离散型随机变量的均值教案
离散型随机变量的均值教案
离散型随机变量的均值教案一、教学目标1.理解离散型随机变量的概念及其性质。
2.掌握计算离散型随机变量的均值的方法。
3.能够应用离散型随机变量的均值解决相关问题。
二、教学内容1.离散型随机变量的概念2.离散型随机变量的均值的计算方法3.离散型随机变量均值的性质4.应用离散型随机变量的均值解决实际问题三、教学过程及内容安排1.离散型随机变量的概念-给学生出示一组数据：{1,2,3,4,5}，运用思考法引导学生思考这组数据与随机变量的关系。
-讲解离散型随机变量的概念：离散型随机变量是以一组有限或无限个不相同的实数为取值的，取值是按其中一种规律与随机现象的各种结果相对应的随机变量。
2.离散型随机变量的均值的计算方法-通过示例引导学生掌握计算离散型随机变量的均值的方法。
-以掷骰子的例子进行讲解：假设掷一枚骰子，随机变量X表示骰子点数，取值为{1,2,3,4,5,6}，对应的概率为{1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6}，则X的均值为(1×1/6+2×1/6+3×1/6+4×1/6+5×1/6+6×1/6)=3.53.离散型随机变量均值的性质-引导学生讨论离散型随机变量均值的性质：均值具有唯一性，期望与随机变量的线性变换性质等。
4.应用离散型随机变量的均值解决实际问题-提供实际问题，比如买彩票赢奖的问题，引导学生运用离散型随机变量的均值解决相关问题。
四、教学方法1.引导发现法：通过引导学生自主发现离散型随机变量的均值计算方法和性质，增强学生的主动学习能力。
2.案例分析法：通过实际问题的解析，帮助学生理解和应用离散型随机变量的均值。
五、教学资源1.板书和白板笔2.教学用实例六、教学评价1.课堂讨论：通过学生的参与讨论，评价学生对离散型随机变量的均值的理解和运用能力。
2.小组活动：组织学生分组进行离散型随机变量均值的计算和实际问题的解决，评价小组合作和解决问题的能力。
离散型随机变量的均值教案
离散型随机变量的均值教案第一章：离散型随机变量的概念1.1 离散型随机变量的定义介绍离散型随机变量的概念举例说明离散型随机变量1.2 离散型随机变量的概率分布概率分布的定义概率分布的性质概率分布的图像表示1.3 离散型随机变量的数学期望数学期望的定义数学期望的计算方法数学期望的性质第二章：离散型随机变量的均值2.1 离散型随机变量的均值的定义均值的定义均值的计算方法均值的性质2.2 离散型随机变量的均值的计算均值的计算公式均值的计算实例均值的近似计算方法均值的估计方法均值的估计误差均值的估计实例第三章：离散型随机变量的方差3.1 离散型随机变量的方差的定义方差的定义方差的计算方法方差的性质3.2 离散型随机变量的方差的计算方差的计算公式方差的计算实例方差的近似计算方法3.3 离散型随机变量的方差的估计方差的估计方法方差的估计误差方差的估计实例第四章：离散型随机变量的标准差4.1 离散型随机变量的标准差的定义标准差的定义标准差的计算方法标准差的性质标准差的计算公式标准差的计算实例标准差的近似计算方法4.3 离散型随机变量的标准差的估计标准差的估计方法标准差的估计误差标准差的估计实例第五章：离散型随机变量的均值的性质与应用5.1 离散型随机变量的均值的性质均值的线性性质均值的单调性质均值的连续性质5.2 离散型随机变量的均值的应用均值在统计推断中的应用均值在决策分析中的应用均值在概率论中的应用5.3 离散型随机变量的均值的估计的应用均值的估计在置信区间中的应用均值的估计在假设检验中的应用均值的估计在样本调查中的应用第六章：离散型随机变量均值的极限收敛性的定义收敛性的判定条件收敛性的性质6.2 大数定律与均值的极限大数定律的定义及其意义大数定律的证明方法均值的极限性质6.3 中心极限定理与均值的极限中心极限定理的定义及其意义中心极限定理的条件均值的极限应用第七章：离散型随机变量均值的变换7.1 离散型随机变量的函数随机变量函数的定义随机变量函数的性质随机变量函数的图像表示7.2 离散型随机变量均值的变换均值的变换公式均值的变换性质均值的变换应用7.3 离散型随机变量条件的均值条件概率与条件均值的概念条件均值的计算方法条件均值的应用第八章：离散型随机变量均值的推断8.1 离散型随机变量均值的估计均值的估计方法均值的估计误差均值的估计应用8.2 离散型随机变量均值的置信区间置信区间的概念置信区间的计算方法置信区间的应用8.3 离散型随机变量均值的假设检验假设检验的概念与步骤均值的假设检验方法均值的假设检验应用第九章：离散型随机变量均值的实际应用9.1 离散型随机变量均值在经济学中的应用均值在需求与供给分析中的应用均值在市场预测中的应用均值在决策分析中的应用9.2 离散型随机变量均值在工程中的应用均值在质量控制中的应用均值在信号处理中的应用均值在其他工程领域的应用9.3 离散型随机变量均值在社会科学中的应用均值在社会调查中的应用均值在心理学研究中的应用均值在其他社会科学领域的应用第十章：总结与展望10.1 离散型随机变量均值的重要性质与方法总结均值的性质与方法强调均值在概率论与统计学中的重要性10.2 离散型随机变量均值的研究进展介绍均值研究的新进展展望均值研究的发展方向10.3 离散型随机变量均值的进一步学习建议推荐进一步学习的教材与参考书鼓励学生参与实际应用与研究项目强调理论与实践相结合的学习方法重点和难点解析一、离散型随机变量的概念：理解离散型随机变量的定义及其与连续型随机变量的区别是教学的重点。
教学设计7：2.3.1 离散型随机变量的均值
2.3.1 离散型随机变量的均值整体设计教材分析本课是一节概念新授课，数学期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数．学习数学期望将为今后学习概率统计知识做铺垫．同时，它在市场预测、经济统计、风险与决策等领域有着广泛的应用，对今后学习数学及相关学科产生深远的影响．具体做法如下：(1)先通过创设情境激发学生学习数学的情感，引导学生分析问题、解决问题．经历概念的建构这一过程，培养学生归纳、概括等合情推理能力．(2)再通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力和学以致用的数学应用意识．培养其严谨治学的态度，积极探索的精神，从而实现自我的价值．“授之以鱼，不如授之以渔”，注重发挥学生的主体性，让学生在学习中学会怎样发现问题、分析问题、解决问题．课时分配1课时教学目标知识与技能了解离散型随机变量的均值或数学期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或数学期望．过程与方法理解公式“E(aX＋b)＝aE(X)＋b”，以及“若X～B(n，p)，则E(X)＝np”，能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或数学期望．情感、态度与价值观培养学生对新知识的科学态度，勇于探索和敢于创新的精神．体现数学的文化功能与人文价值．重点难点教学重点：离散型随机变量的均值或数学期望的概念．教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或数学期望．教学过程复习回顾1．分布列：设离散型随机变量X 可能取的值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ， X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率为P (X ＝x i )＝p i ，则称表为随机变量X 的概率分布，简称X 的分布列．2．分布列的两个性质：(1)p i ≥0，i ＝1,2，…，n ；(2) i ＝1np i ＝1.教师指出：前面，我们认识了随机变量的分布列．对于离散型随机变量，确定了它的分布列，可以方便地得出随机变量的某些特定的概率，也就掌握了随机变量取值的统计规律．但在实际上，分布列的用途远不止于此，提出问题：已知某射手射击所得环数X 的分布列如下设计意图：抛砖引玉，引出课题．教师指出：在n 次射击之前，可以根据这个分布列估计n 次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或数学期望．提出问题：如何估计该射手n 次射击的平均环数，还需知道哪些信息？如何得到？ 学情预测：学生联系以前所学样本平均数的求法，自然想到需要估计各射击成绩的项数． 活动结果：根据射手射击所得环数X 的分布列，我们可以估计，在n 次射击中，预计大约有P (X ＝4)×n ＝0.02n 次得4环； P (X ＝5)×n ＝0.04n 次得5环； …………P (X ＝10)×n ＝0.22n 次得10环． 故n 次射击的总环数大约为4×0.02×n ＋5×0.04×n ＋…＋10×0.22×n ＝(4×0.02＋5×0.04＋…＋10×0.22)×n ， 从而，预计n 次射击的平均环数约为4×0.02＋5×0.04＋…＋10×0.22＝8.32.这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．探究新知推而广之，对于任一射手，若已知其射击所得环数X 的分布列，即已知各个P (X ＝i )(i ＝0,1,2，…，10)，我们可以同样预计他任意n 次射击的平均环数：0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋…＋10×P (X ＝10)． 接下来我们一起学习一下均值的定义 1．均值(或数学期望)：一般地，若离散型随机变量X 的分布列为则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为X 的均值或数学期望． ※教师补充：(1)区别ξ与Eξ.随机变量ξ是可变的，可取不同的值；均值Eξ是不变的，它是离散型随机变量的一个特征数，由ξ的分布列唯一确定，它反映了ξ取值的平均水平．(2)区别随机变量的均值与相应数值的算术平均数．均值表示随机变量在随机试验中取值的平均值，它是概率意义上的平均值，不同于相应数值的算术平均数．理解新知章首问题回顾：商场内的促销活动可获得经济效益2万元；商场外的促销活动，如果不遇雨天则带来经济效益10万元， 如果遇到雨天则带来经济损失4万元．假设国庆节有雨的概率是40%，请问商场应该选择哪种促销方式较好？(商场外) 解：商场外平均效益为10×P (ξ＝10)＋(－4)×P (ξ＝－4)＝10×0.6－4×0.4＝4.4. 提出问题：离散型随机变量X 的数学期望E (X )与x 1，x 2，…，x i ，…，x n 的平均数 x ＝(x 1＋x 2＋…＋x n )×1n，有何关系？活动结果：一般地，在有限取值的离散型随机变量X 的概率分布中，若p 1＝p 2＝…＝p n ，则有p 1＝p 2＝…＝p n ＝1n ，E (X )＝(x 1＋x 2＋…＋x n )×1n ，所以此时X 的数学期望就是x 1，x 2，…，x i ，…，x n 的平均数．继续探究：根据以前所学我们知道，若一组数据x i (i ＝1,2，…，n )的平均数为x ，那么另一组数据ax i ＋b (a 、b 是常数且i ＝1,2，…，n )的平均数为a x ＋b .类似地，我们可以联想得到离散型随机变量X 的均值也具有类似的性质：2．均值的一个性质：若Y ＝aX ＋b (a 、b 是常数)，X 是随机变量，则Y 也是随机变量，它们的分布列为：于是E (Y )＝(ax 1＋b )p 1＋(ax 2＋b )p 2＋…＋(ax i ＋b )p i ＋…＋(ax n ＋b )p n ＝a (x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n )＋b (p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＋p n ) ＝aE (X )＋b ，由此，我们得到了期望的一个性质：E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .运用新知例1 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分ξ的均值．解：因P (ξ＝1)＝0.7，P (ξ＝0)＝0.3，所以Eξ＝1×0.7＋0×0.3＝0.7. 活动结果：此为两点分布，可猜想当X 服从两点分布时，有E (X )＝p .继续发问：两点分布是一个特殊的二项分布，那么一般地，若X ～B (n ，p )，则E (X )＝？ 活动结果：若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np . 