概率论与数理统计练习题2

1

一、填空题（每题4分，共20分）

1、假设事件A 和B 满足1)(=A B P ，则A 和B 的关系是__B A ? _____________。

2、设随机变量)(~λπX ，且{}{},21===X P X P 则

{}==k X P ____)

... ,1,0( !22

=-k k e k _________。

3、设X 服从参数为1的指数分布，则

=)(2

X E ____2_______。 4、设),1,0(~),2,0(~N Y N X 且X 与Y 相互独立，则

~Y X Z -=___)3,0(N ________。

5、),16,1(~),5,1(~N Y N X 且X 与Y 相互独立，令12--=Y X Z ，则

=YZ

ρ__32

-

__。

二、选择题（每题4分，共20分）

1、将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ B ）

A 、323

B 、83

C 、161

D 、

81

2、随机变量X 和Y 的,0=XY ρ则下列结论不正确的是（ B ） A 、)()()(Y D X D Y X D +=- B 、a X +与b Y -必相互独立 C 、X 与Y 可能服从二维均匀分布 D 、)()()(Y E X E XY E =

3、样本

n

X X X ,,,21Λ来自总体X ，,)(,)(2

σμ==X D X E 则有（ B ）

A 、2

i X )1(n i ≤≤都是μ的无偏估计 B 、X 是μ的无偏估计

C 、)1(2n i X i ≤≤是2σ的无偏估计

D 、2X 是2σ的无偏估

计

4、设n X X X ,,,21Λ来自正态总体),(2σμN 的样本，其中μ已知，2

σ

未知，则下列不是统计量的是（C ） A 、i

n

i X ≤≤1min B 、μ-X C 、∑=n

i i

X 1σ D 、1X X n -

5、在假设检验中，检验水平α的意义是（ A ） A 、原假设0H 成立，经检验被拒绝的概率 B 、原假设0H 不成立，经检验被拒绝的概率 C 、原假设0H 成立，经检验不能拒绝的概率

D 、原假设0H 不成立，经检验不能拒绝的概率

三、计算题（共28分）

1、已知离散型随机变量的分布律为

求：X 的分布函数，（2）)(X D 。（5分）

{}{}{}{}{}{}????

??

?≥==+=+=<≤==+=<≤==<= 3 132 132

0.5 2121 2.011

0)(x X P X P X p x X P X P x X P x x F

6.3)()()(22=-=X E X E X D

2、已知连续型随机变量X 的分布函数为

),(,arctan )(∞-∞∈+=x x B A x F ，求（1）常数A 和B ，（2）)11(<<-X p ，

（3）概率密度)(x f 。（8分） 解（1）因为

.1)( lim ,0)(lim x ==∞

→-∞

→X F x F x

所以

.

12)arctan (lim ,02

)arctan (lim =+

=+=-

=+∞

→-∞

→B A x B A B A x B A x x π

π

解得

π1

21=

=B A （2）

21)4121()4121()1()1()11(=

--+=--=<<-F F X p （3）+∞<<∞-+=

'=x x x F x f ,)1(1

)()(2

π

3、设随机变量321,,X X X 相互独立，其中21],6,0[~X U X 服从21

=

λ的指

数分布，)3(~3πX ，计算)32(321X X X D +-。（5分）

解：因为随机变量321,,X X X 相互独立，所以随机变量3213,2,X X X -也相互独立。

)32(321X X X D +-)(9)(4)(321X D X D X D ++=

又由于]6,0[~1U X ，所以

12)06()(2

1-=

X D 由于2X 服从

21

=

λ的指数分布，所以4)(2=X D

由于)3(~3πX ，所以3)(3=X D

)32(321X X X D +-=12)06(2

-+463944=?+?

4、设n X X X Λ21,是总体X 的样本，求X 的数学期望μ和方差2

σ的矩

估计量。（5分）

解：2

222)]([)()(,)(μσμ+=+==X E X D X E X E

???????

=+=∑∑==n

i i n i i X n X n 1

222111μσμ

解得：2212

11)(1?,1?S

n n X X n X X n n i i n i i -=-===∑∑==σμ

5、设随机变量X 服从)1,0(N 分布，求随机变量X

e Y =的概率密度函数。

（5分）

解

2

2

21)(x X e

x f -=

π

{}{}{}

{}y e

Lny X P y

e P y Y P y F y y

f y Y P y F y Lny Lny

X Y Y Y 1.

