结构力学 第9章 渐近法和近似法PPT课件
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结构力学——渐进法
（1）固定结点。加入刚臂，产生不平衡力矩；各杆端有 固端弯矩。
（2）放松结点。在结点上加上一个反号的不平衡力矩， 计算各近端的分配弯矩及各远端的传递 弯矩。
（3）各杆端弯矩。近端=固端弯矩+分配弯矩； 远端=固端弯矩+传递弯矩
§9-2 力矩分配法的基本原理
例9-1 试作图a所示刚架的弯矩图。
解：（1）计算各杆端分配系数。
§9-2 力矩分配法的基本原理
传递系数：远端（B端）弯矩与近端（A端）弯矩的比值，用
CAB表示。
CAB
M BA M AB
等截面直杆的劲度系数和传递系数
远端支承情况 固定 铰支 滑动
自由或轴向支杆
劲度系数S 4i 3i i 0
传递系数C 0.5 0 -1
§9-2 力矩分配法的基本原理
图a所示刚架用位移法计算时，只有一个结点转角Z1， 其典型方程为
3、计算杆端最后弯矩，作弯矩图如图c。
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
例9-3 试用力矩分配法计算图a所示刚架。
解：这是一个对称结构，承受正对称荷载，取一半结构如图b。 设：EI/8m=1， 各杆线刚度如图上 圆圈中所注。
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
计算过程如图c。
校核各结点处的杆端弯矩是否满足平衡条件： M Bj 54.4 4.7 59.1 0 MCj 27.5 12.2 15.3 0
§9-2 力矩分配法的基本原理
由叠加法 M M P M1Z1 各杆近端弯矩为
M12
M
F 12
S12 ( S1 j
M 1Fj
)
M
F 12
12 (
M
F 1j
)
（2）放松结点。在结点上加上一个反号的不平衡力矩， 计算各近端的分配弯矩及各远端的传递 弯矩。
（3）各杆端弯矩。近端=固端弯矩+分配弯矩； 远端=固端弯矩+传递弯矩
§9-2 力矩分配法的基本原理
例9-1 试作图a所示刚架的弯矩图。
解：（1）计算各杆端分配系数。
§9-2 力矩分配法的基本原理
传递系数：远端（B端）弯矩与近端（A端）弯矩的比值，用
CAB表示。
CAB
M BA M AB
等截面直杆的劲度系数和传递系数
远端支承情况 固定 铰支 滑动
自由或轴向支杆
劲度系数S 4i 3i i 0
传递系数C 0.5 0 -1
§9-2 力矩分配法的基本原理
图a所示刚架用位移法计算时，只有一个结点转角Z1， 其典型方程为
3、计算杆端最后弯矩，作弯矩图如图c。
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
例9-3 试用力矩分配法计算图a所示刚架。
解：这是一个对称结构，承受正对称荷载，取一半结构如图b。 设：EI/8m=1， 各杆线刚度如图上 圆圈中所注。
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
计算过程如图c。
校核各结点处的杆端弯矩是否满足平衡条件： M Bj 54.4 4.7 59.1 0 MCj 27.5 12.2 15.3 0
§9-2 力矩分配法的基本原理
由叠加法 M M P M1Z1 各杆近端弯矩为
M12
M
F 12
S12 ( S1 j
M 1Fj
)
M
F 12
12 (
M
F 1j
)
结构力学-近似法
¼ .75
0.5 0.5
结构力学
第9章
近 似 法 （北京建筑工程学院）
§9-3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
A B
MB C MC
MC
(M C M C )
D
-MB
MB
MB
M C
不断重复…
结构力学
第9章
近 似 法 （北京建筑工程学院）
• 随逐结点放松约束，不平衡力矩将逐渐 减小并趋于0，当所有的不平衡力矩都小 于预先确定的误差值时，可认为不平衡 力矩为0，既可认为结点已经平衡，停止 计算，将各步骤所求得的分配传递弯矩 相加，即可得到最后弯矩。 由此可知，计算的结果为近似的。
B D A
E
A
结构力学
第9章
近 似 法 （北京建筑工程学院）
AB
M A S
A
S S
A
S AC S AD S AE
S AC M S
A
表示各杆A端转动刚度之和
则各杆端弯矩:
M AB
S AB M S
A
M AC
M AD
S AD M S
A
M AE
S AE M S
74
1
69.97
R1 74 69.97 143.97(kN )()
R1
结构力学
第9章
近 似 法 （北京建筑工程学院）
结构力学
第9章
近 似 法 （北京建筑工程学院）
结构力学
第9章
近 似 法 （北京建筑工程学院）
结构力学
第9章
近 似 法 （北京建筑工程学院）
结构力学
第9章
近 似 法 （北京建筑工程学院）
结构力学李廉锟 第9章_渐近法
§9-1 引言
