中国东南地区数学奥林匹克合辑

１

首届中国东南地区数学奥林匹克

第一天

（2004年7月10日 8：00 — 12：00 温州）

一、 设实数a 、b 、c 满足2223

232

a b c ++=，求证：39271a b c ---++≥

二、 设D 是ABC ∆的边BC 上的一点，点P 在线段AD 上，过点D 作一直线分

别与线段AB 、PB 交于点M 、E ，与线段AC 、PC 的延长线交于点F 、N 。如果DE=DF ，求证：DM=DN 三、 （1）是否存在正整数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有

2122n n n a a a ++≥。

（2）是否存在正无理数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有

2122n n n a a a ++≥。 四、 给定大于2004的正整数n ，将1、2、3、…、2n 分别填入n ×n 棋盘（由n 行n 列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数。如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”。求棋盘中“优格”个数的最大值。

第二天

（2004年7月11日 8：00 — 12：00 温州） 五、 已知不等式

6

2(23)cos()2sin 2364sin cos a a πθθθθ

+-+-<++对于

0,2πθ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

恒成立，求a 的取值范围。

六、 设点D 为等腰ABC ∆的底边BC 上一点，F 为过A 、D 、C 三点的圆在ABC

∆内的弧上一点，过B 、D 、F 三点的圆与边AB 交于点E 。求证：

CD EF DF AE BD AF ⋅+⋅=⋅ 七、 n 支球队要举行主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场

比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛。但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛。如果4周内能够完成全部比赛，求n 的最大值。

注：A 、B 两队在A 方场地举行的比赛，称为A 的主场比赛，B 的客场比赛。 八、 求满足

0x y y z z u

x y y z z u

---++>+++，且110x

y z u ≤≤、、、的所有四元有序整数组（,,,x y z u ）的个数。

２

答案

一、 由柯西不等式，

()

222

2

222(23)(123)(1)(2)(3)9a b c a b c ++≤++++= 所以，233a b c ++≤，所以 (23)333392733331a b c a b c ----++-++≥≥= 二、 证明：

对AMD ∆和直线BEP 用梅涅劳斯定理

得：

1(1)AP DE MB

PD EM BA

⋅⋅=， 对AFD ∆和直线NCP 用梅涅劳斯定理

得：1(2)AC FN DP CF ND PA ⋅⋅=， 对AMF ∆和直线BDC 用梅涅劳斯定理

得：1(3)AB MD FC BM DF CA

⋅⋅=

（1）（2）（3）式相乘得：1DE FN MD

EM ND DF

⋅⋅=，又DE=DF ，所以有

DM DN

DM DE DN DE =

--，所以DM=DN 。 三、 （1）假设存在正整数数列{}n a 满足条件。

212122221231

2,0,

11...,3,4,....,222n n n n n n n n n n n a a a a a a a a n a a a a ++------≥>1∴≤⋅≤⋅≤≤⋅= 又2222111,2a a a a -≤⋅所以有221112n n n a a

a a --≤⋅对n =2，3，4，…成立。 22

2221222(2)(3)

(2)(3) (1111111)

...2

22n n n n n n n n n a a a a a a a a a a -----+--+-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴≤≤⋅⋅≤≤⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⋅

所以122

22

2

11

2n n n n a a a ---⎛⎫≤⋅ ⎪⎝⎭

。 设212[2,2),k k a k N +∈∈，取3N k =+，则有

1221

2

2

22

211

11121

122N k k N N N k k a a a a -++--++⎛⎫⎛⎫≤⋅<⋅≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，这与N a 是正整数矛盾。所以不存在正整数数列{}n a 满足条件。

F

A

B D C

P M N

３

（2）(1)(2)

2

n n n a π

--=

为满足条件的一个无理数数列，2

12242n n n n n a a a a a +++=≥。 四、 为叙述方便，如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格中所

填的数，则称此格为行优的。由于每一行中填较小的2004个数的格子不是行优的，所以每一行中有n －2004个行优的。一个方格为“优格”一定是行优的，所以棋盘中“优格”个数不大于(2004)n n -。 另一方面，将棋盘的第i (1,2,3,...,)i n =行，第 1...2003i i i ++、、、（大于n 时取模n 的余数）列中的格子填入“*”。将1、2、3、…、2004n 填入有“*”的格子，其余的数填入没有“*”的格子。没有“*”的格子中填的数大于有“*”的格子中任何一个数，所以棋盘上没有“*”的格子都为“优格”，共有(2004)n n -个。

此时每行有2004个格子有“*”，每列也有2004个格子有“*”（如图）。实际上，当12003i ≤≤时，第i 列的第1、2、…、i 、n +i －2003、n +i －2002、...、n 行中有“*”。当2004i ≥时，第i 列的第i －2003、i －2002、...、i 行中有“*”。所以每行有2004个格子有“*”，每列也有2004个格子有“*”（如图）

* * *

* * * * * * * * * * * * * * * * * * *

*

*

所以棋盘中“优格”个数的最大值是(2004)n n -。

五、 设sin cos x θθ+=，则22

cos(),sin 21,1,242

x x x πθθ⎡⎤-==-∈⎣⎦ 从而原不等式可化为：26

(23)2(1)36a x x a x

++--<+

即2622

223340,2()3()0x ax x a x x a x a x x x

---++>+--+->，

()

2(23)01,2(1)x x a x x ⎛⎫

⎡⎤-+->∈ ⎪⎣⎦⎝⎭

∴ 原不等式等价于不等式（1）

1,2,230x x ⎡⎤∈∴-<⎣⎦

不等式（1）恒成立等价于()

201,2x a x x

⎡⎤+

-<∈⎣⎦恒成立。