中国东南地区数学奥林匹克合辑

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2020年东南奥林匹克赛高一组第二天答案

2020年东南奥林匹克赛高一组第二天答案

证明:记
Ͳ.
Ͳ
假设 1
Ͳ中每个整数都没有大于 的素因子.
设 是 最大的素数幂因子. 由于≤ 的素数个数不超过 1
1,
故当
1
1 1时,
1
1 ,对于所有的 1
.
因为 ≤ ,且≤ 的素数个数不会超过 1
1 个,故必然有两个不同
的1
1
使得 1
.故 1
min 1 1
1.但是
1 命题得证.
1
1≤
1 ≤ 1,矛盾.故当
T k i 1 T k i .
令 S㤵k T㤵k (k 1 ‴ 1 ), k Ͳ 时 , S㤵k 1 1 S ‴ S 1 S k
1 䁥 1 . 由此知,正整数
当且仅当 1 为合数. 因此有:
1 集合 1
1‴ 1
1 为质数 中的任一数(简称为质前数)
皆不属于集合 ,而其余的数皆在 中;
对于集合 ,
1 1 ,当正整数 䁥 不全为 1 时, 䁥 为合数,
即每个奇质数皆不属于 ,对于这种数,要么是两个相邻正整数的乘积: 1
1 ,要么可表为这样的三个因子之积,其中较大的一个因子等于另两个
状态, i S 则说明这一格子未被染色,否则这一格子没有染色.在任何一个状态下,我们计 f㤵S 为将状态 S 全部染成黑色所需的次数之期望.如果 S ⊆ S', 我们称 S'比 S 状态要"大",此 时,关于状态 S'的染色策略也可用于 S,从而 f㤵S ≤ f㤵S' .令 g㤵S i 为选择喷涂格子 i 之后所
1 1时,
. 用一个喷头对一张 1 的方格纸条的每一格进行喷涂,当喷头对指定的
第 㤵1 ≤ ≤ 格喷涂时,该格被染成黑色,同时与第 格相邻的左侧方格和右

【最新精选】2016年第3届中国东南数学奥林匹克试题及答案

【最新精选】2016年第3届中国东南数学奥林匹克试题及答案

第三屆中國東南地區數學奧林匹克第一天(2006年7月27日, 8:00-12:00, 南昌)一、 設0,a b >>2()2()4a b x abf x x a b++=++.證明:存在唯一的正數x ,使得11333()()2a b f x +=.二、 如圖所示,在△ABC 中,90,,A B C D G ∠=︒是邊CA 上的兩點,連接BD ,BG 。

過點A ,G 分別作BD 的垂線,垂足分別為E ,F ,連接CF 。

若BE =EF ,求證:ABG DFC ∠=∠。

三、 一副紙牌共52張,其中“方塊”、“梅花”、“紅心”、“黑桃”每種花色的牌各13張,標號依次是2,3,,10,,,,J Q K A ,其中相同花色、相鄰標號的兩張牌稱為“同花順牌”,並且A 與2也算是順牌(即A 可以當成1使用). 試確定,從這副牌中取出13張牌,使每種標號的牌都出現,並且不含“同花順牌”的取牌方法數。

四、 對任意正整數n ,設n a 是方程31xx n+=的實數根,求證: (1) 1n n a a +>; (2) 211(1)nn i ia i a =<+∑。

第二天(2006年7月28日, 8:00-12:00, 南昌)五、 如圖,在ABC ∆中,60A ∠=︒,ABC ∆的內切圓I 分別切邊AB 、AC 於點D 、E ,直線DE 分別與直線BI 、CI 相交於點F 、G ,證明:12FG BC =。

