完整word版天体运动中的追及相遇问题
天体的追及与相遇问题
t t 1n T1 T2 2
[例8] 如图所示，A是地球的同步卫星。另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面 内，离地面高度为h。已知地球半径为R，地球自转角速度为ω0，地球表面的 重力加速度为g，O为地心。 (1)求卫星B的运行周期； (2)如果卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近(O、 B、A在同一直线上)，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？
T1 T2
一、某星体的两颗卫星从相距最近到再次相距最 近遵从的规律：
内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星 所转过的圆心角之差为2π的整数倍。
二、某星体的两颗卫星从相距最近到相距最远遵 从的规律：
内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星 所转过的圆心角之差为π的奇数倍。
天体的追及与相遇问题
两天体（行星、卫星或探测器）相遇，实际上是指两天体相距最近。
绕行方向相同的两卫星和天体的连线在同一直线上，处于内轨道的卫 星周期T1小，处于外轨道的卫星周期T2大。
(1)当两卫星都在天体同侧时，那么当t满足下列式子时两卫星相距最近：
1t 2t 2n (n 1,2,3)
t t n T1 T2
(2)当两卫星在天体异侧时，那么当t满足下列式子时两卫星相距最近：
反思提升
对于天体追及问题的处理思路：
(1)根据GM r2 m＝mrω2，可判断出谁的角速度大； (2)根据两星追上或相距最近时满足两星运行的角度差等于
2π 的整数倍，相距最远时，两星运行的角度 差等于 π 的奇数倍。
在与地球上物体追及时，要根据地球上
T1 T2
物体与同步卫星角速度相同的特点进行判断。
天体的追及与相遇问题
知
识
天体当中的追及问题
对于天体追及问题的处理思路
相距最近ωt－ω t＝2πN
T1
相距最近t/T2－ t/T１＝N
GMm r2
＝mr
2
T2
GMm r2
＝mr
4
T2
2
相距最远t/T2－ t/T１＝N+0.5
相距最远ωt/T2－ω t/T１＝2πN+π
同学，下节再见
创新微课 现在开始
天体当中的追及问题
天体当中的追及问题
T1 T2
设t为再次相遇时间,则有
t/T2－ t/T１＝N,其中N 为t时间相遇的次数. 设t为相距最远时间,则有
t/T2－ t/T１＝N+0.5,其中
N为t时间相遇的次数.
创新微课
一、某星体的两颗卫星从相距最近到 再次相距最近遵从的规律：
内外卫星所转过的圆心角之差
A.各地外行星每年都会出现冲日现象 B.在2015年内一定会出现木星冲日 C.天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半 D.地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短
创新微课
例2.我国女宇航员王亚平搭乘“神舟十号”飞船于2013年6月上旬飞向太空,“神舟十 号”发射初始轨道为近地点约200 km、远地点约330 km的椭圆轨道,升空后再和目标 飞行器“天宫一号”对接,交会对接轨道为距地约343 km的近圆轨道.假设“神舟十号 ”飞船发射升空后,先后经历了多次变轨,调整到处于“天宫一号”目标飞行器后方约 52 km处, 并与“天宫一号”处于距离地面高度相同的同一圆形轨道上,最后与“天宫
1 2 2n
二、某星体的两颗卫星从相距最近到 相距最远遵从的规律：
内外卫星所转过的圆心角之差
1 2 (2n 1)
(完整版)“双星”问题及天体的追及相遇问题
【答案】D
【解析】设未知的行星的周期为T，依题意有： ，则 ，根据开普勒第三定律： ，联立解得： ，D正确，ABC错误．故选：D。
【类题训练4】如图建筑是厄瓜多尔境内的“赤道纪念碑”。设某人造地球卫星在赤道上空飞行,卫星的轨道平面与地球赤道重合,飞行高度低于地球同步卫星。已知卫星轨道半径为r,飞行方向与地球的自转方向相同,设地球的自转角速度为ω0,地球半径为R,地球表面重力加速度为g,某时刻卫星通过这一赤道纪念碑的正上方,该卫星过多长时间再次经过这个位置?( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】对双黑洞中的任一黑洞： 得
对另一黑洞： 得
又 联立可得：
则 即
双黑洞总质量 。故A项正确。
点睛：双星模型与卫星模型是万有引力部分的典型模型，要能熟练应用。
【类题训练1】引力波现在终于被人们用实验证实，爱因斯坦的预言成为科学真理．早在70年代有科学家发现高速转动的双星，可能由于辐射引力波而使质量缓慢变小，观测到周期在缓慢减小，则该双星间的距离将（ ）
A. A星的轨道半径为
B. A星和B星的线速度之比为m1：m2
C.若A星所受B星的引力可等效为位于O点处质量为 的星体对它的引力，则
D.若在O点放一个质点，它受到的合力一定为零
