数学归纳法 市公开课
数学归纳法(公开课)
问题情境二
很傻很天真
聪明 观察归纳猜想
一 二 三…
等差数列通项公式的推导过程
a1 (首项） a2 a1 d a3 a2 d a1 2d a4 a3 d a1 3d ...... an a1 (n 1)d 其中n N *
2 22 23
2k
1 2k 1
1
1
1
k
1
2 2
1 1
1 1 k1 2
即n=k+1时，命题成立 新疆 王新敞 奎屯
2
根据①②可知，对n∈N＊，等式成立.
自我挑战
(1)当 n＝1 时，左边＝12，右边＝1－12＝12，等式成立．
(2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，就是
1.数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用：
用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明结论．
2.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤是：
(1)证明当n取第一个值n0时结论正确； (2)假设当n＝k(k∈N*,k≥n0)时结论正确,
证明当n＝k＋1时结论也正确．
这两个步骤缺一不可．证明的第一步是为了获得递推的基 础，但这一步还不能说明递推的普遍性；证明的第二步， 是为了获得递推的依据．在第二步中，归纳假设起着“已
两个步骤 一个结论 缺一不可
思维误区警示
求证： 1＋ 1 ＋ 1 ＋ 2 22 23
＋1 2n
1 (1)n 2
证明：①当n=1时，左边＝ 1
2
,右边＝
1
1
1
2
1 2
，等式成立.
②假设n =k时，有
1 ＋ 1 ＋ 1 ＋＋ 1
数学归纳法【公开课教学PPT课件】
反思感悟 用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的式子中 拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除. 其中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法 分析出因子,从而利用归纳假设使问题得到解决.
点拨 数学归纳法一般被用来证明某些涉及正整数n的命题,n可 取无限多个值,但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用 数学归纳法证明。一般来说,从n=k到n=k+1时,如果问题中存在可 利用的递推关系,则可以用数学归纳法,否则使用数学归纳法就有 困难.
在运用数学归纳法时,要注意起点n0并非一定取1,也可能取0,2等
(2)数学归纳法:
数学归纳法可以用于证明与正整数 n 有关的命题.证明需要经
过三个步骤:
①验证当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时命题成立. ②假设当n=k时(k∈N+,k≥n0)命题成立,
证明当n=k+1 时命题也成立.在完成了上述两个步骤之后,
就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都成立.
正解当 n=1 时,a1=3,当 n≥2
时,an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即 an+1=12an.
∵a1=3,
∴a2=12a1=32,a3=34,a4=38.
3,������ = 1,
猜想
an=
3 2������-1
数学归纳法(公开课教学PPT课件)
2
2
（2）假设当n k时等式成立，即
1 1 1 1 k
1 2 23 3 4
k(k 1) k 1
当n k 1时，
左边 (1 1) (1 1) ( 1 1 )
2 23
k 1 k 2
1 1 k 1 k 1 右边 k 2 k 2 (k 1) 1
即n k 1时等式成立。
a1 kd 右边 即当n k 1时，结论也成立。 结合（1）（2）可知，结论对一切正整数n都成立。
针对训练
练1.用数学归纳法证明等式
1 2
1 22
1 23
1 2n
1
1 2n
当n=k+1时， 左边
递推关系 归纳假设
右边
请你当个小老师
下面是一些同学用数学归纳法证明等式成立的解题过程， 请判断，它是否符合数学归纳法的证明要求？
3.数学归纳法证明命题的关键？ 在第二步归纳递推中要用到归纳假设。
课堂小结
4.数学归纳法体现的核心思想？ 递推思想. 用“有限”的推理，解决“无穷”的归纳。
作业布置
1.思考：已知数列an 满足an1
2
1 an
, a1
0, 试猜想并证明
an的通项公式。
2.课本P19，习题1-4.
