北京理工大学珠海学院线性代数历届真题1及参考答案

合集下载

理工大学线性代数考试试卷及参考答案(B)

三、解答下列各题（14分）：
11．设，求
四、证明题（16分＝8分×2）：
12．设为维列向量，且，证明：是对称的正交阵．
13．设可逆，证明其伴随矩阵也可逆，且．
五、计算题（14分）：
14．解矩阵方程。
六、计算题（10分）：
15．设，求可逆矩阵，使为对角矩阵，并求．
七、 ( ) ．
3．当时，都是线性方程组的解．
( ) ；（）；
（）；（）．
4．向量线性无关，而线性相关，则__________.
( ) 必可由线性表出；（）必不可由线性表出；
（）必可由线性表出；（）必不可由线性表出．
５．已知阶方阵的每行元素之和均为，则（）是的特征值．
( ) ；（）；（）；（）．
二、填空题（20分＝4分）：
6． _______．
7．设为三阶方阵，若＝5，则 =_______．
8．若4阶方阵的秩为2，则的伴随矩阵的秩等于_______．
9．设则＝________．
10．阶矩阵有个不同的特征值是与对角矩阵相似的_______条件．
16．设阶方阵，且可逆，证明
2005级线性代数期末考试参考答案（B卷）
一、单项选择（20分＝4分 5）：
1、 2、 3、 4、 5、
二、填空题（20分＝4分）：
6、，7、，8、0，9、，10、充分不必要
三、计算行列式（14分）：
11．解：因为 7’
所以 7’
四、证明（16分＝8分×2）：
2005级线性代数期末考试试卷（B卷）
课程名称：线性代数适用专业年级：

线性代数北京理工大学出版社习题解答

资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载线性代数北京理工大学出版社习题解答地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容第一章行列式学习要求1. 理解二阶与三阶行列式的概念，熟悉掌握二阶与三阶行列式的计算方法，会求二元、三元一次线性方程组的解；2. 理解级全排列、逆序数的概念和排列的奇偶性；3. 理解阶行列式的概念和阶行列式的等价定义，会用行列式的定义计算对角、三角行列式和一些简单的特殊的阶行列式；4. 掌握行列式的基本性质，会利用“化三角形”方法计算行列式；5. 理解余子式、代数余子式的概念，掌握行列式按行（列）展开定理，会用降阶法计算行列式；6. 掌握克莱姆法则，了解未知量个数与方程个数相同的方程组解的判定定理，会运用克莱姆法则讨论齐次线性方程组的解.§1.1 二阶与三阶行列式1. 计算二阶行列式：(5)2．计算三阶行列式：(2)3．求解方程解故原方程的解为4．用行列式解下列方程组：(1) (2)解(1)故所求的方程组有唯一解：(2)，，故所求的方程组有唯一解：6. 当取何值时，解解得§1.3 阶行列式的定义1. 写出四阶行列式中含有因子的项.解利用阶行列式的定义来求解.行列式的阶数是四，每一项都要有4个元素相乘，题目已给出了两个已知因子，那么还有两个元素还未写出，由于因子的行标已经取了2，3，列标取2，4，所以剩下因子的行标只能取1，4，列标只能取1，3，因此未写出的因子为和.又因为，，所以四阶行列式中含有因子的项为和，即和.3. 已知，用行列式的定义求的系数.解的展开式中含的项只有一项：，故的系数为.4. 利用行列式的定义计算下列行列式:(2);解析由阶行列式的定义可知:行列式等于取自不同行不同列的元素的乘积的代数和.因为第1行只有一个非零元素1，先取，则第1行和第4列的元素不能再取了，再考虑第2行的元素，第2行只能取，则第2行和第2列的元素也不能再取了，对第3行的元素而言，此时只能取，则第3行和第1列的元素不能再取了，最后第4行的元素只能取，那么行列式的结果为;补充练习1. 由行列式的定义写出的展开式中包含和的项.解的展开式中含的项只有一项，而含的项有两项和，从而展开式中含的项为：.§1.4 行列式的性质1. 利用行列式的性质计算下列行列式：(2)(3) 由于每一行(或列)的和都是等于6，故将第2，3，4行都乘以1加到第一行，再提取公因子6，利用性质5化成三角形行列式即可求值.(4)2. 证明下列等式：（2）;（3）; .证明(2) 把行列式中的括号展开，第1列乘以-1加到其它列，化简行列式.;(3) 由性质4，将的第1列拆开，得,将第1个行列式的第1列乘以-1加到第2、3列，第2个行列式第1列提取，得，将第1个行列式第2、3列提取，将第2个行列式的第2列、第3列分别拆开，最后可得如下行列式，;3. 计算下列阶行列式.(1); (2);解 (1)把第列分别乘以1加到第1列，得到第1列的公因子，提取公因子之后，再给第1行乘以加到第行，化成上三角形行列式，得到行列式的值.;(2) 把第2行乘以(-1)分别加至其余各行，再把第1行乘以2加至第2行，得;4. 求方程的根.解第1行乘以加到第行，得如下行列式:再将上述行列式的第2，3，4列乘以1加到第1列，化成上三角形行列式.即可求出根:.补充练习2. 已知行列式，求行列式的值.解=.§1.5 行列式按行（列）展开1. 求行列式中元素5与2的代数余子式.解元素5的代数余子式为元素2的代数余子式为2. 已知四阶行列式第3行元素依次为4、3、0、-2，它们的余子式依次为2、1、-1、4，求行列式的值.解由行列式按行（列）展开定理，得3. 求下列行列式的值（2）（3）所求行列式为四阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式的展开公式，得4. 讨论当为何值时，行列式.解所以，当，且，且时，.5. 计算阶行列式(3)按第1列展开，得上式右端的行列式再按第一行展开，得移项，得，递推，得从而得把上面个等式相加，得7．设四阶行列式试求的值，其中（）为行列式的第4列第行的元素的代数余子式. 解根据行列式按行（列）展开定理的推论，有即§1.6 行列式的应用1. 用克莱姆法则解线性方程组（3）解：所以方程组有唯一解. 又所以方程组的解为，，， .2．满足什么条件时，线性方程组有唯一解？解由克莱姆法则知，当系数行列式，线性方程组有唯一解，当时，，即当时，题设的线性方程组有唯一解.3．当为何值时，齐次线性方程组有非零解？解齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式，由得：，.4．和为何值时，齐次线性方程组有非零解？解齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式，由得：或.即当或时，方程组有非零解.5．求二次多项式，使得，，.解由，，，得要求二次多项式需要求出系数，即要求出上述非齐次线性方程组的解.由其系数行列式所以可用克莱姆法则求解.由于从而，，.即所求的二次多项式为.补充练习2．系数满足什么条件时，四个平面相交于一点（）？解把平面方程写成如下形式，（，），于是由四个平面相交于一点，推知齐次线性方程组有一非零解（）.根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式，即四个平面相交于一点的条件为3．设平面曲线通过点（1，0），（2，-2），（3，2），（4，18），求系数.解由平面曲线通过点（1，0），（2，-2），（3，2），（4，18），得我们可以通过求解上述线性方程组的解来求系数.，又，，，从而，，，.第二章矩阵学习要求1. 理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵以及它们的性质；2. 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律.了解方阵的行列式、方阵的幂与方阵的多项式的性质；3. 理解可逆矩阵的概念和性质，以及理解矩阵可逆的充要条件。