证明如下：设1－p ＝q .∵P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k ＝C k n p k qn －k， ∴E (X )＝0×C 0n p 0q n ＋1×C 1n p 1q n －1＋2×C 2n p 2q n －2＋…＋k ×C k n p k q n －k ＋…＋n ×C n np n q 0.又∵k C k n ＝k ·n ！k ！(n －k )！＝n ·(n －1)！(k －1)！[(n －1)－(k －1)]！＝n C k －1n －1， ∴E (X )＝np (C 0n －1p 0q n －1＋C 1n －1p 1q n －2＋…＋C k －1n －1pk －1q (n －1)－(k －1)＋…＋C n －1n －1pn －1q 0) ＝np (p ＋q )n －1＝np .故若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np .例2 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号． (Ⅰ)求ξ的分布列，均值；(Ⅱ)若η＝aξ＋4，Eη＝1，求a 的值． 解：(Ⅰ)ξ的分布列为：ξ的均值：Eξ＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝32.(Ⅱ)Eη＝aEξ＋4＝1，又Eξ＝32，则a ×32＋4＝1，∴a ＝－2.例3 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12、13、16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(Ⅰ)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(Ⅱ)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及数学期望．解：记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3.由题意知A 1，A 2，A 3相互独立，B 1，B 2，B 3相互独立，C 1，C 2，C 3相互独立，A i ，B j ，C k (i ，j ，k ＝1,2,3，且i ，j ，k 互不相同)相互独立，且P (A i )＝12，P (B i )＝13，P (C i )＝16. (1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P ＝3！P (A 1B 2C 3)＝6P (A 1)P (B 2)P (C 3)＝6×12×13×16＝16.(2)解法1：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知，η～B (3，13)，且ξ＝3－η.所以P (ξ＝0)＝P (η＝3)＝C 33(13)3＝127， P (ξ＝1)＝P (η＝2)＝C 23(13)2(23)＝29， P (ξ＝2)＝P (η＝1)＝C 13(13)(23)2＝49， P (ξ＝3)＝P (η＝0)＝C 03(23)3＝827. 故ξ的分布列是ξ的数学期望Eξ＝0×127＋1×29＋2×49＋3×827＝2.解法2：记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件D i ， i ＝1,2,3.由已知，D 1，D 2，D 3相互独立，且 P (D i )＝P (A i ＋C i )＝P (A i )＋P (C i )＝12＋16＝23.所以ξ～B (3，23)，即P (ξ＝k )＝C k 3(23)k (13)3－k，k ＝0,1,2,3. 故ξ的分布列是ξ的数学期望Eξ＝0×127＋1×29＋2×49＋3×827＝2.变练演编有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，出现1，你赢8元；出现2或3或4，你输3元；出现5或6，不输不赢．这场赌博对你是否有利？ 解：Eξ＝16×8＋12×(－3)＋13×0＝－16.对你不利，劝君莫赌博！变式：准备一个布袋，内装6个红球与6个白球，除颜色不同外，六个球完全一样．每次从袋中摸6个球，输赢的规则为：6个全红 赢得100元 5红1白 赢得50元 4红2白 赢得20元 3红3白 输100元 2红4白 赢得20元 1红5白 赢得50元 6个全白 赢得100元 这一次你动心了没有？ 略解：结果 出现的概率 6个全红 0.1% 5红1白 3.9% 4红2白 24.4% 3红3白 43.2% 2红4白 24.4% 1红5白 3.9% 6个全白 0.1% 达标检测1．随机地抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望． 解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为所以Eξ＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×16＋6×16＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×16＝3.5.抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．2．某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4 km 时租车费为10元，若行驶路程超出4 km ，则按每超出1 km 加收2元计费(超出不足1 km 的部分按1 km 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15 km.某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按1 km路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收租车费为η. (Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；(Ⅱ)若随机变量ξ的分布列为求所收租车费η的数学期望．(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15 km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟？解：(Ⅰ)依题意得η＝2(ξ－4)＋10，即η＝2ξ＋2；(Ⅱ)Eξ＝15×0.1＋16×0.5＋17×0.3＋18×0.1＝16.4.∵η＝2ξ＋2，∴Eη＝2Eξ＋2＝34.8.故所收租车费η的数学期望为34.8元．(Ⅲ)由38＝2ξ＋2，得ξ＝18,5×(18－15)＝15.所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟．课堂小结1．离散型随机变量的均值，反映了随机变量取值的平均水平；2．求离散型随机变量ξ的均值的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由均值的定义求出Eξ.公式E(aξ＋b)＝aEξ＋b，以及服从二项分布的随机变量的均值Eξ＝np.补充练习基础练习1．随机变量ξ的分布列是(1)则Eξ＝________________________________.(2)若η＝2ξ＋1，则Eη＝____________________________. 【答案】(1)2.4 (2)5.8 2．随机变量ξ的分布列是Eξ＝7.5，则a ＝________，b ＝______. 【答案】0.1 0.43．(1)若Eξ＝4.5，则E (－ξ)＝______. (2)E (ξ－Eξ)＝______. 【答案】(1)－4.5 (2)0 拓展练习1．某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知某学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．(Ⅰ)记“函数f (x )＝x 3＋ξ为R 上的奇函数”为事件A ，求事件A 的概率； (Ⅱ)求ξ的分布列和数学期望．解：设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为x 、y 、z . 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x(1－y)(1－z)＝0.08，xy(1－z)＝0.12，1－(1－x)(1－y)(1－z)＝0.88，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0.4，y ＝0.6，z ＝0.5.(Ⅰ)若函数f (x )＝x 3＋ξ为R 上的奇函数，则ξ＝0.当ξ＝0时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选． ∴P (A )＝P (ξ＝0)＝xyz ＋(1－x )(1－y )(1－z ) ＝0.4×0.5×0.6＋(1－0.4)(1－0.5)(1－0.6)＝0.24. ∴事件A 的概率为0.24.(Ⅱ)依题意知ξ＝0或2，则ξ的分布列为：∴ξ的数学期望为Eξ＝0×0.24＋2×0.76＝1.52.2．春节期间，小王用私家车送4位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每一个景点下车的概率均为13，用ξ表示4位朋友在第三个景点下车的人数，求：(Ⅰ)随机变量ξ的分布列； (Ⅱ)随机变量ξ的均值．解法一：(Ⅰ)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4. 由等可能性事件的概率公式得P (ξ＝0)＝(23)4＝1681，P (ξ＝1)＝C 14·2334＝3281，P (ξ＝2)＝C 24·2234＝827，P (ξ＝3)＝C 34·234＝881，P (ξ＝4)＝(13)4＝181.从而ξ的分布列为(Ⅱ)由(Ⅰ)得ξ的均值为Eξ＝0×1681＋1×3281＋2×827＋3×881＋4×181＝43.解法二：(Ⅰ)考察一位朋友是否在第三个景点下车为一次试验，这是4次独立重复试验． 故ξ～B (4，13)，即有P (ξ＝k )＝C k 4(13)k (23)4－k，k ＝0,1,2,3,4. 解法三：(Ⅱ)由对称性与等可能性，在三个景点任意一个景点下车的人数有相同的分布列，故均值相等．即3Eξ＝4，从而Eξ＝43.设计说明本节课在情境创设，例题设置中注重与实际生活联系，让学生体会数学的应用价值，在教学中注意观察学生是否置身于数学学习活动中，是否兴趣浓厚、探究积极，并愿意与老师、同伴交流自己的想法．通过学生回答问题，学生举例，归纳总结等方面反馈学生对知识的理解、运用．教师根据反馈信息适时点拨，同时从新课标评价理念出发，鼓励学生发表自己的观点、充分质疑，并抓住学生在语言、思想等方面的亮点给予表扬，树立自信心，帮助他们积极向上．。
《离散型随机变量的均值》教学设计
《离散型随机变量的均值》教学设计教学设计：离散型随机变量的均值一、教学目标1.知识目标：了解离散型随机变量和离散型随机变量的概率分布；2.技能目标：能够计算离散型随机变量的均值；3.情感目标：培养学生对数学的兴趣和学习积极性。
二、教学重点和难点1.教学重点：离散型随机变量的均值计算；2.教学难点：离散型随机变量的概率分布及均值计算。
三、教学准备1.教师准备：黑板、彩色粉笔、投影仪、PPT、实物模型；2.学生准备：学生书、铅笔、笔记本。
四、教学过程1.导入新课（5分钟）通过提问方式引入离散型随机变量的均值，例如：“小明有一枚均匀的骰子，可以掷一次，请问掷出的点数是多少？如果掷了100次，每个点数出现的次数又是多少？”引导学生思考，解释这种变量的特点。
2.讲解离散型随机变量的概念（10分钟）1)定义：离散型随机变量是指取有限个或可数个数值的变量；2)随机变量与概率分布：引入概念，解释随机变量的取值与其对应的概率。
3.计算离散型随机变量的均值（15分钟）1)期望：引入期望的概念，解释期望的意义；2)离散型随机变量的期望计算公式：E(X)=Σ(x*P(X=x))，讲解公式中各个符号的含义；3)例题演练：通过实例演示如何计算离散型随机变量的均值，指导学生进行计算操作。
