定积分 第三节 定积分的换元法和分部积分法

由定积分的几何意义知， ②：由定积分的几何意义知，该积分值等 由定积分的几何意义知 于由 y = 1 − x 2 ，直线 y = 0, x = 0, x = 1 所 围图形的面积（见右图） 围图形的面积（见右图）.
y
y = 1 − x2
1 . 面积值为圆面积的 4 ∴ ∫0 1 − x dx =
2 1
1 1 , x ≥ 1, 2解 , x − 1 ≥ 0, ( ⇒ x f ( x − 1) = 1 + x − 1) e x−1 , x < 1 e x−1 , x − 1 < 0,
∫0 f ( x − 1)dx = ∫0 f ( x − 1)dx + ∫1 f ( x − 1)dx
xdx 1− x2
(
)
例2 计算 ∫e x ln xdx .
1
解
∫
e
1
1 e 2 x ln xdx = ∫ ln xdx 2 1
1 2 = x ln x 2
e 1
1 e 2 1 − ∫ x ⋅ dx 2 0 x
e 1
1 2 1 2 = e − x 2 4
1 2 = ( e + 1) 4
例3 计算 解
∫0
π2
4
sin xdx .
∫0
π2
4
sin xdx t = x , dx = 2tdt
x = 0, t = 0; x =
π
2 0
π2
4
,t =
π
2
2 ∫02 t sin tdt
π π
π
2 = −2[t cos t ]0 + 2 ∫02 cos tdt = −2 ∫ td (cos t )
2 = 2[sin t ]0 = 2
解
∫0 f ( x − 1)dxt = x − 1∫−1 f (t )dt 0 1 = ∫−1 f ( x )dx + ∫0 f ( x )dx
2 1
1 = ∫−1e dx + ∫0 dx x +1 1 x 0 = [e ]−1 + [ln(1 + x )]0
0 x 1
= 1 − e + ln 2
−1
b a a a
b
例1 计算 ∫0 arcsin xdx. 解 令 u = arcsinx, 则 du =
1 2
1 2
dv = dx,
∫0 arcsinxdx = [ xarcsinx] 0 − ∫0
1 2
dx , 2 1− x
v = x,
1 2
1 1 π 1 1 2 2 = ⋅ + ∫ d(1− x ) 2 0 2 6 2 1− x 1 3 π π 2 2 = = + − 1. + 1− x 12 12 2 0
2 1 2
= ∫0 e dx + ∫1
x −1
1
2
1 dx x
2
1 = ∫0 e d ( x − 1) + ∫1 dx x 1 2 x −1 1 = [e ]0 + [ln x ]1 = 1 − + ln 2 e
1 x −1
二、分部积分公式
v 设函数 u(x)、 (x)在区间[a, b]上具有连续
奇函数
2 2 x2 1 x (1 − 1 − x ) dx= 4∫ = 4∫0 dx 2 2 0 1+ 1− x 1 − (1 − x )
1
= 4∫0 (1 − 1 − x )dx = 4 − 4∫0
1 2
1
1 − x2dx
= 4 − π.
单位圆的面积
上连续, 在 , 上连续 例8 若f(x)在[0, 1]上连续, 证明
ϕ(t) 是
ϕ(t) ϕ′(t)的原函数 , 因此有
= F(b) − F(a) = F[ϕ(β)] − F[ϕ(α)]
ϕ(t) ϕ′(t)
ϕ(t) ϕ′(t)
说明: 说明:
， 1) 当β < α , 即区间换为[β ,α]时 定理 1 仍成立 .
2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 . 必需注意换元必换限 3) 换元公式也可反过来使用 , 即
0 0 a 0 a a
令x = −t
=
f (−x) = f (x)时 f (−x) = − f (x)时
例7
计算 ∫−1
−
1
2x2 + xcos x dx. 2 1+ 1− x
2
2x 1 xcos x 原式 = ∫ dx + ∫ 解 dx 2 2 −1 −1 1+ 1− x 1+ 1− x
1
偶函数
π
π
π
1 1 2 π = t + sin 2t = 2 2 0 4
注① 第一步是采用的换元（不定积分第二类换 第一步是采用的换元（
π
0
π
元法） 换元的同时必须换限。 元法），换元的同时必须换限。在计算∫ 2 cos 2tdt 时，我们采用了凑微分法，没有写出新变量， 我们采用了凑微分法，没有写出新变量， 所以没有换限. 所以没有换限.