【答案】C
【解析】试题分析：双星系统是一个稳定的结构，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，角速度相等，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】试题分析：在地球表面重力与万有引力大小相等，根据卫星的轨道半径求得卫星的角速度，所以卫星再次经过这个位置需要最短时间为卫星转动比地球转动多一周，从而求得时间
天体追及相遇问题
天体追及相遇问题
嘿，让我们来聊聊超有趣的天体追及相遇问题呀！
比如说，两颗行星就像在浩瀚宇宙赛道上赛跑的运动员，它们啥时候能碰面呢？这就是其中一个问题呀！想象一下，就像你在操场上跑步，你和另一个人跑的速度不一样，那你们会在什么时候碰到一起呢？这是不是很神奇？
还有呀，假如有一颗小行星在绕着恒星转，另一颗星星从远方飞过来，它们会不会恰好相遇呢？这就好像你在路上走，突然看到对面有个人朝你走来，你们会不会在某个点交汇呢？这多有意思啊！
再想想，如果一个星系中有多个天体，它们之间的追及相遇情况那可就更复杂啦！不就像一场混乱但又充满惊喜的宇宙派对吗？它们之中谁会和谁先碰上呢？这难道不让你超级好奇吗？。
(完整版)天体运动中的追及相遇问题
天体运动中的追及相遇问题信阳高中陈庆威2013.09.17在天体运动的问题中，我们常遇到一些这样的问题。
比如，A、B两物体都绕同一中心天体做圆周运动，某时刻A、B相距最近，问A、B下一次相距最近或最远需要多少时间，或“至少”需要多少时间等问题。
而对于此类问题的解决和我们在直线运动中同一轨道上的追及相遇问题在思维有上一些相似的地方，即必须找出各相关物理量间的关系，但它也有其自身特点。
根据万有引力提供向心力，即当天体速度增加或减少时，对应的圆周轨道就会发生相应的变化，所以天体不可能在同一轨道上实现真正意义上的追及或相遇。
天体运动的追及相遇问题中往往还因伴随着多解问题而变得更加复杂，成为同学们学习中的难点。
而解决此类问题的关键是就要找好角度、角速度和时间等物理量的关系。
一、追及问题【例1】如图1所示，有A、B两颗行星绕同一颗恒星M做圆周运动，旋转方向相同，A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，在某一时刻两行星相距最近，则①经过多长时间，两行星再次相距最近？②经过多长时间，两行星第一次相距最远？解析：A、B两颗行星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，因此T1<T2。
可见当A运动完一周时，B还没有达到一周，但是要它们的相距最近，只有A、B行星和恒星M的连线再次在一条直线上，且A、B在同侧，从角度上看，在相同时间内，A比B多转了2π；如果A 、B 在异侧，则它们相距最远，从角度上看，在相同时间内，A 比B 多转了π。
所以再次相距最近的时间t 1，由；第一次相距最远的时间t 2，由。
如果在问题中把“再次”或“第一次”这样的词去掉，那么就变成了多解性问题。
【例2】如图2，地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动。
地球的轨道半径为R ，运转周期为T 。
地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线的夹角叫地球对行星的观察视角（简称视角）。
已知该行星的最大视角为θ，当行星处于最大视角处时，是地球上天文爱好者观察该行星的最佳时期。
一轮--天体运动中的变轨、对接、追及相遇问题知识讲解
2 π） T同
t1
分 析 ： 1.由 1到 2轨道 点 火 加 速 ， 外 力 对 飞船 做 正 功 ， 机 械 能 增 加， A错 .
2.由 开 普 勒 第 二 定 律（ 面 积 定 律 ） ， 近 地 点速 率 大 ， 远 地 点 速 率 小， B对 .
3.由 开 普 勒 第 三 定 律（ 周 期 定 律 ） ，r3 T2
分 析 ： 飞 船 与 同 步 卫 星相 距 最 近 的 次 数 ， 即 是卫 星 发 射 信 号 的 次 数 ，
也 是 接 收 站 接 收 到 信 号的 次 数 .r船 10600km，同r 42400km.
由 开 普 勒 第 三 定 律 ：k
r同3 T同2
r船3 T船2
T船
3h.
1.从 相 距 最 远 到 第 一次 相 距 最 近 经1t.则 （2T船π
分钟)、丙是地球的同步卫星，它们运行的轨道示意图如图所示，它们都绕地心做匀
速圆周运动。下列有关说法中正确的是( AD )
A．它们运动的向心加速度大小关系是a乙＞a丙＞a甲
B．它们运动的线速度大小关系是v乙＜v丙＜v甲 C．已知甲运动的周期T甲＝24h，可计算出地球的密度
ρ
3π G T甲2
D．已知乙运动的周期T乙及轨道半径r乙，可计算出地球质量
1.由GMm r2
mrω2 ,或
ω
2 π判 断 并 求出 ω .
2.两星追上或相距最近满足：ωAt ωBt n 2π，(n 1、2、3...）
3.两星相距最远满足：ωAt ωBt （2n1）π，(n 0、1、2、3..）.
