闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法_1
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闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法一、引言函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，连续函数又是数学分析中非常重要的一类函数。
在数学中，连续是函数的一种属性。
而在直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。
函数极限的存在性、可微性，以及中值定理、积分等问题，都是与函数的连续性有着一定的，而闭区间上连续函数的性质也显得非常重要。
在闭区间上连续函数的性质中，有界性定理又是最值定理和介值定理等的基础。
在极限绪论中，我们知道闭区间上连续函数具有5个性质，即：有界性定理、最大值最小值定理、介值定理、零点定理和一致连续定理，零点定理是介值定理的一个重要推论。
而闭区间上连续函数的有界性定理的证明，在很多数学教材中，所采用的方法大致相同，一般都是用致密性定理和有限覆盖定理来加以证明的。
并且在文献中作者也分别利用闭区间套定理、确界定理、单调有界定理和柯西收敛准则证明了此定理。
但是我们知道，分析数学上所列举的实数完备性的7个基本定理是相互等价的，因而从原则上讲，任何一个都可以证明该定理，只不过是有繁简之分，笔者考虑如何能用最简单的方法将闭区间上连续函数的有界性定理证明出来，上述文献中已经用其他6个基本定理证明了闭区间连续函数的有界性定理，下面本文用实数完备性定理中的聚点原则和构造数列的办法给出了该定理的新证明方法。
二、一种新的证明方法(一)预备知识(二)有界性定理的新证法下面将给出实数完备性定理中的聚点原则对闭区间连续函数的有界性定理的证明。
三、有界性定理在数学建模中的应用本文以一道数学建模的问题为例，介绍闭区间上连续函数的有界性定理如何应用于实际问题。
在20XX年“深圳杯”数学建模夏令营D题中，根据题意所述：农业灾害保险是政府为保障国家农业生产的发展，基于商业保险的原理并给予政策扶持的一类保险产品。
农业灾害保险也是针对自然灾害，保障农业生产的重要措施之一，是现代农业金融服务的重要组成部分。
证明函数有界性的方法
证明函数有界性的方法
证明函数的有界性需要用到数学定义和推导。
以下是一种方法：
1. 首先，我们可以使用函数的定义来证明其有界性。
一个函数f(x)在区间[a, b]上有界，是指存在两个常数M和N，使得对于任意x∈[a, b]，都有M ≤f(x) ≤N。
也就是说，函数在这个区间上的取值范围被两个常数M和N所包围。
2. 其次，我们可以通过分析函数的导数、极值点和区间端点的取值情况来判断函数的有界性。
如果函数在区间内存在极值点或者在端点处取到最大值或最小值，那么函数在该区间内是有界的。
3. 另外，我们还可以使用数学的定理和推导来证明函数的有界性。
例如，闭区间上的连续函数一定是有界的。
另外，如果函数在一个区间内单调递增或单调递减，那么它也是有界的。
通过以上方法，我们可以证明一个函数在某个区间内的有界性。
需要注意的是，证明函数的有界性可能需要引用数学分析的知识和工具，需要具体问题具体分析。
313闭区间上连续函数的性质
y f (x)
由确界原理,E 有下确界. 设 x0 inf E. a
(i) 先证 x0 (a,b).
x0 E b
因 f(a)0,f(b)0.由连续函数的保号性:
存在 0 , 使 f(x)0 ,x [a ,a );f(x)0 ,x (b,b ].
所以 x0 a,x0 b. 即 x0 (a,b). 10
由 f 连 续 ,l k i m f ( x n k ) f ( x 0 ) 存 在 .
但 由 f ( x n k ) n k k ,有 l k i m f ( x n k ) ,矛 盾 .
4
例1. 证明: 若 f ( x) 在 (,)内连续, lim f (x)
x
存在, 则 f ( x) 必在 (,) 内有界.
y ao
yf(x) 1 2 3 b x
9
零点定理: 设 f 在闭区间[a, b]上连续, 且 f(a)f(b)0,
至少存在一点 x0(a,b), 使得 f (x0)0.
证: (应用确界原理) 不妨设 f(a)0,f(b)0.
记 E { x |f(x ) 0 ,x [a ,b ] } .
E 非空有界数集.(因为 E[a,b], 且 b E ).
313闭区间上连续函数的性质
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第3章 连续性
3.1.1 函数的连续性概念 与间断点的分类
3.1.2 连续函数的性质 与初等函数的连续性
3.1.3 闭区间上连续函数的性质 函数的一致连续性
2
3.1.3 闭区间上连续函数的性质
1 有界性定理 2 最值定理 3 零点存在定理 4 介值定理 5 一致连续性
只验证存在 x1， s.t. f(x1)supf(x)M . 由上确界定义，
2.8 闭区间上连续函数的性质
例3 设函数 f ( x)在区间[a, b]上连续, 且f (a) a,
f (b) b. 证明 (a, b), 使得 f ( ) .