线性代数大学试题及答案

线性代数大学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵|adj(A)|的值为（）。

A. 4B. 8C. 2D. 1答案：B2. 若向量a=(1, 2, 3)，向量b=(2, 3, 4)，则向量a和向量b的点积为（）。

A. 11B. 12C. 13D. 14答案：C3. 设矩阵A和矩阵B为同阶方阵，且AB=I，则矩阵A和矩阵B互为（）。

A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 正交矩阵答案：B4. 设矩阵A为3阶方阵，且A的特征多项式为f(λ)=λ(λ-1)(λ-2)，则矩阵A的特征值为（）。

A. 0, 1, 2B. 0, 1, 3C. 1, 2, 3D. 2, 3, 4答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，则矩阵A的行列式|A|=______。

答案：-22. 设向量a=(1, 2)，向量b=(3, 4)，则向量a和向量b的叉积为向量c=(______, ______)。

答案：-2, 63. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，矩阵B=\[\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 4 & 3\end{bmatrix}\]，则矩阵A和矩阵B的乘积AB=______。

答案：\[\begin{bmatrix}10 & 11 \\ 22 & 25\end{bmatrix}\]4. 设矩阵A的特征值为λ1=2，λ2=3，则矩阵A的特征多项式为f(λ)=______(λ-2)(λ-3)。

答案：(λ-2)(λ-3)三、解答题（每题10分，共60分）1. 已知矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 3\end{bmatrix}\]，求矩阵A的逆矩阵。

线性代数试题及答案解析

线性代数试题及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 矩阵A和矩阵B相乘，得到的结果矩阵的行列数为（）。

A. A的行数乘以B的列数B. A的行数乘以B的行数C. A的列数乘以B的列数D. A的列数乘以B的行数答案：D解析：矩阵乘法中，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。

2. 向量α和向量β线性相关，则下列说法正确的是（）。

A. α和β可以是零向量B. α和β可以是任意向量C. α和β中至少有一个是零向量D. α和β中至少有一个是另一个的倍数答案：D解析：线性相关意味着存在不全为零的系数，使得这些系数乘以对应的向量和为零向量，因此至少有一个向量是另一个向量的倍数。

3. 对于n阶方阵A，下列说法不正确的是（）。

A. A的行列式可以是0B. A的行列式可以是负数C. A的行列式可以是正数D. A的行列式一定是正数答案：D解析：方阵的行列式可以是正数、负数或0，因此选项D不正确。

4. 矩阵A和矩阵B相等，当且仅当（）。

A. A和B的对应元素相等B. A和B的行数相等C. A和B的列数相等D. A和B的行数和列数都相等答案：A解析：两个矩阵相等，必须满足它们具有相同的行数和列数，并且对应元素相等。

5. 向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是（）。

A. 由这些向量构成的矩阵的行列式不为0B. 这些向量不能构成齐次方程组的非零解C. 这些向量不能构成齐次方程组的非平凡解D. 这些向量可以构成齐次方程组的平凡解答案：C解析：向量组线性无关意味着它们不能构成齐次方程组的非平凡解，即唯一的解是零向量。

6. 矩阵A可逆的充分必要条件是（）。

A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式为任何非零数答案：A解析：矩阵可逆当且仅当其行列式不为0。

7. 矩阵A的特征值是（）。

A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λI|=0的λ值答案：D解析：矩阵的特征值是满足特征方程|A-λI|=0的λ值。

2019-北京理工大学-线性代数-模拟题1(2)

［试题分类］:线性代数 1 •下列排列中（）是偶排列A. 54312B. 51432C. 45312D. 654321答案：C题型：单选题知识点：1.2 n 阶排列难度：1A.B.a bC. g hD.答案：B题型：单选题知识点：1.6行列式的运算难度：111〕 1 013.已知矩阵AS -」峯1」，则AB —BA =（）A. a b行列式d e g h f 中元素f 的代数余子式是（k5.B. C.1111B.]o-1101C.191001D.io0答案：A题型：单选题知识点：3.1矩阵的运算难度：14.设A, B,为n阶可逆矩阵，则必有（）A. A+B可逆B. AB可逆C. A-B可逆D. AB+BA可逆答案：B题型：单选题知识点：3.3矩阵的逆难度：1已知向量2一：匚心=1,- 2, -2,-1 ,3> 2 = 1，-4，-3,0 ，贝U 一：匚■ ■.-■ =(0, -2 , -1,1 )(-2,0 , -1,1 ) (1, -1 , -2,0 )D(2, -6 , -5,-1 )答案：A题型：单选题知识点：2.4 n维向量空间难度：16设向量口1= (1,1,2 ), a2= (1,2 , -1 )，贝V a 1 +2^= _______答案：(3,5,0 )题型：填空题知识点：2.4 n 维向量空间难度：17.已知A 为2阶方阵A =3,则2A = ________ 答案：12题型：填空题知识点：3.1 难度：1矩阵的运算题型：填空题知识点：3.1 矩阵的运算难度：29.方阵A 为可逆矩阵很的充分必要条件是答案：A 式0题型：填空题知识点：3.3 矩阵的逆难度：110.若 a i = (0,2, x 与2= (1,-2,1 )正交，则 x= _____ 答案：4题型：填空题知识点：3.5 正交矩阵难度：28.设矩阵 A= 1 -3 1-2 4- ,B= 1 一0 「则 AB 3=—。

线性代数历年考试试题与答案

线性代数历年考试试题与答案2003～2004年度第一学期线性代数（工）期末考试试卷（A ）本试卷共九大题一．填空题：（每题4分，共20分）1．()=-01121 。

2．设A 为3阶方阵，且2=A ，则=+-*14A A 。

3．向量组()()()2,6,2,4,0,2,1,3,1,3,1,2321-=-=-=ααα线性关。

4．线性方程组04321=+++x x x x 的基础解系中含有个向量。

5．设????? ??-=????? ??=????? ??=121,110,011321ξξξ为3R 的一个基，且=00t α在该基下的坐标为()111-，则t = 。