BA六、 求最小的實數m ,使得對於滿足a +b +c =1的任意正實數a ,b ,c ,都有333222(61m a b c a b c ++≥+++)()。

七、 (1)求不定方程2()mn nr mr m n r ++=++的正整數解(,,)m n r 的組數。

(2)對於給定的整數k >1,證明:不定方程()mn nr mr k m n r ++=++至少有3k +1組正整數解(,,)m n r 。

历届东南数学奥林匹克试题

历届东南数学奥林匹克试题

目录2004年东南数学奥林匹克 (2)2005年东南数学奥林匹克 (4)2006年东南数学奥林匹克 (6)2007年东南数学奥林匹克 (9)2008年东南数学奥林匹克 (11)2009年东南数学奥林匹克 (14)2010年东南数学奥林匹克 (16)2011年东南数学奥林匹克 (18)2012年东南数学奥林匹克 (20)2004年东南数学奥林匹克1.设实数a、b、c满足a2+2b2+3c2=32,求证:3−a+9−b+27−c≥1.2.设D是△ABC的边BC上的一点,点P在线段AD上,过点D作一直线分别与线段AB、PB交于点M、E,与线段AC、PC的延长线交于点F、N.如果DE=DF,求证:DM=DN.3.(1)是否存在正整数的无穷数列{a n},使得对任意的正整数n都有a n+12≥2a n a n+2.(2)是否存在正无理数的无穷数列{a n},使得对任意的正整数n都有a n+12≥2a n a n+2.4.给定大于2004的正整数n,将1,2,3,⋯,n2分别填入n×n棋盘(由n行n列方格构成)的方格中,使每个方格恰有一个数.如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数,且大于它所在列至少2004个方格内所填的数,则称这个方格为“优格”.求棋盘中“优格”个数的最大值.5.已知不等式√2(2a+3)ccc(θ−π4)+6ssnθ+ccsθ−2csn2θ<3a+ 6对于θ∈�0,π2�恒成立,求a的取值范围.6.设点D为等腰△ABC的底边BC上一点,F为过A、D、C三点的圆在△ABC内的弧上一点,过B、D、F三点的元与边AB交于点E.求证:CD⋅EE+DE⋅AE=AD⋅AE.7.N支球队要矩形主客场双循环比赛(每两支球队比赛两场,各有一场主场比赛),每支球队在一周(从周日到周六的七天)内可以进行多场客场比赛.但如果某周内该球队有主场比赛,在这一周内不能安排该球队的客场比赛.如果4周内能够完成全部比赛,球n的值.注:A、B两队在A方场地矩形的比赛,称为A的主场比赛,B的客场比赛.8.求满足x−y x+y+y−z y+z+z−u z+u>0,且1≤x、y、z、u≤10的所有四元有序整数组(x,y,z,u)的个数.2005年东南数学奥林匹克1.(1)设a∈R.求证:抛物线y=x2+(a+2)x−2a+1都经过一个顶点,且顶点都落在一条抛物线上.(2)若关于x的方程y=x2+(a+2)x−2a+1=0有两个不等实根,求其较大根的取值范围.(吴伟朝供题)2.⊙O与直线l相离,作OO⊥l,P为垂足.设点Q是l上任意一点(不与点P重合),过点Q作⊙O的两条切线QA、QB,A、B为切点,AB与OP相交于点K.过点P作OP⊥QB,ON⊥QA,M、N为垂足.求证:直线MN平分线段KP.(裘宗沪供题)3.设n(n≥3)是正整数,集合P={1,2,⋯,2n}.求最小的正整数k,使得对于M的任何一个k元子集,其中必有4个互不相同的元素之和等于4n+1.(张鹏程供题)4.试求满足a2+b2+c2=2005,且a≤b≤c的所有三元正整数数组(a,b,c).(陶平生供题)5.已知直线l与单位圆⊙O相切于点P,点A与⊙O在直线l的,且A到直线l的距离为ℎ(ℎ>2),从点A作⊙O的两条切线,分别与直线l交于B、C两点.求线段PB与线段PC的长度之乘积.(冷岗松司林供题)6.将数集A=�a1,a2,⋯,a n�中所有元素的算术平均值记为O(A)�O(A)=a1+a2+⋯+a n n�.若B是A的非空子集,且P(B)=P(A),则称B是A的一个“均衡子集”.试求数集P={1,2,3,4,5,6,7,8,9}的所有“均衡子集”的个数.(陶平生供题)7.(1) 讨论关于x的方程|x+1|+|x+2|+|x+3|=a的根的个数;(2) 设a1,a2,⋯,a n为等差数列,且|a1|+|a2|+⋯+|a n|=|a1+1|+|a2+1|+⋯+|a n+1|=|a1−2|+|a2−2|+⋯+|a n−2|=507.求项数n的最大值.(林常供题)8.设0<α、β、γ<π2,且csn3α+csn3β+csn3γ=1.求证tan2α+tan2β+tan2γ≥3√32.(李胜宏供题)2006年东南数学奥林匹克1. 设a >b >0,f (x )=2(a+b )x+2ab 4x+a+b .证明:存在唯一的正数x ,使得f (x )=�a 13+b 132�3. (李胜宏 供题)2. 如图1,在△ABC 中,∠ABC =90°,D 、G 是边CA 上的亮点,连结BD 、BG .过点A 、G 分别作BD 的垂涎,垂足分别为E 、F ,连结CF .若BE =EE ,求证:∠ABG =∠DEC .图13. 一副纸牌共52张,其中,“方块”、“梅花”、“红心”、“黑桃”每种花色的牌个13张,标号依次是2,3,⋯,10,J ,Q ,K ,A .相同花色、相邻标号的两张牌称为“同花顺”牌,并且A 与2也算同花顺牌(即A 可以当成1使用).试确定,从这副牌中取出13张牌,使每种标号的牌都出现,并且不含同花顺取牌方法数.(陶平生 供题)4. 对任意正整数n ,设a n 是方程x 3+x n =1的实数根.求证: (1) a n+1>a n ;(2) ∑1(s+1)a i n s=1<a n .(李胜宏 供题)5. 如图2,在△ABC 中,∠A =60°,△ABC 的内切圆⊙I 分别切边AB 、AC 于点D 、E ,直线DE 分别与直线BI 、CI 相交于点F 、G .证明:EG =12BC .图2 6. 