证 令 F( x) f ( x) x, 则F( x)在[a, b]上连续, 而 F (a) f (a) a 0, F (b) f (b) b 0, 由零点定理,
其他(如振荡间断点)
例8
f
(
x)
1 x2
x
x2 4 x
x2
1且x 1且x
0 ,求间断点及类型。
2
解 函数的图形如图
y
-1 0 1 2
x
图2-19
在x 0处，f ( x)无定义，且lim f ( x) x0
所以x 0是第二类无穷间断点；
在x 1处，f ( x) 1，但f (1 ) f (1 ) lim x1
(1)可去间断点：f ( x0 ) f ( x0 )
例3 讨论函数 y x2 1 在x 1处的连续性 .
x1
y
解 y x2 1 在 x 1无意义，
2
x1
x 1为间断点。但是 lim x2 1 2， 1
x1 x 1
y x2 1 x1
即 lim f ( x) 2，极限存在 x1
若 f ( x) C[a, b],
则 1 ,2 [a, b],
使得 x [a, b],
有 f (1 ) f ( x), f (2 ) f ( x).
y
y f (x)
oa
2
1 b x
注意:
(1)把“闭区间”换成“开区间”，定理不真。如: f ( x)在(0,1)内无最值，f ( x) 1 在(0,1)无界。
高等数学闭区间上连续函数的性质
0 x 1 x =1 1 x 2
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间上 一定能取得它的最大值和最小值 定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数 一定在该区间上有界 定理3(零点定理) 设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间 (a b)内至少存在一点x 使f(x)=0 注: 如果x0使f(x0)=0 则x0称为函数f(x)的零点
定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异 号 那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0 定理4(介值定理) 设函数 f(x)在闭区间[a b]上连 续 且f(a)f(b) 那么 对于f(a)与f(b) 之间的任意一个数C 在开区间 (a b)内至少有一点x 使得f(x)=C •推论 在闭区间上连续的函数 必取得介于最大值M与最小值 m之间的任何值
第一章 函数 极限 连续
§10 闭区间上的连续函数
一、有界性与最大值最小值定理
定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数 在该区间上一定能取得它的 最大值和最小值
说明:定理说明 如果函数f(x)在闭区间[a b]上连续 那么
至少有一点x1[a b] 使f(x1)是f(x)在[a b]上的最大值 又至少有一点x2[a b] 使f(x2)是f(x)在[a b]上的最小值
定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间 上一定能取得它的最大值和最小值 应注意的问题:1、闭区间；2、连续 例如 函数f(x)=x在开区间(a b)内既无 最大值又无最小值 又如 如下函数在闭区间[0 2] 内既无最大值又无最小值
x 1 y = f (x) = 1 x 3
微积分：1.11 有界闭区间上连续函数的性质
F(a) f (a) f (a) f (b) f (a) f (a) f (a)
0
F(b)
f (b)
f (a)
f (b)
f (b)
f (b)
f (b)
0
F(a)F(b) 0
F ( x) f ( x) f (a) f (b) C[a,b],
F(a)F(b) 0
即方程2x 1 x2在(2,5)内至少有一个根
例 设f ( x)和g( x)在[a, b]上连续, 且f (a) g(a),
f (b) g(b), 证明: (a, b), 使f ( ) g( ).
证 设F(x) f (x) g(x), 则 F( x)在[a, b]上连续, 且 F(a) f (a) g(a) 0;
故由介值定理可知:
0
( ,
),
使
S(0 )
A. 2
y
S( )
O
x
2.一个登山运动员从早上7:00开始攀登某座
山峰 ,在下午7:00到达山顶,第二天早上7:00再从
山顶开始沿着上山的路下山,下午7:00到达山脚. 试说明:这个运动员在这两天的某一相同时刻经
过登山路线的同一地点.
解答 设s1(t) ( t [0,12] ) 为上山路程函数
y sgn x, 在(,)上, ymax 1, ymin 1; 在(0,)上, ymax ymin 1.
简称最值定理
定理 (最大值和最小值定理)在闭区间上连续的
函数一定有最大值和最小值.
若 f ( x) C[a, b], 则1,2 [a, b],
使得x [a, b],
y
y f (x)
使f ( )
1 n
闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法
闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法一、引言函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，连续函数又是数学分析中非常重要的一类函数。
在数学中，连续是函数的一种属性。
而在直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。
函数极限的存在性、可微性，以及中值定理、积分等问题，都是与函数的连续性有着一定联系的，而闭区间上连续函数的性质也显得非常重要。
在闭区间上连续函数的性质中，有界性定理又是最值定理和介值定理等的基础。
在极限绪论中，我们知道闭区间上连续函数具有5 个性质，即：有界性定理、最大值最小值定理、介值定理、零点定理和一致连续定理，零点定理是介值定理的一个重要推论。