数学归纳法（说课）
刘斌伟 2018.12.11
教材分析
教学方法
教学过程
教学反思
教学目标 教学重难点
设计思路 多媒体工具应
1 体会递推思想，理解数学归纳法的原理
逻辑核素推心养理
2 掌握数学归纳法证明数学命题的 两个步骤、一个结论
3 会运用数学归纳法证明一些与正整数有关 的简单恒等式
围 绕
反馈 练习
数学归纳法公开课课件
数学归纳法公开课课件一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学归纳法》章节，详细内容包括数学归纳法的定义、原理和运用。
重点讲解数学归纳法的基本步骤，并通过典型例题引导学生掌握数学归纳法的证明方法。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的定义，掌握其基本步骤和应用方法。
2. 能够运用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法的证明过程，特别是归纳假设的运用。
教学重点：数学归纳法的定义、基本步骤和证明方法。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：学生用书、练习本、文具。
五、教学过程1. 实践情景引入通过一个实际问题，如“如何计算1+2+3++100的结果”，引导学生思考，激发学生兴趣。
2. 知识讲解（1）讲解数学归纳法的定义和基本步骤。
（2）通过例题讲解，展示数学归纳法的证明过程。
3. 例题讲解选取一道典型例题，如“证明：对于任意正整数n，都有1+2+3++n=n(n+1)/2”。
（1）验证基础情况。
（2）归纳假设。
（3）归纳步骤。
4. 随堂练习让学生独立完成一道类似例题的题目，巩固所学知识。
5. 课堂小结六、板书设计1. 板书数学归纳法2. 板书内容：（1）数学归纳法的定义（2）数学归纳法的基本步骤（3）例题及证明过程七、作业设计1. 作业题目：（1）运用数学归纳法证明：对于任意正整数n，都有1^3+2^3+3^3++n^3=(1+2++n)^2。
（2）运用数学归纳法证明：对于任意正整数n，都有1×3+2×3^2+3×3^3++n×3^n=(3^(n+1)1)/(2×31)。
2. 答案：（1）1^3+2^3+3^3++n^3=(1+2++n)^2（2）1×3+2×3^2+3×3^3++n×3^n=(3^(n+1)1)/(2×31)八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课通过讲解、例题和练习，让学生掌握了数学归纳法的基本知识和应用。
数学数学归纳法公开课教案高中
数学数学归纳法公开课教案高中数学归纳法公开课教案教学目标：1. 理解数学归纳法的基本概念和原理；2. 能够灵活运用数学归纳法证明数学命题；3. 锻炼学生的逻辑思维和数学推理能力。
教学内容：1. 导入（5分钟）通过一个简单的例子，引出数学归纳法的概念和应用场景。
例子：小明有一个塔，第一层有一个积木，第二层有两个积木，第三层有三个积木，依此类推。
现在要求计算塔的总积木数量，但是不知道有多少层。
怎么办？引导学生思考，并找到问题的规律和解决方法。
2. 数学归纳法介绍（15分钟）讲解数学归纳法的定义和基本原理。
数学归纳法是一种用于证明命题的数学方法，它包括两个步骤： - 基础步骤：证明当n等于某个固定的值时，命题成立；- 归纳步骤：假设当n=k时命题成立，然后证明当n=k+1时命题也成立。
通过这个步骤的迭代，我们可以证明对于所有正整数n，命题都成立。
3. 数学归纳法的应用（20分钟）介绍数学归纳法在数学问题中的应用，包括数列、不等式、图形等。
例子1：证明等差数列的通项公式例子2：证明2的n次方大于n的阶乘通过这些例子，学生可以更加深入地理解数学归纳法的思想和应用。
4. 练习（25分钟）学生分组进行练习，选择合适的题目进行推理和证明。
练习题1：证明 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n^2练习题2：证明 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + 3 + ... + n)^2提供指导和辅助，鼓励学生主动思考和交流。
5. 总结（10分钟）对数学归纳法的基本概念和应用进行总结。
强调数学归纳法在数学解题过程中的重要性和灵活运用。
提醒学生运用数学归纳法的注意事项，如确定基础步骤、归纳假设的合理性等。
鼓励学生在以后的学习中继续加强对数学归纳法的应用和理解。
6. 课后作业（5分钟）布置数学归纳法相关的练习题作为课后作业，巩固学生的学习成果。
数学数学归纳法公开课教案初中
数学数学归纳法公开课教案初中数学归纳法公开课教案初中教学目标:1. 了解数学归纳法的概念及其基本原理。
2. 掌握使用数学归纳法解决数学问题的方法。
3. 能够运用数学归纳法证明数学命题。
教学准备:1. 教师准备好课件及相关教学素材。
2. 确保教师对数学归纳法的原理和应用有较深入的理解。
教学过程:一、导入 (5分钟)1. 教师利用一个简单的数学问题来引入数学归纳法的概念，如：证明 1+2+3+...+n = n(n+1)/2。
2. 引导学生思考如何解决这个问题，提出使用数学归纳法的思路。
二、概念讲解 (10分钟)1. 教师简要介绍数学归纳法的基本概念和原理。
2. 强调归纳法的两个基本步骤：基础步骤和归纳步骤。
3. 通过具体的例子解释这两个步骤的含义和作用。
三、示例分析 (15分钟)1. 教师给出一个具体的数学问题，如：证明对于任意正整数 n，2n^2 + 3n + 1 是偶数。