求最小的实数m ,使得对于满足a +b +c =1的任意正实数a 、b 、c ,都有m (a 3+b 3+c 3)≥6(a 2+c 2+c 2)+1. (熊 斌 供题)7. (1) 求不定方程mn +nn +mn =2(m +n +n )的正整数解(m ,n ,n )的组数; (2) 对于给定的整数k (k >1),证明:不定方程mn +nn +mn =k (m +n +n )至少有3k +1组正整数解(m ,n ,n ). (吴伟朝 供题) 8. 对于周长为n (n ∈N +)的圆,称满足如下条件的最小的正整数p n 个点A 1,A 2,⋯,A p n ,对于1,2,⋯,n −1中的每一个整数m ,都存在两个点A s 、A j (1≤s 、j ≤p n ).以A s 和A j 为端点的一条弧长等于m ,圆周上每相邻两点间的弧长顺次构成的序列T n =�a 1,a 2,⋯,a p n �称为“圆剖分序列”.列入,当n =13,圆剖分数为p 13=4,图3中所标数字为相B邻两点之间的弧长,圆剖分序列为T 13=(1,3,2,7), (1,2,6,4),求p 21和p 31,并给出一个相应的圆剖分序列.图3(陶平生 供题)73112007年东南数学奥林匹克1. 试求实数a 的个数,使得对于每个a ,关于x 的三次方程x 3=ax +a +1都有满足|x |<1000的偶数根.2. 如图1所示,设C 、D 是以O 为圆心、AB 为半径的半圆上的任意两点,过点B 作⊙O 的切线交直线CD 于P ,直线PO 于直线CA ,AD 分别交于点E 、F .证明:OE =OF .图13. 设a s =msn �k +s k �k ∈N ∗�,试求S n 2=[a 1]+[a 2]+⋯+[a n 2]的值.4. 试求最小的正整数n ,使得对于满足条件∑a s n s=1=2007的任一个具有n 项的正整数数列a 1,a 2,⋯,a n ,其中必有连续若干项之和等于30. 5. 设函数f (x )满足:f (x +1)−f (x )=2x +1(x ∈R ),且当x ∈[0,1]时有|f (x )|≤1,证明:当x ∈R 时,有|f (x )|≤2+x 2.6. 如图,在直角三角形ABC 中,D 是斜边AB 的中点,PB ⊥AB ,MD 交AC 于N ;MC 的延长线交AB 于E .证明:∠DBN =∠BCE .7. 试求满足下列条件的三元数组(a ,b ,c ):E(1) a<b<c,且当a,b,c为质数;(2) a+1,b+1,c+1构成等比数列.8.设正实数a,b,c满足:abc=1,求证:对于整数k≥2,有a k a+b+b k b+c+c k c+a≥32.2008年东南数学奥林匹克1.已知集合S={1,2,⋯,3n},n是正整数,T是S的子集,满足:对任意的x、y、z∈T(x、y、z可以相同),都有x+y+z∉T.求所有这种集合T的元素个数的最大值.(李胜宏供题)2.设数列{a n}满足a1=1,a n+1=2a n+n(1+2n)(n=1,2,⋯).试求通项a n的表达式.(吴伟朝供题)3.在△ABC中,BC>AB,BD平分∠ABC交AC于点D,AQ⊥BO,垂足为Q,M是边AC的中点,E是边BC的中点.若△PQM的外接圆⊙O与AC的另一个交点为H.求证:O、H、E、M四点共圆.(郑仲义供题)4.设正整数m、n≥2,对于任一个n元整数集A=�a1,a2,⋯,a n�,取每一对不同的数a s、a j(j>s),作差a j−a s.由这C n2个差按从小到大.衍生数列顺序排成的一个数列,称为集合A的“衍生数列”,记为A生A生中能被m整除的数的个数记为A生(m).5.证明:对于任一正整数m(m≥2),n圆整数集A=�a1,a2,⋯,a n�及B={1,2,⋯,n}所对应的A生及B生,满足不等式A生(m)≥B生(m)(陶平生供题)6.求出最大的正数λ,使得对于满足x2+y2+z2=1的任何实数x、y、z成立不等式|λxy+yz|≤√52. (张正杰供题)7. 如图1,△ABC 的内切圆⊙I 分别切BC 、AC 于点M 、N ,E 、F 分别为边AB 、AC 的中点,D 是针线EF 于BI 的交点.证明:M 、N 、D 三点共线.图1(张鹏程 供题) 8. 杰克(Jack )船长与他的海盗们掠夺到6个珍宝箱A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6,其中A s (s =1,2,⋯,6)内有金币a s 枚(诸a s 互不相等).海盗们设计了一种箱子的布局图(如图2),并推派一人和船长轮流拿珍宝箱.每次可任意拿走不与两个或两个以上的箱子相连的整个箱子.如果船长最后所取得的金币不少于海盗们所取得的金币,那么船长获胜.问:若船长先拿,他是否有适当的取法保证获胜?图2 (孙文先 供题)9. 设n 为正整数,f (n )表示满足以下条件的n 位数(称为波形数)a 1a 2⋯a n �������������的个数:a 1a 2 a 3 a 4a 6 a 5i.每一位数码a s∈{1,2,3,4},且a s≠a s+1(s=1,2,⋯);ii.当n≥3时,a s−a s+1与a s+1−a s+2(s=1,2,⋯)的符号相反.(1)求f(10)的值;(2)确定f(2008)被13除得的余数.(陶平生供题)2009年东南数学奥林匹克1.试求满足方程x2−2xy+126y2=2009的所有整数对(x,y).(张鹏程供题)2.在凸五边形ABCDE中,已知AB=DE,BC=EA,AB≠EA,且B、C、D、E四点共圆.证明:A、B、C、D四点共圆的充分必要条件是AC=AD.(熊斌供题)3.设x,y,z∈R+,√a=x(y−z)2,√b=y(z−x)2,√c=z(x−y)2;求证:a2+b2+c2≥2(ab+bc+ca). (唐立华供题)4.在一个圆周上给定十二个红点;求n的最小值,使得存在以红点为顶点的n个三角形,满足:以红点为顶点的每条弦,都是其中某个三角形的一条边.(陶平生供题)5.设1,2,⋯,9的所有排列X=�x1,x2,⋯,x9�的集合为A;∀X∈A,记f(X)=x1+2x2+3x3+⋯+9x9,P={f(X)|X∈A};求|P|. (其中|P|表示集合M的元素个数).6.