因式分解导学案

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《因式分解》导学案

4.1 因式分解导学案【学习导言】了解因式分解的概念和意义;了解因式分解与整式乘法的关系——互逆变形课前学习：尝试体验（对话课本，记下问题，尝试练习）【对话课本】阅读教材98页到99页【记下重点与问题】1. 什么是整式的乘法___________________________________.2. 看书本98页然后填写下表3.因式分解的概念:把一个多项式化成_____________的______的形式,叫做________.[记下问题]【尝试练习】1.请你写出整式相乘的两个例子(其中至少一个是多项)_______________________________________;____________________________________由此你能得到相应的两个多项式的因式分解吗?_______________________________________;____________________________________2.下列代数变形中,哪些是因式分解?哪些不是?写出为什么. 2(1)2()22m m n m mn -=- 211(2)(2)22ab ab ab b -=-x x x x-+=-+(4)31(3)1-+=-2(3)41(21)x x x422课内学习：合作体验（检评预习，审视问题，独立练习，纠错反审）【检评预习】同桌交换学案，检查评价批语：【审视问题】审视下面的学习要点，思考提出的问题【尝试例题】：例：检验下列因式分解是否正确22x x x(2)21(21)(21)-=+-(1)()x y xy xy x y-=-22++=++x x x x(3)32(1)(2)解：（1）（2）（3）想一想：检验因式分解是否正确的方法是【练习】检验下列因式分解是否正确(1)m2+nm=m(m+n) (2)a2－b2=(a+b)(a-b)(3)x2-x-2=(x+2)(x-1) (4)5x2y-10xy=5xy(x-2y)【独立练习】A组1.把左右两边相等的代数式连接起来：2a2-2a (2-a)(2+a)a2+6a+9 2a(a-1)4-a2 (a+2)23a2+12a 3a(a+4)2.把下列各式分解因式：(1)am+bm (2)a2-9 (3)a2+2ab+b23.计算下例各题,并说明你的理由(1)242+24 (2)872+87×13 (3)1012-992解：解：解：B组4.若x2+kx+1/4因式分解的结果为(x+1/2)2,则k=____________.5.关于x的二次三项式x2+px+q能分解成(x-1)(x+6)，求p+3q-2的值6.（1）已知x-y=2，x2-y2=12,求x+y的值（2）已知m+n=9,mn=14,求m2-mn+n2的值课后学习：反审体验（审查错误原因，检查练习，完成作业）【反思审查】再仔细审查学案，用红笔作出示意.【作业练习】作业本学案。

因式分解法导学案—2025学年人教版数学九年级上册

第21 章一元二次方程（5）——因式分解法一、复习回顾：1、解下列方程x²−7=0x²−2x−3=03x2−2√3x+2=02、因式分解的常见方法有那些?二、新知探究：从小学的知识我们知道：如果a·b=0；那么根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度为10x-4.9x²,根据上述规律，要求物体经过多少秒落回地面? 即高度为0m时，可列方程：10x−4.9x²=0由上可知，解一元二次时也可以不通过开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0 的形式，再得到两个一元一次方程，从而实现降次。

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

三、典例分析：例1、解下列方程(1)2x²+3x=0 (2) x(x--2)+x-2=0 (3)5x2−2x−14=x2−2x+34注意：用因式分解法必须保证方程右边；一般当方程比较繁杂时，我们可以先将方程四、巩固练习：解下列方程(1)x²+x=0(2)x2−2√3x=0 (3) 3x(2x+1)=4x+2(4)3x²−6x=−3(5)4x²−121=0(6)x²+x−2=0五、拓展提升：例2、解方程((x−4)²=(5−2x)²(多种方法解)六、知识小结：1、解一元二次方程有哪些方法?2、如何尝试用因式分解法解一元二次方程? (因式分解法的选择)中午作业：1、解方程(1)x²+9x=0(2)x²+9=6x(3)(2+x)²−9=0(4)3x(x−2)=2(2−x) (5)(x−2)(x+3)=−6(6)(x−1)2=(2x−3)2(7)x²−x−6=0(8)x²−5x+6=02、若一个多边形共有20条对角线，求这是个几边形?。

用因式分解法求解一元二次方程导学案

用因式分解法求解一元二次方程导学案一、学习目标1、理解因式分解法解一元二次方程的概念。

2、掌握用因式分解法解一元二次方程的一般步骤。

3、能够熟练运用因式分解法求解简单的一元二次方程。

二、学习重点1、用因式分解法解一元二次方程的条件。

2、因式分解法解一元二次方程的一般步骤。

三、学习难点1、如何通过观察方程的特点，选择合适的因式分解方法。

2、理解因式分解法解一元二次方程的原理。

四、知识回顾1、什么是一元二次方程？一般形式是什么？一元二次方程是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程。

一般形式为：＄ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（＄a ≠ 0$）。

2、我们已经学过哪些解一元二次方程的方法？直接开平方法和配方法。

3、什么是因式分解？把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。

五、新课导入我们已经学习了直接开平方法和配方法来解一元二次方程，今天我们将学习一种新的解一元二次方程的方法——因式分解法。

六、探究因式分解法解一元二次方程（一）思考：如果$ab ＝ 0$，那么$a$和$b$的值可能是多少？因为$0$乘以任何数都得$0$，所以当$ab ＝ 0$时，＄a ＝ 0$或$b ＝0$。

（二）观察下面的方程：＄（x 2)（x ＋ 3) ＝ 0$因为两个因式的乘积为$0$，所以$x 2 ＝ 0$或$x ＋ 3 ＝ 0$解得$x_1 ＝ 2$，＄x_2 ＝－3$（三）一般地，如果$a ＼times b ＝ 0$，那么$a ＝ 0$或$b ＝ 0$，这就是说，当一个一元二次方程的一边是$0$，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用因式分解的方法求解。

