中国东南地区数学奥林匹克合辑
2020年东南奥林匹克赛高一组第二天答案

证明:记
Ͳ.
Ͳ
假设 1
Ͳ中每个整数都没有大于 的素因子.
设 是 最大的素数幂因子. 由于≤ 的素数个数不超过 1
1,
故当
1
1 1时,
1
1 ,对于所有的 1
.
因为 ≤ ,且≤ 的素数个数不会超过 1
1 个,故必然有两个不同
的1
1
使得 1
.故 1
min 1 1
1.但是
1 命题得证.
1
1≤
1 ≤ 1,矛盾.故当
T k i 1 T k i .
令 S㤵k T㤵k (k 1 ‴ 1 ), k Ͳ 时 , S㤵k 1 1 S ‴ S 1 S k
1 䁥 1 . 由此知,正整数
当且仅当 1 为合数. 因此有:
1 集合 1
1‴ 1
1 为质数 中的任一数(简称为质前数)
皆不属于集合 ,而其余的数皆在 中;
对于集合 ,
1 1 ,当正整数 䁥 不全为 1 时, 䁥 为合数,
即每个奇质数皆不属于 ,对于这种数,要么是两个相邻正整数的乘积: 1
1 ,要么可表为这样的三个因子之积,其中较大的一个因子等于另两个
状态, i S 则说明这一格子未被染色,否则这一格子没有染色.在任何一个状态下,我们计 f㤵S 为将状态 S 全部染成黑色所需的次数之期望.如果 S ⊆ S', 我们称 S'比 S 状态要"大",此 时,关于状态 S'的染色策略也可用于 S,从而 f㤵S ≤ f㤵S' .令 g㤵S i 为选择喷涂格子 i 之后所
1 1时,
. 用一个喷头对一张 1 的方格纸条的每一格进行喷涂,当喷头对指定的
第 㤵1 ≤ ≤ 格喷涂时,该格被染成黑色,同时与第 格相邻的左侧方格和右
【最新精选】2016年第3届中国东南数学奥林匹克试题及答案

第三屆中國東南地區數學奧林匹克第一天(2006年7月27日, 8:00-12:00, 南昌)一、 設0,a b >>2()2()4a b x abf x x a b++=++.證明:存在唯一的正數x ,使得11333()()2a b f x +=.二、 如圖所示,在△ABC 中,90,,A B C D G ∠=︒是邊CA 上的兩點,連接BD ,BG 。
過點A ,G 分別作BD 的垂線,垂足分別為E ,F ,連接CF 。
若BE =EF ,求證:ABG DFC ∠=∠。
三、 一副紙牌共52張,其中“方塊”、“梅花”、“紅心”、“黑桃”每種花色的牌各13張,標號依次是2,3,,10,,,,J Q K A ,其中相同花色、相鄰標號的兩張牌稱為“同花順牌”,並且A 與2也算是順牌(即A 可以當成1使用). 試確定,從這副牌中取出13張牌,使每種標號的牌都出現,並且不含“同花順牌”的取牌方法數。
四、 對任意正整數n ,設n a 是方程31xx n+=的實數根,求證: (1) 1n n a a +>; (2) 211(1)nn i ia i a =<+∑。
第二天(2006年7月28日, 8:00-12:00, 南昌)五、 如圖,在ABC ∆中,60A ∠=︒,ABC ∆的內切圓I 分別切邊AB 、AC 於點D 、E ,直線DE 分別與直線BI 、CI 相交於點F 、G ,證明:12FG BC =。
BA六、 求最小的實數m ,使得對於滿足a +b +c =1的任意正實數a ,b ,c ,都有333222(61m a b c a b c ++≥+++)()。
七、 (1)求不定方程2()mn nr mr m n r ++=++的正整數解(,,)m n r 的組數。
(2)對於給定的整數k >1,證明:不定方程()mn nr mr k m n r ++=++至少有3k +1組正整數解(,,)m n r 。
历届东南数学奥林匹克试题

目录2004年东南数学奥林匹克 (2)2005年东南数学奥林匹克 (4)2006年东南数学奥林匹克 (6)2007年东南数学奥林匹克 (9)2008年东南数学奥林匹克 (11)2009年东南数学奥林匹克 (14)2010年东南数学奥林匹克 (16)2011年东南数学奥林匹克 (18)2012年东南数学奥林匹克 (20)2004年东南数学奥林匹克1.设实数a、b、c满足a2+2b2+3c2=32,求证:3−a+9−b+27−c≥1.2.设D是△ABC的边BC上的一点,点P在线段AD上,过点D作一直线分别与线段AB、PB交于点M、E,与线段AC、PC的延长线交于点F、N.如果DE=DF,求证:DM=DN.3.(1)是否存在正整数的无穷数列{a n},使得对任意的正整数n都有a n+12≥2a n a n+2.(2)是否存在正无理数的无穷数列{a n},使得对任意的正整数n都有a n+12≥2a n a n+2.4.给定大于2004的正整数n,将1,2,3,⋯,n2分别填入n×n棋盘(由n行n列方格构成)的方格中,使每个方格恰有一个数.如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数,且大于它所在列至少2004个方格内所填的数,则称这个方格为“优格”.求棋盘中“优格”个数的最大值.5.已知不等式√2(2a+3)ccc(θ−π4)+6ssnθ+ccsθ−2csn2θ<3a+ 6对于θ∈�0,π2�恒成立,求a的取值范围.6.设点D为等腰△ABC的底边BC上一点,F为过A、D、C三点的圆在△ABC内的弧上一点,过B、D、F三点的元与边AB交于点E.求证:CD⋅EE+DE⋅AE=AD⋅AE.7.N支球队要矩形主客场双循环比赛(每两支球队比赛两场,各有一场主场比赛),每支球队在一周(从周日到周六的七天)内可以进行多场客场比赛.但如果某周内该球队有主场比赛,在这一周内不能安排该球队的客场比赛.如果4周内能够完成全部比赛,球n的值.注:A、B两队在A方场地矩形的比赛,称为A的主场比赛,B的客场比赛.8.