21 )(,00)(,0)(,02)(2

1

-∞

-?

=≤=≤=≤=>==≤=≤π

所以

??

?

??≤>=-0 00 21)(2)(21y y e y f Lny Y π

四、应用题（共32分）

1、 1、已知在10只晶体管中有2只次品，在其中任取两次，每次任取一只，不放回抽样。求下列事件的概率：（1）两只都是正品；（2）一只正品，一只次品。（8分）

解：设i A 为事件“第i 次取出的是正品”（=i 1，2 ），

（1）

452897108)()()(12121=?=

=A A P A P A A P

（2）)()()()()()()(12112121212121A A P A P A A P A P A A P A A P A A A A P +=+=?

=45169810292108=

?+?

2、已知随机变量),(Y X 的分布律为

问：（1）当βα,为何值时，X 和Y 相互独立。（2）求{}12>=Y X P 。（8分） （1）

)

181

(31181),91(3191 ,,3..2232..222

+=+===βαp p p p p p ，解得

91

,9

2

=

=βα。经验证.3,2,1 ,2,1 ,..===j i p p p j i ij 成立

所以当

91

,9

2=

=βα时，X 和Y 相互独立。

（2）由于X 和Y 相互独立，可得 {}12>=Y X P ={}31

2=

=X P

3、某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为(%)

设测定值总体服从正态分布，但参数均未知。问在01.0=α下能否接受假设：这批矿砂的镍含量的均值为。（6041.4)4(005.0=t ）（8分） 按题意需检验

0100: 25.3:μμμμ≠==H H 取 01.0=α，检验的拒绝域为

)

1(2

0-≥-=

n t n

S

X t αμ

6041.4)4(,01304.0,252.3,5005.0====t S X n ，算得

t

n

S

X t ,6041.4343.00<=-=

μ未落在拒绝域中，接受0H 。认为这批

矿砂的镍含量为。

4、若有n 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁，用他们去试开门上的锁。设取到每只钥匙是等可能的，若把每把钥匙试开一次后放回。求试开次数X 的数学期望。（8分）

引进随机变量K

，，次打开前，次没打开前32i 1-i 01-i ,1=?

??=i X 11=X

n n n n n n n p X E X E X E X E n n

i n

i i n

i =?

?

????-++-+-+=+=+=+=-===∑∑∑ )1()1()1

(1 1 )

(1 )

(122

2

22i 1K ）（）（

2

1、（8分）袋中有5个球，分别编号1，2，3，4，5， 从其中任取3个球，求取出的3个球中最大号码X 的概率分布、数学期望、方差与标准差.

2、（8分）设随机变量)1,0(~N X ，求122+=X Y 的概率密度.

3、（12分）设随机变量X 和Y 同分布，X 的概率密度为

其他2

0 0

83)(2<

（1）已知事件}{a X A >=和}{a Y B >=独立，且4

3

)(=B A P Y ，求a ； （2）求

21

X

的数学期望. 4、（10分）设箱中有5件产品，其中三件是优质品，从该箱中任取2件，以X 表示所取得2件产品中的优质品数，Y 表示3件剩余产品中的优质品件数， （1）求),(Y X 的概率分布；（2）求),cov(Y X

5、（10分）设总体X 的密度函数为?????≤>=+1,01

,),(1x x x x f βββ，其中未知参数1>β，

n X X X ,,,21Λ为取自总体X 的简单随机样本，求参数β的矩估计量和极大似然估计量.

3

1.设A 、B 为随机事件，且 ，则 等于（ B ）

至少发生一个的事件的对立事件为一个也不发生，那么又因为B 包含A ，那么答案应该是B A. B. C. D.

2.设A 与B 满足P （A ）=,P (B )=,P (B |A )=,则P (A ∪B )=（ A ）

设连续型随机变量X 的分布函数是F （x ）(-∞

4.设随机变量X 的概率密度为 ，则常数a ＝（ C ） 根据R 上的积分等于1可以求出

5.设任意二维随机变量（X ，Y ）的两个边缘概率密度函数分别为f X (x )和f Y (y )，则以下结论正

确的是（ A ）根据联合概率密度的性质，即规范性 A. B. C. D.