这种用因式分解解一元二次方程的方法称为因式分解法。

七、因式分解法解一元二次方程的一般步骤1、将方程右边化为 0。

2、将方程左边因式分解。

3、令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程。

4、解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

1 因式分解-初中八年级下册数学教学导学案(北师版)

因式分解-初中八年级下册数学教学导学案（北师版）一、背景初中数学教学中，因式分解是一个比较重要的知识点。

因式分解是将代数式分解成乘积的形式，帮助学生了解多项式的构成，掌握多项式的基本性质和运算方法，为后续的学习打下基础。

二、教学目的•掌握因式分解的方法和步骤。

•理解多项式的基本构成和性质。

•能够运用因式分解法简化运算。

•培养学生的推理思维能力，提高学生的数学综合素质。

三、教学内容1. 因式分解的基本思路因式分解的基本思路是将多项式进行拆分，得到可以拆分的因式，再将这些因式相乘得到原多项式。

例如，(x^2 + 3x + 2)可以分解为(x + 1)(x + 2)。

2. 因式分解的方法（1）提公因式法提公因式法是将多项式中的公因式提出来，然后再根据乘法分配律整理得到因式分解式。

例如，把 6x + 9y 写成 3(2x + 3y) 的形式，其中3就是公因式。

（2）配方法配方法是将多项式拆成两个部分，其中一个部分是二次的完全平方式，另一个部分是该完全平方式的“平方项系数”和零次项的乘积。

例如，将x^2 + 6x + 5分解成(x + 1)(x + 5)，其中(x + 1)是一个完全平方式，(x + 5)的平方项系数是1，零次项是5，它们的积是5。

（3）直接相除法直接相除法就是按照长除法的方法，求出多项式的一个因式和余数。

然后再对因式进行因式分解。

例如，对于x^2 - 1，可以先除以x - 1，得到x + 1，然后再将x + 1分解为(x + 1)(1)。

（4）公式法公式法是通过特定的公式来分解多项式。

例如，x^2 - a^2可以使用差平方公式(x-a)(x+a)进行分解。

3. 教学重点和难点（1）教学重点因式分解的基本思路、方法和步骤。

（2）教学难点运用因式分解法简化多项式的实际问题。

4. 教学方法综合使用讲授、演示、对话、自主学习等多种教学方法，重点强调提问、讲解和操练。

5. 教学时序（1）第一课时授课主题：因式分解的基本思路主要内容：•引入因式分解的概念和基本思路。

《21 因式分解法》导学案人教版九年级数学上册

九年级数学上册《21.2.3 因式分解法》导学案1、回顾初二所学的因式分解，能熟练地分析出用哪种方法来解方程2、知道用因式分解法解一元二次方程的依据是“A·B=0”，相当于“A=0或B=0”。

重点：运用因式分解法解特殊的一元二次方程难点：灵活运用因式分解法把一元二次方程转化为两个一次因式的积为0的形式。

1、因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为，再把左边通过化为两个一次因式的的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．2、因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的；③令每个因式分别为零，得到两个；④解这两个一元一次方程，它们的就都是原方程的解。

1、（2020·安徽省合肥市五十中学新校初二月考）方程x2﹣x＝0的解为（）A．x1＝x2＝1B．x1＝x2＝0C．x1＝0，x2＝1D．x1＝1，x2＝﹣12、（2021•天津模拟）一元二次方程(2)2x x x-=-的解是()A．1x=B．11x=，22x=C ．1x =，2x =D ．11x =-，22x =3、（2021·铜官区期末）已知等腰三角形的腰长是方程2712=0x x -+的一个根，其底边长为6，则底边上的高为___________4、已知关于x 的一元二次方程(m ＋1)x 2＋4x ＋m 2＋m ＝0的一个根为0，则m 的值是_________．5、选用适当的方法解下列方程：（1）2410x x -+=；（2）22(3)(3)(3)x x x -=+-.6、已知x=2是关于x 的方程()2440x m x m -++=的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，（1）求m 的值；（2）求△ABC 的周长．1、方程23x x =的解是（）A ．3x =B ．3x =-C ．0x =D ．3x =或0x =2、（2021·襄阳模拟）菱形ABCD 的一条对角线长为6cm ，边AB 的长是方程27120x x -+=的一个根，则菱形ABCD 的周长等于（）A.10cmB.12cmC.16cmD.12cm 或16cm3、三角形两边长分别是4和2，第三边长是22940x x -+=的一个根，则三角形的周长是________。

因式分解全章导学案

因式分解全章导学案学习目标：1、了解因式分解的意义。

2、初步了解因式分解在解决其他数学总是中的桥梁作用，如解方程、简化计算等方面都常用因式分解。

3、理解因式分解是多项式乘法的逆变形。

学习重点: 因式分解的概念。

学习难点: 理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。

一、复习回顾:问题一整式乘法有几种形式? 问题二乘法公式有哪些?(1)单项式乘以单项式(1)平方差公式:：(2)单项式乘以多项式：a(m+n)= (2)完全平方公式：(3)多项式乘以多项式：(a+b)(m+n)=二、自主学习:1、计算：⨯（2）（m+4）（m－4）=__________；（1）23=（3）（y－3）2=__________；（4）3x（x－1）=__________；（5）m（a+b+c）=__________；（6）a（a+1）（a－1）=__________。

2、若a=101,b=99,则22a b-=___________；若a=99,b=-1,则22-+=_______；a ab b2若x=-3,则2+=x x2060小结：一般地，把一个含字母的表示成若干个多项式的的形式，称把这个多项式因式分解。

