复变函数—课后答案习题三解答

πi
∫
0 i
z sin zdz = (sin z − z cos z ) |1 0 = sin1 − cos1
−z
∫ ( z − i)e
0
dz = (i − 1 − z )e − z |i0 = 1 − cos1 + i(sin1 − 1)
∫
1 + tan z 1 1 i dz = (tan z + tan 2 z / 2) |1 = −(tan1 + tan 2 1 + th 2 1) + i th1 2 1 cos z 2 2
3．设 f ( z ) 在单连域 D 内解析，C 为 D 内任何一条正向简单闭曲线，问
∫
解
C
Re[ f (z )]dz =
∫
C
Im[ f (z )]dz = 0
是否成立，如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。 未必成立。令 f ( z ) = z ， C : z = 1 ，则 f ( z ) 在全平面上解析，但是
16 ，故有 z 4 dz = 8π i z
∫
z dz = C| z|
∫
16 Z
| z| = 4
4
dz =
∫
| z| = 4
6．利用观察法得出下列积分的值。 解 利用柯西－古萨基本定理和柯西积分公式。 7．沿指定曲线的正向计算下列各积分。 （1） ∫ （3）
C
ez dz ， C :| z − 2 |= 1 z−2
（2）
v ∫
C
C
dz ， C :| z − a |= a z − a2
2
v ∫
C
eiz dz ， C :| z − 2i |= 3 / 2 z2 +1
2
（4）
v ∫ z − 3 ， C :| z |= 2
v ∫
C
zdz
（5）
v ∫
C
dz , C :| z |= r < 1 C ( z − 1)( z 3 − 1)
v ∫
2
4）
v ∫ z－i = 2π i
C
dz
5） 当 | a |> 1 时， 1/( z − a ) 在 | z |≤ 1上解析，故
3
ez v ∫ ( z − a)3 dz＝0 ； C
当 | a |< 1 时，
ez 2π i z dz＝ (e ) '' |z = a = π ie a 3 v ∫ ( z a ) 2! − C
z 2 dz = ∫ 9t 2 ⋅ 3dt + ∫ (3 + i t ) ⋅ i dt = 6 +
1 1 2 0 0 2 3+ i i
26 i。 3
z 2 dz =
∫ z dt + ∫
0 1
z 2 dz =
∫
C3
z 2 dz +
∫
C4
z 2 dz 。
C3 : z = i t (0 ≤ t ≤ 1) ； C 4 : z = 3t + i
-1-
∫ ∫
C
Re[ f (z )]dz = Im[ f (z )]dz =
∫ ∫
2π
0 2π
Re e iθ de iθ = cos θ (− sin θ + i cos θ )dθ = π i ≠ 0
[ ]
∫
2π
0
C
0
Im e iθ deiθ = sin θ (− sin θ + i cos θ )dθ = −π ≠ 0
习题三解答
1.沿下列路线计算积分 ∫
3+ i 0
z 2 dz 。
（1）自原点到 3 + i 的直线段 （2）自原点沿实轴至 3，再由 3 沿垂直向上至 3 + i ； （3）自原点沿虚轴至 i，再由 i 沿水平方向右至 3 + i 。
⎧ x = 3t , 解（1） ⎨ ⎩ y = t,
0 ≤ t ≤ 1 ，故 z = 3t + i t ， 0 ≤ t ≤ 1 。 dz = (3 + i )dt
z dz ； z | z|= 2
v ∫
2）
z dz z | z|= 4
v ∫
解
z dz = v ∫ z | z|= 2
2π
− iθ ∫ 2ie dθ = 0 ； 0
z dz = v ∫ z | z|= 4
2π
∫ 4ie
0
− iθ
dθ = 0 ，故两个积分的值相等。但不能利用闭路
变形原理从 1）的值得到，因
于是
y
∫
3+1
0
z 2 dz =
∫ (3t + i t ) (3 + i)dt
1 0
2
i C3 O
C4
(z) 3+i C2
= (3 + i )
3 1 2 0
∫ t dt
C1
3
1 1 1 26 3 = (3 + i) 3 t 3 | = (3 + i ) = 6 + i 0 3 3 3
x
（2） ∫
3+ i
v ∫