求满足x−y x+y+y−z y+z+z−u z+u>0,且1≤x、y、z、u≤10的所有四元有序整数组(x,y,z,u)的个数.2005年东南数学奥林匹克1.(1)设a∈R.求证:抛物线y=x2+(a+2)x−2a+1都经过一个顶点,且顶点都落在一条抛物线上.(2)若关于x的方程y=x2+(a+2)x−2a+1=0有两个不等实根,求其较大根的取值范围.(吴伟朝供题)2.⊙O与直线l相离,作OO⊥l,P为垂足.设点Q是l上任意一点(不与点P重合),过点Q作⊙O的两条切线QA、QB,A、B为切点,AB与OP相交于点K.过点P作OP⊥QB,ON⊥QA,M、N为垂足.求证:直线MN平分线段KP.(裘宗沪供题)3.设n(n≥3)是正整数,集合P={1,2,⋯,2n}.求最小的正整数k,使得对于M的任何一个k元子集,其中必有4个互不相同的元素之和等于4n+1.(张鹏程供题)4.试求满足a2+b2+c2=2005,且a≤b≤c的所有三元正整数数组(a,b,c).(陶平生供题)5.已知直线l与单位圆⊙O相切于点P,点A与⊙O在直线l的,且A到直线l的距离为ℎ(ℎ>2),从点A作⊙O的两条切线,分别与直线l交于B、C两点.求线段PB与线段PC的长度之乘积.(冷岗松司林供题)6.将数集A=�a1,a2,⋯,a n�中所有元素的算术平均值记为O(A)�O(A)=a1+a2+⋯+a n n�.若B是A的非空子集,且P(B)=P(A),则称B是A的一个“均衡子集”.试求数集P={1,2,3,4,5,6,7,8,9}的所有“均衡子集”的个数.(陶平生供题)7.(1) 讨论关于x的方程|x+1|+|x+2|+|x+3|=a的根的个数;(2) 设a1,a2,⋯,a n为等差数列,且|a1|+|a2|+⋯+|a n|=|a1+1|+|a2+1|+⋯+|a n+1|=|a1−2|+|a2−2|+⋯+|a n−2|=507.求项数n的最大值.(林常供题)8.设0<α、β、γ<π2,且csn3α+csn3β+csn3γ=1.求证tan2α+tan2β+tan2γ≥3√32.(李胜宏供题)2006年东南数学奥林匹克1. 设a >b >0,f (x )=2(a+b )x+2ab 4x+a+b .证明:存在唯一的正数x ,使得f (x )=�a 13+b 132�3. (李胜宏 供题)2. 如图1,在△ABC 中,∠ABC =90°,D 、G 是边CA 上的亮点,连结BD 、BG .过点A 、G 分别作BD 的垂涎,垂足分别为E 、F ,连结CF .若BE =EE ,求证:∠ABG =∠DEC .图13. 一副纸牌共52张,其中,“方块”、“梅花”、“红心”、“黑桃”每种花色的牌个13张,标号依次是2,3,⋯,10,J ,Q ,K ,A .相同花色、相邻标号的两张牌称为“同花顺”牌,并且A 与2也算同花顺牌(即A 可以当成1使用).试确定,从这副牌中取出13张牌,使每种标号的牌都出现,并且不含同花顺取牌方法数.(陶平生 供题)4. 对任意正整数n ,设a n 是方程x 3+x n =1的实数根.求证: (1) a n+1>a n ;(2) ∑1(s+1)a i n s=1<a n .(李胜宏 供题)5. 如图2,在△ABC 中,∠A =60°,△ABC 的内切圆⊙I 分别切边AB 、AC 于点D 、E ,直线DE 分别与直线BI 、CI 相交于点F 、G .证明:EG =12BC .图2 6. 求最小的实数m ,使得对于满足a +b +c =1的任意正实数a 、b 、c ,都有m (a 3+b 3+c 3)≥6(a 2+c 2+c 2)+1. (熊 斌 供题)7. (1) 求不定方程mn +nn +mn =2(m +n +n )的正整数解(m ,n ,n )的组数; (2) 对于给定的整数k (k >1),证明:不定方程mn +nn +mn =k (m +n +n )至少有3k +1组正整数解(m ,n ,n ). (吴伟朝 供题) 8. 对于周长为n (n ∈N +)的圆,称满足如下条件的最小的正整数p n 个点A 1,A 2,⋯,A p n ,对于1,2,⋯,n −1中的每一个整数m ,都存在两个点A s 、A j (1≤s 、j ≤p n ).以A s 和A j 为端点的一条弧长等于m ,圆周上每相邻两点间的弧长顺次构成的序列T n =�a 1,a 2,⋯,a p n �称为“圆剖分序列”.列入,当n =13,圆剖分数为p 13=4,图3中所标数字为相B邻两点之间的弧长,圆剖分序列为T 13=(1,3,2,7), (1,2,6,4),求p 21和p 31,并给出一个相应的圆剖分序列.图3(陶平生 供题)73112007年东南数学奥林匹克1. 试求实数a 的个数,使得对于每个a ,关于x 的三次方程x 3=ax +a +1都有满足|x |<1000的偶数根.2. 如图1所示,设C 、D 是以O 为圆心、AB 为半径的半圆上的任意两点,过点B 作⊙O 的切线交直线CD 于P ,直线PO 于直线CA ,AD 分别交于点E 、F .证明:OE =OF .图13. 设a s =msn �k +s k �k ∈N ∗�,试求S n 2=[a 1]+[a 2]+⋯+[a n 2]的值.4. 试求最小的正整数n ,使得对于满足条件∑a s n s=1=2007的任一个具有n 项的正整数数列a 1,a 2,⋯,a n ,其中必有连续若干项之和等于30. 5. 设函数f (x )满足:f (x +1)−f (x )=2x +1(x ∈R ),且当x ∈[0,1]时有|f (x )|≤1,证明:当x ∈R 时,有|f (x )|≤2+x 2.6. 如图,在直角三角形ABC 中,D 是斜边AB 的中点,PB ⊥AB ,MD 交AC 于N ;MC 的延长线交AB 于E .证明:∠DBN =∠BCE .7. 试求满足下列条件的三元数组(a ,b ,c ):E(1) a<b<c,且当a,b,c为质数;(2) a+1,b+1,c+1构成等比数列.8.