快速求平面的法向量
平面法向量的求法法向量怎么求
方法指导：如图2-5,若点B为平面α外一点，点A
1
ab
adcb；2、适合右手定则。
cd
二、平面法向量的应用
1、求空间角
为平面α内任一点，平面的法向量为，则点B到平面α的距离公式为d
三、高考真题新解
例1、已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，
AB∥DC，DAB90,PA底面ABCD，且PA=AD=DC=
mn0,mn,即平面A1MC平面A1BD1.
(III).设点A到平面A1MC的距离为d,
mMCMA1(a2,
又MA(
2222
a,a)是平面A1MC的法向量, 22
2|mMA|1
a,0,0),A点到平面A1MC的距离为:da.22|m|
四、用空间向量解决立体几何的“三步曲”
(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
3|m||n|
22
面AMC与面BMC所成二面角的大小为arccos().
33
例2、(本题满分12分)如图3-2，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝a，BC，M是AD的中点。(Ⅰ)求证：AD∥平面A1BC；
(Ⅱ)求证：平面A1MC⊥平面A1BD1；(Ⅲ)求点A到平面A1MC的距离。
线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系设直线l,m的方向向量分别为,，平面,的法向量分别为,。
1.平行关系
法向量的快速求法
法向量的快速求法
法向量的快速求法可以通过以下方法实现：
1. 对于平面上的一个向量，其法向量可以通过求其逆时针旋转90度得到，即将向量(x,y)变为(-y,x)。
2. 对于三维空间中的一个向量，其法向量可以通过向量积（又称为叉积）求得。
设a和b是两个不共线的向量，则它们的向量积a×b是一个向量，其大小等于以a和b为邻边所构成的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形，满足右手定则。
向量积的计算公式为：
a ×
b = (aybz −azby,azbx −axbz,axby −aybx)
其中，aybx表示a向量y分量与b向量x分量相乘。
3. 对于曲面上的一个点P，其法向量可以通过求其切平面的法向量得到。
曲面的切平面包含该点的所有切线，其法向量指向切平面凸出的一侧。
切平面的法向量可以通过对曲面方程求偏导数得到。
空间平面法向量求法
空间平面法向量求法一、法向量定义定义：如果，那么向量叫做平面的法向量。
平面的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。
二、平面法向量的求法1、内积法在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量=（x,y,1）[或=（x,1,z)或=（1，y,z）]，在平面内任找两个不共线的向量,。
由，得·=0且·=0，由此得到关于x,y的方程组，解此方程组即可得到。
2、任何一个x,y,z的一次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是x,y,z的一次方程。
Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不同时为0)，称为平面的一般方程。
其法向量=(A,B,C);若平面与3个坐标轴的交点为P(a,0,0),P(0,b,0),P(0,0,c),则平面方程为:,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。
3、外积法设,为空间中两个不平行的非零向量，其外积×为一长度等于||||sinθ，（θ为两者交角，且0<θ<π，而与,, 皆垂直的向量。
通常我们采取“右手定则”，也就是右手四指由的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为×的方向,×=-×。
设=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2),则×=（注：1、二阶行列式:；2、适合右手定则。
）Codepublic double[] GetTriangleFunction(ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point1,ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point2, ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point3){try{double a = 0, b = 0,c=0; //方程参数double x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, y1 = 0, y2 = 0, y3 = 0, z1 = 0, z2 = 0, z3 = 0; //各点坐标值double[] returnValue = new double[3];x1 = point1.X * 1000;y1 = point1.Y * 1000;z1 = point1.Z * 1000;x2 = point2.X * 1000;y2 = point2.Y * 1000;z2 = point2.Z * 1000;x3 = point3.X * 1000;y3 = point3.Y * 1000;z3 = point3.Z * 1000;//向量I1double[] I1 = new double[3];I1[0] = x2 - x1;I1[1] = y2 - y1;I1[2] = z2 - z1;//向量I2double[] I2 = new double[3];I2[0] = x3 - x1;I2[1] = y3 - y1;I2[2] = z3 - z1;double X1 = I1[0];double Y1 = I1[1];double Z1 = I1[2];double X2 = I2[0];double Y2 = I2[1];double Z2 = I2[2];a = Y1 * Z2 - Y2 * Z1;b = X2 * Z1 - X1 * Z2;c = X1 * Y2 - X2 * Y1;returnValue[0] = a;returnValue[1] = b;returnValue[2] = c;return returnValue;}catch (Exception e){throw e;}}OPENGL里面就这样实现void getNormal(GLfloat gx[3],GLfloat gy[3], GLfloat gz[3],GLfloat *ddnv){GLfloat w0,w1,w2,v0,v1,v2,nr,nx,ny,nz;w0=gx[0]-gx[1]; w1=gy[0]-gy[1];w2=gz[0]-gz[1];v0=gx[2]-gx[1]; v1=gy[2]-gy[1];v2=gz[2]-gz[1];nx=(w1*v2-w2*v1);ny=(w2*v0-w0*v2);nz=(w0*v1-w1*v0);nr=(GLfloat)sqrt(nx*nx+ny*ny+nz*nz); //向量单位化。
法向量秒求