4.练习与讨论（20分钟）1)练习册作业：提供一些计算离散型随机变量均值的练习，让学生进行个人思考和解答；2)讨论答案：对部分题目进行讲解和讨论，帮助学生纠正错误和加深理解。
5.案例分析（25分钟）通过一个实际问题的案例分析，让学生运用所学知识解决问题，提高他们对知识的应用能力。
6.总结归纳（10分钟）总结离散型随机变量的概念、均值计算公式以及计算步骤，强调重要概念和解题技巧。
五、教学反思本节课以讲解为主，结合案例和实例进行练习和讨论，旨在提高学生对离散型随机变量均值计算的理解和应用能力。
通过实例和案例的讲解，可以帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
教学设计5：2.3.1 离散型随机变量的均值
2.3.1离散型随机变量的均值三维目标1.知识与技能(1)通过实例，理解取有限个值的离散型随机变量均值(数学期望)的概念和意义．(2)能计算简单离散型随机变量的均值(数学期望)，并能解决一些实际问题．(3)会求两点分布和二项分布的均值．2．过程与方法通过实例理解取有限值离散型随机变量均值的含义，通过对比体会随机变量的均值与样本的平均值的联系与区别．3．情感、态度与价值观体验数学的价值，增强学习数学的兴趣．重点、难点重点：离散型随机变量均值的概念与计算．难点：离散型随机变量均值的性质及应用．引导学生结合分布列的知识，认识均值的概念，通过例题与练习让学生在应用离散型随机变量均值概念的过程中深入地理解其概念及性质．教学建议教学时以形象的混合糖的定价问题的解释为例，引出离散型随机变量的均值的定义，引导学生根据均值的定义推导E(ax＋b)，接着计算两点分布和二项分布的均值，让学生在推导过程中加深理解均值的含义．教学流程创设问题情境，提出问题．⇒引导学生回答问题，理解离散型随机变量的均值及性质．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握求离散型随机变量的均值．⇒通过例2及互动探究，使学生掌握二项分布的均值的应用．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握均值的实际应用．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正．课标解读1．理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．2．掌握两点分布、二项分布的均值．3．会利用离散型随机变量的均值，解决一些相关问题.知识离散型随机变量的均值【问题导思】某城市随机抽样调查了1000户居民的住房情况，发现户型主要集中于160 m 2、100 m 2、60 m 2三种，相应住房的比例为1∶5∶4，能否说该市的人均住房面积为160＋100＋603≈106.7 m 2吗？显然此种计算不合理，忽略了不同住房面积的居民所占的权重，造成了“被平均”现象．如何计算人均住房面更为合理？【提示】 户型面积与权数相结合 即160×110＋100×510＋60×410＝90(m 2)．1．离散型随机变量的均值或数学期望 (1)定义：若离散型随机变量X 的分布列为：X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望． (2)意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(3)性质：如果X 为(离散型)随机变量，则Y ＝aX ＋b (其中a ，b 为常数)也是随机变量，且P (Y ＝ax i ＋b )＝P (X ＝x i )，i ＝1,2,3，…，n .E (Y )＝E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .2．两点分布和二项分布的均值 (1)若X 服从两点分布，则E (X )＝p . (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np .类型1求离散型随机变量的期望例1 在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； (2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望．【思路探究】 (1)可先求“甲乙两单位的演出序号至少有一个为奇数”的对立事件的概率．(2)先求出ξ的取值及每个取值的概率，然后求其分布列和期望． 解 只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数．(1)设A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P (A )＝1－P (A )＝1－C 23C 26＝1－15＝45.(2)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4，且P (ξ＝0)＝5C 26＝13，P (ξ＝1)＝4C 26＝415，P (ξ＝2)＝3C 26＝15，P (ξ＝3)＝2C 26＝215，P (ξ＝4)＝1C 26＝115. 从而知ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 4 P1341515215115∴E (ξ)＝0×13＋1×415＋2×15＋3×215＋4×115＝43.规律方法1．准确列出分布列是求均值的关键． 2．求离散型随机变量ξ的均值的步骤：(1)根据ξ的实际意义，写出ξ的全部取值； (2)求出ξ的每个值的概率； (3)写出ξ的分布列； (4)利用定义求出均值．其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中应注重分析概率的相关知识． 变式训练甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为12与25，投中得1分，投不中得0分．甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和X 的数学期望．解 依题意，记“甲投一次命中”为事件A ， “乙投一次命中”为事件B ，则P (A )＝12，P (B )＝25，P (A )＝12，P (B )＝35.甲、乙两人得分之和X 的可能取值为0、1、2， 则X 的分布列为：X 0 1 2 P3101215E (X )＝0×310＋1×12＋2×15＝910.∴每人在罚球线各投球一次，两人得分之和X 的数学期望为910.类型2二项分布的均值例2 某运动员投篮命中率为p ＝0.6.(1)求投篮1次时命中次数X 的数学期望； (2)求重复5次投篮时，命中次数Y 的数学期望．【思路探究】 (1)投篮1次命中次数X 服从两点分布，故由两点分布的均值公式可求得；(2)重复5次投篮，命中次数X 服从二项分布，代入公式E (X )＝np 可得．解 (1)投篮1次，命中次数X 的分布列如下表：X 0 1 P0.40.6则E (X )＝p ＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y 服从二项分布，即Y ～B (5,0.6)．则E (Y )＝np ＝5×0.6＝3. 规律方法1．如果随机变量X 服从两点分布，则其期望值E (X )＝p (p 为成功概率)．2．如果随机变量X 服从二项分布即X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，以上两特例可以作为常用结论，直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程． 互动探究若本例中命中率为0.8.求重复5次投篮时，命中次数Y 的数学期望．解 重复5次投篮，命中的次数Y 服从二项分布，即Y ～B (5,0.8)，∴E (Y )＝np ＝5×0.8＝4.类型3数学期望的实际应用 例3 随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X .(1)求X 的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X 的数学期望)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？【思路探究】 根据利润的意义写出ξ的取值→写出ξ的分布列→求出数学期望E (X )→利用期望回答问题解 (1)X 的所有可能取值有6,2,1，－2. P (X ＝6)＝126200＝0.63，P (X ＝2)＝50200＝0.25，P (X ＝1)＝20200＝0.1，P (X ＝－2)＝4200＝0.02.故X 的分布列为：X 6 2 1 －2 P0.630.250.10.02(2)E (X )＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34.(3)设技术革新后的三等品率为x ，则此时1件产品的平均利润为 E (x )＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x )＋1×x ＋(－2)×0.01 ＝4.76－x (0≤x ≤0.29)．依题意，E (x )≥4.73，即4.76－x ≥4.73. 解得x ≤0.03，所以三等品率最多为3%. 规律方法1．本题利用数学期望解决实际问题，运用了方程与不等式的思想，利用已知条件构建不等式，通过解不等式求得三等品率的最大值．2．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，在解决实际问题的过程中，关键是把实际问题模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应的各事件可能性的大小，并列出分布列，最后用数学期望等知识解决问题． 变式训练学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)(1)求在1次游戏中， (ⅰ)摸出3个白球的概率； (ⅱ)获奖的概率．(2)求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E (X )．解 (1)(ⅰ)设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件A i (i ＝0,1,2,3)，则P (A 3)＝C 23C 25·C 12C 23＝15.(ⅱ)设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则B ＝A 2∪A 3.又P (A 2)＝C 23C 25·C 22C 23＋C 13C 12C 25·C 12C 23＝12，且A 2，A 3互斥，所以P (B )＝P (A 2)＋P (A 3)＝12＋15＝710.(2)由题意可知X 的所有可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝(1－710)2＝9100，P (X ＝1)＝C 12710×(1－710)＝2150， P (X ＝2)＝(710)2＝49100.所以X 的分布列是X 0 1 2 P9100215049100X 的数学期望E (X )＝0×9100＋1×2150＋2×49100＝75.易错易误辨析 不能准确理解题意致错典例 根据统计，一年中，一个家庭万元以上财产被窃的概率为0.01，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者交保险费100元，若在一年之内，万元以上财产被窃，保险公司赔偿a 元(a ＞100)，问a 如何确定，可使保险公司获益？【错解】 设保险公司获益ξ元，则可得ξ的分布列如表1： 表1ξ 100 －a P0.990.01所以E (ξ)＝100×0.99＋(－a )·0.01＝99－0.01a . 由E (ξ)＞0，得100＜a ＜9 900.故当100＜a ＜9 900时，可使保险公司获益．【错因分析】 由于没有理解题意而把随机变量的取值弄错了，因为当该家庭失窃时，保险公司需赔偿a 元，但是已收取了100元，故其损失为(－a ＋100)元．【防范措施】 对于以实际问题为背景的应用题，解题时要准确理解题意，明确各量之间的关系，避免出现错误．【正解】 设保险公司获益ξ元，则可得ξ的分布列如表2： 表2ξ 100 －a ＋100 P0.990.01所以E (ξ)＝100×0.99＋(－a ＋100)·0.01＝100－0.01a ＞0. 所以100＜a ＜10 000，即当100＜a ＜10 000时，可使保险公司获益．课堂小结1．随机变量的均值反映的是离散型随机变量取值的平均水平．在实际问题的决策中，往往把均值最大的方案作为最佳方案进行选择．2．二项分布的数学期望是求期望的一种常见形式，在理解的基础上应熟练记住．对于 二项分布的解答，如果采用E (X )＝np ，会大大减少运算量.当堂检测1．若随机变量X 服从二项分布B (4，13)，则E (X )的值为( )A.43B.83C.133D.89 【解析】 E (X )＝np ＝4×13＝43.【答案】 A 2．随机变量X 的分布列为X 1 3 5 P0.50.30.2则其数学期望为( ) A.1 B.13C.4.5D.2.4【解析】 E (X )＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4. 【答案】 D3．设E (X )＝10，则E (3x ＋5)＝________.【解析】 E (3X ＋5)＝3E (X )＋5＝3×10＋5＝35. 【答案】 354．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚球不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球1次的得分X 的均值．解 得分X 的可能取值为0,1.P (X ＝0)＝1－0.7＝0.3，P (X ＝1)＝0.7， 故X 的概率分布列为X 1 0 P0.70.3∴E (X )＝1×0.7＋0×0.3＝0.7.。
