约数与倍数

我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法.下面我 们给出一般结论：I.一个合数的约数的个数是在严格分 解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的 乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它 的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包 括1和它自身) Ⅱ.约数的和是在严格分解质因数后,将M的每个质因数 最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积．如： 21000=23×3×53×7,所以21000所有约数的和为 (1+2+22+23)×(1+3)×(1+5+52+53)×(1+7)=748 80．

【分析与解】 设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2． 它们的和为:a+b=(a,b)q1+(a,b)q2=(a,b)(ql+q2)=60…………① 它们的最大公约数与最小公倍数的和为： [a,b]+(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)=(a,b)(q1q2+1)=60， 且(q1,q2)=1…………………………………………………………………② 联立①、②有(ql+q2)=(q1q2+1),即ql+q2-qlq2=1,(ql-1)(1-q2)=0,所以 ql=1或q2=1． 即说明一个数是另一个数的倍数,不妨记a=kb(k为非零整数)， 则60的约数有2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60这11个，b可以等 于2，3，4，5，6，10．12，15，20，30这10个数，除了60，因为如果 6=60，则(k+1)=1，而k为非零整数． 即这样的自然数有10组． 进一步，列出有(a,b)为(58,2),(57,3),(56,4),(55,5),(54,6),(50,10)， (48,12),(45,15),(40,20), (30,30)． 评注:如果两个自然数的和等于这两个数最大公约数与最小公倍数的和，那么 这两个数存在倍数关系．


【分析与解】 若三个连续的自然数中存在两个偶数,那么它们的最小公 倍数为三个数乘积的一半； 若三个连续的自然数中只存在一个偶数,那么它们的最小公倍数为三个 数的乘积． 对9828分解质因数:9828=2×2×3×3×3×7×13,我们注意,13是 其最大的质因数,验证不存在3个连续的自然数的积为9828． 则这三个自然数的积只能是9828×2,此时这三个数中存在两个偶数,有 9828×2=2×2×2×3×3×3×7×13． 13×2=26,有26,27,28三个数的积为9828×2,所以这三个连续的自 然数为26,27,28,其中有两个偶数,满足题意． 所以,这三个数的和为26+27+28=81． 评注:我们知道两个连续的自然数互质,而两个互质的数的公倍数等于 它们的积,即[0,b]=a×b． 若三个连续的自然数中存在两个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数乘 积的一半；若三个连续的自然数中只存在一个偶数，那么它们的最小公 倍数为三个数的乘积．
9.A,B两数都仅含有质因数3和5,它们的最大公约数是75.已知数A有12个 约数，数B有10个约数，那么A,B两数的和等于多少?

【分析与解】 方法一:由题意知A可以写成3×52×a，B可以写成3×52×6,其中a、b为整数且只 含质因子3、5. 即A:31+x×52+y,B=31+m×52+n,其中x、Y、m、n均为自然数(可以为0) 由A有12个约数,所以[(1+x)+1]×[ (2+y)+1]=(2+x)×(3+y)=12， 所以 .对应A为31+2×52=675,31+1×52+1=1125,或31+0×52+4=46875； 由B有10个约数,所以[(1+m)+1]×[(2+n)+l]=(2+m)×(3+n):10,所以 .对应B为31+0×52+2=1875． 只有(675,1875)=75,所以A=675,B=1875． 那么A,B两数的和为675+1875=2550． 方法二:由题中条件知A、B中有一个数质因数中出现了两次5,多于一次3,那么,先假设它出现了N 次3,则约数有:(2+1)×(N+1)：3×(N+1)个 12与10其中只有12是3的倍数,所以3(N+1)=12,易知N=3,这个数是A，即A=33×52=675． 那么B的质数中出现了一次3,多于两次5,则出现了M次5,则有:(1+1)×(M+1)=2(M+1)=10， M=4.B=3×54=1875． 那么A,B两数的和为675+1875=2550．