力矩分配法的理论基础是位移法，力矩 分配法中对杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩 的正负号规定，与位移法相同（顺时针旋转 为正号）。
§9-2 力矩分配法的基本原理 一、力矩分配法中几个概念
1. 转动刚度（劲度系数）
转动刚度表示杆端抵抗转动的能力。它在数值上 等于使杆端产生单位转角时需要施加的力矩。其值与 杆件的线刚度i=EI/l及远端的支承情况有关。
B 28i
10 i SAB 28 i
§9-2 力矩分配法的基本原理
例9-3 图示梁的AC 杆为刚性杆段，CB 杆段EI=常数。 求SAB ,CAB。
A A l l CC l l BB AA
θθ ==1 1
a)
C C
B B
θθ l l
SAB S AB A
3i 3
iΔ /l=3 33i /l=3 i i C C
§9-2 力矩分配法的基本原理
3．传递系数
远端弯矩（传递弯矩） 1 M AB M BA C AB M BA 2
MB A B
B
C
M CB 0 CCB M BA
M BA C AB M AB
—— 称为由A 端向B 端的传递系数。
上述计算过程可归纳为：
结点B作用的力偶，按各杆的分配系数分配给各杆 的近端；远端弯矩等于近端弯矩乘以传递系数。 思考：汇交于同一结点的各杆杆端的分配系数之 和∑μ(B) 应等于多少？
1
M AB = 4i
A
EI l
B
M B A= 2i
转动刚度
S AB 4i
A端一般称为近端，B端一般称为远端。
§9-2 力矩分配法的基本原理
1
MAB =3i
9 Eng 第九章 渐近法
Section 2 Basic concepts and principles of successive approximation methods
I. Sign convention（符号规定） Sign convention adopted in this chapter is the same as that adopted for the displacement method： clockwise member end moments are considered positive; counterclockwise member end moments are negative.
所谓力矩分配过程就是将结点固定时出现在结点处的不平衡力矩加反号相对于放松结点并按照汇交于该结点的各杆的分配系数分配
结构力学讲稿
Course of Structural Mechanics 第九章 渐近法 Chapter 9 Method of successive approximation method
Table 9.1 Bending stiffness 抗弯刚度
Fraend restraint conditions远端支撑条件
Models 模型图
Bending stiffness抗弯 刚度
The farend is fixed 远端为固定
S AB
S AB
EI 4 4i l
EI 3 3i l
2、 And at the same time the nearend moments will be carryovered to the farends of the members, the carryovered moment of the farends is named farend bending moment, which equals to the multiplication of the nearend moment and the carryover factor. This method of analysis is called moment distribution method. 同时近端弯矩将会传到远端，称为远端弯矩， 大小为近端弯矩乘以传递系数。这种方法称为 力矩分配法。
结构力学 渐进法
EI=1 6m
D
iBC iCD
M F -60
1 2 S 4 BA 6 3 S 4 1 1 BC 4
1 6 2 1 8 4 1 6
B
分 14.7 配 与 传 1.5 递
0.2
Mij -43.6 43.6 A 21.9
0.3
92.6 -92.6 92.6 B
B
F
CB 0.445 CF 0.222 0.333 CD
单独使用时对连续梁和无结点线位移刚架的 计算特别方便。
一、基本概念
（1）转动刚度（S）： 使杆端发生单位转角时需要施加的杆端弯矩。 SAB=4i
A B
SAB=3i
1
A B
1
SAB=i
A B
SAB=0
A
B
1
SAB=4i SAB与杆的i（材料的性质、横截面 的形状和尺寸、杆长）及远端支承 有关， 而与近端支承无关。
F 21 2
A
q 12kN / m
M1
1
M2
2
B
28.6
50
6.1
100
-28.6 -57.1 -42.9
21.4
-9.2 -12.2
1.8 1.8
-6.1
6.1 3.5 2.6
放松结点1(结点2固定):
S12 4i S1 A 3i 12 0.571 1 A 0.429
… … ...