1离散型随机变量的均值
2.3.1 离散型随机变量的均值一、教学目标:1、知识与技能目标(1)通过生活中的实例,使学生形成并理解离散型随机变量均值的概念。
(2)会计算简单的离散型随机变量的均值,并能解决简单的实际问题。
2、过程与方法目标(1)经历形成数学均值概念的过程,体会从特殊到一般的数学思想方法。
(2)通过离散型随机变量均值概念的探究形成,经历建构数学概念这一过程,使学生学会概括、抽象数学问题的方法,通过应用,培养学生的数学应用意识。
3、情感与态度目标通过经历数学发现的过程,培养其积极探索的精神,通过数学在实际生活中的应用,激发学生学习数学的热情。
二、学情分析：本节课之前,学生已有平均值、概率、离散型随机变量及其分布列,二项分布及其应用等基础知识,具备了学习本节知识的知识储备。
三、重点难点：教学重点:离散型随机变量均值的概念及性质。
教学难点:离散型随机变量均值概念的形成和理解及二项分布的均值。
四、教学过程：1、创设情景，引入新课提出问题，学生思考某商场要将单价分别为18元/kg、24元/kg、36元/kg的3种糖果按3:2:1的比例混合销售,如何对混合糖果定价才合理？通过学生与学生的交流，老师与学生的交流共同总结出离散型随机变量的均值的定义。
通过对定义的总结使学生学会概括、抽象数学问题的方法,通过应用,培养学生的数学应用意识。
则称E(X)=x1p1 +x2p2+ +x i p i+ +x n p n ,为随机变量X的均值或数学期望,数学期望又简称为期望。
它反映了离散型随机变量取值的平均水平2、总结求均值的步骤:通过两个简单的小题，让学生总结求均值的步骤:①求分布列②代公式3、均值或期望的一个性质:若Y＝aX＋b则E(Y)=aE(X)+b,此性质让学生自己推导，投影，学生自己点评。
4、两点分布的均值：E(X)=p，给出下面的问题：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知姚明目前罚球命中的概率为0.8，求他罚球1次的得分ξ的均值？学生自己推导。
离散型随机变量的均值教学案
《离散型随机变量的均值》教学案教学目标：1．[知识与技能目标] 通过实例，让学生理解离散型随机变量均值的概念，了解其实际含义．会计算简单的离散型随机变量的均值，并解决一些实际问题．2．[过程与方法目标]经历概念的建构这一过程，让学生进一步体会从特殊到一般的思想，培养学生归纳、概括等合情推理能力．通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力并发展学生的数学应用意识．3．[情感与态度目标]通过创设情境激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境．教学重点、难点：1．重点：离散型随机变量均值的概念、实际含义．2．难点：离散型随机变量均值的实际应用．授课类型：新授课教具：多媒体教学设想：采用“设置问题，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”的教学模式，主要运用启发式、探究式教学方法，以启发、引导为主，采用设疑的方式逐步让学生进行探究式学习．.教学的基本流程设计及过程：教学过程：（一）、问题情境、分析探索问题一:某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？问题二：某人买了1kg这种混合糖果，他需要付多少钱？而他买的糖果的实际价值与之相同吗？问题三：假如每一颗糖果的质量大小都相同，从这种混合糖果中随机选取一颗，记X为这颗糖果的单价（元/kg）你能写出X的分布列吗？（二）、概念建构、准确理解离散型随机变量均值的定义一般地,若离散型随机变量X 的概率分布为则称为随机变量X 的均值或数学期望,数学期望又简称为期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．（三）、课堂练习、巩固提升1、离散型随机变量X 的概率分布列为：（1） 求随机变量X 可能取值的平均数．（2）求随机变量X 的均值．2.3．离散型随机变量X 的概率分布列为：4.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X 的期望是多少？连续罚球3次的得分X 的期望是多少？思考某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A （Ⅱ）求η的分布列及期望E η．（四）、归纳小结、布置作业求离散型随机变量X 的均值步骤：(1)列出相应的分布列(2)利用公式计算EX作业：《世纪金榜》1122i i n n EX x p x p x p x p =++++。
离散型随机变量的均值教案
离散型随机变量的均值教案
教案标题：离散型随机变量的均值教案
教案目标：
1. 了解离散型随机变量的概念和特点；
2. 掌握计算离散型随机变量的均值的方法；
3. 能够应用离散型随机变量的均值解决实际问题。
教学准备：
1. 教材：包含离散型随机变量和均值计算的相关内容；
2. 教具：黑板、粉笔、计算器；
3. 实例：准备一些离散型随机变量的实例，以便学生理解和应用。
教学步骤：
引入：
1. 引导学生回顾随机变量的概念和分类；
2. 引导学生思考离散型随机变量与连续型随机变量的区别。
讲解：
1. 解释离散型随机变量的定义和特点，包括取值有限或可数无限、概率分布列等；
2. 介绍离散型随机变量的均值的概念，即期望值；
3. 讲解离散型随机变量均值的计算方法，包括按定义计算和利用概率分布列计算；
4. 通过实例演示计算离散型随机变量的均值。
练习：
1. 提供一些离散型随机变量的练习题，让学生独立计算均值；
2. 引导学生思考均值的意义和应用场景。
拓展：
1. 引导学生思考离散型随机变量均值的性质和特点；
2. 提供一些拓展题目，让学生进一步应用均值解决实际问题。
总结：
1. 总结离散型随机变量的概念和特点；
2. 强调离散型随机变量均值的计算方法和应用。
教学反思：
1. 教师应根据学生的实际情况和理解程度，调整教学内容和难度；
2. 教师应及时给予学生反馈和指导，帮助他们解决问题。
离散型随机变量的均值教案
离散型随机变量的均值教案第一章：离散型随机变量的概念1.1 离散型随机变量的定义解释离散型随机变量的概念通过实际例子说明离散型随机变量的特点1.2 离散型随机变量的概率分布介绍离散型随机变量的概率分布的概念解释概率分布表的构成及意义1.3 离散型随机变量的数学期望引入离散型随机变量的数学期望的概念解释数学期望的计算方法及意义第二章：离散型随机变量的均值2.1 离散型随机变量的均值的定义解释离散型随机变量的均值的概念通过实际例子说明均值的意义和作用2.2 离散型随机变量的均值的计算方法介绍离散型随机变量的均值的计算方法解释如何根据概率分布表计算均值2.3 离散型随机变量的均值的性质介绍离散型随机变量的均值的性质解释均值的单调性、可加性等性质第三章：离散型随机变量的均值的估计3.1 离散型随机变量的均值的估计的概念解释离散型随机变量的均值的估计的概念通过实际例子说明均值估计的意义和作用3.2 离散型随机变量的均值的估计的方法介绍离散型随机变量的均值的估计的方法解释如何利用样本数据估计总体均值3.3 离散型随机变量的均值的估计的性质介绍离散型随机变量的均值的估计的性质解释估计的准确性、可靠性等性质第四章：离散型随机变量的均值的应用4.1 离散型随机变量的均值在实际问题中的应用通过实际例子说明离散型随机变量的均值在实际问题中的应用解释均值在决策、预测等方面的重要性4.2 离散型随机变量的均值的优化问题介绍离散型随机变量的均值的优化问题解释如何利用均值解决最值问题4.3 离散型随机变量的均值与其他统计量的关系介绍离散型随机变量的均值与其他统计量的关系解释均值与方差、标准差等统计量的联系和区别第五章：离散型随机变量的均值的扩展5.1 离散型随机变量的均值的推广介绍离散型随机变量的均值的推广概念解释如何将均值的概念扩展到更广泛的随机变量5.2 离散型随机变量的均值的极限介绍离散型随机变量的均值的极限概念解释均值的极限性质及意义5.3 离散型随机变量的均值的收敛性介绍离散型随机变量的均值的收敛性概念解释均值的收敛性及其在概率论中的应用第六章：离散型随机变量的均值的不等式6.1 离散型随机变量的均值的不等式概念解释离散型随机变量的均值的不等式概念通过实际例子说明均值的不等式在概率论中的应用6.2 均值的不等式证明及应用介绍均值的不等式证明方法解释均值的不等式在概率论中的重要性和应用6.3 离散型随机变量的均值的不等式与其他数学工具的关系介绍离散型随机变量的均值的不等式与其他数学工具的关系解释均值的不等式与方差、协方差等统计量的不等式联系和区别第七章：离散型随机变量的均值的估计的改进7.1 离散型随机变量的均值的估计的改进概念解释离散型随机变量的均值的估计的改进的概念通过实际例子说明均值估计的改进方法及其意义7.2 均值的估计的改进方法介绍离散型随机变量的均值的估计的改进方法解释如何利用改进方法提高均值估计的准确性和可靠性7.3 离散型随机变量的均值的估计的改进与其他统计方法的关系介绍离散型随机变量的均值的估计的改进与其他统计方法的关系解释均值估计的改进与假设检验、置信区间等统计方法的联系和区别第八章：离散型随机变量的均值的实际应用案例分析8.1 离散型随机变量的均值在经济学中的应用分析离散型随机变量的均值在经济学中的应用案例解释均值在市场需求、价格预测等方面的作用8.2 离散型随机变量的均值在工程学中的应用分析离散型随机变量的均值在工程学中的应用案例解释均值在信号处理、质量控制等方面的作用8.3 离散型随机变量的均值在其他领域中的应用分析离散型随机变量的均值在其他领域中的应用案例解释均值在生物学、环境科学等方面的作用第九章：离散型随机变量的均值的软件实现9.1 离散型随机变量的均值的软件实现方法介绍离散型随机变量的均值的软件实现方法解释如何利用编程语言和统计软件计算均值9.2 离散型随机变量的均值的软件实现案例分析离散型随机变量的均值的软件实现案例解释均值软件实现的具体步骤和结果分析9.3 离散型随机变量的均值的软件实现与实际应用的关系介绍离散型随机变量的均值的软件实现与实际应用的关系解释均值软件实现对实际应用的重要性和影响第十章：总结与展望10.1 离散型随机变量的均值的概念、计算和应用总结总结离散型随机变量的均值的概念、计算和应用的主要内容强调均值在概率论和实际应用中的重要性10.2 离散型随机变量的均值的研究趋势和发展方向探讨离散型随机变量的均值的研究趋势和发展方向预测均值在未来概率论和实际应用中的发展前景重点和难点解析一、离散型随机变量的概念：理解离散型随机变量的定义及其与连续型随机变量的区别是学习均值的基础。
离散型随机变量的均值与方差_教案
