双曲线习题精选精讲

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双曲线专题经典练习及答案详解

双曲线专题 (优秀经典练习题及答案详解)

双曲线专题一、学习目标：1.理解双曲线的定义；2.熟悉双曲线的简单几何性质；3.能根据双曲线的定义和几何性质解决简单实际题目.二、知识点梳理定义1、到两个定点1F 与2F 的距离之差的绝对值等于定长（小于21F F ）的点的轨迹2、到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数()1>e ee （＞1）的点的轨迹标准方程-22a x 22b y =1()0,0>>b a -22a y 22bx =1()0,0>>b a 图形性质范围a x ≥或a x -≤，R y ∈R x ∈，a y ≥或a y -≤对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点渐近线x a by ±=x b a y ±=顶点坐标 ()0,1a A -，()0,2a A ()b B -,01，()b B ,02 ()a A -,01，()a A ,02()0,1b B -，()0,2b B焦点 ()0,1c F -，()0,2c F()c F -,01，()c F ,02轴实轴21A A 的长为a 2 虚轴21B B 的长为b 2离心率1>=ace ，其中22b a c += 准线准线方程是c a x 2±=准线方程是ca y 2±=三、课堂练习1、双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为（）A 、2,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B 、5,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C 、6,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D 、()3,01.解析：C2.设椭圆C 1的离心率为，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为（）A ． ﹣=1B ．﹣=1C ．﹣=1D ．﹣=12.解析A ：在椭圆C 1中，由，得椭圆C 1的焦点为F 1（﹣5，0），F 2（5，0），曲线C 2是以F 1、F 2为焦点，实轴长为8的双曲线，故C 2的标准方程为：﹣=1，故选A ．3.已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2=( ) A.14 B.35 C.34 D.453.解析C ：依题意得a ＝b ＝2，∴c ＝2. ∵|PF 1|＝2|PF 2|，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝2m .又|PF 1|－|PF 2|＝22＝m . ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝2 2. 又|F 1F 2|＝4，∴cos ∠F 1PF 2＝422＋222－422×42×22＝34.故选C.4.已知双曲线的两个焦点为F 1（﹣，0）、F 2（，0），P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|•|PF 2|=2，则该双曲线的方程是（） A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣y 2=1D.x 2﹣=14.解析C ：解：设双曲线的方程为﹣=1．由题意得||PF 1|﹣|PF 2||=2a ，|PF 1|2+|PF 2|2=（2）2=20．又∵|PF 1|•|PF 2|=2， ∴4a 2=20﹣2×2=16 ∴a 2=4，b 2=5﹣4=1．所以双曲线的方程为﹣y 2=1．故选C ．5.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1B.x 25－y 220＝1C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1 5.解析A ：设焦距为2c ，则得c ＝5.点P (2,1)在双曲线的渐近线y ＝±ba x 上，得a ＝2b .结合c＝5，得4b 2＋b 2＝25，解得b 2＝5，a 2＝20，所以双曲线方程为x 220－y 25＝1. 6.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．86.解析C ：设等轴双曲线方程为x 2－y 2＝a 2，根据题意，得抛物线的准线方程为x ＝－4，代入双曲线的方程得16－y 2＝a 2，因为|AB |＝43，所以16－(23)2＝a 2，即a 2＝4，所以2a ＝4，所以选C. 7.平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．7.解析：双曲线的右焦点(4,0)，点M (3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.8.以知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA + 的最小值为。

双曲线考点精讲

第 4 讲双曲线
考点一双曲线的定义及运用
1．已知 M 3, 0, N 3, 0, PM PN 6 ，则动点 P 的轨迹是
。
【答案】一条射线
【解析】因为 PM PN 6 MN ，故动点 P 的轨迹是一条射线，其方程为： y 0, x 3 ，
1 / 14
2．已知双曲线 C : y2 x2 25 144
又在直角三角形 F1QF2 中，由勾股定理得 9t2 (3t 2a)2 4c2 ，
所以 c2 5a2 ，又 c 2 a 2 b 2 ，所以 b 2a ，所以双曲线的渐近线方程为 y b x 2x ，
a
3．设
F1
、
F2
是双曲线
C
：
x a
2 2
y2 b2
1
(a
0,b 0) 的两个焦点， P 是 C 上一点，若
【答案】5
【解析】如下图所示，设点 M 为第一象限的点，设点 F1 、 F2 分别为双曲线 C 的左、右焦点，
设 MF1 m ，由双曲线的定义可得 MF1 MF2 2a ，则 MF2 m 2a ，
由已知条件可得 MF2 、 MF1 、 F1F2 成等差数列，且公差为 2a ， F1F2 m 2a ，
2．已知双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的左、右焦点分别为
F1 ， F2 ，过 F1 的直线与 C 的左、右支分别交
于 P 、 Q 两点，若 PQ 2F1P ， F1Q F2Q 0 ，则 C 的渐近线方程为。
【答案】 y 2x
【解析】设 PF1 t ，由已知条件及双曲线的定义得 | PQ | 2t ， PF2 t 2a, QF2 3t 2a ，因为 F1Q F2Q ，所以在直角三角形 PQF2 中，由勾股定理得 4t2 (3t 2a)2 (t 2a)2 ，解得 3t 4a ．

双曲线与方程_知识点总结_例题习题精讲_详细答案

一、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））。

这两个定点叫双曲线的焦点。

要注意两点：（1）距离之差的绝对值。

（2）2a ＜|F 1F 2|。

当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。

2、第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线。

这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线。

二、双曲线的标准方程（222a c b -=，其中|1F 2F |=2c ）焦点在x 轴上：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）焦点在y 轴上：12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）（1）如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上。

a 不一定大于b 。

（2）与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x （3）双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 需要更多的高考数学复习资料请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.：高考数学复习资料知识点与方法技巧总结例题精讲(详细解答)或者搜.店.铺..：龙奇迹学习资料网三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系 1、点与双曲线点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上220022-=1x y a b ⇔2、直线与双曲线代数法：设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b （1）0m =时，b bk a a-<<，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； b k a ≥，bk a≤-，或k 不存在时，直线与双曲线没有交点；（2）0m ≠时，k 存在时，若0222=-k a b ，abk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点； 0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；0∆=时22220m b a k +-=，2222m b k a +=直线与双曲线有一个交点；k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点；m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点；3、过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线:l y kx m =+过定点00(,)P x y ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x（1）当点00(,)P x y 在双曲线内部时：b bk a a-<<，直线与双曲线两支各有一个交点； a bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；b k a >或bk a <-或k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；（2）当点00(,)P x y 在双曲线上时：bk a =±或2020b x k a y =，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 2020b x k a y >（00y ≠）或2020b x bk a a y <<（00y ≠）或b k a <-或k 不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点；当00y ≠时，bk a =±或k 不存在，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ； b k a >或bk a <-时直线与双曲线的一支有两个交点；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；（3）当点00(,)P x y 在双曲线外部时：当()0,0P 时，b bk a a -<<，直线与双曲线两支各有一个交点； b k a ≥或bk a ≤或k 不存在，直线与双曲线没有交点；当点0m ≠时，k =00(,)P x y 的直线与双曲线相切 bk a=±时，直线与双曲线只交于一点；需要更多的高考数学复习资料请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.：高考数学复习资料知识点与方法技巧总结例题精讲(详细解答)或者搜.店.铺..：龙奇迹学习资料网四、双曲线与渐近线的关系1、若双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a by ±=2、若双曲线方程为12222=-b x a y （a ＞0，b ＞0）⇒渐近线方程：22220y x a b -= ay x b =±3、若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x , 0λ≠。

双曲线优秀经典例题讲解

双曲线是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m ，上口半径为13 m ，下口半径为25 m ，高55 m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m ）.解：如图8—17，建立直角坐标系xOy ，使A 圆的直径AA ′在x 轴上，圆心与原点重合.这时上、下口的直径CC ′、BB ′平行于x 轴，且C C '=13×2 (m)，B B '=25×2 (m).设双曲线的方程为12222=-by a x （a >0,b >0）令点C 的坐标为（13，y ），则点B 的坐标为（25，y－55）.因为点B 、C 在双曲线上，所以,1)55(12252222=--b y .112132222=-by解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--(2)11213(1) 1)55(122522222222b y b y 由方程（2）得 b y 125= （负值舍去）.代入方程（1）得,1)55125(12252222=--bb化简得 19b 2+275b －18150=0 （3）解方程（3）得 b ≈25 (m).所以所求双曲线方程为：.162514422=-y x 例2. ABC ∆中，固定底边BC ，让顶点A 移动，已知4=BC ，且A B C sin 21sin sin =-，求顶点A 的轨迹方程．解：取BC 的中点O 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，因为4=BC ，所以B(0,2-)，)0,2(c ．利用正弦定理，从条件得2421=⨯=-b c ，即2=-AC AB ．由双曲线定义知，点A 的轨迹是B 、C 为焦点，焦距为4，实轴长为2，虚轴长为32的双曲线右支，点(1，0)除外，即轨迹方程为1322=-y x (1>x )．变式训练3：已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程为x y 3=，两条准线的距离为l .（1）求双曲线的方程；（2）直线l 过坐标原点O 且和双曲线交于两点M 、N ，点P 为双曲线上异于M 、N 的一点，且直线PM ，PN 的斜率均存在，求k PM ·k PN 的值.典型例题（1）解：依题意有：.3,1,,12,3222222==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+==b a c b a c aa b解得可得双曲线方程为.1322=-y x （2）解：设).,(,),,(0000y x N y x M --可得由双曲线的对称性,33,33,13.),,(222020220222020000-=-==---=++⋅--=⋅P P P P P P P P PNPM P P x y x y y x x x y y x x y y x x y y k k y x P 同理所以又则设所以.3333322202=-+--=⋅x x x x k k P P PNPM 例3. 设双曲线C ：1222=-y x 的左、右顶点分别为A 1、A 2，垂直于x 轴的直线m 与双曲线C 交于不同的两点P 、Q 。