设正实数a,b,c满足:abc=1,求证:对于整数k≥2,有a k a+b+b k b+c+c k c+a≥32.2008年东南数学奥林匹克1.已知集合S={1,2,⋯,3n},n是正整数,T是S的子集,满足:对任意的x、y、z∈T(x、y、z可以相同),都有x+y+z∉T.求所有这种集合T的元素个数的最大值.(李胜宏供题)2.设数列{a n}满足a1=1,a n+1=2a n+n(1+2n)(n=1,2,⋯).试求通项a n的表达式.(吴伟朝供题)3.在△ABC中,BC>AB,BD平分∠ABC交AC于点D,AQ⊥BO,垂足为Q,M是边AC的中点,E是边BC的中点.若△PQM的外接圆⊙O与AC的另一个交点为H.求证:O、H、E、M四点共圆.(郑仲义供题)4.设正整数m、n≥2,对于任一个n元整数集A=�a1,a2,⋯,a n�,取每一对不同的数a s、a j(j>s),作差a j−a s.由这C n2个差按从小到大.衍生数列顺序排成的一个数列,称为集合A的“衍生数列”,记为A生A生中能被m整除的数的个数记为A生(m).5.证明:对于任一正整数m(m≥2),n圆整数集A=�a1,a2,⋯,a n�及B={1,2,⋯,n}所对应的A生及B生,满足不等式A生(m)≥B生(m)(陶平生供题)6.求出最大的正数λ,使得对于满足x2+y2+z2=1的任何实数x、y、z成立不等式|λxy+yz|≤√52. (张正杰供题)7. 如图1,△ABC 的内切圆⊙I 分别切BC 、AC 于点M 、N ,E 、F 分别为边AB 、AC 的中点,D 是针线EF 于BI 的交点.证明:M 、N 、D 三点共线.图1(张鹏程 供题) 8. 杰克(Jack )船长与他的海盗们掠夺到6个珍宝箱A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6,其中A s (s =1,2,⋯,6)内有金币a s 枚(诸a s 互不相等).海盗们设计了一种箱子的布局图(如图2),并推派一人和船长轮流拿珍宝箱.每次可任意拿走不与两个或两个以上的箱子相连的整个箱子.如果船长最后所取得的金币不少于海盗们所取得的金币,那么船长获胜.问:若船长先拿,他是否有适当的取法保证获胜?图2 (孙文先 供题)9. 设n 为正整数,f (n )表示满足以下条件的n 位数(称为波形数)a 1a 2⋯a n �������������的个数:a 1a 2 a 3 a 4a 6 a 5i.每一位数码a s∈{1,2,3,4},且a s≠a s+1(s=1,2,⋯);ii.当n≥3时,a s−a s+1与a s+1−a s+2(s=1,2,⋯)的符号相反.(1)求f(10)的值;(2)确定f(2008)被13除得的余数.(陶平生供题)2009年东南数学奥林匹克1.试求满足方程x2−2xy+126y2=2009的所有整数对(x,y).(张鹏程供题)2.在凸五边形ABCDE中,已知AB=DE,BC=EA,AB≠EA,且B、C、D、E四点共圆.证明:A、B、C、D四点共圆的充分必要条件是AC=AD.(熊斌供题)3.设x,y,z∈R+,√a=x(y−z)2,√b=y(z−x)2,√c=z(x−y)2;求证:a2+b2+c2≥2(ab+bc+ca). (唐立华供题)4.在一个圆周上给定十二个红点;求n的最小值,使得存在以红点为顶点的n个三角形,满足:以红点为顶点的每条弦,都是其中某个三角形的一条边.(陶平生供题)5.设1,2,⋯,9的所有排列X=�x1,x2,⋯,x9�的集合为A;∀X∈A,记f(X)=x1+2x2+3x3+⋯+9x9,P={f(X)|X∈A};求|P|. (其中|P|表示集合M的元素个数).6.已知⊙O、⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆;证明:过⊙O上的任意一点D,都可作一个△DEF,使得⊙O、⊙I分别是△DEF的外接圆和内切圆.(陶平生供题)7.设f(x,y,z)=x(2y−z)1+x+3y+y(2z−x)1+y+3z+z(2x−y)1+z+3x,其中x,y,z≥0,且x+y+z=1.求f(x,y,z)的最大值和最小值.(李胜宏供题)8.在8×8方格表中,最少需要挖去几个小方格,才能使得无法从剩余的方格表中裁剪出一片形状如下完整的T型五方连块?(孙文先供题)2010年东南数学奥林匹克1. 设a 、b 、c ∈{0,1,⋯9}.若二次方程ax 2+bx +c =0有有理根,证明:三位数abc�����不是质数. (张鹏程 供题)2. 对于集合A ={a 1,a 2,⋯,a m },记O (A )=a 1a 2⋯a m .设A 1,A 2,⋯A n (n =C 201099)是集合{1,2,⋯,2010}的所有99元子集.求证:2011|∑O (A s )n s=1. (叶永南 供题)3. 如图1,已知△ABC 内切圆⊙I 分别与边AB 、BC 切于点F 、D ,之心啊AD 、CF 分别于⊙I 交于另一点H 、K.求证:FD⋅HK FH⋅DK =3.图1 (熊 斌 供题)4. 设正整数a 、b 满足1≤a <b ≤100.若存在正整数k ,使得ab |a k +b k ,则称数对(a ,b )是“好数对”.求所有好数对的个数.(熊 斌 供题)5. 如图2,△ABC 为直角三角形,∠ACB =90°,M 1、M 2为△ABC 内任意两点,M 为线段M 1M 2的中点,直线BM 1、BM 2、BM 与AC 分别交于点N 1、N 2、N.求证:M 1N 1BM 1M 2N 2BM 22MN BM .图2 (裘宗沪 供题)6. 设Z +为正整数集合,定义:a 1=2,a n+1=msn �λ�∑1a i n s=1+1λ<1,λ∈Z +�(n =1,2,⋯). 求证:a n+1=a n 2−a n +1. (李胜宏 供题)7. 