2015上海春考数学试卷及答案
2015年上海市春季高考数学模拟试卷六
2015年上海市春季高考模拟试卷六一、填空题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1、不等式304xx -≤+的解集是___________. 2、在ABC ∆中，角,,C A B 满足sin :sin :sin 1:2:7A B C =，则最大的角等于________. 3、若复数z 满足()2z i z =-（i 是虚数单位），则=z ____________. 4、已知全集U R =,集合{}{}0,,13,A xx a x RBx x x R =+≥∈=-≤∈，若()[]2,4U C A B =-,则实数a 的取值范围是___________. 5、从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者，则甲被选中的概率是__________. 6、设直线1:20l ax y +=的方向向量是1d ，直线()2:140l x a y +++=的法向量是2n ，若1d 与2n 平行，则a =_________.7、若圆锥的侧面积为3π，底面积为π，则该圆锥的体积为__________. 8、若不等式101x x a>-+对任意x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围是________.9、若抛物线22y px =的焦点与双曲线222x y -=的右焦点重合，则p =_________.10、设函数()()[)()36log 1,6,3,,6x x x f x x -⎧-+∈+∞⎪=⎨∈-∞⎪⎩的反函数为()1f x -，若119f a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()4f a +=__________. 11、设()8,a Rx a ∈-的二项展开式中含5x 项的系数为7，则()2l i m nn a a a →∞+++=_________.12、已知定义域为R 的函数()1,111,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=有3个不同的实数根123,,x x x ，则222123x x x ++=____________.二、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）13、设,a b R ∈，集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -=（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 14、已知z 是复数，21,2z i i+=+-则z =（ ） A . 1i - B . 2i + C . 12i - D . 3i + 15、不等式11xx <+的解集是（ ） A . {}10x x -<< B . {},1x x R x ∈≠-且 C . R D . {}01x x << 16.已知,,i j k 表示共面的三个单位向量, i j ⊥,那么()()i k j k +⋅+的取值范围是（ ） A . []3,3- B . []2,2- C . 21,21⎡⎤-+⎣⎦ D . 12,12⎡⎤-+⎣⎦17、已知函数()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线23x π=对称，则ϕ的最小正值等于（ ） A . 8π B . 4π C . 3π D . 2π18、已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m β⊥的是（ ）.A m αβα⊥⊂且 .B m αβα⊥且 .C m n n β⊥且 .D m n αβ⊥且19、5.甲、乙两个小组，甲组有3名男生2名女生，乙组有3名女生2名男生，从甲、乙两组中各选出3名同学，则选出的6人中恰有1名男生的概率等于（ ）A . 3100B . 4100C . 5100D . 610020、已知直线x y a +=与圆224x y +=交于,B A 两点，且OA OB OA OB +=-（其中O为坐标原点），则实数a 等于（ ）.A 2 .B 2- .C 22-或 .D 66-或21、已知曲线210x y ++=与双曲线2221(0)y x b b-=>的渐近线相切，则此双曲线的焦距等于（ ）A . 22B . 23C . 4D . 2522、对于定义在实数集R 上的函数()f x ,若()f x 与(1)f x +都是偶函数，则（ ） A .()f x 是奇函数 B .(1)f x -是奇函数 C .(2)f x +是偶函数 D .(2)f x +是奇函数23、在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，二面角11B AA C --的大小等于060，B 到面1AC 的距离等于3，1C 到面1AB 的距离等于23，则直线1BC 与直线1AB 所成角的正切值等于（ ） A .7 B . 6 C . 5 D . 224、对于函数()f x ，若存在区间[],A m n =，使得(){},y y f x x A A =∈=,则称函数()f x 为“可等域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间”.给出下列4个函数：①()sin 2x f x π⎛⎫=⎪⎝⎭；②()221f x x =-；③()12x f x =-；④()()2log 22f x x =-. 其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（ ） .A ①②③ .B ②③ .C ①③ .D ②③④ 三、解答题25、（本题满分7分）设{}{}2|8150,|10A x x x B x ax =-+==-=.（1）若15a =，试判断集合A 与集合B 的关系； （2）若B A ⊆，求实数a 组成的集合C .26、（本题满分7分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量()2s i n ,2c o s m B B = ，()3cos ,cos n B B =-，且1m n ⋅=-.（1）求角B ；（2）若2b =，求ABC ∆面积的最大值.27、（本题满分8分） 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2,22PA AB AD ===，求 （1）PCD ∆的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成角的大小. 28、（本题满分13分） 在数列{}n a 中，112a =-，()*1212,n n a a n n n N -=--≥∈，设n n b a n =+. （1）证明：数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n nb 的前n 项和n T ； 29、（本题满分12分）抛物线()2:20C y px p =>的焦点恰是椭圆22143x y +=的一个焦点，过点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的直线与抛物线C 交于点,A B .（1）求抛物线C 的方程；（2）O 是坐标原点，求AOB ∆的面积的最小值； （3）O 是坐标原点，证明：OA OB ⋅为定值.PA BCDE30、（本题满分13分）设a 是实数，函数()42x xf x a=+-()x R ∈（1）求证：函数()f x 不是奇函数；（2）当0a ≤时，求满足()2f x a >的x 取值范围；（3）求函数()y f x =的值域（a 表示）. 31、（本题满分18分）设()(),0P a b a b ⋅≠、(),2R a 为坐标平面xoy 上的点，直线OR （O 为坐标原点）与抛物线24y x ab=交于点Q (异于O ). （1）若对任意0ab ≠，点Q 在抛物线()210y mx m =+≠上，试问当m 为何值时，点P 在某一圆上，并求出该圆方程M ；（2）若点()(,)0P a b ab ≠在椭圆2241x y +=上，试问：点Q 能否在某一双曲线上，若能，求出该双曲线方程，若不能，说明理由；（3）对（1）中点P 所在圆方程M ，设A 、B 是圆M 上两点，且满足1OA OB ⋅=，试问：是否存在一个定圆S ，使直线AB 恒与圆S 相切.2015年春季高考模拟试卷2015年春季高考模拟试卷六参考答案1、()[),43,-∞-+∞；2、23π；3、2；4、(),4-∞-；5、12；6、23-；7、223π；8、()2,2-；9、4；10、2-；11、13-；12、5； 13-17、CABDD 18-24CACDC AB25、（1）由28150x x -+=得3x =或5x =，所以{}3,5A =.若15a =，得1105x -=，即5x =，所以{}5B =，故B A Ü. （2）因为{}3,5A =，又B A ⊆.①当B =∅时，则方程10ax -=无解，则0a =； ②当B ≠∅时，则0a ≠，由10ax -=，得1x a =，所以13a =或15a =，即13a =或15a = 故集合11035C ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，，.26、（1）【3π】（2）【 3】 27、（1）【23】（2）【 4π】28、（1）略（2）【222n n n T +=-】29、（1）【24y x =】（2）【2】（3）【3-】 30、（略）31、解：（1）222,4y x a aQ b b y xab ⎧=⎪⎪⎛⎫⇒⎨⎪⎝⎭⎪=⎪⎩， 代入22211a y mx m b b ⎛⎫=+∴=+ ⎪⎝⎭2220ma b b ⇒+-=当1m =时，点 (,)P a b 在圆:M ()2211x y +-=上（2）(),P a b 在椭圆2241x y +=上，即()2221a b += ∴可设1cos ,sin 2a b θθ==又2,a Q b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，于是2Q Q a x b y b ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩222222242cos sin sin Q Q a y mx m m b b θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 222164cos 16sin sin m θθθ=-=（令4m =）∴点Q 在双曲线22416y x -=上 （3）圆M 的方程为()2211x y +-=设()()1122:,,,,,AB x ky A x y B x y λ=+由1OA OB ⋅=()()2222222211221122121111221x y x y y y y y y y +⋅+=--+⋅--+=⋅=⇒1214y y = 又()22111x y x ky ⎧+-=⎪⎨=+⎪⎩ ()()2221210k y k y λλ⇒++-+=，21222111421y y k k λλ∴==⇒=++又原点O 到直线AB 距离21d k λ=+ 12d ∴=，即原点O 到直线AB 的距离恒为12∴直线AB 恒与圆221:4S x y +=相切.。
2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学答案(上海卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）一、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.1、设全集U R =．若集合{}1,2,3,4A =，{}23x x B =≤≤，则U A B =ð ． 【答案】{}1,4【解析】因为{|32}U C B x x x =><或，所以{4,1}U A C B =【考点定位】集合运算2、若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ． 【答案】1142i +【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则113()1412142a bi a bi i ab z i ++-=+⇒==⇒=+且【考点定位】复数相等，共轭复数 3、若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= ． 【答案】16【解析】由题意得：121223233521,05,21516.c x y c x y c c =+=⨯+⨯==⋅+=-=-= 【考点定位】线性方程组的增广矩阵4、若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为163，则a = ． 【答案】4 【解析】2331636444a a a a ⋅=⇒=⇒= 【考点定位】正三棱柱的体积5、抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ． 【答案】2【考点定位】抛物线定义6、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ．【答案】3π【解析】由题意得：1:(2)222rl h r l h ππ⋅=⇒=⇒母线与轴的夹角为3π 【考点定位】圆锥轴截面7、方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ． 【答案】2【考点定位】解指对数不等式8、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）． 【答案】120【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：55961266120.C C -=-= 【考点定位】排列组合9、已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ．若1C 的渐近线方程为3y x =±，则2C 的渐近线方程为 ．【答案】32y x =±【考点定位】双曲线渐近线10、设()1f x -为()222x x f x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 ． 【答案】4【解析】由题意得：2()22x xf x -=+在[0,2]上单调递增，值域为1[,2]4，所以()1f x -在1[,2]4上单调递增，因此()()1y f x f x -=+在1[,2]4上单调递增，其最大值为1(2)(2)22 4.f f -+=+=【考点定位】反函数性质11、在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）． 【答案】45【考点定位】二项展开式12、赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12ξξE -E =（元）． 【答案】0.213、已知函数()sin f x x =．若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足1206m x x x π≤<<⋅⋅⋅<≤，且 ()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=（2m ≥，m *∈N ），则m 的最小值 为 ． 【答案】8【考点定位】三角函数性质14、在锐角三角形C AB 中，1tan 2A =，D 为边CB 上的点，D ∆AB 与CD ∆A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DFC ⊥A 于F ，则D DF E⋅= ． 【答案】1615-【考点定位】向量数量积，解三角形二、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15、设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 【答案】B【考点定位】复数概念，充要关系16、已知点A 的坐标为()43,1，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ） A ．332 B ．532 C ．112D ．132【答案】D 【解析】133313(cossin )(43)()332222OB OA i i i i ππ=⋅+=+⋅+=+，即点B 的纵坐标为132【考点定位】复数几何意义17、记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）A ．方程①有实根，且②有实根B ．方程①有实根，且②无实根C ．方程①无实根，且②有实根D ．方程①无实根，且②无实根 【答案】B【解析】当方程①有实根，且②无实根时，22124,8a a ≥<，从而4222321816,4a a a =<=即方程③：2340x a x ++=无实根，选B.而A,D 由于不等式方向不一致，不可推；C 推出③有实根【考点定位】不等式性质 18、设(),n n n x y P 是直线21nx y n -=+（n *∈N ）与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim1n n n y x →∞-=-（ ） A ．1- B ．12- C ．1 D ．2 【答案】A【考点定位】极限三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2015上海春考数学试卷及答案