而闭区间上连续函数的有界性定理的证明，在很多数学教材中，所采用的方法大致相同，一般都是用致密性定理和有限覆盖定理来加以证明的。
并且在文献中作者也分别利用闭区间套定理、确界定理、单调有界定理和柯西收敛准则证明了此定理。
但是我们知道，分析数学上所列举的实数完备性的7 个基本定理是相互等价的，因而从原则上讲，任何一个都可以证明该定理，只不过是有繁简之分，笔者考虑如何能用最简单的方法将闭区间上连续函数的有界性定理证明出来，上述文献中已经用其他6 个基本定理证明了闭区间连续函数的有界性定理，下面本文用实数完备性定理中的聚点原则和构造数列的办法给出了该定理的新证明方法。
二、一种新的证明方法（一）预备知识【1】（二）有界性定理的新证法下面将给出实数完备性定理中的聚点原则对闭区间连续函数的有界性定理的证明。
【2】三、有界性定理在数学建模中的应用本文以一道数学建模的问题为例，介绍闭区间上连续函数的有界性定理如何应用于实际问题。
在2013 年“深圳杯”数学建模夏令营D 题中，根据题意所述：农业灾害保险是政府为保障国家农业生产的发展，基于商业保险的原理并给予政策扶持的一类保险产品。
农业灾害保险也是针对自然灾害，保障农业生产的重要措施之一，是现代农业金融服务的重要组成部分。
(整理)闭区间上连续函数的性质
§4.2 闭区间上连续函数的性质一、性质的证明定理1.（有界性）若函数)(x f 在闭区间[a,b]连续，则函数)(x f 在闭区间[a,b]有界，即∃M >0,∈∀x [a,b],有|)(x f |≤M .证法：由已知条件得到函数)(x f 在[a,b]的每一点的某个邻域有界.要将函数)(x f 在每一点的邻域有界扩充到在闭区间[a,b]有界，可应用有限覆盖定理，从而得到M >0.证明：已知函数)(x f 在[a,b]连续，根据连续定义，∈∀a [a,b]，取0ε=1，0δ∃>0,∈∀x (00,δδ+-a a )⋂[a,b],有 |)(x f )(a f -|<1.从而∈∀x (00,δδ+-a a )⋂[a,b]有 |)(x f |≤|)(x f )(a f -|+|)(|a f <|)(|a f +1即∈∀a [a,b]，函数)(x f 在开区间(00,δδ+-a a )有界。
显然开区间集 { (00,δδ+-a a )|∈a [a,b] }覆盖闭区间[a,b].根据有限覆盖定理（4.1定理3），存在有限个开区间，设有n 个开区间{（k k a k a k a a δδ+-,）|∈k a [a,b] }，k=1,2,3,…,n 也覆盖闭区间[a,b] ，且∈∀x （k k a k a k a a δδ+-,）|∈k a [a,b]，有|)(x f |≤|)(|k a f +1，k=1,2,3,…,n取M =max{|)(||,......,)(||,)(|21n a f a f a f }+1. 于是∈∀x [a,b]，∈∃i {1，2,…，n},且∈x （i i a i a i a a δδ+-,）⋂[a,b]， 有|)(x f |≤|)(|i a f +1≤M定理2（最值性）：若函数()f x 在闭区间[],a b 连续，则函数()f x 在区间能取到最小值m 与最大值M ，即：[]12,,x x a b ∃∈使：()1f x m =与()2f x M =[](),x a b m f x M ∀∈⇒≤≤证明：根据定理3，数集()[]{}|,f x x a b ∈有界。
高等数学闭区间上连续函数的性质
有些函数由于其自身的性质，如周期性、有界性等，可以很 容易地判定其一致连续性。
一致连续与非一致连续函数区别
一致连续函数
对于一致连续函数，无论区间I上的点x'和x"如何接近，只要它们的距离小于某一正数δ （这个δ只与ε有关），那么函数在这两点上的函数值的差就小于ε。这说明一致连续函
数在整个区间I上都有一种“均匀”的连续性。
相关定理与引理01源自零点定理如果函数$y=f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)$与$f(b)$异号，则
在开区间$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$f(c)=0$。
02 03
介值定理
如果函数$y=f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且在这区间的端点取不同 的函数值$f(a)=A$及$f(b)=B$，则对于$A$与$B$之间的任意一个数 $C$，在开区间$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$f(c)=C$ （$a<c<b$）。
判定零点存在性方法
判断函数在区间端点的函数值是 否异号。
如果异号，则根据零点存在性定 理，该区间内必存在使得函数值
为零的点。
如果同号，则需要进一步分析， 如通过求导判断函数的单调性等。
零点存在性在解决实际问题中应用
1
在求解方程根的问题中，可以利用零点存在性定 理判断方程在给定区间内是否存在根。
2
理论研究
在数学的各个分支中，连续函数的最 值性质都是重要的研究对象，具有广 泛的应用价值。
04 零点存在性定理及其应用
零点存在性定理内容
01
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续， 且f(a)与f(b)异号，则在开区间(a,b) 内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0。
数学分析7.2闭区间上连续函数性质的证明