设n 是一个正整数,实数a 1,a 2,⋯,a n 和n 1,n 2,⋯,n n 满足:a 1≤a 2≤⋯≤a n 和n 1≤r 2≤⋯≤n n .求证:∑∑==≥n i nj j i j i r r a a 110),min((朱华伟 供题)8. 在一个圆周上给定8个点A 1,A 2,⋯,A 8.求最小的正整数n ,使得以这8个点为顶点的任意n 个三角形中,必存在两个有公共边的三角形.(陶平生 供题)21B2011年东南数学奥林匹克1.已知min x∈R ax2+b√x2+1=3.(1)求b的取值范围;(2)对给定的b,求a.2.已知a、b、c为两两互质的正整数,且a2|(b3+c3),b2|(a3+ c3),c2|(a3+b3)求a、b、c的值.3.设集合P={1,2,3,⋯,50},正整数n满足:M的任意一个35元子集中至少存在两个不同的元素a,b,使a+b=n或a−b=n.求出所有这样的n.4.如图1,过△ABC的外心O任作一直线,分别与边AB,AC相交于M,N,E,F分别是BN,CM的中点.证明:∠EOE=∠A.图15. 如图2,设AA0,BB0,CC0是△ABC的三条角平分线,自A0作A0A1∥BB0,A0A2∥CC0,A1,A2分别在AC,AB上,直线A1A2∩BC=A3;类似得到点B3,C3.证明:A3,B3,C3三点共线.图26.设O 1,O 2,⋯,O n 为平面上n 个定点,M 是该平面内线段AB 上任一点,记|O s P |为点O s 与M 的距离,s =1,2,3,⋯,n ,证明:≤∑∑∑===ni i ni i n i i B P A P M P 111,max . 7.设数列{a n }满足:a 1=a 2=1,a n =7a n−1−a n−2,n >3.证明:对于每个n ∈N ∗,a n +a n+1+2皆为完全平方数.8.将时钟盘面上标有数字1,2,⋯,12的十二个点,分别用红、黄、蓝、绿四种颜色各染三个点,现以这些点为顶点构造n 个凸四边形,使其满足:(1) 每个四边形的四个顶点四色都有;(2) 任何三个四边形,都存在某一色,该色的三个顶点所标数字各不相同.求n 的最大值.32012年东南数学奥林匹克1. 求一个三元整数组(l ,m ,n )(1<l <m <n ),使得∑k l k=1,∑k m k=l+1,∑k n k=m+1依次成等比数列.2. 如图1,△ABC 的内切圆I 在边AB ,BC ,CA 上的切点分别是D ,E ,F ,直线EF 与直线AI ,BI ,DI 分别相交于点M ,N ,K .证明:DP ⋅KE =DN ⋅KE .图1 3. 对于合数n ,记f (n )为其最小的三个正约数之和,g (n )为其最大的两个正约数之和.求所有的正合数n ,使得g (n )等于f (n )的某个正整数次幂.4. 已知实数a ,b ,c ,d 满足:对任意实数x ,均有acccx +bccc 2x +cccc 3x +dccc 4x ≤1, 求a +b -c +d 的最大值.当a +b -c +d 取最大值时,求实数a ,b ,c ,d 的值.5. 如果非负整数m 及其各位数字之和均为6的倍数,则称m 为“六合数”.求小于2012的非负整数中“六合数”的个数.6. 求正整数n 的最小值,使得A东南数学奥林匹克�n−20112012−�n−20122011<�n−201320113−�n−201120133.7.如图2,△ABC中,D为边AC上一点且∠ABD=∠C,点E在边AB上且BE=DE,设M为CD重点,AA⊥DE于点H.已知AA=2−√3,AB=1,求∠APE的度数.图2设m是正整数,n=2m−1,O n={1,2,⋯,n}为数轴上n个点所成的集合.一个蚱蜢在这些点上跳跃,每步从一个点跳到与之相邻的点.求m的最大值,使对任意x,y∈O n,从点x跳2012步到点y的跳法种数为偶数(允许中途经过点x,y).。
2004年首届中国东南地区数学奥林匹克竞赛考试试题

首届中国东南地区数学奥林匹克竞赛试题第一天(2004年7月10日 8:00 — 12:00 温州)一、设实数a 、b 、c 满足2223232a b c ++=,求证:39271a b c---++≥ 二、设D 是ABC ∆的边BC 上的一点,点P 在线段AD 上,过点D 作一直线分别与线段AB 、PB 交于点M 、E ,与线段AC 、PC 的延长线交于点F 、N 。
如果DE=DF , 求证:DM=DN三、(1)是否存在正整数的无穷数列{}n a ,使得对任意的正整数n 都有2122n n n a a a ++≥。
(2)是否存在正无理数的无穷数列{}n a ,使得对任意的正整数n 都有2122n n n a a a ++≥。
四、给定大于2004的正整数n ,将1、2、3、…、2n 分别填入n ×n 棋盘(由n 行n 列方格构成)的方格中,使每个方格恰有一个数。
如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数,且大于它所在列至少2004个方格内所填的数,则称这个方格为“优格”。
求棋盘中“优格”个数的最大值。
第二天(2004年7月11日 8:00 — 12:00 温州)五、已知不等式63)cos()2sin 2364sin cos a a πθθθθ+-+-<++对于0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立,求a 的取值范围。
六、设点D 为等腰ABC ∆的底边BC 上一点,F 为过A 、D 、C 三点的圆在ABC ∆内的弧上一点,过B 、D 、F 三点的圆与边AB 交于点E 。
求证:CD EF DF AE BD AF ⋅+⋅=⋅七、n 支球队要举行主客场双循环比赛(每两支球队比赛两场,各有一场主场比赛),每支球队在一周(从周日到周六的七天)内可以进行多场客场比赛。