地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径(AU) 1.0 1.5 5.2 9.5 19
天体运动中的追击相遇问题
天体运动中的追击相遇问题1.天文上曾出现几个行星与太阳在同一直线上的现象，假设地球和火星绕太阳的运动看作是匀速圆周运动，周期分别是T1和T2，它们绕太阳运动的轨道基本上在同一平面上，若某时刻地球和火星都在太阳的一侧，三者在一条直线上，那么再经过多长的时间，将再次出现这种现象（已知地球离太阳较近，火星较远）（）再次出现这种现象（已知地球离太阳较近，火星较远）（）2. 如图，两颗行星和太阳在同一条直线上．外面的行星B每12年绕太阳一周，里面的行星A每3年绕太阳一周．两颗行星都沿顺时针方向运行．如果今年这两颗行星和太阳形成一条直线，再过多少年两颗行星又将和太阳形成一条直线？解：根据行星A与行星B要成一条直线就是说它们要成180°，设N年成一条直线．行星B12年绕一圈就是说一年转30度，行星A3年绕一圈一年就是转120度，所以得到：120°×N-30°×N=180°，解得：N=2，所以过2年两颗行星又将和太阳形成一条直线．3.（2007•黄冈）张宇同学是一名天文爱好者，他通过查阅资料得知：地球、火星的运行轨道可以近似地看成是以太阳为圆的两个同心圆，且这两个同心圆在同一平面上（如图所示）．由于地球和火星的运行速度不同，所以二者的位置不断发生变化．当地球、太阳和火星三者处在一条直线上，且太阳位于地球、火星中间时，称为“合”；当地球、太阳和火星三者处在一条直线上，且地球于太阳与火星中间时，称为“冲”．另外，从地球上看火星与太阳，当两条视线互相垂直时，分别称为“东方照”和“西方照”．已知地球距太阳15（千万千米），火星距太阳20.5（千万千米）．（1）分别求“合”、“冲”、“东方照”、“西方照”时，地球与火星的距离（结果保留准确值）；（2）如果从地球上发射宇宙飞船登上火星，为了节省燃料，应选择在什么位置时发射较好，说明你的理由．（注：从地球上看火星，火星在地球左、右两侧时分别叫做“东方照”、“西方照”．）（1）“合”=地球距太阳距离+火星距太阳距离、“冲”=火星距太阳距离-地球距太阳距离、勾股定理得出“东方照”、“西方照”=（2）从地球上发射宇宙飞船登上火星，为了节省燃料，即找出地球与火星的最短距离，这时太阳和火星三者处在一条直线上，且地球于太阳与火星中间．解：（1）“合”=15+20.5=35.5（千万千米），“冲”=20.5-15=5.5（千万千米），“东方照”=“西方照”（2）“冲”位置时发射较好，因为太阳和火星三者处在一条直线上，且地球于太阳与火星中间，地球与火星的距离最短．4.2013年10月3日发生天王星“冲日”，此时天王星、地球、太阳位于同一条直线上，地球和天王星距离最近，每到发生天王星“冲日”的时候，是天文学家和天文爱好者观测天王星的最佳时机．若把地球、天王星围绕太阳的运动当作匀速圆周运动，并用r1、r2分别表示地球、天王星绕太阳运转的轨道半径，并设太阳质量M与万有引力常量G的乘积GM=1/k2，再经过多长时间发生下一次天王星“冲日”？（）研究天王星、地球绕太阳做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式表示出角速度．天王星、地球绕太阳做匀速圆周运动，当地球转过的角度与天王星转过的角度之差等于2π时，再一次相距最近．5.据报道，美国宇航局发射的“勇气”号和“机遇”号孪生双子火星探测器在2004年1月4日和1月25日相继带着地球人的问候在火星着陆．假设火星和地球绕太阳的运动可以近似看作同一平面内同方向的匀=2.4×1011m，地球的轨道半速圆周运动，已知火星的轨道半径r1径r=1.5×1011m，如图所示，从图示的火星与地球相距最近的时2刻开始计时，请估算火星再次与地球相距最近需多长时间（）。
(完整word)高中物理卫星的追及与相遇问题
卫星的追及与相遇问题两卫星在同一轨道绕中心天体同向运动，要使后一卫星追上前一卫星，我们称之为追及问题。
两卫星在不同轨道绕中心天体在同一平面内做匀速圆周运动，当两星某时相距最近时我们称之为两卫星相遇问题。
【例1】如图1所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是（）A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度B．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度C．c加速可追上同一轨道上的b，b减速可等候同一轨道上的c1 D．a卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将增大解析：因为b、c在同一轨道上运行，故其线速度大小、加速度大小均相等。
又b、c轨道半径大于a 的轨道半径，由知，，故A 选项错；由加速度可知，故B选项错。
当c加速时，c 受到的万有引力，故它将做离心运动；当b减速时，b受到的万有引力, 故它将做向心运动。
所以无论如何c也追不上b，b也等不到c，故C选项错。
对a卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，在转动一段较短时间内，可近似认为它的轨道半径未变，视为稳定运行，由知，r减小时v逐渐增大，故D选项正确。
【例2】如图2所示，A是地球的同步卫星．另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h。
已知地球半径为R ，地球自转角速度为，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心．（1）求卫星B的运行周期。
