B )A 的最小多项式(C )A 的第一个不变因子1()d λ (D )2()f λλλ=-D ).(A) 1A (B )2A (C ) A ∞ (D )FA9.已知12,V V 都是线性空间V 的子空间,则下列集合不是V 的子空间的是( B ).(A) 12V V ⋂ (B) 12V V ⋃ (C) 12V V + (D)12V V ⊕10.矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是( A ).(A)A 的初等因子都是一次的 (B) A 的若当标准型中只有一个若当块 (C)A 的最小多项式是一次的 (D) A 的行列式因子都是一次的第 3 页 共 8 页 (A 卷)二、本题共2小题,满分24分.11. (12分)(1)已知{|,0,(1,1,,1)}n n T V X X R X αα⨯=∈==,证明V 是n n R ⨯的一个线性子空间,并求V 的维数及当2n =时V 的一个基.证明 显然0O α=, 所以X O V =∈, 因此V φ≠.设,X Y V ∈, 那么0,0X Y αα==, 所以()000X Y X Y ααα+=+=+=,所以X Y V +∈.设,X V k R ∈∈, 那么0X α=, 所以()()00kX k X k αα===, 所以kX V ∈,所以V n nR ⨯是的一个线性子空间.设()ij X x V =∈, 那么0X α=,所以111212122212000n n n n nn x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩,即111212122212nnn n nnx x x x x x x x x =---⎧⎪=---⎪⎨⎪⎪=---⎩,所以2dim()V n n =-,当2n =时,V 的一个基为121100,0011X X -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.(2)在线性空间[]{|,(0)0}n V f f R x f =∈=上定义运算[]1,()()f g f x g x dx ''=⎰,证明,f g 是内积. 当3n =时,求,,a b c使232123(),(),()f x x f x x ax f x x bx cx ==+=++两两正交.证明120,()0f f f x dx '=≥⎰,,0f f =,当且仅当()0f x '=,当且仅当()f x C =, 而(0)0f =,所以()0f x =[][]11,()()()(),''''===⎰⎰f g f x g x dx g x f x dx g f[][][]11111,(()())()(()())()()()()()()()()(),,f h g f x h x g x dx f x hx g x dxf xg xh x g x dx f x g x dx h x g x dx f g h g'''''+=+=+''''''''=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰111,(())()()()()(),kf g kf x g x dx kf x g x dx k f x g x dxk k f g ''''''====⎰⎰⎰所以,f g 是内积.由两两正交,即12,10f f a =+=,13,10f f b c =++=,()()1223013220,2326423234023f f x a x bx c dx x bx cx ax abx ac dx b c a ab ac ⎡⎤=+++⎣⎦⎡⎤=+++++⎣⎦=+++++=⎰⎰, 所以311,,22a b c =-=-=第 4 页 共 8 页 (A 卷)12. (12分)(1)证明T 是nR 上的线性变换当且仅当存在n nA R ⨯∈使得对任意的nx R ∈有Tx Ax =,并且满足Tx Ax =的A 是唯一的.(1)证明 充分性:因为Tx Ax =,所以有()()()()T x y A x y Ax Ay T x T y +=+=+=+,()()()()T kx A kx k Ax kT x ===成立.必要性:因为T 是n R 上的线性变换,所以取n R 中的简单基12,,,n εεε,那么对任意的12(,,,)T n n x x x x R =∈,有1122n n x x x x εεε=+++, 于是112212()()()()((),(),,())n n n T x x T x Tx T T T T x εεεεεε=+++=,令 12((),(),,())n A T T T εεε=, 则Tx Ax =. 如果对任意的n x R ∈有Tx Ax =,Tx Bx =, 那么n x R ∈有()0A B x -=, 所以A B =. 所以满足Tx Ax =的A 是唯一的.Tx Ax =(2)当3n =时,对任意的3123(,,)T x x x x R =∈,定义线性变换122331()(,,)T T x x x x x x x =---,求33A R ⨯∈使得对任意的3123(,,)T x x x x R =∈,有T xA =,并求T 在基123(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)T TTααα===下的矩阵A α.(2)解答 112233123110110()(,,)011011101101Tx T x x x x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=---=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以(取123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===T T T 为标准基,有123(,,)εεε=E ) 110011101A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭, 因为123123111111(,,)110(,,)110100100αααεεε⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以 1231231231231123123*********(,,)(,,)110(,,)110(,,)110100100100111111110111(,,)110(,,)11001111100100101T T T T T T A A A A A αααεεεεεεεεεεεεααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭0100⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭所以1111110111001110111110011110011011110100101100110101100101111011112110021121100011A α---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪-=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎭⎝=⎝⎝⎭⎭第 5 页 共 8 页 (A 卷)三、本题共2小题, 满分26分.13. (10分)(1)设20312102810A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,证明A 的特征值都是实数,并在实轴上找出三个互不相交的集合,使得每个集合内有且仅有A 的一个特征值.