但如果某周内该球队有主场比赛,在这一周内不能安排该球队的客场比赛。
如果4周内能够完成全部比赛,球n 的最大值。
注:A 、B 两队在A 方场地举行的比赛,称为A 的主场比赛,B 的客场比赛。
全国中学生数学奥林匹克获奖竞赛(决赛)获奖名单

全国中学生数学奥林匹克获奖竞赛(决赛)获奖名单一等奖:
1. 张晨睿,江苏省江阴市第二中学
2. 李佳豪,江苏省无锡市第一中学
3. 吴凡,江苏省南京市第五中学
4. 郑英博,江苏省南通市第六中学
5. 胡晓楠,江苏省常州市第八中学
6. 李瑞婷,江苏省苏州市第十中学
7. 王若曦,江苏省南京市第十一中学
8. 杨芊晴,江苏省宿迁市第十三中学
9. 张翔,江苏省扬州市第十五中学
10. 黄晓婷,江苏省南京市第十六中学
二等奖:
1. 吴晨曦,江苏省淮安市第三中学
2. 陈宇轩,江苏省常州市第五中学
3. 陈瑞珊,江苏省南京市第六中学
4. 陈晓瑞,江苏省宿迁市第七中学
5. 袁艺洋,江苏省苏州市第八中学
6. 杨子瑞,江苏省南京市第九中学
7. 王梦凡,江苏省常州市第十一中学
8. 郑芷瑶,江苏省连云港市第十二中学
9. 李宇婷,江苏省无锡市第十三中学
10. 周思涵,江苏省南京市第十四中学。
2004年第1届中国东南数学奥林匹克试题及答案

首届中国东南地区数学奥林匹克第一天(2004年7月10日 8:00 — 12:00 温州)一、 设实数a 、b 、c 满足2223232a b c ++=,求证:39271a b c ---++≥二、 设D 是ABC ∆的边BC 上的一点,点P 在线段AD 上,过点D 作一直线分别与线段AB 、PB 交于点M 、E ,与线段AC 、PC 的延长线交于点F 、N 。
如果DE=DF ,求证:DM=DN 三、 (1)是否存在正整数的无穷数列{}n a ,使得对任意的正整数n 都有2122n n n a a a ++≥。
(2)是否存在正无理数的无穷数列{}n a ,使得对任意的正整数n 都有2122n n n a a a ++≥。
四、 给定大于2004的正整数n ,将1、2、3、…、2n 分别填入n ×n 棋盘(由n 行n 列方格构成)的方格中,使每个方格恰有一个数。
如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数,且大于它所在列至少2004个方格内所填的数,则称这个方格为“优格”。
求棋盘中“优格”个数的最大值。
第二天(2004年7月11日 8:00 — 12:00 温州)五、63)cos()2sin 2364sin cos a a πθθθθ+-+-<++对于0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立,求a 的取值范围。
六、 设点D 为等腰ABC ∆的底边BC 上一点,F 为过A 、D 、C 三点的圆在ABC∆内的弧上一点,过B 、D 、F 三点的圆与边AB 交于点E 。
求证:CD EF DF AE BD AF ⋅+⋅=⋅ 七、 n 支球队要举行主客场双循环比赛(每两支球队比赛两场,各有一场主场比赛),每支球队在一周(从周日到周六的七天)内可以进行多场客场比赛。
但如果某周内该球队有主场比赛,在这一周内不能安排该球队的客场比赛。
如果4周内能够完成全部比赛,求n 的最大值。
注:A 、B 两队在A 方场地举行的比赛,称为A 的主场比赛,B 的客场比赛。
东南数学奥林匹克竞赛2023试题

东南数学奥林匹克竞赛2023试题【第一节】选择题1. 设函数$f(x) = \frac{3^x}{3^x + 1}$,其中$x$为实数。
若$2^a +2^b = 8$,则$f(a) + f(b)$的值是多少?【第二节】填空题2. 已知数列$\{a_n\}$满足$a_1 = 1$,$a_2 = 2$,$a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$,则$a_{2023}$等于多少?【第三节】解答题3. 在平面直角坐标系内,过点$(a,b)$且与$x$轴和$y$轴的夹角均为$45$度的直线上,存在一点$(c,d)$,使得点$(a,b)$和 $(c,d)$的坐标和均为整数。
求所有满足条件的整数$a$和$b$的取值范围。
【第四节】证明题4. 设$a$、$b$、$c$为正实数,且满足$a+b+c=1$。
证明:$\frac{a}{a^2+b}+\frac{b}{b^2+c}+\frac{c}{c^2+a} \geq \frac{9}{10}$。
【第五节】应用题5. 设$n$为$100$的倍数,且满足$n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n$,其中$a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$为$n$的正因子。
求$n$的最小值。
【第六节】综合题6. 给定正整数$n > 1$,证明:方程$x^2 - (n^2 - 3n + 3)x + (n-2)^2 = 0$在有理数域上无解。
【第七节】拓展题7. 设$a_1, a_2, \ldots, a_n$为正整数,且满足$a_1 < a_2 < \ldots <a_n$。
若存在无穷多个正整数$N$,使得恰有$k$个$a_i$能整除$N$,其中$k$为一个给定的正整数,求证:存在一个正整数$l$,使得对于所有的$i=1,2,\ldots,n$,都有$a_{i+l} - a_i \geq k$。
以上是东南数学奥林匹克竞赛2023的试题,希望对你有所帮助。
三角形内切圆的几个结论及应用

当C G上 A G时 , 结 H 联 由 上 A 知 A G F、 B, 、 、 ,四点 共 圆.