法向量秒求一．叉乘法求解法向量111222111221221112212211122122PAB PA=a b c PB=a b c n (x,y,z)b c x b c b c b c a c y (a c a c )a c a b z a b a b a b ===-=-=--==-uu u r uu r r 设平面的两边构成的向量为（，，）、（，，）平面PAB的一个法向量则，，，，，，二．掐头去尾交叉法求法向量111222a (x ,y ,z )b (x ,y ,z )n (x,y,z)===r r r 已知平面内两相交直线的方向向量、平面的法向量为分两步写，第一步横写两遍，掐头去尾；第二步：由左向右，交叉相乘再相减121212121212n (y z z y ,z x x z ,x y y x )=---r 说明：两种方法的实质是一样，都可以使用例题举证【例1】（2020·辽宁节选）已知平面α上三点()3,2,1A ，()1,2,0B -，()4,2,1C --，则平面α的一个法向量为（）A．()4,9,16--B．()4,9,16-C．()16,9,4--D．()16,9,4-【答案】B【解析】解法一：常规法由已知()4,0,1AB =-- ，()1,4,2AC =-- ，设平面α的一个法向量为(),,n x y z = ，由00n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得40420x z x y z --=⎧⎨--=⎩，取4x =，可得16z =-，9y =，所以，平面α的一个法向量为()4,9,16=-n .故选：B.解法二：叉乘法由已知()4,0,1AB =-- ，()1,4,2AC =-- ，设平面α的一个法向量为(),,n x y z = ()0x 0(2)(4)(1)44241y [4(2)1(1)]9120z 4(4)101614n 4,9,16n B==⨯---⨯-=-----=-=--⨯--⨯-=--==-⨯--⨯=-=--r r ，-1，，，-4，，只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选解法三：掐头去尾交叉法()n 4,9,16n B=--r r 只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选【例2】（2020·全国）已知(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,1)C ，则下列向量是平面ABC 法向量的是（）A．(1,1,1)-B．(1,1,1)-C．333,333⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭D．333,,333⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】解法一：常规法(1,1,0),(1,0,1)AB AC =-=- ,设(,,)n x y z = 为平面ABC 的法向量，则00n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，化简得00x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，∴x y z ==，故选C.解法二：叉乘法1x 11001110y -110(1)1-11-1z 101-11-10==⨯-⨯=-=-=-⨯-⨯-===-⨯-⨯=，00，，【】，1，（），()n 1,1,1n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选C 解法三：掐头去尾交叉法()n 1,1,1n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选C技巧强化1．（2020·全国）在三棱锥P ABC -中，CP 、CA 、CB 两两垂直，1AC CB ==，2PC =，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面PAB 的法向量的是（）A．11,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B．()2,1C．()1,1,1D．()2,2,1-【解析】解法一：常规法()1,0,2PA =- ，()1,1,0AB =- ，设平面PAB 的一个法向量为(),,1n x y = ，由00n PA n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩则200x x y -=⎧⎨-+=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，()2,2,1n ∴=r ．又111,1,22n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，因此，平面PAB 的一个法向量为11,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A.解法二：叉乘法()1,0,2PA =- ，()1,1,0AB =- ，设平面PAB 的一个法向量为(),,z =n x y x 01(2)212y -[01(2)(1)]2-10z 110-11-11==-⨯-=-=-=⨯--⨯-===⨯-⨯=0，-21， 0，，1，0（），()n 2,2,1n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选A解法三：掐头去尾交叉法()1,0,2PA =- ，()1,1,0AB =- ，设平面PAB 的一个法向量为(),,z =n x y()n 2,2,1n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选A2．（多选）（2020·南京市第十四中学）已知(4A -，6，1)-，(4B ，3，2)，则下列各向量中是平面(AOB O 是坐标原点)的一个法向量的是（）A．15194⎛⎫- ⎪⎝⎭，，B．15194⎛⎫- ⎪⎝⎭，，C．(15-，4，36)D．(15，4，36)-【答案】BD【解析】解法一：常规法设平面(AOB O 是坐标原点)的一个法向量是(,u x =y ，)z ，则·0·0u OA u OB ⎧=⎨=⎩ ，，即4604320x y z x y z -+-=⎧⎨++=⎩，，得90y z +=，令1y =，解得15419x y z ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，，，令4y =，解得15436x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，，故15,1,94u ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 或(15,4u = ，36)-．故选：BD．解法二：叉乘法(4(4,3,2),(,,)=-==，6,-1)、设平面是坐标原点的一个法向量是OA OB n x y z6x 623(1)15241y -[424(1)44246z 43463643==⨯-⨯-=--=-=-⨯-⨯-=-==-⨯-⨯=-，-13，，]， ，， ()n 15,4,36n n =-λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选BD解法三：掐头去尾交叉法()n 15,4,36n n =-λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选BD3．（2020·天津市第五十五中学）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，2BC =，13CC =，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，以D 为原点，分别以DA ，DC ，1DD 为坐标轴建立空间直角坐标系，则平面1D EF的一个法向量是___________.