【分析与解】 设在x分钟后3人再次相聚,甲走了 120x米,乙走了lOOx米,丙走了70x米,他们3人之 间的路程差均是跑道长度的整数倍． 即120x-100x,120x-70x,lOOx-70x均是300 的倍数,那么300就是20x,50x,30x的公约数． 有(20x,50x,30x):300,而 (20x,50x,30x)=x(20,50,30)= lOx所以x=30． 即在30分钟后,3人又可以相聚．


分析与解】 显然堆数是42的约数,是112的约数,是70的约数.即为 42,112,70的公约数,有(42,112,70)=14． 所以,最多可以分成14堆.

5.加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名 工人每小时可完成6个零件,第二道工序每名工人每小时 可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15 个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名 工人?



【分析与解】 设这4个不同的自然数为A、B、C、D，有 A+B+C+D=1111． 将1111分解质因数:1111=11×101,显然A、B、C、D 的最大公约数最大可能为101,记此时A=101a， B=101b,C=101c,D=101d,有a+b+c+d=11,当 a+b+c+d=1+2+3+5时满足,即这4个数的公约数可以取 到101． 综上所述,这4个不同的自然数,它们的最大公约数最大能 是101． 评注:我们把此题稍做改动:“有5个不同的自然数,它们的 和是1111,它们的最大公约数最大能是多少?”,大家不妨自己 试试．
一个整数的约数个数与约数和的计算方法,两数 的最大公约数与最小公倍数之间的关系,分数的最 小公倍数.涉及一个整数的约数,以及若干整数最 大公约数与最小公倍数的问题,其中质因数分解发 挥着重要作用．


1.数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?

【分析与解】 360分解质因数为 360=2×2×2×3×3×5=23×32×5； 由计数问题的乘法原理知,约数的个数为 (3+1)×(2+1)×(1+1)=24． 我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,32,它们的和为 (1+3+32),所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w； 我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,22,23,它们的和为 (1+2+22+23)，所以所有360约数的和为 (1+3+32)×(1+2+22+23)×5w； 最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所 以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)． 于是,我们计算出值:13×15×6=1170． 所以,360所有约数的和为1170．




【分析与解】 甲跑完一圈需 ⅕÷3⅟2=2∕35小时,乙跑一圈 需⅟4÷4=⅟16 小时,丙跑一圈需⅝÷5=3∕40 则他们同时回到 出发点时都跑了整数圈,所以经历的时间为2∕35 , ⅟16 , 3∕40 的倍数,即它们的公倍数． 而 .[2∕35 , ⅟16 , 3∕40 ]=[1,2,3] ÷(35,16,40)=6 所以,6小时后,3人第一次同时回到出发点. 评注:求一组分数的最小公倍数,先将这些分数化为最简分数, 将分子的最小公倍数作为新分数的分子,将分母的最大公约 数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最小公 倍数； 求一组分数的最大公约数,先将这些分数化为最简分数,将分 子的最大公约数作为新分数的分子,将分母的最小公倍数作 为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最大公约数.


【分析与解】 设这个数为A,有 A=25×33×56×7,99=3×3×11,98=2×7×7, 97均不是A的约数,而96=25×3为A的约数,所以 96为其最大的两位数约数． 3.写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数



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一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的 指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为 23×52×7,所以它的约数有 (3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身) 如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数 均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所 有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0 外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数 由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数? 18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以 在360～630之间的完全平方数为 192,202,212,222,232,242,252． 即360到630的自然数中有奇数个约数的数为 361,400,441,484,529,576,625．


【分析与解】 为了使生产均衡,则每道工序每小时生产的零件个数应相 等,设第一、二、三道工序上分别有A、B、C个工人,有6A=10B=15C=k, 那么k的最小值为6,10,15的最小公倍数,即[6,10,15]=30． 所以A=5,B=3,C=2,则三道工序最少共需要5+3+2=10名工人．