1.3装箱问题与背包问题PPT参考课件
合集下载
背包问题课件
刷表法——手推
【样例输入】package.in
10 4
21
for(int i=1;i<=n;++i)
Hale Waihona Puke 33for(int v=m;v>=w[i];--v)
45
f[v]=max(f[v],f[v-w[i]]+c[i])
79
【样例输出】package.out
12
i
W[i]
C[i]
i=0
0
0
i=1
2
1
i=2
理一件物品，作为一个阶段，共有n个 阶段 2、定义状态：
定义f[i][v]是前i件物品恰好放 入一个容量为v的背包，所得到的最大 价值 3、状态转移方程： 若第i件物品没有放入背包，则f[i][v]=f[i-
1][v] 若第i件物品放入背包，则f[i][v]=f[i-1][v-
w[i]]+c[i] 根据状态定义，f[i][v]=max(f[i-1][v],f[i-
【输出格式】 仅一行，一个数，表示最大总价值。
【样例输入】package.in 10 4 21 33 45 79
【样例输出】package.out 12
01背包
【问题描述】 一个旅行者有一个最多能用m公斤的
背包，现在有n件物品，它们的重量分别是 W1，W2，...,Wn,它们的价值分别为 C1,C2,...,Cn.若每种物品只有一件求旅行者 能获得最大总价值。 【输入格式】
1][v-w[i]]+c[i]) 4、临界值： 当i==0时，表示一件物品也没有， f[0][v]=0，数组f在main函数前定义即可
刷表法——手推
【样例输入】package.in 10 4
数学建模-第七章背包问题.
ps 1 . 重量超出 ws C , 而此时价值密度值最小的是 w s 1
U 1 是此情形的上界 .
0 1 U max U , U 从而 是 z ( KP) 的上界 . 2
§2
ps Up jU 要证 ，只需 U C 1 0 1 ws 2、 U U1 是显然的； j 1 and 证 U0 U U U1 s 1 1 ps s 1 zopt (C ( KP)) 0 p j C ps 1 C(KP) 的最优解值 U p j w j 1 sC s p j 1 ws 1 p (w C ) s (*)
缺点：需要更多的分支运算 .
第七章 背包问题
考虑 KP 的松弛问题 ：?
x j 0,1 x j 0,1
max
z pj xj
j 1
n
C((KP KP)) s.t.
w x
j 1 j
n
C(KP)如何求解？
j
C
第一个放不下的
0 x j 0,1 1 x j N 1,2,, n j
算法吗？
若
w x
j
j
,
则
xk 1 ，
否则 xk 0 ； step 3 若 k n , 则结束;
s 1
表示不超过 的最大整数.
Go on
第七章 背包问题
Theorem 2.1 的证明 Proof :
*
Go back
( p j 0)
要证 x* x
显然 C(KP) 的最优解必满足
w x
j 1 j
n
j
C
* x 设 是其最优解， 若存在 k s 使 xk 1
实验二,背包问题课件
1
在背包容量为J时
Y
第i个物品能否放入
N
根据放入后是否有 利决定是否放入
不放入，背包 价值不变
J++ N
J= =C
Y I--
2019/10/9
I= =1
N
4
Y
第一个物
品
Y
能否放入
N
根据放入后是否有 利决定是否放入
不放入，背包 价值不变
输出（j,m(I,j)）矩阵
Y X[I]=0,不装入
for(int d=0;d<c;d++)
m[0][d]=0;
cout<<"输出(j,m(i,j))的矩阵："<<endl;
for(int a=0;a<=n;a++)
{ for(int b=0;b<=c;b++)
cout<<m[a][b]<<" ";
cout<<endl; }
cout<<endl;
}2019/10/9
实验二
0/1背包问题
2019/10/9
1
程序流程图：
J--背包的现有容量 C--背包的最大容量 V(i)—物品的价值（I=1,2,3,4,5） M—背包的价值
2019/10/9
2
在背包容量为J时
Y
第n个物品能否放入
N
背包价值为V(n)
背包价值为0
J++ N
J= =C
Y
2019/10/9
9
void traceback()
{
cout<<“输出表示装入情况的数组(1表示装入，0表示不
在背包容量为J时
Y
第i个物品能否放入
N
根据放入后是否有 利决定是否放入
不放入，背包 价值不变
J++ N
J= =C
Y I--
2019/10/9
I= =1
N
4
Y
第一个物
品
Y
能否放入
N
根据放入后是否有 利决定是否放入