思考：由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算?由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与上面的变形有什么不同?因式分解与整式的乘法有什么区别和联系？三、合作探究:四、检测1、下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？(1) 2x -3x+1=x(x-3)+1 ； (2) (m ＋n)(a ＋b)＋(m ＋n)(x ＋y)＝(m ＋n)(a ＋b ＋x ＋y)；(3) 2m(m-n)=22m -2mn ； (4) 42x -4x+1= ()221x -；(5) 32a +6a=3a （a+2）；（6）()()243223x x x x x -+=-++ (7) 222112k k k k ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭； (8) 318a bc=32a b·6ac 。

因式分解（19张PPT）导学案

4.1因式分解导学案班级姓名学习目标：1、了解因式分解的概念和意义。

2、了解因式分解与整式乘法的关系——互逆变形。

3、体验矛盾的对立统一规律。

学习重点：因式分解的概念。

学习难点：认识因式分解与整式乘法的关系，并能意识到可以运用整式乘法的一系列法则来解决因式分解的各种问题。

一．课前预学导入新课：请回忆一下：3×3×5=45是什么运算，那45=3×3×5．又是什么运算？相应的：x (x - y) = x2-xy是什么运算，x2-xy = x (x - y)呢？二、课中导学1.请观察下面两种代数式变形的例子，它们之间有什么关系？a(a+1)=a2+a a2+a=a(a+1)(a+b)(a-b)=a2-b2a2-b2=(a+b)(a-b)(a+1)2=a2+2a+1 a2+2a+1=(a+1)2像这样，把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，有时，也把这一过程叫分解因式。

因式分解与整式乘法的关系：因式分解和整式乘法是互逆关系。

做一做判断下列各式哪些是整式乘法，哪些是因式分解。

（1）(x+5)(x-5) = x2- 25（2）x2 + 2x -3 = (x+3)(x-1)（3）2(a-b) = 2a-2b（4）2x2-8y2 =2(x-2y) (x+2y)（5）2m(m-n) = 2m2- 2mn（6）4x2- 4x + 1 = (2x-1)2辨一辨判断下列各式是不是因式分解：（1）x2 + x = x (x+1)（2）(y +1) (y-1) = y2-1（3）4x3-4x = 4x (x2-1)（4）5a - a2 = a (5-a)（5）x2- xy2 = x (x-y)2（6）-x2 - 2x -1 = - (x+1)22.因式分解和整式的乘法有互逆关系，因此可以用整式的乘法运算，来检验因式分解例1检验下列因式分解是否正确:(1) x²y-xy=xy (x-y)(2) 2x²-1=(2x+1)(2x-1)(3) x²+3x+2=(x+1)(x+2)因式分解要注意以下几点：1、分解的对象必须是多项式。