例5. 计算
t 2 −1 , dx = t dt , 且 解: 令 t = 2x + 1, 则 x = 2 , 当x = 0时 t = 1; x = 4时 t = 3 . ,
∴ 原式 =
∫
t 2 −1 3 2 +2 t dt 1 t
1 3 2 = ∫ (t + 3) dt 21 3 1 13 = ( t + 3t ) 2 3 1
π
t =0 ， π t= ， 2
∫0
1
1 − x 2 dx = ∫02 1 − sin 2 t ⋅ cos tdt
= ∫02 cos 2 tdt
π
1 2 1 1 2 2 = ∫0 (1 + cos 2t )dt = ∫0 dt + ∫0 cos 2t ⋅ d (2t ) 2 2 2
(1) ∫ 2 f (sinx)dx=∫ 2 f (cosx)dx;
π π f (sinx)dx . (2) ∫ xf (sinx)dx= ∫ 0 0
π
π
π
0
0
证明
∫
π
2 0
f (sin x)dx = −∫π
π
2 0
(1)令 x = π − t , 则 2 0
2
2
π − t)]dt f [sin(
2
π
-1
o
1
x
4
例2 计算 ∫ 2 sin 2 x cos xdx .
4 0
π
解法1. 解法1.
∫
π
2 0
sin 2 x cos 4 xdx = ∫02 2 sin x cos5 xdx
π
换元： 换元 t = cos x ，dt = − sin xdx 换限： x = 0 ， t = 1 换限：
x=
例6. (1) 若 (2) 若 证:
a 0
偶倍奇零
则∫ f (x) dx = 2∫ f (x) dx
则∫ f (x) dx = 0
−a
a
a
a
−a a
0
∫−a f (x) dx = ∫−a f (x) dx + ∫0 f (x) dx
= ∫ f (−t)ห้องสมุดไป่ตู้d t + ∫ f (x) dx = ∫ [ f (−x) + f (x) ]dx
0 1
π
2
， t =0
5
原式＝ 原式 ∫ − 2t dt
1 1 = −2 t 6 = 6 1 3
0
.
解法2. 解法2.
∫
π
2 0
sin 2 x cos xdx
4
= ∫02 2 sin x cos5 xdx
= −2 ∫ 2 cos 5 xd ( cos x )
0
π
π
π
1 = −2 cos 6 6
第三节
上一节我们建立了积分学两类基本问题 之间的联系——微积分基本公式，利用这 微积分基本公式， 之间的联系 微积分基本公式 个公式计算定积分的关键是求出不定积分 ，而换元法和分部积分法是求不定积分的 两种基本方法， 两种基本方法，如果能把这两种方法直接 应用到定积分的计算， 应用到定积分的计算，相信定能使得定积 分的计算简化， 分的计算简化，下面我们就来建立定积分 的换元积分公式和分部积分公式。 的换元积分公式和分部积分公式。
x sin x π π sin x ∫0 1 + cos 2 xdx = 2 ∫0 1 + cos 2 xdx π π 1 = − ∫0 d (cos x ) 2 2 1 + cos x
π
=−
π
2
[arctan(cos x )]0
π
=
π2
4
1 , x ≥ 0, 2 例11 设f ( x ) = 1 + x 求∫0 f ( x − 1)dx e x , x < 0,
π π π π
= π ∫0 f (sin x)dx − ∫0 xf (sin x)dx
所以
π
π
π
∫0
π
xf (sin x)dx = π 2
∫0
f (sin x)dx .
x sin x dx . 例9 计算 ∫0 2 1 + cos x
π
解 积分区间为
[0,π ]，被积函数为 xf (sin x)
型，利用定积分公式⑥得 利用定积分公式⑥
π
=∫
π − t )]dt 2 f [sin( = ∫0 f (cos x)dx .