第七章 实数的完备性2 闭区间上连续函数性质的证明有界性定理：若函数f 在闭区间[a,b]上连续，则f 在[a,b]上有界. 证法一：(应用有限覆盖定理)由连续函数局部有界性知，对每一点x 0∈[a,b]，都存在邻域U(x 0, δx )及正数M x , 使得|f(x)|≤M x , x ∈U(x 0, δx )∩[a,b]，则开区间集H={U(x 0, δx )|x 0∈[a,b]} 是[a,b]的一个无限开覆盖. 由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集 H ’={U(x i , δi )|x i ∈[a,b], i=1,2,…k}覆盖住[a,b]，且存在正数M 1,M 2,…M k , 使得对一切x ∈U(x i , δi )∩[a,b]，有|f(x)|≤M i , i=1,2,…k. 令M=k i 1max ≤≤M i , 则对任何x ∈[a,b]，x 必属于某U(x i , δi )，且|f(x)|≤M i ≤M. ∴f 在[a,b]上有界.证法二：(应用致密性定理)若f 在[a,b]上无上界，则对任何正整数n ， 存在x n ∈[a,b]，使得f(x n )>n. 依次取n=1,2,…，则得到数列{x n } ⊂[a,b]. 由致密性定理，{x n }含有收敛子列{x k n }，记∞→k lim x kn =ξ. 由a ≤x kn ≤b 及数列极限的保不等式性，ξ∈[a,b]. ∵f 在ξ连续，∴∞→k lim f(x kn )=f(ξ)<+∞. 又f(x k n )>n k ≥k →+∞=>∞→k lim f(x kn )=+∞矛盾，∴f 在[a,b]上有上界. 同理可证f 在[a,b]上有下界，∴f 在[a,b]上有界.最大、最小值定理：若函数f 在闭区间[a,b]上连续，则f 在[a,b]上有最大值与最小值.证：(应用确界原理)根据连续函数在[a,b]上的有界性及确界原理知，f 的值域f([a,b])有上确界，记为M.若对一切x ∈[a,b]都有f(x)<M. 令g(x)=f(x )-M 1, x ∈[a,b]， 则g 在[a,b]上连续且有上界. 设g 有上界G ，则 0<g(x)=f(x )-M 1<G, x ∈[a,b]，得f(x)<M-G1与M 为f([a,b])的上确界矛盾. ∴必存在ξ∈[a,b]，使f(ξ)=M ，即f 在[a,b]上有最大值.同理可证f 在[a,b]上有最小值.介值性定理：设函数f 在闭区间[a,b]上连续，且f(a)≠f(b). 若μ是介于f(a)与f(b)之间的任何实数，则存在x 0∈[a,b]，使得f(x 0)=μ. 证法一：(应用确界原理)不妨设f(a)<μ<f(b)，令g(x)=f(x)-μ, 则 g 在[a,b]上连续，且g(a)<0, g(b)>0.记E={x|g(x)>0, x ∈[a,b]}，则E 非空有界，E ⊂[a,b]且b ∈E ， 由确界原理，E 有下确界，记x 0=inf E.∵g(a)<0, g(b)>0，由连续函数的局部保号性，存在δ>0，使得 在[a,a+δ]内g(x)<0，在[b-δ,b]内g(x)>0， ∴x 0≠a, x 0≠b, 即x 0∈(a,b). 若g(x 0)≠0，不妨设g(x 0)>0，则又由局部保号性，存在U(x 0,η)⊂(a,b)， 使其内有g(x)>0，特别有g(x 0-2η)>0=>x 0-2η∈E 与x 0=inf E 矛盾， ∴g(x 0)=0，即f(x 0)=μ.证法二：(应用区间套原理)同证法一令g(x)=f(x)-μ.将[a,b]二等分为[a,c]与[c,b]. 若g(c)=0，则c 为所求.若g(c)>0，则记[a 1,b 1]=[a,c]，若g(c)<0，则记[a 1,b 1]=[c,b]，则g(a 1)<0,g(b 1)>0且[a 1,b 1]⊂[a,b]，b 1-a 1=21(b-a).从区间[a 1,b 1]出发，重复上述过程，得g(c 1)=0或g(a 2)<0,g(b 2)>0且[a 2,b 2]⊂[a 1,b 1]，b 2-a 2=221(b-a). 不断重复以上过程，可得g(c n )=0或g(a n+1)<0,g(b n+1)>0且[a n+1,b n+1]⊂[a n ,b n ]，b n -a n =n 21(b-a), n=1,2,…. 即{[a n ,b n ]}是闭区间套，由区间套定理知，存在x 0∈[a n ,b n ], n=1,2,… 若g(x 0)≠0，不妨设g(x 0)>0，由局部保号性，存在U(x 0, δ)， 使其内有g(x)>0.又当n 充分大时，有[a n ,b n ]⊂U(x 0, δ)，∴g(a n )>0矛盾. ∴g(x 0)=0，即f(x 0)=μ.一致连续性定理：若函数f 在[a,b]上连续，则f 在[a,b]上一致连续. 证法一：(应用有限覆盖定理)由f 在[a,b]上的连续性，任给ε>0， 对每一点x ∈[a,b]，都存在δx >0，使得当x 0∈U(x,δx )时有|f(x 0)-f(x)|<2ε. 令H={U(x,2δx )|x ∈[a,b]}，则H 是[a,b]的一个开覆盖. 由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集H ’={U(x i ,2δi )|i=1,2,…,k}， H ’覆盖了[a,b]. 记δ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2δmin i k i 1>0. 对任何x 1,x 2∈[a,b]，|x 2-x 1|<δ. x 1必属于H ’的某个开区间U(x i ,2δi )，即|x 1-x i |<2δi ，则有 |x 2-x i |≤|x 2-x 1|+|x 1-x i |<δ+2δi ≤2δi +2δi =δi ， 又|f(x 1)-f(x i )|<2ε, |f(x 2)-f(x i )|<2ε, 有|f(x 2)-f(x 1)|< ε.∴f 在[a,b]上一致连续.证法二：(应用致密性定理)若f 在[a,b]上不一致连续，则存在某ε0>0，对任何δ>0，都存在相应的两点x ’,x ”∈[a,b]， 尽管|x ”-x ’|<δ, 但有|f(x ”)-f(x ’)|≥ε0.令δ=n 1(n 为正整数)，与它相应的两点记为x ’n ,x ”n ∈[a,b]， 尽管|x ’n -x ”n |<n1, 但有|f(x ’n )-f(x ”n )|≥ε0.当n=1,2,…时，可得数列{x ’n }与{x ”n }⊂[a,b].