【答案】(6-，3，2)【解析】解法一：常规法长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，2BC =，13CC =，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，以D 为原点，分别以DA ，DC ，1DD 为坐标轴建立空间直角坐标系，则1(0D ，0，3)，(1E ，4，0)，(0F ，2，0)，1(1D E =，4，3)-，1(0D F =，2，3)-，设平面1D EF 的一个法向量是(n x =，y ，)z ，则11·430·230n x y z n yz D E D F ⎧=+-=⎪⎨=-=⎪⎩ ，取3y =，得(6n =-，3，2)，则平面1D EF 的一个法向量是(6-，3，2).故答案为：(6-，3，2).解法二：叉乘法1(1D E = ，4，3)-，1(0D F =，2，3)-，设平面1D EF 的一个法向量是(n x =，y ，)z ，x 4(3)2(3)6313y -[1(3)0(3)334z 120422==⨯--⨯-=---=-=⨯--⨯-=-==⨯-⨯=4，-32，，]0，1，（）0，()n 6,3,1n n =-λr r r 2只要跟成倍数都是平面的法向量解法三：掐头去尾交叉法()n 6,3,1n n =-λr r r 2只要跟成倍数都是平面的法向量4．（2020·鱼台县第一中学）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，1A O ⊥平面ABCD，1AB =1OCB 的法向量n =________.【答案】()1,0,1-（答案不唯一）【解析】解法一：常规法ABCD 是正方形，且2AB =AO OC 1∴==，OC (0,1,0)∴= ，A(0,1,0)- ，B(1,0,0)，(1,1,0)AB ∴= ，11A B (1,1,0)∴= ，OA 1= ，1AA 2=1OA 211∴=-=，故1(0,0,1)OA = ，故1111OB OA A B (1,1,1)=+= ，∵向量(,,)n x y z = 是平面OCB 1的法向量，OC 0y n ∴⋅== ，1OB 0n x y z ⋅=++= ，故0y =，x z =-，取1x =，故1z =-，平面1OCB 的法向量()1,0,1n =- 故答案为：()1,0,1-（答案不唯一）5．（2020·全国）已知()0,2,3A ，()2,1,6B -，()1,1,5C -.求平面ABC 的一个法向量；【答案】平面ABC 的一个法向量为()1,1,1n =（答案不唯一）；【解析】解法一：常规法因为()0,2,3A ，()2,1,6B -，()1,1,5C -，所以()2,1,3AB =-- ，()1,3,2AC =- ，设(),,n x y z =r为平面ABC 的一个法向量，则有230320n AB x y z n AC x y z ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，所以x y z ==，不妨令1x =，则()1,1,1n = ，所以平面ABC 的一个法向量为()1,1,1n =；解法二：叉乘法所以()2,1,3AB =-- ，()1,3,2AC =- ，设(),,n x y z =r 为平面ABC 的一个法向量，1x 12(3)37223y -[2213]712-3z 123-37-32-==-⨯--⨯=-=-=-⨯-⨯===-⨯-⨯=，3-3，，，1，（），()n 7,7,7n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量解法三：掐头去尾交叉法()n 7,7,7n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量（2）若存在实数m ，n ，使a mAB nAC =+，即()()()3,4,12,1,31,3,2m n -=--+-，则2334321m n m n m n -+=⎧⎪--=-⎨⎪+=⎩，解得57117m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以51177a AB AC =-+ ，即向量()3,4,1a =- 与平面ABC 平行.6．（2020·河南郑州市·高三月考）如图，S 为圆锥的顶点，O 为底面圆心，点A ，B 在底面圆周上，且60AOB ∠=︒，点C ，D 分别为SB ，OB的中点．()1求证：AC OB ⊥；()2若圆锥的底面半径为2，高为4，求直线AC 与平面SOA 所成的角的正弦值．【答案】()1证明见解析；()22114.【解析】()1由题意，得SO ⊥底面圆O ，点C ，D 分别为SB ，OB 的中点，∴//CD SO ，CD ⊥底面圆O ，OB 在底面圆O 上，∴OB CD ⊥．60AOB ∠=︒，∴AOB 为正三角形，又因为D 为OB 的中点，∴OB AD ⊥，又因为AD CD D = ，且AD ⊂平面ACD ， C D ⊂平面ACD ，∴OB ⊥平面ACD ，AC ⊂平面ACD ，∴AC OB ⊥．()2解法一：常规法如图，以D 为原点，DA ，DB ，DC 所在直线为x 轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系，则()3,0,0A ，()0,0,2C ，()0,1,0O -，()0,1,4S -，故()3,0,2AC = ，()3,1,4AS =- ，)3,1,0OA = ，设平面SOA 的法向量为(),,n x y z = ，由00n AS n OA ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，可得34030y z x y ⎧-+=⎪+=，令1x =，得()1,3,0n =-r为平面SOA 的一个法向量，设直线AC 与平面SOA 所成的角为θ，则300321sin cos ,14133427n AC n AC n AC θ⋅-++=〈〉==+⨯+⋅ ，即直线AC 与平面SOA 所成的角的正弦值为2114．解法二：叉乘法()3,1,4=-AS ，)3,1,0OA = ，设平面SOA 的法向量为(),,n x y z = ，1x 101440y -[04]1z 1-101-==-⨯-⨯=-==--=-==-=，41， ，（）()n n n =-λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量解法三：掐头去尾交叉法()n n n =-λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量7．（2020·浙江衢州市）如图，在三棱锥P —ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，D 为PC 中点，E 为AD 中点，PA ＝AC ＝2，BC＝1．（1）求证：AD ⊥平面PBC ：（2）求PE 与平面ABD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）21515.【解析】（1）证明：∵PA ⊥平面ABC ，∴PA BC⊥又因为BC AC ⊥，=PA AC A∩∴BC ⊥平面PAC ，∴BC AD ⊥．∵PA AC =，D 为PC 中点，∴AD PC ⊥，又∵PC BC C ⋂=，∴AD ⊥平面PBC ；（2）解法一：常规法以C为坐标原点建立如图空间直角坐标系()2,0,0A ，()0,1,0B ，()2,0,2P ，∴()1,0,1D ，310,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,，∴13,0,22PE =--⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，()2,1,0AB =- ，()1,0,1AD =- ．设平面ABD 的法向量为(),,m x y z = ，则00AB m AD m ⎧⋅=⎨⋅=⎩200x y x z -+=⎧⇒⎨-+=⎩，令1x =，则2,1==y z ，得()1,2,1m = ．