法向量的求法和其应用
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平面法向量的求法及其应用
引言：本节课介绍平面法向量的三种求法,并对平面法向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结。其中重点介绍外积法求平面法向量的方法，因为此方法比内积法更具有优越性,特别是在求二面角的平面角方面。此方法的引入，将对高考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确，那么每年高考中那道12分的立体几何题将会变得更加轻松。
一、 平面的法向量
1、定义：如果α⊥→
a
，那么向量→
a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法
方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y = [或(,1,)n x z =
，或(1,,)n y z = ]，在平
面α内任找两个不共线的向量,a b
。由n α⊥ ，得0n a ⋅= 且0n b ⋅= ，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。
方法二：任何一个z y x ,,的一次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。
0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。其法向量),,(C B A n =→
;若平面与3个坐标轴的
交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=+
+
c
z b
y a
x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化
为一般式即可求出它的法向量。
方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→→⨯b a 为一长度等于θsin ||||→
→b a ，（θ
为,两者交角，且πθ<<0），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由
的方向转为
的方向时，大拇指所指的方向规定为→→⨯b a 的方向,→
→→→⨯-=⨯a b b a 。
:),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→
→
⎝⎛=⨯→
→
21y y b a ,21
z z 21x x - ,21z z 21x x ⎪⎪⎭
⎫21y y （注：1、二阶行列式:c
a M =
cb ad d
b -=；2、适合右手定则。） 例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→
→
b a ，
试求（1）：;→
→
⨯b a （2）：.→
→
⨯a b
Key: (1) )5,2,1(-=⨯→
→
b a ;)5,2,1()2(-=⨯→
→
a b
例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABC D A B C D -中，
求平面AEF 的一个法向量n
。 )2,2,1(:=⨯=→→→AE AF n key 法向量
二、 平面法向量的应用
1、 求空间角
(1)、求线面角：如图2-1，设→
n 是平面α的法向量， AB 是平面α的一条斜线，α∈A ，则AB 与平面α 所成的角为：
图2-1-1:
2
,2
→
→
→
→->=
<-=
AB n π
π
θ图2-1-2:arccos
2
,π
θ=-
>=<→
→AB n (2)、求面面角:设向量→
m ，→
n 分别是平面α、β的法向量，则二面角βα--l 的平面角为：
|
|||arccos
,→
→
→
→
→
→
⋅⋅>== m n m θ（图2-2）; | |||arccos ,→ → → → → → ⋅⋅->== m n m πθ(图2-3) 两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图2-2中，→ m 的方向对平面α而 言向外，→ n 的方向对平面β而言向内；在图2-3中，→m 的方向对平面α而言向内，→ n 的方向对平面β而言向内。我们只要用两个向量的向量积（简称“外积”，满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角βα--l 的平面角。 2、 求空间距离 （1）、异面直线之间距离: 方法指导：如图2-4,①作直线a 、b 的方向向量→ a 、→ b ， 求a 、b 的法向量→ n ，即此异面直线a 、b 的公垂线的方向向量； ②在直线a 、b 上各取一点A 、B ，作向量→ AB ； 图2-3 | ,cos |><=→ → AB n θ ③求向量→AB 在→ n 上的射影d ，则异面直线a 、b 间的距离为 | || |→ → → ∙= n n AB d ,其中b B a A b n a n ∈∈⊥⊥→→,,, （2）、点到平面的距离: 方法指导：如图2-5,若点B 为平面α外一点，点A 为平面α内任一点，平面的法向量为n ，则点P 到 平面α的距离公式为| || |→ → → ∙= n n AB d （3）、直线与平面间的距离: 方法指导：如图2-6,直线a 与平面α之间的距离： || AB n d n ⋅= ，其中a B A ∈∈,α。n 是平面α的法向量 （4）、平面与平面间的距离: 方法指导：如图2-7,两平行平面,αβ之间的距离： | || |→ → → ∙= n n AB d ，其中,A B αβ∈∈。n 是平面α、β的 3、 证明 （1）、证明线面垂直：在图2-8中,→ m 向是平面α的法向量，→ a 是 直线 a 的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线（→ → =a m λ）。 （2）、证明线面平行：在图2-9中,→ m 向是平面α的法向量，→ a 是直线a 的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直（0=∙→ → a m ）。 （3）、证明面面垂直：在图2-10中，→ m 是平面α的法向量，→ n 是平面β 的法向量，证明两平面的法向量垂直（0=∙→ → n m ） （4）、证明面面平行：在图2-11中, → m 向是平面α的法向量，→ n 是平 面β的法向量，证明两平面的法向量共线（→ → =n m λ）。 n