二．选择题：（每题4分，共20分）1．设n 阶矩阵A 的每行元素之和为1，则A 必有一个特征值[ ] A. –1 B. 1 C. 0 D. n 2．设矩阵()n m ij a A ?=，0=Ax 仅有零解的充分必要条件是[ ]A. A 的行向量组线性相关B. A 的行向量组线性无关C. A 的列向量组线性相关D. A 的列向量组线性无关 3．设321,,ααα为0=Ax 的一个基础解系，则下列[ ]也是该方程的一个基础解系。

A. 与321,,ααα等价的一个向量组B. 与321,,ααα等秩的一个向量组C. 321211,,αααααα+++D.133221,,αααααα--- 4．下列结论正确的是[ ]A. 若存在可逆的P 使PA=B ，则A 与B 应有相同的标准形B. 若21,αα为A 的两个不同的特征值对应的特征向量，则21,αα是正交的C. 若21,αα同为实对称阵A 的某个特征值的两个特征向量，则21,αα必线性无关D. 矩阵A 能对角化的充要条件为A 有个n 互不相同的特征值5．设三阶矩阵A 的特征值为0，-1，1，其对应的特征向量分别为321,,ξξξ，令()132,,ξξξ=P ，则=-AP P 1[ ]A. diag (0,-1,1)B. diag (-1, 0,1)C. diag (-1,1,0)D. diag (1,0,-1)三．（7分）求行列式().0,1111111112121≠+++nna a a a a a四．（7分）利用初等变换求---=111123321A 的逆矩阵. 五．（8分）设-=100020001A ，且EBA BA A 82*-=，求B.六．（10分）求向量组()()()9,2,2,1,6,6,1,1,3,4,1,2321---=--==ααα,()7,2,1,14-=α的一个最大无关组，并把其余的向量用最大无关组线性表示.七．（10分）问k 为何值时，线性方程组+=+++=++=+324622432132131k x x x k x x x kx x 有解，并求出其全部解.八．（12分）设矩阵A 与B 相似，其中-==10000002,10100002y B x A ，①求x,y ; ②求正交阵P ，使得B AP P T=.九．（6分）证明：设A 为m ×n 阵，方程n E YA =有解的充分必要条件是()n A R =.2004－2005学年第1学期考试试题（A ）卷一、选择题（1）方阵A ，B 满足r(A)=r(B)，则（答案填在卷首答题处）（A ）A －B=O （B ）r(A －B)=0 （C ）r(A ，B)≤r(A)+r(B) （D ）r(A+B)=2r(A) （2）向量组12,,...n ααα线性相关，则（答案填在卷首答题处）（A ）1α可由其余向量线性表示；（B ）12,,...n ααα至少有一个零向量；（C ）12,,...n ααα中至少有一个向量可以由其余向量线性表示；（D ）12,,...n ααα任两个向量成比例.（3）设n 元齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A 的秩为r ，则AX=0有非零解的充分必要条件是（答案填在卷首答题处）（A ）r=n （B ）rn（4）n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（答案填在卷首答题处）（A ）充分必要条件（B ）充分而非必要条件（C ）必要而非充分条件（D ）既非充分也非必要条件（5）矩阵20A =，则（答案填在卷首答题处）（A ）A=O （B ）det(A)＝0 （C ）r(A)=0 （D ）A=A T二、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分。

2014北京理工大学珠海学院数学竞赛试卷及答案

1 x2
= e2
1
2014 年北京理工大学珠海学院数学竞赛试卷，第 1 页，共 7 页
……………………………………………装………………………………订…………………………线………………………………………………… 装订线内答题无效装订线内答题无效装订线内答题无效装订线内答题无效座位号：
得分
二、解答下列各题（本题满分共 30 分）
x y
cos( xy ) 0 所确定，求 d y x= 0 =-dx
过程略
2. （10 分）求 lim
x® 0
x2 1
(2 - cos x)
x 0
x2
1
.
x2 1
lim ( 2 - cos x ) = lim ( 1 + 1 - cos x ) = e x® 0
x 0
lim (1- cos x )
1 1 0 0 命x 1 t 命u t 1 1 1 0 2 2 arctan t d ( t ) arctan udu 1 2 1 2 0 1 1 1 u 1 1 1 1 1 u arctan u du ln(1 u 2 ) ln 2 2 0 2 0 1 u 0 8 4 2 2 4 4
2014 年北京理工大学珠海学院数学竞赛试卷，第 4页，共 7页
……………………………………………装………………………………订…………………………线………………………………………………… 装订线内答题无效装订线内答题无效装订线内答题无效装订线内答题无效座位号：
确定常数 a 的值，使 f x 在 x = 0 点处可导，并求此导数。解：首先写出 f x 在 x < 0 附近的表达式：当 1 x 0 时， 0 x 1 1 。由

2012～2013学年第一学期《线性代数》期末试卷(B)

第1页共5页北京理工大学珠海学院2012 ～ 2013学年第一学期《线性代数》期末试卷（B ）标准答案及评分标准适用年级专业: 2011级信息学院、化工与材料学院、计算机学院（除计算机科学与技术专业）及机械与车辆学院(除机械工程及自动化专业和热能与动力工程)各专业试卷说明：闭卷，考试时间120分钟．一、选择填空题（每小题3分，共18分）【得分：】1.设2.34,,,,a b x x x 均为4维列向量，且2.342.34(,,,),(,,,)A B a x x x b x x x ==为4阶方阵.若行列式4,1A B ==，则 .A B +=2．设1225A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1A - =3.若22112414A t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦且()2r A =,则t = 4．设a 是齐次线性方程组0A x =的解，而b 是非齐次线性方程组A x b =的解，则(32)A αβ+=_________．5．设方阵A 有一个特征值为2，则22A A E +-有一个特征值为 ___．6. 设二次型2221231213235224f x x x ax x x x x x =+++-+为正定二次型，则参第2页共6页写此处不能书写此处不能书写此处不能书写此处不能书写此处不能书写此处不能书写………………………………装………………………………订…………………………线……………………………………………………二、计算题（每小题12分，共36分）【得分：】1.设111123111124111051A B⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-=--⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，，求2TA A B-2.计算行列式1112 1141 2461 1242-----3.设矩阵423110123A⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭，求矩阵B使其满足矩阵方程2A B A B=+.三、解答题（每小题12分，共36分）【得分：】1．当λ为何值时，齐次方程组1231231232202030x x xx x xx x xλ+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩有非零解？并求其通解.第4页共6页写此处不能书写此处不能书写此处不能书写此处不能书写此处不能书写此处不能书写………………………………装………………………………订…………………………线……………………………………………………2．设向量组A ：1234511214,,,,4622436979ααααα- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1)求向量组A 的秩，并说明其线性相关性. (2)求向量组A 的一个最大线性无关组，并将A 的其余向量用该最大线性无关组线性表示.3．已知二次型()22212312323,,2+3+3+4f x x x x x x x x =． (1)写出二次型f 的系数矩阵；(2)用正交线性变换把二次型f 化为标准形，并写出相应的正交方阵.四、解答题（每小题5分，共10分）【得分：】1．设123,,ααα线性无关，证明11213,2,3ααααα++也线性无关.2.已知二次型()22212312312,,(1)+(1)2+2(1)f x x x a x a x x a x x =--++的秩为 2.求a。

