第13讲 空间向量与立体几何综合

第十三讲 空间向量与立体几何综合

A 组

一、选择题

1、已知,a b 是非零向量，若向量a 是平面α的一个法向量，则“0a b ⋅=”是“向量b 所在的直线平行于平面α”的（ ）条件

A. 充分不必要

B. 必要不充分

C. 充分必要

D. 既不充分也不必要 答案：B

2、已知向量)0,1,1(=a ，)2,0,1(-=b ，且b a k +与b a -2互相垂直，则k 的值是（ ） A ．1 B.

51 C.53 D. 5

7 【解析】 D b a k +(1,,2),k k =-b a -2(3,2,2),=-b a k +与b a -2互相垂直，

(1,,2)(3,2,2)570,k k k ∴--=-=解得7

5

k =

，故选D ． 3、在空间直角坐标系o xyz -中，平面OAB 的法向量为()2, 2,1a =-, 已知()P 1, 3, 2－，则P 到平面

OAB 的距离等于 （ ）

A ．4 B. 2 C. 3 D. 1

【解析】B 因为向量OP 在平面OAB 的法向量投影的绝对值为P 到平面OAB 的距离，所以

23

6

||

||

==

=a a OP d

4、如图，空间四边形CD AB 中，M ，G 分别是C B ，CD 的中点，则11

C D 22

AB +B +B 等于（ ） A ．D A B ．G A C ．G A D ．G M 【答案】C 【解析】

试题分析： 如图所示，连结BG,AG ，则由G 是CD 的中点 可得BC+BD=2BG ，又AB+BG=2AG ，故

()

111

C D C D 222

G G AB +B +B =AB +B +B =AB +B =A

二、填空题

5、若(2,3,1)a =-,(2,1,3)b =-,则,a b 为邻边的平行四边形的面积为 ．

【答案】56 【解析】 因为2

cos ,7||||1414

a b a b a b ⋅<>=

==-⨯,所以2235sin ,1()7a b <>=--=

,故所求的平行四边形的面积为35

||||sin ,1414657

a b a b <>=⨯⨯

=. 6、如图，已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，点H 在棱1AA 上，且11HA =，在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1EFGC ，P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长，则当点P 运动时，2

||HP 的最小值是（ ）

A ．21

B ．22

C ．23

D ．25 【答案】B

【解析】在1BB 上取点K ，使得11B K ＝，则HK ⊥面11BCC B ，连结PK ，则

222216HP HK PK PK ＝＋＝＋．在平面11BCC B 上，以1CC 所在直线为x 轴，以GF 所在直线为y 轴，由

题意可知，P 点轨迹为抛物线，其方程为2

21x y -＝，K 点坐标为()04，，

设()P x y ，，则2

21x y =-（其中1[22371],x y ⎡⎤

∈-∈⎢⎥⎣⎦

，

，，()2

2222421816615PK x y y y y y y =+-=-+-+=-+当17,22

3y ⎡⎤

=∈⎢⎥⎣⎦

时，2

min 6|PK ＝，故2min |16622HP ＝

＋＝．

三、解答题

7．（2017年北京卷理）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD//平面MAC ，PA =PD 6，AB=4． （I ）求证：M 为PB 的中点；

（II ）求二面角B -PD -A 的大小；

（III ）求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．

【解析】（I ）设,AC BD 交点为E ，连接ME . 因为PD ∥平面MAC ，平面MAC

平面PBD ME =，所以PD ME ∥.

因为ABCD 是正方形，所以E 为BD 的中点，所以M 为PB 的中点

.

（II ）取AD 的中点O ，连接OP ，OE .

因为PA PD =，所以OP AD ⊥.

又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且OP ⊂平面PAD ，所以OP ⊥平面ABCD . 因为OE ⊂平面ABCD ，所以OP OE ⊥. 因为ABCD 是正方形，所以OE AD ⊥.

如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,2)P ，(2,0,0)D ，

(2,4,0)B -，

(4,4,0)BD =-，(2,0,2)PD =-.

设平面BDP 的法向量为(,,)x y z =n ，则00

BD PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即440

220x y x z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩.

令1x =，则1y =，2z =

.于是(1,1,2)=n .

平面PAD 的法向量为(0,1,0)=p ，所以1cos ,||||2

⋅=

=<>n p n p n p .

由题知二面角B PD A --为锐角，所以它的大小为

3

π.