因式分解导学案

14.3 因式分解1．因式分解(1)定义把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．(2)因式分解与整式乘法的关系因式分解与整式乘法是相反方向的变形．如：(a＋b)(a－b)a2－b2.即多项式乘以多项式或单项式乘以多项式(整式乘法)是“积化和”，而因式分解则是“和化积”，故可以用整式乘法来检验因式分解的正确性．谈重点因式分解的理解(1)因式分解专指多项式的恒等变形，等式的左边必须是多项式，右边每个因式必须是整式．(2)因式分解的结果必须要以积的形式表示，否则不是因式分解．(3)因式分解中每个括号内如有同类项要合并，因式分解的结果要求必须将每个因式分解彻底．【例1】下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是()．A．a(x＋y)＝ax＋ayB．y2－4y＋4＝y(y－4)＋4C．10a2－5a＝5a(2a－1)D．y2－16＋y＝(y＋4)(y－4)＋y2．公因式(1)定义多项式的各项中都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．(2)确定多项式的公因式的方法确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别进行考虑，确定公因式时：一看系数，二看字母，三看指数．解技巧确定公因式的方法确定公因式的方法：(1)对于系数(只考虑正数)，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数．(2)对于字母，需考虑两条，一是取各项相同的字母；二是各相同字母的指数取次数最低次，即取相同字母的最低次幂．最后还要根据情况确定符号．【例2】把多项式6a3b2－3a2b2－12a2b3分解因式时，应提取的公因式是()．A．3a2b B．3ab2C．3a3b3D．3a2b23．提公因式法(1)定义一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．(2)提公因式的步骤①确定应提取的公因式；②用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；③把多项式写成这两个因式的积的形式．警误区提公因式要彻底(1)所提的公因式必须是“最大公因式”，即提取公因式后，另一个因式中不能还有公因式；(2)如果多项式的首项系数是负数，应先提出“－”号．可按下列口诀分解因式：各项有“公”先提“公”，首项有“负”先提“负”，某项提出莫漏“1”，括号里面分到“底”．【例3】用提公因式法分解因式：(1)12x2y－18xy2－24x3y3；(2)5x2－15x＋5；(3)－27a2b＋9ab2－18ab；(4)2x(a－2b)－3y(2b－a)－4z(a－2b)．4．用平方差公式分解因式(1)因式分解的平方差公式两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．即a2－b2＝(a＋b)(a－b)．这个公式就是把整式乘法的平方差公式等号左右两边颠倒过来．(2)平方差公式的特点左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；右边是两个数(或整式)的和与这两个数(或整式)的差的积．凡是符合平方差公式左边特点的多项式都可以用这个公式分解因式．【例4】把下列多项式分解因式：(1)4x2－9；(2)16m2－9n2；(3)a3b－ab；(4)(x＋p)2－(x＋q)2.5．用完全平方公式分解因式(1)因式分解的完全平方公式两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．即a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.这个公式就是把整式乘法的完全平方公式等号左右两边颠倒过来．(2)完全平方公式的特点左边是一个三项式，其中两项同号且均为一个整式的平方(平方项)，另一项是平方项幂的底数的2倍(乘积项)，符号可正也可负，右边是两个整式的和(或差)的平方，中间的符号同左边的乘积项的符号．【例5】把下列多项式分解因式：(1)x2＋14x＋49；(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9；(3)3ax2＋6axy＋3ay2；(4)－x2－4y2＋4xy.6．因式分解的一般步骤根据多项式的特点灵活选择分解因式的方法，其一般步骤可概括为：一提、二套、三查．一提：如果多项式的各项有公因式，首先考虑提取公因式；二套：提公因式后或没有公因式可提，就要考虑运用公式法，即平方差公式或完全平方公式；三查：因式分解一定要分解到不能分解为止，要检查每个因式是否还可以继续分解．7．运用公式法分解因式易出现的错误在分解因式时，多项式的项数若是两项，且含有平方项，则考虑用平方差公式进行分解因式．若多项式是三项式，则考虑用完全平方公式．在应用公式法分解因式时常出现的错误是：对公式的结构特征掌握不熟，理解不透彻，易出现符号、项数上的错误，二次项、一次项系数搞错，把两个公式混淆等．8 关于x2+(p+q)x+pq型二次三项式的因式分解x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).事实上：x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+(qx+pq)=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q).∴x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).利用这个公式，可以把二次三项式因式分解，当p=q时，这个式子化成x2+2px+p2或x2+2qx+q2，是完全平方式，可以运用公式分解因式.例如：把x2+3x+2分解因式.(分析)因为二次三项式x2+3x+2的二次项系数是1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，这是一个x2+(p+q)x+pq型式子.解：x2+3x+2=(x+1)(x+2)例3 把下列各式分解因式.(1)x2+7x+10；(2)x2-2x-8；(3)y2-7y+10；(4)x2+7x-18.【例6】把下列各式分解因式：(1)18x 2y －50y 3；(2)ax 3y ＋axy 3－2ax 2y 2.【例7】下列各式能用完全平方公式分解因式的是( )．①4x 2－4xy －y 2；②x 2＋25x ＋125；③－1－a －a 24；④m 2n 2＋4－4mn ；⑤a 2－2ab ＋4b 2；⑥x 2－8x ＋9.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个练习：（1）6a-a 2-9；2）-8ab-16a 2-b 2；（3）2a 2-a 3-a ；（4）4x 2+20（x-x 2）+25（1-x ）2 自我评价知识巩固1.若x 2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m 的值等于( )A.3B.-5C.7.D.7或-12.若(2x)n -81=(4x 2+9)(2x+3)(2x-3)，则n 的值是( )A.2B.4C.6D.83.把(a +b)-4(a 2-b 2)+4(a -b)2分解因式的结果是( )A.(3a -b)2B.(3b+a )2C.(3b-a )2D.(3a +b)24.把(5x-2y)2+(2x+5y)2分解因式为( )A.2(5x-2y)2B.-2(5x-2y)2C.29(x 2+y 2)D.以上都不对5.若多项式x 2+pxy+qy 2=(x-3y)(x+3y)，则p,q 的值依次为( )A.-12,-9B.-6,9C.-9,-9D.0,-96.分解因式：4x 2-9y 2= .7.利用因式分解计算：2224825210000 = . 8.若x=3.2，y=6.8，则x 2+2xy+y 2= .9.把多项式4-4(a -b)+(a -b)2分解因式的结果是 .10.计算：12-22+32-42+52-62+72-82+92-102= .11.分解因式.(1)(x+y)2-9y 2；(2)a 2-b 2+a +b ；(3)10b(x-y)2-5a (y-x)2；(4)(a b+b)2-(a +1)2；(5)(a 2-x 2)2-4a x(x-a )2；(6)(x+y+z)2-(x-y+z)2.12.已知x-y=1,xy=2，求x 3y-2x 2y 2+xy 3的值.13.已知x-y=2，x 2-y 2=6，求x 与y 的值.14.利用因式分解计算19992+1999-20002.15.解方程(65x+63)2-(65x-63)2=260.16.已知a ,b,c 是△ABC 的三边，且满足关系式a 2+c 2=2a b+2bc-2b 2，试说明△ABC 是等边三角形.17.当a ，b 为何值时，多项式a 2+b 2-4a+6b+18有最小值？并求出这个最小值.18利用因式分解计算下列各题.(1)7.6×199.9+4.3×199.9-1.9×199.9；(2)20022-4006×2002+20032；(3)5652×11-4352×11；(4)(543)2-(241)2.例10 计算200420032004200365654343212122222222+-+++-++-++- .2.已知多项式x 3+kx+6有一个因式x+3，当k 为何值时，能分解成三个一次因式的积？并将它分解.3.如果x+y=0，试求x 3+x 2y+xy 2+y 3的值.4.试说明无论m ，n 为任何有理数，多项式4m 2+12m+25+9n 2-24n 的值为非负数.11.分解因式.(1)(a -2b)2-16a 2； (2)x 3-x 2-4x+4.12.若3x 3-x=1，则9x 4+12x 3-3x 2-7x+2004的值等于多少？。

(八年级数学教案)因式分解的导学案

因式分解的导学案
八年级数学教案
【学习目标】
1、会用十字相乘法进行二次三项式的因式分解;
2、通过自己的不断尝试,培养耐心和信心,同时在尝试中提高观察能力。

【学习重难点】重点:能熟练应用十字相乘法进行的二次三项的因式解。

难点:准确地找出二次三项式中的常数项分解的两个因数与多项式中的一次项的系数存在的关系,并能区分他们之间的符号关系。

【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合.
模块一预习反馈
一.学习准备:
(一)、解答下列两题,观察各式的特点并回答它们存在的关系
1.(1)(x+2)(x+3)= (2)(x-2)(x-3)=
(3)(x-2)(x+3)= (4)(x+2)(x-3)=
(5)(x+a)(x+b)=x2+( )x+
2.(1)x2+5x+6=( )( ) (2)x2-5x+6=( )( )
(3)x2+x-6=( )( ) (4)x2-x-6=( )( )
(二)十字相乘法
步骤:(1)列出常数项分解成两个因数的积的各种可能情况;
(2)尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数;
(3)将原多项式分解成的形式。