离散型随机变量的均值与方差_教案第一章：离散型随机变量的概念1.1 离散型随机变量的定义介绍离散型随机变量的概念通过实例说明离散型随机变量的特点1.2 离散型随机变量的取值讨论离散型随机变量的取值范围解释离散型随机变量的概率分布1.3 离散型随机变量的概率质量函数定义概率质量函数（PMF）示例说明如何计算离散型随机变量的概率第二章：离散型随机变量的均值2.1 离散型随机变量的均值定义引入离散型随机变量的均值概念解释均值的意义和重要性2.2 计算离散型随机变量的均值介绍计算离散型随机变量均值的方法通过实例演示如何计算均值2.3 均值的性质讨论离散型随机变量均值的性质证明均值的线性性质第三章：离散型随机变量的方差3.1 方差的概念引入方差的概念和意义解释方差在描述随机变量离散程度方面的作用3.2 计算离散型随机变量的方差介绍计算离散型随机变量方差的方法通过实例演示如何计算方差3.3 方差的性质讨论离散型随机变量方差的性质证明方差的线性性质第四章：离散型随机变量的标准差4.1 标准差的概念引入标准差的概念和意义解释标准差在描述随机变量离散程度方面的作用4.2 计算离散型随机变量的标准差介绍计算离散型随机变量标准差的方法通过实例演示如何计算标准差4.3 标准差的性质讨论离散型随机变量标准差的性质证明标准差的线性性质第五章：离散型随机变量的期望和方差的关系5.1 期望和方差的关系引入期望和方差的关系概念解释期望和方差在描述随机变量特性方面的作用5.2 计算离散型随机变量的期望和方差介绍计算离散型随机变量期望和方差的方法通过实例演示如何计算期望和方差5.3 期望和方差的性质讨论离散型随机变量期望和方差的性质证明期望和方差的线性性质这五个章节涵盖了离散型随机变量的均值和方差的基本概念、计算方法和性质。
通过这些章节的学习，学生可以掌握离散型随机变量的均值和方差的计算方法，并了解它们在描述随机变量特性和规律方面的应用。
离散性随机变量的均值(教学设计).doc
学习必备欢迎下载2． 3．1 离散型随机变量的均值宁波北仑明港高级中学柳勋一、教学内容解析《离散型随机变量的均值》是《随机变量及其分布》第三节第一小节的内容，本节课是第一课时 . 本节课主要的学习任务是从平均的角度引入离散型随机变量均值的概念，引导学生通过实际问题建立取有限值的离散型随机变量均值的概念，然后推导出离散型随机变量均值的线性性质 E aX b aE X b 以及离散型随机变量服从两点分布的期望 E X P 和服从二项分布期望 E X nP 取有限值的离散型随机变量的均值是在学生学习完离散型随机变量及其分布列的概念基础上，进一步研究离散型随机变量取值特征的一个方面.学习本节课的内容既是随机变量分布的内容的深化，又是后续内容离散型随机变量方差的基础，所以学好本节课是进一步学习离散型随机变量取值特征的其它方面的基础 .离散型随机变量的均值是刻画离散型随机变量取值的平均水平的一个数字特征，是从一个侧面刻画随机变量取值的特点 .在实际问题中，离散型随机变量的均值具有广泛的应用性 .因此我以为本节课的重点是：取有限值的离散型随机变量均值的概念 . 二、教学目标设置：依据《普通高中数学课程标准（实验）》对本节课的要求，并考虑到学生的实际和学习能力，特将本节课的教学目标设定为：1.通过实际问题，使学生体会离散型随机变量均值的概念，理解离散型随机变量均值的线性性质，会计算简单的离散型随机变量的均值，并能解决一些简单的实际问题 .学习必备欢迎下载使学生学会概括、抽象数学问题的方法，通过简单的应用，培养学生的数学应用意识 .重点：离散性随机变量的均值概念以及求法难点：对离散型随机变量的均值的理解，并能解决简单的实际问题。
三、学生学情分析本节课之前，学生已有平均值、概率、离散型随机变量及其分布列，二项分布及其应用等基础知识，具备了学习本节知识的知识储备 .本节课是一节概念新授课，教材从学生熟悉的平均值出发，从身边的实际问题中抽象出了取有限值的离散型随机变量均值的概念，这需要一定的概括和抽象能力.鉴于学生的概括、抽象能力不是太强，因此学生对概念的形成和理解会有一定的困难 .基于以上认识，我以为本节课的教学难点是：离散型随机变量均值概念的形成和理解。
离散型随机变量的均值与方差_教案
离散型随机变量的均值与方差_教案第一章：离散型随机变量的概念1.1 离散型随机变量的定义介绍离散型随机变量的概念举例说明离散型随机变量1.2 离散型随机变量的概率分布概率分布的定义概率分布的性质概率分布的图形表示1.3 离散型随机变量的期望值期望值的定义期望值的计算方法期望值的意义第二章：离散型随机变量的均值2.1 离散型随机变量的均值的概念均值的定义均值的意义2.2 离散型随机变量的均值的计算方法均值的计算公式均值的计算步骤2.3 离散型随机变量的均值的性质均值的性质1：线性性质均值的性质3：单调性第三章：离散型随机变量的方差3.1 离散型随机变量的方差的概念方差的定义方差的意义3.2 离散型随机变量的方差的计算方法方差的计算公式方差的计算步骤3.3 离散型随机变量的方差的性质方差的性质1：非负性方差的性质2：对称性方差的性质3：单调性第四章：离散型随机变量的协方差4.1 离散型随机变量的协方差的概念协方差的定义协方差的意义4.2 离散型随机变量的协方差的计算方法协方差的计算公式协方差的计算步骤4.3 离散型随机变量的协方差的性质协方差的性质1：线性性质协方差的性质3：对称性第五章：离散型随机变量的相关系数5.1 离散型随机变量的相关系数的定义相关系数的定义相关系数的意义5.2 离散型随机变量的相关系数的计算方法相关系数的计算公式相关系数的计算步骤5.3 离散型随机变量的相关系数的性质相关系数的性质1：取值范围相关系数的性质2：单调性相关系数的性质3：对称性第六章：离散型随机变量的标准化6.1 离散型随机变量标准化的概念标准化的定义标准化的意义6.2 离散型随机变量的标准化方法标准化的计算公式标准化的计算步骤6.3 离散型随机变量标准化后的性质标准化后的分布标准化后的期望值和方差第七章：离散型随机变量的均值的估计7.1 离散型随机变量均值估计的概念均值估计的定义均值估计的意义7.2 离散型随机变量均值的点估计点估计的定义点估计的计算方法7.3 离散型随机变量均值的区间估计区间估计的定义区间估计的计算方法第八章：离散型随机变量的方差的估计8.1 离散型随机变量方差估计的概念方差估计的定义方差估计的意义8.2 离散型随机变量方差的点估计点估计的定义点估计的计算方法8.3 离散型随机变量方差的区间估计区间估计的定义区间估计的计算方法第九章：离散型随机变量的协方差的估计9.1 离散型随机变量协方差估计的概念协方差估计的定义协方差估计的意义9.2 离散型随机变量协方差的点估计点估计的定义点估计的计算方法9.3 离散型随机变量协方差的区间估计区间估计的定义区间估计的计算方法第十章：离散型随机变量的相关系数的估计10.1 离散型随机变量相关系数估计的概念相关系数估计的定义相关系数估计的意义10.2 离散型随机变量相关系数的点估计点估计的定义点估计的计算方法10.3 离散型随机变量相关系数的区间估计区间估计的定义区间估计的计算方法重点和难点解析重点环节1：离散型随机变量的期望值和方差的计算方法。
离散型随机变量的均值 课件
X 0 123 4
P
11 16 4
3 8
1 4
1 16
(2)因为 X～B4，12，所以 E(X)＝4×12＝2.
又由题意可知0－100X)＝2 300－100E(X)＝2 300－100×2
＝2 100(元)．
即所求随机变量 Y 的均值为 2 100 元．
探究点 3 两点分布与二项分布的均值 某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消
费 500 元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖概率为12，若 中奖，商场返还顾客现金 100 元．某顾客现购买价格为 2 300 元的台式电脑一台，得到抽奖券四张．每次抽奖互不影响． (1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为 X，求随机变量 X 的分 布列； (2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为 Y(元)，用 X 表示 Y， 并求随机变量 Y 的均值.
【解】 (1)因为每张奖券是否中奖是相互独立的， 因此 X～B4，12. 所以 P(X＝0)＝C04×124＝116，P(X＝1)＝C14×124＝14. P(X＝2)＝C24×124＝38，P(X＝3)＝C34×124＝14， P(X＝4)＝C44×124＝116. 所以离散型随机变量 X 的分布列为
离散型随机变量的均值
1．离散型随机变量的均值或数学期望 (1)定义：一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
则称 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 变量 X 的均值或数学期望．
为随机
(2)意义：离散型随机变量 X 的均值或数学期望反映了离散型随 机变量取值的 平均水平 ．
探究点 4 均值问题的实际应用 (高考全国卷Ⅰ)某公司计划购买 2 台机器，该种机器使
离散型随机变量的均值教案
离散型随机变量的均值教案一、教学目标1. 让学生理解离散型随机变量的概念及其数学特征。
2. 让学生掌握离散型随机变量的均值定义及其计算方法。
3. 培养学生运用离散型随机变量的均值解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 离散型随机变量的概念。
2. 离散型随机变量的数学特征。
3. 离散型随机变量的均值定义。
4. 离散型随机变量的均值计算方法。
5. 离散型随机变量的均值在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：离散型随机变量的均值定义及其计算方法。
2. 教学难点：离散型随机变量的均值在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解离散型随机变量的概念、数学特征和均值定义。
2. 采用案例分析法讲解离散型随机变量的均值在实际问题中的应用。
3. 采用互动教学法引导学生积极参与讨论，提高学生的理解能力。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例引入离散型随机变量的概念，激发学生的兴趣。
2. 讲解离散型随机变量的概念及其数学特征。
3. 讲解离散型随机变量的均值定义及其计算方法。
4. 利用案例分析离散型随机变量的均值在实际问题中的应用。
5. 课堂练习：让学生分组讨论并解决一些实际问题，巩固所学知识。
7. 布置作业：布置一些有关离散型随机变量的均值的问题，让学生课后思考和练习。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对离散型随机变量概念和均值定义的理解程度。
2. 课堂练习：评估学生运用离散型随机变量均值解决实际问题的能力。
3. 课后作业：收集学生完成的作业，检查其对离散型随机变量均值的掌握情况。
七、教学拓展1. 介绍离散型随机变量均值在其他领域的应用，如概率论、统计学、经济学等。
2. 讨论离散型随机变量均值的存在性条件，引导学生深入研究相关理论知识。
八、教学反思1. 反思本节课的教学内容、方法和过程，确保教学目标的达成。
2. 考虑学生的反馈意见，调整教学策略，提高教学质量。
3. 针对学生的学习情况，制定针对性的辅导计划，帮助其克服学习难点。
离散型随机变量的均值教案市公开课金奖市赛课一等奖课件
计算每个取 列其分 → 值的概率 → 布列 → 计算EX
第11页
【解】 从 10 件产品中任取 3 件共有 C310种
结果．从 10 件产品中任取 3 件，其中恰有 k
件一等品的结果数为
C
k 3
C
3－k 7
，
其
中
k＝
0,1,2,3.
∴P(X＝k)＝Ck3CC31370－k，k＝0,1,2,3.
第12页
第36页
办法感悟
办法技巧 1．求离散型随机变量均值环节 (1)拟定离散型随机变量X取值； (2)写出分布列，并检查分布列正确是否； (3)依据公式求出均值．如例1 2．若X、Y是两个随机变量，且Y＝aX＋b， 则E(Y)＝aE(X)＋b，即随机变量X线性函数 数学盼望等于这个随机变量盼望E(X)同一线 性函数．如例2
ξ
0
1
P
0.4
0.6
第26页
(2)由题意，重复5次投篮，命中次数η服从 二项分布，
即η～B(5,0.6)． 则E(η)＝np＝5×0.6＝3. 【误区警示】 对于两点分布，找清成功率 p，本题分布列不可写为，对于二项分布关 键找对试验次数．
ξ0
1
P 0.6 0.4
第27页
变式训练 3 甲、乙两人各进行 3 次射击， 甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标 的概率为23.记甲击中目标的次数为 ξ，乙击中 目标的次数为 η.
