高中数学归纳法公开课一等奖优秀课件
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全国高中数学优质课一等奖精品课件-- 数学归纳法
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2
当n k 1时，不等式也成立。
由（1）（2）知对一切大于1的自然数n,不等式都成立
练习：已知函数f
x
ax
3 2
x 2的最大值不大于1 ，又当x 6
1 4
,
1 2
时，
f x 1，
8 （1）求a的值
（2）设0
a1
1 2
,
an
1
f
(an ),n N *,证明：an
1 n 1
练习：用数学归纳法证明：
1.
1 2 3 n 1 n(n 1) n N
2
2.
1 1 3
1 3
5
1 5
7
2n
1
12n
1
n 2n 1
n N
3. 1• n 2•n 1 3•n 2 n •1 n(n 1)(n 2) n N
6
1.
利用数学归纳法证明恒等式应注意的问题
（1）在证明过程中突出两个“凑”字，即一“凑”假设， 二“凑”结论，关键是在证明n=k+1时要用上n=k时的 假设，其次要明确n=k+1时证明的目标，充分考虑 由n=k到n=k+1时，命题形式之间的区别和联系，化 异为同。中间的计算过程千万不能省略。
42k 1 •13 3 • (42k 1 3k 2 ) 上式能被13整除，当n k 1时命题也成立 由（1）（2），当n N *时，42n1 3n2能被13整除
练习：证明：当n N *时， f (n) 32n2 8n 9能被64整除
搜索生活实例，激发学习兴趣 “多米诺骨牌”游戏： 探究“多米诺骨牌”全部倒下的条件
①第一块骨牌倒下； ②任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。 （即第K块倒下，则相邻的第K＋1块也倒下. k N )
数学归纳法 公开课一等奖课件
根据1和2,数列 , , , , , , 3n 23n 1 1 4 4 7 7 10 计算S1, S 2 , S3 , S 4 , 根据计算结果 , 猜出Sn的表达式, 并用 数学归纳法进行证明 . 1 1 1 1 2 解 S1 ; S2 ; 1 4 4 4 47 7 2 1 3 3 1 4 S3 ; S4 . 7 7 10 10 10 10 13 13
2.3
数学归纳法
学习归纳法是一种特殊 的证明方法, 主要用于研究 an ,已知 与正整数有关的数学问 题.例如, 对于数列 an n 1,2, , 通过对n 1,2,3,4前4 a1 1, an1 1 an 1 项的归纳 , 我们已经猜想出其通项 公式为an .但 n 是, 我们只能肯定这个猜想 对前4项成立,而不敢肯 定对后续的项也成立 .这个猜想需要证明 . 自然地, 我们会想到从n 5开始一个个往下验证 . 一般来说,与正整数n有关的命题,当n比较小时可 以逐个验证, 但当n较大时, 验证起来会很麻烦 .特 别是证明n 取所有正整数都成立的 命题时, 逐一
1 思考 你认为证明数列的通项 公式是an 这个 n 猜想与上述多米诺骨牌 游戏有相似性吗? 你能类 比多米诺骨牌游戏解决 这个问题吗?
由条件, 容易知道 n 1时猜想成立 . 这就相当于游戏 的条件 1.类比条件 2,可以考虑证明一个递推 关系 : 1 如果 n k时猜想成立 , 即ak ,那么当 n k 1时 k 1 猜想也成立 ,即ak 1 . k 1 1 1 ak 1 k 事实上,如果 ak ,那么 ak 1 , k 1 ak 1 1 k 1 k
即n k 1时猜想也成立 .
高中数学第一章推理与证明1.4数学归纳法省公开课一等奖新优质课获奖课件
立,要利用假设,并对照目标进行恰当放缩,使问题简单化.
14/27
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练 2 利用数学归纳法证明对一切大于 1 的正整数 n,不等
1
1
证明:(1)当 n=2
4
∵3 >
1
1 + 5 ·…·1 + 2-1 >
式 1+3
√5
2
1
时,左边=1+
3
=
√2+1
2
均成立.