北京理工大学2012级线性代数(A)A卷及答案

课程编号：A073122 北京理工大学2012-2013学年第一学期线性代数A 试题 A 卷班级 ________ 学号 _________ 姓名 __________ 成绩 ___________一、（10分）已知3阶方阵123035002A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，计算行列式*123A I+。

二、（10分）设423110, 2123A AX A X ⎛⎫ ⎪⎪==+ ⎪ ⎪-⎝⎭, 求X 。

三、（10分）已知线性空间4][x F 的自然基为231,,,x x x 。

(1) 证明：2231,12,123,1234x x x x x x ++++++为4][x F 的一个基；(2) 求自然基231,,,x x x 到基2231,12,123,1234x x x x x x ++++++的过渡矩阵，以及23()1h x x x x =--+在后一个基下的坐标。

四、（10分）已知123(1,0,1), (2,2,0), (0,1,1)TTTααα=-==。

(1) 求向量组123,,ααα的一个极大无关组；(2) 求生成子空间123(,,)L ααα的一个标准正交基。

五、（10分）设A 是5阶方阵，且已知存在5阶可逆矩阵P ，使得111112P AP --⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭试写出A 的初等因子，同时判断P 的哪几列是A 的特征向量。

六、（10分）在多项式空间4[]R x 中定义变换σ：233012330201()()a a x a x a x a a a x a a x σ+++=-+++（1）证明：σ是4[]R x 上的线性变换；（2）求σ在4[]R x 的自然基231,,,x x x 下的矩阵，并判断σ是否可逆。

七、（10分）假设A 是m n ⨯的实矩阵，证明：()()TA A A =秩秩八 (10分）已知(1,1,1)T ξ=-是矩阵2125312A a b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦的一个特征向量，（1）确定参数a , b 及特征向量ξ所对应的特征值；（2）判断A 是否可以相似对角化，说明理由。

(完整word版)线性代数试题和答案(精选版)

线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分)、单项选择题(本大题共 14小题，每小题2分，共28分)在每小题列出①四个选项中只有一个是符合题目要求◎，请将其代码填在题后①括号内。

错选或未选均无分。

A. -6 C. 24. 设A 是方阵，如有矩阵关系式 AB =AC ,则必有( A. A = 0C. A =0 时 B =C5. 已知3X 4矩阵A O 行向量组线性无关，则秩( A. 1 C. 3 D.46.设两个向量组a 1, a 2,…，a s 和B 1, 3 2,…，3 s 均线性相关，则()A. 有不全为0 O 数入1,入2,…，入s 使入1 a 什入2 a 2+…+入s a s =0和入1 3什入2 3 2+…入s 3 s =0B. 有不全为0 O 数入1,入2,…，入s 使入1 ( a 1+ 3 1) +入2 ( a 2+ 3 2) +…+入s ( a s + 3 s ) =0C. 有不全为0 O 数入1,入2,…，入s 使入1 ( a 1- 3 1) +入2 ( a 2- 3 2)+…+入s ( a s - 3 s ) =0D. 有不全为0 O 数入1,入2，…，入s 和不全为0 O 数卩1 ,卩2,…，卩s 使入1 a 计入2a 2+…+入 s a s =0 和卩 1 3 1+ 卩 2 3 2+ …+ 卩 s 3 s =0 7. 设矩阵A O 秩为r ,则A 中( )A. m+n C. n-a11a12a13a11=m ,a 21 a 22a 23 a 21a11 a 12 ' a13a 21 a 22 亠a 23B. - (m+n)D. m- n等于(2•设矩阵A =3.设矩阵 ■‘3 -1 21 0 -1 V-2 14丿中位于 (1 , 2)0兀素是(B. 6 D.-)B. B = C 时 D. | A0 时 B =C A T)等于( )B. 2 1•设行列=n ，则行列式(10 2 VP 0 A. C.0，则A -1等于(3丿,A *是A ①伴随矩阵，则 A A =A.所有r- 1阶子式都不为0C.至少有一个r阶子式不等于08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，n 1,A. n什n 2是Ax=0 O—个解B.所有r- 1阶子式全为0D.所有r阶子式都不为0n 2是其任意2个解，则下列结论错误O是1 1B. —n 1+ n 2是Ax=b O—个解C. n i -n 2 是 Ax=O ①一个解D.2 n 1- n 2 是 Ax=b ①一个解 9•设n 阶方阵A 不可逆，则必有（） A.秩（A ）＜n B.秩（A ）=n- 1 C. A=0 D.方程组Ax=0只有零解 10•设A 是一个n （＞3）阶方阵，下列陈述中正确①是（）A. 如存在数入和向量a 使A a =入a,则a 是A ①属于特征值入①特征向量B. 如存在数入和非零向量a,使（入E - A ） a =0，则入是A ①特征值C. A O 2个不同①特征值可以有同一个特征向量D. 如入1,入2,入3是A O 3个互不相同①特征值， a 1, a 2, a 3依次是A ①属于入i ,入2,入3①特征向量，贝U a 1, a 2, a 3有可能线性相关 11. 设入o 是矩阵A ①特征方程①3重根，A ①属于入°①线性无关①特征向量①个数为 k ，则必有（） A. k ＜ 3B. k ＜3C. k=3表示|A |中元素a j ①代数余子式（i,j=1,2,3 ）,则2 218. 设向量（2, -3, 5）与向量（-4, 6, a ）线性相关，贝y a= 一 . 19. ______________ 设A 是3X 4矩阵，其秩为3，若n 1, n 2为非齐次线性方程组 Ax=b O 2个不同①解，则它 ◎通解为 .20.设A 是m x n 矩阵，A ①秩为r （＜n ），则齐次线性方程组 Ax=0①一个基础解系中含有解①个数为D. k>312. 设A 是正交矩阵，则下列结论错误①是（A.| A|2必为 1 -1 ■ T C. A = A13. 设A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，A. A 与B 相似B. A 与B 不等价C. A 与B 有相同①特征值D. A 与B 合同 14.下列矩阵中是正定矩阵①为（）i'2 3:A. I I 母4丿'1 0 0C. 0 2-3©-35」）B.| A 必为1D. A ①行（列）向量组是正交单位向量组 B =C AC .则（）4 6」、1 12 0第二部分、填空题（本大题共 10小题，每小题小题①空格内。