-3-
4）
± i为顶点的正向菱形 v ∫ z－i , 其中C为以 ± 2 ， 5
C
dz
1
6
ez 5） v ∫ ( z − a)3 dz, 其中a为 | a |≠ 1的任何复数，C :| z |= 1为正向 C
解 1）
v ∫ ( z + 1 + z + 2i )dz＝2π i(4 + 3) = 14π i
iη θ ie θ 1 1 1 π 2i cosη d dx d dη . （分子分母同乘以 1 + e −2iη ） ζ = + η = + ， 关。则 ∫ ∫0 1 + x 2 ∫0 1 + e2iη ∫ 0 1+ ζ 2 0 4 2 + 2 cos 2η
3π i 2z
=0
−π i
2）
∫π ch 3zdz = 3 sh 3z |π
6 i
0
1
0 i/6
= −i/3
3） 4） 5） 6）
∫ π sin
- i
1
πi
2
zdz = ∫
1 − cos 2 z z sin 2 z π i 1 dz = ( − ) |-π i = (π − sh 2π )i -π i 2 2 4 2
z 不是一个解析函数。 z 12．设区域 D 为右半平面， z 为 D 内圆周 | z |= 1 上的任意一点，用在 D 内的任意一条曲线 C 连结原 ⎡
点与 z ，证明 Re ⎢ 证明
z
∫ ⎣
z
0
⎤ π 1 dζ ⎥ = . 2 1+ ζ ⎦ 4
函数
1 在右半平面解析，故在计算从 0 到 z 沿任意一条曲线 C 的积分时与积分路径无 1+ ζ 2
e z dz v ∫C z 5 ， C :| z |= 1
= 2πe 2 i
解
（1）由 Cauchy 积分公式， ∫ 解 1： ∫ 解 2： ∫
C
ez dz = 2π i e z z−2
z =2
（2）
C
1 dz 1 = ∫ z + a dz = 2π i 2 2 C z−a z+a z −a
2
=
z =a
-2-
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=π /e
z =i
（4） （5） （6）由柯西基本定理知：其结果均为 0 （7）因被积函数的奇点 z = ± i 在 C 的内部， z = ±2 i 在 C 的外部，故由复合闭路定理及 Cauchy 积分公式有：
dz dz dz =∫ 1 2 +∫ 1 2 2 2 2 | i | | i | z − = z + = ( z + 1)( z + 4) 3 ( z + 1)( z + 4) 3 ( z + 1)( z + 4)
2
∫
C
=∫
| z −i| =
1 3
(z + i )(z 2 + 4) dz +
z −i
1
∫
| z +i| =
1 3
(z + i )(z 2 + 4) dz
z+i =
z =− i
1
= 2π i
1 ( z + i)( z 2 + 4)
+ 2π i
z =i
1 ( z − i)( z 2 + 4)
π
3
−
π
3
i
9．计算下列积分： 1）
v ∫ ( z + 1 + z + 2i )dz, 其中C :| z |= 4为正向
C
4
3
2）
v ∫z
C
2
2i dz , 其中C :| z－1|= 6为正向 +1
3）
cos z dz, 其中C1 :| z |= 2为正向，C2 :| z |= 3为负向 z3 C = C1 + C2
∫ (x
1+i 0
2
+ i y dz =
)
∫ (t
1 0 2
2
1 1 5 ⎛1 i ⎞ + i t (1 + i )dt = (1 + i ) t 2 + i t dt = (1 + i )⎜ + ⎟ = − + i 。 0 6 6 ⎝3 2⎠
)
∫( ∫
)
（2）沿 y = x ，此时 z = t + i t 2 (0 ≤ t ≤ 1) 。 dz = (1 + i 2t )dt ，故
=0
（8）由 Cauchy 积分公式， （9）由高阶求导公式， ∫
v ∫
C
sin zdz = 2π i sin z |z =0 = 0 z
2
sin z
C
π⎞ ⎛ ⎜z − ⎟ 2⎠ ⎝
dz = 2π i(sin z )'
z=
π
2
=0
（10）由高阶求导公式， 8．计算下列各题： 1）
e z dz 2π i z (4) πi v ∫C z 5 = 4! (e ) |z =0 = 12
[ ]
∫
2π
0
4．利用单位圆上 z =