又 为内心 , 则
AFG =
,
结论 1 如 图 1 △ A C的 内切 圆 o, , B 分 别 切边 B C A C、A、B于点 D、 F, E、 . s和 、 和 N、 G和 日分 别 为角平 分 线 A 、 、 所 在 直 ,
j
HC + C A= B H+ C B A C A=9 B 0。
C H上 A B
j H为△ A C的垂 心. B
必要 性.
当 日为 △ A C的垂心 时 , B 由
21 0 2年第 6 期
A
A
9
E 图8
C
图 7
证 明 设 A B △ A 的 内切 圆 与 A X、 C
BH BF BD 疋 ’ CH —CE — C ‘ D
B C上 的 高 线 A 与 F 交 于 点 则 日 为 P E △A C B 的垂心 的充分 必要条 件是 D j F . H - E
证明 如 图 5 不 妨设 A A . , B> C
从 而 , H平 分 B C D H.
由 C =C F E
/ T DE = T ED = C E F
B X分别 切 于点 D、 与 A F, 分 别 切 于 点 E 、
G 则 D ∥F , D 、 G与 A B的平分线 . E G且 E F X
垂直.
o /c 历 T/ c G D=
.
又 由结论 4知丽 B E=
BA = H HC = C HCC
从而 , 、 四点共 圆. M、 、 例 2 如 图 7 已知 △ A C X是直 线 B , B , C 上 的动点 , 且点 C在 点 B、f 间 , △ A X、 J之 ] j 又 B △ A X 的内切 圆有 两个 不 同 的交 点 P、 . C Q 证 明 :Q经过一 个不依 赖 于 的定 点. P ( 4 第 5届 I MO预选题 )
2004-2015东南数学奥林匹克试题及解答

参考答案
一 、由柯西不等式 ,有
( a + 2 b + 3 c) 2
≤(
2
1+
2
2+
2
3 )[(
1 a) 2 + (
2 b) 2 + (
3 c) 2 ] = 9 ,
则 a + 2 b + 3 c ≤3.
所以 ,3 - a + 9 - b + 27 - c ≥3 3 3 - ( a + 2 b + 3 c)
列的第 1 , 2 , …, i , n + i - 2 003 , n + i - 2 002 , …, n 行中有“ 3 ”. 当 i ≥2 004 时 , 第 i 列的第 i - 2 003 ,
i - 2 002 、…、i 行中有“ 3 ”. 所以 ,每行有 2 004 个方
格有“ 3 ”,每列也有 2 004 个方格有“ 3 ”. 所以 ,棋盘中“优格”个数的最大值是 n( n - 2 004) . 五 、设 sin θ+ cos θ= x. 则
格中填的数大于有“ 3 ”的方格中的任何一个数 , 所
以 ,棋盘 上 没 有“ 3 ”的 方 格 都 为“行 优 格”, 共 有
n ( n - 2 004) 个.
此时 ,每 行 有 2 004 个 方 格 有“ 3 ”, 每 列 也 有 2 004 个方格有“ 3 ”. 实际上 ,当 1 ≤i ≤2 003 时 ,第 i
①
因为 x ∈[1 , 2 ] ,所以 ,2 x - 3 < 0.
不等式 ①恒成立等价于
x+
2 x
-
a < 0 ( x ∈[1 ,
第十五届中国东南地区数学奥林匹克获奖名单(高一年级)

程锐诚 杨天行 张瑾
高一 高一 高一
二 二 二
115
陕西西安铁一中学
谢泽钰 高一
二
116 117 118
四川成都嘉陕祥西外西国安语铁学一校中(学含北城、成 华、达州四、川锦省江绵、阳郫中县学校区 )
王可尚 吴思宏 王力
高一 高一 高一
二 二 二
119
泰国代表队
NATCHAN 高一
魏欣悦
高一
一
9
广东华南师大附属中学
饶睿
高一
一
10
广东华南师大附属中学
唐语阳
高一
一
11
广东华南师大附属中学
李其璋
高一
一
12
广东深圳实验学校高中部
张泽豪
高一
一
13
广东深圳外国语学校
李东睿
高一
一
14 15 16
广州大学附属中学(大学城、黄华路校 广州大学附属中学区()大学城、黄华路校
河北衡水区第)一中学
曾相如 李思博 肖振超
第十五届中国东南地区数学奥林匹克获奖名单(高一年)
序号
学校名称
学生姓名 年级 获奖等第
1
安徽合肥一六八中学
陈昶旭
高一
一
2
北京第十二中学(含钱学森学校)
毕寅奥
高一
一
3
北京四中
魏泽明
高一
一
4
福建莆田一中
陈路晰
高一
一
5
福建莆田一中
杨智杰
高一
一
6
福建泉州五中
林冠儒
高一
一
7
福建师大附中
介绍一个组合问题

21 0 0年 8月 1 6日至 2 日, 2 由台湾 九章
数学 教育基 金会 和彰化 师范大学 数学 系承 办
从 大到小 依 次 考 虑 C的结 构 , 生相 应 产
的 m、 k n、 .