2018年北京理工大学线性代数答案

线数代数答案在线作业自动判卷题目类型分值正确答案你的答案批改单选题10.0 2 2 √单选题10.0 2 2 √单选题10.0 1 1 √单选题10.0 3 3 √单10.0 1 1 √选题单10.0 2 2 √选题单10.0 3 3 √选题单10.0 1 1 √选题单选题10.0 3 3 √若行列式主对角线上的元素全为0，则此行列式为0.( ) 判断题10.0错误错误√总分值:100.0 得分:100.0 正确的题数：10 题目总数：10 正确率:100.0%[复习建议][返回阶段列表]北京理工大学现代远程教育学院版权所有京ICP备05065315号Copyright©2000-2006 All right reser ved.单10.0 2 2 √选题单10.0 2 2 √选题单10.0 1 1 √选题单10.0 3 3 √选题单10.0 1 1 √选题单选题10.0 2 2 √单选题10.0 3 3 √单选题10.0 1 1 √单选题10.0 3 3 √若行列式主对角线上的元素全为0，则此行列式为0.( ) 判断题10.0错误错误√总分值:100.0 得分:100.0 正确的题数：10 题目总数：10 正确率:100.0%[复习建议][返回阶段列表]总分值:100.0 得分:100.0 正确的题数：10 题目总数：10 正确率:100.0%[复习建议][返回阶段列单10.0 2 2 √选题单10.0 2 2 √选题单10.0 1 1 √选题单10.0 3 3 √选题单10.0 1 1 √选题单选题10.0 2 2 √单选题10.0 3 3 √单选题10.0 1 1 √单选题10.0 3 3 √若行列式主对角线上的元素全为0，则此行列式为0.( ) 判断题10.0错误错误√100.0 得分:100.0 正确的题数：10 题目总数：10 正确率:100.0%单选题1[复习建议]单选题1单选题1[返回阶段列表]单选题1北京理工大学现代远程教育学院版权所有京ICP备05065315号Copyright©2000-2006 All right reser ved. 单选题1在线作业自动判卷题目类型分值正确答案你的答案批改单选题10.0 2 2 √单选题1单10.0 2 2 √选题单10.0 1 1 √选题单10.0 3 3 √选题单10.0 1 1 √选题单10.0 2 2 √选题单10.0 3 3 √选题单选题10.0 1 1 √单选题10.0 3 3 √若行列式主对角线上的元素全为0，则此行列式为0.( ) 判断题10.0错误错误√100.0 得分:100.0 正确的题数：10 题目总数：10 正确率:100.0%[返回阶段列表]判断题1:100.0 得分:100.0 正确的题数：10 题目总数：10 正确率:100.0%[复习建议][返回阶段列表]京单选题10.0 1 1 √单选题10.0 2 2 √下列矩阵中不是初等矩阵的矩阵是（）单选题10.0 4 4 √单选题10.0 1 1 √判断题10.0正确正确√判断题10.0错误错误√判断题10.0错误错误√填空题10.0 1 1 √填空题10.0 2 ×本次作业总分值:100.0 得分:90.0 正确的题数：9 题目总数：10 正确率:90.0%[复习建议][返回阶段列表]北京理工大学现代远程教育学院版权所有京ICP备05065315号Copyright©2000-2006 All right re ser ved.在线作业自动判卷题目类型分值正确答案你的答案批改单选题10.0 1 1 √单选题10.0 1 1 √单选题10.0 1 1 √单选题10.0 2 2 √判断题10.0错误错误√判断题10.0错误错误√判断题10.0错误错误√填空题10.0 3 3 √填空题10.0 -2 -2 √填空题10.0 2 2 √值:100.0 得分:100.0 正确的题数：10 题目总数：10 正确率:100.0%[复习建议][返回阶段列表]北京理工大学现代远程教育学院版权所有京ICP备05065315号Copyright©2000-2006 All right reser ved.在线作业自动判卷题目类型分值正确答案你的答案批改单选题10.0 3 3 √下面二次型中正定的是单选题10.0 2 2 √单选题10.0 3 3 √单选题10.0 2 2 √单选题10.0 1 1 √判断题10.0正确正确√特征多项式相同的矩阵相似. 判断题10.0错误错误√填空题10.0将A的第1列的1/a倍加到第2列将A的第1列的1/a倍加到第2列√填空题10.0C'ACC'AC√填空题10.0把A的第2列乘以3加到第3列上把A的第2列乘以3加到第3列上√值:100.0 得分:100.0 正确的题数：10 题目总数：10 正确率:100.0%北京理工大学现代远程教育学院版权所有京ICP备05065315号Copyright©2000-2006 All right reser ved.在线作业自动判卷题目下列各项中，（）为某4阶行列式中带正号的项本次作业总分值:100.0 得分:100.0 正确的题数：10 题目总数：10 正确率:100.0% 业总分值:100.0 得分:10.0 正确的题数：1 题目总数：10 正确率:10.0%题目类型分值正确答案单选题10.0 2单选题10.0 1单选题10.0 1按定义，5阶行列式有120项，其中带负号的有 _______项. 填空题10.0 60填空题10.0 5填空题10.0 0填空题10.0 9填空题10.0-abcd填空题10.0 -3.word格式.。

北京理工大学2011-2012年度第一学期《线性代数》期末试题及详细参考答案

证明：
(1) 秩 ( A − λ0 I ) = 秩 ( A − λ0 I ) ；2 (2) 不存在 Y ，使得 ( A − λ0I )Y = X0 ；
6
2011 年线性代数 A 期末考试答案
一解在方程 A* X = 2 A−1 + 2 X 两端左乘 A 得 A X = 2I + 2AX ………………………………………..4 分
七、（ 10 分）设 A 为 2 × 2 的实矩阵，证明： A 的特征值都为实数的充要条件为
A
≤
trA 2 2
（其中
trA
为
A
的迹，即
A
的主对角元之和）。
4
1 2 2 八、（10 分已知实二次型 f ( x1, x2 , x3 ) = X TAX ，其中 A = 2 1 2。
−2 −2 λ− 1
特征值为λ1 = −1(二重)，λ2 = 5。…………………………………4 分
−2 −2 −2 1 1 1
当λ= −1 时，(λI − A) = − 2−2
−2 −2
−−22 → 00
0 0
00
3
相应的特征向量为
α1=( − 1,1,0), α2=( − 1,0,1)
0
1 0
0
-
3 2
1
1
2
0 0 0 0
所以 r (α1 ,α2 ,α3 ,α4 ) = 3,
极大无关组为α ,1α ,α2 , 3
剩余向量的表出
α 4=
−
3α 2
−1
3α 2
+2
1
α. 2
3