由致密性定理，存在{x ’n }的收敛子列{x ’k n }，设x ’k n →x 0∈[a,b](k →∞)， 由|x ’k n -x ”k n |<kn 1=>| x ”k n -x 0|≤| x ”k n - x ’k n |+| x ”k n -x 0|→0(k →∞)，得 x ”kn →x 0(k →∞)，又由f 的连续性及数列极限的保不等式性，得：0=|f(x 0)-f(x 0)|=∞→k lim |f(x ’k n )-f(x ”kn )|≥ε0，与ε0>0矛盾， ∴f 在[a,b]上一致连续.习题1、设f 为R 上连续的周期函数. 证明：f 在R 上有最大值与最小值. 证：设f 的周期为T ，∵f 在[0,T]上连续，∴有最大值f(M)和最小值f(m)， M,m ∈[0,T]. 任给x ∈R ，则存在某整数k ，使x ∈[kT,(k+1)T]， ∴x-kT ∈[0,T]，从而有f(m)≤f(x)=f(x-kT)≤f(M)，∴f(M)=R x max ∈{f(x)}, f(m)=Rx min ∈{f(x)}，即 f 在R 上有最大值f(M)与最小值f(m).2、设I 为有限区间. 证明：若f 在I 上一致连续，则f 在I 上有界，举例说明此结论当I 为无限区间时不一定成立.证：设区间I 的左右端点为a,b. ∵f 在I 上一致连续，∴对ε=1， 存在δ>0，不妨取δ<2a -b , 当|x ’-x ”|<δ(x ’,x ”∈I)时，有|f(x ’)-f(x ”)|<1. 令a 1=a+2δ, b 1=b-2δ, 则a<a 1<b 1<b.∵f 在[a 1,b 1]上连续，∴f 在[a 1,b 1]上有界，设|f(x)|≤M 1, x ∈[a 1,b 1]. 当x ∈[a,a 1)∩I 时，∵0<a 1-x<2δ<δ，∴|f(x)-f(a 1)|<1, 有|f(x)|<|f(a 1)|+1. 同理当x ∈(b 1,b]∩I 时，有|f(x)|<|f(b 1)|+1.令M=max{M 1,|f(a 1)|+1,|f(b 1)|+1}，则对一切x ∈I ，必有|f(x)|≤M. ∴f 在有限区间I 上有界.例证：y=x 2, x ∈R 一致连续，但∞→x lim x 2=+∞无界.3、证明：f(x)=x sinx 在(0,+∞)上一致连续. 证：∵∞→x lim xsinx =0，由柯西收敛准则知，对∀ε>0，存在M 1>0，使 当x ’,x ”>M 1时，有|f(x ’)-f(x ”)|<ε. 又∵0x lim →xsinx =1，同理可知， 存在M 2>0，使当0<x ’,x ”<M 2时，有|f(x ’)-f(x ”)|<ε.将(0,+∞)分成三个相交的区间(0,M 2],[2M 2,M 1+2M 2]和[M 1,+∞). ∵f 在[2M 2,M 1+2M 2]连续，∴f 在[2M 2,M 1+2M 2]一致连续. 从而必存在δ>0(δ<2M 2)，当x ’,x ”∈[2M 2,M 1+2M 2]且|x ’-x ”|<δ时，有 |f(x ’)-f(x ”)|<ε. 于是对一切x ’,x ”∈(0,+∞)，当|x ’-x ”|<δ时， x ’,x ”必属于上述区间之一，且都有|f(x ’)-f(x ”)|<ε，∴f 在(0,+∞)上一致连续.4、试用有限覆盖定理证明根的存在性定理.证：设f在[a,b]上连续，且f(a),f(b)异号，不妨设f(a)<0, f(b)>0.若在(a,b)内没有f(x)=0的根，即对每一个x∈(a,b)，都有f(x)≠0，从而对一切x∈[a,b]，有f(x)≠0. 由f的连续性，对每一个x∈[a,b]，存在δx >0，使得f在U(x,δx)∩[a,b]上同号，而H={(x,δx)|x∈[a,b]}是[a,b]的一个开覆盖，由覆盖定理知在H中必存在有限个开邻域H’={(x j,δj)|x j∈[a,b], j=1,2,…,n}覆盖[a,b]，设a∈(x k,δn)(k为1,2,…,n中某一个值)，则f(x)<0, x∈(x k,δk n)∩[a,b].k又∵H’覆盖了[a,b]，∴恒有f(x)<0, x∈[a,b]，即f(b)<0矛盾.∴在(a,b)内f(x)=0至少有一个根. 根的存在性定理得证.5、证明：在(a,b)上连续函数f为一致连续的充要条件是f(a+0)、f(b-0)存在且有限.证：[必要性]设f在[a,b]一致连续，则对任给的ε>0，存在δ>0，使当x’,x”∈(a,b)且|x’-x”|<δ时，有|f(x’)-f(x”)|<ε，则有当x’,x”∈(a,a+δ)时，有|x’-x”|<δ，从而有|f(x’)-f(x”)|<ε，由函数极限的柯西准则知f(a+0)存在且为有限值，同理可证f(b-0)存在且为有限值.[充分性]设f在(a,b)，且f(a+0)、f(b-0)存在且有限，补充定义f(a)=f(a+0), f(b)=f(b-0)，使f在[a,b]上连续，从而一致连续，∴f在[a,b]一致连续.。
第08讲 闭区间上连续函数的性质
a
,则对于 x1 , x2 (,) ,
总有 f ( x1 ) f ( x 2 ) ， 故 f ( x) ax b在(,) 上一致连续．
1 例4 f ( x) 在(0,1]上连续 , 却不一致连续 x 1 证明 因为 f x 在 (0,1] 上为初等函数,故连续 x
从而二者矛盾 f ( x)在(0,1]上不一致 连续．
一致连续定理
a, b 上连续， 若 f x 在闭区间 则它在该区间上
必定一致连续．
证明(略)
小结：
理解应用最值定理,有界性定理
熟练应用介值定理,零点定理
了解一致连续的概念和有关定理
作业：
第91页习题1-11： 1，2，3，4
设 f ( x)在[a, b]上c.t.且f (a) f (b) 0 （即两端
点函数值异号）：则在(a, b) 内至少存在一点 ，
使得 f 0 （至少有一个零点）．
★注意：
条件为闭区间，结论为开区 间．
几何解释：
x 若曲线 y f ( x) 的两个端点位于 轴有两侧， x 轴至少有一交点 则该曲线与 （或者说方程f ( x) 0