因此随机变量X分布列是
X0 1 2 3
P
7 24
21 40
7 40
1 120
∴
E(X)
＝
0×
7 24
＋
1×
21 40
＋
2×
选修23教案231离散型随机变量的均值
甲、乙两个工人生产同一种产品， 在相同的条件下， 他们生产 100 件产品所出的不
合格品数分别用 X 1, X 2 表示， X1, X 2 的概率分布如下．
X1
0
1
2
3
pk
§2.3.1 离散型随机变量的均值
教学目标 （ 1）通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义； （ 2）能计算简单离散型随机变量均值（数学期望），并能解决一些实际问题．
教学重点，难点： 取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义． 教学过程 一．问题情境 1．情景：
四．数学运用
1．例题： 例 1．高三（ 1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有
10 个红球， 20
个白球，这些球除颜色外完全相同． 某学生一次从中摸出 5 个球，其中红球的个数为 X ，
求 X 的数学期望． 分析： 从口袋中摸出 5 个球相当于抽取 n 5 个产品， 随机变量 X 为 5 个球中的红球的
结束，假定 A, B 在每场比赛中获胜的概率都是
分析：先由题意求出分布列，然后求期望
1 ，试求需要比赛场数的期望． 2
解：（ 1）事件“ X 4 ”表示， A 胜 4 场或 B 胜 4 场（即 B 负 4 场或 A 负 4 场），且两
两互斥．
P(X
4)
C
4 4
（ 2）事件“ X
( 1 )4
(1)0
C
工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案：
方案 1：运走设备，此时需花费 3800元；
《离散型随机变量的均值》示范公开课教案【高中数学北师大】
《离散型随机变量的均值》教案1.通过实例理解离散型随机变量的均值的含义，了解随机变量的均值与样本均值的区别与联系．2.能计算简单离散型随机变量的均值，并能解决一些实际问题．3.体会运用离散型随机变量的均值思想描述和分析某些随机现象的方法，在简单应用中培养学生分析和解决问题的能力．教学重点：离散型随机变量均值的含义及其应用． 教学难点：离散型随机变量均值的含义及其应用．一、新课导入问题1：已知在10件产品中有2件不合格品，从这10件产品中任取3件，用X 表示取得产品中不合格品的件数，求X 的分布列．答案：根据分布列的求法，可以求得X 的分布列如下表：k 012P (X=k )715 715 115问题2：在问题1的条件下，从这10件产品中任取3件，平均会取到几件不合格品？可否根据分布列得到一个数，这个数能“代表”这个随机变量取值的平均水平呢？探究：由于随机变量X 可能的取值为0，1，2．可否将三者的算术平均“1”“代表”这个随机变量的平均水平呢？为什么？ 探究新知：问题3：设有12个西瓜，其中有4个质量是5kg ，3个质量是6kg ，5个质量是7kg ，求这12个西瓜的平均质量．分析：西瓜的平均质量应为12个西瓜的总重量除以西瓜的总个数，即54+63+7573=1212⨯⨯⨯ （kg ），也即54637573++=12121212⨯⨯⨯（kg ）． ◆教学目标◆教学重难点◆教学过程显然，西瓜的平均质量不是5kg ，6 kg ，7kg 的算术平均，而是等于各个质量乘相应质量的西瓜个数在西瓜总个数中所占的比例后再求和，是5kg ，6kg ，7 kg 的加权平均，其中权数是相应质量的西瓜个数在西瓜总个数中所占的比例． 引导分析：类比问题3的方法，给出问题2的解决方法． 用随机变量X 三个取值0，1，2的加权平均7710+1+2=0.6151515⨯⨯⨯来代表随机变量X 的平均取值，其中0，1，2的权重分别是X 取这个值时的概率，即在一次抽取中，3件产品中平均有0.6件是不合格品．思考1：用上述方法求得随机变量X 的平均取值是否合理？答案：合理，这种取平均值的方法，考虑到了不同变量在总体中的比例份额，变量所占份额越大，对整组数据的平均数影响越大．思考2：抽出的不合格品的平均值是否可以是小数？可以，这个平均值的意义在于告诉我们抽出的不合格品最有可能出现的一个值，作用在于对结果的估计，得到的结果可能是与它接近的一个整数．问题4. 能否将上述求离散型随机变量平均值的方法推广到一般情形？ 1．概念形成设离散型随机变量X 的分布列如下表：则称1122i i n n EX x p x p x p x p =+++++为随机变量X 的均值或者数学期望（简称期望）．2.概念理解（1）均值EX 刻画的是X 取值的“中心位置”，反映了离散型随机变量X 取值的平均水平，是随机变量X 的一个重要特征．（2）均值EX 是随机变量X 取各个值的加权平均，由X 的分布列完全确定． 问题5.随机变量的均值与样本均值的联系与区别是什么？答案：随机变量的均值是一个常数，而样本均值是一个随机变量，样本均值随样本的变化而变化，这是两个均值的根本区别，在随机变量均值未知的情况下，通常用随机变量的观测值的平均值估计随机变量的均值．三、应用举例例1 设随机变量X 服从参数为p 的两点分布，求EX ． 解：由均值定义，得EX =0•P （X =0）+1•P （X =1）=0•（1-p ）+1•p =p ．所以，服从参数为p 的两点分布的均值EX =p ． 例2 设X 表示抛掷一枚均匀殷子掷出的点数，求EX ． 解：依题意知X 的分布列为()()11234566P X i i ===,,,,, 如下表：根据均值的定义，可知11111171234566666662EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ．例3一个袋子里装有除颜色外完全相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个球，则取出的红球个数的均值是多少？解：设X 表示取出红球的个数，则X 的取值为0，1，2．()023225C C 10C 10P X === ， ()113225C C 631C 105P X ====，()203225C C 32C 10P X ===． 因此，Ｘ的分布列如下表：根据均值的定义，可知：1336012105105EX =⨯+⨯+⨯=． 总结：求离散型随机变量X 的均值的步骤： (1)理解X 的实际意义，写出X 全部可能取值； (2)求出X 取每个值时的概率； (3)写出X 的分布列；(4)利用定义公式E (X )=∑x i p i n i=1求出均值．例4 根据气象预报，某地区近期暴发小洪水的概率为0.25，暴发大洪水的概率为0.01．该地区某工地上有一台大型设备，为保护设备，有以下3种方案： 方案1：运走设备，搬运费为3800元．方案2：建一保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水．方案3：不采取措施，希望不发生洪水，此时遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10 000元． 试比较哪一种方案好．解：用1X ，2X 和3X 分别表示以上3种方案的损失．采用方案1，无论有无洪水，都损失3 800元，即1X =3 800，故E 1X =3 800元． 采用方案2，遇到大洪水时，损失62 000元；没有大洪水时，损失2000元，因此 E 2X =62 000×0.01+2 000×（1-0.01）=2 600（元）；采用方案3，遇到大洪水时，损失60 000元；遇到小洪水时，损失10000元；无洪水时，损失为0元，因此E 3X =60 000×0.01+10 000×0.25=3 100（元）． 由此可见，就平均而言，方案2的损失最小． 思考3：为什么可以通过比较均值作出决策？答案：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高，进而做出决策．四、课堂练习则数学期望E （X ）=（ ）． A.13B. 23 C.1 D.22.甲、乙两名射手一次射击得分(分别用X 1，X 2表示)的分布列如下： 甲得分：乙得分：则甲、乙两人的射击技术相比（ ）．A ．甲更好B ．乙更好C ．甲、乙一样好D ．不可比较 3. “四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史､思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值．为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动．某班有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同．比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的人数的均值为______．4.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．（1）若小明先回答A 类问题，记Ｘ为小明的累计得分，求Ｘ的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由． 参考答案：1.由题意可知：1111232333EX =⨯+⨯+⨯=．故选Ｄ．2.因为E (X 1)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1，E (X 2)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2，所以E (X 2)>E (X 1)，故乙的射击技术更好．故选：B ．3.记抽到自己准备的书的学生数为Ｘ，则Ｘ可能值为0，1，2，4 ()1344C 390A 24P X ⨯===，()1444C 281A 24P X ⨯===，()2444C 162A 24P X ⨯===，()44114A 24P X ===， 则98610124124242424EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． 4.（1）由题可知，Ｘ的所有可能取值为0，20，100．P (X=0)=1-0.8=0.2; P (X=20)=0.8(1-0.6)=0.32; P (X=100)=0.8×0.6=0.48． 所以Ｘ的分布列为（2）由（1）知，E (X )=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4．若小明先回答B 问题，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0，80，100． P (Y =0)=1-0.6=0.4； P (Y =80)=0.6(1-0.8)=0.12； P (Y =100)=0.8×0.6=0.48．所以E (Y )=0×0.4+80×0.12+100×0.48=54.4．． 因为54.4<57.6，所以小明应选择先回答B 类问题．五、归纳小结【课堂小结】1. 离散型随机变量均值的概念：则称1122i i n n EX x p x p x p x p =+++++为随机变量X 的均值或者数学期望（简称期望）．2.求离散型随机变量X 的均值的步骤： (1)理解X 的实际意义，写出X 全部可能取值； (2)求出X 取每个值时的概率； (3)写出X 的分布列；(4)利用定义公式E (X )=∑x i p i n i=1求出均值．六、布置作业教材第200页练习第1~3题．。
教学设计1：7.3.1 离散型随机变量的均值