不放入，背包 价值不变
输出（j,m(I,j)）矩阵
Y X[I]=0,不装入
for(int d=0;d<c;d++)
m[0][d]=0;
cout<<"输出(j,m(i,j))的矩阵："<<endl;
for(int a=0;a<=n;a++)
{ for(int b=0;b<=c;b++)
cout<<m[a][b]<<" ";
cout<<endl; }
cout<<endl;
}2019/10/9
实验二
0/1背包问题
2019/10/9
1
程序流程图：
J--背包的现有容量 C--背包的最大容量 V(i)—物品的价值（I=1,2,3,4,5） M—背包的价值
2019/10/9
2
在背包容量为J时
Y
第n个物品能否放入
N
背包价值为V(n)
背包价值为0
J++ N
J= =C
Y
2019/10/9
9
void traceback()
{
cout<<“输出表示装入情况的数组(1表示装入，0表示不
1.3装箱问题与背包问题
其在工业生产及日常生活中有广泛的用途， 其应用在实际生活中无处不在，货物装运， 服装裁剪，以及我们计算机科学中的存储分 配、共享资源调度、文件存储都是装箱问题 在实际应用中的体现。所以具有重要的研究 价值。
【问题】 装箱问题
问题描述：装箱问题可简述如下：设有编 号为1、…、n的n种物品，体积分别为v1、 v2、…、vn。将这n种物品装到容量都为V的若 干箱子里(更一般的装箱问题还可以要求容量 不是相同的)。约定这n种物品的体积均不超过 V，即对于1≤i ≤ n，有0＜vi≤V。不同的装箱方 案所需要的箱子数目可能不同。装箱问题要求 使装尽这n种物品的箱子数要少。
按本例所给数值，取j=0时，因就是前述普通贪婪 算法，已经得到100的结果；取j=1时，共有8种方 案，当用29或23先装入时，可得到54+29+23+1=107 的更好结果；取j=2时，共有28种方案，其中有能 将背包完全装满的结果（43+23+29+14+1=110）。 故知此问题当取k≥2时就可得到最优解。
xij =1表示物品j装入箱 子i ，反之表示物品j未
放入箱子i
若考察将n种物品的集合分划成n个或小于n个 物品的所有子集，最优解就可以找到。但所有 可能划分的总数太大。对适当大的n，找出所 有可能的划分要花费的时间是无法承受的。为 此，对装箱问题采用非常简单的近似算法，即 贪婪法。该算法依次将物品放到它第一个能放 进去的箱子中，该算法虽不能保证找到最优解， 但还是能找到非常好的解。
FFD算法： { 输入箱子的容积； 输入物品种数n； 按体积从大到小顺序，输入各物品的体积； 预置已用箱子链为空； 预置已用箱子计数器box_count为0； for (i=0;i<n;i ++ ) { 从已用的第一只箱子 开始顺序寻找能放入物品i 的箱子j；
背包问题的贪心算法20页PPT文档
，
则用j比i好，∵装入A， V i 2 ;而装入B,Vi=3
对例。4.3的数据使用按效益值的非增次序的选择策略.
V 125,X 11 ,W 118 背包剩：C－18＝2；物品2有次大效益值
(V2=24 )但w2=15,背包装不下物品2。使用 x2=2/15,刚好装满背
包
6
，且物品2的24/15 = v2/w2 较物品3的15/10＝ v3/w3效益值高。按 此选择策略,得②即(1, 2/15, 0),∑vixi=28.2 .此解是一个次优解。 显然，按物品效益值的非增次序装包不能得最优解。
背包问题：
与0-1背包问题类似，所不同的是在选择物品i装入背包时 ，可以选择物品i的一部分，而不一定要全部装入背包， 1≤i≤n。
这2类问题都具有最优子结构性质，极为相似，但背 包问题可以用贪心算法求解，而0-1背包问题却不能用 贪心算法求解。
2
例4.3 贪心算法不能求得0-1背包问题得最优解。
考虑背包问题: n＝3,c＝50kg,(v1,v2,v3)=(60,100,120), (w1,w2,w3)=(10,20,30). vi/wi=(6,5,4).贪心算法解是(1,1,0), ∑vixi=60+100 , ∑wixi=30;最优解是(0,1,1), ∑vixi=100+120, ∑wixi=50,
实际上，动态规划算法的确可以有效地解0-1背包问题。
3
4.2 背包问题
已知有n种物品和一个可容纳c重量的背包，每种物品i的
重量为wi。假定物品i的一部分放入背包会得到vixi的效益。其
中0≤xi≤1,vi>0 . 采用怎样的装包方法才会使装入背包物品的总
效益最大呢？即求解 n
则用j比i好，∵装入A， V i 2 ;而装入B,Vi=3
对例。4.3的数据使用按效益值的非增次序的选择策略.