设PE 与平面ABD 所成角为θ，则215sin 15θ⋅===⋅ PE m PE m ．解法二：叉乘法()2,1,0AB =- ，()1,0,1AD =- ．设平面ABD 的法向量为(),,m x y z = ，1x 11001120y -210(1)]2-11-1z 201-11-10==⨯-⨯=-=-=-⨯-⨯-===-⨯-⨯=，00，，[，2，（），()n 1,2,1n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量设PE 与平面ABD 所成角为θ，则sin 15θ⋅===⋅ PE m PE m ．解法三：掐头去尾交叉法()n 1,2,1n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量设PE 与平面ABD 所成角为θ，则sin 15θ⋅===⋅ PE m PE m ．8．（2020·河北邢台市·邢台一中高三月考=）已知四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，AD CD ⊥，//AB CD ，且3PA PC PD ===，24CD AD AB ===，O 为AC 的中点.()1求证：OP BC ⊥；()2求直线DP 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】()1证明见解析；()289.【解析】()1因为AD CD ⊥，所以2242AC AD CD =+=又3,PA PC O ==为AC 的中点，所以PO AC ⊥，()223221PO =-=，连接OD ，在Rt ACD △中，O 为AC 的中点，所以1222OD AC ==.因为222OD OP PD +=，所以OP OD ⊥，又OD AC O = ，所以OP ⊥平面ABCD .又BC ⊂平面ABCD ，所以OP BC ⊥.()2解法一：常规法如图，以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴，y 轴，过点D 且与OP 平行的直线为z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则()4,2,0B ，()0,4,0C ，()2,2,1P ，()4,2,0BC =- ，()2,2,1CP =- ，()2,2,1DP = .设平面BCP 的一个法向量为(,,)n x y z = ，由00n BC n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，得420220x y x y z -+=⎧⎨-+=⎩令1x =，可得()1,2,2n = .设直线DP 与平面PBC 所成角为θ，则88sin cos ,339DP n θ===⨯ .即直线DP 与平面PBC 所成角的正弦值为89.解法二：叉乘法()4,2,0BC =- ，()2,2,1CP =- 设平面BCP 的一个法向量为(,,)n x y z = ，2x 21(2)02140y -[4102]421-2z 4(2)24422==⨯--⨯=-=-=-⨯-⨯===-⨯--⨯=-，0-2，，，4，，()n 2,4,4n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量则8sin cos ,9==DP n θ .即直线DP 与平面PBC 所成角的正弦值为89.解法三：掐头去尾交叉法()4,2,0BC =- ，()2,2,1CP =- 设平面BCP 的一个法向量为(,,)n x y z = ，()n 2,4,4n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量则8sin cos ,9==DP n θ .即直线DP 与平面PBC 所成角的正弦值为89.9．（2020·四川泸州市·泸县五中高三月考）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，2PA =，E 为PD 中点.（1）求证：AE PC ⊥；（2）求二面角B AE C --的正弦值.【答案】（1）见详解；（2）3【解析】（1）证明：∵底面ABCD 是边长为2的正方形，2PA =，E 为PD 中点，∵AE PD ⊥，CD AD ⊥.∵PA ⊥平面ABCD ，CD 平面ABCD ，∴CD PA ⊥.∵PA AD A⋂=∴CD ⊥平面PAD ，∵AE 平面PAD ，∴CD AE ⊥，∵CD PD D = .∴AE ⊥平面PCD ，∵PC 平面PCD ，∴AE PC ⊥.（2）解法一：常规法以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立如图空间直角坐标系.则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,1,1)E ，(0,1,1)AE = ，(2,0,0)AB =uu u r ，(2,2,0)AC =uuu r ，设平面ABE 的一个法向量(,,)m x y z = ，则200m AB x m AE y z ⎧⋅=⋅=⎨⋅=+=⎩，取1y =，得(0,1,1)m =- .设平面AEC 的一个法向量为111(,,)n x y z = .则2200n AC x y n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取11x =.得(1,1,1)n =-，cos 3||||m n m n m n ⋅<⋅>==-⋅ ，∴二面角B AE C --的正弦值33=解法二：叉乘法（法向量求解略）解法三：掐头去尾交叉法（法向量求解略）10．（2020·河北省晋州市）如图，棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AD =2，BD=.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求二面角P —CD —B 余弦值的大小；【答案】（1）证明见解析（2）22【解析】（1）建立如图所示的直角坐标系，则A （0，0，0）、D （0，2，0）、P （0，0，2）.在Rt △BAD 中，AD =2，BD=∴AB =2.∴B （2，0，0）、C （2，2，0），∴(0,0,2),(2,2,0),(2,2,0)AP AC BD ===-∵0,0BD BD AP AC =⋅=⋅ ，即BD ⊥AP ，BD ⊥AC ，又AP ∩AC =A ，故BD ⊥平面PAC .（2）解法一：常规法（3）由（1）得(0,2,2),(2,0,0)PD CD =-=-.设平面PCD 的法向量为1(,,)n x y z = ，则110,0n PD C n D ==⋅⋅ ，即02202000y z x +-=⎧⎨-++=⎩，∴0x y z =⎧⎨=⎩，故平面PCD 的法向量可取为1(0,1,1)n =u r ,∵PA ⊥平面ABCD ，∴(0,01)AP = 为平面ABCD 的法向量.设二面角P —CD —B 的大小为θ，依题意可得112cos 2n AP n APθ⋅===⋅ ，故二面角P —CD —B 余弦值的大小为22.解法二：叉乘法(0,2,2),(2,0,0)PD CD =-=- 2x 2000002y -[00(2)(2)4-2002z 002-14-20==⨯-⨯=-=-=⨯--⨯-===⨯-⨯=，-20， 0，]，，（），()n 0,4,4n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量∵PA ⊥平面ABCD ，∴(0,01)AP = 为平面ABCD 的法向量.设二面角P —CD —B 的大小为θ，依题意可得1112cos22n AP n APθ⋅===⋅ ，故二面角P —CD —B 余弦值的大小为22.解法三：掐头去尾交叉法(0,2,2),(2,0,0)PD CD =-=- ()n 0,4,4n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量∵PA ⊥平面ABCD ，∴(0,01)AP = 为平面ABCD 的法向量.设二面角P —CD —B 的大小为θ，依题意可得1112cos 22n AP n APθ⋅===⋅ ，故二面角P —CD —B 余弦值的大小为22.。