已知⊙O、⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆;证明:过⊙O上的任意一点D,都可作一个△DEF,使得⊙O、⊙I分别是△DEF的外接圆和内切圆.(陶平生供题)7.设f(x,y,z)=x(2y−z)1+x+3y+y(2z−x)1+y+3z+z(2x−y)1+z+3x,其中x,y,z≥0,且x+y+z=1.求f(x,y,z)的最大值和最小值.(李胜宏供题)8.在8×8方格表中,最少需要挖去几个小方格,才能使得无法从剩余的方格表中裁剪出一片形状如下完整的T型五方连块?(孙文先供题)2010年东南数学奥林匹克1. 设a 、b 、c ∈{0,1,⋯9}.若二次方程ax 2+bx +c =0有有理根,证明:三位数abc�����不是质数. (张鹏程 供题)2. 对于集合A ={a 1,a 2,⋯,a m },记O (A )=a 1a 2⋯a m .设A 1,A 2,⋯A n (n =C 201099)是集合{1,2,⋯,2010}的所有99元子集.求证:2011|∑O (A s )n s=1. (叶永南 供题)3. 如图1,已知△ABC 内切圆⊙I 分别与边AB 、BC 切于点F 、D ,之心啊AD 、CF 分别于⊙I 交于另一点H 、K.求证:FD⋅HK FH⋅DK =3.图1 (熊 斌 供题)4. 设正整数a 、b 满足1≤a <b ≤100.若存在正整数k ,使得ab |a k +b k ,则称数对(a ,b )是“好数对”.求所有好数对的个数.(熊 斌 供题)5. 如图2,△ABC 为直角三角形,∠ACB =90°,M 1、M 2为△ABC 内任意两点,M 为线段M 1M 2的中点,直线BM 1、BM 2、BM 与AC 分别交于点N 1、N 2、N.求证:M 1N 1BM 1M 2N 2BM 22MN BM .图2 (裘宗沪 供题)6. 设Z +为正整数集合,定义:a 1=2,a n+1=msn �λ�∑1a i n s=1+1λ<1,λ∈Z +�(n =1,2,⋯). 求证:a n+1=a n 2−a n +1. (李胜宏 供题)7. 设n 是一个正整数,实数a 1,a 2,⋯,a n 和n 1,n 2,⋯,n n 满足:a 1≤a 2≤⋯≤a n 和n 1≤r 2≤⋯≤n n .求证:∑∑==≥n i nj j i j i r r a a 110),min((朱华伟 供题)8. 在一个圆周上给定8个点A 1,A 2,⋯,A 8.求最小的正整数n ,使得以这8个点为顶点的任意n 个三角形中,必存在两个有公共边的三角形.(陶平生 供题)21B2011年东南数学奥林匹克1.已知min x∈R ax2+b√x2+1=3.(1)求b的取值范围;(2)对给定的b,求a.2.已知a、b、c为两两互质的正整数,且a2|(b3+c3),b2|(a3+ c3),c2|(a3+b3)求a、b、c的值.3.设集合P={1,2,3,⋯,50},正整数n满足:M的任意一个35元子集中至少存在两个不同的元素a,b,使a+b=n或a−b=n.求出所有这样的n.4.如图1,过△ABC的外心O任作一直线,分别与边AB,AC相交于M,N,E,F分别是BN,CM的中点.证明:∠EOE=∠A.图15. 如图2,设AA0,BB0,CC0是△ABC的三条角平分线,自A0作A0A1∥BB0,A0A2∥CC0,A1,A2分别在AC,AB上,直线A1A2∩BC=A3;类似得到点B3,C3.证明:A3,B3,C3三点共线.图26.设O 1,O 2,⋯,O n 为平面上n 个定点,M 是该平面内线段AB 上任一点,记|O s P |为点O s 与M 的距离,s =1,2,3,⋯,n ,证明:≤∑∑∑===ni i ni i n i i B P A P M P 111,max . 7.设数列{a n }满足:a 1=a 2=1,a n =7a n−1−a n−2,n >3.证明:对于每个n ∈N ∗,a n +a n+1+2皆为完全平方数.8.将时钟盘面上标有数字1,2,⋯,12的十二个点,分别用红、黄、蓝、绿四种颜色各染三个点,现以这些点为顶点构造n 个凸四边形,使其满足:(1) 每个四边形的四个顶点四色都有;(2) 任何三个四边形,都存在某一色,该色的三个顶点所标数字各不相同.求n 的最大值.32012年东南数学奥林匹克1. 求一个三元整数组(l ,m ,n )(1<l <m <n ),使得∑k l k=1,∑k m k=l+1,∑k n k=m+1依次成等比数列.2. 如图1,△ABC 的内切圆I 在边AB ,BC ,CA 上的切点分别是D ,E ,F ,直线EF 与直线AI ,BI ,DI 分别相交于点M ,N ,K .证明:DP ⋅KE =DN ⋅KE .图1 3. 对于合数n ,记f (n )为其最小的三个正约数之和,g (n )为其最大的两个正约数之和.求所有的正合数n ,使得g (n )等于f (n )的某个正整数次幂.4. 已知实数a ,b ,c ,d 满足:对任意实数x ,均有acccx +bccc 2x +cccc 3x +dccc 4x ≤1, 求a +b -c +d 的最大值.当a +b -c +d 取最大值时,求实数a ,b ,c ,d 的值.5. 如果非负整数m 及其各位数字之和均为6的倍数,则称m 为“六合数”.求小于2012的非负整数中“六合数”的个数.6. 求正整数n 的最小值,使得A东南数学奥林匹克�n−20112012−�n−20122011<�n−201320113−�n−201120133.7.如图2,△ABC中,D为边AC上一点且∠ABD=∠C,点E在边AB上且BE=DE,设M为CD重点,AA⊥DE于点H.已知AA=2−√3,AB=1,求∠APE的度数.图2设m是正整数,n=2m−1,O n={1,2,⋯,n}为数轴上n个点所成的集合.一个蚱蜢在这些点上跳跃,每步从一个点跳到与之相邻的点.求m的最大值,使对任意x,y∈O n,从点x跳2012步到点y的跳法种数为偶数(允许中途经过点x,y).。