V 125,X 11 ,W 118 背包剩：C－18＝2；物品2有次大效益值
(V2=24 )但w2=15,背包装不下物品2。使用 x2=2/15,刚好装满背
包
6
，且物品2的24/15 = v2/w2 较物品3的15/10＝ v3/w3效益值高。按 此选择策略,得②即(1, 2/15, 0),∑vixi=28.2 .此解是一个次优解。 显然，按物品效益值的非增次序装包不能得最优解。
背包问题：
与0-1背包问题类似，所不同的是在选择物品i装入背包时 ，可以选择物品i的一部分，而不一定要全部装入背包， 1≤i≤n。
这2类问题都具有最优子结构性质，极为相似，但背 包问题可以用贪心算法求解，而0-1背包问题却不能用 贪心算法求解。
2
例4.3 贪心算法不能求得0-1背包问题得最优解。
考虑背包问题: n＝3,c＝50kg,(v1,v2,v3)=(60,100,120), (w1,w2,w3)=(10,20,30). vi/wi=(6,5,4).贪心算法解是(1,1,0), ∑vixi=60+100 , ∑wixi=30;最优解是(0,1,1), ∑vixi=100+120, ∑wixi=50,
实际上，动态规划算法的确可以有效地解0-1背包问题。
3
4.2 背包问题
已知有n种物品和一个可容纳c重量的背包，每种物品i的
重量为wi。假定物品i的一部分放入背包会得到vixi的效益。其
中0≤xi≤1,vi>0 . 采用怎样的装包方法才会使装入背包物品的总
效益最大呢？即求解 n
动态规划解背包问题.ppt
={(2,3),(3,5)}
S2={(0,0),(1,2), (2,3),(3,5)}
+(5,4) 3
S1 ={(5,4),(6,6), (7,7)}
S3={(0,0),(1,2), (2,3),(5,4),(6,6), (7,7)}
注：序偶(3,5)被(5,4)“支配”而删除
KNAP(1,n,M)问题的解
2i n
pi zi
2i n
p y
i
2 i n
w z
i i
M w1
i
则序列y1,z2,…,zn将是一个对于KNAP(1,n,M)具有更大 效益值的序列。
故，最优性原理成立
3 从前向后求解的递推关系式
记fj(X)是KNAP(1,j,X)的最优解，则fn(M) 是KNAP(1,n,M)的最优解
解向量的推导 f3(M)=6 f2(M)<>6
ΔP=6-p3=1 ΔM=6-w3=2
x3=1
X=(1,0,1)
f2(ΔM)=1 f1(ΔM)=1
x2=0 x1=1
5. 0/1背包问题图解过程
i:fi-1(x-wi) p1 2 1
f0(x)=0
f3(x)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
注： ● fi-1(X-wi)+pi曲线的构造：将fi-1(X)的曲线在X轴上右移wi个单 位，然后上移pi个单位而得到； ● fi(X)曲线的构造：由fi-1(X) 和fi-1(X-wi)+pi的曲线按X相同时 取大值的规则归并而成
贪心法求解0/1背包问题不一定得到最优解！ 动态规划求解的问题必须满足最优化原理
背包问题全套PPT
用来求最优解具体组成的时间效率
②式表明:如果第i个物品的重量小于背包的容量，则会有一下两种情况：
V(i,j)=max{V(i-1,j) ,V(i-1,j-wi)+vi) } j-Wi>=0；
(1) V(i,0)=V(0,j)=0；
所以时间效率主要取决于W，用另一种话说本次测试的数据里面，在物品数目相同的情况下，求解背包问题法最优解分析
问题分析：
令V(i,j)表示在前i(1<=i<=n)个物品中能够装入容量为就j(1<=j<=C)的背包中的物品的最大价值，
则可以得到如下的动态规划函数:
(1) V(i,0)=V(0,j)=0；i>=0，j>=0；//初始化
(2) V(i,j)=V(i-1,j)
j-Wi<0； ---①//递推式
(a)如果把第i个物品装入背包，则背包物品的价值等于第i-1个物品装入容量位j-
Wi的背包中的价值加上第i个物品的价值Vi；
(b)如果第i个物品没有装入背包，则背包中物品价值就等于把前i-1个物品装入 容量
为j的背包中所取得的价值。
取二者中价值最大的作为把前i个物品装入容量为j的背包中的最优解。
3.数据处理与分析
时间应该是线性效率的。
物品数n=10时背包最大容量
取二者中价值最大的作为把前i个物品装入容量为j的背包中的最优解。
（1）实验之前，先对算法进行理论效率分析和正确性分析：
用来求最优解具体组成的时间效率
(2) V(i,j)=V(i-1,j)
j-Wi<0；
动态规划法基本思想: 动态规划算法的基本思想是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
动态规划算法0-1背包问题课件PPT
回溯法
要点一
总结词
通过递归和剪枝来减少搜索空间，但仍然时间复杂度高。
要点二
详细描述
回溯法是一种基于递归的搜索算法，通过深度优先搜索来 找出所有可能的解。在0-1背包问题中，回溯法会尝试将物 品放入背包中，并递归地考虑下一个物品。如果当前物品 无法放入背包或放入背包的总价值不增加，则剪枝该分支 。回溯法能够避免搜索一些无效的组合，但仍然需要遍历 所有可能的组合，时间复杂度较高。
缺点
需要存储所有子问题的解，因此空间 复杂度较高。对于状态转移方程的确 定和状态空间的填充需要仔细考虑， 否则可能导致错误的结果。
04
0-1背包问题的动态规划解法
状态定义
状态定义
dp[i][ j]表示在前i个物品中选，总 重量不超过j的情况下，能够获得 的最大价值。
状态转移方程
dp[i][ j] = max(dp[i-1][ j], dp[i1][ j-w[i]] + v[i])，其中w[i]和v[i] 分别表示第i个物品的重量和价值。
02
计算时间复杂度：时间复杂度是指求解问题所需的时间与问题规模之间的关系。对 于0-1背包问题，时间复杂度主要取决于状态总数。由于每个状态都需要被遍历， 因此时间复杂度为O(2^n)，其中n是物品的数量。
03
空间复杂度：空间复杂度是指求解问题所需的空间与问题规模之间的关系。在0-1 背包问题中，空间复杂度主要取决于状态总数。由于每个状态都需要被存储，因此 空间复杂度也为O(2^n)，其中n是物品的数量。
06
0-1背包问题的扩展和实际应用
多多个物品和多个 背包，每个物品有各自的重量和价值， 每个背包有各自的容量，目标是选择物 品，使得在不超过背包容量限制的情况 下，所选物品的总价值最大。
程序设计综合实践课件-回溯法 - 背包问题
if (pProblem->solutionNow.bSelectA [i-1])
{ //放入时设置状态
pProblem->iWeightLeft -= pProblem->sGoodsA [i-1].iWeight;
pProblem->solutionNow.iMaxValue += pProblem->sGoodsA [i-1].iPrice;