关键:乘积等于常数项的两个因数,它们的和是一次项系数
二次项、常数项分解竖直写,符号决定常数式,交叉相乘验中项,横向写出两因式
例如:x2+7x+12
= (x+3)(x+4)
模块二合作探究
探究一:1.在横线上填+ ,- 符号
(1) x2+4x+3=(x 3)(x 1); (2) x2-2x-3=(x 3)(x 1);
(3) y2-9y+20=(y 4)(y 5); (4) t2+10t-56=(t 4)(t。

第一章因式分解导学案

因式分解【学习目标】：（1）了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系. （2）通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养观察能力和语言概括能力. （3）通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，了解事物间的因果联系. 【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合．【学习重难点】重点：1.理解因式分解的意义.2.识别分解因式与整式乘法的关系.难点：通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系.【预习案】一．学习准备1．因式分解是：把的形式。

2．请同学们阅读教材，预习过程中请注意：⑴不懂的地方要用红笔标记符号；⑵完成你力所能及的随堂练习和习题；二．教材精读：1、整式乘法公式类：()()a b a b +-=2()a b += 2()a b -= (1)单⨯单：34a ab = (2) 单⨯多：(35)a a b -=(3) 多⨯多：(3)(2)x y x y -+= (4) 混合乘：(1)(1)a a a +-=2、把一个多项式化成的形式，这种变形叫做把这个多项式如：⑴22a b -=()()a b a b +- ⑵222a ab b ++=2()a b +⑶222a ab b -+=2()a b - ⑷235a ab -=(35)a a b - ⑸3a a -=(1)(1)a a a +-定义解析：（1）等式左边必须是（2）分解因式的结果必须是以的形式表示；（3）分解因式必须分解到每个因式都有不能分解为止。

3、分解因式与整式乘法的关系是：【探究案】探究一：下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不是分解因式？为什么？（1）22111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ （2）()222424ab ac a b c +=+（3）24814(2)1x x x x --=--（4）222()ax ay a x y -=- （5）2224(2)a ab b a b -+=-（6）2(3)(3)9x x x +-=- 解:（7）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（）A 、29)3)(3(x x x -=+-B 、))((2233n mn m n m n m ++-=-C 、)1)(3()3)(1(+--=-+y y y yD 、z yz z y z z y yz +-=+-)2(2242探究二：连一连：9x 2－4y 2 a （a ＋1）2 4a 2－8ab ＋4 b 2－3a （a ＋2）－3 a 2－6a 4（a －b ）2 a 3＋2 a 2＋a （3x ＋2y ）（3x －2y ）【检测案】1．下列各式从左到右的变形是分解因式的是（）.A ．a （a －b ）＝a 2－ab ；B ．a 2－2a ＋1＝a （a －2）＋1C ．x 2－x ＝x （x －1）；D ．x 2－yy ⨯1＝（x ＋y 1）（x －y 1）2.连一连：a 2－1 (a +1)(a －1) a 2+6a +9(3a +1)(3a －1) a 2－4a +4 a (a －b ) 9a 2－1(a +3)2 a 2－ab(a －2)2【训练案】1.若分解因式x 2+mx-15=(x+3)(x+n),则m 、n 的值是多少？2．把下列各式分解因式正确的是（） A ．x y 2－x 2y ＝x （y 2－xy ）； B ．9xyz －6 x 2y 2＝3xyz （3－2xy ）C ．3 a 2x －6bx ＋3x ＝3x （a 2－2b ）；D ．21x y 2＋21x 2y ＝21xy （x ＋y ）【教（学）后反思】提公因式法（第一课时）【学习目标】：（1）经历探索寻找多项式各项的公因式的过程，能确定多项式各项的公因式（单项式式）；（2）会用提取公因式法进行因式分解（单项式式）．（3）通过观察、对比等手段，确定多项式各项的公因式，加强直觉思维，培养观察能力；进一步发展类比思想；【学习方法】．自主探究与小组合作交流相结合．【学习重难点】重点:能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来.难点：让学生识别多项式的公因式.【预习案】一．学习准备：1．请同学们阅读教材的内容，并完成书后习题2．预习过程中请注意：⑴不懂的地方要用红笔标记符号；⑵完成你力所能及的随堂练习和习题；二．教材精读：1、一个多项式中各项都含有的因式，叫做这个多项式各项的．2、公因式是各项系数的与各项都含有的字母的的积多项式ma+mb+mc 都含有的相同因式是，多项式3x 2－6xy+x 都含有的相同因式是。