法向量怎么求
法向量怎么求
1、建立恰当的直角坐标系
2、设平面法向量n=（x，y，z）
3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2, a3）b=（b1，b2，b3）
4、根据法向量的定义建立方程组：①n·a=0；②n·b=0
5、解方程组，取其中一组解即可。
法向量的主要应用
1、求斜线与平面所成的角：求出平面法向量和斜线的夹角,这个角和斜线与平面所成的角互余.利用这个原理也可以证明线面平行；
2、求二面角：求出两个平面的法向量所成的角,这个角与二面角相等或互补；
3、点到面的距离：任一斜线(平面为一点与平面内的连线)在法向量方向的射影；
如点B到平面α的距离d=|BD·n|/|n|（等式右边全为向量,D为平面内任意一点,向量n 为平面α的法向量）。
利用这个原理也可以求异面直线的距离。
平面法向量的求法
轴平行 轴平行 轴平行
② 单○r 就是面 谁○谁垂r 直 若 ar （0, y, z）, 则 ar 与x 轴垂直 若 ar （x, 0, z）, 则 ar 与y 轴垂直 若 a （x, y, 0）, 则 a与z 轴垂直
1.几个常见的结论：
① 双○就是轴 谁非谁平行
② 单○就是面 谁○谁垂直
③ 双○补单○
z
D1
A1
C1
B1
y
D A
x
C B
2.验证法：感觉良好验证法
已感知到某向量是所求法向量 用线面垂直判定定理验证即可
例1.如图,已知正方体ABD-A1B1C1D1的棱长为1
则平面ACD1的法向量是________ z
解：建立如图所示的坐标系……
D1
令 n （1,1,1）
A1
因
n • AD1 （1,1,1）(1,0,1） 0
(
11
,
)
24
（5 , 2 , 1 ）
三、法向量的求法：
1.直接法：特殊易得直接写 2.验证法：感觉良好验证法 3.三步法：一设二乘三特值 4.平面方程(截距)法： 5.含○速算法： 6.行列式(叉积)法：
均要伪装成： 三步法
1.直接法：特殊易得直接写
坐标面或于其平行的面的法向量，r 可直接写出： 面xoy或于其平行的面的法向量是 nr （0, 0,1） 面yoz或于其平行的面的法向量是 nr （1, 0, 0） 面zox或于其平行的面的法向量是 n （0,1, 0）
1.单○负倒参
例5.在棱长为1的正方体AC1中，M为棱A1B1的中点
求平面BMC1的一个法向量 z
析1：
uuuur
1
MC1 uuuur
秒杀求平面的法向量
秒杀求平面的法向量用向量方法做立几题，必须会求平面的法向量。
不少同学为繁琐地计算平面的法向量而苦恼，下面介绍一种快速求平面的法向量方法，简直就是秒杀。
结论：向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)是平面α内的两个不共线向量，则向量 n ＝(y 1z 2－y 2z 1，－(x 1z 2－x 2z 1)，x 1y 2－x 2y 1)是平面α的一个法向量.如果用二阶行列式表示，则n ＝(1122y z y z，1122z x zx ，1122x y x y ) ，这更便于记忆和计算.怎样用该结论求平面的法向量呢？举例说明.例、向量a ＝(1，2，3)，b ＝(4，5，6)是平草稿纸上演算过程时，a 、b 的横坐标就不参与运算，a ＝(1，2，3)，b ＝(4，5， 交叉相乘的差就是x ＝2×时，a 、b 的纵坐标就不参与运算，a ＝(1，2，3)， b ＝(4，5，交叉相乘的差的时，a 、b 的竖坐标就不参与运算，a ＝(1，2，3)， b ＝(4，5， 交叉相乘的差就是∴n ＝(－3，6面α内的两个不共线向量，求平面α的法向量 解：设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则00n a n b ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩⇒2304560x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩令z ＝1，得n ＝(1，－2，1). 注意：① 一定按上述格式书写，否则易被扣分. ② n 的计算可以在草稿纸上完成，过程参照右边“草稿纸上演算过程”.。
平面法向量的快速解法
在高考数学立体几何问题的求解过程中，求解平面的法向量始终是一个绕不开的话题，下面介绍几种快速准确的解出法向量的方法.一．借零构造法1.当空间向量的坐标出现一个零时，如()b a ,0,=，在求平面的法向量时，可设()a x b -=,,，或()a x b ,,-=，此时满足0=⋅n m ，注意根据0的位置调整构造的向量. 已知向量()1,3,2=，()3,0,1-=，设平面ABC 的法向量()1,,3x =,由0=⋅AB m ,得0136=++x ,37-=∴x ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴1,37,3,可调整()3,7,9-=. 2.若平面内的两个向量的坐标均没有0出现，如()3,2,1=，()1,3,2=，此时()5,1,02=-b a ，所以可设平面的法向量()1,5,-=x m ，由07=+=⋅x ，所以7-=x ，()1,5,7--=m .3.若平面内的两个向量的坐标均有0,且出现在同一个位置，如()0,2,1=，()0,1,3-=则可以直接得到法向量()1,0,0=.二．行列式法 如()3,2,1=，()6,4,2-=是平面α的两个不共线向量，在求解平面α的法向量时可以用下面的方法.第一步：每个向量(横着)写两遍21- 42 63 21- 4263第二步：掐头去尾留中间42 63 21- 42第三步：交叉相乘再相减42 63 21- 4203462=⨯-⨯=x ()121623-=⨯--⨯=y ()82241=⨯--⨯=z所以平面α的法向量()8,12,0-=.下面简单介绍上述方法的原理 设向量()111,,c b a =，()222,,c b a =是平面ABC 内的两个不共线向量，设平面ABC 的法向量()z y x n ,,=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0n AC 所以⎩⎨⎧=++=++00222111z c y b x a z c y b x a ，不妨设0≠z ， 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛00222111c z y b z x a c z y b z x a ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛222111c z y b z x a c z y b z x a 因为向量AB ，AC 不共线，所以01221≠-b a b a ， 令=A |a 1b 1a 2b 2|，=1B |−c 1b 1−c 2b 2|，=2B |a 1−c 1a 2−c 2|， 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==--==122112212122112211b a b a a c a c A B zy b a b a c b c b A B z x ，不防令1221b a b a A z -==，则12211c b c b B x -==，12212a c a c B y -==. =|i →j →k →a 1b 1c 1a 2b 2c 2|=|b 1c 1b 2c 2|i →−|a 1c 1a 2c 2|j →+|a 1b 1a 2b 2|k →， 第一步：每个向量(横着)写两遍 21a a 21b b 21c c 21a a 21b b 21c c第二步：掐头去尾留中间 21b b 21c c 21a a 21b b第三步：交叉相乘再相减21b b 21c c 21a a 21b b 1221c b c b x -= 1221a c a c y -= 1221b a b a z -= 完美结束.。