1 的性质，及柯西积分公式说明 v ∫ zdz = 2π i ，其中 C 为正向单位圆周 | z |= 1 。 z C
解
（利用柯西积分公式） v ∫ zdz = v ∫ z dz =2π i ，
C C
1
5．计算积分 ∫ C 解
z dz 的值，其中 C 为正向圆周： （1） z = 2 ； （2） z = 4 z 4 ，故有 z
10．证明：当 C 为任何不通过原点的简单闭曲线时，
v ∫z
C
1
2
dz = 0 。
证明
当原点在曲线 C 内部时，
v ∫z
C
1
2
dz = 2π i(1) ' |z =0 = 0 ；当原点在曲线 C 外部时， 1/ z 2 在 C 内
解析，故
v ∫z
C
1
2
dz = 0 。
11．下列两个积分的值是否相等？积分 2）的值能否利用闭路变形原理从 1）的值得到？为什么？ 1）
0
∫π e
− i
3π i
2z
dz ； 2） ∫π ch 3 zdz ； 3） ∫ sin 2 zdz ； 4） ∫ z sin zdz ；
6 i -π i 0
−z
πi
1
5）
∫ ( z − i)e
0
i
dz ； 6） ∫
3π i
1 + tan z dz (沿1到i的直线段)。 1 cos 2 z
i
e2 z 解 1） ∫ e dz＝ −π i 2
π
a
i，
C
1 dz 1 ⎡ 1 1 ⎤ [2π i− 0] = π i dz − ∫ dz ⎥ = = 2 ⎢ ∫ C C 2 a z a z a − + 2 a a z −a ⎣ ⎦
（3）由 Cauchy 积分公式，
v ∫
C
eiz dz eiz dz /( z + i) eiz = = 2 i π ∫ z -i z2 +1 v z+i C
(0 ≤ t ≤ 1) ，
2
故
∫
3+ i
0
z 2 dz = ∫ − t 2 ⋅ i dt + ∫ (3t + i ) ⋅ 3dt = 6 +
1 0 0
26 i 3
2．分别沿 y = x 与 y = x 算出、积分 ∫
2
1+i
0
(x
2
+ i y dz 的值。
)
解（1）沿 y = x 。此时 z = t + i t (0 ≤ t ≤ 1) 。 dz = (1 + i )dt ，于是
2
∫ (x
1+i 0
2
+ i y dz =
)
∫ (t
1 0
+ i t 2 (1 + i 2t )dt = (1 + i ) t 2 (1 + i 2t )dt = (1 + i ) t 2 + i 2t 3 dt
1 1 0 0
)
∫(
)
1 5 ⎛1 i ⎞ = (1 + i )⎜ + ⎟ = − + i 。 6 6 ⎝3 2⎠
2
（6）
z 3 cos zdz ， C为包围z＝0的闭曲线
（7）
v ∫ (z
C
dz ， C :| z |= 3 / 2 + 1)( z 2 + 4)
2
（8）
v ∫
C
sin zdz ， C :| z |= 1 z
（9） ∫
sin z ⎛ π⎞ ⎜z − ⎟ 2⎠ ⎝
dz ， C :| z |= 2
（10）
（1）因在 | z |= 2 上有 | z |= 2 ， z ⋅ z =| z | 2 = 4 ，从而有 z =
∫
4 z 2 dz = ∫ Z dz = ∫ dz = 4π i C| z| | z| = 2 2 | z| = 2 z
（2）因在 C 上有 | z |= 4 ， z ⋅ z =| z | 2 = 16 ，从而有 z =
0
z 2 dz =
∫
3+ i
0
z 2 dz +
∫
C1
z 2 dz +
∫
C2
z 2 dz 。 C1 之参数方程为 ⎨
⎧ x = 3t , (0 ≤ t ≤ 1) ； C2 之参数方程为 y = t , ⎩
⎧ x = 3, (0 ≤ t ≤ 1) ⎨ ⎩ y = t,
故 （3） ∫
3+ i
∫
0
3+ i
0 i
C
4
3
2）
v ∫z
C
2
2i 2i /( z + i) 2i /( z − i) dz = v dz + v dz = 0 ∫ ∫ +1 z -i z +i | z − i| =1 | z + i| =1
3）
cos z cos z cos z 2π i 2π i dz = v dz − v dz = (cos z ) '' |z =0 − (cos z ) '' |z =0 = 0 3 3 3 ∫ ∫ z z z 2! 2! − C = C1 + C2 C1 C