解答 A 的三个行盖尔圆分别为{1|204}S z z =-≤,{2|104}S z z =-≤,{3|9}S z z =≤,因为1S 是孤立的,所以1S 内有且仅有A 的一个特征值,又A 的三个列盖尔圆分别为{1|2010}T S z =-≤,{2|104}T S z z =-≤,{3|3}TS z z =≤, 因为3T S 是孤立的,所以3TS 内有且仅有A 的一个特征值,综合知道1S ,2S ,3TS 是相互孤立的,而是实A 矩阵,故A 的特征值都是实数,三个互不相交的集合可取为[3,3]-,[6,14],[16,24],(2) 设A 为n 阶方阵,证明2F A A =当且仅当存在n 维列向量,αβ使得T A αβ=.证明 因为21λ===∑nHi F i A trA A ,其中120λλλ≥≥≥≥n 是H A A 的特征值,所以2212λ==FAA 当且仅当20λ==∑ni i ,而0i λ≥,所以当且仅当230n λλλ===,当且仅当秩()1H R AA ≤, 当且仅当()()1H R A R AA =≤当且仅当T A αβ=.第 6 页 共 8 页 (A 卷)14. (16分)设100020100A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.(1)求A 的加号逆+A解答 利用0lim(),(0)H Ht A A A tE A t +→=+>,因为101100200020020040000100000⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭HA A ,有 20004000+⎛⎫ ⎪+=+ ⎪ ⎪⎝⎭Ht A A tE t t , 及 110021()004100-⎛⎫⎪+ ⎪⎪+= ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭H t A A tE t t , 故 111100022210112()000200044000100000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+== ⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭H Ht t t A A tE A t t t 得到 0lim()H Ht A A A tE A +→=+10110102000⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.(2)求使得线性方程组Ax β=无解的全体向量123b b b β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,并求矛盾线性方程组Ax β=的极小范数最小二乘解(即最佳逼近解).解答 因为1122331100100(,)020020100000b b A A b b b b b β⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,所以123b b b β⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,13b b ≠. 无解. 极小范数最小二乘解为11322310111010220000b b b A b b b β++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭第 7 页 共 8 页 (A 卷)四、本题共2小题,满分20分.15. (10分) 已知110220103A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.(1) 求A 的Smith 标准型)(λA .解答222110110100220220030103013013100100013010()03000(3)λλλλλλλλλλλλλλλλ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=--→--→- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭E A A(2) 求A 的Jordan 标准型J .解答因为A 的初等因子为λ,2(3)λ-, 所以000030013J ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭或者300130000J ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭第 8 页 共 8 页 (A 卷)16. (10分)已知1111A ⎛⎫=⎪⎝⎭.(1) 求三种方法求Ate . 解答 方法一(最小多项式法) 因为 211()(1)1011λλλλλ-=-==--=-f A E ,120,2λλ==,而最小多项式就是()λf ,所以可设()r a b λλ=+,即=+At e aE bA ,那么022⎧=⎨=+⎩t e a e a b ,所以2112=⎧⎪⎨-=⎪⎩t a e b ,所以21()12te r λλ-=+,所以2222111211⎛⎫+-= ⎪-+⎝⎭t t Att t e e e e e , 解答 方法二(Jordan 法) 对应于特征值120,2λλ== 的特征向量分别为11,11⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,所以1222222111011111011111111011110112211t t Att t t te e e e e e e --⎛⎫+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪----+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭解答 方法三(定义法) 1111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,12n n A A -=,1011221222211112(2)!!2!11111(2)(1)2!2122111∞∞∞-===∞=⎛⎫+-==+=+-=+=+-=+ ⎪-+⎝⎭=∑∑∑∑Atn n n n nn n n tt t n tn t t eA t E A t E A t n n n e E A t E e e e e A e E A n(2) 求解微分方程组1122121212(0)(0)0dx x x dt dxx x dtx x ⎧=++⎪⎪⎪=++⎨⎪==⎪⎪⎩.解答 因为,所以(0)0=At e X ,故解为2()2()1()2()2()00222()2()022*******()22113(1)31112,32231(1)231(1)4231(1)42t t t t A t t t t t t t t t t x e e e f d d x e e e t e d e e t x e t x e t τττττττττττ-------⎛⎫+-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎛⎫-== ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭-+ ⎪⎝⎭⎧=--⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩⎰⎰⎰。