因式分解法导学案

一元二次方程因式分解法因式分解法导学案一、新课导入1.导入课题：情景：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖起上抛，那么经过x s后物体离地面的高度（单位：m）为：10x-4.9x2.问题1：你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？问题2：设物体经过x s落回地面，请说说你列出的方程.问题3：你能用配方法或公式法解这个方程吗？是否还有更简单的方法呢？（板书课题）2.学习目标会用因式分解法解一元二次方程．3.学习重、难点：重点：用因式分解法解一元二次方程．难点：熟练运用.二、分层学习第一层次学习1.自学指导（1）自学内容：课本P12——P13页的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：可先解答②，再解答①.（4）自学参考提纲：①解方程10x-4.9x2=0.分解因式：左边提公因式，得___________=0，降次：把方程化为两个一次方程，得___________或___________，求解：解这两个一次方程，得x1= , x2= .②将一个多项式进行因式分解，通常有哪几种方法？用因式分解法解一元二次方程的依据是：如果ab=0，则__________或___________.③请小结因式分解法解一元二次方程的步骤：④解下列方程：(2)(3)0x x-⋅-=；24110x x-=.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：是否理解用因式分解法解一元二次方程的依据，用因式分解法解方程的步骤有哪些？②差异指导：根据学情进行个别或分类指导.（2）生助生：小组内互相交流、研讨.4. 强化：第一步，把方程变形为的形式；第二步，把方程变形为的形式；第三步，把方程降次为两个一次方程( )=0或( )=0的形式；第四步，解两个一次方程求出方程的根.②点两名学生板演第④题，并点评.第二层次学习1.自学指导（1）自学内容：课本P14例3.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：先独立作业，然后小组订正.（4）自学参考提纲：①方程x(x-2)+x-2=0左边可用____________法进行因式分解，分解为______________.②方程（2）左右两边都有含未知数的项，因式分解的方式不明确，因此，可先将其化为一般形式_____________________，再用____________法对左边进行因式分解.③说说运用因式分解法解一元二次方程要注意哪些问题.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：了解学生对运用因式分解法解一元二次方程的方法是否掌握了.②差异指导：指导学生观察题目特点，选用适当的方法分解因式.（2）生助生：同桌之间互相改错、分析错因.4.强化：（1）点6名学生板演，并点评.（2）运用因式分解法解一元二次方程要注意的问题.三、评价1.学生学习的自我评价：我知道哪些因式分解的方法？会运用因式分解法解一元二次方程吗？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生的学习态度、积极性、学习效果和存在的问题等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.。

中考复习(因式分解)导学案

第一轮复习《因式分解的复习》导学案【学习目标】1、什么叫因式分解？2、因式分解有哪几种方法？每种方法适合于分解什么形式的多项式？每种方法的基本步骤是什么？【学习重点】用提公因式法、公式法进行因式分解【学习难点】用十字相乘法和分组分解法进行因式分解【导学过程】一、独立自学，夯实基础(用6分钟时间，先浏览教材八上P165-172，再填空，小组内检查。

)【考点链接】1. 因式分解：就是把一个多项式化为几个整式的的形式；可以看出因式分解与是相反方向的变形；分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．分组分解法：（多于三项的多项式，分组后能提公因式、运用公式或十字相乘）ma-mb+na-nb=(a-b)(m+n)2. 因式分解的方法：⑴ ；⑵ 。

3. 提公因式法：=++mc mb ma __________ _________.(各项有“公”先提“公”，首项有负常提负，某项提出莫漏“1”,括号里面分到“底”)。

4. 公式法: （1）=-22b a ；（2） =++222b ab a ；（3）=+-222b ab a ；（4）()=+++pq x q p x 2 ．5．因式分解的一般步骤: 一“提”（取公因式）；二“套”（公式）．(先看有无公因式，再看能否套公式。

十字相乘试一试，分组分解要合适。

”）6．易错知识辨析：（1）注意因式分解与整式乘法的区别；（2）完全平方公式、平方差公式中字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项式;7. 因式分解的作用:在初中，我们可以接触到以下几类应用：1．计算。

利用因式分解计算，比较简捷；多项式的因式分解2．与几何有关的应用题。

3．代数推理的需要。

二、合作互学，集思广益（先独立完成，然后在小组内部展示，由组长负责组员交流订正答案。

）【课前热身】1.若x －y ＝3，则2x －2y ＝．2.分解因式：3x 2－27= ．3.若x 2+ax+b=(x+3)（x-4 ,b= ．4. 简便计算：2200820092008-⨯ ＝．5.下列式子中是完全平方式的是（）A ．22b ab a ++B ．222++a aC ．222b b a +-D ．122++a a三、精讲导学，方法引导（独立完成后，由组长确定中心发言人，组织大家交流讨论，记下疑难点，教师点拨。

数学九年级上册《因式分解法》导学案

数学九年级上册《因式分解法》导学案设计人：审核人：【学习目标】1、了解因式分解法的概念，会用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程；能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。

2、通过新方法的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力，通过因式分解法的学习使学生树立转化的思想。

3、体会解决问题方法的多样性，体验数学逻辑推理的严密性。

【学习重点】能灵活地应用因式分解法解一元二次方程。

【学习难点】理解“或”、“且”的含义。

【学习方法】本节课主要采用了引导发现法，由浅入深，由特殊到一般地提出问题，引导学生自主探索、动手实践、合作交流。

有效地激发学生的思维积极性，学生在学习过程中调动各种感官，进行观察、比较、归纳、进而改进学生的学习方法。

自学一、知识准备1、将下列各题因式分解am+bm+cm= ；a2-b2= ;；a2+2ab+b2= 。

2、因式分解的方法有：①；②_____________。

二、阅读课本第12页至第14页练习, 完成下列问题：1、如果a·b=0，那么_______或________。

如果（x+1）(x-1)=0，那么x+1=0或_______，即x=-1或________。

2、解方程10x-4.9x2=0①，由①到②的过程是用什么方法达到降次的目的？在这个过程中运用了什么数学思想方法？3、例3（1）、（2）分别是用什么方法因式分解解方程的？4、用因式分解法解答14页练习1的（1）（3）我自学中的困惑：研学1.将自学内容中的收获与困惑与同伴交流。

2.能力提升还可用其他方法解例3的（1）和（2），选其中的一个解答。

中考聚焦（2013•宁夏）一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的根是（）A.-1B.2C.1和2D.-1和2示学展示一：展示自学部分问题较多的题目。

展示二：展示研学能力提升。

检学必做题：1、选用适当的方法完成课本40页练习1剩余题目选做题：1、一元二次方程(x-1)(x-2)=0可化为两个一次方程为________和________，则方程的根是。