6.设随机变量X 和Y 独立同分布，X ~N (μ,σ2)，则（ B ）根据方差的性质D(2X+Y)=4D(X)+D(Y)=5…

~N(2μ,2σ2) ~N(μ,5σ2)

+2Y~N(3μ,3σ2) ~N(3μ,5σ2)

7.设随机变量X和Y相互独立，它们的分布律分别为，

则概率P(X≠Y)=（C）

8.设E(X2)=8，D(X)=4,则E(2X)=（B ）

9.对任意两个随机变量X和Y，由D（X＋Y）＝D(X)＋D(Y)可以推断（B ）

和Y不相关和Y相互独立

和Y的相关系数等于-1 （XY）＝D(X)D(Y)

10.假设检验时，若增加样本容量，则犯两类错误的概率（）

A.不变

B.都减小

C.都增大

D.一个增大一个减小

二、填空题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.某地区成年人患结核病的概率为，患高血压的概率为.设这两种病的发生是相互独立的，则该地区内任一成年人同时患有这两种病的概率为______.

12.设P(A)=,P(A-B)=,则P( A)=______.

13.设P(A)=，P(B)=，若A与B独立，则=______.

14.独立抛掷硬币3次，则3次均出现正面的概率是______.

15.若X服从参数为λ＝1的泊松分布，则P{X=0}＝______.

16.设随机变量X～N（0，1），Φ(x)为其分布函数，已知P{X>1}=，则Φ(1)＝______.

17.已知二维随机变量(X,Y)的分布律为

则P(X≤0,Y=2)＝______.

18.设X~N(0,1)，Y~N(1,1)，且X与Y相互独立，则P{X+Y≤1}＝______.

19.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，则当y>0时，随机变量Y的概率密度f Y(y)的表达式为______.

20.设随机变量X~B(3,，且Y=X2，则P{Y=4}=______.

21.设随机变量X，Y相互独立，且X~χ2(n1)，Y~χ2(n2)，则随机变量~______.

22.设总体X服从［-a，a］上的均匀分布(a>0)，x1，x2，…，x n为其样本，且，则E( )=___ ___.

23.设总体X的分布律为

其中p为未知参数，且x1，x2，…，x n为其样本，则p的矩估计=______.

24.设总体X~N(μ,σ2)(σ>0)，x1,x2,x3为来自该总体的样本，若是参数μ无偏估计，则常数a

＝______.

25.设总体X~N(μ,σ2)(σ>0)，x1,x2,…,x n为来自该总体的样本，其中σ2未知.对假设检验问题H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0，应采用的检验统计量为______.

三、计算题（本大题8分）

26.已知投资一项目的收益率R是一随机变量，其分布为：

四、证明题（本大题8分）

27.设X1,X2,…X n是来自总体X的样本，且E(X)=μ,D(X)=σ2,证明是σ2的无偏估计量.

五、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）

28.设随机变量X的分布律为

XY 29设),(Y X 是二维随机变量，X 的边缘概率密度为其它1

0 03)(2<

??=x x x f X ，在给定

x X =（10<

??=0

3)|(32|，（1）求),(Y X 的概率密度 （2）求>()P X Y

六、应用题（本大题10分）

30.某互联网站有10000个相互独立的用户，已知每个用户在平时任一时刻访问该网站的概

率为，求在任一时刻有2100个以上的用户访问该网站的概率.(取Φ=.

4

一 、填空题（本大题共7小题，每题3分，共21分）

1、已知4/1)()()(===C P B P A P ，0)()(==BC P AB P ，8/1)(=AC P ，则

=??)A (C B P 5/8 ；

2、10张彩票中有5张是有奖彩票。从中任意抽取5张，其中至少有两张中奖的

概率为126113

C C C C 1510

45155105505或C C --；

3、设离散型随机变量X 的概率分布为

2

14181

812,1,0,1，，，-P X ，则)23

1(≤≤X P = 1/4 ；

4、假设某潜在震源区年地震发生数X 服从参数为2=λ的泊松分布，则未来一

5、设随机变量X 服从区间()b a ,上的均匀分布，且()3=X E ，()3

4

=

X D ，则a = 1 与b = 5 ；

6、 设A 、B 是两事件，如果满足等式P(AB)=P(A)P(B),则称事件A 、B 相互独立 ；

7、设n 21,,,X X X Λ为来自于总体),(~2σμN X 的简单随机样本，样本均值

∑==n i i X n X 11，样本方差22

111n i

i S X X n ==--?（）

~1)-t(n .