双曲线专题复习考点技巧归纳+经典例题+变式训练+综合练习

双曲线专题复习讲义题型一双曲线定义的应用例题1已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在双曲线的右支上，点N 为2F M的中点，O 为坐标原点，2||||2ON NF b -=，则该双曲线的离心率为( )A B ．2 C D 【答案】C【解析】由N 为2F M 的中点，所以1//ON MF ，且11||||2ON MF =，故01260F MF ∠=， 2121||||(||||)2ON NF MF MF a ∴-=-=，故2a b =，设双曲线的焦距为2c ，由224a b =可得222244()a b c a ==-，即c =，故双曲线的离心率为e =，故选C ．例题2已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>右支上一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，I 为△12PF F 的内心，若121213IPF IPF IF F S S S =+成立，则双曲线的离心率为( )A ．3BCD ．4【答案】A【解析】设△12PF F 的内切圆的半径为r ．I 为△12PF F 的内心，由121213IPF IPF IF F SS S =+成立，可得121111||||22232PF r PF r c r ⋅=⋅+⨯⨯⋅．∴又12||||2PF PF a -=，1223a c ∴=⋅．232ce a∴==．故选A ．【解题技巧提炼】双曲线上的点P 与其两个焦点F 1，F 2连接而成的三角形PF 1F 2称为焦点三角形.令|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ，因|F 1F 2|＝2c ，所以有(1)定义：|r 1－r 2|＝2a . (2)余弦公式：.(3)面积公式：一般地，在△PF 1F 2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决.题型二与双曲线有关的轨迹问题例题1（2021•重庆质检）在平面直角坐标系中，一动圆C 与x 轴切于点(4,0)A ，分别过点(5,0)M -、(5,0)N 作圆C 的切线并交于点P （点P 不在x 轴上），则点P 的轨迹方程为( )A ．221(4)169x y x -=>B ．221(4)169x y x -=<-C ．221(4)2516x y x +=>D ．221(4)2516x y x +=<-【答案】A【解析】由题意，在平面直角坐标系中，一动圆C 与x 轴切于点(4,0)A ，圆的圆心在4x =上，分别过点(5,0)M -、(5,0)N 作圆C 的切线并交于点P （点P 不在x 轴上），与圆交于S ，T ，所以||||MA MS =，||||NA NT =，||||PS PT =，所以||||||||54(54)8PM PN AM AN -=-=+--=，P 满足双曲线的定义，是双曲线的右支，除去A 点，故选A ．【解题技巧提炼】求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，双曲线的定义，得出对应的方程．求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支；(3)求出方程后要注意满足方程的解的坐标的点，是否都在所求曲线上．题型三由双曲线的标准方程求其简单的几何性质例题1（2021秋•温州期中）已知双曲线222:19x y C b-=的焦距为10，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．916y x =±B ．169y x =±C ．43y x =±D ．34y x =±【答案】C【解析】双曲线222:19x y C b-=的焦距为10，210c ∴=，5c =，3a =，22925916b c ∴=-=-=，4b ∴=，∴双曲线C 的浙近线方程为43b y x x a =±=±．故选C ．【解题技巧提炼】由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤1把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键. 2由标准方程确定焦点位置，确定a 、b 的值.3由c 2＝a 2＋b 2求出c 值，从而写出双曲线的几何性质.题型四利用几何性质求双曲线的标准方程例题1（2020•新疆模拟）已知双曲线的一条渐近线方程为2y x =，且经过点(4,43)，则该双曲线的标准方程为( )A ．221416x y -=B ．221164y x -=C ．22128x y -=D ．22144176y x -=【答案】A【解析】1：根据题意知，2443⨯>(4,3)在渐近线方程2y x =的右下方，所以该双曲线的焦点在x 轴上，设标准方程为22221x y a b-=，且0a >，0b >；又2ba=，所以2b a =；又2216481a b -=，即2221648414a a a -==，解得24a =，216b =，所以双曲线的标准方程是221416x y -=．解法2：根据渐近线方程设双曲线的标准方程是22(0)4y x k k -=≠，代入点(4，43)，计算得481644k =-=，所以双曲线的标准方程为2244y x -=，即221416x y -=．故选A ．例题2 （2020秋•胶州市期末）与双曲线22:12x C y -=共渐近线，且经过10)点的双曲线的标准方程是()A ．22142x y -=B ．22124x y -=C ．22142y x -=D ．22124y x -=【答案】A【解析】根据题意，要求双曲线与双曲线22:12x C y -=共渐近线，设要求的双曲线为222x y t -=，(0)t ≠，又由双曲线经过点10，则有91024t -=，解可得2t =，则要求双曲线的标准方程为22142x y -=；故选A ．【解题技巧提炼】求双曲线的标准方程的方法与技巧(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．(2)利用渐近线与双曲线的位置关系，设有公共渐近线的双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，这样可避免分类讨论，从而减少运算量，提高解题速度与准确性．拓展延伸：巧设双曲线的六种方法与技巧(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程可设为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(λ≠0，－b 2＜λ＜a 2)．(4)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(5)渐近线为y ＝kx 的双曲线方程可设为k 2x 2－y 2＝λ(λ≠0)． (6)渐近线为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)．题型五求双曲线的离心率例题1（2021秋•镇海区校级期中）双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为1e ，22221(0,0)x y a b a b-=->>的离心率为2e ，则221211e e +的值为( )A ．1B ．2C ．12D ．4【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为1e ，22221(0,0)x y a b a b -=->>的离心率为2e =2222222222122211111a b a b a b e e a b a b ++=+==+++．故选A ．例题2 （2021秋•遵义月考）已知曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>其中一条渐近线与直线:22l x y +=平行，则此双曲线的离心率是( ) ABC ．32D【解析】根据题意，双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则其渐近线方程为by x a=±，又由其一条渐近线与直线:22l x y +=平行，有12b a =，即12b a =，则c =，则其离心率c e a =B ．【解题技巧提炼】求离心率的方法与技巧(1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出a ，c ，再计算e ＝ca ；二是依据条件建立参数a ，b ，c 的关系式，一种方法是消去b 转化成离心率e 的方程求解，另一种方法是消去c 转化成含b a 的方程，求出ba 后利用e ＝1＋b 2a2求离心率． (2)求离心率的范围一般是根据条件建立a ，b ，c 的不等式，通过解不等式得c a 或ba 的范围，再求得离心率的范围．题型六与渐进线有关的问题例题1（2021秋•洛阳期中）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，若点(,0)A a -，(,0)B a ，C ，)b 是等腰三角形的三个顶点，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3y x =±B ．y =C ．13y x =±D ．y = 【答案】B【解析】依题意，要使点(,0)A a -，(,0)B a ，C ，)b 是等腰三角形的三个顶点，则必有2AB BC a ==，2a ，整理可得2220c ac a --=，解得2c a =，即可得2224a a b =+，ba=所以双曲线的渐近线方程为by x a=±=，故选B ．例题2 （2021秋•南湖区月考）已知双曲线221169x y -=的右支上一点P 到其渐近线的距离为d ，F 为双曲线的左焦点，则||PF d +的最小值为( ) A ．9B ．10C ．11D ．12【解析】由双曲线的方程可得216a =，29b =，所以22225c a b =+=，可得5c =，设双曲线的右焦点(5,0)F '，渐近线的方程为：043x y±=，即340x y ±=，所以右焦点F '到渐近线的距离||3DF '==，由双曲线的性质可得右支上的点P 到右焦点的距离||||2PF PF a '=-，||||2||2PF d PF a d DF a ''+=+++，当且仅当F '，P ，垂足三点共线，其值最小，所以||PF d +的最小值为：2324311a +=⨯+=，故选C ．【解题技巧提炼】1．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为y ＝±b a x ，双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线为y ＝±ab x ，两者容易记混，可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．2．若已知渐近线方程为mx ±ny ＝0，求双曲线方程，双曲线的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，可用下面的方法来解决．方法一：分两种情况设出方程进行讨论．方法二：依据渐近线方程，设出双曲线方程m 2x 2－n 2y 2＝λ(λ≠0)，求出λ即可．显然方法二较好，避免了讨论． 3．有共同渐近线的双曲线的方程．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．若λ＞0，则实轴在x 轴上；若λ＜0，则实轴在y 轴上，再依据题设条件可确定λ．题型一双曲线定义的应用1．已知1F 、2F 分别是双曲线22124y x -=的左、右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且12||||48PF PF ⋅=．则△12F PF 的面积为( )A ．8B ．16C ．24 D．【答案】C 【解析】P 是双曲线左支上的点，21||||2PF PF ∴-=，12||10F F =，在△12PF F 中，由余弦定理得222221212211212121212||||||(||||)2||||||4248100cos 02||||2||||248PF PF F F PF PF PF PF F F F PF PF PF PF PF +--+-+⨯-∠====⨯，1290F PF ∴∠=︒，即12PF PF ⊥，∴△12F PF 的面积为1211||||482422PF PF ⋅=⨯=，故选C ． 2．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作倾斜角为θ的直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若1||||AB AF =，且双曲线C 的离心率为2．则cos (θ=) A ．14B ．13C ．23D ．12【答案】A【解析】由双曲线的定义知，12||||2AF AF a -=，1||||AB AF =，221||||||AF BF AF ∴+=，即122||||||2AF AF BF a -==，12||||24BF BF a a ∴=+=，在△12BF F 中，由余弦定理知，2222121212||||||cos 2||||BF F F BF BF F F θ+-=⋅，∴2222244163cos 2222a c a c a a c ac θ+--==⋅⋅，2c e a ==，∴431cos 44θ-==，故选A ．题型二与双曲线有关的轨迹问题1．（2021秋•海曙区校级期中）与圆22(2)2x y ++=外切，且与圆2240x y x +-=内切的圆的圆心在( ) A ．抛物线上 B ．圆上C ．双曲线的一支上D ．椭圆上【答案】C【解析】由题设，22(2)2x y ++=的圆心为(2,0)A -2240x y x +-=的圆心为(2,0)B ，半径为2，∴若所求圆的圆心为C ，半径为r ，由图及已知条件易得2r >，∴|||2AC r BC r =+=-，则||||2AC BC -=，由双曲线定义知：圆心C 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上．故选C ．题型三由双曲线的标准方程求其简单的几何性质1．（2021秋•福建期中）双曲线2214y x -=的右顶点到渐近线的距离为( )ABC ．1D ．2【答案】B【解析】由双曲线2214y x -=，得1a =，2b =，可得右顶点为(1,0)，一条渐近线方程为2y x =，即为20x y -=，可得右顶点到该双曲线一条渐近线的距离为d =．故选B ．2．（2021秋•沙坪坝区校级期中）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 为双曲线C 中第一象限上的一点，12F PF ∠的平分线与x 轴交于Q ，若214OQ OF =，则双曲线的离心率取值范围为( ) A ．(1,2) B ．(1,4) C． D．【答案】B【解析】由214OQ OF =，知Q 在线段2OF 上，且234QF c =，又12F PF ∠的平分线与x 轴交于Q ，所以1122554334c PF QF PF QF c ===，所以1253PF PF =，又122PF PF a -=，所以2223PF a =，又点P 为双曲线C 中第一象限上的一点，所以2PF c a >-，所以226c a a -<，所以4ce a=<，又1e >，故14e <<．故选B ．题型四利用几何性质求双曲线的标准方程1．（2019秋•荔湾区期末）已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为8，离心率为2，则该双曲线的方程为( )A ．221204x y -= B ．221412x y -= C ．2211648x y -=D ．2216416x y -=【答案】B【解析】由题意可设双曲线的标准方程为22221x y a b-=，因为双曲线的焦距为8，则28c =，所以4c =，又双曲线的离心率为2ca=，所以2a =，则22216412b c a =-=-=，所以双曲线的标准方程为221412x y -=，故选B ．2．（2020•梅州二模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为34y x =±，且其一个焦点为(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．22134x y -=D ．22143x y -=【答案】B【解析】由双曲线的方程及渐近线的方程可得：34b a =，即34a b =，又由题意可得5c =，且222c a b =+，所以解得216a =，29b =，所以双曲线的方程为：221169x y -=，故选B ．题型五求双曲线的离心率1．（2021秋•河北期中）已知双曲线22:14x y C m -=(m = )A ．2B ．4C ．8D ．12【答案】B【解析】双曲线22:14x y C m -=，∴c a ==4m =．故选B ．题型六与渐进线有关的问题1．（2021秋•温州期中）已知双曲线222:19x y C b-=的焦距为10，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．916y x =±B ．169y x =±C ．43y x =±D ．34y x =±【答案】C【解析】双曲线222:19x y C b-=的焦距为10，210c ∴=，5c =，3a =，22925916b c ∴=-=-=，4b ∴=，∴双曲线C 的浙近线方程为43b y x x a =±=±．故选C ．2．（2021秋•福州期中）已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的渐近线方程为( )A ．y =B ．y x =C ．2y x =±D ．12y x =±【答案】A【解析】F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x轴．若AB 的斜率为3，可得23b a c a =-，可得223()c a c a a-=-，解得2c a =，即2224a b a +=，所以ba=C 的渐近线方程为：y =．故选A ．1．（2021秋•福州期中）已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的渐近线方程为( )A ．y =B ．y x =C ．2y x =±D ．12y x =±【答案】A【解析】F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x轴．若AB 的斜率为3，可得23b a c a =-，可得223()c a c a a-=-，解得2c a =，即2224a b a +=，所以ba=C 的渐近线方程为：y =．故选A ．2．（2021秋•沙坪坝区校级期中）若双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>率的取值范围是( )A ．)+∞B ．C ．)+∞D ．【答案】D【解析】依题意双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>经过一、三象限的渐近线斜率为k ，当k >时，可知a b >，则离心率c e a ==．故选D ．3．（2021秋•北海月考）已知双曲线22:1412x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 在C 的一条渐近线上，若2||||OP PF =，则△12PF F 的面积为( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知1(4,0)F -，2(4,0)F，渐近线的方程为y =，因为2||||OP PF =，故点P 在线段2OF 的中垂线2x =上，故0||y = 所以△12PF F的面积为1201||||2F F y ⋅=．故选D ．4．（2021秋•河南期中）如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点．若1||||AB AF =，且△1~F AB △21F F B ，则双曲线C 的离心率为()A ．2 BC ．32D ．4【答案】A【解析】由过点2F 作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点．所以12||||2AF AF a -=，1||||AB AF =，所以，2||||2AB AF a -=，所以2||2BF a =，又12||||2BF BF a -=，所以1||4BF a =，因为△1~F AB △21F F B ，所以1121AF F F ABF B=，又1||||AB AF =，所以112||||BF F F =，所以42a c =，所以离心率2ce a==，故选A ． 5．（2021秋•福建期中）双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，直线y kx =与曲线C交于A ，B 两点，11||3||AF BF =，且1260F AF ∠=︒，则双曲线C 的离心率是．【解析】设1||BF t =，因为11||3||AF BF =，则1||3AF t =，2||AF t =，所以212||||32a BF BF t t t =-=-=，2||AF a =，1||3AF a =，在三角形12AF F 中，由余弦定理可得：22212941cos 232a a c AF F a a +-∠==⨯⨯，整理可得：2c =，所以离心率e =．6．（2021秋•沙坪坝区校级期中）已知点P 在双曲线22:1169x y C -=左支上，1F ，2F 是其左、右焦点，若1260F PF ∠=︒，1211||||PF PF -= ．【答案】29【解析】设1||PF m =，2||PF n =，由双曲线的定义可知8n m -=，在△12PF F 中，由余弦定理可得22100cos602m n mn+-︒=，22100m n mn ∴+-=，2()2100n m mn mn ∴-+-=，即36mn =， ∴211212||||1182||||||||369PF PF n m PF PF PF PF mn ---====，故答案为：29．。