2015上海春考数学试卷及答案2015年上海市春季高考数学试卷（学业水平考试）2015.1一. 填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1. 设全集为{1,2,3}U =，{1,2}A =，若集合则U C A =；2. 计算：1ii+= ；（其中i 为虚数单位） 3. 函数sin(2)4y x π=+的最小正周期为 ； 4. 计算：223lim 2n n n n→∞-=+ ；5. 以(2,6)为圆心，1为半径的圆的标准方程为 ； 6. 已知向量(1,3)a =，(,1)b m =-，若a b⊥，则m =；7. 函数224y xx =-+，[0,2]x ∈的值域为 ；8. 若线性方程组的增广矩阵为0201ab ⎛⎫⎪⎝⎭，解为21x y =⎧⎨=⎩，则a b += ；9. 方程lg(21)lg 1x x ++=的解集为 ；A. 3(,)4-∞ B.2(,)3-∞ C.2(,)(1,)3-∞+∞D.2(,1)316. 下列函数中，是奇函数且在(0,)+∞上单调递增的为（ ）A. 2y x= B.13y x= C.1y x -=D.12y x-=17. 直线3450x y --=的倾斜角为（ ）A. 3arctan 4B. 3arctan 4π- C. 4arctan3D.4arctan3π-18. 底面半径为1，母线长为2的圆锥的体积为（ ）A.2π B. C. 23πD.19. 以(3,0)-和(3,0)为焦点，长轴长为8的椭圆方程为（ ） A. 2211625x y += B.221167x y += C.2212516x y +=D.221716x y +=20. 在复平面上，满足|1|||z z i -=+（i 为虚数单位）的复数z 对应的点的轨迹为（ ）A. 椭圆B. 圆C. 线段D. 直线 21. 若无穷等差数列{}na 的首项1a>，公差0d <，{}na 的前n 项和为nS ，则（ ）A. nS 单调递减 B.nS 单调递增C. nS 有最大值 D.nS 有最小值22. 已知0a >，0b >，若4a b +=，则（ ） A.22a b +有最小值 B.有最小值C. 11a b+有最大值 D.有最大值 23. 组合数122mm m nn n CC C --++*(2,,)n m m n N ≥≥∈恒等于（ ）A. 2m n C + B.12m n C ++ C. 1m n C +D.11m n C ++24. 设集合21{|10}P x x ax =++>，22{|20}P x x ax =++>，21{|0}Q x x x b =++>，22{|20}Q x x x b =++>，其中,a b R ∈，下列说法正确的是（ ）A.对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B. 对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C. 存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D. 存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集三. 解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）25. 如图，在正四棱柱中1111ABCD A B C D -，1AB =，1D B 和平面ABCD 所成的角的大小为，求该四棱柱的表面积；26. 已知a 为实数，函数24()x ax f x x++=是奇函数，求()f x 在(0,)+∞上的最小值及取到最小值时所对应的x 的值；27. 某船在海平面A 处测得灯塔B 在北偏东30︒方向，与A 相距6.0海里，船由A 向正北方向航行8.1海里到达C 处，这时灯塔B 与船相距多少海里（精确到0.1海里）？B 在船的什么方向（精确到1︒）？28. 已知点1F 、2F 依次为双曲线2222:1x y C a b-=(,0)a b >的左右焦点，126F F=，1(0,)B b -，2(0,)B b ；（1）若a =以(3,4)d =-为方向向量的直线l 经过1B ，求2F 到l 的距离；（2）若双曲线C 上存在点P ，使得122PB PB⋅=-，求实数b 的取值范围；29. 已知函数2()|22|x f x -=-(R)x ∈；（1）解不等式()2f x <； （2）数列{}na 满足()naf n =*(N )n ∈，nS 为{}na 的前n 项和，对任意的4n ≥，不等式 12nnS ka +≥恒成立，求实数k 的取值范围；附加题一. 选择题（本大题共3题，每题3分，共9分） 1. 对于集合A 、B ，“A B ≠”是“A B A B⊂≠”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件2. 对于任意实数a 、b ，2()a b kab-≥均成立，则实数k 的取值范围是（ ） A. {4,0}- B. [4,0]- C.(,0]-∞D.(,4][0,)-∞-+∞3. 已知数列{}na 满足413nn n n a a a a ++++=+()n N *∈，那么（ ） A.{}n a 是等差数列 B.21{}n a -是等差数列C.2{}n a 是等差数列 D.3{}n a 是等差数列二. 填空题（本大题共3题，每题3分，共9分） 4. 关于x 的实系数一元二次方程220x px ++=的两个虚数根为1z 、2z ，若1z 、2z 在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为 ；5. 已知圆心为O ，半径为1的圆上有三点A 、B 、C，若7580OA OB OC ++=，则||BC =；6. 函数()f x 与()g x 的图像拼成如图所示的“Z ”字形折线段ABOCD ，不含(0,1)A ，(1,1)B ，(0,0)O ，(1,1)C --，(0,1)D -五个点，若()f x 的图像关于原点对称的图形即为()g x 的图像，则其中一个函数的解析式可以为 ；三. 解答题（本大题12分）7. 对于函数()f x 、()g x ，若存在函数()h x ，使得()()()f xg xh x =⋅，则称()f x 是()g x 的“()h x 关联函数”（1）已知()sin f x x =，()cos g x x =，是否存在定义域为R 的函数()h x ，使得()f x 是()g x 的“()h x 关联函数”？若存在，写出()h x 的解析式；若不存在，说明理由； （2）已知函数()f x 、()g x 的定义域为[1,)+∞，当[,1)x n n ∈+()n *∈N 时，()f x =12sin 1n xn--，若存在函数1()h x 及2()h x ，使得()f x 是()g x 的“1()h x 关联函数”，且()g x 是()f x 的“2()h x 关联函数”，求方程()0g x =的解；参考答案一. 填空题1. {3}；2. 1i-；3. π；4.0.5；5. 22-+-=； 6. 3；7. [3,4]；(2)(6)1x y8. 2；9. {2}；10. 84；11. 320；12. 221=-；y x二. 选择题13. D；14. A；15. D；16. B；17. A；18. D；19. B；20. D；21. C；22. A；23. A；24. A；三. 解答题25. 8；26. 0f x=；x=，min()4a=，227.4.2BC ≈海里，南偏东46︒；28.（1） 3.6d =；（2）b ≥29.（1）4x <；（2）2514k ≤；附加题1. C ；2. B ；3. D ；4.； 5.； 6.,10()1,01x x f x x -<<⎧=⎨<<⎩；7.（1）不存在，定义域不为R ；（2）2x π=；。
2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学上海卷pdf版
的最小值
为
．
14.在锐角三角形 ΑΒC 中，tan Α =1 ，D 为边 ΒC 上的点，∆ΑΒD 与 ∆ΑCD 的面积分别 2
为 2 和 4 ．过 D 作 DΕ ⊥ ΑΒ 于 Ε ， DF ⊥ ΑC 于 F ，则 DΕ ⋅ DF =
．
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分．）每题有且只有一个正确答案，考 生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一 律得零分．
（1）设 Α ( x1, y1 ) ， C ( x2 , y2 ) ，用 Α 、 C 的坐标表示点 C 到直线 l1 的距离，并证明
=S 2 x1 y1 − x2 y1 ；
（2）设
l1
与
l2
的斜率之积为
−
1 2
，求面积
S
的值.
22.（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题.第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小 题满分 6 分.
甲的路线是 ΑΒ ，速度为 5 千米/小时，乙的路线是 ΑCΒ ，速度为 8 千米/小时.乙到达 Β 地 后原地等待.设 t = t1 时乙到达 C 地.
（1）求 t1 与 f (t1 ) 的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是 3 千米.当 t1 ≤ t ≤ 1 时，求 f (t ) 的表达式，并判
在
3 8
,1
上的最大值是
3 8
41 ，不超过 3.
21.证：（1）直线 l1 : y1x − x1 y = 0 ，点 C 到 l1 的距离 d =
y1x2 − x1 y2 x12 + y12
、
| AB |= 2 | AO |= 2 x12 + y12 ，
2015年数学春考+答案
2015年上海市春季高考数学试卷（学业水平考试）2015.01一、填空题（每小题3分，满分36分）1.设全集为{}1,2,3U =，{}1,2A =，若集合则U A =ð________.2.计算：1ii+=________（其中i 为虚数单位）. 3.函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为_______.4.计算：223lim 2n n n n→∞-=+_______.5.以()2,6为圆心，1为半径的圆的标准方程为_______.6.已知向量()1,3a = ，(),1b m =-，若a b ⊥ ，则m =_______.7.函数[]224,0,2y x x x =-+∈的值域为_______.8.若线性方程组的增广矩阵为0201a b ⎛⎫⎪⎝⎭，解为21x y =⎧⎨=⎩，则a b +=_______. 9.方程()lg 21lg 1x x ++=的解集为_______.10.在921x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项的值为_______.11.用数字组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为_______（结果用数值表示）.12.已知点()1,0A ，直线:1l x =-，两个动圆均过点A 且与l 相切，其圆心分别为1C 、2C ，若动点M 满足22122C M C C C A =+，则M 的轨迹方程为_______. 二、选择题（每小题3分，满分36分）13.若0a b <<，则下列不等式恒成立的是（ ） A.11a b> B. a b -> C. 22a b > D. 33a b <14. 函数()21y x x =≥的反函数为（ ） A.()1y x x =≥ B. ()1y x x =-≤- C. ()0y x x =≥ D. ()0y x x =-≤15.不等式2301xx ->-的解集为（ ） A. 3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B. 2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C. ()2,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭D. 2,13⎛⎫⎪⎝⎭16.下列函数中，是奇函数且在()0,+∞上单调递增的为（ ） A. 2y x = B. 13y x =C. 1y x -=D. 12y x -=17.直线3450x y --=的倾斜角为（ ） A.3arctan4B. 3arctan 4π-C. 4arctan3 D. 4arctan 3π-18.底面半径为1，母线长为2的圆锥的体积为（ ） A. 2πB. 3πC.23π D.33π 19.以()3,0-和()3,0为焦点，长轴长为8的椭圆方程为（ ）A.2211625x y +=B. 221167x y +=C. 2212516x y +=D. 221716x y +=20.在复平面上，满足1i z z -=+（i 为虚数单位）的复数z 对应的点的轨迹为（ ） A.椭圆B.圆C.线段D.直线21.若无穷等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d <，{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A. n S 单调递减 B. n S 单调递增C. n S 有最大值D. n S 有最小值22.已知0a >，0b >，若4a b +=，则（ ） A.22a b +有最小值B. ab 有最小值C.11a b+有最大值 D.1a b+有最大值23. 组合数()12*22,,N m m m n n n C C C n m m n --++≥≥∈恒等于（ ）A. 2m n C +B. 12m n C ++C. 1mn C + D. 11m n C ++24.设集合{}2110P x x ax =++>，{}2220P x x ax =++>，{}210Q x x x b =++>，{}2220Q x x x b =++>其中,R a b ∈，下列说法正确的是（ ）A.对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B. 对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C. 存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D. 存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集三、解答题（共5大题，满分48分） 25. （本题满分8分）如图，在正四棱柱中1111ABCD A B C D -，1AB =，1D B 和平面ABCD 所成的角的大小为32arctan 4，求该四棱柱的表面积.26.（本题满分8分）已知a 为实数，函数()24x ax f x x++=是奇函数，求()f x 在()0,+∞上的最小值及取到最小值时所对应的x 的值.27.（本题满分8分）某船在海平面A 处测得灯塔B 在北偏东30 方向，与A 相距6.0海里.船由A 向正北方向航行8.1海里到达C 处，这时灯塔B 与船相距多少海里（精确到0.1海里）？B 在船的什么方向（精确到1 ）？ ABCD1A 1B 1C 1D28. （本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.已知点1F 、2F 依次为双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左右焦点，126F F =，()10,B b -，()20,B b（1）若5a =，以()3,4d =-为方向向量的直线l 经过1B ，求2F 到l 的距离；（2）若双曲线C 上存在点P ，使得122PB PB ⋅=-，求实数b 的取值范围.29.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分. 已知函数()()222R x f x x -=-∈ （1）解不等式()2f x <；（2）数列{}n a 满足()()*N n a f n n =∈，n S 为{}n a 的前n 项和，对任意的4n ≥，不等式12n n S ka +≥恒成立，求实数k 的取值范围.2015年上海市普通高中学业水平考试 数学卷（附加题）1.对于集合A 、B ，“A B ≠”是“A B A B ⊂≠⋂⋃”的( )(A)充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 (C)充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 2．对于任意实数a 、b ，2()a b kab -≥均成立，则实数k 的取值范围是（ ）(A) {}4,0- （B ）[]-4，0 (C) ](0-∞， （D ）][(40-∞-∞ ，,+)3．已知数列{}n a 满足413n n n n a a a a ++++=+（n N *∈），那么（ ）(A) {}n a 是等差数列 （B ）{}21n a -是等差数列 (C) {}2n a 是等差数列 （D ）{}3n a 是等差数列 二、填空题（本大题满分9分）本大题共有3小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得0分．4．关于x 的实系数一元二次方程220x px ++=的两个虚数根为1z 、2z ，若1z 、2z 在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为 ．5．已知圆心为O ，半径为1的圆上有三点A 、B 、C ，若7580OA OB OC ++=，则BC = ．6．函数()f x 与()g x 的图像拼成如图所示的“Z ”字形折线段ABOCD ，不含(0,1)A ，(1,1)B ，(0,0)O ，(1,1)C --，(0,1)D -五个点，若()f x 的图像关于原点对称的图形即为()g x 的图像，则其中一个函数的解析式可以为 ．三、解答题（满分12分）解答本题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．对于函数()f x 、()g x ，若存在函数()h x ，使得()()()f x g x h x =⋅，则称()f x 是()g x 的“()h x 关联函数”。
2015年普通高等学校招生统一考试上海市理数卷(含答案)