7.3.1 离散型随机变量的均值教学目标1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.2.理解离散型随机变量均值的性质.3.掌握两点分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值，解决一些相关的实际问题． 教学知识梳理知识点一 离散型随机变量的均值 1．离散型随机变量的均值的概念 一般地，若离散型随机变量X 的分布列为则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n ＝ i ＝1nx i p i 为随机变量X 的均值或数学期望．2．离散型随机变量的均值的意义均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 3．离散型随机变量的均值的性质若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 均是常数(X 是随机变量)，则Y 也是随机变量，且有E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .证明如下：如果Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 为常数，X 是随机变量，那么Y 也是随机变量．因此P (Y ＝ax i ＋b )＝P (X ＝x i )，i ＝1,2,3，…，n ，所以Y 的分布列为于是有E (Y )1122i i n n 11＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n )＋b (p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＋p n )＝aE (X )＋b ，即E (aX ＋b )＝aE (X )＋b . 思考 离散型随机变量的均值与样本平均值之间的关系如何？【答案】(1)区别：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．(2)联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值．知识点二 两点分布的均值如果随机变量X 服从两点分布，那么E (X )＝0×(1－p )＋1×p ＝p .教学检测1．下列说法正确的有________．(填序号)①随机变量X 的数学期望E (X )是个变量，其随X 的变化而变化； ②随机变量的均值反映样本的平均水平；③若随机变量X 的数学期望E (X )＝2，则E (2X )＝4； ④随机变量X 的均值E (X )＝x 1＋x 2＋…＋x nn.【答案】③【解析】①错误，随机变量的数学期望E (X )是个常量，是随机变量X 本身固有的一个数字特征．②错误，随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平．③正确，由均值的性质可知．④错误，因为E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n . 2．已知离散型随机变量X 的分布列为：则X 【答案】32【解析】E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.3．若随机变量X 服从二项分布B ⎝⎛⎭⎫4，13，则E (X )的值为________． 【答案】43【解析】E (X )＝np ＝4×13＝43.教学探究探究一 利用定义求离散型随机变量的均值例1.盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X 的分布列及均值． 解：X 可取的值为1,2,3，则P (X ＝1)＝35，P (X ＝2)＝25×34＝310，P (X ＝3)＝25×14×1＝110.抽取次数X 的分布列为E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝1.5.反思感悟 求随机变量X 的均值的方法和步骤 (1)理解随机变量X 的意义，写出X 所有可能的取值． (2)求出X 取每个值的概率P (X ＝k )． (3)写出X 的分布列． (4)利用均值的定义求E (X )．跟踪训练1．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望．解：(1)P (当天商店不进货)＝P (当天商店销售量为0件)＋P (当天商店销售量为1件)＝120＋520＝310. (2)由题意知X 的可能取值为2，3，P (X ＝2)＝P (当天商品销售量为1件)＝520＝14，P (X ＝3)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为2件)＋P (当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34. 故X 的分布列为所以X 的数学期望为E (X )＝2×14＋3×34＝114.探究二 离散型随机变量均值的性质 例2.已知随机变量ξ的分布列为若η＝aξ＋3，E (η)＝73，则a ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由分布列的性质得12＋13＋m ＝1，所以m ＝16，所以E (ξ)＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，法一：E (η)＝E (aξ＋3)＝aE (ξ)＋3 ＝－13a ＋3＝73.所以a ＝2.法二：因为η＝aξ＋3，所以η的分布列如下：E (η)＝(－a ＋3)×12＋3×13＋(a ＋3)×16＝73.所以a ＝2.反思感悟 求线性关系的随机变量η＝aξ＋b 的均值方法 (1)定义法：先列出η的分布列，再求均值．(2)性质法：直接套用公式，E (η)＝E (aξ＋b )＝aE (ξ)＋b ，求解即可． 跟踪训练2.已知随机变量X 的分布列为：(1)求E (X )；(2)若Y ＝2X －3，求E (Y )．解：(1)由随机变量分布列的性质，得14＋13＋15＋m ＋120＝1，解得m ＝16，所以E (X )＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730.(2)法一：由公式E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，得E (Y )＝E (2X －3)＝2E (X )－3 ＝2×(－1730)－3＝－6215.法二：由于Y ＝2X －3，所以Y 的分布列如下：Y －7 －5 －3 －1 1 P14131516120所以E (Y )＝(－7)×14＋(－5)×13＋(－3)×15＋(－1)×16＋1×120＝－6215.探究三 均值的实际应用例3．甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员击中的环数X 稳定在7,8,9,10环．将它们的比赛成绩画成频率分布直方图如图甲和图乙所示．(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P (X 乙＝8)，以及甲击中9环以上(包括9环)的概率；(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大)． 解：(1)由图乙可知P (X 乙＝7)＝0.2，P (X 乙＝9)＝0.2，P (X 乙＝10)＝0.35. 所以P (X 乙＝8)＝1－0.2－0.2－0.35＝0.25.同理P (X 甲＝7)＝0.2，P (X 甲＝8)＝0.15，P (X 甲＝9)＝0.3， 所以P (X 甲＝10)＝1－0.2－0.15－0.3＝0.35. P (X 甲≥9)＝0.3＋0.35＝0.65.(2)因为E (X 甲)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8， E (X 乙)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7， 则有E (X 甲)>E (X 乙)，所以估计甲的水平更高． 反思感悟 解答概率模型的三个步骤 (1)建模：即把实际问题概率模型化． (2)解模：确定分布列，计算随机变量的均值． (3)回归：利用所得数据，对实际问题作出判断．跟踪训练3.随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X . (1)求X 的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X 的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？ 解：(1)X 的所有可能取值有6,2,1，－2， P (X ＝6)＝126200＝0.63，P (X ＝2)＝50200＝0.25，P (X ＝1)＝20200＝0.1，P (X ＝－2)＝4200＝0.02.故X 的分布列为(2)E (X )＝6×0.63＋2×0.25即1件产品的平均利润为4.34万元．(3)设技术革新后的三等品率为x ，则此时1件产品的平均利润为E (X )＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x )＋1×x ＋(－2)×0.01＝4.76－x (0≤x ≤0.29)，依题意，E (X )≥4.73，即4.76－x ≥4.73，解得x ≤0.03，所以三等品率最多为3%. 课堂小结 1．知识清单：(1)离散型随机变量的均值． (2)离散型随机变量的均值的性质． (3)两点分布的均值．2．方法归纳：函数与方程、转化化归．3．常见误区：不会应用均值对实际问题作出正确分析． 当堂检测1.毕业生小王参加人才招聘会，分别向A ，B 两个公司投递个人简历．假定小王得到A 公司 面试的概率为13，得到B 公司面试的概率为p ，且两个公司是否让其面试是独立的．记ξ为小王得到面试的公司个数．若ξ＝0时的概率P (ξ＝0)＝12，则随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝________． 【答案】712【解析】由题意，得P (ξ＝2)＝13p ，P (ξ＝1)＝13(1－p )＋23p ＝1＋p3，ξ的分布列为由12＋1＋p 3＋13p ＝1，得p ＝14. 所以E (ξ)＝0×12＋1×1＋p 3＋2×13p ＝712.2.抛掷两颗骰子，若至少有一颗出现4点或5点时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X 的数学期望为________． 【答案】509【解析】一次试验成功的概率为1－4×46×6＝59，故X ～B ⎝⎛⎭⎫10，59，因此X 的数学期望为509. 3.随机变量ξ的概率分布列如下表：尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同，则E (ξ)＝________. 【答案】2【解析】设“？”处的数值为t ，则“！”处的数值为1－2t ，所以E (ξ)＝t ＋2(1－2t )＋3t ＝2. 4.某班将要举行篮球比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在A 区投篮2次或选择在B 区投篮3次，在A 区每进一球得2分，不进球得0分；在B 区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出．已知某参赛选手在A 区和B 区每次投篮进球的概率分别是910和13.如果以投篮得分的期望值高作为选择的标准，问该选手应该选择哪个区投篮？请说明理由． 解：设该选手在A 区投篮的进球数为X ，则X ～B ⎝⎛⎭⎫2，910，故E (X )＝2×910＝95. 则该选手在A 区投篮得分的期望为2×95＝3.6，设该选手在B 区投篮的进球数为Y ，则Y ～B ⎝⎛⎭⎫3，13， 故E (Y )＝3×13＝1，则该选手在B 区投篮得分的期望为3×1＝3，因为3.6>3，所以该选手应选择在A 区投篮．5.交5元钱可以参加一次抽奖，一袋中有同样大小的10个球，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，抽奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人获利的数学期望．解：设ξ为抽到的2球钱数之和，则ξ的取值如下：ξ＝2(抽到2个1元)，ξ＝6(抽到1个1元，1个5元)，ξ＝10(抽到2个5元)． 所以由题意得P (ξ＝2)＝C 28C 210＝2845，P (ξ＝6)＝C 18C 12C 210＝1645，P (ξ＝10)＝C 22C 210＝145.所以E (ξ)＝2×2845＋6×1645＋10×145＝185.又设η为抽奖者获利的可能值，则η＝ξ－5，所以抽奖者获利的数学期望为E (η)＝E (ξ)－5＝185－5＝－75.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
关于《离散型随机变量的均值》的说课稿银川二中（西校区）黄海霞说课内容：普通高中人教A版（数学选修2-3）第二章第3节第一课时─《离散型随机变量的均值》.下面，我将分别从背景分析、教学目标设计、课堂结构设计、教学媒体设计、教学过程设计及教学评价设计等六个方面对本节课的设计进行说明.一、背景分析：1、学习任务分析《离散型随机变量的均值》是《随机变量及其分布》第三节第一小节的内容，本节课是第一课时. 本节课主要的学习任务是从平均的角度引入离散型随机变量均值的概念，引导学生通过实际问题建立取有限值的离散型随机变量均值的概念，然后推导出离散型随机变量均值的线性性质()()bE+aX+.=XaEb取有限值的离散型随机变量的均值是在学生学习完离散型随机变量及其分布列的概念基础上，进一步研究离散型随机变量取值特征的一个方面.学习本节课的内容既是随机变量分布的内容的深化，又是后续内容离散型随机变量方差的基础，所以学好本节课是进一步学习离散型随机变量取值特征的其它方面的基础.离散型随机变量的均值是刻画离散型随机变量取值的平均水平的一个数字特征，是从一个侧面刻画随机变量取值的特点.在实际问题中，离散型随机变量的均值具有广泛的应用性.因此我以为本节课的重点是：取有限值的离散型随机变量均值的概念.2、学生情况分析本节课之前，学生已有平均值、概率、离散型随机变量及其分布列，二项分布及其应用等基础知识，具备了学习本节知识的知识储备.本节课是一节概念新授课，教材从学生熟悉的平均值出发，从身边的实际问题中抽象出了取有限值的离散型随机变量均值的概念，这需要一定的概括和抽象能力.鉴于学生的概括、抽象能力不是太强，因此学生对概念的形成和理解会有一定的困难.基于以上认识，我以为本节课的教学难点是：离散型随机变量均值概念的形成和理解。
