传热学第三章稳态导热
2.5 导热基本定律与稳态导热
定向点O’: （δ +δ /Bi ，T∞）
当 Bi→∞ 时，意味着表面传热
系数 h →∞ （Bi=hδ/λ ），对流
换热热阻趋于0。平壁的表面温 度几乎从冷却过程一开始，就 立刻降到流体温度 T∞ 。 定向点O’就在平壁表面上
定向点O’: （δ +δ /Bi ，T∞）
当Bi→0时，意味着物体的热导 率很大、导热热阻→ 0
物体内部导热热阻 物体表面对流换热热阻
t=t0
六、傅里叶准则 Fo 对温度分布的影响
一维非稳定导热无量纲方程：
1 ∂T = ∂2T
a ∂τ ∂x2
引入无量纲参数： θ = T − T∞ ,
Ti − T∞
X=x
δ
FO
=
aτ δ2
∂θ ∂τ
=
a
δ2
∂2θ
∂X 2
∂θ = ∂2θ
∂⎜⎛ ⎝
aτ δ2
⎟⎞ ⎠
传热学
Heat transfer
张靖周
能源与动力学院
第三章
非稳态导热
3-1 非稳态导热的基本概念
一、现象和定义
自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t = f(τ)
例如：冶金、热处理与热加工：工件被加热或冷却 锅炉、内燃机、燃气轮机等装置起动、停机、变工况 自然环境温度 供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度
越大
时间常数的进一步讨论
θ
− hA τ − τ
= e ρCV = e τ r
θ0
d (θ θ 0 ) =
dτ
−
1
τr
−τ
e τr
= − (θ θ 0 )
τr
τ → 0 的冷却速率：
传热学讲义——第三章
第三章 非稳态导热(unsteady state conduction)物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。
0≠τ∂∂t，任何非稳态导热过程必然伴随着加热或冷却过程。
根据物体内温度随时间而变化的特征不同，非稳态导热过程可分为两类：（1）周期性导热（periodic unsteady conduction ）：物体的温度按照一定的周期发生变化； 如建筑物的外墙和屋顶温度的变化。
（2）瞬态导热(transient conduction)：物体的温度随时间不断升高或降低，在经历相当长时间后，物体的温度逐渐趋于周围介质的温度，最终达到热平衡。
分析非稳态导热的任务：找出温度分布和热流密度随时间和空间的变化规律。
第一节 非稳态导热的基本概念一、瞬态导热过程采暖房屋外墙墙内温度变化过程。
采暖设备开始供热前：墙内温度场是稳态、不变的。
采暖设备开始供热：室内空气温度很快升高并稳定；墙壁内温度逐渐升高；越靠近内墙升温越快；经历一段时间后墙内温度趋于稳定、新的温度分布形成。
墙外表面与墙内表面热流密度变化过程 采暖设备开始供热前：二者相等、稳定不变。
采暖设备开始供热：刚开始供热时，由于室内空气温度很快升高并稳定，内墙温度的升高相对慢些，内墙表面热流密度最大；随着内墙温度的升高，内墙表面热流密度逐渐减小；随着外墙表面的缓慢升高，外墙表面热流密度逐渐增大；最终二者相等。
上述非稳态导热过程，存在着右侧面参与换热与不参与换热的两个不同阶段。
（1）第一阶段（右侧面不参与换热）是过程开始的一段时间，特点是：物体中的一部分温度已经发生变化，而另一部分仍维持初始状态时的温度分布（未受到界面温度变化的影响），温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，物体内各处温度随时间的变化率是不一样的，即：在此阶段物体温度分布受t分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段或初始阶段（initialregime）。
（2）第二阶段（右侧面参与换热）当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布不受t影响，主要取决于边界条件及物性。
传热学稳态导热
单位长度管道上旳总热阻：
Rl
1
h1d1
1
21
ln
d2 d1
1
2ins
ln
dx d2
1
h2d x
dx
ln d d 1
x 2
h2dx
16
外径增大使导热热阻增长而换热热阻减小，总热阻到 达极小值时旳热绝缘层外径为临界热绝缘直径dc
若d2< dc ，当dx在d2与d3范围内时，管道向外旳散
热量比无绝缘层时更大，d x d3 ql
解：设两层保温层直径分别为d2、d3和d4，则 d3/d2=2，d4/d3=3/2。