《因式分解》导学案

《因式分解》导学案【复习目标】1．了解因式分解的意义。

2．区别因式分解与整式乘法。

3．掌握因式分解的方法：提公因式法，公式法（直接用公式不超过两次），十字相乘法，分组分解法。

4．能选择适当方法实行因式分解。

【复习难点】能选择适当方法实行因式分解【教学过程】一、课前热身1、计算①a(x+y+z) ②(a+b)(a-b)2、分解因式①ax+ay+az ②a2-b2二、旧知回顾1、分解因式①3a2-a ②3x2-6x2y+3xy ③(x+y)2-3(x+y)2、分解因式①a2-4 ②(x-1)2-9 ③（a+b）2-6（a+b）+93、分解因式①x2-2x-8 ②x2-5x+6 ③x2+3x-184、分解因式①x2+7x-xy-7y ②a2-b2-2a+1 ③m2-n2+2m-2n 三、归纳总结。

因式分解的一般步骤：一、因式分解1、因式分解：2、因式分解与整式乘法的关系二、因式分解的方法1、提公因式法公因式：2、公式法①平方差公式②完全平方公式3、十字相乘法4、分组分解法四、反馈检测（一）填空题：1、分解因式：16x 2 -9y 2 =2、分解因式：a 3 +2a 2 +a = （二）选择题3、下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是( ) A a(x +y) = ax + ay B x 2 -4x + 4 = x(x -4) +4 C 10x 2 -5x =5x(2x -1) D x 2 -16 +3x = (x +4)(x -4) +3x 5．下列各式中，能用提公因式法分解因式的是( ) A x 2 -y B x 2 +2x C x 2 +y 2 D x 2 -xy +y 2 （三）解答题 6、分解因式（1）2m(a-b)-3n(b-a) （2）x 3-9x .（3）a 2+a+ 41(4) 3（x －y ）3－6（y －x ）2（5）22()()a x y b x y --- （6）x 4 – 2x 2+1（7）x 2－7xy ＋12 y 2 （8）x 2- 2xy + y 2+ 2x - 2y + 17、已知c b a 、、是△ABC 的三边的长，且满足0)(22222=+-++c a b c b a ，试判断此三角形的形状。

因式分解.导学案

8.4因式分解导学案学习目标：1、理解因式分解的意义，能区分整式的乘法与因式分解；认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系。

2、会根据因式分解的意义来判定一个等式从左到右的变形是否为因式分解学习重点：理解因式分解的意义；判定一个等式从左到右的变形是否为因式分解学习难点：多项式因式分解和整式乘法的关系学习内容：一、检测导入计算下列各式：(1)m(a+b+c)=_________ (2)(a+b)(a-b)=_________ (3)(a+b)2=___________二、自学新知：阅读课本P73的内容，思考下列问题：1、因数：如8=2×4，则与都是8的一个因数。

2、素数（质数）：因数只有1和它的正整数叫作素数。

如：2，3,5,7，113、36与60的最大公因数是4、因式：一般地，对于两个多项式f 与g ，如果有多项式h 使得f=gh,那么和叫作f 的一个因式。

观察:下列整式乘法与因式分解之间由什么关系？（1） m(a+b+c)=ma+mb+mcma+mb+mc= m(a+b+c)（2） (a-7)2=a 2-14a+49a 2-14a+49=(a-7)2(3) (x+3)(x-3)=x 2-9x 2-9=(x+3)(x-3)因为ma+mb+mc = m(a+b+c)，所以ma+mb+mc 的因式是和；因为(a-7)2=a 2-14a+49 ，则(a-7)2的因式是、和因为(x+3)(x-3)=x 2-9 ，则x 2-9的因式是、和5、因式分解：一般地，把一个多项式化为几个的形式，称为把这个多项式因式分解。

如：a 3 -a= a(a+1)(a-1)，就叫把a 3-a 因式分解。

三、小组讨论探究一、整式乘法与因式分解的关系1、计算：公式：()()a b a b +-= 2()a b + =2()a b -= (1)单⨯单：34a ab ⨯=(2) 单⨯多：(35)a a b -= (3) 多⨯多：(3)(2)x y x y -+=2、因式分解：由上述计算可知：（1）22a b -= （2）222a ab b ±+=(3) 235a ab -= ( 4) 22253x xy y --=归纳：（1）、整式乘法与因式分解的关系是（2）、因式分解的特点是：探究二、判定一个等式从左到右的变形是否为因式分解下列变形是因式分解吗？为什么？（1）a+b=b+a （2）4x 2y –8xy+1=4xy(x –y)+1（3）a(a –b)=a 2–ab （4）a 2–2ab+b 2 =(a –b)2探究三、因式分解的简单应用：解方程（选做）解方程：x 2-4=0 (提示：如果A ×B=0，那么A=0或B=0)四、课堂展示展示小组讨论成果五、达标反思1、下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不是分解因式？为什么？（1）22111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ （2）()222424ab ac a b c +=+ （3）24814(2)1x x x x --=-- （4）222()ax ay a x y -=- （5）2224(2)a ab b a b -+=- （6）2(3)(3)9x x x +-=- 2、解方程x 2-3x=08.4.1提公因式法导学案学习目标：1、能确定多项式各项的公因式；2、用提取公因式法进行因式分解．学习重点：用提取公因式法进行因式分解学习难点：确定各项的公因式以及各项的符号学习内容：一、检测导入下列从左到右的变形，是分解因式的为( )A、.x2－x=x(x－1) B.、a(a－b)=a2－abC.、(a+3)(a－3)=a2－9D.、x2－2x+1=x(x－2)+1二、自学新知阅读课本P74内容思考下列问题：1、公因式：几个多项式的的因式称为它们的公因式。

年级数学下导学案(因式分解)