依据《普通高中数学课程标准（实验）》对本节课的要求，并考虑到学生的实际和学习能力，特将本节课的教学目标设定为：1.通过实际问题，使学生体会离散型随机变量均值的概念，理解离散型随机变量均值的线性性质，会计算简单的离散型随机变量的均值，并能解决一些简单的实际问题.2.通过离散型随机变量均值概念的探究形成，经历建构数学概念这一过程，使学生学会概括、抽象数学问题的方法，通过简单的应用，培养学生的数学应用意识.三、课堂结构设计：本节课从总体上讲是一节概念教学课.在教学活动中，学生是一个积极的探索者，教师的作用是要创设一种学生能够主动探究的情境，帮助学生形成科学的数学概念。
基于这种考虑，结合本节课知识的逻辑关系，我设计了以下的学习顺序：结合生活中的实际问题，提出问题，引出概念． 体验数学，形成离散型随机变量的均值的概念． 建立数学，进一步探索离散型随机变量均值的 线性组合性质． 应用数学，会计算简单的离散型随机变量的均值． 提高认识 引入新课。
巩固新知根据本节课的教学任务以及学生学习的需要，教学媒体的设计如下：1、多媒体辅助教学：考虑到本节课需要呈现的教学内容较多，为节约课时，增加课堂容量起见，计划采用多媒体辅助手段.2、设计科学合理的板书：为使学生对本节课所学习的内容有一个整体的认识，并明了知识脉络，形成知识网络.特设计板书如下：五、教学过程设计：课标指出：数学教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程，是教师和学生互动的过程，是师生共同发展的过程。
为有序、有效地进行教学，本节课我主要安排以下五个活动：活动一、创设情景，引入新课教师：（讲述）前面我们学习了离散型随机变量分布列的概念，研究了一些简单离散型随机变量的分布，建立了二项分布、超几何分布等应用广泛的概率模型. 离散型随机变量的分布列刻画了随机变量取值的概率规律，但往往还需进一步了解离散型随机变量取值的特征.比如下面的问题：（提出问题）某商场为满足市场需求要将单价分别为18元/kg ，24元/kg ，36元/kg 的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对每千克混合糖果定价才合理？学生经过合作讨论，可能会得到以下两种认识：①一种认识：定价应为:1824363++=26(元/千克)；② 另一种认识：定价应为:182436263213⨯+⨯+⨯= (元/千克). 下面，教师引导学生讨论： 以上两种认识，哪一种定价才是混合糖果的合理价格呢？在此基础上，师生共同分析：设每份混合糖的质量为m 千克，那么其中价格为18元/千克的糖果的质量为3m 千克，价格为24元/千克的糖果的质量为2m 千克，价格为36元/千克的糖果的质量为m 千克，那么混合糖的总质量为6m 千克，总价为18×3m+24×2m+36×m 元.经过讨论后，使学生认识到：平均每千克混合糖果的价格应为：183242366m m m m ⨯+⨯+⨯=1824631326⨯+⨯+⨯ 11118243623236=⨯+⨯+⨯=(元/千克)更为合理. 接着，教师提出问题：上述算式中的分数12、13、16的意义是什么？在学生思考后，教师指出：（讲述） 上面的平均值实际是一种加权平均数，其中12、13、16表示一种权重系数，也称为权数.在计算平均数时，权数可以表示总体中的各种成分所占的比例，权数越大的数据在总体中所占的比例越大，它对加权平均数的影响也越大.加权平均数是不同比重数据的平均数，加权平均数就是把原始数据按照合理的比例来计算.通过师生交流，使学生达成共识：（讲述）12表示价格为18元/千克的糖果在混合糖果中所占比例，13表示价格为24元/千克的糖果在混合糖果中所占比例，16表示价格为36元/千克的糖果在混合糖果中所占比例.接下来，教师进一步提出问题：（讲述）“在搅拌均匀的混合糖果中，如果每一颗糖果的质量都相等,”那么在混合糖果中任取一颗糖果，取到每颗糖果的可能性相等，这样在混合糖果中任取一颗，取到的糖果恰好是价格为18元/千克的糖果的概率是多少？恰好是价格为24元/千克的糖果的概率是多少？恰好是价格为36元/千克的糖果的概率是多少？ 经过讨论后，学生达成以下共识：在混合糖果中任取一颗，取到的糖果恰好是价格为18元/千克的概率是12，恰好是价格为24元/千克的概率是13，恰好是价格为36元/千克的概率是16. 教师给予肯定，并指出每千克混合糖果的平均价格的算式中12、13、16的概率意义（讲述）.接下来，教师又进一步提出问题：假如从这种混合糖果中随机选取一颗，记X 为这颗糖果的原来单价（元/千克），你能写出X 的分布列吗？学生经过讨论后，不难得出随机变量X 的分布列为：这时，教师在此提出问题：每千克混合糖果的平均价格用X 的取值及其相应的概率如何表示呢？由于上面的铺垫，学生得出：每千克混合糖果的平均价格恰为：236136********=⨯+⨯+⨯（元/千克） 即18×P （X=18）+24×P （X=24）+36×P （X=36）=23（元/千克） 此时，教师指出：（讲述）这里混合糖果的平均价格，其实就是随机变量X 的取值与其相应概率乘积之和.这就是本节课要研究的离散型随机变量的均值---教师板书课题（离散型随机变量的均值）设计意图：以学生熟悉的实际生活问题为背景，从求学生熟悉的样本平均数为出发点，以问题串为主线，以师生互动为基本活动方式，采用小碎步，层层递进，逐步深入的方法，最终得出“离散型随机变量X 取值的平均值就是离散型随机变量X 的所有取值与其相应概率乘积之和”的结论.这样，既可使学生感受数学与生活的联系，又可激发学生的学习兴趣和热情.同时更是考虑到“离散型随机变量的均值”这一知识的最近发展区就是样本平均值与概率，有利于学生进行知识的正向迁移，也为下一步学生通过概括、抽象得出科学定义做好了铺垫. 活动二、概括抽象，构建概念：教师：（提出问题）一般地，什么叫离散型随机变量的均值？先由学生尝试定义，教师修正，最后教师再给出形式化定义：一般地,若离散型随机变量X 的概率分布为：则称n n i i p x p x p x p x p x X E ++++++= 332211)(为随机变量X 的均值或数学期望,数学期望又简称为期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平.设计意图：这样设计可以使学生经历离散型随机变量均值概念的形成过程，体验从具体问题中概括、抽象，形成定义的思想方法，体会概括、抽象是一种常用的数学逻辑方法，使学生学会科学定义的方法.活动三、例题分析，应用示范例题1.在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，如果某篮球运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X 的均值是多少？(幻灯片呈现)教师分析：求运动员罚球1次的得分X 的均值，根据离散型随机变量均值的定义，需先求出随机变量X 的分布列.然后可根据定义式算出X 的均值.师生共同给出规范解答：解：离散型随机变量X 的分布列为： X1 0 P 0.7 0.3由此可根据随机变量均值的定义，利用公式得：()7.03.007.01=⨯+⨯=X E设计意图：例1的设计是为巩固并加深学生对本节数学概念的理解，同时也是为了对解答简单应用题做好示范，以规范学生的解题过程.X … … P… …练习1.离散型随机变量X的概率分布列为：（1）求X可能取值的算术平均数．（2）求X的均值．（学生思考，独立完成，教师修正点评）解：110015052X().+==210011000999901E X()()...=⨯+⨯=设计意图：设计练习1是为了让学生进一步理解离散型随机变量的均值是反映随机变量在随机试验中取值的平均值，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数.思考：离散型随机变量的均值与样本平均值之间的联系和区别是什么？结论：①从定义可以看出，随机变量的均值是一个常数，而样本的均值是一个随机变量，这是两个均值的根本区别.②对于简单随机样本而言，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于随机变量的均值。
设计意图：设计这样的问题意在使学生弄清离散型随机变量的均值与样本平均值之间的联系和区别，有利于加深对离散型随机变量均值的理解和认识.活动四、从具体实例中发现归纳，得出离散型随机变量均值的线性性质教师：（提出问题）某同学代表班级参加射击比赛，每连续射击10次，其中有3次中10环，5次中9环，2次中8环.（1）求此同学射击一次中靶的环数的均值为多少？（2）如果把该同学射击一次所得环数的2倍再加5记为该同学的射击成绩Y，即52+=XY,那么试求Y的均值？学生：在教师的启发和引导下，解答问题⑴、⑵教师：（请生思考）当随机变量X和Y的具有线性关系时，它们的均值是否也具有线性关系呢？学生：（思考，得出结论）当随机变量X 和Y 的具有线性关系时，它们的均值也具有线性关系.另外，也可以引导学生通过类比平均数的线性性质，来发现离散型随机变量均值的线性性质由此，教师再引导学生对一般情况作出猜想？学生：（猜想，得出结论）若X 为离散型随机变量，且Y ax b =+，其中a 、b 为常数，则E aX b aE X b +=+()()师生对此猜想给出证明：证明：设离散型随机变量X 的概率分布为()(),1,2,3i i P Y ax b P X x i n =+===而 所以Y 的分布列为：()()()()()n n p b ax p b ax p b ax p b ax Y E ⋅+++⋅++⋅++⋅+=∴ 332211()()n n n p p p p b p x p x p x p x a +++++++++= 321332211()b X aE +=设计意图：从具体实例出发，通过观察、思考、类比，从特殊例子中归纳猜想，得出离散型随机变量均值的线性性质的一般规律，意在使学生的思维遵循学生认识问题的一般规律，也为培养学生善于观察思考，发现新问题、新知识，勇于探索，追求真理的思维习惯和科学精神.练习2.4ξηξη+,若E()=3，=2则E()=_______（根据离散型随机变量均值的线性性质，此练习由学生独立完成，教师请生口答） X 1X 2X 3X …n X P 1P 2P 3P … n PY 1ax b + 2ax b + 3ax b + … n ax b +P …练习3：某篮球运动员3分球投篮命中的概率是32, 在某次三分远投比赛中,共投篮3次,设ξ是他投中的次数.（1) 求)(ξE ;（2)若投中1次得3分 ,求他得分的均值; （给生约2分钟的时间，由学生独立完成，教师点评）设计意图：练习2和练习3是离散型随机变量均值的线性性质的直接运用，以加强对公式的理解，并提高自觉运用离散型随机变量均值的线性性质解决问题的能力．活动五、归纳小结、布置作业（一）归纳小结：这节课我们学习了什么知识？1、离散型随机变量均值的定义2、离散型随机变量均值的步骤(1)列出相应的分布列；(2)利用公式计算:()1122n n E X x p x p x p =+++.3、离散型随机变量均值的线性性质及应用 ：E aX b aE X b +=+()()设计意图：采用师生共同归纳小结的方式，通过总结，反思深化学生对基础概念、基本理论的理解，同时培养学生宏观掌握知识的能力．除了注重知识，还注重引导学生对解题思路和方法的总结，可切实提高学生分析问题、解决问题的能力，并让学生养成良好学习数学的方法和习惯．（二）布置作业：1、课本习题2.3A 组2、42、（选做题）课本习题2.3 B 组2设计意图：作业深化学生对概念的理解，强化学生对概念的应用，起到培养学生自学能力的作用．选做题充分兼顾学有余力的同学有更好的发展空间．六、教学评价设计1、评价学生学习过程本节课在情境创设，例题设置中注重与实际生活联系，让学生体会数学的应用价值，在教学中注意观察学生是否置身于数学学习活动中，是否精神饱满、兴趣浓厚、探究积极，并愿意与老师、同伴交流自己的想法.2、评价学生的基础知识、基本技能和发现问题、解决问题的能力教学中通过学生回答问题，归纳总结等方面反馈学生对知识的理解、运用，教师根据反馈信息适时点拨，同时从新课标评价理念出发，鼓励学生发表自己的观点、充分质疑，并抓住学生在语言、思想等方面的的亮点给予表扬，树立自信心，帮助他们积极向上.以上是我对本节课的一些思考，不妥之处，敬请各位专家、各位老师批评指正.谢谢!。