高中双曲线基础练习题及讲解

高中双曲线基础练习题及讲解### 高中双曲线基础练习题及讲解#### 双曲线的定义与性质双曲线是圆锥曲线的一种，其定义为平面上所有点到两个固定点（焦点）距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹。

双曲线有以下基本性质：1. 焦点距离：双曲线的两个焦点之间的距离是常数。

2. 实轴与虚轴：双曲线有两条对称轴，分别称为实轴和虚轴。

3. 离心率：双曲线的离心率大于1。

#### 练习题一：双曲线的标准方程给定一个双曲线，其焦点在x轴上，中心点为(0, 0)，且a=3，b=2，求双曲线的方程。

解答步骤：1. 根据双曲线的标准方程 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)。

2. 代入给定的a和b的值，得到 \(\frac{x^2}{3^2} -\frac{y^2}{2^2} = 1\)。

3. 简化得到 \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1\)。

#### 练习题二：双曲线的焦点坐标已知双曲线的中心点为(0, 0)，a=4，b=3，求双曲线的焦点坐标。

解答步骤：1. 计算离心率 \(e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}\)。

2. 计算焦点到中心的距离 \(c = ae\)。

3. 由于焦点在x轴上，焦点坐标为 \((\pm c, 0)\)。

4. 代入数值计算，得到焦点坐标为 \((\pm 5, 0)\)。

#### 练习题三：双曲线的渐近线方程已知双曲线的方程为 \(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\)，求其渐近线方程。

解答步骤：1. 渐近线方程形式为 \(y = \pm \frac{b}{a}x\)。

2. 代入a和b的值，得到 \(y = \pm \frac{3}{4}x\)。

#### 练习题四：双曲线的参数方程已知双曲线的方程为 \(\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{16} = 1\)，求其参数方程。

3.2.2 双曲线的简单几何性质(精练)高二数学上学期同步讲与练(选择性必修第一册)(解析版)