2004年首届中国东南地区数学奥林匹克竞赛考试试题

2004年首届中国东南地区数学奥林匹克竞赛考试试题

首届中国东南地区数学奥林匹克竞赛试题第一天(2004年7月10日 8:00 — 12:00 温州)一、设实数a 、b 、c 满足2223232a b c ++=,求证:39271a b c---++≥ 二、设D 是ABC ∆的边BC 上的一点,点P 在线段AD 上,过点D 作一直线分别与线段AB 、PB 交于点M 、E ,与线段AC 、PC 的延长线交于点F 、N 。

如果DE=DF , 求证:DM=DN三、(1)是否存在正整数的无穷数列{}n a ,使得对任意的正整数n 都有2122n n n a a a ++≥。

(2)是否存在正无理数的无穷数列{}n a ,使得对任意的正整数n 都有2122n n n a a a ++≥。

四、给定大于2004的正整数n ,将1、2、3、…、2n 分别填入n ×n 棋盘(由n 行n 列方格构成)的方格中,使每个方格恰有一个数。

如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数,且大于它所在列至少2004个方格内所填的数,则称这个方格为“优格”。

求棋盘中“优格”个数的最大值。

第二天(2004年7月11日 8:00 — 12:00 温州)五、已知不等式63)cos()2sin 2364sin cos a a πθθθθ+-+-<++对于0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立,求a 的取值范围。

六、设点D 为等腰ABC ∆的底边BC 上一点,F 为过A 、D 、C 三点的圆在ABC ∆内的弧上一点,过B 、D 、F 三点的圆与边AB 交于点E 。

求证:CD EF DF AE BD AF ⋅+⋅=⋅七、n 支球队要举行主客场双循环比赛(每两支球队比赛两场,各有一场主场比赛),每支球队在一周(从周日到周六的七天)内可以进行多场客场比赛。

但如果某周内该球队有主场比赛,在这一周内不能安排该球队的客场比赛。

如果4周内能够完成全部比赛,球n 的最大值。

注:A 、B 两队在A 方场地举行的比赛,称为A 的主场比赛,B 的客场比赛。

全国中学生数学奥林匹克获奖竞赛(决赛)获奖名单

全国中学生数学奥林匹克获奖竞赛(决赛)获奖名单

全国中学生数学奥林匹克获奖竞赛(决赛)获奖名单一等奖:
1. 张晨睿,江苏省江阴市第二中学
2. 李佳豪,江苏省无锡市第一中学
3. 吴凡,江苏省南京市第五中学
4. 郑英博,江苏省南通市第六中学
5. 胡晓楠,江苏省常州市第八中学
6. 李瑞婷,江苏省苏州市第十中学
7. 王若曦,江苏省南京市第十一中学
8. 杨芊晴,江苏省宿迁市第十三中学
9. 张翔,江苏省扬州市第十五中学
10. 黄晓婷,江苏省南京市第十六中学
二等奖:
1. 吴晨曦,江苏省淮安市第三中学
2. 陈宇轩,江苏省常州市第五中学
3. 陈瑞珊,江苏省南京市第六中学
4. 陈晓瑞,江苏省宿迁市第七中学
5. 袁艺洋,江苏省苏州市第八中学
6. 杨子瑞,江苏省南京市第九中学
7. 王梦凡,江苏省常州市第十一中学
8. 郑芷瑶,江苏省连云港市第十二中学
9. 李宇婷,江苏省无锡市第十三中学
10. 周思涵,江苏省南京市第十四中学。

2004年第1届中国东南数学奥林匹克试题及答案

2004年第1届中国东南数学奥林匹克试题及答案

首届中国东南地区数学奥林匹克第一天(2004年7月10日 8:00 — 12:00 温州)一、 设实数a 、b 、c 满足2223232a b c ++=,求证:39271a b c ---++≥二、 设D 是ABC ∆的边BC 上的一点,点P 在线段AD 上,过点D 作一直线分别与线段AB 、PB 交于点M 、E ,与线段AC 、PC 的延长线交于点F 、N 。

如果DE=DF ,求证:DM=DN 三、 (1)是否存在正整数的无穷数列{}n a ,使得对任意的正整数n 都有2122n n n a a a ++≥。

(2)是否存在正无理数的无穷数列{}n a ,使得对任意的正整数n 都有2122n n n a a a ++≥。

四、 给定大于2004的正整数n ,将1、2、3、…、2n 分别填入n ×n 棋盘(由n 行n 列方格构成)的方格中,使每个方格恰有一个数。

如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数,且大于它所在列至少2004个方格内所填的数,则称这个方格为“优格”。

求棋盘中“优格”个数的最大值。

第二天(2004年7月11日 8:00 — 12:00 温州)五、63)cos()2sin 2364sin cos a a πθθθθ+-+-<++对于0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立,求a 的取值范围。

六、 设点D 为等腰ABC ∆的底边BC 上一点,F 为过A 、D 、C 三点的圆在ABC∆内的弧上一点,过B 、D 、F 三点的圆与边AB 交于点E 。

求证:CD EF DF AE BD AF ⋅+⋅=⋅ 七、 n 支球队要举行主客场双循环比赛(每两支球队比赛两场,各有一场主场比赛),每支球队在一周(从周日到周六的七天)内可以进行多场客场比赛。

但如果某周内该球队有主场比赛,在这一周内不能安排该球队的客场比赛。

如果4周内能够完成全部比赛,求n 的最大值。

注:A 、B 两队在A 方场地举行的比赛,称为A 的主场比赛,B 的客场比赛。

东南数学奥林匹克竞赛2023试题

东南数学奥林匹克竞赛2023试题

东南数学奥林匹克竞赛2023试题【第一节】选择题1. 设函数$f(x) = \frac{3^x}{3^x + 1}$,其中$x$为实数。

若$2^a +2^b = 8$,则$f(a) + f(b)$的值是多少?【第二节】填空题2. 已知数列$\{a_n\}$满足$a_1 = 1$,$a_2 = 2$,$a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$,则$a_{2023}$等于多少?【第三节】解答题3. 在平面直角坐标系内,过点$(a,b)$且与$x$轴和$y$轴的夹角均为$45$度的直线上,存在一点$(c,d)$,使得点$(a,b)$和 $(c,d)$的坐标和均为整数。

求所有满足条件的整数$a$和$b$的取值范围。

【第四节】证明题4. 设$a$、$b$、$c$为正实数,且满足$a+b+c=1$。

证明:$\frac{a}{a^2+b}+\frac{b}{b^2+c}+\frac{c}{c^2+a} \geq \frac{9}{10}$。

【第五节】应用题5. 设$n$为$100$的倍数,且满足$n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n$,其中$a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$为$n$的正因子。