北京理工大学珠海学院08数电期末考试

北京理工大学珠海学院2008 ～ 2009学年第二学期《数字电路与系统》期末试卷（A ）一、填空题（每空1分，共20分）【得分：】1．数制转换：(3EC)H =( )D =( )O 。

2．逻辑代数的基本运算有、、三种。

3．数字电路按照是否有记忆功能通常可分为、两类。

4．能够实现“线与”的TTL 门电路叫。

5．JK 触发器当时钟到来时，如果J=0，K=0，触发器的状态将；如果J=1，K=1，触发器的状态将。

6．时序逻辑电路按照其触发器是否有统一的时钟控制分为时序电路和时序电路。

7．TTL 与非门中，关门电平VOFF 的定义是。

开门电平VON 的定义是。

8．74LS138是3线—8线译码器，译码为输出低电平有效，若输入为A2A1A0=110时，输出01234567Y Y Y Y Y Y Y Y 应为。

9．一个10位地址码、8位输出的ROM ，其存储容量为。

10．数字系统的设计方法有和两种。

11．用VHDL 语言描述电路时，基本结构由和两部分组成。

二、选择题（每小题2分,共10分）【得分：】 1．将十进制数13.25转换成二进制数为( )。

A ．1011.01 B.1011.1 C.1101.1 D.1101.012．用8421BCD 码表示两位十进制数，则至少需要( )0、1码。

A. 5位B.7位C.8位D.6位 3．n 个变量的最小项是( )。

A.n 个变量的积项，它包含全部n 个变量，每个变量可用原变量或非变量。

B.n 个变量的和项，它包含全部n 个变量，每个变量可用原变量或非变量。

C.n 个变量的积项，它包含全部n 个变量，每个变量仅为原变量。

D.n 个变量的和项，它包含全部n 个变量，每个变量仅为非变量。

4．用JK 触发器设计12进制同步计数器，至少需要( )触发器。

A.2个B.3个C.4个D.5个5．一个4位移位寄存器可以构成最长计数器的长度是（）。

北京理工大学 - 线性代数 2010-2011线性代数B试题A卷期末试题(答案)

α1,α 2 线性表出，又可由 β1, β 2 线性表出的向量。
解 (1) 4个3元向量必线性相关，故存在不全为零的数
l1, l2 , k1, k2使得 l1α1 + l2α2 + k1β1 + k2β2 = 0
l1α1 + l2α2 = −k1β1 − k2β2
其中 k1, k2不全为零 l1, l2不全为零
−2 5 −1−1 −2 5 2
(I − A)−1 = −11
2 0
0 −1
= −−21
3 5
1 1
……………8
−2 5 2 3 −5 1 −6 10 4
X = 2 −−21
3 5
1 1
1 −1
−1 0
0 2
= −−24
4 10
2 0
……10
三、（10 分）对下列线性方程组
令
γ = l1α1 + l2α2 = −k1β1 − k2β2
γ ≠ 0 既可由α1,α2 线性表出，又可由 β1, β2 线性表出
……………5
设 γ = x1α1 + x2α2 = − y1β1 − y2β2
x1α1 + x2α2 + y1β1 + y2β2 = 0
1 2 2 −1 1 2 2 −1
4 5 −5
讨论情形1 λ ≠ 1, − 4 时方程组有唯一解；
5
情形2
2
a=
− 4时 5
A
= −
4 5
−4 5
−1
−1 1
1
2
2
→
0
−4 5
− 33 25
−1
3 5

16秋北理工《线性代数》在线作业

A. 错误
B. 正确
正确答案：
8. 特征多项式相同的矩阵相似。
A. 错误
B. 正确
正确答案：
9.
A. 错误
B. 正确
正确答案：
10. A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，则AB是m×s矩阵。
A. 错误
B. 正确
正确答案：
北理工《线性代数》在线作业
B.
C.
D.
正确答案：
9.
A.
B.
C.
D.
正确答案：
10.
A.
B.
C.
D.
正确答案：
11.
A.
B.
C.
D.
正确答案：
12.
A.
B.
C.
D.
正确答案：
13.
A.
B.
C.
B.
C.
D.
正确答案：
7.
A.
B.
C.
D.
正确答案：
8.
A.
B.
C.
D.
正确答案：
9.
A.
B.
C.
D.
正确答案：
10.
A.
B.
C.
D.
正确答案：
11.
A.
B.
C.
26.
A.
B.
C.
D.
正确答案：
27.
A.
B.
C.
D.
正确答案：
28.

北京理工大学珠海学院线性代数历届真题2及参考答案

由 α1 , α 2 , α 3 线性无关得，λ − λ1 = λ − λ2 = λ − λ3 = 0 ，这与 λ1 , λ2 , λ3 互不相等矛盾。（2） ( β , Aβ , A2 β ) = (α1 + α 2 + α 3 , λ1α1 + λ2α 2 + λ3α 3 , λ12α1 + λ22α 2 + λ32α 3 )
. 条件是 6．已知向量组含有 4 个 3 维向量 α1 , α 2 ,α 3 , α 4 ,则其线性关系是 .(填
“线性相关”或“线性无关”) 7 ．已知 2 阶方阵 A 的主对角线元素之和为 3, 且 | A |= 2 , 则 A 的特征值 . 为 8 ．若 n 阶方阵 A, B 相似，则必存在 n 阶可逆矩阵 P 使得 .. 二、计算题（56%）
⎛1 λ1 ⎜ = (α1 , α 2 , α 3 ) ⎜1 λ2 ⎜1 λ 3 ⎝
λ12 ⎞ ⎟ λ22 ⎟ λ32 ⎟ ⎠
AK ,
则 K = (λ3 − λ2 )(λ3 − λ1 )(λ2 − λ1 ) ≠ 0 ，即 K 可逆，所以 R ( β , Aβ , A2 β ) = R (α1 , α 2 , α 3 ) = 3, 即 β , Aβ , A2 β 线性无关.
(3)求出其一个最大无关组，并说明为什么. (4)将其余向量用(3)中所求最大无关组线性表示.程组
⎧ x1 + x2 + x3 + x4 = 0, ⎪ x + 2 x + 2 x = 1, ⎪ 2 3 4 ⎨ ⎪− x2 + (a − 3) x3 − 2 x4 = b, ⎪ ⎩3x1 + 2 x2 + x3 + ax4 = −1, 有(1)惟一解?(2)无解?(3)有无穷多解?当方程组有无穷多解时,求出其通解. 三、解答下列各题（20%）