>sGoodsA [i].iPrice); }
} 10
void Try (struct SBag *pProblem, int i) //试探第i个物品选择
{ if (i > pProblem->N)
{ //已试探完所有物品
if (pProblem->bestSolution.iMaxValue < pProblem->solutionNow.iMaxValue)
}
（待续）
11
if (CheckOk (pProblem, i)) //本次试探是否可行 Try (pProblem, i+1); //继续试探摆放下个物品
if (pProblem->solutionNow.bSelectA [i-1]) { //恢复不放入状态，回溯
pProblem->solutionNow.bSelectA [i-1] = 0; pProblem->iWeightLeft += pProblem->sGoodsA [i-1].iWeight; pProblem->solutionNow.iMaxValue -= pProblem->sGoodsA [i1].iPrice; } } }
《背包问题详解》课件
VS
约束条件
背包的容量有限，每个物品的数量和重量 、价值是已知的，目标是最大化背包中物 品的总价值。
多重背包问题的最优解法
贪心算法
按照物品单位重量的价值进行排序，优先选择单位重量价值最高的物品，直到背包满或者无法再放入更多物品。
动态规划
将问题分解为子问题，通过解决子问题的最优解来得到原问题的最优解。具体来说，对于多重背包问题，可以将 问题分解为多个一维背包问题，然后分别求解每个一维背包问题的最优解，最后取最优解中的最大值。
02
背包问题通常涉及到多个约束条 件，如物品的重量、价值、体积 等，以及一个目标函数，如背包 中物品的总价值或总重量。
背包问题的分类
根据物品能否分割，背包问题可以分为可分割问题和不可分 割问题。在可分割问题中，物品可以被切割成任意大小，而 在不可分割问题中，物品只能以完整的形式装入背包。
根据是否考虑时间因素，背包问题可以分为静态问题和动态 问题。在静态问题中，所有物品的属性和背包的容量都是固 定的，而在动态问题中，物品的属性和背包的容量可能会随 着时间变化。
完全背包问题的最优解法
最优解法通常采用贪心算法，即每次选择单位重量价值最高的物品，直到背包容量用完为止。这种方 法能够得到最优解，但并不是所有情况下都能找到最优解。
在某些情况下，贪心算法可能会错过最优解，因为它的选择是基于当前的最优选择，而不是全局的最 优选择。
完全背包问题的动态规划解法
动态规划是解决完全背包问题的另一 种方法，它通过将问题分解为更小的 子问题来求解。对于完全背包问题， 动态规划的思路是先解决子问题，再 根据子问题的解来解决原问题。
《背包问题详解》ppt 课件
目录
• 背包问题的定义与分类 • 0-1背包问题详解 • 多重背包问题详解 • 完全背包问题详解 • 变种背包问题详解
动态规划算法01背包问题PPT
lude <stdio.h> #define MAX 20 int n,c,w[MAX],v[MAX],m[MAX][MAX]={0}; void knapsack() { int i,j; for (i=1; i<=n; i++) for (j=1; j<=c; j++) { m[i][j]=m[i-1][j]; if ( j>=w[i-1] && m[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1]> m[i][j] ) m[i][j]=m[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1]; } }
例1：0-1背包问题
有一个负重能力为m的背包和不同价值v[i]、不同 重量w[i] 的物品n 件。在不超过负重能力的前提下， 从这n件物品中任意选择物品，使这些物品的价值之 和最大。
物品 重量 价值 1 5 4 2 3 4 3 2 3 4 1 1
算法思想1：设m[i][j]用来表示从第i项物品开始 到第n项物品中区取出装入体积为j的背包的物品的最 大价值。其中i的范围为1到n，其中j的范围为0到c， 程序要寻求的解为m[1][c]。可以发现： ①m[n][j] 在当j>=0并且j< w[n] 时等于0，否则等 于v[n] ②当前的背包容量j大于等于物品重量w[i]时， m[i][j]是下面两个量的最大值：m[i+1][j] 和 m[i+1][ jw[i] ]+v[i] ③当前的背包容量j小于物品重量w[i]时， m[i][j]等于m[i+1][j]。 当j<w[i] m[i][j]= m[i+1][j] Max(m[i+1][j], m[i+1][j-w[i] ]+v[i] ) 当j>=w[i] m[n][j]= v[n] 0 当j>=w[n] 当j>=0 并且 j< w[n]
例1：0-1背包问题
有一个负重能力为m的背包和不同价值v[i]、不同 重量w[i] 的物品n 件。在不超过负重能力的前提下， 从这n件物品中任意选择物品，使这些物品的价值之 和最大。
物品 重量 价值 1 5 4 2 3 4 3 2 3 4 1 1
算法思想1：设m[i][j]用来表示从第i项物品开始 到第n项物品中区取出装入体积为j的背包的物品的最 大价值。其中i的范围为1到n，其中j的范围为0到c， 程序要寻求的解为m[1][c]。可以发现： ①m[n][j] 在当j>=0并且j< w[n] 时等于0，否则等 于v[n] ②当前的背包容量j大于等于物品重量w[i]时， m[i][j]是下面两个量的最大值：m[i+1][j] 和 m[i+1][ jw[i] ]+v[i] ③当前的背包容量j小于物品重量w[i]时， m[i][j]等于m[i+1][j]。 当j<w[i] m[i][j]= m[i+1][j] Max(m[i+1][j], m[i+1][j-w[i] ]+v[i] ) 当j>=w[i] m[n][j]= v[n] 0 当j>=w[n] 当j>=0 并且 j< w[n]
动态规划背包问题全套PPT
,当
s1
=6
时,
x
* 1
=2.即最优方案为：
x1*
=2,
x
* 2
=1,
x
* 3
=0,
最大
价值为 13。
0
x
2
[
s2 4
]
f1
(s
2
-4
s1
x
2
)+
5
x
2
V2 ＝5x2
S2 0 1 2 3 4 5 6 7
8
9
10
x2 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 2 0 1 2 0 1 2
V2 0 0 0 0 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 10 0 5 10 0 5 10
f1+V2 0 0 0 4 4 5 4 5 8 5 8 9 8 9 10 12 9 10 12 13 10
如下表 ,问应如何组织装载 ,可使总价值最大 ?