将导热系数大旳放在里面：
qL
t1 t2
1 ln d3 1 ln d4
1
t ln 2＋
1
ln 3
3t ;
0.11969
22 d2 23 d3 2 23
23 2
20
将导热系数大旳包在外面：
qL
t1 t 2 1 ln 2 1
tw t(x)
导热微分方程:
d 2t 0
1
tw
dx 2
2
o
x
3
两个边界均为第一类边界条件
x 0,
x ,
t tw1 t tw2
直接积分，得通解：
dt dx
c1
t c1x c2
代入边界条件得平壁内温度分布：
t
tw2 tw1
x
tw1
（线性分布）
4
热流量
Φ A dt A tw1 tw2 tw1 tw2 tw1 tw2
线要比外壁面陡。
tw1 r1
tw2
r2
13
热流量
传热学-稳态导热例题
专题二 稳态热传导
【解】
专题二 稳态热传导
【名校真题解析】29 （北京科技大学2012） 【计算题】考察一管长6m, 内、外径分别为7.4cm、
8.0cm，导热系数为14W/(m·℃)的压缩空气管道。管的外表 面由总功率为300W的电阻带均匀加热，外包绝热层，通过 绝热层的散热损失为15％。管内空气的平均温度为−10℃ ， 管道内表面的对流换热系数为30 W/(m2·℃)。试：
专题二 稳态热传导
温度场分布：
r=r2 处有最高温度：
t2
tf
q h
t2
150 ℃ 1.05105 3 500
q 2 (t1 t2 ) 2
t1
q 2 2
t2
186.30C
燃料层控制方程： 料层边界条件：
燃料层温度分布：
t
Φ
21
1
2
2
x2
t1
燃料层最高温度：
t0
t1
1 22
21
196.8℃
【计算题】一长为L的长圆柱内热源为 ，常物性，导 热系数为λ，左端面和侧面都绝热，右端与流体接触，温 度为tf，表面传热系数为 h，求
①写出微分方程和边界条件 ②温度分布 ③最大温度tmax
【解】 控制方程:
边界条件:
第一次积分:
第二次积分:
x L,
tL
Φ 2λ
L2
c2
tf
L ; h
c2 =t f
L h
Φ 2λ
L2
温度分布: 当x=0时，取得最大温度:
专题二 稳态热传导
【名校真题解析】 25（北京科技大学2011） 【计算题】考察一功率为800W的家用电熨斗
传热学 每章知识重点与难点汇总
Chapter 1 Thermodynamics and Heat Transfer第一章热力学与传热学1．传热学研究内容（温差=>传热）；Heat Transfer Research (Temperature Difference=> Heat Transfer) 2.三种基本传热方式的机理和基本公式；The Mechanisms and Basic Formulas of Three Basic Modes of Heat Transfer.3.传热过程、传热方程式；Heat Transfer Process，Heat Transfer Equation4.导热系数、对流换热系数、传热系数的物理涵义、单位、基本数量级、影响因素和变化规律；Physical meanings ,units, fundamental orders,influencing factors and changes in laws of heat conduction coefficient，convection heat transfer coefficient，heat transfer coefficient.5.热阻与热流网络图；Thermal resistance and heat transfer network6,单位与单位制；Unit and system of unitsChapter 2 Heat Conduction Equation第二章导热方程式1.导热问题的求解目标（物体内部的温度场与热流场）；Determine Target of Heat Conduction(temperature field and heatfield in the internal objects)2.温度场（稳态、非稳态、均匀、一维、二维、三维）；Temperature field （steady,transient,uniform,one-dimensional,two-dimensional,three-dimensional）3.等温面、等温线、热流线的性质及相互关系；Properties of isothermal surface, isotherm,heat flow and therelationship among them4.