(完整版)线性代数课后习题答案第1——5章习题详解

第一章行列式4.计算下列各行列式：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢7110025*********4；（2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-265232112131412；（3）⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ；（4）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a100110011001解(1)7110025102021421434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-⨯---=143102211014-- 321132c c c c ++1417172001099-=0(2)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=ec b e c b ec b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4(4)d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明: (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(33+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明(1)00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--=右边=-=3)(b a(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bzay y x by ax x z bxaz z y b +++z y x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a 949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+ddd c c c bb b a a a (4) 444444422222220001ad a c a b a ad a c a b a ad a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b --------- =)()()(111))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =⨯---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即 ,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11113a a a a D n nnn =，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnn n nn n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴ =--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn n n n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-=同理可证nnn n n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n T n n 2)1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)a aD n 11=,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xaaax aa a x D n=; (3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n n n n n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) nnnnn d c d c b a b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解(1) aa a a a D n 00010000000000001000 =按最后一行展开)1()1(100000000000010000)1(-⨯-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--⋅-+n n na aa(再按第一行展开)n n n nn a a a+-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax x a ax x a a x x a aa a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax ax a x aaa a n x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得 nn n n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-•-•-=---=111)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) nn nnn d c d c b a b a D 011112=nn n n n nd d c d c b a b a a 0000000011111111----展开按第一行0000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D即 ∏=-=ni i i iin D c b da D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=432140123310122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0432111111111111111111111 --------------n n n n,,141312c c c c c c +++152423210222102210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n(6)nn a a D a +++=11111111121,,433221c c c c c c ---n n n n a a a a a a a a a a +-------10000100010000100010001000011433221 展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------00000000000000000000000000022433221 nn n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------000000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---)11)((121∑=+=ni in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(5454343232121x x x x x x x x x x x x x解 (1)11213513241211111----=D 8120735032101111------=145008130032101111---=1421420005410032101111-=---= 112105132412211151------=D 11210513290501115----=1121023313090509151------=2331309050112109151------=1202300461000112109151-----=14200038100112109151----=142-=112035122412111512-----=D 811507312032701151-------=3139011230023101151-=2842840001910023101151-=----=426110135232422115113-=----=D ; 14202132132212151114=-----=D1,3,2,144332211-========∴DDx D D x D D x D D x (2) 510006510006510006510065=D 展开按最后一行61000510065100655-'D D D ''-'=65 D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=(,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',) 51001651000651000650000611=D 展开按第一列6510065100650006+'D 46+'=D 460319+''''-'''=D 1507=51010651000650000601000152=D 展开按第二列5100651006500061-6510065000610005-365510651065⨯-= 1145108065-=--=51100650000601000051001653=D 展开按第三列51006500061000516500061000510065+6100510656510650061+= 703114619=⨯+=51000601000051000651010654=D 展开按第四列61000510065100655000610005100651--51065106565--=395-= 110051000651000651100655=D 展开按最后一列D '+10005100651006512122111=+= 665212;665395;665703;6651145;665150744321=-==-==∴x x x x x ． 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 μλμμμλ-==12111113D ，齐次线性方程组有非零解，则03=D即 0=-μλμ 得 10==λμ或不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.10.齐次线性方程组取何值时问,λ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解？解λλλ----=111132421D λλλλ--+--=101112431)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-=3)1(2)1(23-+-+-=λλλ 齐次线性方程组有非零解，则0=D得 32,0===λλλ或不难验证，当32,0===λλλ或时，该齐次线性方程组确有非零解.第二章矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x ,求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换.解由已知:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y , ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y .2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.解由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z , 所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B . 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T . 4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635. (2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛; 解 )21(312-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142. (4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876. (5)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ; 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x =(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问: (1)AB =BA 吗?解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(2)(A +B)2=A 2+2AB +B 2吗?解 (A +B)2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148, 但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610, 所以(A +B)2≠A 2+2AB +B 2.(3)(A +B)(A -B)=A 2-B 2吗?解 (A +B)(A -B)≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A , 故(A +B)(A -B)≠A 2-B 2.6. 举反列说明下列命题是错误的:(1)若A 2=0, 则A =0;解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y .解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y , 则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k . 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k . 8. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A , 求A k . 解首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=k A k k k k k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫ . 用数学归纳法证明:当k =2时, 显然成立.假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121. 9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵. 证明因为A T =A , 所以(B T AB)T =B T (B T A)T =B T A T B =B T AB ,从而B T AB 是对称矩阵.10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA . 证明充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以(AB)T =(BA)T =A T B T =AB ,即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB)T =AB , 所以AB =(AB)T =B T A T =BA .11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A|=1, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A , 故*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A . |A|=1≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A , 所以*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos . (3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A . |A|=2≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n≠0) .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311*********X ; 解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122. (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ;解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111. (4)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X . 解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201431012. 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x , 从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x .解方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x , 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x .14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1. 证明因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为 E -A k =(E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1),所以 (E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E , 由定理2推论知(E -A)可逆, 且(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明一方面, 有E =(E -A)-1(E -A). 另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A)+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k ) =(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A),故 (E -A)-1(E -A)=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A), 两端同时右乘(E -A)-1, 就有(E -A)-1(E -A)=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E)-1.证明由A 2-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 即A(A -E)=2E ,或E E A A =-⋅)(21,由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-.由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E)(A -3E)=-4E ,或E A E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A +2E)可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A|=2,即 |A||A -E|=2, 故 |A|≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E|=|A 2|=|A|2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A 2-A -2E =O ⇒A(A -E)=2E⇒A -1A(A -E)=2A -1E ⇒)(211E A A -=-,又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E)A -3(A +2E)=-4E⇒ (A +2E)(A -3E)=-4 E ,所以 (A +2E)-1(A +2E)(A -3E)=-4(A +2 E)-1,)3(41)2(1A E E A -=+-.16. 设A 为3阶矩阵,21||=A , 求|(2A)-1-5A*|.解因为*||11A A A =-, 所以|||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A=|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A|-1=-8⨯2=-16. 17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A*也可逆, 且(A*)-1=(A -1)*.证明由*||11A A A =-, 得A*=|A|A -1, 所以当A 可逆时, 有|A*|=|A|n |A -1|=|A|n -1≠0,从而A*也可逆.因为A*=|A|A -1, 所以 (A*)-1=|A|-1A .又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以(A*)-1=|A|-1A =|A|-1|A|(A -1)*=(A -1)*. 18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A*, 证明: (1)若|A|=0, 则|A*|=0; (2)|A*|=|A|n -1. 证明(1)用反证法证明. 假设|A*|≠0, 则有A*(A*)-1=E , 由此得 A =A A*(A*)-1=|A|E(A*)-1=O ,所以A*=O , 这与|A*|≠0矛盾，故当|A|=0时, 有|A*|=0.(2)由于*||11A A A =-, 则AA*=|A|E , 取行列式得到|A||A*|=|A|n . 若|A|≠0, 则|A*|=|A|n -1;若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此时命题也成立. 因此|A*|=|A|n -1.19. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B , 求B .解由AB =A +2E 可得(A -2E)B =A , 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E A B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011321330.20. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B .解由AB +E =A 2+B 得 (A -E)B =A 2-E ,即 (A -E)B =(A -E)(A +E).因为01001010100||≠-==-E A , 所以(A -E)可逆, 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1, -2, 1), A*BA =2BA -8E , 求B . 解由A*BA =2BA -8E 得 (A*-2E)BA =-8E , B =-8(A*-2E)-1A -1 =-8[A(A*-2E)]-1 =-8(AA*-2A)-1 =-8(|A|E -2A)-1 =-8(-2E -2A)-1 =4(E +A)-1=4[diag(2, -1, 2)]-1)21 ,1 ,21(diag 4-==2diag(1, -2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B .解由|A*|=|A|3=8, 得|A|=2. 由ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,B =3(A -E)-1A =3[A(E -A -1)]-1A11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1030060600600006603001010010000161. 23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11.解由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A=P Λ11P -1.|P|=3,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ11111120 012001,故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731.24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511, 求ϕ(A)=A 8(5E -6A +A 2).解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A)=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111114.25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明因为A -1(A +B)B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B)B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B)B -1可逆, 即A -1+B -1可逆.(A -1+B -1)-1=[A -1(A +B)B -1]-1=B(A +B)-1A .26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B ,则⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ,而⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521. 27. 取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠.解4100120021100101002000021010010110100101==--=--=D C B A , 而01111|||||||| ==D C B A , 故|||||||| D C B A D C B A ≠. 28. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A 4. 解令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A ,则⎪⎭⎫⎝⎛=21A O O A A ,故8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求(1)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ;解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n E BC O BC O AC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111. (2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A .解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s n E BD CD O BD CD O AD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A . 30. 求下列矩阵的逆阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025; 解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001. 解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A BC O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001.第三章矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020*********)2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311 141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。