货物编号
1
2
3
单位重量 （吨） 3
4
5
单位价值
4
5
6
解： 设装载每一种货物的件数为
xi ，则有：
maxz=4 x1 +5 x2 +6 x3
s.t. 3 x1 +4 x2 +5 x3 ≤ 10
xi 0 且为整数
用动态规划方法的顺序解法求解，则
当 k=1 时,
f2(s2) 0 0 0 4 5 5 8
9
10 12
13
s 4 8
01
动态规划的应用1 －－背包问题
2
345
67
8
9
10
《背包问题详解》课件
贪心算法
按照物品的单位价值排序，不断 选取物品放入背包，直至背包无 法再放入任何物品。
分支界限算法
通过添加上下界、剪枝和优化等 技巧，搜索并找到最优解。
多重背包问题的解法
动态规充最优解。
贪心算法
按照物品的单位价值排序，依次选取物品放入 背包，直至背包无法再放入任何物品。
《背包问题详解》PPT课 件
背包问题是一类经典的组合优化问题，涉及在限定容量的背包中选择一组物 品以最大化价值或满足约束条件。本课件将详细介绍背包问题的定义、分类 以及不同类型的解法。
背包问题的定义和分类
背包问题是指在给定背包容量和一组物品的条件下，选择恰当的物品放入背包中，使得物品价值最大化或满足 特定的约束条件。背包问题可以根据约束条件的不同分为0/1背包问题、完全背包问题和多重背包问题。
背包问题的贪心算法
贪心算法是一种启发式算法，通过按照某种策略选择物品放入背包，逐步构建出问题的解。贪心算法的优点是 简单高效，但是并不保证必然能够得到最优解，只能得到近似解。
背包问题的分支界限算法
分支界限算法是一种精确算法，通过搜索问题的解空间树并进行剪枝和优化， 找到最优解或最优解的近似解。算法的核心思想是根据上下界限制，分割问 题空间，减少搜索的规模。
背包问题的变种及其解法
1
部分背包问题
限制物品的选择范围，求解背包能容纳
零钱兑换问题
2
的最大价值。
将背包问题中的背包容量转化为固定的
面额，求解所需的最少硬币数量。
3
集合覆盖问题
将背包问题中的容量和物品价值转化为 集合和元素的关系，求解最小化子集覆 盖问题。
背包问题的动态规划算法
动态规划算法是求解背包问题的一种常用方法。通过定义状态转移方程和利 用动态规划表格，逐步计算填充最优解。算法的核心思想是将问题拆解成子 问题，并利用子问题的最优解构造出大问题的最优解。
背包问题之动态规划法ppt课件
设图G=(V, E)是一个带权有向连通图，如果把顶点集合V划分成 k个互不相交的子集Vi（2≤k≤n, 1≤i≤k），使得E中的任何一 条边(u, v)，必有u∈Vi，v∈Vi+m（1≤i＜k, 1＜i+m≤k），则称 图G为多段图，称s∈V1为源点，t∈Vk为终点。多段图的最短路 径问题是求从源点到终点的最小代价路径。
由于多段图将顶点划分为k个互不相交的子集，所以，多段 图划分为k段，每一段包含顶点的一个子集。根据多段图的定义， 每个子集中的顶点互不邻接。不失一般性，将多段图的顶点按 照段的顺序进行编号，同一段内顶点的相互顺序无关紧要。假 设图中的顶点个数为n，则源点s的编号为0，终点t的编号为n-1， 并且，对图中的任何一条边(u, v)，顶点u的编号小于顶点v的编 号。
5
对多段图的边(u, v)，用cuv表示边上的权值，将从源点s 到终点t的最短路径记为d(s, t)，则从源点0到终点9的最 短路径d(0, 9)由下式确定：
d(0, 9)=min{c01+d(1, 9), c02+d(2, 9), c03+d(3, 9)} 这是最后一个阶段的决策，它依赖于d(1, 9)、
3
4
02
3
9
18
6
2
7 8
4
37
45
6
8
56
77 9
6
83
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图1 一个多段图
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设G是一个有向加权图，则G从顶点i到顶点j之间的 最短路径问题满足最优性原理。 证明：设i～ip～iq～j是一条最短路径，但其中子路径 ip～iq～j不是最优的， 假设最优的路径为ip～iq’～j， 则我们重新构造一条路径：i～ip～iq’～j 显然该路径长度小于i～ip～iq～j，与i～ip～iq～j 是顶 点i到顶点j的最短路径相矛盾. 所以，原问题满足最优性原理。
由于多段图将顶点划分为k个互不相交的子集，所以，多段 图划分为k段，每一段包含顶点的一个子集。根据多段图的定义， 每个子集中的顶点互不邻接。不失一般性，将多段图的顶点按 照段的顺序进行编号，同一段内顶点的相互顺序无关紧要。假 设图中的顶点个数为n，则源点s的编号为0，终点t的编号为n-1， 并且，对图中的任何一条边(u, v)，顶点u的编号小于顶点v的编 号。
