高考数学新版一轮复习教程学案：第6课__函数的表示方法

高考数学新版一轮复习教程学案

____第6课__函数的表示方法____

1. 了解构成函数的三要素，进一步理解函数的概念．

2. 掌握函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．

3. 掌握求解函数解析式的几种类型及常用方法．

4. 了解简单的分段函数，并能简单地应用.

1. 阅读：阅读必修1第33～34页．

2. 解悟：①函数的表示方法有哪些？回顾例1并比较三种表示方法的优劣；②你能在书本中找到分段函数的定义吗？分段函数是一个函数还是多个函数？③如何求分段函数的值域或最值？④函数的解析式是函数的一种表示方法，那么求函数解析式，你知道哪些方法？

3. 践习：在教材空白处，完成第35页练习第3题和习题第2、4题.

基础诊断

1. 已知函数f(x)＝11＋x

，g(x)＝x 2＋2，则f(2)＝__13__；g(2)＝__6__；f(g(2))＝__17__；f(g(x))＝__1x 2＋3

__． 解析：f(2)＝11＋2＝13

； g(2)＝22＋2＝6；

f(g(2))＝f(6)＝11＋6＝17

； f(g(x))＝11＋x 2＋2＝1x 2＋3

. 2. 已知函数 f(x)＝⎩

⎪⎨⎪⎧log 3x ， x>0，2x ， x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19＝__14__． 解析：因为f ⎝⎛⎭⎫19＝log 319

＝－2， 所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19＝f(－2)＝2－2＝14

. 3. 若f(x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，则f(x)＝x 2＋2x －2．

解析：因为f(x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，所以f(t)＝(t －1)2＋4(t －1)＋1＝t 2＋2t －2，故f(x)＝x 2＋2x －2.

4. 若等腰三角形的周长是20，底边长y 是一腰长x 的函数，则y ＝__20－2x ，x ∈(5，

10)__．

解析：因为△ABC 是等腰三角形且周长为20，△ABC 的周长＝2×腰长＋底边长，所以20＝2x ＋y ，即y ＝20－2x.又y<2x<20，解得5

5. 设二次函数f(x)的最大值是13，f(3)＝f(－1)＝5，则f(x)的解析式为__f(x)＝－2x 2＋

4x ＋11__．

解析：由题意可设f(x)＝a(x －1)2＋13，因为f(3)＝f(－1)＝5，所以a ×(－1－1)2＋13＝5，解得a ＝－2，

所以f(x)＝－2(x －1)2＋13＝－2x 2＋4x ＋11.

范例导航

考向❶ 求函数的解析式

例1 (1) 已知f(x)是一次函数，且满足3f(x ＋1)－2f(x －1)＝2x ＋17，求函数f(x)的解析式；

(2) 已知函数f(x)满足2f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，求函数f(x)的解析式．

解析：(1) 设f(x)＝kx ＋b ，

则由题意得3[k(x ＋1)＋b]－2[k(x －1)＋b]＝2x ＋17，即kx ＋5k ＋b ＝2x ＋17，

所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，5k ＋b ＝17，解得⎩

⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝7， 所以f(x)＝2x ＋7.

(2) 因为2f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，①

用1x 代替x ，则2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f(x)＝3x

，② 由①×2－②得，4f(x)－f(x)＝6x －3x

， 即3f(x)＝6x －3x ，所以f(x)＝2x －1x

.

(1) 已知f(x) 为二次函数，且满足f(0)＝0，f(x ＋1)－f(x)＝x ＋1，求函数f(x)的解析式；

(2) 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x 2＋x ＋2，求函数f(x)和g(x)的解析式．

解析：(1) 由题意可设f(x)＝ax 2＋bx.

因为f(x ＋1)－f(x)＝x ＋1，

所以a(x ＋1)2＋b(x ＋1)－(ax 2＋bx)＝x ＋1，

整理得2ax ＋a ＋b ＝x ＋1，

所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝12，

所以f(x)＝12x 2＋12

x. (2) 由题意可知f(x)＝f(－x)，g(－x)＝－g(x)．

因为f(x)＋g(x)＝x 2＋x ＋2，①

所以f(－x)＋g(－x)＝x 2－x ＋2，

即f(x)－g(x)＝x 2－x ＋2.②

由①＋②得，2f(x)＝2x 2＋4，即f(x)＝x 2＋2，

由①－②得，2g(x)＝2x ，即g(x)＝x ，

所以f(x)＝x 2＋2，g(x)＝x.

考向❷ 分段函数的解析式

例2 如图是函数f(x)的图象，OC 段是射线，曲线OBA 是抛物线的一部分，试写出f(x)的函数表达式．

解析：当x ≤0时，由图象过点(－2，－2)，(0，0)可知，直线OC 的斜率为1，所以射线OC 的函数表达式为y ＝x(x ≤0)；

当x>0时，f(x)是二次函数，

所以设f(x)＝a(x －1)2＋b.

由图可知，则⎩

⎪⎨⎪⎧a ×（1－1）2＋b ＝－1，a ×（2－1）2＋b ＝0， 解得⎩

⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1， 所以f(x)＝(x －1)2－1＝x 2－2x.

故f(x)＝⎩

⎪⎨⎪⎧x ， x<0，x 2－2x ， x ≥0.

设函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －2|.

(1) 将f(x)写成分段函数，并作出y ＝f(x)的图象；

(2) 解不等式f(x)>5，并求出f(x)的最小值．

解析：(1) 当x ＋1<0，即x<－1时，x －2<0，

所以f(x)＝－x －1－x ＋2＝－2x ＋1；

当x ＋1≥0且x －2≤0，即－1≤x ≤2时，

f(x)＝x ＋1－x ＋2＝3；

当x －2>0，即x>2时，

f(x)＝x ＋1＋x －2＝2x －1，

所以y ＝f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ，x<－1，3， －1≤x ≤2，2x －1， x>2.

函数图象为