结论： ●最值点不唯一 ●最大值与最小值可以相等 ●最值点可以是边界点，间断点等
如：
1． f ( x) 1 sin x 有最大值 2，最小值 0；
2． y sgn x 有最大值 1，最小值 1 ； （不唯一）
3 y x 3． 在区间 [0,2] 上有最大值 8，最小值 0；
（边界点） 1 sin 4． y x 2
则 F 0 f 0 f a ，
F a f a f 2a f a f 0
闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法
闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法一、新方法本文将利用关于函数连续性的库尔斯博引理证明闭区间上连续函数的有界性。
假设函数f在闭区间$[a,b]$上连续，要证明f在$[a,b]$上有最小$f_{min}$及最大$f_{max}$，使得$\forall x \in [a,b]$，都有$f_{min}\leqslant f(x)\leqslant f_{max}$。
证明：（1）首先，我们证明$\exists f_{min}$使得$\forall x \in [a,b]$，都有$f(x)\geqslant f_{min}$：根据库尔斯博引理，由于函数f在$[a,b]$上连续，则f在$[a,b]$上有最小值$f_{min}$。
为了证明每个$x \in [a,b]$，都有$f_{min}\leqslant f(x)$，即为：证明$\forall x \in [a,b]$，都有$f(x)\geqslant f_{min}$：令$M_1=f_{min}$，它是函数f在端点$a$及$b$上的取值，则有$M_1\leqslant f(x)$；由于函数f在闭区间$[a,b]$上连续，则可以定义函数$M(x)=M_1$，使得$M(x)\leqslant f(x)$，其中$x \in [a,b]$，即证明了$\forall x \in [a,b]$，都有$f(x)\geqslant f_{min}$；（2）其次，我们证明$\exists f_{max}$使得$\forall x \in [a,b]$，都有$f(x)\leqslant f_{max}$：同（1），根据库尔斯博引理，由于函数f在$[a,b]$上连续，则f在$[a,b]$上有最大值$f_{max}$；令$M_2=f_{max}$，它是函数f在端点$a$及$b$上的取值，则有$f(x)\leqslant M_2$；由于函数f在闭区间$[a,b]$上连续，则可以定义函数$M(x)=M_2$，使得$f(x)\leqslant M(x)$，其中$x \in [a,b]$，即证明了$\forall x \in [a,b]$。
闭区间上连续函数性质的证明精编版
,
a1
2
b1
]与[a1
2
b1
,
b1
]，同样f
(
x)至少在其
中之一上无界，把它们记为[a2 , b2 ]；这样的步骤一
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7
直做下去，便得到一个闭区间套{[an , bn ]}, f ( x)在其中
任何一个闭区间[an ,bn ]上都是无界的. 根据闭区间套定
理, 存在唯一的实数属于所有的闭区间[an , bn ],并且
证法一(应用致密性定理证明) 采用反证法
假设 f ( x)在闭区间[a,b]上非一致连续，
由于x ( y)是严格单调增加的, 因此要不等式 x0 x x0 成立,只需
f (x0 ) f (x) f (x0 ) 即f (x0 ) f (x0 ) y y0 f (x0 ) f (x0 )
因此取 minf (x0 ) f (x0 ), f (x0 ) f (x0 )，则当
将[a, b]等分为两个子区间[a, c]与[c, b]，
若f (c) 0,则c即为所求;
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15
若f (c) 0,则当f (c) 0时记[a1,b1] [a,c]，
当f (c) 0时记[a1,b1] [c,b]，
则有f (a1) 0，f (b1) 0,
都存在一点 xn [a,b], 使得 f (xn ) n. 取n 1, 2
3,,得到一列xn，xn [a,b] 并且 f (xn ) n, 即
lim
n
f
(xn )
.
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闭区间上连续函数的性质
M
且(a) f (a) C A C,
B y f (x)
C
(b) f (b) C B C.
即 (a) (b) 0, 由零点定理,
a
o
A
x1 1 2 3 x2 b x
m
(a, b), 使 ( ) f ( ) C 0, 即 f ( ) C. 6
推论
最小值 m
在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 之间的任何值.
定理 4(介值定理) 设函数 f ( x)在闭区间 a, b 上
连续，且在这区间的端点取不同的函数值
f (a) A 及 f (b) B,
那末，对于 A与B之间的任意一个数C ，在开区间a, b内
至少有一点，使得 f ( ) C (a b).
证 设(x) f (x) C,
y
则 ( x)在[a, b]上连 续,
在区间 (x2
但1 2 ,
,
x3 ) 内,有 2 ,使 f (2
这表明,两个不同的点
)
;
对应于同一个函数值,这与 f 是一
一映射矛盾.这就证明了 f 是严格
单调的. 证毕.
由此推得,两个区间之间连续的
x1
1
x2 2 x3
x
一一满射,作为函数一定是严格单调的.因此,由上节定理,我们得
定理 区间上连续函数的单值反函数必为连续函数.
y
y1 x
1
有界.例如
y 1 , x (0, 2) x
O 1 2x
4
二、零点定理与介值定理
定义: 如 果 x0使 f ( x0 ) 0, 则 x0称 为 函 数 f ( x)的 零 点.