2. 分步解析，使用数学归纳法证明这个命题。
- 基础步骤：当 n = 1 时，可以验证命题成立。
- 归纳步骤：假设命题对于某个正整数 k 成立，即 2k^2 + 3k + 1 是偶数，那么证明对于 k+1 也成立。
a) 证明 2(k+1)^2 + 3(k+1) + 1 是偶数。
b) 将表达式展开并化简，证明左边可以被 2 整除。
c) 利用归纳假设，得出右边也是偶数，完成证明。
四、练习提高 (20分钟)1. 学生分组，每组完成一组相关的数学归纳法练习题。
2. 学生互相讨论解题思路和步骤，并在黑板上汇总每组的解题过程和答案。
3. 教师对每个题目的解答进行点评和讲解，解答出现错误的地方进行纠正。
五、归纳法的应用 (10分钟)1. 教师介绍归纳法在数学中的广泛应用，如等差数列的求和公式，斐波那契数列等。
2. 引导学生思考如何利用归纳法解决其他数学问题，如递推关系式等。
六、拓展延伸 (10分钟)1. 教师为学生提供一些拓展的数学问题，鼓励学生运用归纳法解决。
高考数学复习选修系列13.3数学归纳法理市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
8.设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线相互平行，任意三
条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点个数，则f(4)＝________；
当n>54时，f(n)＝____________12_(n_＋(用1n)(表n－示2)).
4/92
思索辨析 判断以下结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)用数学归纳法证实问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立.( × ) (2)全部与正整数相关数学命题都必须用数学归纳法证实.( ×) (3)用数学归纳法证实问题时，归纳假设能够不用.( × ) (4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证实时，由n＝k到n＝k＋1时， 项数都增加了一项.( × ) (5)用数学归纳法证实等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝ 1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.( √ ) (6)用数学归纳法证实凸n边形内角和公式时，n0＝3.( √)
17/92
题型二 用数学归纳法证实不等式 例2 (·烟台模拟)等比数列{an}前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，点(n， Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)图象上. (1)求r值；
解答
21/92
(2)当 b＝2 时，记 bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，证明：对任意的 n∈N*，
7/92
3.在应用数学归纳法证实凸n边形对角线为 n(12n－3)条时，第一步检验n
等于
答案 解析
A.1
B.2
C.3
D.0
凸n边形边数最小时是三角形， 故第一步检验n＝3.
9/92
4.用数学归纳法证明 1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋2 n2，则当 n＝k＋1 时左端应 在 n＝k 的基础上加上 答案 解析
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情境导入
讲故事
从前有个财主，请来一位先生教儿子识字。 先生写一横，告诉他的儿子是“一”字；写两横，告诉 是个“二”字；写三横，告诉是个“三”字。学到这里,儿子 就告诉父亲说：“我已经会了，不用先生再教了。”于是， 财主很高兴，把教书先生给辞退了。 有一天，财主要请一位姓万的朋友，叫儿子写请帖。 可是老半天不见儿子写好，他就去催儿子。儿子抱怨说： “你不识字，不知道写字有多难。此人姓万，我手都写酸 了，才刚刚写完三千横！”
ak
1 k
,
当n=k+1时， 1
ak 1
1
a
k
a
k
1
k
1
1 k 1
k
归纳递推
既当n=k+1时，命题成立.
由(1)(2)知，an
1 n
(nN*)成立.（结论）
方法归纳
验证n=n0 时 命题成立
若n = k ( k ≥ n )0 时命题成 立 n=k+1时命题也成立
归纳奠基
归纳递推
3.数学归纳法证明命题的关键？ 在第二步推导中归纳假设要用到。
4.数学归纳法体现的核心思想？ 递推思想，用“有限”的推理，解决“无限”的问题。
布置作业：《课时训练》第19页 第1至10题
再见
归纳推理：
由部分到整体、由个别到一般的推理。
情境导入
问题： a n,对 若 a 1 1 ,于 a n 1 1 数 a n a n.问 列 a n ： ?
计算:
a1 1,
a2
1 2
,
a3
1 3
,
1 a4 = 4
猜想：
an
1 n
(nN*)
后面是否不成完立全？归纳法
验证:
(k1)2 242 2 0
2k2 (k1)2
证明目标
2k1(k1)2, 即nk1时, 命题成立。
由(1)(2)知, 当 n5时2n ， n2(nN*).
