九年级最短距离问题专题复习

最短距离问题专题复习

几何模型1：

1、如图，A 为马厩，B 为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷。请你帮他确定这一天的最短路线。

析：过A 点做关于草地MN 对称点A ‘

，过B 点做关于河L 对称点B ’

，连接A ‘

B ’

，与草地MN 交于P 1，与河L 交于P 2，顺次连接A 、P 1、P 2、B ，即为所求。

2、 (1)如图1，直线同侧有两点A ，B ，在直线MN 上求一点C ，使它到A 、B 之和最小；(保留作图痕迹不写作法)

(2)如图2，点P 在∠AOB 内部，试在OA 、OB 上分别找出两点E 、F ，使△PEF 周长最短；(保留作图痕迹不写作法)

思路点拨： (1)根据两点之间线段最短，作A 关于直线MN 的对称点E ，连接BE 交直线MN 于C ，即可解决；

(2)作P 关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连接CD 交OA 、OB 于E 、F ，此时△PEF 周长有最小值；

图1 图2 距离最短问题归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。 模型应用：

如图，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上，OA OB ⊥，60AOC ∠=°，P 是OB 上一动点，求PA PC +的最小值；

A B A 马厩

B 帐篷

’

’

P 1

P 2

M

N

L 河

草地

A

B

C

P

B C

D

几何模型2：

1、长方体正方体

如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A沿木块侧面爬到点B处，则它爬行的最短路径是。

变式：如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。

2．台阶问题

如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B 是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？

析：展开图如图所示，

AB=13

12

52

2=

+cm

（3

）圆柱、圆锥问题

有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？

析：展开图如图所示，AB=13

12

52

2=

+m

变式1：有一圆柱形油罐，已知油罐周长是12m，高AB是5m，要从点A处开始绕油罐一周建造梯子，正好到达A点的正上方B处，问梯子最短有多长？

析：展开图如图所示，AB=13

12

52

2=

+m

变式2：桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁A

B

A

B

c

离杯口3厘米的A 处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B 处时，突然发现了蜜糖。问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。

析：展开图如图所示，做A 点关于杯口的对称点A ‘

。则BA ‘

=1512922=+厘米 27．如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm ，假若点B 有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC 的中点P 处的食物，那么它爬行的最短路程是 .

28．如图，圆锥的底面半径R=3dm ，母线l=5dm ，AB 为底面直径，C 为底面圆周上一点，∠COB=150°，D 为VB 上一点，VD= ．现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C 爬到D ．则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）

第28题 第29题

29．已知圆锥的母线长为5cm ，圆锥的侧面展开图如图所示，且∠AOA 1=120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A 出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A ．则蚂蚁爬行的最短路程长为 。

30． 如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A 点出发，绕侧面一周又回到A 点，它爬行的最短路线长是 .

典型例题分析

1、如图①，四边形ABCD 是正方形， 10AB cm =，E 为边BC 的中点，P 为BD 上的一个动点，求PC PE +的最小值；

变式1：如图②，若四边形ABCD 是菱形， 10AB cm =，45ABC ∠=°，E 为边BC 上的一个动点，P 为BD 上的一个动点，求PC PE +的最小值；

变式2：如图③，若四边形ABCD 是矩形， 10AB cm =，20BC cm =，E 为边BC 上的一个动点，P 为BD 上的一个动点，求PC PE +的最小值；

A B

A

B

A

’

A D

B

C

A D

B

C

E P

A

C

D

B

第30题

第27题

2、(2015·广元改编)如图，已知抛物线y ＝－1

m (x ＋2)(x －m)(m ＞0)与x 轴相交于点A ，B ，

与y 轴相交于点C ，且点A 在点B 的左侧．

(1)若抛物线过点G(2，2)，求实数m 的值；

(2)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使AH ＋CH 最小，并求出点H 的坐标。

3、如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点P 的坐标为4313⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，交x 轴A 、B 两点，交y 轴于点(03)C -，

． （1）求抛物线的表达式．

（2）把△ABC 绕AB 的中点E 旋转180°，得到四边形ADBC ． 判断四边形ADBC 的形状，并说明理由．

（3）试问在线段AC 上是否存在一点F ，使得△FBD 的周长最小， 若存在，请写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

D

(03)

C -，y

B

E

P

A

C