数学立体几何法向量快速求解
数学立体几何法向量快速求解在立体几何中，法向量是一个非常重要的概念，它通常用于描述一个平面或超平面的方向。
在三维空间中，一个平面的法向量是一个垂直于该平面的向量。
快速求解法向量，通常涉及以下步骤：1.确定两个非共线向量：首先，在平面上选择两个不共线的向量。
这两个向量可以是由平面上的两个点形成的向量，或者是平面上任意两个不共线的向量。
2.计算这两个向量的叉积：叉积（也称为外积）是向量运算的一种，其结果是一个新的向量，这个向量垂直于原来的两个向量。
在三维空间中，叉积的公式为：(\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1))其中，(\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)) 和(\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)) 是两个三维向量。
3.规范化叉积结果：叉积的结果可能不是单位向量，如果需要单位法向量，可以对叉积的结果进行规范化（即除以它的模长）：(\mathbf{n} = \frac{\mathbf{a} \times \mathbf{b}}{|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|})其中，(|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|) 是叉积的模长，可以通过计算(\sqrt{(a_2b_3 - a_3b_2)^2 + (a_3b_1 - a_1b_3)^2 + (a_1b_2 - a_2b_1)^2}) 得到。
4.检查方向：确保得到的法向量方向符合题目要求。
有时候，根据问题的上下文，可能需要取叉积结果的相反方向作为法向量。
5.应用法向量：一旦得到法向量，就可以用它来进行各种计算，比如计算点到平面的距离、判断点的位置关系等。
快速求平面的法向量
快速求平面的法向量用向量方法做立几题，必须会的一种功夫是求平面的法向量。
不少理科同学为经常算错平面的法向量而苦恼，下面介绍一种快速求平面的法向量方法，简直就是秒杀。
结论：向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)是平面α内的两个不共线向量，则向量n ＝(y 1z 2－y 2z 1，－(x 1z 2－x 2z 1)，x 1y 2－x 2y 1)是平面α的一个法向量.如果用二阶行列式表示，则n ＝(1122y z y z ，－1122x z x z ，1122x y x y ) ，这更便于记忆和计算.结论证明（用矩阵与变换知识可以证明，此处略去），但你可以验证 n 一定满足m a m b ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩⇔1112220x x y y z z x x y y z z ++=⎧⎨++=⎩； 而且∵a 、b 不共线，∴n 一定不是0.怎样用该结论求平面的法向量呢？举例说明. 例、向量a ＝(1，2，3)，b ＝(4，5，6)是平面α内的两个不共线向量，求平面α的法向量解：设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则0n a n b ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩⇒2304560x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩ 令z ＝1，得n ＝(1，－2，1). 注意：① 一定按上述格式书写，否则易被扣分.② n 的计算可以在草稿纸上完成，过程参照右边“草稿纸上演算过程”.草稿纸上演算过程时，a 、b 的横坐标就不参与运算，a ＝(1，2，3)，b ＝(4，5， 交叉相乘的差就是x ＝2×时，a 、b 的纵坐标就不参与运算，a ＝(1，2，3)， b ＝(4，5，交叉相乘的差的时，a 、b 的竖坐标就不参与运算，a ＝(1，2，3)， b ＝(4，5， 交叉相乘的差就是∴n ＝(－3，6。
整理法向量的快速求法
法向量的快速求法在数学考试过程中，大部分同学往往因为时间不够而没法做完一份完整的试卷，有些同学也因为时间不够，计算速度加快而出现计算错误等原因导致失分，所以能够简便而快速的算出结果是很多同学梦寐以求的。
用向量方法做立几题，必须会的一种功夫是求平面的法向量。
不少理科同学为经常算错平面的法向量而苦恼，下面介绍一种快速求平面的法向量方法。
新教材对平面几何的要求，重点在于求平面的法向量，常见的待定系数法解方程组，运算量大，学困生容易算错，最简单快捷的方法是行列式法。
结论：向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)是平面α内的两个不共线向量，则向量n ＝(y 1z 2－y 2z 1，－(x 1z 2－x 2z 1)，x 1y 2－x 2y 1)是平面α的一个法向量.如果用二阶行列式表示，则n ＝(1122y z y z ，－1122x z x z ，1122x y x y ) ，这更便于记忆和计算.结论证明（用矩阵与变换知识可以证明，此处略去），但你可以验证 n 一定满足m a m b ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩⇔1112220x x y y z z x x y y z z ++=⎧⎨++=⎩； 而且∵a 、b 不共线，∴n 一定不是0.怎样用该结论求平面的法向量呢？举例说明. 例、向量a ＝(1，2，3)，b ＝(4，5，6)是平面α内的两个不共线向量，求平面α的法向量解：设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则0n a n b ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩⇒2304560x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩ 令z ＝1，得n ＝(1，－2，1).注意：① 一定按上述格式书写，否则易被扣分. ② n 的计算可以在草稿纸上完成，过程参照右边“草稿纸上演算过程”.a ＝(1，2，b ＝(4，5， 交叉相乘的差就是求y 时，a 、b 的纵坐标就不参与运算，a ＝(1，2，3)， b ＝(4，5，6)交叉相乘的差的相反数就是y ＝－(1×6－4×3)=6.求z 时，a 、b 的竖坐标就不参与运算，a ＝(1，2，3)，b ＝(4，5，6)交叉相乘的差就是z ＝1×∴n ＝(－3，6而在运算的过程中往往会碰到在一个平面中的两个向量的坐标中会有一个坐标轴的数字为0，这时候也可以用下面这种方法来运算。
平面法向量的求法法向量怎么求
(III).设点A到平面A1MC的距离为d,
mMCMA1(a2,
又MA(
2222
a,a)是平面A1MC的法向量, 22
2|mMA|1
a,0,0),A点到平面A1MC的距离为:da.22|m|
四、用空间向量解决立体几何的“三步曲”
(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
证明：平面A1AD平面BCC1B1；求二面角ACC1B的正切值．
BD1
．DC2
B1
A1
C1
A B
C
D1
3．如图，正四棱柱ABCDABC111D1中，AA12AB4，A1