方向导数、梯度的数学概念及相互关系；Mathematical concept of directional derivative , gradient and therelationship between them5.Fourier 定律；Fourier Law6.推导导热微分方程式的理论基础、简化假设及方程各项（内能、导热、内热源、导温系数、）的物理涵义；Theoretical bases of concluding heat conduction differentialequation,simplified assumption and physical meanings of each termin the equation (Internal energy, heat conduction, internal heatsource,temperature transfer coefficient, )7.定解条件【几何、物理、时间、边界（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ）】Conditions of determining the solution【geometry,physics,time,boundary(Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ)】8.导热问题的求解方法（解析解、数值解）。
传热学-第3章-稳态导热的计算与分析
15
3.1.3 第一类边界条件下变物性、无内热源的平壁
d dt 0
dx dx
0 1 bt
分离变量积分并利用边界条件，得到平壁内的温度分布：
0
t
b 2
t2
m
tw2
tw1
x
0
t
w1
b 2
t 2 w1
式中：
m
0
1
tw1
tw2 2
b
为平壁平均温度下的导热系数
16
3.1.3 第一类边界条件下变物性、无内热源的平壁
0
t
b 2
t2
m
tw2 tw1
x
0
t
w1
b 2
t 2w1
这表明，当材料的导热系数随温度呈线性规律变化时，
平壁内的温度分布是二次曲线方程，该二次曲线的凹凸性
主要由温度系数b的正负决定。
利用傅里叶定律分析表明：
——b>0时，温度分布曲线的开口向下；
——b<0时曲线开口向上
17
3.1.3 第一类边界条件下变物性、无内热源的平壁
需要用平壁算术平均温度下的导热系数λm代替
19
3.1.3 第一类边界条件下变物性、无内热源的平壁 ❖ 由于热流密度为常数，仍可采用对傅立叶定律分离变量
积分的分析方法得到平壁内的温度分布 ❖ 作为练习，请大家自行推导
20
3.1.4 第三类边界条件下的常物性、无内热源的平壁
❖ 当平壁左、右两侧面分别与温度为tf1和tf2（tf1>tf2） 的流体进行对流传热时，平壁两侧均处于第三类 边界条件
态 稳态的特征：物体内各位置处的温度不随时间变化，可
以去掉方程中的非稳态项
传热学_3
o o o R T1 T1 Q 20 C (69.2W)(0. 08333 C/W) 14.2 C conv,1
Beijing Jiaotong University
Heat Transfer
3-2 接触热阻
Tint erface
h AT Q c int erface
[W / m 2 o C ]
单位面积接触热阻
1 Tint erface Rc hc Q A [m 2 o C / W ]
接触热阻
Rc
A
Tint erface 1 hc A Q
[ oC / W ]
Tw1 Tw 2 Tw1 Tw 2 L1 L L 1 L2 Rc 2 k1 k2 k1 k 2
Heat Transfer
传热过程&
1 L 1 Rtotal Rconv,1 Rwall Rconv, 2 ( oC / W ) h1 A kA h2 A 1 Q UA(T1 T 2 ) UAT ( ) AT (W ) 1 L 1 h1 k h2 U: 总传热系数 (W/m2.K)
Rwall: 热阻 [OC/W] or [K/W]
cond,wall q
T1 T2 T1 T2 L RA,wall k
RA,wall: 单位热阻 [m2.OC/W]
Beijing Jiaotong University
Heat Transfer
等效热路图
•
•
串联:
并联:
Rtotal Ri
其中
Tsurr T
2
hcombined hconv hrad (W / m K )
传热学第三章
第三章 稳态导热
第一节 一维稳态导热