二、单项选择题（本大题共7小题，每题3分，共21分）

1、 一学生接连参加同一资格证的两次考试。第一次及格的概率为1/2.如果第一次及格那么他第二次考试及格的概率也为1/2。如果第一次不及格那么他第二次及格的概率为1/4.如果两次中至少有一次及格他就能取得该资格证，则他取得该资格证的概率为 ( C )

(A) 1/8 ； (B) 3/8； (C) 5/8； (D) 7/8.

2、设随机变量X 的概率分布律为Λ,2,1,3}{===k k X P k λ，则参数=λ（ C ） (A) 0>λ的任意实数； (B) 4=λ； (C) 41=

λ； (D) 2

1=λ. 3、二维随机变量),(Y X 的联合分布律为1

.03

.02

.01

2.01

.01.00101-Y

X

则)1(=+Y X P =（C ）

(A) ； (B) ； (C) ； (D) 1.

4、设()2,~σμN X ，b aX Y -=，其中a 、b 为常数，且0≠a ，则~Y （D ）

()A .()222,

b a b a N +-σμ； ()B .(

)

222,b a b a N -+σμ； ()C .()2

2,

σμa b a N +； ()D .()

22,

σμa b a N -.

5、对两台仪器进行独立测试，已知第一台仪器发生故障的概率为1p ，第二台仪器发生故障

的概率为2p ．令X 表示测试中发生故障的仪器数，则()=X E （A ）

()A .21p p +； ()B .()()122111p p p p -+-； ()C .()211p p -+； ()D .21p p .

6、设Y X ,ρ为随机变量）（Y ,X 的相关系数，则“0,=Y X ρ”是“Y ,X 相互独立”的（A ）

()A .必要条件，但非充分条件； ()B .充分条件，但非必要条件； ()C .充分必要条件； ()D .既非充分条件，也非必要条件．

7、设总体X 服从参数10=λ的泊松（Poisson ）分布，现从该总体中随机选出容量为20一

个样本，则该样本的样本均值的方差为（ B ）

()A . 1； ()B . 5.0； ()C . 5； ()D . 50． 三、（本大题共6小题，每题7分，共42分）

1、某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的。根据以往的记录

设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。

(1)在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；

(2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，试分析此次品出自何厂

的概率最大。

解：设A =“取到的一只元件是次品”，i B =“所取到的产品是由第i 家工厂提供的”，i=1,2,3. 则

12312015080005002 001 ().,().,().,().,().,P B P B P B P A B P A B =====

3003()..P A B = ……………………（2分） 于是(1) 由全概率公式得

11223300125()()()()()()()..P A P A B P B P A B P B P A B P B =++=

……………………（2分） (2) 由贝叶斯公式得

111002015

02400125

()()

..().,()

.P A B P B P B A P A ′=

=

=

222064()()

().,()

P A B P B P B A P A =

= 333012()()

()..()

P A B P B P B A P A =

=

故这只次品来自于第二家工厂的概率最大。……………………（3分）

2、设随机变量X 具有概率密度0323420,,(),,,

.kx x x f x x ì??????=-＃í??????其它

(1)确定常数k ；（2）求X 的分布函数()F x ；（3）求7

12

().P X

解：,1d )()1(?

∞

∞

-=x x f 由

,1d )22(d 3

04

3=-+??x x x kx 得

1

6

.k =解之得…（2分） 126()k X =由知的概率密度03623420,,

(),,,

.x x x f x x ì?????????=-＃í?????????其它()()d x

F x f x x -?

=

ò

由得

202

3

03000003036

122343234624

1414,,,,d ,,,,

()d ()d ,,

,,,.