5.平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，BADFAB900,BC//
1
AD，
1
1
点E在CC1上且C1E3EC．BE//
的向量a,b。由n，得na0且nb0，由此得到关于x,y,z的方程组，解此方程组即可得到n。方法二(外积法):设
m,n;
m,n(图2-3)
,为空间中两个不平行的非零向量，其外积ab为一长度等于
|a||b|sin，，而与
,皆垂直的向量。通常我们采取
「右手定则」，也就是右手四指由
的方向转为
的方向时，大拇指所指的方向规定为ab的方向,abba。设a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2),则:
立体几何中平面法向量的求法
立体几何中平面法向量的求法
高考中理科立体几何解答题的方法大多用空间向量法，其中求平面法向量是常见的量，下面是求平面法向量的一种方法。
为了学生，许多老师在求法向量上下了很大的功夫，并用向量外积的方法给出了比较简单的求法向量的方法，公式如下：
设a =(a 1,a 2,a 3)，b =(b 1,b 2,b 3)，且a,b 不平行，a,b 确定平面法向量n ,则
n =233112233112,,a a a a a a b b b b b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭
=（a 2b 3-a 3b 2,a 3b 1-a 1b 3,a 1b 2-a 2b 1）。
此公式计算起来简单有效，但是记忆不是太方便，容易让学生记乱。
通过多次实际应用此公式，我发现其实计算过程就是一个很好的记忆公式，现总结如下：
设a =(a 1,a 2,a 3)，b =(b 1,b 2,b 3)，且a ,b 不平行，a ,b 确定平面法向量n =（x,y,z ）,
列表 如图 1231231a a a a b b b b
利用十字相乘作差得到
233231131221x a b a b y a b a b z a b a b =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩
由此计算出法向量。
例如：
a=(1,2,3)，b=(1,1,4)。
列表1231
1141
X=2⨯4-3⨯1=5，y=3⨯1-1⨯4=-1，z=1⨯1-2⨯1=-1
所以法向量是（5，-1，-1）。
整理：郭新毅
2013-3-25。
求平面的法向量
求平面的法向量平面的法向量是描述平面方向的一个重要概念。
在三维空间中，任意的平面都有一个法向量，它垂直于平面并且指向一个确定的方向。
本文将详细介绍平面的法向量，包括法向量的定义、计算方法以及相关应用。
一、法向量的定义平面的法向量是指垂直于平面的一个向量，在数学中通常用符号n 表示。
对于二维平面，法向量n可以有两个方向，但我们通常取与顺时针方向垂直的那个方向作为法向量。
对于三维平面，法向量只有一个确定的方向。
平面的法向量其实是平面上两个方向垂直向量的叉乘结果。
二、计算方法下面我们将介绍如何计算平面的法向量。
首先，我们需要确定平面上的任意两个非平行的向量A和B。
然后，通过向量A和B的叉乘，我们可以得到平面的法向量n。
具体计算过程如下：1. 向量A和向量B的定义：向量A：A = (x1, y1, z1)向量B：B = (x2, y2, z2)2. 通过向量A和向量B计算法向量n：n = (y1 * z2 - z1 * y2, z1 * x2 - x1 * z2, x1 * y2 - y1 * x2)三、应用场景平面的法向量在几何学以及计算机图形学中有很多应用。
以下列举几个常见的应用场景：1. 确定平面的方向：通过计算平面的法向量，我们可以确定平面的方向。
法向量指向的方向是平面的一个重要属性，它可以帮助我们判断物体在平面上的位置以及平面所处的空间位置。
2. 碰撞检测：在计算机图形学和物理模拟中，平面的法向量常被用于碰撞检测。
通过计算物体与平面的碰撞情况，可以判断物体是否与平面相交或者相切。
3. 光照计算：在计算机图形学中，平面的法向量经常被用于光照计算。
根据平面的法向量和光源的位置，可以计算出光线照射在平面上的强度和颜色。
这个过程对于模拟真实场景中的光照效果非常重要。
4. 三维建模和渲染：在三维建模和渲染中，知道平面的法向量可以帮助我们确定物体表面的方向和形状。
通过对法向量进行计算和处理，可以实现真实感渲染和物体表面的绘制。
平面方程求法向量公式
平面方程求法向量公式在空间几何中，平面是一个重要的概念。
平面可以用平面方程来表示，而法向量则是平面的一个重要特征。
本文将介绍如何通过平面方程来求解平面的法向量，并给出相应的公式。
一、平面方程的基本形式平面方程的一般形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B和C为平面的系数，D为常数。
这个方程表示了平面上所有点的坐标满足该方程。
二、法向量的定义对于平面上的任意一点P(x, y, z)，过该点的平面的法向量可以表示为一个向量N = (A, B, C)，其中A、B和C为平面方程的系数。
三、求法向量的方法1. 已知平面方程的系数如果已知平面方程的系数A、B和C，那么法向量可以直接由系数得到，即N = (A, B, C)。
例如，对于平面方程2x + 3y - 5z + 4 = 0，法向量可以表示为N = (2, 3, -5)。
2. 已知平面上的三个点如果已知平面上的三个点P1(x1, y1, z1)，P2(x2, y2, z2)和P3(x3, y3, z3)，那么可以通过这三个点来求解法向量。
可以通过两个向量P1P2和P1P3来构造一个法向量。
向量P1P2可以表示为V1 = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)，向量P1P3可以表示为V2 = (x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1)。
然后，将这两个向量进行叉乘，即可得到法向量N = V1 × V2。
例如，已知平面上的三个点P1(1, 2, 3)，P2(3, 4, 5)和P3(5, 6, 7)，可以通过这三个点来求解法向量。
向量P1P2可以表示为V1 = (3 - 1, 4 - 2, 5 - 3) = (2, 2, 2)，向量P1P3可以表示为V2 = (5 - 1, 6 - 2, 7 - 3) = (4, 4, 4)。
然后，将向量V1和V2进行叉乘，即可得到法向量N = V1 × V2 = (2, 2, 2) × (4, 4, 4) = (-8, 8, 0)。
法向量求法及应用方法
法向量求法及应用方法平面法向量的求法及其应用一、平面的法向量1、定义：如果al：，那么向量a叫做平面：的法向量。
平面:-的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。
2、平面法向量的求法方法一（内积法）：在给定的空间直角坐标系中，设平面:的法向量；=（X, y,1）［或*=（x,1,z），或： = （1,y,z）］，在平面:内任找两个不共线的向量a,b。
由二，，得n a=o 且nb=o，由此得到关于x,y的方程组，解此方程组即可得到n。
方法二：任何一个X,y,z的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是x,y,z的一次方程。
Ax By Cz 0 （A,B,C不同时为0），称为平面的一般方程。
其法向量n> = （AB,C）；若平面与3个坐标轴的交点为R（a,0,0）,P2（0,b,0）,P3（0,0,c）,如图所示，则平面方程为:{ b 亍1,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。
方法三（外积法）：设必&为空间中两个不平行的非零向量，其外积a b为一长度等于|a||b|si n =，（9为.,两者交角，且0":::二），而与, 皆垂直的向量。