※简化假设： （1）导热体为几何形状简单、均质各向同性材料； （2）常物性、无内热源、壁面温度均匀一致； （3）一维稳态导热。 ※一维稳态导热计算公式的导出途径： （1）
导热微分方程 边界条件 Fourier定律 边界条件 Fourier定律 边界条件
①温度分布 t t ( x)或 t t (r ) 和q ② ③R 和r 若定积分，则可以不求解温度场而直接求得
（ e） （f ）
（ g）
r r 1 , t t w1 r r2 , t t w2
同样的计算公式：
求解上述方程，经过整理可以得出和第一种求解方法 温度分布①、热流量或线热流量②、热阻③。
第三章 稳态导热
第一节 一维稳态导热
（3）对傅里叶定律表达式分离变量，并进行定积分:
tw 2 dr dt t w1 2l r
t w1 t w3 q 解：本题为多层平壁的导热问题，应有 1 2
把所有的已知数据代入，有
1
2
1300 30 0.02 t w1 t w3 1 ) 0.35 0.238 m 2 ( ) 2 ( 1830 1.3 q 1
第三章 稳态导热
流量Φ为常量，但热流密度 q
※工程计算中，一般采用热流量或线热流量。 线热流量：是指单位长度圆筒壁的导热热流量，即
却是变量。
l l
第三章 稳态导热
第一节 一维稳态导热
将温度分布代入傅里叶定律，可求出其热流量或线热流量为：
dt dt 2l (t w1 t w2 ) 2l (t w1 t w2 ) A (2rl ) r d dr dr ln 2 ln 2 r1 d1 l 2 (t w1 t w 2 ) 2 (t w1 t w 2 ) r2 d2 l ln ln r1 d1
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传热学第三章稳态导热
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根据热阻串联的叠加原则，通过三 层壁的热流密度计算式为：
q
tw1 tw4
1 2 3
1 2 3
W/m2
、
qA
1
tw1 tw4
2 3
W
1A 2A 3A
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传热学第三章稳态导热
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由
q
t
可得各层接触面上的温度分别为 ：
tw2
、tw1
q1 1
℃
tw3
பைடு நூலகம்
tw4
W/m2
可见，通过平壁稳态导热的热流密度 取决于导热系数、壁厚及两侧面的温差。
稳态下平壁内与热流相垂直的各截面 上的热流密度为常量。
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传热学第三章稳态导热
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通过整个平壁的热流量为：
AqAt
W
当λ=λ0(1+bt) 时，在温差(t1-t2 ) 下的导热量仍可用常物性导热计算式来 计算，只需用平均温度t=(t1+t2)/2 下的平 均导热系数计算即可。
rλ
rh2
传热学第三章稳态导热
返回 15
第二节 通过圆筒壁的导热
一、第一类边界条件下的圆筒壁导热 二、第三类边界条件下的圆筒壁导热 三、临界热绝缘直径
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传热学第三章稳态导热
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一、第一类边界条件下的圆筒壁导热
1.单层圆筒壁
已知：长圆筒壁 r1、r2、 l ；
λ=const
r=r1 ,t=tw1; r=r2 ,t=tw2 求： (1) Φ=？
第三章 稳态导热
§3-1 通过平壁的导热 §3-2 通过圆筒壁的导热 §3-3 通过球壁的导热 §3-4 接触热阻 §3-5 通过肋片的导热
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传热学第三章稳态导热
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基本要求
1．了解确定物体温度场及其导热量的
方法。 2. 能熟练进行平壁、圆筒壁常物性一
维稳态导热问题的分析计算。 3. 掌握等截面直肋导热的简化算法。
(2) t=f(r) =?