2
例8 若f(x)在[0, 1]上连续, 证明 上连续, 在 , 上连续
(1) ∫ 2 f (sin x)dx = ∫ 2 f (cos x)dx ; 0 0 (2) ∫0
π
π
π
2 证明 (2)令x=π−t. 因为 令 = .
3 e4
dx . x ln x(1 − ln x)
3 e4
解
原式 = ∫ e
d(ln x) ln x(1 − ln x)
3 e4
=∫ e
3 e4
d(ln x) = 2∫ e ln x (1 − ln x)
d ln x 1 − ( ln x)2
= 2 arcsin( ln x )
(
)
3 e4
e
π = . 6
2 1 x = 0 3
由此可见， 由此可见，定积分也可以象不定积分一 样进行换元， 样进行换元，所不同的是不定积分换元时要 回代原积分变量， 回代原积分变量，而对定积分则只需将其上 下限换成新变量的上、 、下限换成新变量的上、下限即可计算出定 积分，而不必回代原积分变量 积分，
例4
计算∫ e
导数， 导数，则有 ∫a udv = [uv] − ∫a vdu.
b b a b
定积分的分部积分公式 推导
′ (uv) = u′v + uv′,
b a
∫
b
a
(uv)′dx = ( uv) ,
b
( uv) a = ∫a u′vdx + ∫a uv′dx,
b b b
∴ ∫ udv = ( uv) − ∫ vdu.
ϕ(t) ϕ′(t)
或配元
= ∫ f (x) d x (令x = ϕ(t) )
a
b
ϕ(t) ϕ′(t)
ϕ(t) dϕ(t)
配元不换限
3.例题 3.例题 例1 . 解 计算
∫0
1
1 − x 2 dx
换元： 换元： x = sin t ， dx = cos tdt ； 换限： 换限：
x = 0，
x = 1，
π
0
xf (sin x)dx = π
∫0
π
f (sin x)dx .
∫0 xf (sin x)dx = −∫π (π − t) f [sin(π − t)]dt
= ∫0 (π − t) f [sin(π − t)]dt = ∫0 (π − t) f (sin t)dt = π ∫0 f (sin t)dt − ∫0 tf (sin t)dt
sin t 1 dt ，求 ∫ xf ( x )dx . 例5 设 f ( x ) = ∫1 0 t sin x 2 2 sin x 2 解 f ′( x ) = 2 ⋅ 2 x = x x 1 2 2 2 1x 1 1 x = x f ( x ) − ∫0 2 df ( x ) ∫0 xf ( x )dx = ∫0 f ( x )d 2 2 0 2 f (1) 1 x = − ∫0 f ′( x )dx 2 2 2 2 1 x 2 sin x 1 2 = − ∫0 dx = − ∫0 x sin x dx 2 x 1 1 1 1 2 2 2 1 = − ∫0 sin x dx = [cos x ]0 = (cos1 − 1) 2 2 2
第三节
定积分的换元法和分部积分法
一、定积分的换元法 二、分部积分法 三、小结
一、定积分的换元法
定理1. 定理 设函数 2) 在[α , β ] 上 则 单值函数 满足: 满足 1) ϕ(t) ∈C1[α , β ], ϕ(α) = a, ϕ(β ) = b;
ϕ(t) ϕ′(t)
所证等式两边被积函数都连续, 证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 , 且它们的原函数也存在 . 则
π
例4 计算 解
∫
1
0
ln(1 + x) dx. 2 (2 + x)
∫0
1
1 ln(1 + x) 1 dx = −∫0 ln(1 + x)d 2 (2 + x) 2+ x
1
1 1 ln(1 + x) = − + ∫0 2 + x d ln(1 + x) 2 + x 0
1 1 ln2 1 1 1 − +∫ ⋅ dx =− 1+ x 2 + x 0 2 + x 1+ x 3 ln2 5 1 =− + [ln(1 + x) − ln(2 + x)]0 = ln2 − ln3. 3 3