求$n$的最小值。

【第六节】综合题6. 给定正整数$n > 1$,证明:方程$x^2 - (n^2 - 3n + 3)x + (n-2)^2 = 0$在有理数域上无解。

【第七节】拓展题7. 设$a_1, a_2, \ldots, a_n$为正整数,且满足$a_1 < a_2 < \ldots <a_n$。

若存在无穷多个正整数$N$,使得恰有$k$个$a_i$能整除$N$,其中$k$为一个给定的正整数,求证:存在一个正整数$l$,使得对于所有的$i=1,2,\ldots,n$,都有$a_{i+l} - a_i \geq k$。

以上是东南数学奥林匹克竞赛2023的试题,希望对你有所帮助。

三角形内切圆的几个结论及应用

三角形内切圆的几个结论及应用

当C G上 A G时 , 结 H 联 由 上 A 知 A G F、 B, 、 、 ,四点 共 圆.
又 为内心 , 则
AFG =

结论 1 如 图 1 △ A C的 内切 圆 o, , B 分 别 切边 B C A C、A、B于点 D、 F, E、 . s和 、 和 N、 G和 日分 别 为角平 分 线 A 、 、 所 在 直 ,

HC + C A= B H+ C B A C A=9 B 0。
C H上 A B
j H为△ A C的垂 心. B
必要 性.
当 日为 △ A C的垂心 时 , B 由
21 0 2年第 6 期



E 图8

图 7
证 明 设 A B △ A 的 内切 圆 与 A X、 C
BH BF BD 疋 ’ CH —CE — C ‘ D
B C上 的 高 线 A 与 F 交 于 点 则 日 为 P E △A C B 的垂心 的充分 必要条 件是 D j F . H - E
证明 如 图 5 不 妨设 A A . , B> C
从 而 , H平 分 B C D H.
由 C =C F E
/ T DE = T ED = C E F
B X分别 切 于点 D、 与 A F, 分 别 切 于 点 E 、
G 则 D ∥F , D 、 G与 A B的平分线 . E G且 E F X
垂直.
o /c 历 T/ c G D=

又 由结论 4知丽 B E=
BA = H HC = C HCC
从而 , 、 四点共 圆. M、 、 例 2 如 图 7 已知 △ A C X是直 线 B , B , C 上 的动点 , 且点 C在 点 B、f 间 , △ A X、 J之 ] j 又 B △ A X 的内切 圆有 两个 不 同 的交 点 P、 . C Q 证 明 :Q经过一 个不依 赖 于 的定 点. P ( 4 第 5届 I MO预选题 )

2004-2015东南数学奥林匹克试题及解答

2004-2015东南数学奥林匹克试题及解答

参考答案
一 、由柯西不等式 ,有
( a + 2 b + 3 c) 2
≤(
2
1+
2
2+
2
3 )[(
1 a) 2 + (
2 b) 2 + (
3 c) 2 ] = 9 ,
则 a + 2 b + 3 c ≤3.
所以 ,3 - a + 9 - b + 27 - c ≥3 3 3 - ( a + 2 b + 3 c)
列的第 1 , 2 , …, i , n + i - 2 003 , n + i - 2 002 , …, n 行中有“ 3 ”. 当 i ≥2 004 时 , 第 i 列的第 i - 2 003 ,
i - 2 002 、…、i 行中有“ 3 ”. 所以 ,每行有 2 004 个方
格有“ 3 ”,每列也有 2 004 个方格有“ 3 ”. 所以 ,棋盘中“优格”个数的最大值是 n( n - 2 004) . 五 、设 sin θ+ cos θ= x. 则
格中填的数大于有“ 3 ”的方格中的任何一个数 , 所
以 ,棋盘 上 没 有“ 3 ”的 方 格 都 为“行 优 格”, 共 有
n ( n - 2 004) 个.
此时 ,每 行 有 2 004 个 方 格 有“ 3 ”, 每 列 也 有 2 004 个方格有“ 3 ”. 实际上 ,当 1 ≤i ≤2 003 时 ,第 i

因为 x ∈[1 , 2 ] ,所以 ,2 x - 3 < 0.
不等式 ①恒成立等价于
x+
2 x
-
a < 0 ( x ∈[1 ,

第十五届中国东南地区数学奥林匹克获奖名单(高一年级)

第十五届中国东南地区数学奥林匹克获奖名单(高一年级)
湖北省仙桃区市)第一中学
程锐诚 杨天行 张瑾
高一 高一 高一
二 二 二
115
陕西西安铁一中学
谢泽钰 高一

116 117 118
四川成都嘉陕祥西外西国安语铁学一校中(学含北城、成 华、达州四、川锦省江绵、阳郫中县学校区 )
王可尚 吴思宏 王力
高一 高一 高一
二 二 二
119
泰国代表队
NATCHAN 高一
魏欣悦
高一

9
广东华南师大附属中学
饶睿
高一

10
广东华南师大附属中学
唐语阳
高一

11
广东华南师大附属中学
李其璋
高一

12
广东深圳实验学校高中部
张泽豪
高一

13
广东深圳外国语学校
李东睿
高一

14 15 16
广州大学附属中学(大学城、黄华路校 广州大学附属中学区()大学城、黄华路校
河北衡水区第)一中学
曾相如 李思博 肖振超
第十五届中国东南地区数学奥林匹克获奖名单(高一年)
序号
学校名称
学生姓名 年级 获奖等第
1
安徽合肥一六八中学
陈昶旭
高一