的第 七届 东 南 地 区 数 学 奥 林 匹 克 在 台 湾举
于是 , 共得 到 以下 5 0个 勾 股 数 组 , 它们 构 成集合 P:
( 5 6 ,5 , 4 ,5 7 ) (8 6 8 ) 4 ,0 7 ) ( 8 5 ,3 ,4 ,4,0 , ( l 6 ,5 , 5 ,2 9 ) (7 7 9 ) 5 ,8 8 ) ( 4 7 ,0 ,5 ,6,5 ,
( 0 6 ,7 , 6 ,2 9 ) 6 ,3 8 ) ( 5 7 ,7 .
组勾 股数 , 中 的三 在命题时 , 考虑到 2 1 00年适逢
辛 亥革命 9 年 , 9周 故将 集 合 设 为 9 元 9个
( 0 4 ,8 , 4 ,5 8 ) ( 2 5 7 ) 4 ,2 5 ) ( 0 7 ,5 ,4 ,6,0 ,
每种 颜 色 的 数各 有 3 3个 , 为 集 合 M 的一 称 个“ 三色 划 分 ” 对 以下 三 个 命 题 , 给 出证 . 请
明或予 以否 定 :
( ,0 4 ) ( 0 2 ,6 , 1 ,0 6 ) 9 4 ,1 , 1 ,4 2 ) ( 16 ,1 ,
( 2 l ,0 , 1 ,5 3 ) ( 3 8 ,5 , 1 ,6 2 ) ( 2 3 ,7 , 1 ,4 8 ) (4,8 5 ) ( 5 2 2 ) ( 5 3 ,9 , 1 4 ,0 , 1 ,0,5 , 1 ,6 3 ) (6,0 3 ) ( 6 6 6 ) ( 8 2 ,0 , 1 3 ,4 , 1 ,3,5 , 1 ,4 3 )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
1首届中国东南地区数学奥林匹克第一天(2004年7月10日 8:00 — 12:00 温州)一、 设实数a 、b 、c 满足2223232a b c ++=,求证:39271a b c ---++≥二、 设D 是ABC ∆的边BC 上的一点,点P 在线段AD 上,过点D 作一直线分别与线段AB 、PB 交于点M 、E ,与线段AC 、PC 的延长线交于点F 、N 。
如果DE=DF ,求证:DM=DN 三、 (1)是否存在正整数的无穷数列{}n a ,使得对任意的正整数n 都有2122n n n a a a ++≥。
(2)是否存在正无理数的无穷数列{}n a ,使得对任意的正整数n 都有2122n n n a a a ++≥。
四、 给定大于2004的正整数n ,将1、2、3、…、2n 分别填入n ×n 棋盘(由n 行n 列方格构成)的方格中,使每个方格恰有一个数。
如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数,且大于它所在列至少2004个方格内所填的数,则称这个方格为“优格”。
求棋盘中“优格”个数的最大值。
第二天(2004年7月11日 8:00 — 12:00 温州) 五、 已知不等式62(23)cos()2sin 2364sin cos a a πθθθθ+-+-<++对于0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立,求a 的取值范围。
六、 设点D 为等腰ABC ∆的底边BC 上一点,F 为过A 、D 、C 三点的圆在ABC∆内的弧上一点,过B 、D 、F 三点的圆与边AB 交于点E 。
求证:CD EF DF AE BD AF ⋅+⋅=⋅ 七、 n 支球队要举行主客场双循环比赛(每两支球队比赛两场,各有一场主场比赛),每支球队在一周(从周日到周六的七天)内可以进行多场客场比赛。
但如果某周内该球队有主场比赛,在这一周内不能安排该球队的客场比赛。
如果4周内能够完成全部比赛,求n 的最大值。
注:A 、B 两队在A 方场地举行的比赛,称为A 的主场比赛,B 的客场比赛。
八、 求满足0x y y z z ux y y z z u---++>+++,且110xy z u ≤≤、、、的所有四元有序整数组(,,,x y z u )的个数。
2答案一、 由柯西不等式,()2222222(23)(123)(1)(2)(3)9a b c a b c ++≤++++= 所以,233a b c ++≤,所以 (23)333392733331a b c a b c ----++-++≥≥= 二、 证明:对AMD ∆和直线BEP 用梅涅劳斯定理得:1(1)AP DE MBPD EM BA⋅⋅=, 对AFD ∆和直线NCP 用梅涅劳斯定理得:1(2)AC FN DP CF ND PA ⋅⋅=, 对AMF ∆和直线BDC 用梅涅劳斯定理得:1(3)AB MD FC BM DF CA⋅⋅=(1)(2)(3)式相乘得:1DE FN MDEM ND DF⋅⋅=,又DE=DF ,所以有DM DNDM DE DN DE =--,所以DM=DN 。
三、 (1)假设存在正整数数列{}n a 满足条件。
2121222212312,0,11...,3,4,....,222n n n n n n n n n n n a a a a a a a a n a a a a ++------≥>1∴≤⋅≤⋅≤≤⋅= 又2222111,2a a a a -≤⋅所以有221112n n n a aa a --≤⋅对n =2,3,4,…成立。
222221222(2)(3)(2)(3) (1111111)...222n n n n n n n n n a a a a a a a a a a -----+--+-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴≤≤⋅⋅≤≤⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⋅所以122222112n n n n a a a ---⎛⎫≤⋅ ⎪⎝⎭。
设212[2,2),k k a k N +∈∈,取3N k =+,则有1221222221111121122N k k N N N k k a a a a -++--++⎛⎫⎛⎫≤⋅<⋅≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,这与N a 是正整数矛盾。
所以不存在正整数数列{}n a 满足条件。
FAB D CP M N3(2)(1)(2)2n n n a π--=为满足条件的一个无理数数列,212242n n n n n a a a a a +++=≥。
