数学建模案例分析-- 图与网络方法建模4通讯网络的最小生成树

§4 通讯网络的最小生成树

连通的无圈图称为树。树是最简单但又是十分重要的一类图，它在许多学科领域中有广泛的应用，例如分子结构，电网络分析等。最短连接问题与树有关，学科分类和一些决策过程也往往可以用树的形式表示。 图m E n V E V T ==,),,(，则下面关于树的命题是等价的。

（1）T 是一个树。

（2）T 无圈，且1-=n m 。

（3）T 连通，且1-=n m 。

（4）T 无圈，但加一新边即得唯一一个圈。

（5）T 连通，但舍去一边就不连通。

（6）T 中任意两点，有唯一链相连。

上述性质中每一个命题均可作为树的定义，它们对判断和构造树将极为方便。

若1G 是连通图2G 的生成子图，且1G 本身是树，则称1G 为2G 的生成树。

对图),(E V G =的每一条边E e ∈赋以相应的实数权)(e w ，得到一个网络，记为),,(W E V N =。设),(E V T '=是N 的一个生成树，令∑∈='

)()(E e e w T W ，则)(T W 称为T 的权，

N 中权最小的生成树称为N 的最小生成树。

许多实际问题，如在若干个城市之间建造铁路网、输电网或通信网等，都可归纳为寻求连通赋权图（网络）的最小生成树问题。例如已知城市i v 和j v 间的直通线路的造价为

)),(()(j i ij ij ij v v e e w w ==

要求一个总造价为最小的设计方案。又如一个城市中，对若干新建居民点供应自来水和煤气，已测知连接各点间的直通管道的造价，要求给出一个总造价最小的铺设方案等等。下面介绍在给定网络),,(W E V N =内求最小生成树的两种算法。设网络点数为n ，此时最小生成树的边数为1-n 。

算法1 （克鲁斯凯尔，Kruskal ）

算法I 的中心思想是每次添加权尽可能小的边，使新的图无圈，直到生成最小生成树为止。也形象地简称“最小边的加入法”。其步骤如下：

（1）把N 内的所有边按照权的非减次序排列。

（2）按（1）排列的次序检查N 中的每一条边，如果这条边与已得到的边不产生圈，则取这一条边为解的一部分。

（3）若已取到1-n 条边，算法终止。此时以V 为顶点集，以取到的1-n 条边为边集的图即为最

小生成树。

例1 求图1所示网络的最小生成树。

解 按各边的权的非减次序将网络中的8条边排列为

821e e e ≤≤≤

首先取1e 和2e 为所求最小生成树T 的两条边，然后检查边3e 。由于边1e 、2e 和3e 构成圈，故不取边3e ，考虑4e 。由于1e 、2e 和4e 不构成圈，故可取4e 。然后检查5e 。由于1e 、2e 、4e 和5e 不构成圈，故可取5e 。此时由1e 、2e 、4e 和5e 构成的生成树T 即为网络N 的最小生成树（如图

2）。

算法II （普赖姆，Prim ）

这是一种迭代算法，每进行一次迭代将产生组成网络N 最小生成树T 的一条边。其作法基于下面的事实：如果我们已经知道T 中的一些边，它们的端点集为S ，则S 是N 的顶点V 的一个子集。以)(S Φ记一个端点在S 中、另一端点在S V \中的所有边组成的集合，由于最小生成树T 是N 的连通生成子图，)(S Φ中权最小的一条边，应该也是N 的最小生成树T 中的一条边。下面通过对图1所示的网络N 求最优树T 的过程介绍这一算法。

算法开始时，)(1v S =，),()(21e e S =Φ。由于2)(1)(21=<=e w e w ，取)(1e T =，并把1e 不在S 中的一个端点2v 加入S 中。于是),(21v v S =，),,,()(6532e e e e S =Φ，)(S Φ中权最小的边为2e 和3e 。任取一条边，例如3e 加入T 中，把3e 不在S 中的另一端点3v 加进S 中。此时),(31e e T =，),,(321v v v S =，从而),,,()(8761e e e e S =Φ，其中权最小的边为5e 。5e 不在S 中的一个端点为5v ，取新的),,(531e e e T =，),,,(5321v v v v S =，从而),,()(761e e e S =Φ，其中权最小的边为4e 。4e 不在S 中的一个端点为4v ，从而取),,,(4531e e e e T =，),,,,(45321v v v v v S =

V =。此时以V 为顶点集，),,,(4531e e e e T =为边集的树T 即为N 的最小生成树。

我们将上述过程一般化。设),,,()(21n v v v G V =，)(),(G E v v e j i ij ∈=，)(ij ij e w w =为边ij e 的权。如果i v 和j v 之间无边相连，则取∞=ij w 。为叙述方便，我们以顶点的下标来表示S 中的顶点。普赖姆迭代过程如下：

（1）ij j w U n R S T ====},,,3,2{},1{, φ，此处R j S i ∈∈=,1。

（2）设ik j R

j w U Min =∈，记ik k w U =。以}{k S 代替S ，}{\k R 代替R ，}{ik e T 代替T 。 （3）若φ=R ，算法终止，此时T 即为所求；否则，对每个R j ∈,以},{S k w U Min ik j ∈代替

j U ，返回上一步骤（2）

。 应用该算法求得例1（图1）中的网络N 的最优树),,,(5421e e e e T =（如图2）。

克鲁斯凯尔用于手工计算小型网络的最小生成树是比较好，而且直观易懂，但应用较大型网络时效率不高，基于这种算法的计算机软件也较难实现。普赖姆方法克服了这些缺点，但遗憾的是普赖姆方法应用于小型问题时却过分的繁复。