,

.

x x x x x x x x x

F x x x x

x x x x x x x ìì

镲==眄镲镲+-?镲-+-?镲镲镲镲33镲???ò蝌…（3分）

(3) 7741112248

{}()()P X F F

-= ……（2分）

4、盒子里有3只红球，2只白球，在其中不放回任取2次，每次任取1只。定

义随机变量???=，第一次取得白球；，第一次取得红球，10X ，???=，第二次取得白球；，第二次取得红球，

10Y ，求

（1）二维随机变量),(Y X 的联合分布律；（2）求}{Y X P =；（3）Y X ,是否相互独立。

解：（1）1034253}0,0{=?===Y X P ，103

4352}0,1{=?===Y X P

1034253}1,0{=?===Y X P ，10

1

4152}1,1{=?===Y X P ………（3分）

（2）4.0}1,1{}0,0{)(===+====Y X P Y X P Y X

P ………………（3分）

（3）因为}0{}0{3.0}0,0{==≠===Y P X P Y X P ，Y X ,不相互独立。（1分）

5、设随机变量X 和Y 具有联合概率密度??

?≤≤=其它

,

0,

6),(2x y x y x f ,

求边缘概率密度f X (x)、f Y (y)和条件概率密度|(|)X Y f x y .

解：?

?∞

∞

-????

?≤≤-===其它

,

010),

(66),()(22x

x X x x x dy dy y x f x f …………（2分）

?

?∞

∞

-???

??≤≤-===其它

,

010),(66),()(y y

Y y y y dx dx y x f y f …………（2分）

对01y <<

，0

|(,)(|)(),X Y Y y x f x y f x y f y ì??<

=í?????其它…………（3分）

6、设随机变量X 和Y 相互独立，概率密度分别为?

??≤>=-.0,0,

0,)(x x e x f x X 和

??

?≤>=-.

0,0,

0,2)(2y y e y f y Y 分别求（1）},max{Y X U = ；（2）},min{V Y X =的概率密度。 解：X 和Y 的分布函数分别为???≤>-=-.0,0,0,1)(x x e x F x X 和???

≤>-=-.

0,0,0,1)(2y y e y F y

Y ……（3分）

（1）},max{U Y X =，其分布函数为???≤>--=--.

0,0,0),1)(1()(2max z z e e z F z z ,

所以概率密度为???≤>-+=---.

0,0,

0,32)(32max z z e e e z f z z z …………………………………（2分）

（2）},min{V Y X =，其分布函数为???≤>-=-.

0,0,

0,1)(3min z z e z F z ,

所以概率密度为???≤>=-.

0,0,

0,3)(3min z z e z f z ………………………………………………（2分）

四、

1、二维随机变量),(Y X 的具有联合概率密度函数

???<<<<=.,01

0,0,2),(其它x x y y x f

求(),(),(),(,)E X D X E Y Cov X Y .

解：32

2)(0

10==??x

dy xdx X E ……………（2分）

1

2

412918

()x D X x dx dy =

-=蝌

……………（2分） 1

123

()x

E Y dx ydy =

=

蝌

……………（2

分）

1

36

(,)()()()COV X Y E XY E X E Y =-=

……………（2分） 2、设),,,(21n X X X Λ为来自于总体X 的一个样本，总体X 密度函数为

??

???≤>=-.0,0,

0,1);(x x e x f x

θ

θ

θ，其中0θ>为未知参数，试求θ的矩估计与极大似然估计量。 解：（1）θθ

θμθ===

=?

?

∞+-

∞+∞

-0

11

);()(dx e x dx x xf X E x

,解得1μθ=，以1A 代替1μ得，

θ的矩估计是X θ∧

=。………………………………………… （3分）

（2）作似然函数

?

????>∑=?????>===--==∏∏.

00

,,,,1.,00,,,,1);()(21121111，其他其他n x n

n x n i n

i i x x x e x x x e x f L n

i i

i ΛΛθθθθθθ， ……………（2分）

当0,,,21>n x x x Λ时,

∑=

=-

n

i i

x n e

L 1

1

1

)(θθ

θ,取对数得∑=-

-=n

i i

x n L 1

1

ln )(ln θ

θθ,

求导

∑=+-=n

i i

x

n d L d 1

21

)(ln θ

θθθ, ……………（2分）

令其等于零解得x =θ

?。 ……………（1分）