2
北京第十二中学(含钱学森学校)
毕寅奥
高一

3
北京四中
魏泽明
高一

4
福建莆田一中
陈路晰
高一

5
福建莆田一中
杨智杰
高一

6
福建泉州五中
林冠儒
高一

7
福建师大附中

介绍一个组合问题

介绍一个组合问题

21 0 0年 8月 1 6日至 2 日, 2 由台湾 九章
数学 教育基 金会 和彰化 师范大学 数学 系承 办
从 大到小 依 次 考 虑 C的结 构 , 生相 应 产
的 m、 k n、 .
的第 七届 东 南 地 区 数 学 奥 林 匹 克 在 台 湾举
于是 , 共得 到 以下 5 0个 勾 股 数 组 , 它们 构 成集合 P:
( 5 6 ,5 , 4 ,5 7 ) (8 6 8 ) 4 ,0 7 ) ( 8 5 ,3 ,4 ,4,0 , ( l 6 ,5 , 5 ,2 9 ) (7 7 9 ) 5 ,8 8 ) ( 4 7 ,0 ,5 ,6,5 ,
( 0 6 ,7 , 6 ,2 9 ) 6 ,3 8 ) ( 5 7 ,7 .
组勾 股数 , 中 的三 在命题时 , 考虑到 2 1 00年适逢
辛 亥革命 9 年 , 9周 故将 集 合 设 为 9 元 9个
( 0 4 ,8 , 4 ,5 8 ) ( 2 5 7 ) 4 ,2 5 ) ( 0 7 ,5 ,4 ,6,0 ,
每种 颜 色 的 数各 有 3 3个 , 为 集 合 M 的一 称 个“ 三色 划 分 ” 对 以下 三 个 命 题 , 给 出证 . 请
明或予 以否 定 :
( ,0 4 ) ( 0 2 ,6 , 1 ,0 6 ) 9 4 ,1 , 1 ,4 2 ) ( 16 ,1 ,
( 2 l ,0 , 1 ,5 3 ) ( 3 8 ,5 , 1 ,6 2 ) ( 2 3 ,7 , 1 ,4 8 ) (4,8 5 ) ( 5 2 2 ) ( 5 3 ,9 , 1 4 ,0 , 1 ,0,5 , 1 ,6 3 ) (6,0 3 ) ( 6 6 6 ) ( 8 2 ,0 , 1 3 ,4 , 1 ,3,5 , 1 ,4 3 )
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1首届中国东南地区数学奥林匹克第一天(2004年7月10日 8:00 — 12:00 温州)一、 设实数a 、b 、c 满足2223232a b c ++=,求证:39271a b c ---++≥二、 设D 是ABC ∆的边BC 上的一点,点P 在线段AD 上,过点D 作一直线分别与线段AB 、PB 交于点M 、E ,与线段AC 、PC 的延长线交于点F 、N 。

如果DE=DF ,求证:DM=DN 三、 (1)是否存在正整数的无穷数列{}n a ,使得对任意的正整数n 都有2122n n n a a a ++≥。

(2)是否存在正无理数的无穷数列{}n a ,使得对任意的正整数n 都有2122n n n a a a ++≥。

四、 给定大于2004的正整数n ,将1、2、3、…、2n 分别填入n ×n 棋盘(由n 行n 列方格构成)的方格中,使每个方格恰有一个数。

如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数,且大于它所在列至少2004个方格内所填的数,则称这个方格为“优格”。

求棋盘中“优格”个数的最大值。

第二天(2004年7月11日 8:00 — 12:00 温州) 五、 已知不等式62(23)cos()2sin 2364sin cos a a πθθθθ+-+-<++对于0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立,求a 的取值范围。

六、 设点D 为等腰ABC ∆的底边BC 上一点,F 为过A 、D 、C 三点的圆在ABC∆内的弧上一点,过B 、D 、F 三点的圆与边AB 交于点E 。

求证:CD EF DF AE BD AF ⋅+⋅=⋅ 七、 n 支球队要举行主客场双循环比赛(每两支球队比赛两场,各有一场主场比赛),每支球队在一周(从周日到周六的七天)内可以进行多场客场比赛。

但如果某周内该球队有主场比赛,在这一周内不能安排该球队的客场比赛。

如果4周内能够完成全部比赛,求n 的最大值。

注:A 、B 两队在A 方场地举行的比赛,称为A 的主场比赛,B 的客场比赛。

八、 求满足0x y y z z ux y y z z u---++>+++,且110xy z u ≤≤、、、的所有四元有序整数组(,,,x y z u )的个数。

2答案一、 由柯西不等式,()2222222(23)(123)(1)(2)(3)9a b c a b c ++≤++++= 所以,233a b c ++≤,所以 (23)333392733331a b c a b c ----++-++≥≥= 二、 证明:对AMD ∆和直线BEP 用梅涅劳斯定理得:1(1)AP DE MBPD EM BA⋅⋅=, 对AFD ∆和直线NCP 用梅涅劳斯定理得:1(2)AC FN DP CF ND PA ⋅⋅=, 对AMF ∆和直线BDC 用梅涅劳斯定理得:1(3)AB MD FC BM DF CA⋅⋅=(1)(2)(3)式相乘得:1DE FN MDEM ND DF⋅⋅=,又DE=DF ,所以有DM DNDM DE DN DE =--,所以DM=DN 。

三、 (1)假设存在正整数数列{}n a 满足条件。

2121222212312,0,11...,3,4,....,222n n n n n n n n n n n a a a a a a a a n a a a a ++------≥>1∴≤⋅≤⋅≤≤⋅= 又2222111,2a a a a -≤⋅所以有221112n n n a aa a --≤⋅对n =2,3,4,…成立。

222221222(2)(3)(2)(3) (1111111)...222n n n n n n n n n a a a a a a a a a a -----+--+-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴≤≤⋅⋅≤≤⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⋅所以122222112n n n n a a a ---⎛⎫≤⋅ ⎪⎝⎭。

设212[2,2),k k a k N +∈∈,取3N k =+,则有1221222221111121122N k k N N N k k a a a a -++--++⎛⎫⎛⎫≤⋅<⋅≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,这与N a 是正整数矛盾。