4
√5
;右边= ,
n=k(k>n0)时命题是否成立;若只有步骤②缺乏步骤①,则假设就失
去了成立前提,步骤②就没有意义了.
(2)用数学归纳法证实相关问题关键在第二步,即n=k+1时为何成
立?n=k+1时成立是利用假设n=k时成立,依据相关定理、定义、公
式、性质等数学结论推证出n=k+1时成立,而不是直接代入,不然
n=k+1时也成假设了,命题并没有得到证实.
探究三
2+1 2+2
·2+1
2
2
>
=
4 +8+3
=
=
2+2
2 2+1
思维辨析
2
=
4 +8+4
2 2+1
2+3· 2+1
2 2+1
2 2+1
2+3
2(+1)+1
=
,
2
2
所以当n=k+1时,不等式也成立.
由(1)和(2),知对一切大于1正整数n,不等式都成立.
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练 2 利用数学归纳法证明对一切大于 1 的正整数 n,不等
1
1
证明:(1)当 n=2
4
∵3 >
1
1 + 5 ·…·1 + 2-1 >
式 1+3
√5
2
1
时,左边=1+
3
=
√2+1
2
均成立.
4
√5
;右边= ,
n=k(k>n0)时命题是否成立;若只有步骤②缺乏步骤①,则假设就失
去了成立前提,步骤②就没有意义了.
(2)用数学归纳法证实相关问题关键在第二步,即n=k+1时为何成
立?n=k+1时成立是利用假设n=k时成立,依据相关定理、定义、公
式、性质等数学结论推证出n=k+1时成立,而不是直接代入,不然
n=k+1时也成假设了,命题并没有得到证实.
探究三
2+1 2+2
·2+1
2
2
>
=
4 +8+3
=
=
2+2
2 2+1
思维辨析
2
=
4 +8+4
2 2+1
2+3· 2+1
2 2+1
2 2+1
2+3
2(+1)+1
=
,
2
2
所以当n=k+1时,不等式也成立.
由(1)和(2),知对一切大于1正整数n,不等式都成立.
高考数学复习选修系列13.3数学归纳法理市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
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8.设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线相互平行，任意三
条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点个数，则f(4)＝________；
当n>54时，f(n)＝____________12_(n_＋(用1n)(表n－示2)).
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思索辨析 判断以下结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)用数学归纳法证实问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立.( × ) (2)全部与正整数相关数学命题都必须用数学归纳法证实.( ×) (3)用数学归纳法证实问题时，归纳假设能够不用.( × ) (4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证实时，由n＝k到n＝k＋1时， 项数都增加了一项.( × ) (5)用数学归纳法证实等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝ 1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.( √ ) (6)用数学归纳法证实凸n边形内角和公式时，n0＝3.( √)
17/92
题型二 用数学归纳法证实不等式 例2 (·烟台模拟)等比数列{an}前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，点(n， Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)图象上. (1)求r值；
解答
21/92
(2)当 b＝2 时，记 bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，证明：对任意的 n∈N*，
7/92
3.在应用数学归纳法证实凸n边形对角线为 n(12n－3)条时，第一步检验n
等于
答案 解析
A.1
B.2
C.3
D.0
凸n边形边数最小时是三角形， 故第一步检验n＝3.
9/92
4.用数学归纳法证明 1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋2 n2，则当 n＝k＋1 时左端应 在 n＝k 的基础上加上 答案 解析
8.设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线相互平行，任意三
条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点个数，则f(4)＝________；
当n>54时，f(n)＝____________12_(n_＋(用1n)(表n－示2)).