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对多段图的边(u, v)，用cuv表示边上的权值，将从源点s 到终点t的最短路径记为d(s, t)，则从源点0到终点9的最 短路径d(0, 9)由下式确定：
d(0, 9)=min{c01+d(1, 9), c02+d(2, 9), c03+d(3, 9)} 这是最后一个阶段的决策，它依赖于d(1, 9)、
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图1 一个多段图
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设G是一个有向加权图，则G从顶点i到顶点j之间的 最短路径问题满足最优性原理。 证明：设i～ip～iq～j是一条最短路径，但其中子路径 ip～iq～j不是最优的， 假设最优的路径为ip～iq’～j， 则我们重新构造一条路径：i～ip～iq’～j 显然该路径长度小于i～ip～iq～j，与i～ip～iq～j 是顶 点i到顶点j的最短路径相矛盾. 所以，原问题满足最优性原理。
第9章 动态规划(背包问题)
前后对比
BEGIN assign(input,'load.in');reset (input);
CLOSE(INPUT); CLOSE(OUTPUT); END.
assign(output,'load.out');re write(output); read(n,c); for i:=1 to n do read(w[i]); max:=0; search(1,0); writeln(max); CLOSE(INPUT); CLOSE(OUTPUT); END.
f
我只同 桶们算一 排会一个 序想个重 到，量 ， 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …………………………………… T F F F F F F F F …………………………………… / / / / / / / / T T T 先输入1 （1g 1个） 输入2 （2g 1个） 已经有一个TRUE 已经有2个TRUE （f[0]），所以，f[0+1] （f[0].f[1]），所以， 变成TRUE f[0+2].f[1+2]变成 TRUE
分析
1000
F/
const n=6; b:array[1..6]of longint=(1,2,3,5,10,20); var i,j,k,w,total:longint; p:array[1..6]of longint; f:array[0..1000]of boolean; begin
上机练习
P268 2.装箱问题 [输入样例]boxes.in 24 6 8 3 12 7 9 7
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else 将物品i放入箱子j；
12
}}
装箱问题中最早被研究的是一维装箱问题。随 着研究的深入，人们发现实际生活中更多存在 的是一些带约束的装箱问题，因此也就抽象化 出了，如二维装箱问题（条形装箱问题、剪裁 问题）、三维装箱问题、变容装箱问题、有色 装箱问题、对偶装箱问题等等一系列的带约束 的装箱问题。但是由于这些问题所与生俱来的 复杂性，虽然已经有一些研究成果发表了，但 是其研究还是相当的困难。本文所讨论的还是 一维装箱问题。
最后循环
8
FF（First Fit－首次适应 ）算法：按照物体 给定的顺序装箱：把物品wi放到第一个箱子 中。 B1 B2 …Bj是当前已经使用过的箱子， 在这些箱子中找一个长度不小于wi且下标最 小的箱子,将放入wi，如果不存在这样的箱子, 则另开一个新箱子Bj+1 , 将wi放入Bj+1中 。
一、装箱问题 （bin packing problem）
当你装一个箱子时，你会发现要使箱子尽 可能装满不是一件很容易的事，你往往需 要做些调整。从理论上讲，装箱问题是一 个很难的组合优化问题，即使用计算机也 是不容易解决的。
1
装箱问题是一个经典的NP难解问题，这 意味着该问题不存在在多项式时间内求 得精确解的算法（如果P≠NP）,因此对 装箱问题算法的研究指的是对其近似算 法的研究，所谓近似算法即该算法可以 求得与精确解接近的结果,但不一定得到 精确解。
4
装箱问题的数学表示如下（ ： 0-1规划模型）
n
min z( y) yi
i 1
n
s.t.
j xij Vyi
j 1
i N {1, , n}
n
xij
1 jN
yi =1表示箱子i装入物品， 反之表示箱子i空着
i 1
yi 0或1 i N xij 0或1 j N
10
降序首次适应算法 （FFD）: 先将物体按长度从大到小排序,然后按FF算法对 物体装箱.