所以不存在正整数数列{}n a 满足条件。

FAB D CP M N3(2)(1)(2)2n n n a π--=为满足条件的一个无理数数列,212242n n n n n a a a a a +++=≥。

四、 为叙述方便,如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格中所填的数,则称此格为行优的。

由于每一行中填较小的2004个数的格子不是行优的,所以每一行中有n -2004个行优的。

一个方格为“优格”一定是行优的,所以棋盘中“优格”个数不大于(2004)n n -。

另一方面,将棋盘的第i (1,2,3,...,)i n =行,第 1...2003i i i ++、、、(大于n 时取模n 的余数)列中的格子填入“*”。

将1、2、3、…、2004n 填入有“*”的格子,其余的数填入没有“*”的格子。

没有“*”的格子中填的数大于有“*”的格子中任何一个数,所以棋盘上没有“*”的格子都为“优格”,共有(2004)n n -个。

此时每行有2004个格子有“*”,每列也有2004个格子有“*”(如图)。

实际上,当12003i ≤≤时,第i 列的第1、2、…、i 、n +i -2003、n +i -2002、...、n 行中有“*”。

当2004i ≥时,第i 列的第i -2003、i -2002、...、i 行中有“*”。

所以每行有2004个格子有“*”,每列也有2004个格子有“*”(如图)* * ** * * * * * * * * * * * * * * * * * ***所以棋盘中“优格”个数的最大值是(2004)n n -。

五、 设sin cos x θθ+=,则22cos(),sin 21,1,242x x x πθθ⎡⎤-==-∈⎣⎦ 从而原不等式可化为:26(23)2(1)36a x x a x++--<+即2622223340,2()3()0x ax x a x x a x a x x x---++>+--+->,()2(23)01,2(1)x x a x x ⎛⎫⎡⎤-+->∈ ⎪⎣⎦⎝⎭∴ 原不等式等价于不等式(1)1,2,230x x ⎡⎤∈∴-<⎣⎦不等式(1)恒成立等价于()201,2x a x x⎡⎤+-<∈⎣⎦恒成立。

4从而只要max 2()(1,2)a x x x⎡⎤>+∈⎣⎦。

又容易知道2()f x x x =+在1,2⎡⎤⎣⎦上递减,max 2()3(1,2)x x x⎡⎤∴+=∈⎣⎦。

所以3a >。

六、 设AF 的延长线交BDF 于K ,AEF AKBAEF AKB ∠=∠∴∆∆ 因此,EK BK AE AKAF AB AF AB==。

于是要证(1), 只需证明:(2)CD BK DF AK BD AB ⋅+⋅=⋅ 又注意到KBD KFD C ∠=∠=∠。

我们有1sin 2DCK S CD BK C ∆=⋅⋅∠进一步有1sin 21sin 2ABD ADK S BD AB CS AK DF C∆∆=⋅⋅∠=⋅⋅∠因此要证(2),只需证明(3)ABD DCK ADKS S S ∆∆∆=+ 而(3)//(4)ABC AKC S S BK AC∆∆⇔=⇔ 事实上由BKA FDB KAC ∠=∠=∠知(4)成立,得证。

七、 (1)如右图所示:表格中有“*”,表示该球队在该周有主场比赛,不能出访。

容易验证,按照表中的安排,6支球队四周可以完成该项比赛。

(2)下面证明7支球队不能在四周完成该项比赛。

设(1,2,3,4,5,6,7)i S i =表示i 号球队的主场比赛周次的集合。

假设4周内能完成该项比赛,则i S 是{1,2,3,4}的非空真子集。

一方面由于某周内该球队有主场比赛,在这一周内不能安排该球队的客场比赛,所以(1,2,3,4,5,6,7)i S i =中,没有一个集是另一个的子集。

另一方面,设{}{}{}{1},{1,2},{1,2,3},{2},{2,3},{2,3,4},{3},{1,3},{1,3,4}A B C ===球队 第一周 第二周 第三周 第四周1 * *2 * *3 * *4 * *5 * *6 * *D 123E F BAC5{}{}{}{4},{1,4},{1,2,4},{2,4},{3,4}D E F ===由抽屉原理,一定存在,,,,{1,2,3,4,5}i j i j i j ≠∈,,i j S S 属于同一集合A 或B 或C 或D 或E 或F ,必有i j S S ⊆或j i S S ⊆发生。

所以n 的最大值是6。

八、 设(,,,)a b b c c df a b c d a b b c c d---=+++++。

记:{(,,,)|1,,,10,(,,,)0}A x y z u x y z u f x y z u ≤≤>, :{(,,,)|1,,,10,(,,,)0}B x y z u x y z u f x y z u ≤≤<, :{(,,,)|1,,,10,(,,,)0}C x y z u x y z u f x y z u ≤≤=, 显然4()()()10card A card B card C ++=。

我们证明()()card A card B =。

对每一个(,,,)x y z u A ∈,考虑(,,,)x u z y 。

(,,,)(,,,)000(,,,)0(,,,)x y y z z u u xx y z u A f x y z u x y y z z u u xx u u z z y y x f x y z u x u u z z y y x x u z y B----∈⇔>⇔+++>++++----⇔+++<⇔<++++⇔∈ 接着计算()card C 。

(,,,)()()()0()()()()xz yu xz yux y z u C z x u y xz yu x y z u y z u x --∈⇔=⇔---=++++设1{(,,,)|,1,,,10}C x y z u x z x y z u ==≤≤,2{(,,,)|,,1,,,10}C x y z u x z y u x y z u =≠=≤≤, 3{(,,,)|,,,1,,,10}C x y z u x z y u x z y u x y z u =≠≠=≤≤。

满足,(,,,)a b c d a b c d ⨯=⨯为1、2、3、...、10的两两不同的无序四元组只有1623,1824,11025,2634,2936,21045,⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯ 3846,31056,41058⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯。

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