2015年普通高等学校招生全国统一考试 上海 数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．设全集U R =．若集合{}1,2,3,4A =，{}23x x B =≤≤，则U AB =ð ．2．若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ．3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= ． 4．若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为163，则a = ．5．抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ． 6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ．7.方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ．8.在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）．9.已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ．若1C 的渐近线方程为3y x =±，则2C 的渐近线方程为 ．10.设()1fx -为()222x xf x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 ．11.在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）．12.赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12ξξE -E = （元）．13.已知函数()sin f x x =．若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足1206m x x x π≤<<⋅⋅⋅<≤，且()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=（2m ≥，m *∈N ），则m 的最小值为 ．14.在锐角三角形C AB 中，1tan 2A =，D 为边C B 上的点，D ∆AB 与CD ∆A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DF C ⊥A 于F ，则D DF E⋅= ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 16．已知点A 的坐标为()43,1，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ） A ．332 B ．532C ．112D ．13217．记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ） A ．方程①有实根，且②有实根 B ．方程①有实根，且②无实根 C ．方程①无实根，且②有实根 D ．方程①无实根，且②无实根 18．设(),n n n x y P 是直线21n x y n -=+（n *∈N ）与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim 1n n n y x →∞-=-（ ）A ．1-B ．12-C ．1D ．2 三、解答题（本大题共有5题，满分74分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.（本题满分12分）如图，在长方体1111CD C D AB -A B 中，11AA =，D 2AB =A=，E 、F 分别是AB 、C B 的中点．证明1A 、1C 、F 、E 四点共面，并求直线1CD 与平面11C F A E 所成的角的大小.20.（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分如图，A ，B ，C 三地有直道相通，5AB =千米，C 3A =千米，C 4B =千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是C A B ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后原地等待.设1t t =时乙到达C 地. （1）求1t 与()1f t 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在[]1,1t 上得最大值是否超过3？说明理由.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，记得到的平行四边形CD AB 的面积为S .（1）设()11,x y A ，()22C ,x y ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明11212S x y x y =-； （2）设1l 与2l 的斜率之积为12-，求面积S 的值. 22.（本题满分16分）本题共有3个小题.第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知数列{}n a 与{}n b 满足()112n n n n a a b b ++-=-，n *∈N .（1）若35n b n =+，且11a =，求数列{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0n n a a >（n *∈N ），求证：数列{}n b 的第0n 项是最大项；（3）设10a λ=<，n n b λ=（n *∈N ），求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 与最小值m ，且()2,2mM∈-. 23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得()cos g x 是以T 为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期.已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R .设()f x 单调递增，()00f =，()4f πT =. （1）验证()sin 3xh x x =+是以π6为周期的余弦周期函数；（2）设b a <．证明对任意()(),c f a f b ∈⎡⎤⎣⎦，存在[]0,x a b ∈，使得()0f x c =；（3）证明：“0u 为方程()cos 1f x =在[]0,T 上得解”的充要条件是“0u +T 为方程()cos 1f x =在[],2T T 上有解”，并证明对任意[]0,x ∈T 都有()()()f x f x f +T =+T .上海数学（理工农医类）参考答案一、（第1题至第14题） 1.}{1,4 2.1142i + 3.16 4.4 5.2 6.3π7.2 8.120 9.32yy x =± 10.4 11.45 12.0.2 13.8 14. 1615-二、（第15至18题） 题号 15 16 17 18 代号BDBA三、（第19至23题）19. 解：如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为A 1(2，0，1)、C 1(0，2，1)、E(2，1，0)、F （1，2,0）、C （0、2、0）、D （0,0,1）.因为)0,2,2(11-=C A，(1,1,0)EF =-， 所以11//EF AC ， 因此直线1AC与EF 共面， 即，1A 、1C 、F 、E 四点共面.设平面EF C A 11的法向量为(,,)n u v w =， 则n ⊥EF ，n ⊥1FC ，又(1,1,0)EF =-，1FC =(1,0,1)-,故0,u .0,u v v w u w -+=⎧==⎨-+=⎩解得取u=1，则平面EF C A 11 的一个法向量n =(1,1,1).又1(0,2,1)CD =-, 故111515||CD n CD n ⋅=-⋅因此直线1CD 与平面FE C A 11所成的角的大小1515arcsin . 20. 解：（1）138t =， 设乙到C 时甲所在地为D ，则AD=158千米。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)上海卷
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）上海卷一、填空题（共14小题；共70分）1. 函数f x=1−3sin2x的最小正周期为．2. 设全集U=R．若集合A=1,2,3,4，B=x2≤x≤3，则A∩∁U B=．3. 若复数z满足3z+z=1+i，其中i为虚数单位，则z=．4. 设f−1x为f x=x2x+1的反函数，则f−12=．5. 若线性方程组的增广矩阵为23c101c2解为x=3,y=5,则c1−c2=．6. 若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为163，则a=．7. 抛物线y2=2px p>0上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=．8. 方程log29x−1−5=log23x−1−2+2的解为．9. 若x，y满足x−y≥0,x+y≤2,y≥0,则目标函数f=x+2y的最大值为．10. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．11. 在2x+1x 6的二项展开式中，常数项等于（结果用数值表示）．12. 已知双曲线C1，C2的顶点重合，C1的方程为x24−y2=1．若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为．13. 已知平面向量a，b，c满足a⊥b，且a,b,c=1,2,3，则a+b+c的最大值是．14. 已知函数f x=sin x．若存在x1，x2，⋯，x m满足0≤x1<x2<⋯<x m≤6π．且f x1−f x2+f x2−f x3+⋯+f x m−1−f x m=12（m≥2，m∈N∗），则m的最小值为．二、选择题（共4小题；共20分）15. 设z1,z2∈C，则“ z1，z2均为实数”是“ z1−z2是实数”的 A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件16. 下列不等式中，与不等式x+8x2+2x+3<2解集相同的是 A. x+8x2+2x+3<2B. x+8<2x2+2x+3C. 1x+2x+3<2x+8D. x2+2x+3x+8>1217. 已知点A的坐标为43,1，将OA绕坐标原点O逆时针旋转π3至OB，则点B的纵坐标为 .A. 332B. 532C. 112D. 13218. 设P n x n,y n是直线2x−y=nn+1n∈N∗与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限lim n→∞y n−1x n−1= A. −1B. −12C. 1D. 2三、解答题（共5小题；共65分）19. 如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P−AOC的体积，并求异面直线PA与OE 所成角的余弦值．20. 已知函数f x=ax2+1x，其中a为常数．（1）根据a的不同取值，判断函数f x的奇偶性，并说明理由；（2）若a∈1,3，判断函数f x在1,2上的单调性，并说明理由．21. 如图，O，P，Q三地有直道相通，OP=3千米，PQ=4千米，OQ=5千米．现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地，经过t小时，他们之间的距离为f t（单位：千米）．甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时．乙到达Q地后在原地等待．设t=t1时，乙到达P地；t=t2时，乙到达Q地．（1）求t1与f t1的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤t2时，求f t的表达式，并判断f t在t1,t2上的最大值是否超过3 ?说明理由．22. 己知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A，B和C，D．记△AOC的面积为S．（1）设A x1,y1，C x2,y2．用A，C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S= 12x1y2−x2y1；（2）设l1:y=kx，C33,33，S=13，求k的值．（3）设l1与l2的斜率之积为m，求m的值，使得无论l1与l2如何变动，面积S保持不变．23. 已知数列a n与b n满足a n+1−a n=2b n+1−b n，n∈N∗．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求a n的通项公式；（2）设a n的第n0项是最大项，即a n≥a n（n∈N∗），求证：b n的第n0项是最大项；（3）设a1=3λ<0，b n=λn（n∈N∗），求λ的取值范围，使得对任意m,n∈N∗，a n≠0，且a ma n ∈16,6．答案第一部分1. π2. 1,43. 14+12i4. −235. 166. 47. 28. 29. 310. 12011. 24012. x24−y24=113. 3+【解析】当c与向量a+b方向相同时，a+b+c有最大值．当c=1时，a+b+c的最大值为1+22+32=1+13．当c=2时，a+b+c的最大值为2+2+32=2+10．当c=3时，a+b+c的最大值为3+2+22=3+5．平方后比较它们的大小知，a+b+c的最大值为3+5．14. 8【解析】首先由正弦函数的性质知f x i−f x i+1≤2，i=1,2,⋯,m−1，所以12≤2m−1，得到m≥7．若m=7，意味着等号同时取到，故x i+1−x i≥π，i=1,2,⋯,6，从而有x7−x1≥6π，而此时只能有x1=0，故f x2−f x1≤1<2，矛盾，所以m>7．当x1=0，x8=π，x2=π2,x3=3π2,x4=5π2,⋯,x7=11π2时，满足要求，故m的最小值为8，第二部分15. A16. B 17. D 【解析】设B x,y，OA的倾斜角为α，且OA=7，所以sinα=17，cosα=437，所以OB的倾斜角为α+π3，所以sin α+π3=y7，解得y=132．18. A 【解析】当n→+∞时，直线2x−y=nn+1→2x−y=1与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近点1,1，而y n−1x n−1是P n x n,y n与点1,1之间的斜率，其值无限接近于圆x2+y2=2在点1,1处切线的斜率，可求斜率为−1，所以limn→∞y n−1x n−1=−1．第三部分19. V P−AOC=13×12×2=13．因为AC∥OE，所以∠PAC为异面直线PA与OE所成的角或其补角．由PO=2，OA=OC=1，得PA=PC=5，AC=2．在△PAC中，由余弦定理得cos∠PAC=1010，故异面直线PA与OE所成角的余弦值为1010．20. （1）f x的定义域为x x≠0,x∈R，关于原点对称．f−x=a−x2+1−x =ax2−1x，当a=0时，f−x=−f x，故f x为奇函数，当a≠0时，由f1=a+1，f−1=a−1，知f−1≠f1，且f−1≠−f1，f x既不是奇函数也不是偶函数．（2）设1≤x1<x2≤2，则f x2−f x1=ax22+1x2−ax12−1x1=x2−x1 a x1+x2−1x1x2，由1≤x1<x2≤2，得x2−x1>0，2<x1+x2<4，1<x1x2<4，−1<−1x1x2<−14，又1<a<3，所以2<a x1+x2<12，得a x2+x1−1x1x2>0，从而f x2−f x1>0，即f x2>f x1，故当a∈1,3时，f x在1,2上单调递增．21. （1）t1=38．记乙到P时甲所在地为R，则OR=158千米．在△OPR中，PR2=OP2+OR2−2OP⋅OR cos∠O，所以f t1=PR=3841（千米）．（2）t2=78．如图建立平面直角坐标系，设经过t小时，甲，乙所在位置分别为M，N．当t∈38,78时，M3t,4t，N3,8t−3，f t=3t−32+−4t+32=25t2−42t+18，f t在38,78上的最大值是f38=3418，不超过3．22. （1）直线l1:y1x−x1y=0，点C到l1的距离d=1212x1+y1因为OA= x1212，所以S=12 OA ⋅d=12x1y2−x2y1．（2）由y=kx,x2+2y2=1.得x12=11+2k2．由（1）得S=12x1y2−x2y1=13x1−3⋅kx1=3 k−1 61+2k2由题意，得3 k−61+2k2=13，解得k=−15或−1．（3）设l1:y=kx，则l2:y=mkx，设A x1,y1，C x2,y2．由y=kx,x2+2y2=1,得x12=11+2k2,同理x22=11+2mk 2=k2k2+2m2.由（1），得S=1x1y2−x2y1=1x1⋅mx2−x2⋅kx1=12⋅k2−mk⋅x1x2=k2−m21+2k2⋅ k2+2m2整理得8S2−1k4+4S2+16S2m2+2m k2+8S2−1m2=0.由题意知，S与k无关，则8S2−1=0,4S2+16S2m2+2m=0,得S2=1 ,m=−1 .所以m=−12．23. （1）由b n+1−b n=3，得a n+1−a n=6，所以a n是首项为1，公差为6的等差数列，故a n的通项公式为a n=6n−5，n∈N∗．（2）由a n+1−a n=2b n+1−b n，得a n+1−2b n+1=a n−2b n，所以a n−2b n为常数列，a n−2b n=a1−2b1，即a n=2b n+a1−2b1，因为a n≥a n，n∈N∗，所以2b n0+a1−2b1≥2b n+a1−2b1，即b n≥b n，故b n的第n0项是最大项．（3）因为b n=λn，所以a n+1−a n=2λn+1−λn，当n≥2时，a n=a n−a n−1+a n−1−a n−2+⋯+a2−a1+a1=2λn−λn−1+2λn−1−λn−2+⋯+2λ2−λ+3λ=2λ2+λ.当n=1时，a1=3λ，符合上式，所以a n=2λn+λ．因为a1=3λ<0，且对任意n∈N∗，a1a n ∈16,6，故a n<0，特别地，a2=2λn+λ<0，于是λ∈ −12,0．此时对任意n∈N∗，a n≠0．当−12<λ<0时，a2n=2λ2n+λ>λ，a2n−1=−2λ2n−1+λ<λ，由指数函数的单调性知，a n的最大值为a2=2λ2+λ<0，最小值为a1=3λ．由题意a ma n 的最大值及最小值分别为a1a2=32λ+1及a2a1=2λ+13．由2λ+13>16及32λ+1<6，解得−14<λ<0．综上所述，λ的取值范围为 −14,0．。
2015年上海市春季高考数学模拟试卷六