3.2.2双曲线的简单几何性质【题组1由双曲线的方程求几何性质】1、求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点的坐标、离心率和渐近线方程：（1）22149x y -=；（2）22194y x -=．【答案】（1）双曲线实轴长为4，虚轴长为6，顶点坐标为(20)±,，离心率为2，渐近线方程为32y x=±（2）实轴长为6，虚轴长为4，顶点坐标为(0,3)±，离心率为133，渐近线方程为32y x=±【解析】（1）由题意，双曲线方程为22149x y -=，故222224,9,13a b c a b ===+=故双曲线的实轴长为：24a =虚轴长为：26b =，顶点坐标为：(20)±,离心率为：c e a ==32b y x x a =±=±故双曲线实轴长为4，虚轴长为6，顶点坐标为(20)±,，离心率为132，渐近线方程为32y x=±（2）由题意，双曲线方程为22194y x -=，故222229,4,13a b c a b ===+=故双曲线的实轴长为：26a =虚轴长为：24b =，顶点坐标为：(0,3)±离心率为：c e a ==32a y x x b =±=±故双曲线实轴长为6，虚轴长为4，顶点坐标为(0,3)±，32y x=±2、（多选）已知双曲线22:184x y C -=，则下列说法正确的是（）A．渐近线方程为y =B．焦点坐标为()±C．顶点坐标为()±D．实轴长为【答案】BC【解析】对于双曲线22:184x y C -=，a =2b =，c =.所以，双曲线C 的渐近线方程为b y x a =±=，焦点坐标为()±，顶点坐标为()±，实轴长为因此，AD 选项错误，BC 选项正确.故选：BC.3、我们把方程分别为：22221x y a b -=和22221y x b a-=的双曲线称为共轭双曲线，则共轭双曲线有相同（）A．离心率B．渐近线C．焦点D．顶点【答案】B【解析】共轭双曲线22221x y a b-=和22221y x b a -=的c =0a >，0b >，可得它们的焦点分别为(,0)c ±，(0,)c ±，渐近线方程均为by x a=±，离心率分别为c a 和cb，它们的顶点分别为(,0)a ±，(0,)b ±，故选：B．4、曲线221259x y -=与曲线221259+x y k k -=-（925k -<<）的（）A．顶点相同B．虚轴长相等C．焦点相同D．离心率相等【答案】C【解析】顶点坐标为()5,0±，虚轴长为6，焦点坐标为()考查曲线221259+x y k k-=-（925k -<<）的性质：顶点坐标为()，虚轴长为焦点坐标为()；据此可知两曲线的焦点相同.本题选择C 选项.5、（多选）已知双曲线222(0)3x y m m -=≠，则不因m 的值改变而改变的是（）A．焦距B．离心率C．顶点坐标D．渐近线方程【答案】BD【解析】∵双曲线222(0)3x y m m -=≠，∴222213x y m m-=，c =该双曲线焦距为：=顶点坐标为)和()0，渐近线方程为y =不因m 的值改变而改变的是离心率与渐近线方程.故选：BD.【题组2由几何性质求双曲线的标准方程】曲线的标准方程为（）A．2244x y -=1B．2244y x -=1C．2248y x -=1D．2284x y -=1【答案】B【解析】由方程组2222222a a b c a b c =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，得a =2，b =2.∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的标准方程为2244y x -=1.故选：B.2、中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为（）A．2212x y -=B．22x y -C．222x y -=D．224x y -=【答案】D【解析】由一个焦点到一条渐近线的距离为2，得2b =，又因双曲线的实轴与虚轴相等，所以2a =，由双曲线焦点在x 轴上，可知双曲线方程为224x y -=.故选：D.3、已知双曲线的虚轴在y 轴上，且虚轴长为，离心率为3，则该双曲线方程为（）．A．2218y x -=B．2218y x -=C．22198x y -=D．2218x y -=【答案】A【解析】设双曲线方程22222221,x y a b c a b-=+=，32c b a⎧⎪⎨==⎪⎩，所以1,a b ==所以双曲线方程为2218y x -=，故选：A4、已知双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的实轴的长度比虚轴的长度大2，焦距为10，则双曲线的方程为（）A．221164x y -=B．221169x y -=C．221916x y -=D．221259x y -=【答案】B【解析】依题意可得222222500a b a b a b -=⎧⎪+=⎨⎪>>⎩，，得43a b =⎧⎨=⎩，所以双曲线的方程为221169x y -=．故选B．5、以椭圆22x y 143+=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为（）A．22y x 13-=B．22y x 13-=C．22x y 143-=D．22x y 134-=【答案】B【解析】设双曲线为22221x y a b-=，由椭圆22143x y +=得焦点为（±1，0），顶点为（±2，0）．∴双曲线的顶点为（±1，0）焦点为（±2，0）．∴a ＝1，c ＝2，∴b 2＝c 2﹣a 2＝3．∴双曲线为2213y x -=．故选B ．【题组3与双曲线的渐进线相关的问题】1、双曲线()221R x my m -=∈的右焦点坐标为()2,0，则该双曲线的渐近线方程为（）A．13y x =±B．3y x=±C．y =D．y x =【答案】C【解析】双曲线221(R)x my m -=∈，即2211y x m-=的右焦点坐标为()2,0，所以2112m +=，解得13m =，所以双曲线方程为2213y x -=，则双曲线的渐近线为y =；故选：C2、若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>）A．12y x =±B．y =C．y =D．2y x=±【答案】D【解析】双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>即c a =，所以2222215a b b a a +=+=，则2ba=，故C 的渐近线方程为2y x =±.故选：D.3、与双曲线221x y -=有相同的渐近线，且过点()2,1的双曲线的标准方程为___________.【答案】22133y x -=【解析】由题意可知，设()220x y λλ-=≠，因为所求双曲线过点()2,1，所以2221λ-=，解得3λ=.所以所求双曲线的标准方程为：22133y x -=.故答案为：22133y x -=.4、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点A 为虚轴上的端点，若12AF F △是顶角为120︒的等腰三角形，则C 的渐近线方程为（）A．22y x =±B．y =C．2y x=±D．y =±【答案】A【解析】设原点为O ，由12AF F △是顶角为120︒的等腰三角形，可1||tan 303OA b OF c ==︒=，c ∴=，a =，22b a ∴=故C 的渐近线方程为22y x =.故选：A.5、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F且斜率为-直线与双曲线在第二象限交于点A ，M 为2AF 的中点，且120MF MF ⋅=，则双曲线C 的渐近线方程是（）A．y =B．3y x =±C．125y x =±D．512y x =±【答案】A【解析】由1AF k =-12tan AF F ∠=-又121212sin tan cos AF F AF F AF F ∠∠=∠，且221212sin cos 1AF F AF F ∠+∠=，解得121cos 8AF F ∠=-或121cos 8AF F ∠=（舍去），由12MF MF ⊥且M 为2AF 的中点，知1122AF F F c ==，∴2222214422298AF c c c c c ⎛⎫=+-⋅⋅⋅-= ⎪⎝⎭，∴23AF c =，∴212a AF AF c =-=，又222c a b =+，∴b =，∴渐近线方程为y =.故选：A【题组4求双曲线的离心率的值或取值范围】1、双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为y =，则其离心率为（）A．3D．5【答案】A【解析】由条件可知b a =3c a =.故选：A2、设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点，若双曲线上存在点M 满足1222MF MO MF ==，则双曲线的离心率为（）A．6B．3【答案】C【解析】因为1222MF MO MF ==,则2MO MF =，M 在双曲线右支上，过点M 作x 轴的垂线，垂足为A ，则A 为2OF 的中点，所以22cAF =，132c AF =，设2MF m =，则12MF m =，故在1Rt MAF △中，2229||44MA m c =-.在Rt 2MAF 中，222||4cMA m =-，则22229444c m c m -=-，即2232m c =.因为122MF MF a -=，则2m a =，所以223(2)2a c ⨯=，即226c a =，所以ce a==3、已知1F ，2F 分别为双曲线22221x ya b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M ，N ，设四边形12F NF M 的周长为p ，面积为S ，且满足232S p =，则该双曲线的离心率为（）A．32B．2C．2【答案】C【解析】由题意可得，121222MF MF a p MF MF ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得1244p MF a p MF a⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，又12F F 为直径，所以四边形12F NF M 为矩形，所以22124p S MF MF a ⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭，又232S p =，所以222324p p a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即2232p a =，由2221212MF MF F F +=，得222248p a c +=，即2232a c =，所以22232c e a ==，即2e =．故选：C．4、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，1A ，2A 是实轴顶点，F 是右焦点，(0,)B b 是虚轴端点，若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =，使得12(1,2)i PA A i =△构成以12A A 为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是（）．A．⎭B．⎭C．⎛ ⎝⎭D．⎫+∞⎪⎪⎝⎭【答案】B【解析】以1A ，2A 为直径的圆与线段BF 有两个不同的交点，所以b a >，2222b c a a =->，解得ce a=>且圆心(0,0)到直线BF ：0bx cy bc +-=的距离d a =<，化简得2b ac <，所以22c a ac -<，210e e --<，又1e >，解得1e <e <<5、已知1F ，2F 分别为双曲线()222210,0x ya b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，若221PF PF 的最小值为8a ，则双曲线离心率e 的取值范围是（）A．()1,+∞B．(]2,3C．(]1,3D．(]1,2【答案】C【解析】1F ，2F 是左、右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，所以212PF PF a -=，代入221PF PF 得()22212111124448PF a PF a PF a a a PF PF PF +==+++= ，当且仅当12PF a =时取等号，即12PF a =，又点P 是双曲线左支上任意一点，所以1PF c a - ，即23a c a e -⇒ ，13e < .故选：C．【题组5直线与双曲线的位置关系】1、直线1y x =+与双曲线221x y -=的交点个数为______．【答案】1【解析】由2211y x x y =+⎧⎨-=⎩得：10x y =-⎧⎨=⎩，∴直线1y x =+与双曲线221x y -=有且仅有1个交点.故答案为：1.2、判断直线)1y x =-与双曲线221x y -=的公共点的个数．【答案】2.【解析】由)2211y x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩，可得2320x x -+=，∴()234210∆=--⨯=>，∴直线)1y x =-与双曲线221x y -=的公共点的个数为2.3、已知双曲线22:13x C y -=，直线:10l x -=，求直线l 与双曲线C 的公共点的坐标．【答案】2,3⎛ ⎝⎭.【解析】直线l 与双曲线C的公共点的坐标就是方程组221013x x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩的解，解之得，2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩∴直线l 与双曲线C的公共点的坐标为⎛ ⎝⎭.4、（多选）下列曲线中与直线23y x =--有交点的是（）A．4210x y +-=B．223x y +=C．2212y x -=D．2212x y -=【答案】BCD【解析】对于A,直线23y x =--和4210x y +-=的斜率都是﹣2，所以两直线平行，不可能有交点．对于B,由22233y x x y =--⎧⎨+=⎩，得251260x x ++=，1441200∆=->，所以直线与B 中的曲线有交点．对于C,由222312y x y x =--⎧⎪⎨-=⎪⎩，得221270x x ++=，212560∆=->，所以直线与C 中的曲线有交点．对于D,由222312y x x y =--⎧⎪⎨-=⎪⎩，得2724200x x ++=，2245600∆=->，所以直线与D 中的曲线有交点．故选：BCD5、过点P （4，4）且与双曲线221169x y -=只有一个交点的直线有（）．A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】D【解析】双曲线方程为：221169x y -=，当k 不存在时，直线为x ＝4，与221169x y -=1的图象有且只有一个公共点，当k 存在时，直线为：y ＝k （x ﹣4）+4，代入双曲线的方程可得：()()2222916128128256+5124000k x kk x k k -+---=，（1）若2916k -＝0，k 34=±时，y ＝34±（x ﹣4）+4与双曲线的渐近线y 34=±x 平行，所以与双曲线只有1个公共点，（2）k 34≠±时，()()()222212812849162565124000k k k k k ∆=----+=，即k 2532=，此时直线y 2532=（x ﹣4）+4与双曲线相切，只有1个公共点．综上过点P （4，4）且与该双曲线只有一个公共点的直线4条．故选：D.【题组6直线与双曲线相交弦长问题】1、过双曲线22136x y -=的右焦点作倾斜角为30°的直线l ，直线l 与双曲线交于不同的两点A ，B ，则AB 的长为______．【解析】双曲线22136x y -=的右焦点为()23,0F ，所以直线l的方程为3)y x =-．由221363)x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得256270x x +-=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则1265x x +=-，12275x x =-，所以1635AB ===．2、已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，与直线y ＝12x 交于A ，B 两点，若|AB |）A．x 2－y 2＝6B．x 2－y 2＝9C．x 2－y 2＝16D．x 2－y 2＝25【答案】B【解析】设等轴双曲线的方程为x 2－y 2＝a 2(a ＞0)，与y ＝12x 联立，得34x 2＝a 2，∴|AB×3aa ＝3故选B.3、已知双曲线x 223y -=1，过点P （2，1）作一条直线交双曲线于A ，B ，并使P 为AB 的中点，求AB 所在直线的方程和弦AB 的长【答案】AB 直线方程：6x ﹣y ﹣11＝0；AB的长为33.【解析】易知直线AB 不与y 轴平行，设其方程为y ﹣1＝k （x ﹣2）由221213y k x y x -=-⎧⎪⎨-=⎪⎩（）得（3﹣k 2）x 2+2k （2k ﹣1）x ﹣4（k 2﹣k +1）＝0设此方程两实根为x 1，x 2，则x 1+x 222213k k k -=-（）又P （2，1）为AB 的中点，所以22213k k k -=-（）4，解得，k ＝6当k ＝6时，直线与双曲线相交，即上述二次方程的0∆>,所求直线AB 的方程为y ﹣1＝6（x ﹣2）化成一般式为6x ﹣y ﹣11＝0．∴|AB|4244233==．4、已知点()2,0A -，()2,0B ，动点(),M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为12，记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程；（2）若直线l ：3y x =-和曲线C 相交于E ，F 两点，求EF .【答案】（1）22142x y -=（2x ≠±）；（2）【解析】（1）设(),M x y ，则AM ，BM 的斜率分别为12yk x =+，22y k x =-，由已知得1222y y x x ⋅=+-，化简得22142x y -=（2x ≠±），即曲线C 的方程为22142x y -=（2x ≠±）；（2）联立221423x y y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩消去y 整理得212220x x -+=，设()11,E x y ，()22,F x y ，则1212x x +=，1222x x =，12EF x =-==5、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0）．（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l ：y ＝x +2与双曲线交于A ，B 两点，求弦长|AB |．【答案】（1）23x -y 2＝1；【解析】（1）由已知得a =c ＝2，再由c 2＝a 2+b 2，得b 2＝1，所以双曲线C 的方程为23x -y 2＝1．（2）由直线与双曲线联立得2x 2+12x +15＝0，解得x ＝﹣3±62,AB,∴|AB|=【题组7双曲线的中点弦与点差法】1、已知椭圆22154x y +=，倾斜角为4π的直线l 与椭圆分别相交于A .B 两点，点P 为线段AB的中点，O 为坐标原点，则直线OP 的斜率为（）A．15-B．45-C．15D．45【答案】B【解析】设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，则22112222154154x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②，①-②整理得1212121211()()()()054x x x x y y y y +-++-=，又因为1212tan 14y y x x π-==-，则12120y y x x -=-≠，所以121211()()054x x y y +++=，又因为点P 为线段AB 的中点，则1201202,2x x x y y y +=+=，所以0021052x y +=，即0045y x =-，所以0045OP y k x ==-，即直线OP 的斜率为45-，故选：B.2、直线l 交双曲线2214x y -=于A 、B 两点，且(4,1)P 为AB 的中点，则l 的斜率为（）A．4B．3C．2D．1【答案】D【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，因点A ，B 在双曲线2214xy -=上，则221114x y -=，222214x y -=，两式相减得：121212121()(0)()()4x x x x y y y y +--+-=，因P 为AB 中点，则128x x +=，122y y +=，于是得2121y y x x --＝1，即直线l 的斜率为1，此时，直线l 的方程为：3y x =-，由22344y x x y =-⎧⎨-=⎩消去y 并整理得：2324400x x -+=，2244340960∆=-⨯⨯=>，即直线l 与双曲线2214x y -=交于两点，所以直线l 的斜率为1.故选：D3、已知直线l 与双曲线2212y x -=交于A ，B 两点，且AB 的中点坐标为（1，2），则直线l 的斜率为（）A．2-B．1-C．1D．2【答案】C【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，由AB 的中点坐标为（1，2），则12x x ≠，且12122,4x x y y +=+=所以1212AB y y k x x -=-又A ，B 两点在双曲线2212y x -=上，所以221112y x -=，222212y x -=，由两式相减可得2222121222y y x x -=-，即()()()()121212122y y y y x x x x ---+=所以()()()121212122y y y y x x x x -++=-，即44AB k =,所以1AB k =此时直线l 的方程为：1y x =+由22112y x y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得2230x x --=，4+430∆=⨯>满足条件.故选：C4、已知双曲线224x y -=，若过点P 作直线l 与双曲线交于,A B 两点，且点P 是线段AB 的中点，则点P 的坐标可能是（）A．()1,1B．()1,2C．()2,1D．()2,2【答案】B【解析】设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，由题得22111212121222224()()()()04x y x x x x y y y y x y ⎧-=∴+--+-=⎨-=⎩，，所以1200120121202()2()0,y y xx x x y y y k x x y ----=∴==-.当P 的坐标为()1,2时，1,2k =直线AB 的方程为1132(1),222y x y x -=-∴=+.把1322y x =+代入双曲线方程得0∆>.对于选项A,C,D 中点P 的坐标经检验得，不满足0∆>.故选：B5、已知倾斜角为π4的直线与双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>，相交于A ，B 两点，(1,3)M 是弦AB 的中点，则双曲线的渐近线的斜率是（）A．B．3C．D．2±【答案】A【解析】设1122(,)(,)A x y A x y 、，则12121212++y y =1=3,122x x y y x x -=-，由22112222222211y x a b y x a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，可得()()()()12121212220y y y y x x x x a b -+-+-=则22620a b-=，即22=3a b，则a =则双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的渐近线的斜率为a b ±=的直线与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，AB 的中点为P ，若直线OP的斜率为C 的离心率为（）B．2D．3【答案】C【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得2222121222x x y y a b --=，所以2121221212y y x x b x x a y y -+=⋅-+.因为1202x x x +=，1202y y y +=，所以21202120-=⋅-y y b x x x a y .因为1212AB y y k x x -==-，00OP y k x ==2=224b a=，故e =【题组8双曲线的定点定值与最值问题】1、已知双曲线2221x y a-=的渐近线倾斜角分别为30°和150︒，F 为其左焦点，P 为双曲线右支上一个动点.（1）求||PF 的取值范围，并说明理由；（2）过点P 分别作两渐近线的垂线，垂足分别为,Q R ，求证：||||PQ PR ⋅为定值.【答案】（1）)+∞，理由见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）双曲线渐近线方程为y x =，又1b =，所以23a =，双曲线的标准方程为2213x y -=，则(F ，设00(,)P x y ，0)x ∈+∞则22220000||((13x PF x y x =++=++-200413x =++所以2||5PF ≥+…所以||PF 的取值范围是)+∞（2）因为2200|3|||||4x y PQ PR -⋅==又220013x y -=，所以3||||4PQ PR ⋅=为定值.2、已知P 是平面上的动点，且点P 与12(2,0),(2,0)F F -的距离之差的绝对值为P 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）设不与y 轴垂直的直线l 过点1F 且交曲线E 于M ，N 两点，曲线E 与x 轴的交点为A ，B ，当||MN ≥AM NB AN MB ⋅+⋅的取值范围．【答案】（1）22122x y -=；（2）(,4][12,)-∞-+∞【解析】（1）依题意，P 是平面上的动点，且点P 与12(2,0),(2,0)F F -的距离之差的绝对值为即12124PF PF F F -=<=，根据双曲线的定义，可得点P 的轨迹E 是以12(2,0)(2,0)F F -、为焦点，其中224a c ==，所以2a c ==，则b =所以轨迹E 的方程为22122x y -=．（2）设直线l 方程为(2)y k x =+，点()()1122,,,M x y N x y ，联立方程组22(2)122y k x x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得()()222214420k x k x k ---+=，可得()222121222442,,81011k k x x x x k k k++==-∆=+>--且21k ≠．由弦长公式，可得221||1k MN k +=-因为||MN ≥22121k k +≥-，解得2113k ≤<或213k<≤因为(A B，所以())())11222211,,AM NB AN MB x y x y x y x y ⋅+⋅=+⋅--++⋅-()()21212121242242222x x y y x x k x x =--=--++()()222121228422481k x x k x x k k =-+-+-=-，因为2113k ≤<或213k <≤，所以28(,4][12,)1k ∈-∞-+∞-，所以AM NB AN MB ⋅+⋅的取值范围是(,4][12,)-∞-+∞．3、已知双曲线C 经过点(P ，它的两条渐近线分别为0x=和0x -=.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）设双曲线C 的左､右焦点分别为1F ､2F ，过左焦点1F 作直线l 交双曲线的左支于A ､B 两点，求2ABF 周长的取值范围.【答案】（1）2213x y -=；（2）∞⎫+⎪⎪⎢⎭⎣【解析】（1）设双曲线C 的方程为223x y λ-=，代入点(P ，得22333λ=-=，所以双曲线C 的标准方程为2213x y -=.（2）双曲线C 的左焦点为)(12,0F -，设)(11,A x y ､)(22,B x y ，①若直线l 的斜率不存在，则:2l x =-，得A ､B的坐标分别为⎛- ⎭⎝和2,⎛- ⎭⎝，此时ABC的周长为3.②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为)(2y k x =+，由)(22213y k x x y ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩得)(222213121230k x k x k ----=，因为直线l 交双曲线的左支于A ､B 两点，所以)()()(222222122212213012413123012013123013k k k k k x x k k x x k ⎧-≠⎪⎪∆=----->⎪⎪⎨+=<⎪-⎪--⎪=>⎪-⎩，得213k >设2ABF 的周长为z，22112z AF BF AB AF BF AB AB =++=++=======设231t k =-，由213k >，得0t >，11163163333t z t t ++==+，0t >，所以,3z ∞⎛⎫∈+ ⎪⎪ ⎭⎝，综上，由①②可得2ABF 的周长的取值范围∞⎫+⎪⎪⎢⎭⎣.4、已知双曲线2212y x -=，斜率为k (0)k ≠的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点.（1）若直线l 过(0,1)P ，且3PB AP =，求直线l 的斜率k .（2）若线段AB 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为92，求k 的取值范围.【答案】（1）1；（2）,2)(((2,)-∞-+∞U U U 【解析】（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，因为3BP AP =，所以3PB AP →→=，即2211(,1)3(,1)x y x y -=--，所以2121343x x y y =-⎧⎨=-⎩，所以2211221112(43)(3)12y x y x ⎧-=⎪⎪⎨-⎪--=⎪⎩，所以11x =-，10y =，即(10)A -，，所以1011AP k k -===.（2）设直线l 的方程为y kx m =+（0k ≠）．由2212y kx my x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得222(2)220k x kmx m ----=．则12222km x x k +=-，212222m x x k --=-因为直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A，B 两点于是22k -≠0，且222(2)4(2)(2)0km k m ∆=-+-+>．整理得2220m k +->．设线段AB 的中点坐标00(,)x y ，则120222x x km x k +==-，00222my kx m k =+=-．所以AB 的垂直平分线方程为2221()22m kmy x k k k -=----．此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为23(,0)2km k -，23(0,)2mk -．由题可得221339||||2222km m k k ⋅=--．整理得222(2)||k m k -=，0k ≠．所以可得222(2)20||k k k -+->，整理得22(2)(||2)0k k k --->，0k ≠．解得0||k <<或||2k >．所以k的取值范围是,2)(((2,)-∞-+∞U U U ．5、在平面直角坐标系中，动点(),M x y 与定点()5,0F 的距离和M 到定直线16:5l x =的距离的比是常数54，设动点M 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设()2,0P ，垂直于x 轴的直线与曲线C 相交于,A B 两点，直线AP 和曲线C 交于另一点D ，求证：直线BD 过定点.【答案】（1）221169x y -=；（2）证明见解析【解析】54=，即222162516(5)5x y x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，整理得221169x y -=；（2）设()11,A x y ，()11,B x y -，()22,D x y ，显然直线AP 斜率不为0，设直线AP 方程为2x my =+，联立2211692x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 并整理得()22916361080m y my -+-=，由题设29160m -≠且()22Δ(36)41089160m m =+⨯->，化简得243m >且2169m ≠，由韦达定理可得12236916m y y m -+=-，122108916y y m -=-，直线BD 的方程是()211121y y y y x x x x ++=--，令0y =得()()()21112212112112121222x x y y my y my x y x y x xy y y y y y -++++=+==+++()1212121212221082222836my y y y y y m m y y y y m++==⨯+=⨯+=++，所以直线BD 过定点()8,0.。

