北京理工大学珠海学院线性代数历届真题1及参考答案

8. 设 α1 , α 2 ,", α r 为 n 维列向量，下列命题不正确的是【 A. 若对任意的不全为零的数 k1 , k2 ,", kr ，都有 无关.
】
i
∑kα
i =1 i
r
≠ 0 ，则 α1 , α 2 ,",α r 线性
B. 若 α1 , α 2 ,", α r 线 性 相 关 ， 对 任 意 一 组 不 全 为 零 的 数 k1 , k2 ,", kr ， 都 有
《线性代数》检测题（1）
一. 填空、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1. 已知α，β，γ为三维列向量，行列式 D=|α β γ|=2, 则行列式 |3β γ α+β|= ___________。 2. 设三阶方阵 A 的特征值为-1,1,3，则 A
−1
=
, A* =
.
3. 实二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x12 + x2 2 + x3 2 − 2tx1 x2 + 2 x1 x3 正定时， t 应满足的 条件是 4. 设矩阵 A = aij
3
4
⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 10 ⎟ = ⎜ . − 7⎟ ⎜ ⎟ ⎜− 7⎟ ⎝ ⎠
（2）向量组 α1 , α 2 , α 3 , α 4 的一个最大无关组； （3）将最大无关组之外的其余向量用此最大无关组线性表示.
⎧ − x1 − 4 x2 + x3 = 1 ⎪ ax2 − 3x3 = 3 三． （13 分）当 a 为何值时， ⎨ 无解、有唯一解、有无穷多解？并 ⎪ x + 3 x + (a + 1) x = 0 2 3 ⎩ 1
4. 设
α1
⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜4⎟ = ⎜ ⎟, α 1 ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠
2
1 1 1．计算行列式 1 1
求： （1）向量组 α1 , α 2 , α 3 , α 4 的秩；
⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 9 ⎟ = ⎜ , α −1⎟ ⎜ ⎟ ⎜− 3⎟ ⎝ ⎠
3
⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ = ⎜ , α − 3⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠
ξ1 与 ξ 2 正交。
2
【参考答案】注意：请对自己的解答（如方程的解、逆矩阵、特征向量等） 作必要的验证后再对答案！ 一、1. 6; 2. -1/3,9; 3. |t|<1; 4. D; 5. B; 6. A; 7.B; 8. B. 二、1. 12（提示：范德蒙行列式） ； ⎛ 0 2 0⎞ ⎛ 12 16 ⎞ 1⎜ ⎟ −1 2. ( E − A) = − ⎜ 12 3 2 ⎟ ; 3. ⎜ ⎟ 4⎜ ⎝ −4 −8 ⎠ ⎟ ⎝ 4 0 0⎠ 4. (1) R=3; (2) α1 ,α 2 ,α 3 ; （3） α 4 = −2α1 + 2α 2 + α 3 . 三、当 a=1 时，该方程组无解； 当 a=-3 时，原方程有无穷多解： xT = k (5, −1,1)T + (3, −1,0)T , k ∈ R. 1 当 a ≠ 1 且 a ≠ −3 时，原方程有唯一解： xT = (a + 10, −3, −1)T . 1− a 四、特征多项式|A-λE|=(1-λ)（3-λ）(4-λ)【计算过程:① r1 − r2 − r3 ；②
c2 + c1 , c3 − c1 . 】； 特 征 值 ： λ =1,3,4 ； 对 应 的 特 征 向 量 ：
ξ1T = (1, 2,1)T , ξ 2T = (1, 0, −1)T , ξ3T = (1, −1,1)T .
2 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ T 0 − 2 ⎟ ， P AP = ⎜ 3 ⎟. ⎟ ⎜ 4⎟ 3 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ ⎛ 0 0 " 1⎞ ⎜ ⎟ # # #⎟ , 记为 B=AK, 则|K|≠0, K 可 五、(1) (b1 , b2 ," , bs ) = (a1 , a2 ," , as ) ⎜ ⎜ 0 1 " 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 1 " 1⎠ 逆，所以 R(B)=R(A)=s,从而 B 组向量线性无关. (2) （见教材）. 3 ⎛1 1 ⎜ 正交相似变换矩阵 P = ⎜2 6⎜ ⎜1 ⎝
( )
.
，则 Ax = 0 仅有零解的充分必要条件是【 】
m×n
(A) A 的行向量组线性相关 (B) A 的行向量组线性无关 (C) A 的列向量组线性相关 (D) A 的列向量组线性无关 】 5. 设 A, B 为可逆矩阵，则下列说法中不正确的是【 (A) (C)
(A )
( λ A)
−1 −1
−1
=A
= 1
(B)
( A + B) ( AB )
−1
= A −1 + B −1
λ
A −1 ( λ ≠ 0 )
(D)
−1
= B −1 A −1
⎛1 ⎞ ⎜3 ⎟ ⎜ ⎟ 1 −1 ⎜ ⎟ ,则 B = 6．设三阶方阵 A, B 满足 A BA = 6 A + BA, 且 A = ⎜ ( ) ⎟ 4 ⎜ ⎟ 1⎟ ⎜ ⎜ 7⎟ ⎝ ⎠ 3 3 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛7 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ 4 ⎟ (A) ⎜ 2 ⎟ (B) ⎜ 4 ⎟ (C) ⎜ 2 ⎟ (D) ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 1⎟ 7⎟ 3⎟ 3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 7.设 A、B 都为 n 阶非零矩阵，且 AB=0,则 A 和 B 的秩【 】 A. 必有一个等于零. B. 都小于 n. C. 一个小于 n,一个等于 n. D. 都等于 n.
∑kα
i =1 i
r
i
= 0.
C.
α1 ,α 2 ,",α r 线性无关的充要条件是矩阵（ α1 ,α 2 ,",α r ）的秩等于 r. D. 若 α1 , α 2 ,", α r 线性无关，则其中任意两个向量都线性无关.
二．解答题（每小题 10 分，共 40 分）
1
1 1 1 ⎛1 0 1⎞ 2 3 4 −1 ⎜ ⎟ 2．已知 A = 2 1 0 , 求 ( E − A ) . ⎜ ⎟ 4 9 16 ⎜ −3 2 −5 ⎟ ⎝ ⎠ 8 27 64 ⎛ −1 −4 ⎞ ⎛ −1 0 ⎞ 3 −1 3. 设 P AP = Λ, 其中 P = ⎜ ⎟ , 求 ϕ ( A ) = A + A − 2 E. ⎟,Λ = ⎜ ⎝1 1⎠ ⎝ 0 2⎠
在有解时wenku.baidu.com其所有解。
⎛ 3 −1 0 ⎞ ⎜ ⎟ 四．(13 分)求一个正交相似变换矩阵，将对称阵 A = −1 2 −1 化为对角阵。 ⎟ ⎜ ⎜ 0 −1 3 ⎟ ⎝ ⎠ 五． （10 分） （1） 设 b1 = as , b2 = as −1 + as , " , bs = a1 + a2 + " + as , 且向量组 a1 , a2 ," , as 线性无关,证明向量组 b1 , b2 , " , bs 线性无关. （2）设实对称阵 A 的两个不同的特征值为 λ1 , λ2 ，对应的特征向量为 ξ1 , ξ 2 ，证明：