通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由…的方向转为■的方向时，大拇指所指的方向规定为a b的方向，a b a。
、J -1 |tT TJX 1 乙 X 1 y 1设a ugyszjb 二凶卩乙),则 a 汉 b = |y 2 Z2J —X 2 Z 2 JX 2 y 2(注：1、二阶行列式：M=a: =ad_cb ； 2、适合右c d‘手定则。
)例 1、 已知，a'(21,0),bl( — 1,2,1), 试求(i ): ( 2): b 爲.Key:⑴ a 汉 b=(1,—2,5) ； (2)b3=(-1,2,5)例2、如图1-1,在棱长为2的正方体ABCD —ABCP 中， 求平面 AEF 的一y 个法量向二AF AE =(1,2,2) 量n 。
平面法向量的求法及其应用
平面法向量的求法及其应用一、 平面的法向量1、定义：如果α⊥→a ，那么向量→a 叫做平面α的法向量。
平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。
2、平面法向量的求法方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或(1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。
由n α⊥，得0n a ⋅=且0n b ⋅=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。
方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。
0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。
其法向量),,(C B A n =→;若平面与3个坐标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=++czb y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。
方法三(外积法): 设, 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→→⨯b a 为一长度等于θsin ||||→→b a ，（θ为,两者交角，且πθ<<0），而与, 皆垂直的向量。
通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为→→⨯b a 的方向,→→→→⨯-=⨯a b b a 。
:),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→→⎝⎛=⨯→→21y y b a ,21z z 21x x - ,21z z 21x x ⎪⎪⎭⎫21y y （注：1、二阶行列式:ca M =cb ad db -=；2例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→→b a ， 试求（1）：;→→⨯b a （2）：.→→⨯a bKey: (1) )5,2,1(-=⨯→→b a ;)5,2,1()2(-=⨯→→a b例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，求平面AEF 的一个法向量n 。
高考数学-整理法向量的快速求法
法向量的快速求法在数学考试过程中，大部分同学往往因为时间不够而没法做完一份完整的试卷，有些同学也因为时间不够，计算速度加快而出现计算错误等原因导致失分，所以能够简便而快速的算出结果是很多同学梦寐以求的。
用向量方法做立几题，必须会的一种功夫是求平面的法向量。
不少理科同学为经常算错平面的法向量而苦恼，下面介绍一种快速求平面的法向量方法。
新教材对平面几何的要求，重点在于求平面的法向量，常见的待定系数法解方程组，运算量大，学困生容易算错，最简单快捷的方法是行列式法。
结论：向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)是平面α内的两个不共线向量，则向量n ＝(y 1z 2－y 2z 1，－(x 1z 2－x 2z 1)，x 1y 2－x 2y 1)是平面α的一个法向量.如果用二阶行列式表示，则n ＝(1122y z y z ，－1122x z x z ，1122x y x y ) ，这更便于记忆和计算.结论证明（用矩阵与变换知识可以证明，此处略去），但你可以验证 n 一定满足m a m b ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩⇔11122200x x y y z z x x y y z z ++=⎧⎨++=⎩； 而且∵a 、b 不共线，∴n 一定不是0.怎样用该结论求平面的法向量呢？举例说明. 例、向量a ＝(1，2，3)，b ＝(4，5，6)是平面α内的两个不共线向量，求平面α的法向量解：设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则0n a n b ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩⇒2304560x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩ 令z ＝1，得n ＝(1，－2，1).注意：① 一定按上述格式书写，否则易被扣分. ② n 的计算可以在草稿纸上完成，过程参照右边“草稿纸上演算过程”.a ＝(1，2，b ＝(4，5，时，a 、b 的纵坐标就不参与运算，a ＝(1，2，3)， b ＝(4，5，y ＝－(1×时，a 、b 的竖坐标就不参与运算，a ＝(1，2，3)，b ＝(4，5，∴n ＝(－3，6而在运算的过程中往往会碰到在一个平面中的两个向量的坐标中会有一个坐标轴的数字为0，这时候也可以用下面这种方法来运算。
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快速求平面的法向量
用向量方法做立几题，必须会的一种功夫是求平面的法向量。
不少理科同学为经常算错平面的法向量而苦恼，下面介绍一种快速求平面的法向量方法，简直就是秒杀。
结论：向量a r ＝(x 1，y 1，z 1)，b r
＝(x 2，y 2，z 2)是平面α内的两个不共线向量，则向量 n r
＝(y 1z 2－y 2z 1，－(x 1z 2－x 2z 1)，x 1y 2－x 2y 1)是平面α的一个法向量.
如果用二阶行列式表示，则
n r ＝(1
12
2
y z y z ，－
112
2
x z x z ，
112
2
x y x y ) ，这更便
于记忆和计算.
结论证明（用矩阵与变换知识可以证明，此处
略去），但你可以验证 n r
一定满足0
m a m b ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩u r r u
r r ⇔111222
00x x y y z z x x y y z z ++=⎧⎨++=⎩； 而且∵a r 、b r 不共线，∴n r 一定不是0r
.
怎样用该结论求平面的法向量呢？举例说明.
例、向量a r ＝(1，2，3)，b r
＝(4，5，6)是平
面α内的两个不共线向量，求平面α的法向量
解：设平面α的法向量为n r
＝(x ，y ，z )，
则00n a n b ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩r r r r ⇒2304560x y z x y z ++=⎧⎨
++=⎩ 令z ＝1，得n r
＝(1，－2，1).
注意：
① 一定按上述格式书写，否则易被扣分.
② n r
的计算可以在草稿纸上完成，过程参照右边“草稿纸上演算过程”.。