双曲线高中数学精讲(试题版)

专业专心专注第02讲双曲线(重点题型方法与技巧)题型一:双曲线的定义及辨析1设F 1，F 2分别是双曲线x 2-y 29=1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1 =3，则PF 2 =( )A.5 B.1 C.3 D.1或52已知双曲线C ：x 29-y 25=1的左右焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线C 的右支上，点P 关于原点的对称点为Q ，则PF 1 -QF 1 =( )A.4B.25C.6D.2133如图，F 为双曲线C :x 29-y 216=1的左焦点，双曲线C 上的点P i 与P 7-i i =1,2,3 关于y 轴对称，则P 1F +P 2F +P 3F -P 4F -P 5F -P 6F =______．OxyP 1P 2P 3P 4P 5P64已知双曲线C :x 2a2-y 227=1a >0 的左右焦点分别为F 1，F 2，其一条渐近线倾斜角为π3，若点P 在双曲线上，且PF 1 =7，则PF 2 =．5已知双曲线C :x 24-y 25=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，已知点P 在双曲线右支上且在第一象限，点M 2,1 为三角形PF 1F 2的内心，则S △PMF 1-S △PMF 2=.题型二:双曲线的标准方程1x 2+(y -3)2-x 2+(y +3)2=4表示的曲线方程为( )A.x 24-y 25=1(x ≤-2) B.x 24-y 25=1(x ≥2)C.y 24-x 25=1(y ≤-2) D.y 24-x 25=1(y ≥2)2若方程x 2m 2+1-y 2m 2-3=1表示双曲线，则实数m 满足( )A.m ≠1且m ≠-3 B.m >1C.m <-3或m >3D.-3<m <13已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的焦距为25，点P 2,1 在C 的渐近线上，则双曲线C 的方程为( )第1页共14页自信自强博观而约取厚积而薄发A.x 24-y 2=1B.x 2-y 24=1 C.x 220-y 25=1D.x 25-y 220=14南非双曲线大教堂由伦敦著名的建筑事务所完成．若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y 2a 2-x 2b 2=1(a >0，b >0)下支的一部分，且此双曲线过点1,-2 ，离心率为62，则此双曲线的方程为( )A.y 22-x 2=1B.y 22-x 23=1C.y 22-x 24=1D.y 23-x 23=15已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左顶点与抛物线y 2=2px p >0 的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为-2,1 ，则双曲线的方程为( )A.x 236-y 29=1 B.x 23-y 22=1C.x 24-y 2=1D.x 24-y 22=16一动圆P 过定点M -4,0 ，且与已知圆N ：x -4 2+y 2=16相切，则动圆P 的轨迹方程是()A.x 24-y 212=1(x ≥2)B.x 24-y 212=1(x ≤2)C.y 24-x 212=1D.x 24-y 212=17已知m ∈R ，则“m >4”是“方程x 24-m +y 2m -3=1表示双曲线”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件8已知动圆M 与圆C 1:x +2 2+y 2=1，圆C 2:x -2 2+y 2=4都外切，则动圆M 的圆心轨迹方程是；9求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a =4，经过点A 1,4103；(2)焦点y 轴上，且过点3,-42 ，94,5 .题型三:双曲线中的焦点三角形问题1角度：焦点三角形的边长或周长问题1已知F 为双曲线C :x 29-y 216=1的左焦点，P ，Q 为双曲线C 右支上的点，若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A 5,0 在线段PQ 上，则△PFQ 的周长为( )A.28B.36C.44D.48第2页共14页专业专心专注2设点P 在双曲线x 29-y 216=1上，若F 1､F 2为双曲线的两个焦点，且PF 1: PF 2 =1:3，则△F 1PF 2的周长等于( )A.22B.16C.14D.123已知双曲线y 2m -x 22=1m >0 ，直线l 过其上焦点F 2，交双曲线上支于A ，B 两点，且AB =4，F 1为双曲线下焦点，△ABF 1的周长为18，则m 值为( )A.8B.9C.10D.2544已知F 1，F 2分别为双曲线x 24-y 2=1的左右焦点，过F 2作一条直线l 与双曲线的右支交于P ，Q 两点，若PQ =2，则△PF 1Q 的周长为()A.8B.10C.12D.145已知双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，线段AB 的长为5，若2a =8，那么△ABF 2的周长是()A.16B.18C.21D.266已知F 1,F 2是离心率等于133的双曲线C :x 2m -y 24=1的左右焦点，过焦点F 2的直线l 与双曲线C 的右支相交于A ，B 两点，若△ABF 1的周长20，则|AB |等于()A.10B.8C.6D.42角度：焦点三角形的面积1设F 1-2,0 ，F 22,0 ，M x ,y 满足MF 1 -MF 2 =2，且x 2+y 2=4，则△F 1F 2M 的面积为( )A.3B.32C.9D.922已知P 是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a ,b >0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1 ⋅PF 2=0，若△PF 1F 2的面积为9，则a +b 的值为__________.3已知F 1，F 2为双曲线C ：x 216-y 24=1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且PQ =F 1F 2 ，则四边形PF 1QF 2的面积为________．4已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率为3，焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上．若△AF 1F 2的周长为14a ，则△AF 1F 2的面积是.5已知F 1，F 2为双曲线x 24-y 28=1的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足PF 1=2PF 2，则△PF 1F 2的面积为．6已知F 1(-4,0)､F 2(4,0)是双曲线C :x 2m-y 24=1m >0 的两个焦点，点M 是双曲线C 上一点，且∠F 1MF 2=60°，求△F 1MF 2的面积.3角度：焦点三角形的其他问题第3页共14页自信自强博观而约取厚积而薄发1已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为2，C 的左､右焦点分别为F 1，F 2，点P 在C 的右支上，PF 1的中点N 在圆O ：x 2+y 2=c 2上，其中c 为半焦距，则sin ∠F 1PF 2=( )A.74B.32C.34D.182已知双曲线C ：x 2-y 22=1的左右焦点分别为F 1，F 2，点G 位于第一象限的双曲线C 上，∠F 1GF 2的角平分线GP 与x 轴的交点为P 33,0 ，则∠F 1GF 2=( )A.π6B.π4C.π3D.π23已知点P 是双曲线C :x 24-y 25=1右支上一点，F 1、F 2为双曲线C 的左、右焦点，若△PF 1F 2的周长为16，点O 为坐标原点，则PO ⋅F 1F 2=()A.20B.-20C.40D.-404已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2-y 2=2的左､右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2=.题型四:双曲线中线段和、差最值1已知双曲线x 2m -y 25=1(m >0)的一条渐近线方程为5x +2y =0，左焦点为F ，点P 在双曲线右支上运动，点Q 在圆x 2+(y -4)2=1上运动，则|PQ |+|PF |的最小值为( )A.22+4B.8C.22+5D.92已知F 是双曲线x 24-y 212=1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |+|PA |的最小值为( )A.9B.8C.7D.63双曲线C 的渐进线方程为y =±233x ，一个焦点为F (0,-7)，点A (2,0)，点P 为双曲线的第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△PAF 周长的最小值为( )A.6B.10C.4+37D.3+374已知F 1,F 2双曲线C :x 2a2-y 216=1a >0 的左右焦点，点A 在双曲线的右支上，点P 7,2 是平面内一定点，若对任何实数m ，直线4x +3y +m =0与双曲线C 至多有一个公共点，则AP +AF 2 的最小值()A.237-6B.10-35C.8-37D.25-25已知F 1,F 2分别是双曲线C :x 24-y 2=1的左、右焦点，动点P 在双曲线的左支上，点Q 为圆G :x 2+(y +2)2=1上一动点，则|PQ |+PF 2 的最小值为()A.6B.7C.3+5D.56已知双曲线x 23-y 2=1的左右焦点分别为F 1､F 2，P 为双曲线右支上一点，点Q 的坐标为第4页共14页专业专心专注-2,3 ，则PQ +PF 1 的最小值为.7已知双曲线的方程为x 2-y 24=1，如图所示，点A -5,0 ，B 是圆x 2+y -5 2=1上的点，点C 为其圆心，点M 在双曲线的右支上，则MA +MB 的最小值为Oxy AMBC题型五:与双曲线有关的轨迹问题1动圆M 与圆C 1：x +4 2+y 2=1，圆C 2：x 2+y 2-8x +7=0，都外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 215+y 2=1B.x 2-y 215=1C.x 2-y 215=1x ≥1 D.x 2-y 215=1x ≤-1 2x 2+(y -3)2-x 2+(y +3)2=4表示的曲线方程为A.x 24-y 25=1(x ≤-2)B.x 25-y 24=1(x ≥2)C.y 24-x 25=1(y ≤-2)D.y 24-x 25=1(y ≥2)3一个动圆P 与两个定圆O 1:x 2+y 2=1，O 2:x -4 2+y 2=9均内切，那么动圆P 的圆心的轨迹方程是______.4已知F 1-3,0 ，F 23,0 ，若点P x ,y 满足PF 1 -PF 2 =m m ≥0 ，则P 点的轨迹是什么，并求点P 的轨迹方程.5如图所示，已知定圆F 1：x +5 2+y 2=1，定圆F 2：x -5 2+y 2=16，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．第5页共14页自律自信自强博观而约取厚积而薄发6设A 0,-4 ，B 0,4 ，PB -PA =2，则动点P 的轨迹方程为，P 到坐标原点的距离的最小值为．题型六:双曲线的离心率问题1角度：求双曲线的离心率或离心率取值范围1中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2)，则它的离心率为( )A.6B.5C.62D.522若双曲线x 2-y 2b 2=1的一个焦点到渐近线的距离为3，则该双曲线的离心率为( )A.12B.22C.2D.23已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在直线x =c 上运动，若∠A 1PA 2的最大值为π3，则双曲线的离心率为( )A.233B.322C.2D.34已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，P 为双曲线右支上任意一点，若PF 12PF 2 的最小值为8a ，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A.1,2B.1,3C.1,3D.2,45已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)，A 1，A 2是实轴顶点，F 是右焦点，B (0,b )是虚轴端点，若在线段BF 上(不含端点)存在不同的两点P i (i =1,2)，使得△P i A 1A 2(i =1,2)构成以A 1A 2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是( )．A.2,6+12B.2,5+12C.1,5+12D.5+12,+∞6已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一个焦点F (c ,0)到C 的一条渐近线的距离为27c ，则C 的离心率为()A.11215B.335C.7515D.16157已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，若PF 22PF 1 的最小值为8a ，则双曲线离心率e 的取值范围是()A.1,+∞B.2,3C.1,3D.1,28已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2,F 1F 2 =4，若线段x -y +4=0-2≤x ≤8 上存在点M ，使得线段MF 2与E 的一条渐近线的交点N 满足：F 2N =14F 2M ，则E 的离第6页共14页专业专心专注心率的取值范围是.2角度：由双曲线的离心率求参数的取值范围1已知圆锥曲线mx 2+y 2=-1的离心率为2，则实数m 的值为( )A.-3B.-13C.13D.32已知双曲线C 1:y 2a 2-x 2b 2=1及双曲线C 2:x 2b 2-y 2a2=1a >0,b >0 ，且C 1的离心率为5，若直线y =kx k >0 与双曲线C 1、C 2都无交点，则k 的值是( )A.2B.12C.5D.13平面直角坐标系中，O 为坐标原点，给定两点A 1，0 ，B 0，-2 ，点C 满足：OC =mOA +nOB其中m ,n ∈R ，且m -2n =1. 已知点C 的轨迹与双曲线x 2a2-y 2b 2=1(a >0,b >0,a ≠b )交于M ，N 两点，且以MN 为直径的圆过原点，若双曲线的离心率不大于3，则双曲线实轴长的取值范围为( )A.0，22B.0，33C.0，32D.0，14已知点F 为双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点，过F 作一条渐近线的垂线，垂足为A ，若△OAF (点O 为坐标原点)的面积为2，双曲线的离心率e ∈17,65 ，则a 的取值范围为__________．5双曲线x 2m -y 24=1的离心率为3，则实数m 的值为()A.±2B.2C.2D.36双曲线x 29-y 2k =1的离心率的取值范围为2,3 ，则实数k 的取值范围为()A.k >1B.k <9C.9<k <18D.1<k <97已知点F 为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点，过F 作一条渐近线的垂线，垂足为A ，若△OAF (点O 为坐标原点)的面积为2，双曲线的离心率e ∈17,65 ，则a 的取值范围为()A.1,2B.1,2C.24,1D.22,18已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0，b >0 的右顶点为A ，若以点A 为圆心，以b 为半径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，点O 为坐标原点，且OM =5ON，则双曲线C 的离心率为．题型七:双曲线渐近线问题1若直线x =4y +7与双曲线C ：ax 2-y 2=1a >0 的一条渐近线平行；则a 的值为( )A.116B.14C.4D.162实轴在x 轴上，实轴长为12，一条渐近线的方程为x3+y 2=0的双曲线方程为______．