2019-北京理工大学-线性代数-模拟题1 (2)

[试题分类]：线性代数1．下列排列中（）是偶排列 A ．54312 B ．51432 C ．45312 D ．654321 答案：C题型：单选题知识点： 1.2 n 阶排列难度：12．行列式abcd e fg h k中元素f 的代数余子式是（） A ．d eg h B ．a bg h-C ．a bg hD ．d e g h-答案：B题型：单选题知识点： 1.6 行列式的运算难度：13.已知矩阵1110A=,AB BA=0-111，B=则（）⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A. 10-2-1⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.11 0-1⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.10 01⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.00 00⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：A题型：单选题知识点：3.1矩阵的运算难度：14．设A，B，为n阶可逆矩阵，则必有（）A.A+B可逆B.AB可逆C.A-B可逆D.AB+BA可逆答案：B题型：单选题知识点：3.3 矩阵的逆难度：15.已知向量()()2=1221,32=1=，，，，-4，-3,0，则αβαβαβ+---++A .（0，-2，-1,1）B.（-2,0，-1,1）C.（1，-1，-2,0）D.（2，-6，-5,-1）答案：A题型：单选题知识点：2.4 n维向量空间难度：16.设向量1212____ ==2=（1,1,2），（1,2，-1），则αααα+答案：（3,5,0）题型:填空题知识点：2.4 n 维向量空间难度：17．已知A 为2阶方阵A =32A =，则____ 答案：12 题型：填空题知识点：3.1 矩阵的运算难度：18. 设矩阵31311A=B=AB =2401，，则-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦____ 。

答案：1022⎡⎤⎢⎥--⎣⎦题型：填空题知识点：3.1 矩阵的运算难度：29．方阵A 为可逆矩阵很的充分必要条件是____ 。

答案：A 0≠题型：填空题知识点： 3.3 矩阵的逆难度：110．若()()12=0,2,=-___,1_2与1，正交，则x=x αα 答案：4题型：填空题知识点：3.5 正交矩阵难度：211．计算行列式121212n n n x m x x x x m x x x x m---答案：()1n 111n n i i mx m --=⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑ 题型：计算题知识点：1.6行列式的计算难度：212.证明：如果向量组12，，，r ααα线性无关，而12，，，，r αααβ线性相关，则向量β可以由12，，，r ααα线性表出。

北京理工大学2014级线性代数(A)B卷及答案

课程编号：A073003 北京理工大学2014-2015学年第一学期线性代数A 试题 B 卷一、（10分）已知矩阵211121112A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，101011111B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且11*2A X A X A B A --=+，求X .解：由11*2AXA XA BA --=+知2||AX X A B =+，而||4A =, 所以14(2)X A I B-=-A I A I 101111112101,(2)1112110111--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=∴-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭故而,111101042141110114022111111002X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=⋅-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭二、（10分）已知1234(2,2,4,6), (2,1,0,3), (3,0,2,1), (1,3,2,4)T T T T αααα=-=-=-=-（1）求向量组1234,,,αααα的秩和一个极大无关组; （2）用所求的极大无关组线性表出剩余向量。

解: (1)22312231100210301320101402200110011631400000--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以求向量组1234,,,αααα的秩为3, 123,,ααα为极大无关组.(2)4123αααα=--.三、（10分）在4][x F 中，求自然基321x x x ,,,到基3221111x x x x x x ++++++,,,的过渡矩阵，以及231()h x x x x =-+-在后一个基下的坐标。

解：过渡矩阵1111011100110001A ⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎪⎝⎭3132h x x x =-++()在后一个基下的坐标111111110012011110110120011100111200110111y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭四、（10分）设V 是由实数域上的全体2阶矩阵构成的线性空间，在V 上定义映射σ：σX AX XA =-[]，其中X 为任意矩阵，a b A c d ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭为V 中某一取定矩阵。

（精选）线性代数课后作业及参考答案

（精选）线性代数课后作业及参考答案《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003，则A-1等于（）A.130012001B.100120013C. 1 3 00 010 00 1 2D. 1 2 00 10013.设矩阵A=312101214---，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解2η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<n< bdsfid="226" p=""></n<>B.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同15.设有矩阵Ａｍ×ｎ，Ｂｍ×ｓ，Ｃｓ×ｍ，则下列运算有意义的是（）。