不失一般性，对n件物品的体积按从大到小排好序， 即有v1≥v2≥…≥vn，然后按排序结果对物品重新 编号即可。
离线算法：如果算法在开始装箱之前，已经预先 得到了所有物品的信息而一次性的确定装箱策略， 这种算法就被称为离线算法。降序首次适应算法 和降序最佳适应算法是两个重要的离线算法。 这里的降序首次适应算法就是一种贪婪算法。
13
装箱问题在工业生产及日常生活中有广泛的用 途，其应用在实际生活中无处不在，如货物装运， 服装裁剪，以及我们计算机科学中的存储分配、共 享资源调度、文件存储都是装箱问题在实际应用中 的体现。所以具有重要的研究价值。
14
例2: 多处理器调度问题
设有n个独立的作业{1,2,…,n}，由m台相同的机器进行
加工处理。作业i所需的处理时但未完工前不允许中断处
理。任何作业不能拆分成更小的子作业。
多机调度问题要求给出一种作业调度方案，使所给的n个
作业在尽可能短的时间内由m台机器加工处理完成。
[分析]这个问题可以看成装箱问题，也是NP完全问题。对
于这一类问题，用贪婪选择策略有时可以设计出较好的近似
2
其在工业生产及日常生活中有广泛的用途， 其应用在实际生活中无处不在，货物装运， 服装裁剪，以及我们计算机科学中的存储分 配、共享资源调度、文件存储都是装箱问题 在实际应用中的体现。所以具有重要的研究 价值。
3
【问题】 装箱问题 问题描述：装箱问题可简述如下：设有编
号为1、…、n的n种物品，体积分别为v1、 v2、…、vn。将这n种物品装到容量都为V的若 干箱子里(更一般的装箱问题还可以要求容量 不是相同的)。约定这n种物品的体积均不超过 V，即对于1≤i ≤ n，有0＜vi≤V。不同的装箱方 案所需要的箱子数目可能不同。装箱问题要求 使装尽这n种物品的箱子数要少。
11
FFD算法： { 输入箱子的容积； 输入物品种数n； 按体积从大到小顺序，输入各物品的体积；
预置已用箱子链为空；
预置已用箱子计数器box_count为0； for (i=0;i<n;i ++ ) { 从已用的第一只箱子 开始顺序寻找能放入物品i 的箱子j； if （已用箱子都不能再放物品i）
{ 另用一个箱子，并将物品i放入该箱子； box_count++； }
算法。采用最长处理时间作业优先的贪婪选择策略可以设计
出解多处理器调度问题的较好的近似算法。按此策略，当
n≤m时，我们只要将机器i的[0,ti]时间区间分配给作业i即 可。
当n＞m时，我们首先将n个作业依其所需的处理时间从大 到小排序。然后依此顺序将作业分配给空闲的处理器。 15
6
装箱问题的LINGO软件求解
例1 已知30个物品,其中6个长0.51m，6个长 0.27m，6个长0.26m，余下12个长0.23m， 箱子长为1m，问最少需多少个箱子才能把30 个物品全部装进箱子。
见lingo程序
7
装箱问题的近似求解算法
NF（Next Fit－下次适应）算法：按照物 体给定的顺序装箱：把物品wi放到它第 一个能放进去的箱子中。Bj是具有最大 下标的使用过的箱子，若wi的长度不大 于Bj的剩余长度，则把wi放入Bj，否则 把wi放入一个新的箱子Bj+1，且Bj在以 后的装箱中不再使用。
9
以上算法都称为在线适应算法， 适应算法的特点是当处理当前物品，如果有已经打 开的箱子中能够放下这个物品，则不打开新的箱子。
在线算法：如果一个近似装箱算法在执行过程中， 每当一个物品到达时，就立刻决定把该物品放入哪 个箱子中，而不管后序物品如何，这种算法就被称 为在线算法。下次适应算法、首次适应算法等都是 在线算法，其时间复杂度都为O(n) 。
xij =1表示物品j装入箱 子i ，反之表示物品j未
放入箱子i 5
若考察将n种物品的集合分划成n个或小于n个 物品的所有子集，最优解就可以找到。但所有 可能划分的总数太大。对适当大的n，找出所 有可能的划分要花费的时间是无法承受的。为 此，对装箱问题采用非常简单的近似算法，即 贪婪法。该算法依次将物品放到它第一个能放 进去的箱子中，该算法虽不能保证找到最优解， 但还是能找到非常好的解。
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装箱问题中最早被研究的是一维装箱问题。随 着研究的深入，人们发现实际生活中更多存在 的是一些带约束的装箱问题，因此也就抽象化 出了，如二维装箱问题（条形装箱问题、剪裁 问题）、三维装箱问题、变容装箱问题、有色 装箱问题、对偶装箱问题等等一系列的带约束 的装箱问题。但是由于这些问题所与生俱来的 复杂性，虽然已经有一些研究成果发表了，但 是其研究还是相当的困难。本文所讨论的还是 一维装箱问题。
最后循环
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FF（First Fit－首次适应 ）算法：按照物体 给定的顺序装箱：把物品wi放到第一个箱子 中。 B1 B2 …Bj是当前已经使用过的箱子， 在这些箱子中找一个长度不小于wi且下标最 小的箱子,将放入wi，如果不存在这样的箱子, 则另开一个新箱子Bj+1 , 将wi放入Bj+1中 。
一、装箱问题 （bin packing problem）
当你装一个箱子时，你会发现要使箱子尽 可能装满不是一件很容易的事，你往往需 要做些调整。从理论上讲，装箱问题是一 个很难的组合优化问题，即使用计算机也 是不容易解决的。
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装箱问题是一个经典的NP难解问题，这 意味着该问题不存在在多项式时间内求 得精确解的算法（如果P≠NP）,因此对 装箱问题算法的研究指的是对其近似算 法的研究，所谓近似算法即该算法可以 求得与精确解接近的结果,但不一定得到 精确解。
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装箱问题的数学表示如下（ ： 0-1规划模型）
n
min z( y) yi
i 1
n
s.t.