第7页共14页自信自强博观而约取厚积而薄发3已知双曲线Γ:y 2a 2-x 2b 2=1a >b >0 的上焦点为F (0,c )(c >0)，M 是双曲线下支上的一点，线段MF 与圆x 2+y 2-2c 3y +a 29=0相切于点D ，且MF =3DF ，则双曲线Γ的渐近线方程为_________.4以椭圆x 213+y 23=1的焦点为焦点，以直线y =±12x 为渐近线的双曲线方程为．5已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，点P 在双曲线上，若F 1F 2 =2OP ，PF 2 =2PF 1 ，则此双曲线的渐近线方程为.6椭圆C 1：x 24+y 23=1与双曲线C 2：x 2a 2-y 2b2=1的离心率之积为1，则双曲线C 2的两条渐近线的倾斜角分别为，.题型八:双曲线中的弦长问题1角度：求双曲线中的弦长1已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2，0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y =x +2与双曲线交于A ，B 两点，求弦长|AB |．2已知曲线C ：x 22+m -y 2m +1=1.(1)若曲线C 是双曲线，求m 的取值范围；(2)设m =0，已知过曲线C 的右焦点F ，倾斜角为π4的直线l 交曲线C于A ，B 两点，求AB .3已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率e =62，且双曲线C 过点P 2,1 ．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l :y =kx -1与双曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为-2，求线段AB 的长．4已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 与双曲线y 26-x 22=1的渐近线相同，且经过点2,3 ．(1)求双曲线C 的方程；(2)已知双曲线C 的左右焦点分别为F 1，F 2，直线l 经过F 2，斜率为-1，l 与双曲线C 交于A ，B 两点，求AB 的值．5已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为3，点3,0 是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求AB ．2角度：根据弦长求参数1已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1过点2,3 ，给出以下2个条件：①离心率为2，②与双曲线y 23-x 2=1有相同的渐近线．(1)选一个条件，求出双曲线的方程．第8页共14页专业专心专注(2)直线l 与直线4x -2y -1=0平行，l 被C 截得的弦长为45，求直线l 的方程．2已知双曲线Γ:x 2-y 2b2=1b >0 ，直线l 与Γ交于P 、Q 两点．(1)若点3,0 是双曲线Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；(2)若点P 的坐标为-1,0 ，直线l 的斜率等于1，且PQ =823，求双曲线Γ的离心率．3已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的实轴长为23，一个焦点的坐标为(-5,0).(1)求双曲线的方程；(2)若斜率为2的直线l 交双曲线C 交于A ,B 两点，且AB =4，求直线l 的方程.4已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)与双曲线x 216-y 24=1有相同的渐近线，且双曲线C 过点4,3 ．(1)若双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线C 上有一点P ，使得∠F 1PF 2=60°，求△F 1PF 2的面积；(2)过双曲线C 的右焦点F 2作直线l 与双曲线右支交于A ，B 两点，若△F 1AB 的周长是403，求直线l 的方程．题型九:双曲线中三角形(四边形)面积问题1角度：定值问题1已知过点M (2,23)的直线l 与双曲线E :x 24-y 23=1交于A ,B .(1)求与双曲线E :x 24-y 23=1共渐近线且过点M 的双曲线的方程；(2)若线段AB 的中点为M ，求直线l 的方程和三角形AOB 面积.2已知曲线C ：x 2-y 2=1及直线l ：y =kx -1．且直线l 与双曲线C 有两个不同的交点A ，B ．(1)求实数k 的取值范围；(2)O 是坐标原点，且ΔAOB 的面积为2，求实数k 的值．3设P 是双曲线C :x 24-y 216=1右支上任意一点，O 为坐标原点．(1)过点P 分别做两条渐近线的垂线，垂足分别是E 、F ，求|PE ⋅ PF |的值；(2)过点P 的直线与两条渐近线分别交于A 、B 两点，且满足AP =2PB，求△AOB 的面积．2角度：最值问题1设双曲线C :x 23-y 2=1，其右焦点为F ，过F 的直线l 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点．(1)求直线l 倾斜角θ的取值范围；(2)直线AO (O 为坐标原点)与曲线C 的另一个交点为D ，求△ABD 面积的最小值，并求此时l 的方程．2已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的实轴长为22，F 为右焦点，M 0,1 ，N 0,-1 ，且△MNF 为等边三角形.(1)求双曲线E 的方程；(2)过点M 的直线l 与E 的左右两支分别交于P 、Q 两点，求△PQN 面积的取值范围.第9页共14页自信自强博观而约取厚积而薄发3在一张纸上有一圆C ：x +5 2+y 2=64，定点M 5,0 ，折叠纸片使圆C 上某一点M 1恰好与点M 重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ ，设折痕PQ 与直线M 1C 的交点为T .(1)求点T 的轨迹C 方程；(2)曲线C 上一点N ，点A 、B 分别为直线l 1：y =34x 在第一象限上的点与l 2：y =-34x 在第四象限上的点，若AN =λNB ，λ∈13,2，求△AOB 面积的取值范围.题型十:双曲线中的中点弦问题1角度：点差法1已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为2，直线l 与C 交于P ,Q 两点，D 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则l 与OD 的斜率的乘积为( )A.2B.3C.4D.62如图，双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0，b >0 ，AB 是圆M :(x +2)2+(y -1)2=52的一条直径，若双曲线C 过A ，B 两点，且离心率为2，则直线AB 的方程为( )A.3x +y +7=0B.4x +y +6=0C.x +y +5=0D.2x +y +3=03已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 相交于B ，D 两点，且BD 的中点为M 1,3 ，则C 的离心率是______．4双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率为2，经过C 的焦点垂直于x 轴的直线被C 所截得的弦长为12.(1)求C 的方程；(2)设A ，B 是C 上两点，线段AB 的中点为M 5,3 ，求直线AB 的方程.第10页共14页5不垂直于坐标轴的直线l 与双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的渐近线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M ，AB 和OM 的斜率满足k AB ⋅k OM =2，则顶点在坐标原点O ，焦点在x 轴上，且经过点P (a ,b )的抛物线方程是()A.y 2=4x B.y 2=2xC.y 2=2xD.y 2=22x 6已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)，直线l 交双曲线两条渐近线于点A 、B ，M 为线段AB 的中点，设直线l 、OM 的斜率分别为k 1、k 2，若k 1⋅k 2=32，则渐近线方程为．7设直线2x -y +1=0与椭圆x 23+y 24=1相交于A ､B 两点.(1)求弦长AB ；(2)已知椭圆具有性质：设A ､B 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1上任意两点，M 是线段AB 的中点，若直线AB ､OM 的斜率都存在，并记为k AB ､k OM ，则k AB ⋅k OM 为定值.试对双曲线x 2a 2-y 2b2=1写出具有类似特征的性质，并加以证明.2角度：韦达定理法1已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的实轴长为2，一条渐近线方程为2x -y =0(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知倾斜角为3π4的直线l 与双曲线C 交于A ,B 两点，且线段AB 的中点的纵坐标为4，求直线l 的方程．2已知双曲线x 24-y 2=1，求过点A (3,-1)且被点A 平分的弦MN 所在直线的方程.3已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的两条渐近线所成的锐角为60°且点2,3 是E 上一点．(1)求双曲线E 的标准方程；(2)若过点P 1,1 的直线l 与E 交于A ，B 两点，点P 能否为线段AB 的中点？并说明理由．4已知a >b >0，如图，曲线Γ由曲线C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(y ≤0)和曲线C 2:x 2a 2-y 2b2=1(y >0)组成，其中点F 1，F 2为曲线C 1所在圆锥曲线的焦点，点F 3，F 4为曲线C 2所在圆锥曲线的焦点，F 2(2，0)，F 4(6，0).Oxy F 1F 2F 3F 4A B (1)求曲线Γ的方程；(2)如图，作直线l 平行于曲线C 2的渐近线，交曲线C 1于点A ，B ，求证：弦AB 的中点M 必在曲线C 2的博观而约取厚积而薄发另一条渐近线上.题型十一:双曲线中定点问题1已知F 2(1,0)为椭圆C 1的右焦点且F 为双曲线C 2的右顶点，椭圆C 1与双曲线C 2的一个交点是M 233,33．若点P 是双曲线右支上的动点，直线PF 2交y 轴于点Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是否恒过定点？证明你的结论．2在平面直角坐标系中，动点M x ,y 与定点F 5,0 的距离和M 到定直线l :x =165的距离的比是常数54，设动点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设P 2,0 ，垂直于x 轴的直线与曲线C 相交于A ,B 两点，直线AP 和曲线C 交于另一点D ，求证：直线BD 过定点.题型十二:双曲线中定值问题1已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)过点2,2 ，且渐近线方程为y =±2x .直线l 过点0,1 ，且与C 交于M ，N 两点.(1)求双曲线C 的方程；(2)在y 轴上是否存在定点Q ，使得QM ⋅QN 为定值？若存在，求出点Q 坐标；若不存在，说明理由.2如图，在平面直角坐标系中，F 1,F 2分别为双曲线Γ:x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，双曲线离心率为2，若点A 为双曲线右支上一点，且AF 1 -AF 2 =22，直线AF 2交双曲线于B 点，点D 为线段F 1O 的中点，延长AD ,BD ，分别与双曲线Γ交于P ,Q 两点.(1)若A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，求证：x 1y 2-x 2y 1=2y 2-y 1 ；(2)若直线AB ,PQ 的斜率都存在，且依次设为k 1,k 2.试判断k 2k 1是否为定值，如果是，请求出k 2k 1的值；如果不是，请说明理由.3已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线C 右支上一动点P x 0,y 0 到两条渐近线l 1，l 2的距离之积为4b 25．(1)求双曲线C 的方程；(2)设直线l 是曲线C 在点P x 0,y 0 处的切线，且l 分别交两条渐近线l 1，l 2于M 、N 两点，O 为坐标原点，证明：△MON 面积为定值，并求出该定值．4已知双曲线Γ:x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右顶点分别为A 1-1,0 、A 21,0 ，离心率为2，过点F 2,0 斜率不为0的直线l 与Γ交于P 、Q 两点．(1)求双曲线Γ的渐近线方程；(2)记直线A 1P 、A 2Q 的斜率分别为k 1、k 2，求证：k 1k 2为定值．5已知椭圆C 1：x 2a2+y 26=1a >6 ，C 1的左右焦点F 1，F 2是双曲线C 2的左右顶点，C 1的离心率为63，C 2的离心率为2，点E 在C 2上，过点E 和F 1，F 2分别作直线交椭圆C 1于F ，G 和M ，N 点，如图.O x yF 1F 2FM E GN (1)求C 1，C 2的方程；(2)求证：直线EF 1和EF 2的斜率之积为定值；(3)求证：1FG +1MN为定值.6已知双曲线C 1的离心率e =3，虚轴在y 轴上且长为2．(1)求双曲线C 1的标准方程；(2)若斜率为1的直线m 交C 1于A 、B 两点，且直线m 与圆x 2+y 2=1相切，求证：OA ⊥OB ；(3)已知椭圆C 2:4x 2+y 2=1，若P 、Q 分别是C 1、C 2上的动点，且OP ⊥OQ ，探究点O 到直线PQ 的距离d 是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．题型十三:双曲线中定直线问题1已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率为2，F 为双曲线C 的右焦点，(2，3)是双曲线C 上的一个点.(1)求双曲线C 的方程；(2)若过F 且不与渐近线平行的直线l (斜率不为0)与双曲线C 的两个交点分别为M ，N ，记双曲线C 在点M ，N 处的切线分别为l 1，l 2，点P 为直线l 1与直线l 2的交点，试判断点P 是否在一条定直线上，若是，求出定直线的方程；若不是，请说明理由.(注：若双曲线方程为x 2a2-y 2b 2=1，则该双曲线在点x 0,y 0 处博观而约取厚积而薄发的切线方程为x 0x a 2-y 0y b 2=1)2已知双曲线Γ:x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)过点4,13 ，离心率为14，直线l :x =9交x 轴于点A ，过点A 作直线交双曲线Γ于M ,N 两点.(1)求双曲线Γ的标准方程；(2)若M 是线段AN 的中点，求直线MN 的方程；(3)设P ,Q 是直线l 上关于x 轴对称的两点，直线PM 与QN 的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.题型十四:双曲线中向量问题1已知双曲线C 的方程为2y 2a2-2x 2=1(a >0)，离心率为2.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)过E (0,1)的直线l 交曲线C 于M 、N 两点，求EM ⋅EN 的取值范围.2已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为3(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y =33x -2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM +ON =tOD (O 为坐标原点)，求t 的值及点D 的坐标．。