矩阵分析试题A参考答案及评分标准样本
重庆邮电大学 级研究生(矩阵分析)考卷( A 卷)参考答案及评分细则一 、 已知 1(1,2,1,0)T α=, 2(1,1,1,1)T α=-, 1(2,1,0,1)T β=-, 2(1,1,3,7)T β=-求12{,}span αα与12{,}span ββ的和与交的基和维数。
( 10分) 解: 因为12{,}span αα+12{,}span ββ=1212{,,,}span ααββ (2分)由于秩1212{,,,}ααββ=3, 且121,,ααβ是向量组1212,,,ααββ的一个极大相信无关组, 因此和空间的维数是3, 基为121,,ααβ。
(2分) 设{}1212{,},span span ξααββ∈于是由交空间定义可知11221122k k l l ξααββ=+=+ 此即121211212111011030117k k l l -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭解之得1122122,4,3(k l k l l l l =-==-为任意数) (2分) 于是11222[5,2,3,4]T k k l ξαα=+=-, 1122l l ξββ=+(很显然)因此交空间的维数为1, 基为T [-5,2,3,4] (2分)二、 证明: Jordan 块 10()0100a J a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似于矩阵 0000a a a εε⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 这里0ε≠为任意实数。
( 10分) 证明: 由于容易求出两个λ-矩阵的不变因子均为31,1,()a λ-, 从而这两个λ-矩阵相似,于是矩阵10()0100a J a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与0000a a a εε⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似.三、 求矩阵101120403A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的(1)Jordan 标准型; ( 2) 变换矩阵P ; ( 3) 计算100A 。
矩阵论考试题和答案(详细)
因此 B = Udiag (λ ,L , λ )U = Vdiag (λ ,L , λ )V H = E 。
H
1 3 1
1 3 n
1 3 1
1 3 n
-------------4
(2)因为 A ≥ 0 ,所以 A 的特征值均非负。设 A 的特征值为 λ1 ,L , λn ,且 λ1 ≥ L ≥ λn ≥ 0 , 则 A2 的特征值为 λ12 ,L , λn2 ,于是
AT Ax = AT b
的解, 所以不相容线性方程组 Ax = b 的最小二乘解唯一当且仅当 AT A 非奇异, 即 rank ( AT A) = n 。因为 rank ( AT A) = rank ( A) ,所以不相容线性方程组 Ax = b 的最 小二乘解唯一当且仅当 A 列满秩。 -----------4
记 P = U H V = ( pij ) ,则 diag (λ1 ,L , λn ) P = Pdiag (λ1 ,L , λn ) ,从而
λi pij = λ j pij (i, j = 1,L , n) ,
于是
1 1
λi3 pij = λ j3 pij (i, j = 1,L , n) ,
即
diag (λ13 ,L , λn3 ) P = Pdiag (λ13 ,L , λn3 ) ,
A + = C T ( CC
T
-----------------5
1 4 0 1 − 4
)−1 ( B T B )−1 B T
1 − 4 = 0 1 4
0 1 0
---------5
1 (2)因为 AA + b = 2 ≠ b ; 所以不相容的。 -----------3 2 1 4 -----------3 其极小最小二乘通解为 x = A + b = 2 1 − 4 (3)因为 x 是不相容线性方程组 Ax = b 的最小二乘解当且仅 x 是如下相容线性方程组
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二、解设 ,则有
,
,
.
当 时, ;当 ,存在 使得 ,从而有
,
因此,该实数是 中 与 的内积.(10分)
三、解(1)解出 ,可得 ,
,
于是,由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵为
.
当 时, ,故
.(10分)
计算
,
则得谱分解式
+2 (10分)
六、
.
由于 ,
于是有 ,故
(10分)
七、当 时, ;当 不恒等于零时,由其连续性知 必在 的某个子区间 上不等于零,从而有
,
对于 ,有
,
对于 ,有
,
故 是 中的向量范数.(10分)
八、容易求出矩阵A的最小多项式为 ,所以 , ,于是
由此知 的内插多项式表示为
将矩阵A代入上式得
长 春 理 工 大 学
研 究 生 期 末 考 试试 题
科目名称:矩 阵 论命题人:姜志侠
适用专业:理 工 科审核人:
开课学期:2012——2013学年第 一 学期□开卷 √闭卷
一、(10分)设 是 的一个基,试求由 ,
, 生成的子空间 的基.
二、(10分)在 中,设 ,定义实数 为 ,判断是否为 中 与 的内积。
.
(2) 在基(Ⅱ)的坐标为 ,由坐标变换公式计算 在基(Ⅰ)下的坐标为
.(10分)
四、首先求出A的Jordan标准形
,
所以行列式因子 ;
不变因子 ;(6分)
那么A的初等因子为 ,故A的Jordan标准形为
.(10分)
五、解:求出 的特征根 (二重),计算对角化相似因子 及其逆 为
,
而使 ,令
, , ,
;
验证 是 中的向量范数.
八、(10分)已知矩阵 ,写出矩阵函数 的Lagrange-Sylvester内插多项式表示,并计算 。
长 春 理 工 大 学
研 究 生 期 末 考 试标准答案及评分标准
科目名称:矩阵论命题人:姜志侠
适用专业:审核人:
开课学期:2012——2013学年第 一 学期□开卷√闭卷
三、(10分)设4维线性空间 的基(Ⅰ) 和基(Ⅱ) 满足Байду номын сангаас
(1)求由基(Ⅰ)变为基(Ⅱ)的过渡矩阵 ;
(2)求向量 在基(Ⅰ)下的坐标.
四、(10分)设矩阵 ,求 的行列式因子,不变因子,初等因子组,Jordan标准形。
五、(10分)求可对角化矩阵 的谱分解式.
六、(10分)已知
,
试求 .
七、(10分)区间 上全体实值连续函数的集合,按照通常的函数加法运算和数与函数的乘法运算,构成R上的线性空间,记作 ,对于 ,定义实数