41.3
-41.3
0
2 3 0.4 BA 2 1 3 0.6 BC 1 S 4 1 CB 4 S 3 1 1 CD 6 2
结构力学PPT 第9章
结构力学
<I>
临沂大学建筑学院 结构力学学科组
第九章
§9.1 位移计算概述
静定结构的位移 静定结构在荷载、温度变化、支座移动以及制造误 差等因素作用下，结构的某个截面通常会产生水平线 位移、竖向线位移以及角位移。 Bx 1. 截面位移
P
P
B
C
c
cx
B
By
cy
A C
A
刚架受荷载作用
如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：
( M N Q 0 )ds
若结构的支座还有位移，则总的位移为：
( M N Q 0 )ds Rk ck
广义力与广义位移的对应关系 作功的两方面因素：力、位移。与力有关的因素，称为广 义力S。与位移有关的因素，称为广义位移Δ。 广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。即： T=SΔ 1）广义力是单个力，则广义位移是该力的作用点的位移在力作 用方向上的分量； 2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角； 3）若广义力是等值、反向的一对力P
C
L
P=1/l
D
求C点两边的相对转角
求CD杆的转角位移
练习
A P=1/ l
图示虚拟的广义单位力状态，可求什么位移。 AB杆的转角
l ④ P=1/ l B
P=1/ l B l A P=1/ l P=1/ l P=1/ l l C
（
P=1/ l A l ⑤
）
AB连线的转角
P=1/ l B
（ ）
AB杆和AC杆的 相对转角
9kN.m
12kN B
7.5kN.m
A
2m
2m
<I>
临沂大学建筑学院 结构力学学科组
第九章
§9.1 位移计算概述
静定结构的位移 静定结构在荷载、温度变化、支座移动以及制造误 差等因素作用下，结构的某个截面通常会产生水平线 位移、竖向线位移以及角位移。 Bx 1. 截面位移
P
P
B
C
c
cx
B
By
cy
A C
A
刚架受荷载作用
如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：
( M N Q 0 )ds
若结构的支座还有位移，则总的位移为：
( M N Q 0 )ds Rk ck
广义力与广义位移的对应关系 作功的两方面因素：力、位移。与力有关的因素，称为广 义力S。与位移有关的因素，称为广义位移Δ。 广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。即： T=SΔ 1）广义力是单个力，则广义位移是该力的作用点的位移在力作 用方向上的分量； 2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角； 3）若广义力是等值、反向的一对力P
C
L
P=1/l
D
求C点两边的相对转角
求CD杆的转角位移
练习
A P=1/ l
图示虚拟的广义单位力状态，可求什么位移。 AB杆的转角
l ④ P=1/ l B
P=1/ l B l A P=1/ l P=1/ l P=1/ l l C
（
P=1/ l A l ⑤
）
AB连线的转角
P=1/ l B
（ ）
AB杆和AC杆的 相对转角
9kN.m
12kN B
7.5kN.m
A
2m
2m
结构力学 第九章07 渐近法
j =1
显然， 结点各杆的分配系数总和恒等于1 显然， A结点各杆的分配系数总和恒等于1。
分配力矩：将A结点的不平衡力矩改变符号， 结点的不平衡力矩改变符号， 分配力矩： 乘以交汇于该点各杆的分配系数， 乘以交汇于该点各杆的分配系数，所得到的杆端 弯矩称为该点各杆的分配力矩（分配弯矩）。 弯矩称为该点各杆的分配力矩（分配弯矩）。 传递系数：三类位移法基本杆件AB，当仅 传递系数：三类位移法基本杆件AB， 其一端产生转角位移时， 其一端产生转角位移时，远端的杆端弯矩和近 端的杆端弯矩的比值，称为该杆的传递系数， 端的杆端弯矩的比值，称为该杆的传递系数， 记作C 例如对位移法三类等直杆 记作CAB 。 C AB = 1 / 2 C AB = 0 C AB = −1 i A B A i B A i B 显然，传递系数也仅与远端约束有关。 显然，传递系数也仅与远端约束有关。