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双曲线习题精选精讲(1)双曲线定义一一与椭圆相伴相离.双曲线的定义与椭圆定义只有一字之差，它俩之间的和谐美与对立美闪耀图形之上，渗透方程之中.从定义的角度讲，双曲线与椭圆的主要区别有三：1.按第一定义，双曲线要求动点到两定点距离之差为常数(小于两定点间的距离)，而椭圆则要求动点到两定点距离之和为常数(大于两定点间的距离)；2.按第二定义，双曲线要求动点到一个定点和一条定直线的距离之比为常数e (e>l),而椭圆则要求动点到一个定点和一条定直线的距离之比为常数e (0<e<l)；3.按主要参数a、b、c之间的关系，双曲线要求c2=a2+b2其中Q,》c依次表示双曲线的实，虚半轴和半焦距.而椭圆则要求a2=b2+c2其电1, c分别表示椭圆的长，短半轴和半焦距.2 2 2 2【例1】若椭圆—+ = 与双曲线工-匕=1(Q W A O)有相同的焦点F" F2, P是两条m n a b曲线的一个交点，则IPFJ - IPF2I的值是( )A. m - aB. -(m-a\C. m2- a2D.2【解析】椭圆的长半轴为S，.・.|PF]| + |FE| = 2^ (1)双曲线的实半轴为石,.・."用-"％| = ±2斯(2)-(2^ A\PF\]PF^ = ^m-a)^\PF\]PF^ = m-a ,故选A.【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键.【例2】己知双曲线与点M(5, 3), F为右焦点，若双曲线上有-点P,使网|最小，则P点的坐标为【分析】待求式中的L是什么？是双曲线离心率的2倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.【解析】双曲线的右焦点F (6, 0),离心率。