（2）如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过多长时间，他们再一次相距最近？解析：（1）由万有引力定律和向心力公式得忽略地球自转影响有2 解得（2）设A、B 两卫星经时间再次相距最近，由题意得，又有解得。
完整版)高中物理相遇和追及问题(完整版)
完整版)高中物理相遇和追及问题(完整版)相遇追及问题是物理学中的一个重要考点和热点。
其中，追及问题分为速度小者追速度大者和速度大者追速度小者两种类型。
对于速度小者追速度大者的情况，可以根据匀加速追匀速、匀速追匀减速和匀加速追匀减速三种情况来分析。
对于速度大者追速度小者的情况，则可以根据匀减速追匀速、匀速追匀加速和匀减速追匀加速三种情况来分析。
在解决追及问题时，需要注意物体运动的位移方程和时间关系，以及隐含的临界条件，例如速度相等时的最大距离或最小距离等。
除了联立方程外，还可以利用二次函数、图象法和相对运动知识来求解。
相遇问题分为追及相遇和相向运动相遇两种情形。
在解决相遇问题时，需要注意两物体在相遇处的位置坐标相同。
首先要列出两物体的位移方程，并注意两物体运动时间之间的关系。
其次，要寻找隐含的临界条件，例如匀减速运动时是否停止运动等。
最后，可以利用相对运动知识和图象法来求解。
利用两物体相遇时必处在同一位置，可以寻找两物体位移间的关系。
另外，需要寻找问题中隐含的临界条件，这与追及中的解题方法相同。
例1中，物体A以10m/s的速度匀速前进，物体B以2m/s的加速度从静止开始做匀加速直线运动。
要求A、B再次相遇前两物体间的最大距离。
解法一：物理分析法。
A做10m/s的匀速直线运动，B做初速度为零、加速度为2m/s的匀加速直线运动。
开始一小段时间内，A的速度大于B的速度，它们间的距离逐渐变大，当B的速度加速到大于A的速度后，它们间的距离又逐渐变小。
A、B间距离有最大值的临界条件是υA=υB。
设两物体经历时间t相距最远，则υA=at。
把已知数据代入两式联立得t=5s。
在时间t内，A、B两物体前进的距离分别为sA=υAt=10×5m=50m，sB=at=1/2×2×5m=25m。
A、B再次相遇前两物体间的最大距离为Δs=sA-sB=50m-25m=25m。
解法二：相对运动法。
本题求解的是A、B间的最大距离，所以可以利用相对运动求解。
万有引力与航天考点微专题6、 天体运动的追及和相遇问题
«万有引力与航天»考点微专题6 天体运动的追及和相遇问题一 知能掌握1.天体运动追击和相遇问题的分析要点 （1）两星追上或相距最近的运动关系两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两星运行的角度之差等于2π的整数倍;两卫星运动关系应满足(ωA －ωB )t ＝2n π(n ＝1,2,3，…)． （2）相距最远的运动关系当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，相距最远时,两星运行的角度之差等于π的奇数倍.两卫星运动关系应满足(ωA －ωB )t ′＝(2n －1)π(n ＝1,2,3…)．（3）卫星与地面上物体追及(卫星在地面上物体的正上方)时,要根据地面上物体与同步卫星角速度相同的特点进行判断.2.天体运动追击和相遇问题的分析技巧 （1）根据GMm r 2=mr ω2,可判断出谁的角速度大.（2）轨道在同一平面内的两颗卫星之间的距离有最近和最远之分,但它们与中心天体都处在同一条直线上.由于它们的轨道不是重合的,因此在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理,而是通过卫星运动的圆心角来衡量.若它们初始位置与轨道圆心在同一直线上,实际上内轨道上卫星所转过的圆心角与外轨道上卫星所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或最远的时刻. (3)轨道不在同一平面内的两颗卫星也可能发生碰撞,但轨道高度要相同.二 探索提升【典例1】我国发射的北斗系列卫星的轨道位于赤道上方,轨道半径为r ,绕行方向与地球自转方向相同.已知地球自转角速度为ω0,地球半径为R ,地球表面重力加速度为g.若某一时刻卫星通过赤道上某建筑物的上方,则当它再一次通过该建筑物上方时,所经历的时间为 ( )A .√2r 3-ω0B .2π(√r 2gR 2-1ω0) C .2π√r 3gR 2 D .2π√gR 2r 3+ω0【答案】A.【解析】人造卫星绕地球做匀速圆周运动,根据万有引力提供向心力,设卫星的质量为m ,地球质量为M ,有G Mm r 2=mω2r ,解得ω=√GMr 3,卫星再次经过某建筑物的上空,卫星比地球多转动一圈,有(ω-ω0)t=2π,地球表面的重力加速度为g=GM R 2,联立解得t=√2r3-ω0,选项A 正确.【典例2】如图1所示,A 、B 为地球的两个轨道共面的人造卫星,运行方向相同,A 为地球同步卫星,A 、B 两卫星的轨道半径的比值为k ,地球自转周期为T 0.某时刻A 、B 两卫星距离达到最近,从该时刻起到A 、B间距离最远所经历的最短时间为 ( )图1 A .02(√k 3+1)B .√k 3-1C .2(√k 3-1)D .(√k 3+1)【答案】C.【解析】根据公式r 3T 2=C ,可得r A 3T A2=r B3T B2,两卫星间距最远,则正好在一条直线上,即B 比A 多转半圈,有t T B-t T A=12,A为同步卫星,周期和地球自转周期相同,即T A=T 0,结合rA r B=k ,解得t=,选项C 正确.