定理 3(零点定理) 设函数 f ( x)在闭区间 a, b 上连
实数基本定理及闭区间上连续函数性质证明
实数基本定理及闭区间上连续函数性质证明实数基本定理及闭区间上连续函数性质证明§1. 关于实数的基本定理一子列定义1 在数列 EMBED Equation.DSMT4 中，保持原来次序自左至右任一选区无限多项，构成新的数列，就称为EMBED Equation.DSMT4 的子列，记为 EMBED Equation.DSMT4 。
子列的极限和原数列的'极限的关系定理1 EMBED Equation.DSMT4 若 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 的任何子列 EMBED Equation.DSMT4 都收敛，并且它的极限也等于 EMBED Equation.DSMT4 。
注：该定理可用来判别 EMBED Equation.DSMT4 不收敛。
例：证明 EMBED Equation.DSMT4 不收敛。
推论：若对任何EMBED Equation.DSMT4 ：EMBED Equation.DSMT4 都有 EMBED Equation.DSMT4 收敛，则 EMBED Equation.DSMT4 在 EMBED Equation.DSMT4 的极限存在。
二上确界和下确界上确界的定义，下确界的定义定理2 非空有上界数集必有上确界;非空有下界数集必有下确界。
定理3 单调有界数列必收敛.三区间套定理区间套: 设 EMBED Equation.DSMT4 是一闭区间序列. 若满足条件ⅰ> 对 EMBED Equation.DSMT4 , 有 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ;ⅱ> EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 .则称该闭区间序列为为区间套 .注：区间套是指一个“闭、缩、套” 区间列.( 都不是).例： EMBED Equation.DSMT4 和 EMBED Equation.DSMT4 都是区间套.但 EMBED Equation.DSMT4定理4设 EMBED Equation.DSMT4 是一闭区间套. 则存在唯一的点 EMBED Equation.DSMT4 属于所有的区间。
7.2闭区间上连续函数性质的证明
［证法二］（应用致密性定理）
用反证法． 倘若 f 在 [a, b]上不一致连续，
则存在某 0 0, 对任何 0,都存在相应的两点 x, x [a, b],
尽管 x x , 但有 f ( x) f ( x) 0 .
令
1（n
n
为正整数），与它相应的两点记为
考虑开区间集 H U( x; x ) x [a, b], 显然 H是 a,b 的
一个无限开覆盖,由有限覆盖定理,存在 H的一个有限子集
H U(xi;i ) xi [a,b],i 1,2,, k
覆盖了 a, b ,且存在正数 M1, M2 ,, Mk ,使得对一切
当 g(c) 0时,记[a1, b1] [a, c],当 g(c) 0 时，记 [a1, b1] [c, b],
于是有
g(a1)
0,
g(b1 )
0,
且
[a1, b1] [a, b], b1
a1
1 2
(b
a),
再从区间 [a1, b1]出发，重复上述过程，得到：
或者在[a1, b1]的中点 c1上有 g(c1 ) 0,
这个简化的情形称为根的存在性定理（定理4.7的推论）.
记 E x g( x) 0, x [a, b]，显然 E为非空有界数集（E [a,b]且b E）, ．
故由确界原理，E有下确界，记 x0 inf E.
因 ga 0, g(b) 0,由连续函数的局部保号性， 存在 0 使得在 a, a 内 g(x) 0, 在 b , b 内 g( x) 0.
同时由
xn xn
闭区间上连续函数一定有界证明
闭区间上连续函数一定有界证明闭区间上的连续函数一定有界的证明可以从以下三个方面进行展开：1.闭区间上连续函数的最小值和最大值存在。
2.通过反证法证明闭区间上的连续函数无界的假设导致矛盾。
3.构造一个有界的区间，使得闭区间上的连续函数在该区间内有界。
下面将详细介绍这三个方面的证明。
首先，我们来证明闭区间上连续函数的最小值和最大值一定存在。
设$f(x)$是闭区间$[a,b]$上的一个连续函数，我们定义$M=\max\{f(x):x\in[a,b]\}$和$m=\min\{f(x):x\in[a,b]\}$。
我们首先证明$M$存在。
由于$f(x)$是连续函数并且$[a,b]$是一个闭区间，根据连续函数的最值定理，$f(x)$在闭区间$[a,b]$上一定可以取到最大值，即存在$x_1\in[a,b]$使得$f(x_1)=M$。
接下来，我们证明$m$存在。
同理，由于$f(x)$是连续函数并且$[a,b]$是一个闭区间，根据连续函数的最值定理，$f(x)$在闭区间$[a,b]$上一定可以取到最小值，即存在$x_2\in[a,b]$使得$f(x_2)=m$。
综上所述，闭区间上的连续函数一定存在最大值$M$和最小值$m$。
接下来，我们利用反证法来证明闭区间上的连续函数一定有界。
假设存在一个闭区间$[a,b]$上的连续函数$f(x)$是无界的，即对于任意的正整数$N$，存在$x_N\in[a,b]$使得$f(x_N)>N$。
由于$f(x_N)>N$，我们可以构造一个数列$\{x_N\}$，使得$f(x_N)>N$。
根据闭区间的有界性，数列$\{x_N\}$必然有一个收敛子列$\{x_{N_k}\}$，即存在$x_0\in[a,b]$使得$\lim_{k\to\infty}x_{N_k}=x_0$。
由于$f(x)$是连续函数，根据连续函数的性质，$\lim_{k\to\infty}f(x_{N_k})=f(x_0)$。
闭区间上连续函数基本性质——最值定理和有界性定理(老黄学高数第125讲)
. f在[a,+∞)上有界. 又问f在[a,+∞)必有最大值或最小值吗？
若M<A+ε0且m>A-ε0，则M>A-ε0且m<A+ε0， 取εM =M-(A-ε0)=M-A+ε0>0，有正数c，使x>c时，有 |f(x)-A|<εM，即A-(M-A+ε0)<f(x)<A+(M-A+ε0)=M+ε0. 由ε0的任意性可知f(x)≤M，又f在[b,c]上有最大值N， 取xM=max(M,N)，则xM为f在[a,+∞)上的最大值；
A+ε0
A
A-ε0
ab
且f在[a,+∞)一定有最大值或最小值。
1、设f在[a,+∞)上连续，且
f(x)存在. 证明：
. f在[a,+∞)上有界. 又问f在[a,+∞)必有最大值或最小值吗？
f在闭区间[a,b]⊂[a,+∞)上连续,
∴f在[a,b]上有最大值M和最小值m.