2015年上海市春季高考模拟试卷六一、填空题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1、不等式304xx -≤+的解集是___________. 2、在ABC ∆中，角,,C A B 满足sin :sin :sin 1:2:7A B C =，则最大的角等于________. 3、若复数z 满足()2z i z =-（i 是虚数单位），则=z ____________. 4、已知全集U R =,集合{}{}0,,13,A xx a x RBx x x R =+≥∈=-≤∈，若()[]2,4U C A B =-,则实数a 的取值范围是___________. 5、从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者，则甲被选中的概率是__________. 6、设直线1:20l ax y +=的方向向量是1d ，直线()2:140l x a y +++=的法向量是2n ，若1d 与2n 平行，则a =_________.7、若圆锥的侧面积为3π，底面积为π，则该圆锥的体积为__________. 8、若不等式101x x a>-+对任意x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围是________.9、若抛物线22y px =的焦点与双曲线222x y -=的右焦点重合，则p =_________.10、设函数()()[)()36log 1,6,3,,6x x x f x x -⎧-+∈+∞⎪=⎨∈-∞⎪⎩的反函数为()1f x -，若119f a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()4f a +=__________. 11、设()8,a Rx a ∈-的二项展开式中含5x 项的系数为7，则()2l i m nn a a a →∞+++=_________.12、已知定义域为R 的函数()1,111,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=有3个不同的实数根123,,x x x ，则222123x x x ++=____________.二、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）13、设,a b R ∈，集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -=（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 14、已知z 是复数，21,2z i i+=+-则z =（ ） A . 1i - B . 2i + C . 12i - D . 3i + 15、不等式11xx <+的解集是（ ） A . {}10x x -<< B . {},1x x R x ∈≠-且 C . R D . {}01x x << 16.已知,,i j k 表示共面的三个单位向量, i j ⊥,那么()()i k j k +⋅+的取值范围是（ ） A . []3,3- B . []2,2- C . 21,21⎡⎤-+⎣⎦ D . 12,12⎡⎤-+⎣⎦17、已知函数()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线23x π=对称，则ϕ的最小正值等于（ ） A . 8π B . 4π C . 3π D . 2π18、已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m β⊥的是（ ）.A m αβα⊥⊂且 .B m αβα⊥且 .C m n n β⊥且 .D m n αβ⊥且19、5.甲、乙两个小组，甲组有3名男生2名女生，乙组有3名女生2名男生，从甲、乙两组中各选出3名同学，则选出的6人中恰有1名男生的概率等于（ ）A . 3100B . 4100C . 5100D . 610020、已知直线x y a +=与圆224x y +=交于,B A 两点，且OA OB OA OB +=-（其中O为坐标原点），则实数a 等于（ ）.A 2 .B 2- .C 22-或 .D 66-或21、已知曲线210x y ++=与双曲线2221(0)y x b b-=>的渐近线相切，则此双曲线的焦距等于（ ）A . 22B . 23C . 4D . 2522、对于定义在实数集R 上的函数()f x ,若()f x 与(1)f x +都是偶函数，则（ ） A .()f x 是奇函数 B .(1)f x -是奇函数 C .(2)f x +是偶函数 D .(2)f x +是奇函数23、在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，二面角11B AA C --的大小等于060，B 到面1AC 的距离等于3，1C 到面1AB 的距离等于23，则直线1BC 与直线1AB 所成角的正切值等于（ ） A .7 B . 6 C . 5 D . 224、对于函数()f x ，若存在区间[],A m n =，使得(){},y y f x x A A =∈=,则称函数()f x 为“可等域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间”.给出下列4个函数：①()sin 2x f x π⎛⎫=⎪⎝⎭；②()221f x x =-；③()12x f x =-；④()()2log 22f x x =-. 其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（ ） .A ①②③ .B ②③ .C ①③ .D ②③④ 三、解答题25、（本题满分7分）设{}{}2|8150,|10A x x x B x ax =-+==-=.（1）若15a =，试判断集合A 与集合B 的关系； （2）若B A ⊆，求实数a 组成的集合C .26、（本题满分7分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量()2s i n ,2c o s m B B = ，()3cos ,cos n B B =-，且1m n ⋅=-.（1）求角B ；（2）若2b =，求ABC ∆面积的最大值.27、（本题满分8分） 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2,22PA AB AD ===，求 （1）PCD ∆的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成角的大小. 28、（本题满分13分） 在数列{}n a 中，112a =-，()*1212,n n a a n n n N -=--≥∈，设n n b a n =+. （1）证明：数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n nb 的前n 项和n T ； 29、（本题满分12分）抛物线()2:20C y px p =>的焦点恰是椭圆22143x y +=的一个焦点，过点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的直线与抛物线C 交于点,A B .（1）求抛物线C 的方程；（2）O 是坐标原点，求AOB ∆的面积的最小值； （3）O 是坐标原点，证明：OA OB ⋅为定值.PA BCDE30、（本题满分13分）设a 是实数，函数()42x xf x a=+-()x R ∈（1）求证：函数()f x 不是奇函数；（2）当0a ≤时，求满足()2f x a >的x 取值范围；（3）求函数()y f x =的值域（a 表示）. 31、（本题满分18分）设()(),0P a b a b ⋅≠、(),2R a 为坐标平面xoy 上的点，直线OR （O 为坐标原点）与抛物线24y x ab=交于点Q (异于O ). （1）若对任意0ab ≠，点Q 在抛物线()210y mx m =+≠上，试问当m 为何值时，点P 在某一圆上，并求出该圆方程M ；（2）若点()(,)0P a b ab ≠在椭圆2241x y +=上，试问：点Q 能否在某一双曲线上，若能，求出该双曲线方程，若不能，说明理由；（3）对（1）中点P 所在圆方程M ，设A 、B 是圆M 上两点，且满足1OA OB ⋅=，试问：是否存在一个定圆S ，使直线AB 恒与圆S 相切.2015年春季高考模拟试卷2015年春季高考模拟试卷六参考答案1、()[),43,-∞-+∞；2、23π；3、2；4、(),4-∞-；5、12；6、23-；7、223π；8、()2,2-；9、4；10、2-；11、13-；12、5； 13-17、CABDD 18-24CACDC AB25、（1）由28150x x -+=得3x =或5x =，所以{}3,5A =.若15a =，得1105x -=，即5x =，所以{}5B =，故B A Ü. （2）因为{}3,5A =，又B A ⊆.①当B =∅时，则方程10ax -=无解，则0a =； ②当B ≠∅时，则0a ≠，由10ax -=，得1x a =，所以13a =或15a =，即13a =或15a = 故集合11035C ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，，.26、（1）【3π】（2）【 3】 27、（1）【23】（2）【 4π】28、（1）略（2）【222n n n T +=-】29、（1）【24y x =】（2）【2】（3）【3-】 30、（略）31、解：（1）222,4y x a aQ b b y xab ⎧=⎪⎪⎛⎫⇒⎨⎪⎝⎭⎪=⎪⎩， 代入22211a y mx m b b ⎛⎫=+∴=+ ⎪⎝⎭2220ma b b ⇒+-=当1m =时，点 (,)P a b 在圆:M ()2211x y +-=上（2）(),P a b 在椭圆2241x y +=上，即()2221a b += ∴可设1cos ,sin 2a b θθ==又2,a Q b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，于是2Q Q a x b y b ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩222222242cos sin sin Q Q a y mx m m b b θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 222164cos 16sin sin m θθθ=-=（令4m =）∴点Q 在双曲线22416y x -=上 （3）圆M 的方程为()2211x y +-=设()()1122:,,,,,AB x ky A x y B x y λ=+由1OA OB ⋅=()()2222222211221122121111221x y x y y y y y y y +⋅+=--+⋅--+=⋅=⇒1214y y = 又()22111x y x ky ⎧+-=⎪⎨=+⎪⎩ ()()2221210k y k y λλ⇒++-+=，21222111421y y k k λλ∴==⇒=++又原点O 到直线AB 距离21d k λ=+ 12d ∴=，即原点O 到直线AB 的距离恒为12∴直线AB 恒与圆221:4S x y +=相切.。
【数学】上海市2015年春季高考模拟
上海市2015年春季高考模拟试卷一、填空题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分•请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上.）3、 已知函数y =f（x ）是函数f （x ）=2（X-〔）的反函数，则f（X ）=（要求 写明自变量的取值范围）•2 24、 双曲线2x _3y =1的渐近线方程是.实数a=lim 芜n —丿 n 2-1 =，2：X •5= 0，则直线h 与12的夹角为=&已知0 ：：： m ：：1（m R ）,:是方程 x 2 mx 0 的根，则 h 1 =15的二项展开式中的常数项是 10、 已知e 、。
2是平面上两个不共线的向量，向量 则实数m=•f(x)二1、函数的定义域是.2、已知全集U ={—2—1,0,1,2 }，集合2n -1"Z ，则 5A =5、若函数f (x)二 2cos(4x ) -17 与函数g （x ） =5tan®-1） 2的最小正周期相同，则6、已知数列 &n '是首项为1，公差为2的等差数列,N ）是数列的前n 项和，则7、直线h ：3x-y 1=0(x 2 -丄) x（用数值作答11、 已知圆柱M 的底面圆的半径与球 O 的半径相同，若圆柱M 与球O 的表面积相等，贝陀 二、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分•请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上.）13、已知〉：x 一 a ，:：丨X -卅：：：1•若：•是：的必要非充分条件，则实数 a 的取值范围是 ()A . a _0B.a- 0C.a- 2D .a- 2.14、 已知直线 l : ax by =1 点P （a，b ）在圆C 2 2X y一1外，则直线丨与圆C 的位置关%?曰 系是 :( )A 相交B 相切C 相离D 不能确定15、现给出如下命题： ① 若直线1与平面〉内无穷多条直线都垂直，则直线 I -平面〉；② 空间三点确定一个平面；③ 先后抛两枚硬币，用事件 A 表示 第一次抛出现正面向上 ”，用事件B 表示 第二次抛出现少有一个方程有实数根，则实数a的取值范围为（）们的体积之比V 圆柱：V 球=（用数值作答）•:•、 12、已知角〉、一的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合,-（°，二），角-的二）, 终边与单位圆交点的横坐标是cos = 13，角■的终边与单位圆交点的纵坐标是4 5，则反面向上”，则事件A 和B 相互独立且 P （AB ）=P （A ）P （B） ④样本数据-1, -1,0,1的标准差是则其中正确命题的序号是 （ ）C.②③④D .③④216、在关于x的方程x_ax • 4 =0 ,x 2 a-1 x 16=0x 2 + 2ax+3a+10=0 中，已知至B.a 二9 或 a 兰 一7C.a 兰-2或a 启4D-2 ca £417、不等式1 2- X 卜1的解集是（）A .[_3^1]B .【1,3】C. [-3,1] D . [-1,3]18、已知a, B 表示两个不同的平面,恤I B "为平面a 内的一条直线，则-是A.充分不必要条件B.必要不充分条件C充要条件 D.既不充分也不必要条件20、函数y=m|x|与y=-.x1在同一坐标系的图像有公共点的充要条件是（） A.m2 B m> ^2 C >1D m>1 21、设函数f（X ）二2lg （2x -1），则 f J（0）的值为（）A . 0B . 1C. 10D .不存在Jicos(x ) = m22、已知6A.、9B.16C.2525D.2A . 2mB. 一2mC J3mJ —D 士 J 3m 23、将正三棱柱截去三个角（如图 1所示A 、B 、C 分别是 GHI 三边的中点）得到的几何 体如图2，则按图2所示方向侧视该几何体所呈现的平面图形为（） 抚 2X 2 - a 2[k(x -b)]2 - a 2b 2p. =0（b a 0）的根大于a ，则实数k满足（） D. F >■ =°（b a 0）的根大于a ，则实数k 满足（） A . |k| - a B .|k TC.|k|f25、 解答题 （本题满分 7 分) 在ABC 中，记• BAC =x （角的单位是弧度制 ABC 的面积为s,且AB • AC =8 ,*s/3.求函数 f(x "2'3sin 2(x；)2cos x2一込 的最大值、最小值.cosx cos(x 则（）27、（本题满分8分）mx 4 y = m 2用行列式讨论关于 x,y 的二元一次方程组.x5y =m 的解的情况，并说明各自的几何 意义.28、（本题满分13分）「，、 ,2m —1 —mx ，小 八f （x ）=loga ---------------（a>0, a 式 1）已知函数 x 1 是奇函数，定义域为区间D （使表达式有意义的实数x 的集合）.（1） 求实数m 的值，并写出区间 D ； （2） 若底数a 1，试判断函数y=f （x ）在定义域D 内的单调性，并说明理由；「_ A 皐 D（3） 当X ，A二［a ，b ）（，a 是底数）时，函数值组成的集合为［1,：一），求实数a b的值.29、(本题满分13分)已知双曲线C :x 2 y 22 一 以—1 (a A0, b 》0)F (2 0) hbF (2,0)b= 3a(1 )求双曲线 C 的方程；(2)设经过焦点F2的直线l 的一个法向量为(m,1)，当直线l 与双曲线C 的右支相交于A, B2 2 不同的两点时，求实数m 的取值范围；并证明 AB 中点M 在曲线3(x -1) - y 二3上.26、（本题满分7分） 已知正方体ABCD - AB I GD ,的棱长为a .求点C 1到平面AB l D 1的距离.(3)设(2)中直线1与双曲线C的右支相交于A，B两点，问是否存在实数m，使得• AOB为锐角？若存在，请求出m的范围；若不存在，请说明理由.附加题30、(本题满分8分)某公司生产某种消防安全产品，年产量x台(°'x乞100，x・N)时，销售收入函数2R(x) =3000x -20x (单位：百元)，其成本函数满足C(x)=500x ■ b (单位：百元).已知该公司不生产任何产品时，其成本为4000 (百元).(1)问该公司生产多少台产品时，利润最大，最大利润是多少？(2)在经济学中，对于函数f(x)，我们把函数f(x 1^f (x)称为函数f(x)的边际函数，记作Mf (x).对于(1)求得的利润函数P(x)，求边际函数MP(x)；并利用边际函数MP(x) 的性质解释公司生产利润情况. (本题所指的函数性质主要包括：函数的单调性、最值、零点等)31、(本题满分8分)(1)求证：数列‘已'为等比数列;(2)若对于任意n ，N，不等式bn —(nV 恒成立，求实数■的最大值.32、(本题满分14分)已知点P 是直角坐标平面内的动点，点P 到直线11： X = -2的距离为d 1，到点F(-1,°)的d 2./2距离为d2，且d12.(1) 求动点P 所在曲线C 的方程；(2) 直线l 过点F 且与曲线C 交于不同两点 A 、B(点A 或B 不在X 轴上)，分别过A 、B 点作 直线11：X= -2的垂线，对应的垂足分别为 M、N ，试判断点F 与以线段MN 为直径的圆的 位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况 );(3) 记S1 =S -FAM , S 2 =S FMN , S ^ =S 'FBN (A 、B 、M 、N 是⑵中的点)，问是否存在实数扎，使S； =^SS3成立•若存在，求出 人的值；若不存在，请说明理由.2h ：X = —r- / c \进一步思考问题：若上述问题中直线c 、点F(-c°)、曲线 C :2 2 _______________________________________________— =1(a b 0, = a -b)a b，则使等式S一 0S3成立的’的值仍保持不变.请给出已知数列右J 的前n项和为S n ，满足2+2S n=3a n( n匸N 冷.数列1 b n =n =1 n _2你的判断(填写不正确”或正确”限于时间，这里不需要举反例，或证明).参考答案二？逅仁［-1，0)?(0, ?) ； 2、{°} ；3. y=1+log 2X(X?1)； 4、y = ■ 3X； 5、a 二？2 ；p3 3+ 8.26、1 ；7、6 ；8、1 ；9、3003 ； 10. - 6 ； “、4 ；代、 1513-16BADC ； 17-20BBCD; 21-24BCAAS =4tanx 即1<tanx乞.3 所求的x 的取值范围是f (x) =2、、3sin 2(x —) 2cos 2 x -、、3 二 3 sin2x cos2x 1 二 2sin(2 x §)1,1 二sin(2 x )二 2 6（2）当m =2时，D=Dx =D y =0，方程组有无穷多组解，通解可表示为X =t y 21 t R225、BAC 二 AB =84< S < 4.3bccosx = 8 xx _43.43兀 5兀2x6 6f (X)minH「才2,f (X)max26、建立空间直角坐标系, 可得有关点的坐标为A （0,0,0）、D 1 （0，a，a ）、B(a,0,a)、G(a,a,a)，向量C1A=(_a，，a 厂a),AD1=(0, a,a)AB 1 = (a,0, a) 设n =(x , y, z)是平面 AB 1D 1I n AD<| = 0的法向量，于是，有n 阴=0ay az = 0 ax az = 0令Z _ -1,得X", y=1 .于是平面AB 1。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题精品解析(上海卷)
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保持平常心，顺其自然2015年高考上海卷理数试题解析（精编版）（解析版）一、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.1、设全集U R =．若集合{}1,2,3,4A =，{}23x x B =≤≤，则U A B =I ð ． 【答案】{}1,4【解析】因为{|32}U C B x x x =><或，所以{4,1}U A C B =I 【考点定位】集合运算2、若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ． 【答案】1142i +3、若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= ． 【答案】16【解析】由题意得：121223233521,05,21516.c x y c x y c c =+=⨯+⨯==⋅+=-=-= 【考点定位】线性方程组的增广矩阵4、若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为163，则a = ． 【答案】45、抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ． 【答案】26、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ． 【答案】3π 【解析】由题意得：1:(2)222rl h r l h ππ⋅=⇒=⇒母线与轴的夹角为3π【考点定位】圆锥轴截面7、方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ．【答案】2【解析】设13,(0)x t t -=>，则2222log (5)log (2)254(2)0t t t t -=-+⇒-=->21430,5333112x t t t t x x -⇒-+=>⇒=⇒=⇒-=⇒=【考点定位】解指对数不等式8、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）． 【答案】1209、已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ．若1C 的渐近线方程为3y x =±，则2C 的渐近线方程为 ．【答案】3y x =±【解析】由题意得：1C ：223,(0)x y λλ-=≠，设(,)Q x y ，则(,2)P x y ，所以2234x y λ-=，即2C 的渐近线方程为32y x =±【考点定位】双曲线渐近线10、设()1f x -为()222x xf x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 ． 【答案】411、在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）．【答案】45【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ，所以2x 项只能在10(1)x +展开式中，即为8210C x ，系数为81045.C = 【考点定位】二项展开式12、赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12ξξE -E = （元）．【答案】0.2【解析】赌金的分布列为1ξ1 2 3 4 5P15 15 15 15 15所以11(12345)35E ξ=++++=奖金的分布列为2ξ1.42.8 4.25.6 P25425C = 253310C = 25215C = 251110C = 所以223111.4(1234)2.8510510E ξ=⨯⨯+⨯+⨯+⨯=12ξξE -E =0.2【考点定位】数学期望13、已知函数()sin f x x =．若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足1206m x x x π≤<<⋅⋅⋅<≤，且()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=（2m ≥，m *∈N ），则m 的最小值 为 ． 【答案】8【解析】因为()sin f x x =，所以()()max min ()()2m n f x f x f x f x -≤-=，因此要使得满足条件()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=的m 最小，须取123456783579110,,,,,,,6,222222x x x x x x x x πππππππ========即8.m = 【考点定位】三角函数性质14、在锐角三角形C AB 中，1tan 2A =，D 为边CB 上的点，D ∆AB 与CD ∆A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DFC ⊥A 于F ，则D DF E⋅=u u u r u u u r．【答案】1615-【解析】由题意得：1sin ,cos ,sin 24125255A A AB AC A AB AC ==⋅⋅=+⇒⋅=，又112,43222125AB DE AC DF AB DE AC DF DE DF ⋅=⋅=⇒⋅⨯⋅=⇒⋅=,因为DEAF 四点共圆，因此D DF E⋅=u u u r u u u r 16cos()()151255DE DF A π⋅⋅-=⨯-=- 【考点定位】向量数量积，解三角形二、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15、设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 【答案】B16、已知点A 的坐标为()43,1，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ） A ．332 B ．532 C ．112 D ．132【答案】D【解析】133313(cos sin )(43)()3322OB OA i i i ππ=⋅+=⋅=+u u u r u u u r ，即点B 的纵坐标为132【考点定位】复数几何意义17、记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ） A ．方程①有实根，且②有实根 B ．方程①有实根，且②无实根 C ．方程①无实根，且②有实根 D ．方程①无实根，且②无实根 【答案】B【解析】当方程①有实根，且②无实根时，22124,8a a ≥<，从而4222321816,4a a a =<=即方程③：2340x a x ++=无实根，选B.而A,D 由于不等式方向不一致，不可推；C 推出③有实根 【考点定位】不等式性质18、设(),n n n x y P 是直线21n x y n -=+（n *∈N ）与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim 1nn ny x →∞-=-（ ）A ．1-B ．12- C ．1 D ．2 【答案】A三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2015年上海春季高考数学试卷
2015年上海市普通高等学校春季招生统一考试（暨上海市普通高中学业水平考试）数学试卷考生注意：1．本试卷两考合一，春季高考=学业水平考+附加题；春季高考，共36道试题，满分150分．考试时间130分钟（学业水平考，共29题，满分120分．考试时间90分钟；附加题共7题，满分30分．考试时间40分钟）．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚的填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名．第I 卷一、填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．设全集{1,2,3}U =．若{1,2}A =，则U A =ð ． 2．计算：1i i += （i 为虚数单位）．3．函数sin(2)4y x π=+的最小正周期为 ．4．计算：223lim 2n n n n→∞-=+ ．5．以点(2,6)为圆心、1为半径的圆的标准方程为 ．6．已知向量(1,3)a =r ，(,1)b m =-r．若a b ⊥r r ，则m = ． 7．函数[]224,0,2y x x x =-+∈的值域是 ．8．若线性方程组的增广矩阵为0201a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为21x y =⎧⎨=⎩，则a b += ． 9．方程lg(21)lg 1x x ++=的解为 ．10．在921x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项的值为 ． 11．用数字1、2、3、4、5组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 （结果用数值表示）．12．已知点(1,0)A ，直线:1l x =-，两个动圆均过A 且与l 相切，其圆心分别为1C 、2C ．若动点M满足22122C M C C C A =+uuuu r uuuu r uuu r，则M 的轨迹方程为 ．二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分． 13．若0a b <<，则下列不等式恒成立的是（ ） （A ）11a b>（B ）a b ->（C ）22a b > （D ）33a b <14．函数()21y x x =≥的反函数为（ ）（A ）)1y x =≥ （B ）)1y x =≤- （C ）)0y x =≥ （D ）)0y x =≤ 15．不等式2301x x ->-的解集为（ ）（A ）3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（B ）2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）()2,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ （D ）2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭16．下列函数中，是奇函数且在()0,+∞单调递增的为 （ ） （A ）2y x =（B ）13y x =（C ）1y x -= （D ）12y x-=17．直线3450x y --=的倾斜角为 ( )（A ）3arctan 4 （B ）3arctan 4π- （C ）4arctan 3 （D ）4arctan 3π-18．底面半径为1、母线长为2的圆锥的体积是 （ ）（A ）2π（B （C ）23π （D ）319．以点()3,0-和()3,0为焦点、长轴长为8的椭圆方程为（ ）（A ）2211625x y += （B ）221167x y += （C ）2212516x y += （D ）221716x y +=20．在复平面上，满足1z z i -=+（i 为虚数单位）的复数z 所对应的点的轨迹为（ ） （A ）椭圆 （B ）圆 （C ）线段 （D ）直线 21．若无穷等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d <，{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） （A ）n S 单调递减 （B ）n S 单调递增 （C ）n S 有最大值 （D ）n S 有最小值22．已知0a >，0b >.若4a b +=，则（ ） （A ）22a b +有最小值 （B（C ）11a b+有最大值（D23．组合数()12**22,,m m m n n n C C C n m m N n N --++≥≥∈∈恒等于（ ）（A ）2m n C + （B ）12m n C ++ （C ）1m n C + （D ）11m n C ++ 24．设集合{}21|10P x x ax =++>，{}22|20P x x ax =++>，{}21|0Q x x x b =++>，{}22|20Q x x x b =++>，其中,a b R ∈．下列说法正确的是（ ）（A ）对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意b ，1Q 不是2Q 的子集 （B ）对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集 （C ）存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意b ，1Q 不是2Q 的子集 （D ）存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集三、解答题（本大题共有8题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 25．（本题满分8分）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，1D B 和平面ABCD所成角的大小为1A26．（本题满分8分）已知a是实数，函数24()x axf xx++=是奇函数，求()f x在()0,+∞上的最小值及取到最小是时x的值.27．（本题满分8分）某船在海平面A处测得灯塔B在北偏东30︒方向，与A相距6.0海里.船由A向正北方向航行8.1海里达到C处，这时灯塔B与船相距多少海里（精确到0.1海里）？B在船的什么方向（精确到1︒）？28．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知点1F 、2F 依次为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，126F F =，()10,B b -， ()20,B b .（1）若a =(3,4)d =-u r为方向向量的直线l 经过1B ，求2F 到l 的距离； （2）若在双曲线C 上存在点P ，使得122PB PB ⋅=-uuu r uuu r，求b 的取值范围.第II 卷一、选择题（本大题满分9分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得0分． 1．对于集合A B 、，“A B ≠”是“A B A B ⊂≠I U ”的( )(A)充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 (C)充要条件 （D ）既非充分又非必要条件2．对于任意实数a 、b ，2()a b kab -≥均成立，则实数k 的取值范围是（ ） (A) {}4,0- （B ）[]4,0- (C) ](0-∞， （D ）][(40-∞-∞U ，,+)3．已知数列{}n a 满足413n n n n a a a a ++++=+（n N *∈），那么（ ）(A) {}n a 是等差数列 （B ）{}21n a -是等差数列 (C) {}2n a 是等差数列 （D ）{}3n a 是等差数列二、填空题（本大题满分9分）本大题共有3小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得0分．4．关于x 的实系数一元二次方程220x px ++=的两个虚数根为1z 、2z ，若1z 、2z 在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为 ．5．已知圆心为O ，半径为1的圆上有三点A 、B 、C ，若7580OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，则BC =u u u r．6．函数()f x 与()g x 的图像拼成如图所示的“Z ”字形折线段ABOCD ，不含(0,1)A ，(1,1)B ，(0,0)O ，(1,1)C --，(0,1)D -五个点，若()f x 的图像关于原点对称的图形即为()g x 的图像，则其中一个函数的解析式可以为 ．三、解答题（本大题满分12分）解答本题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 7． 对于函数()f x 、()g x ，若存在函数()h x ，使得()()()f x g x h x =⋅，则称()f x 是()g x 的 “()h x 关联函数”。
2001-2015上海春季高考数学答案汇总.doc
an 对任意的 n N 都成立，则下列数列中可取
B． a3k 1
三、解答题（本大题满分 86 分）本大题共有 6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17． （本题满分 12 分） 已知 R 为全集，A= {x | log 1 (3 x) ≥ 2} ，B= {x |
2
5 ≥ 1} ，求 A B ． x2
2 2
）
2 / 92
A．充分不必要条件 B．充要条件 14．若直线 x =1 的倾斜角为 ，则 A．等于 0 B．等于
C．必要不充分条件 D．既非充分条件也非必要条件 （ ）
4
C．等于
2
D．不存在 ）
15．若有平面 与 ，且 l , , P , P l ，则下列命题中的假命题 （ A．过点 P 且垂直于 的直线平行于 C．过点 P 且垂直于 的直线在 内 16．若数列 {an } 前 8 项的值各异，且 an8 遍 an 前 8 项值的数列为（ A． a2 k 1 ） C． a4 k 1 D． a6 k 1 B．过点 P 且垂直于 l 的平面垂直于 D．过点 P 且垂直于 l 的直线在 内
17．[解]由已知 log 1 (3 x) ≥ log 1 4 ．
2
2
由 由
3 x ≤4 解得-1≤ x ＜3．所以 A {x | 1 ≤ x 3} ． 3 x 0,
5 ≥1，解得-2＜ x ≤3．所以 B {x | 2 ＜ x ≤ 3} ． x2
于是 A {x | x 1或x ≥ 3} ，故 A B {x | 2 x 1或x 3} ．
上海市高中数学综合练习试卷第 1 套
考生注意：本试卷共有 22 道试题，满分 150 分． 一、填空题 1． x 1( x ≥ 1) ．
上海市春季高考数学试卷含答案解析
上海市春季高考数学试卷一.填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1．复数3+4i（i为虚数单位）的实部是．2．若log2（x+1）=3，则x=．3．直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为．4．函数的定义域为．5．三阶行列式中，元素5的代数余子式的值为．6．函数的反函数的图象经过点（2，1），则实数a=．7．在△ABC中，若A=30°，B=45°，，则AC=．8．4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为（结果用数值表示）．9．无穷等比数列{a n}的首项为2，公比为，则{a n}的各项的和为．10．若2+i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，则a=．11．函数y=x2﹣2x+1在区间[0，m]上的最小值为0，最大值为1，则实数m的取值范围是．12．在平面直角坐标系xOy中，点A，B是圆x2+y2﹣6x+5=0上的两个动点，且满足，则的最小值为．二.选择题（本大题共12题，每题3分，共36分）13．若sinα＞0，且tanα＜0，则角α的终边位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14．半径为1的球的表面积为（）A．πB．C．2πD．4π15．在（1+x）6的二项展开式中，x2项的系数为（）A．2 B．6 C．15 D．2016．幂函数y=x﹣2的大致图象是（）A．B．C．D．17．已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（）A．1 B．2 C．（1，0）D．（0，2）18．设直线l与平面α平行，直线m在平面α上，那么（）A．直线l平行于直线m B．直线l与直线m异面C．直线l与直线m没有公共点D．直线l与直线m不垂直19．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n（n∈N*）的第（ii）步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为（）A．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）B．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）C．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）D．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）20．关于双曲线与的焦距和渐近线，下列说法正确的是（）A．焦距相等，渐近线相同B．焦距相等，渐近线不相同C．焦距不相等，渐近线相同D．焦距不相等，渐近线不相同21．设函数y=f（x）的定义域为R，则“f（0）=0”是“函数f（x）为奇函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件22．下列关于实数a，b的不等式中，不恒成立的是（）A．a2+b2≥2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．D．23．设单位向量与既不平行也不垂直，对非零向量、有结论：①若x1y2﹣x2y1=0，则；②若x1x2+y1y2=0，则．关于以上两个结论，正确的判断是（ ）A ．①成立，②不成立B ．①不成立，②成立C ．①成立，②成立D ．①不成立，②不成立24．对于椭圆．若点（x 0，y 0）满足．则称该点在椭圆C （a ，b ）内，在平面直角坐标系中，若点A 在过点（2，1）的任意椭圆C （a ，b ）内或椭圆C （a ，b ）上，则满足条件的点A 构成的图形为（ ） A ．三角形及其内部 B ．矩形及其内部C ．圆及其内部D ．椭圆及其内部三.解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）25．如图，已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为，底面边长为3，求异面直线BC 1与AC 所成的角的大小．26．已知函数，求f （x ）的最小正周期及最大值，并指出f （x ）取得最大值时x 的值．27．如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F 处．已知灯口直径是24cm ，灯深10cm ，求灯泡与反射镜的顶点O 的距离．28．已知数列{a n }是公差为2的等差数列．（1）a 1，a 3，a 4成等比数列，求a 1的值；（2）设a1=﹣19，数列{a n}的前n项和为S n．数列{b n}满足，记（n∈N*），求数列{c n}的最小项（即对任意n∈N*成立）．={x|f（x）＞g（x）}．29．对于函数f（x），g（x），记集合D f＞g；（1）设f（x）=2|x|，g（x）=x+3，求D f＞g（2）设f1（x）=x﹣1，，h（x）=0，如果．求实数a的取值范围．二卷一.选择题：30．若函数f（x）=sin（x+φ）是偶函数，则ϕ的一个值是（）A．0 B． C．πD．2π31．在复平面上，满足|z﹣1|=4的复数z的所对应的轨迹是（）A．两个点B．一条线段C．两条直线D．一个圆32．已知函数y=f（x）的图象是折线ABCDE，如图，其中A（1，2），B（2，1），C （3，2），D（4，1），E（5，2），若直线y=kx+b与y=f（x）的图象恰有四个不同的公共点，则k的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．C．（0，1]D．二.填空题：33．椭圆的长半轴的长为．34．已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为．35．小明用数列{a n}记录某地区12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k天下过雨时，记a k=1，当第k天没下过雨时，记a k=﹣1（1≤k≤31），他用数列{b n}记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记b n=1，当预报第k天没有雨时，记b n=﹣1记录完毕后，小明计算出a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25，那么该月气象台预报准确的总天数为．三.解答题：36．对于数列{a n}与{b n}，若对数列{c n}的每一项c n，均有c k=a k或c k=b k，则称数列{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列”．（1）设数列{a n}与{b n}的前三项分别为a1=1，a2=3，a3=5，b1=1，b2=2，b3=3，若{c n}是{a n}与{b n}一个“并数列”求所有可能的有序数组（c1，c2，c3）；（2）已知数列{a n}，{c n}均为等差数列，{a n}的公差为1，首项为正整数t；{c n}的前10项和为﹣30，前20项的和为﹣260，若存在唯一的数列{b n}，使得{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列”，求t的值所构成的集合．上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1．复数3+4i（i为虚数单位）的实部是3．【考点】复数的基本概念．【分析】根据复数的定义判断即可．【解答】解：复数3+4i（i为虚数单位）的实部是3，故答案为：3．2．若log2（x+1）=3，则x=7．【考点】对数的运算性质；函数的零点．【分析】直接利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：log2（x+1）=3，可得x+1=8，解得x=7．故答案为：7．3．直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为．【考点】两直线的夹角与到角问题．【分析】由题意可得直线的斜率，可得倾斜角，进而可得直线的夹角．【解答】解：∵直线y=x﹣1的斜率为1，故倾斜角为，又∵直线y=2的倾斜角为0，故直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为，故答案为：．4．函数的定义域为[2，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0求解即可．【解答】解：由x﹣2≥0得，x≥2．∴原函数的定义域为[2，+∞）．故答案为[2，+∞）．5．三阶行列式中，元素5的代数余子式的值为8．【考点】高阶矩阵．【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第1行第3列后所余下的2阶行列式带上符号（﹣1）i+j，求出其表达式的值即可．【解答】解：元素5的代数余子式为：（﹣1）1+3||=（4×2+1×0）=8．∴元素5的代数余子式的值为8．故答案为：8．6．函数的反函数的图象经过点（2，1），则实数a=1．【考点】反函数．【分析】由于函数的反函数的图象经过点（2，1），可得函数的图象经过点（1，2），即可得出．【解答】解：∵函数的反函数的图象经过点（2，1），∴函数的图象经过点（1，2），∴2=+a，解得a=1．故答案为：1．7．在△ABC中，若A=30°，B=45°，，则AC=．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】利用正弦定理即可计算求解．【解答】解：∵A=30°，B=45°，，∴由正弦定理，可得：AC===2．故答案为：2．8．4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为24（结果用数值表示）．【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，由排列数公式直接计算即可．【解答】解：4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为A44=24种，故答案为：24．9．无穷等比数列{a n}的首项为2，公比为，则{a n}的各项的和为3．【考点】等比数列的前n项和．【分析】{a n}的各项的和=，即可得出．【解答】解：{a n}的各项的和为： ==3．故答案为：3．10．若2+i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，则a=﹣4．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】2+i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，则2﹣i（i为虚数单位）也是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，再利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：∵2+i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，∴2﹣i（i为虚数单位）也是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，∴2+i+（2﹣i）=﹣a，解得a=﹣4．则a=﹣4．故答案为：﹣4．11．函数y=x2﹣2x+1在区间[0，m]上的最小值为0，最大值为1，则实数m的取值范围是[1，2]．【考点】二次函数在闭区间上的最值．【分析】根据二次函数的性质得出，求解即可．【解答】解：∵f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，∴对称轴x=1，∴f（1）=0，f（2）=1，f（0）=1，∵f（x）=x2﹣2x+2在区间[0，m]上的最大值为1，最小值为0，∴，∴1≤m≤2，故答案为：1≤m≤2．12．在平面直角坐标系xOy中，点A，B是圆x2+y2﹣6x+5=0上的两个动点，且满足，则的最小值为4．【考点】直线与圆的位置关系；向量的三角形法则．【分析】本题可利用AB中点M去研究，先通过坐标关系，将转化为，用根据AB=2，得到M点的轨迹，由图形的几何特征，求出模的最小值，得到本题答案．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x′，y′）．∵x′=，y′=，∴=（x1+x2，y1+y2）=2，∵圆C：x2+y2﹣6x+5=0，∴（x﹣3）2+y2=4，圆心C（3，0），半径CA=2．∵点A，B在圆C上，AB=2，∴CA2﹣CM2=（AB）2，即CM=1．点M在以C为圆心，半径r=1的圆上．∴OM≥OC﹣r=3﹣1=2．∴||≥2，∴≥4，∴的最小值为4．故答案为：4．二.选择题（本大题共12题，每题3分，共36分）13．若sinα＞0，且tanα＜0，则角α的终边位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】象限角、轴线角．【分析】由sinα＞0，则角α的终边位于一二象限，由tanα＜0，则角α的终边位于二四象限，两者结合即可解决问题．【解答】解：∵sinα＞0，则角α的终边位于一二象限，∵由tanα＜0，∴角α的终边位于二四象限，∴角α的终边位于第二象限．故选择B．14．半径为1的球的表面积为（）A．πB．C．2πD．4π【考点】球的体积和表面积．【分析】利用球的表面积公式S=4πR2解答即可求得答案．【解答】解：半径为1的球的表面积为4π×12=4π，故选：D．15．在（1+x）6的二项展开式中，x2项的系数为（）A．2 B．6 C．15 D．20【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项展开式的通项公式求出展开式的特定项即可．【解答】解：（1+x）6的二项展开式中，通项公式为：T r+1=•16﹣r•x r，令r=2，得展开式中x2的系数为：=15．故选：C．16．幂函数y=x﹣2的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用负指数幂的定义转换函数，根据函数定义域，利用排除法得出选项．【解答】解：幂函数y=x﹣2=，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），可排除A，B；值域为（0，+∞）可排除D，故选：C．17．已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（）A．1 B．2 C．（1，0）D．（0，2）【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出，代入向量的投影公式计算．【解答】解： =1， =1，||=，∴向量在向量方向上的投影=1．故选：A．18．设直线l与平面α平行，直线m在平面α上，那么（）A．直线l平行于直线m B．直线l与直线m异面C．直线l与直线m没有公共点D．直线l与直线m不垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】由已知中直线l与平面α平行，直线m在平面α上，可得直线l与直线m异面或平行，进而得到答案．【解答】解：∵直线l与平面α平行，直线m在平面α上，∴直线l与直线m异面或平行，即直线l与直线m没有公共点，故选：C．19．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n（n∈N*）的第（ii）步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为（）A．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）B．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）C．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）D．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）【考点】数学归纳法．【分析】由数学归纳法可知n=k时，1+2+3+…+2k=2k2+k，到n=k+1时，左端为1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1），从而可得答案．【解答】解：∵用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n时，当n=1左边所得的项是1+2；假设n=k时，命题成立，1+2+3+…+2k=2k2+k，则当n=k+1时，左端为1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1），∴从“k→k+1”需增添的项是2k+1+2（k+1），∴1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）．故选：D．20．关于双曲线与的焦距和渐近线，下列说法正确的是（）A．焦距相等，渐近线相同B．焦距相等，渐近线不相同C．焦距不相等，渐近线相同D．焦距不相等，渐近线不相同【考点】双曲线的简单性质．【分析】分别求得双曲线的焦点的位置，求得焦点坐标和渐近线方程，即可判断它们焦距相等，但渐近线不同．【解答】解：双曲线的焦点在x轴上，可得焦点为（±，0），即为（±2，0），渐近线方程为y=±x；的焦点在y轴上，可得焦点为（0，±2），渐近线方程为y=±2x．可得两双曲线具有相等的焦距，但渐近线不同．故选：B．21．设函数y=f（x）的定义域为R，则“f（0）=0”是“函数f（x）为奇函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】函数y=f（x）的定义域为R，若函数f（x）为奇函数，则f（0）=0，反之不成立，例如f（x）=x2．即可判断出结论．【解答】解：函数y=f（x）的定义域为R，若函数f（x）为奇函数，则f（0）=0，反之不成立，例如f（x）=x2．∴“f（0）=0”是“函数f（x）为奇函数”的必要不充分条件．故选：B．22．下列关于实数a，b的不等式中，不恒成立的是（）A．a2+b2≥2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．D．【考点】不等式的基本性质．【分析】根据级别不等式的性质分别判断即可．【解答】解：对于A：a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2≥0，故A恒成立；对于B：a2+b2+2ab=（a+b）2≥0，故B恒成立；对于C：﹣ab=≥0，故C恒成立；D不恒成立；故选：D．23．设单位向量与既不平行也不垂直，对非零向量、有结论：①若x1y2﹣x2y1=0，则；②若x1x2+y1y2=0，则．关于以上两个结论，正确的判断是（）A．①成立，②不成立B．①不成立，②成立C．①成立，②成立D．①不成立，②不成立【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】①假设存在实数λ使得=，则=λ，由于向量与既不平行也不垂直，可得x1=λx2，y1=λy2，即可判断出结论．②若x1x2+y1y2=0，则=（）•=x1x2+y1y2+（x2y1+x1y2）=（x2y1+x1y2），无法得到=0，因此不一定正确．【解答】解：①假设存在实数λ使得=，则=λ，∵向量与既不平行也不垂直，∴x1=λx2，y1=λy2，满足x1y2﹣x2y1=0，因此．②若x1x2+y1y2=0，则=（）•=x 1x 2+y 1y 2+（x 2y 1+x 1y 2）=（x 2y 1+x 1y 2），无法得到=0，因此不一定正确．故选：A ．24．对于椭圆．若点（x 0，y 0）满足．则称该点在椭圆C （a ，b ）内，在平面直角坐标系中，若点A 在过点（2，1）的任意椭圆C （a ，b ）内或椭圆C （a ，b ）上，则满足条件的点A 构成的图形为（ ） A ．三角形及其内部 B ．矩形及其内部 C ．圆及其内部 D ．椭圆及其内部 【考点】椭圆的简单性质．【分析】点A （x 0，y 0）在过点P （2，1）的任意椭圆C （a ，b ）内或椭圆C （a ，b ）上，可得=1，+≤1．由椭圆的对称性可知：点B （﹣2，1），点C （﹣2，﹣1），点D （2，﹣1），都在任意椭圆上，即可得出．【解答】解：设点A （x 0，y 0）在过点P （2，1）的任意椭圆C （a ，b ）内或椭圆C （a ，b ）上， 则=1，+≤1．∴+≤=1，由椭圆的对称性可知：点B （﹣2，1），点C （﹣2，﹣1），点D （2，﹣1），都在任意椭圆上，可知：满足条件的点A 构成的图形为矩形PBCD 及其内部． 故选：B ．三.解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分） 25．如图，已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为，底面边长为3，求异面直线BC 1与AC 所成的角的大小．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积求出高，由A1C1与AC平行，得∠BC1A1是异面直线BC1与AC所成的角，由此利用余弦定理能求出异面直线BC1与AC所成的角的大小．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，底面边长为3，∴，解得h=4，∵A1C1与AC平行，∴∠BC1A1是异面直线BC1与AC所成的角，在△A1BC1中，A1C1=3，BC1=BA1=5，∴cos∠BC1A1==．∴∠BC1A1=arccos．∴异面直线BC1与AC所成的角的大小为arccos．26．已知函数，求f（x）的最小正周期及最大值，并指出f（x）取得最大值时x的值．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．【分析】由条件利用两角和的正弦公式化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性和最大值，得出结论．【解答】解：∵，∴函数的周期为T=2π，函数的最大值为2，且函数取得最大值时，x+=2kπ+，即x=2kπ+，k∈Z．27．如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F处．已知灯口直径是24cm，灯深10cm，求灯泡与反射镜的顶点O的距离．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设出抛物线的标准方程y2=2px（p＞0），点（10，12）代入抛物线方程求得p，进而求得，即灯泡与反光镜的顶点的距离．【解答】解：建立平面直角坐标系，以O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y 轴，如图所示：则：设抛物线方程为y2=2px（p＞0），点（10，12）在抛物线y2=2px上，∴144=2p×10．∴=3.6．∴灯泡与反射镜的顶点O的距离3.6cm．28．已知数列{a n}是公差为2的等差数列．（1）a1，a3，a4成等比数列，求a1的值；（2）设a1=﹣19，数列{a n}的前n项和为S n．数列{b n}满足，记（n∈N*），求数列{c n}的最小项（即对任意n∈N*成立）．【考点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】（1）利用等差数列通项公式和等比数列性质能求出首项a1的值．=2n﹣19+2n，由此（2）由已知利用累加法能求出b n=2﹣（）n﹣1．从而能求出c n﹣c n﹣1能求出数列{c n}的最小项．【解答】解：（1）∵数列{a n}是公差为2的等差数列．a1，a3，a4成等比数列，∴．解得d=2，a1=﹣8）（2）b n=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1=1+==2﹣（）n﹣1．，，=2n﹣19+2n由题意n≥9，上式大于零，即c9＜c10＜…＜c n，进一步，2n+2n是关于n的增函数，∵2×4+24=24＞19，2×3+23=14＜19，∴c1＞c2＞c3＞c4＜c5＜…＜c9＜c10＜…＜c n，∴．={x|f（x）＞g（x）}．29．对于函数f（x），g（x），记集合D f＞g；（1）设f（x）=2|x|，g（x）=x+3，求D f＞g（2）设f1（x）=x﹣1，，h（x）=0，如果．求实数a的取值范围．【考点】其他不等式的解法；集合的表示法．【分析】（1）直接根据新定义解不等式即可，（2）方法一：由题意可得则在R上恒成立，分类讨论，即可求出a 的取值范围，方法二：够造函数，求出函数的最值，即可求出a的取值范围．={x|x＜﹣1或x＞3}；【解答】解：（1）由2|x|＞x+3，得D f＞g（2）方法一：，，由，则在R上恒成立，令，a＞﹣t2﹣t，，∴a≥0时成立．以下只讨论a＜0的情况对于，=t＞0，t2+t+a＞0，解得t＜或t＞，（a＜0）又t＞0，所以，∴=综上所述：方法二（2），，由a≥0．显然恒成立，即x∈Ra＜0时，，在x≤1上恒成立令，，所以，综上所述：．二卷一.选择题：30．若函数f（x）=sin（x+φ）是偶函数，则ϕ的一个值是（）A．0 B． C．πD．2π【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数的奇偶性可得φ的取值范围，结合选项验证可得．【解答】解：∵函数f（x）=sin（x+φ）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即sin（﹣x+φ）=sin（x+φ），∴（﹣x+φ）=x+φ+2kπ或﹣x+φ+x+φ=π+2kπ，k∈Z，当（﹣x+φ）=x+φ+2kπ时，可得x=﹣kπ，不满足函数定义；当﹣x+φ+x+φ=π+2kπ时，φ=kπ+，k∈Z，结合选项可得B为正确答案．故选：B．31．在复平面上，满足|z﹣1|=4的复数z的所对应的轨迹是（）A．两个点B．一条线段C．两条直线D．一个圆【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】设z=x+yi，得到|x+yi﹣1|==4，从而求出其运动轨迹．【解答】解：设z=x+yi，则|x+yi﹣1|==4，∴（x﹣1）2+y2=16，∴运动轨迹是圆，故选：D．32．已知函数y=f（x）的图象是折线ABCDE，如图，其中A（1，2），B（2，1），C （3，2），D（4，1），E（5，2），若直线y=kx+b与y=f（x）的图象恰有四个不同的公共点，则k的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．C．（0，1]D．【考点】函数的图象．【分析】根据图象使用特殊值验证，使用排除法得出答案．【解答】解；当k=0，1＜b＜2时，显然直线y=b与f（x）图象交于四点，故k可以取0，排除A，C；作直线BE，则k BE=，直线BE与f（x）图象交于三点，平行移动直线BD可发现直线与f（x）图象最多交于三点，即直线y=与f（x）图象最多交于三点，∴k≠．排除D．故选B．二.填空题：33．椭圆的长半轴的长为5．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆性质求解．【解答】解：椭圆中，a=5，∴椭圆的长半轴长a=5．故答案为：5．34．已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为50π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据勾股定理得出圆锥的底面半径，代入侧面积公式计算．【解答】解：∵圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，∴圆锥的底面半径为5，∴圆锥的侧面积为π×5×10=50π．故答案为：50π．35．小明用数列{a n}记录某地区12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k天下过雨时，记a k=1，当第k天没下过雨时，记a k=﹣1（1≤k≤31），他用数列{b n}记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记b n=1，当预报第k天没有雨时，记b n=﹣1记录完毕后，小明计算出a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25，那么该月气象台预报准确的总天数为28．【考点】数列的应用．【分析】由题意，气象台预报准确时a k b k=1，不准确时a k b k=﹣1，根据a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25=28﹣3，即可得出结论．【解答】解：由题意，气象台预报准确时a k b k=1，不准确时a k b k=﹣1，∵a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25=28﹣3，∴该月气象台预报准确的总天数为28．故答案为：28．三.解答题：36．对于数列{a n}与{b n}，若对数列{c n}的每一项c n，均有c k=a k或c k=b k，则称数列{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列”．（1）设数列{a n}与{b n}的前三项分别为a1=1，a2=3，a3=5，b1=1，b2=2，b3=3，若{c n}是{a n}与{b n}一个“并数列”求所有可能的有序数组（c1，c2，c3）；（2）已知数列{a n}，{c n}均为等差数列，{a n}的公差为1，首项为正整数t；{c n}的前10项和为﹣30，前20项的和为﹣260，若存在唯一的数列{b n}，使得{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列”，求t的值所构成的集合．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（1）利用“并数列”的定义即可得出．（2）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得a n，公差d，c n，通过分类讨论即可得出．【解答】解：（1）（1，2，3），（1，2，5），（1，3，3），（1，3，5）；（2）a n=t+n﹣1，设{c n}的前10项和为T n，T10=﹣30，T20=﹣260，得d=﹣2，c1=6，所以c n=8﹣2n；c k=a k 或c k=b k．，∴k=1，t=6；或k=2，t=3，所以k≥3．k∈N*时，c k=b k，∵数列{b n}唯一，所以只要b1，b2唯一确定即可．显然，t=6，或t=3时，b1，b2不唯一，．7月25日21 / 21。
上海市春季高考数学试卷(含答案).doc
上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷一•填空题(本大题满分36分)本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分。
1.函数y = log2(x + 2)的定义域是 _________________2.方程2v = 8的解是_________________3.抛物线/=8x的准线方程是___________________4.函数y = 2sin x的最小正周期是_________________5.已知向量5 = (1, k),方= (9M —6)。
若万〃方，则实数k= _______________6.函数j = 4sinx + 3cosx的最大值是__________________7.复数2 + 3/ (d是虚数单位)的模是__________________8.在AABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b、c ,若a = 5,/? = & 3 = 60°,贝ijb二—9.在如图所示的正方体ABCD_A、B\C\D\中，异面直线A/与所成角的大小为 ____________________________ 110.从4名男同学和6名女同学屮随机选取3人参加某社团活动，选岀的3人屮男女同学都有的概率为________ (结果用数值表示)。
11.若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前"项和»二_________________ o12.36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22X32,所以36的所有正约数之和为(1+3+32)+(2+2X3+2X32)+(22+22X3+22X32)=(1+2+22)(1+3+32)=91参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为________________________________二.选择题(本大题满分36分)本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。
2015年上海市春季高考数学模拟试卷五
2015年上海市春季高考模拟试卷五一、填空题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1、函数)2(log 2-=x y 的定义域是_____________．2、已知i 是虚数单位，复数z 满足1)31(=+⋅i z ，则=||z _______．3、已知函数)(x f y =存在反函数)(1x f y -=，若函数)1(-=x f y 的图像经过点)1,3(，则)1(1-f的值是___________．4、已知数列}{n a 的前n 项和2n S n =（*N ∈n ），则8a 的值是__________． 5、已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为π202cm ，则此圆锥的体积为________3cm ．6、已知θ为第二象限角，54sin =θ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πθ____________． 7、已知双曲线12222=-b y a x （0>a ，0>b ）满足021=b a ，且双曲线的右焦点与 抛物线x y 342=的焦点重合，则该双曲线的方程为______________．8、分别从集合}4,3,2,1{=A 和集合}8,7,6,5{=B 中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是_________．9、在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为)2,1(A ，)3,7(-B ，点C 在直线4=y 上运动，O 为坐标原点，G 为△ABC 的重心，则OC OG ⋅的最小值为__________．10、若nn r r ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→12lim 存在，则实数r 的取值范围是_____________．11、设集合}1)4(),{(22=+-=y x y x A ，}1)2()(),{(22=+-+-=at y t x y x B ，若存在实数t ，使得∅≠B A ，则实数a 的取值范围是___________．12、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥++=0,,0,12)(22x c bx x x x ax x f 是偶函数，直线t y =与函数)(x f 的图像自左至右依次交于四个不同点A 、B 、C 、D ，若||||BC AB =，则实数t 的值为________．二、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）13、设向量)1,1(-=x a，)1,3(+=x b ，则“a ∥b ”是“2=x ”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件14、若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+22展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）A ．180B ．120C ．90D ．4515、将函数x y 2sin =（R ∈x ）的图像分别向左平移m （0>m ）个单位，向右平移n （0>n ）个单位，所得到的两个图像都与函数⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin πx y 的图像重合，则n m + 的最小值为（ ）A ．32π B ．65π C ．π D ．34π 16、已知α为锐角，4sin 5α=，则tan()4πα+=（ ）A ．17- B ．17 C ．-7D ．717、复数11z i=-（i 为虚数单位）的共轭复数z 是（ ）A ．1-iB ．1+iC ．1122i +D ．1122i - 18、建立从集合{1,2,3,4}A =到集合{5,6,7}B =的所有函数，从中随机抽取一个函数，则其值域是B 的概率为（ ） A ．916B ．316C ．49D ．8919、将函数()2sin(2)4f x x π=+的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍，所得图象关于直线4x π=对称，则ϕ的最小正值为（ ） A ．18πB ．38πC ．34πD ．12π20、已知数列{}n a 满足*111,2()n n n a a a n N +=⋅=∈，则2012S =（ ） A ．201221-B ．1006323⨯-C ．1006321⨯-D ．1005322⨯-21、已知函数()f x 的导函数的图像如图所示，a 、b 、c 分别若ABC ∆所对的边且222334a b c ab +-=角三角形，则一定成立的是（ ） A ．(sin )(cos )f A f B ≤ B ．(sin )(cos )f A f B ≥ C ．(sin )(sin )f A f B ≥D ．(cos )(cos )f A f B ≤22、若关于x 的不等式|2||3|x x a -++<的解集为∅，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],1-∞B ．(),1-∞C ．(],5-∞D ．(,5)-∞23、定义域为R 的函数()f x 满足(2)3()f x f x +=，当[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，若[4,2]x ∈--时，13()()8f x t t≥-恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(](],10,3-∞-B ．((,30,3⎤⎤-∞-⎦⎦C ．[)[)1,03,-+∞D ．))3,03,⎡⎡-+∞⎣⎣24、设函数)(x f 的定义域为D ，若存在闭区间D b a ⊆],[，使得函数)(x f 满足：①)(x f 在],[b a 上是单调函数；②)(x f 在],[b a 上的值域是]2,2[b a ，则称区间],[b a 是函数)(x f 的“和谐区间”．下列结论错误的是………………………………………（ ） A ．函数2)(x x f =（0≥x ）存在“和谐区间”B ．函数xe xf =)(（R ∈x ）不存在“和谐区间” C ．函数14)(2+=x xx f (0≥x ）存在“和谐区间” D ．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=81log )(x a a x f （0>a ，1≠a ）不存在“和谐区间”三、解答题 25、（本题满分7分）已知函数3cos 32cos sin 2)(2-+=x x x x f ，R ∈x ． （1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （2）在锐角三角形ABC 中，若1)(=A f ，2=⋅AC AB ，求△ABC 的面积．26、（本题满分7分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为159,6,63.n A a a A +== （1）求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和;n A（2）数列{}n b 的前n 项和n B 满足：*681,()n n B b n N =-∈，数列{}n n a b ⋅的前n 项和为n S ，求证：1.48n n S ≥-27、（本题满分8分）A 的底面边长为2，侧棱长为3，E为棱BC的中点．如图，正三棱锥BCD（1）求异面直线AE与CD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求该三棱锥的体积V．ABDEC28、（本题满分13分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为4，且点31,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过P 作方向向量()2,1d =的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，求证：22PA PB +为定值．29、（本题满分12分） 已知函数2)(++=xmx x f （m 为实常数）． （1）若)(x f y =图像上动点P 到定点)2,0(Q 的距离的最小值为2，求实数m 的值； （2）若)(x f y =在区间),2[∞+上是增函数，试用单调性的定义求实数m 的取值范围.（3）设0<m ，若不等式kx x f ≤)(在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21x 有解，求k 的取值范围． 30、（本题满分13分）过点(42)P ，作直线l 交x 轴于A 点、交y 轴于B 点，且P 位于AB 两点之间. （1）3AP PB =，求直线l 的方程；（2）求当AP PB ⋅取得最小值时直线l 的方程.31、（本题满分18分）已知1m >，直线l ：202m x my --=，椭圆C ：2221x y m +=，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点.（1）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程； （2）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点. （ⅰ）求线段AB 长度的最大值；（ⅱ）12AF F V ，12BF F V 的重心分别为G ，H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.xylAOB2015年春季高考模拟试卷五参考答案13-17BACCD 18-24CBBAC CD 25、详细解答如下：26、223,2n n a n A n n =-=-；11161111111,0418********n n n n n n n n S S S n +++-=+-=->⋅⋅. 27、详细解答如下：28、详细解答如下：29、详细解答如下：30、解：显然直线l 的斜率k 存在且0k ≠，设l ：(4)2y k x =-+，得2(40)A k-，，(024)B k -， 因为P 位于AB 两点之间，所以244k->且242k ->，所以0k <. 2(2)AP k =，，(44)PB k =--，. （1）3AP PB =，所以23(4)k=⋅-，所以16k =-. 直线l 的方程为6160x y +-=.（2）18(()())16AP PB k k⋅=-+-≥，当1k k -=-即1k =-时，等号成立. 所以当AP PB ⋅取得最小值时直线l 的方程为60x y +-=31、解：（1）因为直线l ：202m x my --=经过22(10)F m -，， 所以2212m m -=，得22m =， 又因为1m >，所以2m =，故直线l 的方程为210x y --=（2）设11()A x y ，，22()B x y ，由222221m x my x y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去x 得222104m y my ++-=， 则由2228(1)804m m m ∆=--=-+>，知28m <， 且有122m y y +=-，212182m y y ⋅=- （ⅰ）222212121212||()()(1)(()4)AB x x y y m y y y y =-+-=++-2222222111817(1)(()4())(1)(8)()2822242m m m m m m =+--⋅-=+-=-- 所以，当272m =时，max 9||4AB = （ⅱ）由于1(0)F c -，，2(0)F c ，，可知11()33x y G ，，22()33x y H ，， 因为原点O 在以线段GH 为直径的圆内，所以0OH OG ⋅<，即12120x x y y +<， 所以2212121212()()22m m x x y y my my y y +=+++221(1()082m m =+-<）， 解得24m <（符合28m <）又因为1m >，所以m 的取值范围是(12)，。
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2015年上海市春季高考数学试卷（学业水平考试）
2015.1
一. 填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）
1. 设全集为{1,2,3}U =，{1,2}A =，若集合则U C A = ；
2. 计算：
1i
i
+= ；
（其中i 为虚数单位） 3. 函数sin(2)4
y x π
=+
的最小正周期为 ；
4. 计算：22
3
lim 2n n n n
→∞-=+ ； 5. 以(2,6)为圆心，1为半径的圆的标准方程为 ； 6. 已知向量(1,3)a =，(,1)b m =-，若a b ⊥，则m = ； 7. 函数2
24y x x =-+，[0,2]x ∈的值域为 ； 8. 若线性方程组的增广矩阵为0201a b ⎛⎫
⎪
⎝⎭，解为2
1
x y =⎧⎨=⎩，则a b += ； 9. 方程lg(21)lg 1x x ++=的解集为 ； 10. 在9
21()x x
+
的二项展开式中，常数项的值为 ； 11. 用数字组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 ；（结果用数值表示） 12. 已知点(1,0)A ，直线:1l x =-，两个动圆均过点A 且与l 相切，其圆心分别为1C 、2C ，若动点M 满足22122C M C C C A =+，则M 的轨迹方程为 ；
二. 选择题（本大题共12题，每题3分，共36分） 13. 若0a b <<，则下列不等式恒成立的是（ ） A.
11
a b
> B. a b -> C. 22a b > D. 33a b <； 14. 函数2
(1)y x x =≥的反函数为（ ）
A. y =(1)x ≥
B. y =(1)x ≤-
C. y =(0)x ≥
D. y =(0)x ≤
15. 不等式
2301
x
x ->-的解集为（ ）
A. 3(,)4-∞
B. 2(,)3-∞
C. 2(,)
(1,)3-∞+∞ D. 2
(,1)3
16. 下列函数中，是奇函数且在(0,)+∞上单调递增的为（ ） A. 2
y x = B. 13
y x = C. 1
y x -= D. 12
y x -=
17. 直线3450x y --=的倾斜角为（ ） A. 3arctan
4 B. 3arctan 4π- C. 4arctan 3 D. 4arctan 3
π- 18. 底面半径为1，母线长为2的圆锥的体积为（ ）
A. 2π
B.
C.
23
π
D. 19. 以(3,0)-和(3,0)为焦点，长轴长为8的椭圆方程为（ ）
A.
2211625x y += B. 221167x y += C. 2212516x y += D. 22
1716
x y += 20. 在复平面上，满足|1|||z z i -=+（i 为虚数单位）的复数z 对应的点的轨迹为（ ） A. 椭圆 B. 圆 C. 线段 D. 直线
21. 若无穷等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d <，{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A. n S 单调递减 B. n S 单调递增 C. n S 有最大值 D. n S 有最小值 22. 已知0a >，0b >，若4a b +=，则（ ）
A. 2
2
a b +有最小值 B.
C.
11
a b +有最大值 D. 有最大值
23. 组合数122m m m n n n C C C --++*
(2,,)n m m n N ≥≥∈恒等于（ ）
A. 2m n C +
B. 12m n C ++
C. 1m n C +
D. 1
1m n C ++
24. 设集合21{|10}P x x ax =++>，22{|20}P x x ax =++>，2
1{|0}Q x x x b =++>，
22{|20}Q x x x b =++>，其中,a b R ∈，下列说法正确的是（ ）
A.对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集
B. 对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集
C. 存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集
D. 存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集
三. 解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）
25. 如图，在正四棱柱中1111ABCD A B C D -，1AB =，1D B 和平面ABCD 所成的角的大
小为，求该四棱柱的表面积；
26. 已知a 为实数，函数24
()x ax f x x
++=是奇函数，求()f x 在(0,)+∞上的最小值及取
到最小值时所对应的x 的值；
27. 某船在海平面A 处测得灯塔B 在北偏东30︒
方向，与A 相距6.0海里，船由A 向正北方向航行8.1海里到达C 处，这时灯塔B 与船相距多少海里（精确到0.1海里）？B 在船的什么方向（精确到1︒
）？
28. 已知点1F 、2F 依次为双曲线22
22:1x y C a b
-=(,0)a b >的左右焦点，126F F =，
1(0,)B b -，2(0,)B b ；
（1）若a =
(3,4)d =-为方向向量的直线l 经过1B ，求2F 到l 的距离；
（2）若双曲线C 上存在点P ，使得122PB PB ⋅=-，求实数b 的取值范围；
29. 已知函数2
()|22|x f x -=-(R)x ∈；
（1）解不等式()2f x <；
（2）数列{}n a 满足()n a f n =*
(N )n ∈，n S 为{}n a 的前n 项和，对任意的4n ≥，不等式
1
2
n n S ka +
≥恒成立，求实数k 的取值范围；
附加题
一. 选择题（本大题共3题，每题3分，共9分） 1. 对于集合A 、B ，“A B ≠”是“A
B A B ⊂≠”的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
2. 对于任意实数a 、b ，2
()a b kab -≥均成立，则实数k 的取值范围是（ ） A. {4,0}- B. [4,0]- C. (,0]-∞ D. (,4][0,)-∞-+∞ 3. 已知数列{}n a 满足413n n n n a a a a ++++=+()n N *
∈，那么（ ） A. {}n a 是等差数列 B. 21{}n a -是等差数列 C. 2{}n a 是等差数列 D. 3{}n a 是等差数列
二. 填空题（本大题共3题，每题3分，共9分）
4. 关于x 的实系数一元二次方程2
20x px ++=的两个虚数根为1z 、2z ，若1z 、2z 在复平 面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为 ；
5. 已知圆心为O ，半径为1的圆上有三点A 、B 、C ，若7580OA OB OC ++=，则
||BC = ；
6. 函数()f x 与()g x 的图像拼成如图所示的“Z ”字形 折线段ABOCD ，不含(0,1)A ，(1,1)B ，(0,0)O ，
(1,1)C --，(0,1)D -五个点，若()f x 的图像关于
原点对称的图形即为()g x 的图像，则其中一个函数 的解析式可以为 ；
三. 解答题（本大题12分）
7. 对于函数()f x 、()g x ，若存在函数()h x ，使得()()()f x g x h x =⋅，则称()f x 是()g x 的“()h x 关联函数”
（1）已知()sin f x x =，()cos g x x =，是否存在定义域为R 的函数()h x ，使得()f x 是
()g x 的“()h x 关联函数”？若存在，写出()h x 的解析式；若不存在，说明理由；
（2）已知函数()f x 、()g x 的定义域为[1,)+∞，当[,1)x n n ∈+()n *
∈N 时，()f x =
12sin 1n x
n
--，若存在函数1()h x 及2()h x ，使得()f x 是()g x 的
“1()h x 关联函数”，且()g x 是()f x 的“2()h x 关联函数”，求方程()0g x =的解；
参考答案
一. 填空题
1. {3}；
2. 1i -；
3. π；
4. 0.5；
5. 2
2
(2)(6)1x y -+-=； 6. 3； 7. [3,4]； 8. 2； 9. {2}； 10. 84； 11. 320； 12. 2
21y x =-；
二. 选择题
13. D ； 14. A ； 15. D ； 16. B ； 17. A ； 18. D ； 19. B ； 20. D ； 21. C ； 22. A ； 23. A ； 24. A ；
三. 解答题 25. 8；
26. 0a =，2x =，min ()4f x =； 27. 4.2BC ≈海里，南偏东46︒
；
28.（1） 3.6d =；（2）b ≥ 29.（1）4x <；（2）2514
k ≤； 附加题
1. C ；
2. B ；
3. D ；
4. ；
5.
6. ,10
()1,01x x f x x -<<⎧=⎨<<⎩
；
7.（1）不存在，定义域不为R ；（2）2
x π
=
；。