【典例3】小型登月器连接在航天站上，一起绕月球做圆周运动，其轨道半径为月球半径的3倍．某时刻，航天站使登月器减速分离，登月器沿如图2所示的椭圆轨道登月，在月球表面逗留一段时间完成科考工作后，经快速启动仍沿原椭圆轨道返回．当第一次回到分离点时恰与航天站对接．登月器快速启动时间可以忽略不计，整个过程中航天站保持原轨道绕月运行．已知月球表面的重力加速度为g 0，月球半径为R ，不考虑月球自转的影响，则登月器可以在月球上停留的最短时间约为( )图2A ．4.7πRg 0B ．3.6πRg 0C ．1.7πRg 0D ．1.4πR g 0【答案】A【解析】由题可知，月球半径为R ，则航天站的轨道半径为3R ，设航天站转一周的时间为T ，则有GM 月m(3R )2＝m 4π2T 2(3R )，对月球表面的物体有m 0g 0＝GM 月·m 0R 2，联立两式得T ＝63πRg 0.登月器的登月轨道是椭圆，从与航天站分离到第一次回到分离点所用时间为沿椭圆运行一周的时间T ′和在月球停留时间t 之和，若恰好与航天站运行一周所用时间相同时t 最小，则有：t min ＋T ′＝T ，由开普勒第三定律有：(3R )3T2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4R 23T ′2，得T ′＝42πRg 0，则t min ＝T －T ′≈4.7πRg 0，所以只有A 对． 【典例4】科学家在地球轨道外侧发现了一颗绕太阳运行的小行星，经过观测该小行星每隔t 时间与地球相遇一次，已知地球绕太阳公转半径是R ，周期是T ，设地球和小行星都是圆轨道，求小行星与地球的最近距离。
(完整版)追及与相遇问题(含答案)
追及与相遇问题1、追及与相遇的实质研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。
2、理清两大关系：时间关系、位移关系。
3、巧用一个条件：两者速度相等；它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。
4、三种典型类型（1）同地出发，初速度为零的匀加速直线运动A 追赶同方向的匀速直线运动B①当 B A v v =时，A 、B 距离最大；②当两者位移相等时， A 追上B ，且有B A v v 2=（2）异地出发，匀速直线运动B 追赶前方同方向的初速度为零的匀加速直线运动A判断B A v v =的时刻，A 、B 的位置情况①若B 在A 后面，则B 永远追不上A ，此时AB 距离最小②若AB 在同一处，则B 恰能追上A③若B 在A 前，则B 能追上A ，并相遇两次（3）异地出发，匀减速直线运动A 追赶同方向匀速直线运动B①当B A v v =时，A 恰好追上B ，则A 、B 相遇一次，也是避免相撞刚好追上的临界条件；②当B A v v =时，A 未追上B ，则A 、B 永不相遇，此时两者间有最小距离；③当B A v v >时，A 已追上B ，则A 、B 相遇两次，且之后当两者速度相等时，两者间有最大距离。
5、解追及与相遇问题的思路（1）根据对两物体的运动过程分析，画出物体运动示意图（2）根据两物体的运动性质，（巧用“速度相等”这一条件）分别列出两个物体的位移方程，注意要将两物体的运动时间的关系反映在方程中（3）由运动示意图找出两物体位移间的关联方程（4）联立方程求解注意：仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意t v -图象的应用【典型习题】【例1】在十字路口，汽车以0.5m/s 2的加速度从停车线启动做匀加速运动，恰好有一辆自行车以5m/s 的速度匀速驶过停车线与汽车同方向行驶，求：（1）汽车追上自行车之前，什么时候它们相距最远？最远距离是多少？（2）在什么地方汽车追上自行车？追到时汽车的速度是多大？【练习1】一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以s m v 80=的速度匀速行驶的货车有违章行为时，决定前去追赶。
天体运动中的追及相遇问题
天体运动中的追及相遇问题做了一定的角度。
根据题意，当行星处于最大视角时，地球和行星的连线与地球和太阳的连线的夹角为θ，即行星与地球的连线与地球的运动方向相同。
因此，行星的角速度比地球的角速度大，行星相对地球做了一定的角度。
设行星与地球的连线与地球的运动方向的夹角为α，则有α=θ/2.因为行星的运动速度比地球快，所以当行星再次处于最佳观察时期时，地球还没有绕完一周，即行星比地球多转了一定的角度。
设行星绕太阳的周期为T'，则有T'=T/α。
因此，下一次行星处于最佳观察时期至少需要经历的时间为T'-T，即为T(1-1/α)。
一、太阳系行星运动问题在太阳系中，行星绕太阳做椭圆形轨道运动，其运动速度和角速度随着位置的不同而不同。
根据开普勒第二定律，行星在相等时间内扫过的面积相等，因此行星的轨道速度是不断变化的。
根据开普勒第三定律，行星的公转周期与其轨道半长轴的立方成正比。
因此，我们可以通过测量行星的运动轨迹和周期来计算出太阳系中各个天体的运动参数。
在某一时刻，如果行星处于最佳观测位置，则有两种情况：一是刚刚进入最佳观测位置；二是即将离开最佳观测位置。
在这两种情况下，行星到达下一次最佳观测位置所需的时间是不同的，可以通过计算行星在轨道上的运动角度来求得。
二、相遇问题在天体运动中，相遇问题是一个重要的研究课题。
例如，当一艘飞船从地球出发，经过一段时间后到达目的地，需要计算出飞船与目的地之间的距离和所需的时间。
这类问题可以通过计算天体的运动轨迹和速度来解决。
例如，当一艘飞船从地球出发，经过一年后到达地球附近，再经过三个月到达另一个地方，我们可以通过计算地球和飞船在这段时间内的运动轨迹和速度来求得地球与太阳之间的万有引力大小。
又例如，当我们向火星发射探测器时，需要计算出探测器的轨道和所需的发射时间。
这类问题可以通过计算天体的运动轨迹和周期来解决。
例如，在某一时刻，当探测器脱离地球并沿地球公转轨道稳定运行后，在某一年3月1日零时测得探测器与火星之间的角距离为60度。
天体的追及相遇问题
天体的追及相遇问题1.卫星中的“追及相遇”问题某星体的两颗卫星之间的距离有最近和最远之分，但它们都处在同一条直线上．由于它们的轨道不是重合的，因此在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理，而是通过卫星运动的圆心角来衡量，若它们的初始位置与中心天体在同一直线上，内轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或最远的时刻． (1)两星相距最近的条件：ωa Δt －ωb Δt ＝2n π(n ＝1，2，3…)(图甲) (2)两星相距最远的条件：ωa Δt －ωb Δt ＝(2n ＋1)π(n ＝0，1，2，…)(图乙)甲 乙 2.对于天体追及问题的处理思路(1)根据GMmr2＝mrω2，可判断出谁的角速度大；(2)根据天体相距最近或最远时，满足的角度差关系进行求解．【题型1】如图是在同一平面不同轨道上同向运行的两颗人造地球卫星.设它们运行的周期分别是T 1、T 2(T 1<T 2)，且某时刻两卫星相距最近.问：(1)两卫星再次相距最近的时间是多少？ (2)两卫星相距最远的时间是多少？【答案】(1)T 1T 2T 2－T 1 (2)(2k ＋1)T 1T 22(T 2－T 1)(k ＝0，1，2…)【解析】(1)依题意，T 1<T 2，周期大的轨道半径大，故在外层轨道的卫星运行一周所需的时间长.设经过t 1两卫星再次相距最近. 则它们运行的角度之差Δθ＝2π 即2πT 1t 1－2πT 2t 1＝2π 解得t 1＝T 1T 2T 2－T 1.(2)两卫星相距最远时，它们运行的角度之差 Δθ＝(2k ＋1)π(k ＝0，1，2…)即2πT 1t 2－2πT 2t 2＝(2k ＋1)π(k ＝0，1，2…) 解得t 2＝(2k ＋1)T 1T 22(T 2－T 1)(k ＝0，1，2…).【题型2】一颗在赤道上空飞行的人造地球卫星，其轨道半径为r ＝3R (R 为地球半径)，已知地球表面重力加速度为g ，则该卫星的运行周期是多大？若卫星的运动方向与地球自转方向相同，已知地球自转角速度为ω0，某一时刻该卫星通过赤道上某建筑物的正上方，再经过多少时间它又一次出现在该建筑物正上方？ 【答案】63Rg 2π13g3R－ω0 【解析】由万有引力定律和牛顿定律可得： GMm (3R )2＝m 4π2T 2·3R ①GMmR 2＝mg ① 联立①①两式，可得T ＝6π3R g. 以地面为参考系，卫星再次出现在建筑物上方时转过的角度为2π，卫星相对地面的角速度为ω1－ω0，则Δt ＝2π2πT －ω0＝2π13g3R－ω0. 【题型3】(多选)太阳系中某行星运行的轨道半径为R 0，周期为T 0，但天文学家在长期观测中发现，其实际运行的轨道总是存在一些偏离，且周期性地每隔t 0时间发生一次最大的偏离(行星仍然近似做匀速圆周运动)。
一轮-天体运动中的变轨、对接、追及相遇问题
02
CATALOGUE
天体对接问题
自主对接
定义
自主对接是指航天器在无人干预 的情况下，通过预设程序或自主 决策，自动完成与目标天体的对 接任务。
技术要求
自主对接需要精确的导航定位技 术、自主控制技术和传感器技术 ，以确保航天器能够准确找到目 标并进行对接。
优点
自主对接可以减少对地面控制人 员的依赖，提高对接的自主性和 灵活性。
遥控对接
定义
遥控对接是指通过地面控制中心的操作人员 远程控制航天器，使其与目标天体完成对接 任务。
技术要求
遥控对接需要稳定的通信链路、精确的指令传输和 熟练的操作人员，以确保对接过程的顺利进行。
优点
遥控对接可以充分利用地面控制中心的专业 知识和经验，提高对接的可靠性和成功率。
无人值守对接
定义
无人值守对接是指在对接过程中，地面控制中心不进行任何干预， 完全依靠航天器的自主控制系统完成与目标天体的对接任务。
利用离心力原理，使卫星 沿着离心方向运动，从而 实现轨道半径的增大。
应用场景
在卫星发射过程中，为了 将卫星送入更高的轨道， 通常需要进行离心变轨。
近心变轨
定义
当卫星的速度大于标准环绕速度时，将沿着近心方向 运动，从而实现轨道半径减小的变轨。
原理
利用向心力原理，使卫星沿着近心方向运动，从而实 现轨道半径的减小。
技术要求
无人值守对接需要高度自动化的航天器和先进的自主控制系统，以 确保航天器能够独立完成复杂的对接任务。
优点
无人值守对接可以大大减少对地面控制人员的依赖，降低对接成本和 风险。
03
CATALOGUE
天体追及相遇问题
同向追及
同向追及是指两个天体在同一直线上，一前一后，方向相同，后面的天体 以较大的速度追赶前面的天体。
专题30 天体运动中追及相遇问题、能量问题和图像问题(解析版)
2023届高三物理一轮复习重点热点难点专题特训专题30 天体运动中追及相遇问题、能量问题和图像问题特训目标特训内容目标1 天体运动中的追及相遇问题（1T—5T）目标2 天体运动中的能量问题（6T—10T）目标3 天体运动中的图像问题（11T—15T）一、天体运动中的追及相遇问题1．屈原在长诗《天问》中发出了“日月安属?列星安陈?”的旷世之问，这也是中国首次火星探测工程“天问一号”名字的来源。
“天问一号”探测器的发射时间要求很苛刻，必须在每次地球与火星会合之前的几个月、火星相对于太阳的位置领先于地球特定角度的时候出发。
火星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动。
如图所示，不考虑火星与地球的自转，且假设火星和地球的轨道平面在同一个平面上，相关数据见下表，则根据提供的数据可知（）质量半径绕太阳做圆周运动的周期地球M R1年火星约0.1M约0.5R约1.9年B ．地球与火星从第1次会合到第2次会合的时间约为2.1年C ．火星到太阳的距离约为地球到太阳的距离的1.9倍D ．火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比约为3：5 【答案】B【详解】A ．设地球最小的发射速度为v 地，则22mv GMm R R=地解得=7.9km/s GMv R =地则火星的发射速度与地球的发射速度之比为0.150.5Mv R v M R=火地57.9km/s v =<火故A 错误； B ．根据(222)t T T πππ-=地火代入数据解得地球和火星从第1次会合到第2次会合的时间约为2.1年，故B 正确；C ．根据开普勒第三定律得3322r r T T =火地地火代入数据解得火星到太阳的距离约为地球到太阳的距离的1.5倍，故C 错误；D ．不考虑自转时，物体的重力等于万有引力2GMmmg R=火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比为220.120.5=5Mg R M g R=火（）故D 错误。
2021版一轮复习名师导学物理文档：专题突破(四) 天体的相遇问题 Word版含解析
姓名，年级：时间：专题突破(四) 天体的相遇问题对应学生用书p85两卫星在不同轨道绕中心天体在同一平面内做匀速圆周运动,当两星某时相距最近时我们称之为两卫星相遇问题．绕同一中心天体运动的运行天体，由于ω＝错误!∝错误!，故在同一轨道上不可能发生相遇，只有在不同轨道上运行的天体才能发生追赶现象，相遇时是指运行天体相距最近的现象．两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动，a卫星的角速度为ωa,b卫星的角速度为ωb,若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近（如图甲所示）．当它们转过的角度之差Δθ＝π，即满足ωa Δt－ωbΔt＝π时，两卫星第一次相距最远(如图乙所示)．当它们转过的角度之差Δθ＝2π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝2π时,两卫星再次相距最近．经过一定的时间，两星又会相距最远和最近．1．两星相距最远的条件：ωaΔt－ωbΔt＝（2n＋1）π（n＝0，1，2，…) 2．两星相距最近的条件：ωaΔt－ωbΔt＝2nπ（n＝1，2,3…)3．常用结论(1）同方向绕行的两天体转过的角度｜θ1－θ2|＝2nπ或错误!＝n(n＝0、1、2、……）时表明两物体相距最近．(2)反方向转动的天体转过的角度｜θ1＋θ2｜＝2nπ或错误!＝n（n＝0、1、2、……）时表明两物体相遇或相距最近．(3)轨道平面不重合时，两天体只有在同一时刻位于中心天体同一侧的同一直线上时发生相遇．1 某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆,且绕行方向相同．每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如题图所示．该行星与地球的公转半径比为( )A。
错误!错误!B.错误!错误!C.错误!错误!D.错误!错误![解析] 由题意每过N年地球比行星多运动一周，即错误!－错误!＝1，T地＝1年,再结合开普勒第三定律错误!＝C有错误!＝错误!＝错误!,B正确．[答案］B2 太阳系中某行星运行的轨道半径为R0，周期为T0。
但科学家在长期观测中发现,其实际运行的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔t0时间发生一次最大的偏离．天文学家认为形成这种现象的原因可能是该行星外侧还存在着一颗未知行星，则这颗未知行星运动轨道半径为( ）A．R＝R错误!B．R＝R0错误!C．R＝R错误!D．R＝R0错误![解析] 由题意可知轨道之所以会偏离那是因为受到某颗星体万有引力的作用，相距最近时万有引力最大偏离程度最大．设未知行星的周期为T，则错误!－错误!＝1，则T＝错误!。
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天体运动中的追及相遇问题
信阳高中 陈庆威 2013.09.17
在天体运动的问题中，我们常遇到一些这样的问题。
比如，A 、B 两物体都绕 同一中心天体做圆周运动，某时刻A 、B 相距最近，问A 、B 下一次相距最近或最 远需要多少时间，或“至少”需要多少时间等问题。
而对于此类问题的解决和我们在直线运动中同一轨道上的追及相遇问题在 思维有上一些相似的地方，即必须找出各相关物理量间的关系，但它也有其自身 特点。
根据万有引力提供向心力，即当天体速度增加或减少时，对应的圆周轨道就 会发生相应的变化，所以天体不可能在同一轨道上实现真正意义上的追及或相 遇。
天体运动的追及相遇问题中往往还因伴随着多解问题而变得更加复杂，成为同 学们学习中的难点。
而解决此类问题的关键是就要找好角度、角速度和时间等物 理量的关系。
一、追及问题
【例1】如图1所示，有A 、B 两颗行星绕同一颗恒星M 做圆周运动，旋转方向 相同，A 行星的周期为B 行星的周期为T-在某一时刻两行星相距最近，则 ① 经过多长时间，两行星再次相距最近？ ② 经过多长时间，两行星第一次相距最远？
解析:A. B 两颗行星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力
有达到一周，但是要它们的相距最近，只有A 、B 行星和恒星M 的连线再次在一条 直线上，且A 、B 在同侧，从角度上看，在相同时间内，A 比B 多转了 2
兀；如
因此T I <T2O 可见当A 运动完一周时，B 还没
果A 、B 在异侧，则它们相距最远，从角度上看，在相同时间内， A 比B 多转了
2/r
n
翠
g = 2 歼=＞心=
兀一兀；第一次相
或“第一次”这样的词去掉，那么就变成了多解性问题。
【例2】如图2,地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动。
地球的轨道半径为R,运转周期为T 。
地球和太阳中心的连线与地球和行星的连 线的夹角叫地球对行星的观察视角(简称视角)。
已知该行星的最大视角为9, 当行星处于最大视角处时，是地球上天文爱好者观察该行星的最佳时期。
若某时 刻该行星正好处于最佳观察期，问该行星下一次处于最佳观察期至少需经历多长时 间？ 解析：由题意可得行星的轨道半径r Rsin
设行星绕太阳的运行周期为V ,由开普勒大三定律有:
JU 丿，得：T T %/sin 3 T 2 T 2
绕向相同，行星的角速度比地球大，行星相对地球
2 22 (] Jsin 3)
T T T ~
某时刻该行星正好处于最佳观察期，有两种情况：一是 刚看到；二是马上看不到，如图3所示。
到下一次处于最佳 观察期至少需经历时间分别为
: V 3
两者都顺时针运转：ti
弋—幼鬥—?T
2 (1 sin 3
)
2- ( 2 )'山 q 两者都逆时针运转： t 2 J ?T
2 (1 sin
3 )
二、相遇问题
【例3】设地球质量为M,绕太阳做匀速圆周运动，有一质量为m 的飞船由静止开始 从
P 点沿PD 方向做加速度为a 的匀加速直线运动，1年后在D 点飞船掠过地球上 空，再
过3个月又在Q 处掠过地球上空，如图4所示(图中表示太阳)。
根据 以上条件，求地球与太阳之间的万有引力大小。
距最远的时间t 2,由若
也-⑥。
如果在问题中把“再次”
H 。
所以再次相距最近的时间t.,
地球 图2
地球 图3
解析：飞船开始与地球相当于在D点相遇，经过3个月后，它们又在Q点相遇,
0 = =
因此在这段时间内，地球与太阳的连线转过的角度12O设地球的公转周期为T,飞船由静止开始做加速度为a的匀加速直线运动，则
www弓（詡T护嗚护
地球的公转半径为肮孕叫络加
所以，地球与太阳之间的万有引力大小为
【例4】从地球表面向火星发射火星探测器，设地球和火星都在同一平面上绕太阳做同向圆周运动，火星轨道半径r火为地球轨道半径I•地的1・50倍，简单而又比较节省能量的发射过程可分为两步进行：
第一步：在地球表面用火箭对探测器进行加速，使之获得足够动能，从而脱离地球引力作用成为一个沿地球轨道运动的人造卫星（如图5）；
第二步：在适当时刻点燃与探测器连在一起的火箭发动机，在短时间内对探测器沿原方向加速，使其速度数值增加到适当值，从而使得探测器沿着一个与地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半个椭圆轨道正好射到火星上（如图6） o
当探测器脱离地球并沿地球公转轨道稳定运行后，在某年3月1日零时测得探测器与火星之间的角距离为60°（火星在前，探测器在后），如图7所示。
问应在何年何月何日点燃探测器上的火箭发动机，方能使探测器恰好落在火星表
面？（时间计算仅需精确到日），已知：胪41网；门苗—L収。
火星
t
沖星
O , 太阳 J 探测器)
y
b 珥也球
/ e % i
o ................. 丄探测器［
太阳 /
/
f
'地球 /
0 \ I
探测器i } I
•丿/ 一」地球 /
解析：根据根据开普勒第三定律, 可求出火星的公转周期
T 火:
I •火 r 地
2
2
，题设 T T 火护
r 火 1.5r 地,
3 )T
地=1.840 X365=671d
1.5
初始相对角距离=600。
点火前，探测器与地球在同一公转轨道同向运行，周 期
跟地球的公转周期相同，故相对火星的角位移为
得:
360°
360° 1
1 ? ti (
) ? ti
365
671
探测器在适当位置点火后，沿椭圆轨道到与火星相遇所需时间
2.5r 、
第)
2
因T d 2
3
I* 地 Td 3 T 地2 得：t 2 = (1.25) T 地
2 =255d 在这段时间t 内，探测器的绝对角位移为 180°,火星的绝对角位移为
I
火星
/
S
点火 图7
\ /太阳
✓ J.
360° 255 137°
671
探测器相对火星的角位移为 2 180°137° 43°o
到探测器与火星相遇时，初始相对角距离（=60°）,应等于点火前探测
器相对火星的角位移△（）,与探测器沿椭圆轨道运动时间内相对火星的角位移
1
△ 0 2之和，即
则i 60° 43°17 0
?
而I 】ti
故得：ti ―l一y—- 38 d
! 360°360°
365 671
已知某年3月1日零时，探测器与火星角距离为60°（火星在前，探测器在后），点燃发动机时刻应选在当年3月1日后38天，注意到“ 3月大”（有31号），即应在4月7日零时点燃发动机。
以上几例中，有的问题我们采用了“相对角速度”处理同心圆周运动中的追
击和相遇问题，就是以角速度较小的物体为参照物，把它看作静止不动，则角速度较大的物体以“相对角速度”绕它做圆周运动，这样计算起来就比运用几何知识来找角度间的关系来的要简单。