若M≥A+ε0，则M为f在[a,+∞)上的最大值；
M
A+ε0
a
b
1、设f在[a,+∞)上连续，且
f(x)存在. 证明：
. f在[a,+∞)上有界. 又问f在[a,+∞)必有最大值或最小值吗？
f在闭区间[a,b]⊂[a,+∞)上连续,
∴f在[a,b]上有最大值M和最小值m.
若m≤A-ε0，则m为f在[a,+∞)上的最小值；
A
A-ε0
m
a
b
1、设f在[a,+∞)上连续，且
证：定义函数F(x)=
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闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法连续函数是数学分析中非常重要的一类函数，下面是小编搜集整理的一篇探究闭区间上连续函数的有界性定理证明的论文范文，欢迎阅读参考。
一、引言
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，连续函数又是数学分析中非常重要的一类函数。
在数学中，连续是函数的一种属性。
而在直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。
函数极限的存在性、可微性，以及中值定理、积分等问题，都是与函数的连续性有着一定联系的，而闭区间上连续函数的性质也显得非常重要。
在闭区间上连续函数的性质中，有界性定理又是最值定理和介值定理等的基础。
在极限绪论中，我们知道闭区间上连续函数具有5个性质，即：有界性定理、最大值最小值定理、介值定理、零点定理和一致连续定理，零点定理是介值定理的一个重要推论。
而闭区间上连续函数的有界性定理的证明，在很多数学教材中，所采用的方法大致相同，一般都是用致密性定理和有限覆盖定理来加以证明的。
并且在文献中作者也分别利用闭区间套定理、确界定理、单调有界定理和柯西收敛准则证明了此定理。
但是我们知道，分析数学上所列举的实数完备性的7个基本定理是相互等价的，因而从原则上讲，任何一个都可以证明该定理，只不过是有繁简之分，笔者考虑如何能用最简单的方法将闭区间上连续函数的有界性定理证明出来，上述文献中已经用其他6个基
本定理证明了闭区间连续函数的有界性定理，下面本文用实数完备性定理中的聚点原则和构造数列的办法给出了该定理的新证明方法。
二、一种新的证明方法
(一)预备知识
(二)有界性定理的新证法下面将给出实数完备性定理中的聚点原则对闭区间连续函数的有界性定理的证明。
三、有界性定理在数学建模中的应用
本文以一道数学建模的问题为例，介绍闭区间上连续函数的有界性定理如何应用于实际问题。
在2013年“深圳杯”数学建模夏令营D题中，根据题意所述：农业灾害保险是政府为保障国家农业生产的发展，基于商业保险的原理并给予政策扶持的一类保险产品。
农业灾害保险也是针对自然灾害，保障农业生产的重要措施之一，是现代农业金融服务的重要组成部分。
农业灾害保险险种是一种准公共产品，基于投保人、保险公司和政府三方面的利益，按照公平合理的定价原则设计，由保险公司经营的保险产品，三方各承担不同的责任、义务和风险。
根据题目中附件所给的P省的具体情况，可以将有界性定理灵活的用在自然灾害保险的风险评估和费率拟定上。
假设时间是一个连续状态，则以时间t为自变量，根据题中所给数据，以日最高最低气温为例，很明显它与时间t是呈周期性变化的，以一年为一个周期，故只考虑在某一年内的变化规律，即.
将日最高最低气温拟合成一个关于时间的函数f(t),则由于自变量
t是连续状态的，故f(t)在定义域[0,365]内是一个连续函数。
保险的定价与费率的拟定跟被保农作物受气候灾害的情况有关，而受气候灾害的情况则由f(t)所决定，即f(t)也是的一个连续函数，用spss软件将农作物受灾情况进行聚类分析，将气温划分为4个等级，即为四个在值域上的闭区间
根据闭区间连续函数的有界性定理可知
都有|t|≤M,则找到了一个f(t)为落在闭区间
的最大时间长度，将被保险农作物的生长周期与此时间长度结合进行保险定价与费率的拟定。
四、结论
上述用聚点原则证明了闭区间上连续函数的有界性定理，从侧面反映了实数完备性的7个基本定理的相互等价性，并且根据《数学分析》书及文献中所给出的证明，总结出如下规律：
(一)闭区间上连续函数的有界性定理的证明一般都是采用反证法。
(二)本证明方法结合Heine定理和聚点原则，更加精炼的采用反证法证明了有界性定理，并且将函数转换成数列极限问题来解决。
(三)利用聚点原则证明有界性定理好处在于不用对一个闭区间不断的进行等分(构造一个闭区间套)，只需找到一个收敛的子列即可证明。
(四)在实际问题中，往往的数据都是一个离散的时间序列，根据这样离散的数据集拟合出来的一个近似连续的函数，从而根据闭区间上连续函数的有界性定理找到一个最大的定义区间和一个值域范围。
参考文献：
[1]陈传璋.数学分析[M].上海：复旦大学出版社，1983.
[2]胡亚红.用实数完备性证明闭区间上连续函数的有界性[J].丽水学院学报，2010,32(5)：8-10.。