课堂小结
1.数学归纳法能够解决哪一类问题？ 用于证明某些与正整数有关的数学命题。
2.数学归纳法证明命题的步骤？ (1)证明当n取第一个值(初始值)时结论正确； (2)假设当n取k时结论正确，推导n取k的下一个 值时结论也正确.
a5
1 5
,
a6
1 6
,
a7
1, 7
•••••••••
逐一验证，不可能！
看看下面的动画对我们解决问题有什么启示？ 人体多米诺骨牌
课题探究
问：多米诺骨牌全部倒下，必须具备哪两个条件？ (1)第一块骨牌倒下； (2)前一块倒下必导致后一块倒下。
条件(2)给出了一个递推关系，若第K块倒下，则 相邻的第K+1块也倒下.
4.当n＝k+1时，此时左边比n=k时多了几项？
(2k+2)，(2k+3)
.
当n＝k+1时，左边=
1+2+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3).
巩固练习 用数学归纳法证明：
1 2 2 2 L 2 n 1 2 n 1 .(nN*)
1
对于 a n,数 若 a 1 列 1 ,a n 11 a n a n.求证a： n 1n (nN*).
1 (1 2k1) 2k1 1 =右边，
1 2
错因:没有用到假设！ 即当n=k+1时等式也成立。 根据(1)和(2)可知，等式对任何nN*成立。
能力提升 问题： 讨 论 2 n 与 n 2 的 大 小 （ n N *)
计 算 当 n = 1 ， 2 ， L , 8 时 2 n 与 n 2 的 值 ， 比 较 它 们 的 大 小 你能得到什么猜想？
证明:
(1)当n=1时，a1 (2)假设当n=k
1 =1= ,
命题成立（。 依据）
1 时，命题成立, 即
ak
1 k
,
当n=k+1时， 1
ak 1
1
a
k
a
k
1
k
1
ห้องสมุดไป่ตู้
1 k 1
k
归纳递推
既当n=k+1时，命题成立.
由(1)(2)知，an
1 n
(nN*)成立.（结论）
评讲练习
错解！ 用数学归纳法证明：
结论 命题对所有的正整数n ( n ≥ n 0)都成立。
两个步骤， 一个结论。
小组讨论
用数学归纳法证明：
1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1) (nN*)
1.当n＝1时，左边= 1+2+3
；
2.当n＝2时，左边= 1+2+3+4+5 .
3.当n＝k时，左边= 1+2+…+(2k+1).
1 2 2 2 L 2 n 1 2 n 1 (nN*)
证明：（1）当n=1时，左边＝1，右边＝1，等式成立。 （2）假设当n＝k (kN*)时，等式成立，即
1 2 2 2 L 2 k 1 2 k 1
当n=k+1时 等比数列求和！
左边= 1 2 2 2 L 2 k 1 2 k
2
求证：当 n5时2n ， n2(nN*).
证明：(1)当n5时，25 52, 命题成立。
(2)假n设 k(kN*,k5)时命， 题成大立于，?即2k k2.
当nk1时，
左边 2k12k 2 k2 2 2k 2 , 右边 （k1） 2,
2k2(k1)22k2(k22k1)k22k1
根据(1)和(2)，可知对所有的正 整数n，猜想都成立。
1
对于 a n,数 若 a 1 列 1 ,a n 11 a n a n.
求证：an
1 n
(nN*)
分析:
(1)当n=1时，aa11
11 1
1 1
,
正确。
(2)若
ak
1 k
ak1aa 5342 k151341211
两个步骤可推 出 n 取所有正整 数都成立！
1 a2 2
a3
1 3
a4
1 4
1
对于 a n,数 若 a 1 列 1 ,a n 11 a n a n.求证a： n 1n (nN*).
证明:
(1)当n=1时，a1 (2)假设当n=k
1 =1= ,
命题成立（。 依据）
1 时，命题成立, 即
理解新知
问题：
计算： 21 12, 22 22, 23 32, 25 52, 26 62, 27 72,
24 42, 28 82
猜想：当n5时， 2n n2恒成立？
用数学归纳法证明，初始值从 5取起.
注意：在第一步中的初始值不一定从1取起, 证 明应根据具体情况而定.
课题探究
多米诺骨牌游戏原理
通过有限个步骤的推理， 证n取所有正整数都成立
（1）第1块骨牌倒下。
(1)当n=1时，验证猜想正确。
（2）如果第k块倒下时， 一定能导致第k+1块也倒下。
(2)如果n=（ k kN时*）猜想成立
ak
1 k
一定能推出当n=k+1时猜想也成立ak1
k
1 1
根据(1)和(2)，可知不论有 多少个骨牌都能全部倒下。