该导热问题采用r、θ圆柱坐标时可视为无 内热源、常物性、恒壁温边界条件的径向一维 稳态导热问题。
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传热学第三章稳态导热
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注意:对圆筒壁，由于导热面积沿径
向变化，故稳态下通过整个圆筒壁的导热量
Φ保持常量，而热流密度q稳态下也是随半径
r变化的(q是r的函数)。
dx 2
边界条件为：
x 0，t tw1
x ，t tw2
积分两次得其通解为： tC1xC2
将边界条件代入得平壁内的温度分布为：
t
tw1
tw1 tw2
x
℃
常物性无内热源大平壁内的温度分布
规律为沿x方向线性变化
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传热学第三章稳态导热
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根据傅里叶定律可得通过平壁的热流
密度：
qdtt dx
设一厚为δ、表面积为A t
的大平壁，无内热源、热导率 tw1
为常量，平壁两侧表面分别维
持均匀的温度tw1和 tw2 ，且 tw1＞tw2。
tw2
求：(1)温度分布t=f(x)=? 0 (2)导热量Φ=？
x
根据几何条件和边界条件建立坐标系
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传热学第三章稳态导热
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导热微分方程为： d 2 t 0
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传热学第三章稳态导热
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求：(1) Φ=？ (2) t2=? t3=? 该问题为通过多层无限大平壁、常 物性、无内热源、恒壁温边界条件下的 一维稳态导热问题。
通过多层壁的导热，各层的热阻之 间为串联关系，其热路图如图所示:
q
tw1
tw2
tw3
tw4
rλ1
rλ2
rλ3
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了解肋片的作用和减小套管式温度计测量误 差的措施。
4. 了解接触热阻对实际导热过程的影
响。
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传热学第三章稳态导热
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第一节 通过平壁的导热
一、第一类边界条件下的平壁导热 二、第三类边界条件下的平壁导热
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一、第一类边界条件下的平壁导热
1. 单层平壁
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传热学第三章稳态导热
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采用热阻的概念，相应的热阻单元如图：
q
tw1
r
tw2 tw1
R A
tw2
（a）对单位面积而言 （b）对总面积而言
由图可得：
q
tw1 tw2
tw1 tw2
A
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由上式可见: (1)温差是传热的动力，其它条件相同 时，温差越大热流密度或热流量越大。 (2)热阻是传热的阻力，在相同的温差 下，热阻越大热流量越小。 (3)当热流量一定时，温差与热阻成正 比。
q3 3
℃
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传热学第三章稳态导热
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依此类推，对n层平壁的导热：
q
tw1
t w（n1）
n
i
i 1 i
i1， 2， 3 ， n
各层接触面的温度计算式为：
tw（i1）twi q i i
多层平壁的每一层内温度分布均呈直线，
但由于各层的材料不同，其热导率不同，温度
变化率也不相同，所以整个多层平壁内的温度
t
dr dt
r1 2l r
tw1
r
ln
t
t w1
(tw1
t
w
2
)
ln
r1 r2
r1
圆筒壁内温度分布呈对数曲线
同样λ=λ0（1+bt）时，用平均热导率即可
热阻网络单元
tw1
R
1
2l
ln
r2 r1
tw2
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工程上常用通过单位长度圆筒壁(l=1m) 的热流量，称为线热流量。
分布为一条折线。
【例3-1】 【例3-2】
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二、第三类边界条件下的平壁导热
由图:
tf1 t
q
tf1 tf2
1
n
i
1
h1 i1 i h2
tw1
h2
h1
tw2
tf2
1
tw1
tf
1
q h1
1
tw2
tf
2
q h2
q
0
x
tf1
tw1
tw2
tf2
rh1
【例3-3】
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传热学第三章稳态导热
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2.多层平壁
如图:一个三层平壁。各层 厚度分别为δ1、δ2、δ3;相应的 各层导热系数分别为λ1、λ2、λ3， 且均为常量 。多层壁两侧表面
分别保持均匀恒定的壁温tw1、 tw4，且tw1>tw4;设层与层之间接 触良好，彼此接触的两表面温
度相同，分别为tw2、tw3。
由傅立叶定律：
2r l d t
dr
边界条件：
r r 1t tw 1 ,r r 2t tw 2
r2 1dr tw2dt
2 r1 lr
tw1
tw1tw2 1 lnr2
tw1tw2 1 lnd2
2l r1 2l d1
长度为 l 的圆筒壁
的导热热阻
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传热学第三章稳态导热
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r 1
l
tw1 tw2 1 lnr2
tw1 tw2 1 lnd2
2 r1 2 d1
长度为 1的圆筒壁 的导热热阻