j xij Vyi
j 1
i N {1, , n}
n
xij
1 jN
yi =1表示箱子i装入物品， 反之表示箱子i空着
i 1
yi 0或1 i N xij 0或1 j N
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降序首次适应算法 （FFD）: 先将物体按长度从大到小排序,然后按FF算法对 物体装箱.
不失一般性，对n件物品的体积按从大到小排好序， 即有v1≥v2≥…≥vn，然后按排序结果对物品重新 编号即可。
离线算法：如果算法在开始装箱之前，已经预先 得到了所有物品的信息而一次性的确定装箱策略， 这种算法就被称为离线算法。降序首次适应算法 和降序最佳适应算法是两个重要的离线算法。 这里的降序首次适应算法就是一种贪婪算法。
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装箱问题在工业生产及日常生活中有广泛的用 途，其应用在实际生活中无处不在，如货物装运， 服装裁剪，以及我们计算机科学中的存储分配、共 享资源调度、文件存储都是装箱问题在实际应用中 的体现。所以具有重要的研究价值。
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例2: 多处理器调度问题
设有n个独立的作业{1,2,…,n}，由m台相同的机器进行
加工处理。作业i所需的处理时但未完工前不允许中断处
理。任何作业不能拆分成更小的子作业。
多机调度问题要求给出一种作业调度方案，使所给的n个
作业在尽可能短的时间内由m台机器加工处理完成。
[分析]这个问题可以看成装箱问题，也是NP完全问题。对
于这一类问题，用贪婪选择策略有时可以设计出较好的近似
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其在工业生产及日常生活中有广泛的用途， 其应用在实际生活中无处不在，货物装运， 服装裁剪，以及我们计算机科学中的存储分 配、共享资源调度、文件存储都是装箱问题 在实际应用中的体现。所以具有重要的研究 价值。
3
【问题】 装箱问题 问题描述：装箱问题可简述如下：设有编
号为1、…、n的n种物品，体积分别为v1、 v2、…、vn。将这n种物品装到容量都为V的若 干箱子里(更一般的装箱问题还可以要求容量 不是相同的)。约定这n种物品的体积均不超过 V，即对于1≤i ≤ n，有0＜vi≤V。不同的装箱方 案所需要的箱子数目可能不同。装箱问题要求 使装尽这n种物品的箱子数要少。
11
FFD算法： { 输入箱子的容积； 输入物品种数n； 按体积从大到小顺序，输入各物品的体积；
预置已用箱子链为空；
预置已用箱子计数器box_count为0； for (i=0;i<n;i ++ ) { 从已用的第一只箱子 开始顺序寻找能放入物品i 的箱子j； if （已用箱子都不能再放物品i）
{ 另用一个箱子，并将物品i放入该箱子； box_count++； }
算法。采用最长处理时间作业优先的贪婪选择策略可以设计
出解多处理器调度问题的较好的近似算法。按此策略，当
n≤m时，我们只要将机器i的[0,ti]时间区间分配给作业i即 可。
当n＞m时，我们首先将n个作业依其所需的处理时间从大 到小排序。然后依此顺序将作业分配给空闲的处理器。 15
6
装箱问题的LINGO软件求解
例1 已知30个物品,其中6个长0.51m，6个长 0.27m，6个长0.26m，余下12个长0.23m， 箱子长为1m，问最少需多少个箱子才能把30 个物品全部装进箱子。
见lingo程序
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装箱问题的近似求解算法
NF（Next Fit－下次适应）算法：按照物 体给定的顺序装箱：把物品wi放到它第 一个能放进去的箱子中。Bj是具有最大 下标的使用过的箱子，若wi的长度不大 于Bj的剩余长度，则把wi放入Bj，否则 把wi放入一个新的箱子Bj+1，且Bj在以 后的装箱中不再使用。
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以上算法都称为在线适应算法， 适应算法的特点是当处理当前物品，如果有已经打 开的箱子中能够放下这个物品，则不打开新的箱子。
在线算法：如果一个近似装箱算法在执行过程中， 每当一个物品到达时，就立刻决定把该物品放入哪 个箱子中，而不管后序物品如何，这种算法就被称 为在线算法。下次适应算法、首次适应算法等都是 在线算法，其时间复杂度都为O(n) 。
xij =1表示物品j装入箱 子i ，反之表示物品j未
放入箱子i 5
若考察将n种物品的集合分划成n个或小于n个 物品的所有子集，最优解就可以找到。但所有 可能划分的总数太大。对适当大的n，找出所 有可能的划分要花费的时间是无法承受的。为 此，对装箱问题采用非常简单的近似算法，即 贪婪法。该算法依次将物品放到它第一个能放 进去的箱子中，该算法虽不能保证找到最优解， 但还是能找到非常好的解。