=2,3右准线为/： % = -.作于N,交双曲线右支于P, 2连FP,则|PF| = e\PN\ = 2\PN\ => |PN| 二||PF|.此时PM I + —|PF | = \PM |+ \PN I = \M N\ = 5 - —= 2.为最小・在乏i= 1中，令y = 3,得尤2 =12=>1 = ±2右.・.・尤>0,.・.取1 = 2右.所求P点的坐标为(2右,3).9 27(2)渐近线一一双曲线与直线相约天涯对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有.双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的儿何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.【解析】设所求双曲线为 (1) 1 35 点(1, 3)代入：& = 土一9 = 一旦代入44(1):35_4)广丈=1即为所求. M —)，2=_—n —4 ' 4 35 352 2 【评注】在双曲线》右=|中 0=>-±^- = 0即为其渐近线.根据这一点，可以简洁 a h9 2 地设待求双曲线为 >普“而无须考虑其实、虚轴的位置.【例4】两共钮双曲线的离心率分别为"，证明:1 1 [ -- 1 --- =12 2 乌 e【例3】过点(1, 3)且渐近线为y = 的双曲线方程是2(3) 共轴双曲线—— 虚、实易位的挛生弟兄9 2 7 0将双曲线的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：这两个双曲线就是互相共轴的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.【证明】双曲线］一1 = 1的离心率q =七=e ；=；, b~a a cr2 22 2 f 2双曲线的离心率1*千=等 .11 _ a2 b 2(4) 等轴双曲线一一和谐对称与圆同美实、虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线，等轴双曲线的对称性可以与圆为伴.【例5】设CD 是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦，求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角.【证明】如图设等轴双曲线方程为尤2一尸=疽直线 CD ： y 二m.代入(1 )： x = ±\)x 2 +m 2 .故有： C^-Vx 2 +m 2,/77j,D^\lx 2,m).取双曲线右顶点B (o,0).那么：BC - (-Jx 1 + 冰-a, BD -1 \Jx 2 +/??2 - ci, m |0用为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,曲线的离心率为（(A) V3 (B) V5(C)季(D) 1 + V3YfiCBD = [^2-(6/2= O,/.BC±BD .即 ZCBD 二90° .同理可证：ZCAD=90° . •通法特法妙法（1）方程法一一为解析几何正名解析法的指导思想是函数方程思想，其主要手段是列、解方程、方程组或不等式.2 2【例6】如图，片和E 分别是双曲线二-土 = 1（。

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双曲线（1）双曲线定义——与椭圆相伴相离.双曲线的定义与椭圆定义只有一字之差，它俩之间的和谐美与对立美闪耀图形之上，渗透方程之中. 从定义的角度讲，双曲线与椭圆的主要区别有三：1.按第一定义，双曲线要求动点到两定点距离之差为常数（小于两定点间的距离），而椭圆则要求动点到两定点距离之和为常数（大于两定点间的距离）；2.按第二定义，双曲线要求动点到一个定点和一条定直线的距离之比为常数e （e ＞1），而椭圆则要求动点到一个定点和一条定直线的距离之比为常数e （0＜e ＜1）；3.按主要参数a 、b 、c 之间的关系，双曲线要求c 2=a 2+b 2.a b c 其中，，依次表示双曲线的实，虚半轴和半焦距.而椭圆则要求 a 2=b 2+c 2a b c 其中，，分别表示椭圆的长，短半轴和半焦距.【例1】若椭圆()0122 n m n y m x =+与双曲线221x y a b-=)0( b a 有相同的焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是（）A. a m -B. ()a m -21C. 22a m -D. a m -【解析】椭圆的长半轴为()121PF PF ∴+=()122PF PF ∴-=±()()()2212121244PF PF m a PF PF m a -⋅=-⇒⋅=-：，故选A.【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键.【例2】已知双曲线127922=-y x 与点M （5，3），F 为右焦点，若双曲线上有一点P ，使PM PF21+最小，则P 点的坐标为【分析】待求式中的12是什么？是双曲线离心率的倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.【解析】双曲线的右焦点F （6，0），离心率2e =，右准线为32l x =：.作MN l ⊥于N ，交双曲线右支于P ，连FP ，则122PF e PN PN PN PF ==⇒=.此时 PM1375225PF PM PN MN +=+==-=为最小. 在127922=-y x 中，令3y =，得212x x x =⇒=±∴ 0，取x =所求P 点的坐标为（）.（2）渐近线——双曲线与直线相约天涯对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开. 双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.【例3】过点（1，3）且渐近线为x y 21±=的双曲线方程是【解析】设所求双曲线为()2214x y k -=X YO F(6,0)M(5,3)P N P ′N ′X=32点（1，3）代入：135944k=-=-.代入（1）： 22223541443535x y x y -=-⇒-=即为所求. 【评注】在双曲线22221x y a b -=中，令222200x y x ya b a b -=⇒±=即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为2222x y k a b-=，而无须考虑其实、虚轴的位置.（3）共轭双曲线—— 虚、实易位的孪生弟兄将双曲线22221x y a b -=的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：22221x y b a-=.这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.【例4】两共轭双曲线的离心率分别为21,e e ，证明：221211e e +=1.【证明】双曲线22221x y a b -=的离心率22221122c c a b e e a a a +=⇒==；双曲线22221x y b a-=的离心率22222222c c a b e e b b b +=⇒==.∴2222222212111a b e e a b a b+=+=++.（4）等轴双曲线——和谐对称与圆同美实、虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线，等轴双曲线的对称性可以与圆为伴.【例5】设CD 是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦，求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角. 【证明】如图设等轴双曲线方程为()2221x y a -=，直线CD ：y=m.代入（1）：x =故有：()),C m Dm.取双曲线右顶点(),0Ba .那么：()),,,BC a m BD a m==()22220,BC BD a a m m BC BD ⎡⎤⋅=-++=∴⊥⎣⎦ .即∠CBD=90°.同理可证：∠CAD=90°.● 通法特法妙法（1）方程法——为解析几何正名XOYCDA B解析法的指导思想是函数方程思想，其主要手段是列、解方程、方程组或不等式.【例6】如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为（）（A ）3 （B ）5 （C ）25（D ）31+ 【解析1】设AB 交x 轴于M ，并设双曲线半焦距为c ，∵△AB F 2是等边三角形，∴,.2c OM MA ==点2c A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭代入双曲线方程：()()2222222222222233444c b a c a b c c a a c a c a ⋅-⋅=⇒--=-.化简得：422442284084041c a c a e e e e -+=⇒-+=⇒=+=.（∵e ＞1，∴24e=-1e =舍去）故选D.【解析2】连AF 1，则△AF 1F 2为直角三角形，且斜边F 1F 2之长为2c.令1122,.AF r AF r ==由直角三角形性质知：211221221222r r ar c r a c r c r r -=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=+⋅=⎩⎪⎩. ∵()222222222124,24220220r r c a c c c a ac c e e +=∴++=⇒+-=⇒--=.∵e ﹥1，∴取1e =.选D.【评注】即使是解析法解题，也须不失时机地引入几何手段.（2）转换法——为解题化归立意【例7】直线l 过双曲线12222=-by a x 的右焦点，斜率k =2.若l 与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e 的范围是（）A .e >2 B.1<e <3 C.1<e <5 D.e >5【分析】就题论题的去解这道题，确实难以下手，那就考虑转换吧.其一，直线和双曲线的两支都有交点不好掌握，但是和两条渐近线都有交点却很好掌握.其二，因为已知直线的斜率为2，所以双曲线的两条渐近线中，倾斜角为钝角的渐近线肯定与之相交，只须考虑倾斜角为锐角的渐近线也与之相交.故有如下妙解.【解析】如图设直线l 的倾斜角为α，双曲线渐近线m 的倾斜角为β.显然。

当β＞α时直线l 与双曲线的两XYO Fl个交点分别在左右两支上.由2222tan tan 245b c a e a aβαβα->⇒>⇒>⇒>⇒>. ∵双曲线中1e >，故取e >5.选D.（3）几何法——使数形结合带上灵性【例8】设P 为双曲线22112y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为（）A．B ．12C. D ．24【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：1,313a b c ==设； 12123,2.22, 2.PF r PF r PF PF a r ==-==∴=于是2221212126, 4.52PF PF PF PF F F ==+== ，故知△PF 1F 2是直角三角形，∠F 1P F 2=90°.∴121211641222PF FS PF PF ∆=⋅=⨯⨯=.选B. 【评注】解题中发现△PF 1F 2是直角三角形，是事前不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能临场发现的.将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维能力，这正是命题人的高明之处.（4）设而不求——与借舟弃舟同理减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求.请看下例：【例9】双曲线122=-y x 的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为（） A.12-=x y B. 22-=x y C. 32-=x y D. 32+=x y【解析】设弦的两端分别为()()1,12,2,Ax y B xy .则有：()()222222111212121222121222101x y y y x x x x y y x x y y x y ⎧-=-+⇒---=⇒=⎨-+-=⎩.∵弦中点为（2，1），∴121242x x y y +=⎧⎨+=⎩.故直线的斜率121212122y y x x k x x y y -+===-+. 则所求直线方程为：()12223y x y x -=-⇒=-，故选C.“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它. 但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：【例10】在双曲线1222=-y x 上，是否存在被点M （1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由. 如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：【错解】假定存在符合条件的弦AB ，其两端分别为：A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）.那么：()()()()()22111212121222221112011212x y x x x x y y y y x y ⎧-=⎪⎪⇒-+--+=⎨⎪-=⎪⎩.∵M （1，1）为弦AB 的中点， ∴()()()1212121212122022AB x x y y x x y y k y y x x +=⎧----=∴==⎨+=-⎩代入1：2，故存在符合条件的直线AB ，其方程为：()12121y x y x -=-=-，即.这个结论对不对呢？我们只须注意如下两点就够了：其一：将点M （1，1）代入方程1222=-y x ，发现左式=1-1122=＜1，故点M （1，1）在双曲线的外部；其二：所求直线AB 的斜率2ABk =，而双曲线的渐近线为y =.2 ，说明所求直线不可能与双曲线相交，当然所得结论也是荒唐的.问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件. 【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由()()222221221224302221y x x x x x y x ⎧-=⎪⇒--=⇒-+=⎨⎪=-⎩这里16240∆=- ，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件.此外，上述解法还疏忽了一点：只有当12x x ≠时才可能求出k=2.若12120x x y ===，必有y .说明这时直线与双曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件.结论；不存在符合题设条件的直线.（5）设参消参——换元自如地阔天宽一道难度较大的解析几何综合题，往往牵涉到多个变量.要从中理出头绪，不能不恰当地处理那些非主要的变量，这就要用到参数法，先设参，再消参.【例11】如图，点F 为双曲线C 的左焦点，左准线l 交x 轴于点Q ，点P 是l 上的一点，已知1||||==FQ PQ ，且线段PF 的中点M 在双曲线C 的左支上.（Ⅰ）求双曲线C 的标准方程；（Ⅱ）若过点F 的直线m 与双曲线C 的左右两支分别交于A 、B 两点，设FA FB λ=，当),6[+∞∈λ时，求直线m 的斜率k 的取值范围.【分析】第（Ⅰ）问中，线段PF 的中点M 的坐标是主要变量，其它都是辅助变量.注意到点M 是直角三角形斜边的中点，所以利用中点公式是设参消参的主攻方向第（Ⅱ）中，直线m 的斜率k 是主要变量，其它包括λ都是辅助变量. 斜率k 的几何意义是有关直线倾斜角θ的正切，所以设置直线m 的参数方程，而后将参数λ用θ的三角式表示，是一个不错的选择.【解析】（Ⅰ）设所求双曲线为：22221x y a b -=.其左焦点为F （-c 。