四、 为叙述方便,如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格中所填的数,则称此格为行优的。
由于每一行中填较小的2004个数的格子不是行优的,所以每一行中有n -2004个行优的。
一个方格为“优格”一定是行优的,所以棋盘中“优格”个数不大于(2004)n n -。
另一方面,将棋盘的第i (1,2,3,...,)i n =行,第 1...2003i i i ++、、、(大于n 时取模n 的余数)列中的格子填入“*”。
将1、2、3、…、2004n 填入有“*”的格子,其余的数填入没有“*”的格子。
没有“*”的格子中填的数大于有“*”的格子中任何一个数,所以棋盘上没有“*”的格子都为“优格”,共有(2004)n n -个。
此时每行有2004个格子有“*”,每列也有2004个格子有“*”(如图)。
实际上,当12003i ≤≤时,第i 列的第1、2、…、i 、n +i -2003、n +i -2002、...、n 行中有“*”。
当2004i ≥时,第i 列的第i -2003、i -2002、...、i 行中有“*”。
所以每行有2004个格子有“*”,每列也有2004个格子有“*”(如图)* * ** * * * * * * * * * * * * * * * * * ***所以棋盘中“优格”个数的最大值是(2004)n n -。
五、 设sin cos x θθ+=,则22cos(),sin 21,1,242x x x πθθ⎡⎤-==-∈⎣⎦ 从而原不等式可化为:26(23)2(1)36a x x a x++--<+即2622223340,2()3()0x ax x a x x a x a x x x---++>+--+->,()2(23)01,2(1)x x a x x ⎛⎫⎡⎤-+->∈ ⎪⎣⎦⎝⎭∴ 原不等式等价于不等式(1)1,2,230x x ⎡⎤∈∴-<⎣⎦不等式(1)恒成立等价于()201,2x a x x⎡⎤+-<∈⎣⎦恒成立。
4从而只要max 2()(1,2)a x x x⎡⎤>+∈⎣⎦。
又容易知道2()f x x x =+在1,2⎡⎤⎣⎦上递减,max 2()3(1,2)x x x⎡⎤∴+=∈⎣⎦。
所以3a >。
六、 设AF 的延长线交BDF 于K ,AEF AKBAEF AKB ∠=∠∴∆∆ 因此,EK BK AE AKAF AB AF AB==。
于是要证(1), 只需证明:(2)CD BK DF AK BD AB ⋅+⋅=⋅ 又注意到KBD KFD C ∠=∠=∠。
我们有1sin 2DCK S CD BK C ∆=⋅⋅∠进一步有1sin 21sin 2ABD ADK S BD AB CS AK DF C∆∆=⋅⋅∠=⋅⋅∠因此要证(2),只需证明(3)ABD DCK ADKS S S ∆∆∆=+ 而(3)//(4)ABC AKC S S BK AC∆∆⇔=⇔ 事实上由BKA FDB KAC ∠=∠=∠知(4)成立,得证。
七、 (1)如右图所示:表格中有“*”,表示该球队在该周有主场比赛,不能出访。
容易验证,按照表中的安排,6支球队四周可以完成该项比赛。
(2)下面证明7支球队不能在四周完成该项比赛。
设(1,2,3,4,5,6,7)i S i =表示i 号球队的主场比赛周次的集合。
假设4周内能完成该项比赛,则i S 是{1,2,3,4}的非空真子集。
一方面由于某周内该球队有主场比赛,在这一周内不能安排该球队的客场比赛,所以(1,2,3,4,5,6,7)i S i =中,没有一个集是另一个的子集。
另一方面,设{}{}{}{1},{1,2},{1,2,3},{2},{2,3},{2,3,4},{3},{1,3},{1,3,4}A B C ===球队 第一周 第二周 第三周 第四周1 * *2 * *3 * *4 * *5 * *6 * *D 123E F BAC5{}{}{}{4},{1,4},{1,2,4},{2,4},{3,4}D E F ===由抽屉原理,一定存在,,,,{1,2,3,4,5}i j i j i j ≠∈,,i j S S 属于同一集合A 或B 或C 或D 或E 或F ,必有i j S S ⊆或j i S S ⊆发生。
所以n 的最大值是6。
八、 设(,,,)a b b c c df a b c d a b b c c d---=+++++。
记:{(,,,)|1,,,10,(,,,)0}A x y z u x y z u f x y z u ≤≤>, :{(,,,)|1,,,10,(,,,)0}B x y z u x y z u f x y z u ≤≤<, :{(,,,)|1,,,10,(,,,)0}C x y z u x y z u f x y z u ≤≤=, 显然4()()()10card A card B card C ++=。
我们证明()()card A card B =。
对每一个(,,,)x y z u A ∈,考虑(,,,)x u z y 。
(,,,)(,,,)000(,,,)0(,,,)x y y z z u u xx y z u A f x y z u x y y z z u u xx u u z z y y x f x y z u x u u z z y y x x u z y B----∈⇔>⇔+++>++++----⇔+++<⇔<++++⇔∈ 接着计算()card C 。
(,,,)()()()0()()()()xz yu xz yux y z u C z x u y xz yu x y z u y z u x --∈⇔=⇔---=++++设1{(,,,)|,1,,,10}C x y z u x z x y z u ==≤≤,2{(,,,)|,,1,,,10}C x y z u x z y u x y z u =≠=≤≤, 3{(,,,)|,,,1,,,10}C x y z u x z y u x z y u x y z u =≠≠=≤≤。
满足,(,,,)a b c d a b c d ⨯=⨯为1、2、3、...、10的两两不同的无序四元组只有1623,1824,11025,2634,2936,21045,⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯ 3846,31056,41058⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯。