第十二章 全等三角形知识点

第十二章全等三角形

一、基础知识梳理

1、全等形：即能够的图形叫全等形。

（1）全等的图形必须满足：（a）形状相同的图形；（b）大小相等的图形；

（2）、能够叫做全等三角形。

对应顶点：和；和；和；

对应边： = ； = ； = ；

对应角： = ； = ； = ；

(3)全等三角形的表示:全等用符号表示,读作: .

2、图形变换的三种方式是：、、。经过这三种变换前后的图形 .

3、全等三角形的性质

（1）全等三角形相等；（2）全等三角形相等；

(3）全等三角形周长、相等。

4、全等三角形的判定方法：

（1）三边对应相等的两个三角形全等。简写成“”。

几何语言：(如右图所示)

在△ABC和△DEF中

（2）两边和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。简写成“”。

几何语言：(如右图所示)

在△ABC和△DEF中

（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。简写成“”。

几何语言：(如右图所示)

在△ABC和△DEF中

（4）两边和其中一个角的对应相等的两个三角形全等。简写成“”。

几何语言：(如右图所示)

在△ABC和△DEF中

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简写成“ ”。

几何语言：(如右图所示)

在Rt △ABC 和Rt △DEF 中

5、尺规作图 只用 和 作图的方法称为尺规作图.

6、角平分线的性质及判定

(1).性质：角平分线上的点到这个角的两边的 . 几何语言：

(2).判定：到一个角的两边距离相等的点 几何语言：

(3).三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等． 证明文字命题的一般步骤：

证明文字命题，第一是要根据题意画出合适的图形；第二要根据题意和图形写出已知和求证；第三是写出证明过程。

二、针对训练

1．△ABC ≌△A ′B ′C ′，△A ′B ′C ′，的周长为32cm ，A ′B ′＝9 cm ，B ′C ′＝12cm ，则AB ＝ cm ，BC ＝ cm ；AC ＝ cm ．

2．如图13—1—9，△ABE ≌ACD ，∠AEB ＝∠ADC ＝90°，则其他对应角有 ，对应边有 ． 3．下列命题中正确的是 （ ）

A ．全等三角形是指形状相同的两个三角形

B ．全等三角形是指面积相等的两个三角形

C ．两个等边三角形是全等三角形

D ．全等三角形周长、面积分别相等

4．已知△DEF ≌△ABC ，AB ＝AC ，且△ABC 的周长是23cm ，BC ＝4cm ，则△DEF 的边中必有一条边等于 （ ）

A ．9．5cm

B ．9．5 cm 或9 cm

C ．6cm

D ．4cm 或9cm 5．下列命题中，真命题的个数是 （ ）

①全等三角形的周长相等 ②全等三角形的对应角相等 ③全等三角形的面积相等 ④面积相等的两个三角形全等 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 6. 能使两个直角三角形全等的条件是( ) A. 两直角边对应相等 B. 一锐角对应相等 C. 两锐角对应相等 D. 斜边相等

C

F

7．能确定△ABC ≌△DEF 的条件是 （ ）

A ．A

B ＝DE ，B

C ＝EF ，∠A ＝∠E B ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠C ＝∠E C ．∠A ＝∠E ，AB ＝EF ，∠B ＝∠

D D ．∠A ＝∠D ，AB ＝D

E ，∠B ＝∠E 8．如图4－3，已知△ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC 全等的图形是 （ ）

图4－3

A ．甲和乙

B ．乙和丙

C ．只有乙

D ．只

有丙

9．如图，在△ABC 和△ABD 中，∠C=∠D=90°， 若利用“AAS ”证明△ABC ≌△ABD ，则需要加条件

_______或 ；

若利用“HL ”证明△ABC ≌△ABD ，则需要加条件或 ．

10. 已知：如图3，AD=AE ，点D 、E 在BC 上，BD=CE ，∠1=∠2.求证： △ABD ≌△ACE

11. 已知：如图4，点A 、C 、B 、D 在同一直线上，AC=BD,AM=CN ， BM=DN.求证： AM ∥CN ，BM ∥DN

7．已知：如图2－4，AD ＝BC ．AC ＝BD ．试证明：∠CAD ＝∠DBC .

B

8．已知：如图4－2，AC BD ．求证：OA ＝OB ，OC ＝OD ．

9.已知：如图4－6，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ． 求证：HN ＝PM .

10.如图，AB=CD ，DF ⊥AC 于F ，BE ⊥AC 于E ，DF=BE ，求证：AF=CE.

11、如图（14）在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，AE 是BC 的中线，过点C 作CF ⊥AE 于F ，过B 作BD ⊥CB 交CF 的延长线于点D 。 （1）求证：AE=CD ，（2）若BD=5㎝，求AC 的长。

12.三角形中到三边距离相等的点是（ ） A 、三条边的垂直平分线的交点

B 、三条高的交点

C 、三条中线的交点

D 、三条角平分线的交点 13．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝16 cm ，∠BAC 的平分线AD

交BC 于D ，且CD ∶DB ＝3∶5，则D 到AB 的距离等于 ． 第13题图 14．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 是∠BAC 的平分线，

BE ⊥AB ，垂足为E ，若AB ＝20 cm ，则△DBE 的周长等于 ． 15．如图，△ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的平分线

交BC 于点D ，若CD=4，则点D 到AB 的距离是 ．

A D C B

F E F E

（图14）D C

B A