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思索辨析 判断以下结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)用数学归纳法证实问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立.( × ) (2)全部与正整数相关数学命题都必须用数学归纳法证实.( ×) (3)用数学归纳法证实问题时，归纳假设能够不用.( × ) (4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证实时，由n＝k到n＝k＋1时， 项数都增加了一项.( × ) (5)用数学归纳法证实等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝ 1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.( √ ) (6)用数学归纳法证实凸n边形内角和公式时，n0＝3.( √)
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题型二 用数学归纳法证实不等式 例2 (·烟台模拟)等比数列{an}前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，点(n， Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)图象上. (1)求r值；
解答
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(2)当 b＝2 时，记 bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，证明：对任意的 n∈N*，
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3.在应用数学归纳法证实凸n边形对角线为 n(12n－3)条时，第一步检验n
等于
答案 解析
A.1
B.2
C.3
D.0
凸n边形边数最小时是三角形， 故第一步检验n＝3.
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4.用数学归纳法证明 1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋2 n2，则当 n＝k＋1 时左端应 在 n＝k 的基础上加上 答案 解析
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1 1 1 n
1• 2 2•3
n • (n 1) n 1
的过程.你认为他的证法正确吗?为什么
(1).当n=1时,左边= 1 1 , 右边= 1 1
1• 2 2
11 2
(2).假设n=k时命题成立 即
1 1 1 k
12 23
k (k 1) k 1
归纳小结，自我整合, 激升思维
由于数学归纳法是证明与正整数有关的命题，数列是以正整数为定义域的特殊函数，而导数又是研究函数的 重要工具，正是这一条知识链注定了数学归纳法必然以数列为背景。深入细致的研究近年来的高考试题，就 会印证以上事实。纵观近几年与数学归纳法相关的高考试题，不难得出其命题特点：
数学归纳法
人
教
版
高
中
选
修
二
数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法.主要有两个步骤一个结论: （1）证明当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确 【归纳奠基】 （2）假设n=k(k≥n0,n∈N*)时结论正确，证明n=k+1时结论也正确【归纳递推】 （3）由（1）、（2）得出结论
那么n=k+1时,
左边 (1
1) (1
1)
(
1
1
)
2 23
k 1 k 2
1 1 k k 2 (k 1) 1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
=右边,
即n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.
(2)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否 则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑递推关系,造成推理无效.
注 意：
1、一定要用到归纳假设； 2、看清从k到k＋1中间的变化。
一、证明中需要注意的问题 (1)在第一步中的初始值不一定从1取起，证明时应根据具体情况而定.
例1:欲用数学归纳法证明2n>n2, 试问n的第一个取值应是多少?
答:对n=1,2,3,…,逐一尝试, 可知初始值为n=5.
例2.下面是某同学用数学归纳法证明命题
谢谢大家
人
教
版
高
中
选
修
二
①很少单独命制大题，往往作为解答题中某一小问的形式出现，重在体现它的工具性作用。且常与数列结合去考查， 有时还与函数、导数、不等式等内容相关联，以体现“在知识交汇处设计试题”的命题原则。 ②试题特别注重加强对不完全归纳法的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，初步形成“观察— 归纳—猜想—证明”的思维模式，希望引起大家足够的重视。 ③高考对数学归纳法主要是‘隐形’考查，也就是说这种方法在题目中往往是“藏而不露”，不明着说要用“数归 法”，也就是可用“数归法”，也可用其他方法来解决（当然能找到其他解决方法的话）。
(3)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要分析命题的结构特点,分析 “n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清应增加的项.
例3．对于n∈N*用数学归纳法证明：
1 n 2 (n 1) 3 (n 2) (n 1) 2 n 1 1 n(n 1)(n 2) 6
分析:找到“递推关系”就等于把握住解决问题的“灵魂”。
f (k) 1 k 2 (k 1) 3 (k 2) (k 1) 2 k 1
有几项？
f (k 1) 是什么,它比 f (k) 多出了多少，是首要问题。
小结:
1.与正整数有关的数学命题可以考虑用数学归纳法证明,但注 意不要滥用. 并非任何与正整数有关的命题都可以用它来证明。 如果命题没有“递推”关系，数学归纳法将会失去其效力。 2.掌握数学归纳法的实质与步骤 3. 数学归纳法的应用通常与数学的其他方法联系在一起的, 如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等.