1.1 多项式的因式分解导学案总第节漆河镇中学八年级数学备课组课题目标导航知识与技能1、了解因式分解的意义，理解它与多项式乘法是互逆变形.2、感受因式分解在解决相关问题中德作用.过程与方法通过比较因式分解与多项式乘法的异同，培养逆向思维的能力.情感态度与价值观通过自主学习、合作交流获取相关知识，体验学习的快乐，产生积极学习的情感.重点：理解因式分解的意义，准确地辨析整式乘法与因式分解这两种变形.难点：对因式分解与整式乘法关系的理解.自主学习方案（预习交流）预习教材的内容，完成下列各题. 1.说一说：6=2× ，2是6的一个，3也是6的一个 .2x －4=(x +2)(x －2),我们把x +2叫作多项式2x－4的一个，同理，x －2也叫作多项式2x －4的一个 .2.一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式 .3.试一试：你会解方程2x －4=0吗？课堂导学方案（合作探究）教学点1 因式分解的概念归纳：一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解. 例1 下面从左到右的变形是因式分解的是（）A.24=323⨯B.x +1=x （1+x1） C.)(22n m mn n m mn +=+ D.1)32(132223++=++x x x x E.）12(132223+=++x x x x 学生展示1.下面从左到右的变形是因式分解的是（）A.ac ab a c b a a +-=+-2)(B.)11()2(1222-++-=-+-y y y x x y xy x ）（ C.)2)(2(422y x y x x y -+=+- D.1))((122+-+=+-y x y x y x2.判断下列变形是否为因式分解.（1）2233c b a abc •••= （2）)43(432n m m m mn m -=+- （3）r n m y r ny my +-=+-)(（4）))((22b a b a b a -+=- （5）32)3)(1(2--=-+x x x x教学点2 因式分解与多项式乘法的关系归纳：多项式的因式分解与多项式的乘法是一个互逆的过程，因此，我们把多项式乘法的过程反过来，就可以得到因式分解的一些基本方法.例2 （1）计算：①=+2)(y x ；②=+-)1)(1(b a .（2）因式分解：①=+-222y xy x ；②=-162x . 学生展示3.因式分解与整式乘法与什么区别和联系？4.判断下列各式哪些是整式乘法，哪些是因式分解？（1）)2)(2(422y x y x y x -+=- （2）xy x y x x 62)3(22-=-（3）11025)15(22+-=-a a a （4）22)2(44+=++x x x 当堂评价方案（反馈与诊断）1.指出下列各式中从左到右的变形哪些是因式分解？（1）1)1)(1(22--+=-x x x （2）6)2)(3(2--=+-x x x x （3）)2(3632-=-m mn mn n m（4）mc b a m mc mb ma ++=++)( （5）222)2(44b a b ab a -=+-2.下列各式是因式分解的是（）A.222)(b a b a +=+B.)(m y x x xm xy +=++C.)11(22xx x x +=+ D.222)(2b a b ab a -=+- 3.（1）计算①=-+)143(2b a ab ；②=-+)2)(2(y x y x ；③=-2)23(n m ； ④=+2)21(a . （2）根据上面的计算对下面各式进行因式分解：①=-+ab ab b a 28622 . ②=-224y x . ③=+-224129n mn m . ④=++412a a . 课后作业方案（巩固与拓展）1.下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）A.9)3)(3(2-=-+x x xB.1)2(122++=++a a a aC.)43(432n m m m mn m -=+-D.)2(2422-=-x x x x 2.已知=⨯=-a a 则,99991000112（）A.10001;B.9999;C.10000;D.不能确定3.如果多项式142-+mx x 分解因式为)7)(2(+-x x ，则x 的值为 .4.根据整式乘法与因式分解之间的联系和区别，解决下面问题：（1）m 为何值时，整式m y y +-42能进行因式分解，试写出一个符合条件的m 的值.（2）根据（1）中你确定的m 的值，把多项式m y y +-42因式分解. 课堂反思对照课堂目标导航思考：1.我今天学到了什么知识？2.我感受到了什么？3.还存在什么疑惑？教学反思1.课堂效果自评：2.我的教学心得：3.学生存在的问题或急需补救的问题：。

41因式分解导学案.doc

a 2-b 2内式分解整式乘法 (a + b)(a — b)(3) (5a-l) 2=25a 2-10a+l (4) X 2+4X +4=(X + 2)2(6) =3(^b6ac (4.1因式分解【学习目标】1.了解因式分解的概念和意义；2. 了解因式分解与整式乘法的关系。

一、提出问题：1、请你完成下列填空：(1) __________________________ T a(a +1) = _______________________ ； .I / + Q = _________________________________ ；(2) V(x+l)(x-l)= _________________ ; /.x 2 -1 =(x+l )( ________ ;(3) J(a+b)2 = ________________ ;・•・ a 2 +2ab+b 2 =( ________ )22、请观察上述代数式变形的例了，思考它们Z 间的关系。

归纳：把-个 _____________ 分解成几个整式的 ______________ ,像这样的式子变形叫做把这个多项式 ___________ ，也叫做 ____________ .因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即3、说明： (1) 从右往左是积化和差，其特点是：由整式的积的形式化为和差的形式(多项式)；(2) 从左往右是 ____________ ,其特点是：由 _______ 的形式(多项式) ________ 为整式的 ______ 的形式；(3) 因式分解与整式乘法的相互关系是 _____________ ,它们是互逆过程。

二、新知体验：1. 判断下列各式哪些是整式乘法？哪些是因式分解？(1) x 2 - 4 y 2 = (x + 2y\x - 2y)(2) 2x (x~3y) =2 x 2 - 6xy(5) 2兀R+ 27ir = 2?i(R+r)- 2•下列从左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是?(1) 丄ab 2 - ah =丄ab(b - 2)( (3) &-4x+l=(2x+矿( ))(2) (°一3)(。

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