C ij =
4iφA EI A φA 3iφA EI A φA l iφA EI A φA l B l 0 B -iφA B 2iφA
M ji M ij
CAB=2iϕA/ 4iϕA=1/2 CAB=0/ 3iϕA=0
CAB=-iϕA/ iϕA=-1
二、举例说明力矩分配法的基本原理
解题思路: 1、解题思路: P
1、确定各结点处杆端力矩的分配系数、传递系数。 确定各结点处杆端力矩的分配系数、传递系数。 计算个杆端的固端弯矩。 2、计算个杆端的固端弯矩。 3、逐次循环放松各结点，以使结点弯矩平衡，直至结点 逐次循环放松各结点，以使结点弯矩平衡， 上的传递弯矩小到可以略去不计为止。实际应用时， 上的传递弯矩小到可以略去不计为止。实际应用时， 一般只进行二、三轮的分配和传递。 一般只进行二、三轮的分配和传递。 将各杆端的固端弯矩与历次分配弯矩、传递弯矩相加， 4、将各杆端的固端弯矩与历次分配弯矩、传递弯矩相加， 即得各杆端的最后弯矩。 即得各杆端的最后弯矩。
显然， 结点各杆的分配系数总和恒等于1 显然， A结点各杆的分配系数总和恒等于1。
分配力矩：将A结点的不平衡力矩改变符号， 结点的不平衡力矩改变符号， 分配力矩： 乘以交汇于该点各杆的分配系数， 乘以交汇于该点各杆的分配系数，所得到的杆端 弯矩称为该点各杆的分配力矩（分配弯矩）。 弯矩称为该点各杆的分配力矩（分配弯矩）。 传递系数：三类位移法基本杆件AB，当仅 传递系数：三类位移法基本杆件AB， 其一端产生转角位移时， 其一端产生转角位移时，远端的杆端弯矩和近 端的杆端弯矩的比值，称为该杆的传递系数， 端的杆端弯矩的比值，称为该杆的传递系数， 记作C 例如对位移法三类等直杆 记作CAB 。 C AB = 1 / 2 C AB = 0 C AB = −1 i A B A i B A i B 显然，传递系数也仅与远端约束有关。 显然，传递系数也仅与远端约束有关。
C ij =
4iφA EI A φA 3iφA EI A φA l iφA EI A φA l B l 0 B -iφA B 2iφA
M ji M ij
CAB=2iϕA/ 4iϕA=1/2 CAB=0/ 3iϕA=0
CAB=-iϕA/ iϕA=-1
二、举例说明力矩分配法的基本原理
解题思路: 1、解题思路: P
1、确定各结点处杆端力矩的分配系数、传递系数。 确定各结点处杆端力矩的分配系数、传递系数。 计算个杆端的固端弯矩。 2、计算个杆端的固端弯矩。 3、逐次循环放松各结点，以使结点弯矩平衡，直至结点 逐次循环放松各结点，以使结点弯矩平衡， 上的传递弯矩小到可以略去不计为止。实际应用时， 上的传递弯矩小到可以略去不计为止。实际应用时， 一般只进行二、三轮的分配和传递。 一般只进行二、三轮的分配和传递。 将各杆端的固端弯矩与历次分配弯矩、传递弯矩相加， 4、将各杆端的固端弯矩与历次分配弯矩、传递弯矩相加， 即得各杆端的最后弯矩。 即得各杆端的最后弯矩。
结构力学之渐近法
工程实例分析
结合具体工程实例，阐述地下工程开挖支护方案选择的实际应用，包括 地质条件分析、支护方案设计与施工等。
05
渐近法优缺点及改进方向
优点总结
高效性
渐近法通过逐步逼近真实解的方 式，可以在相对较少的计算步骤 内得到较为精确的结果，从而提 高计算效率。
适用性广
渐近法可以应用于多种类型的结 构力学问题，如线性、非线性、 静力、动力等问题，具有较强的 通用性。
渐近法将与其他数值方法相结 合，形成更加完善的结构力学 分析方法体系，以满足不断增 长的工程需求。
针对渐近法的研究将不断深入 ，探索其在结构力学中的更多 应用可能性，推动结构力学学 科的发展。
THANK YOU
感谢聆听
计算精度受限于步长选择
渐近法的计算精度与步长选择密切相关，步长过大可能导致计算结 果不准确，步长过小则可能增加计算量。
改进方向探讨
01
02
03
04
改进初始值选择方法
通过引入更先进的初始值选择 算法，如全局优化算法、智能 算法等，提高初始值选择的准 确性和效率。
加强模型验证和修正
在采用渐近法进行结构力学计 算前，应对所使用的模型进行 充分的验证和修正，确保模型 的准确性和稳定性。
奇异积分与近边界效应处理
针对边界元法中出现的奇异积分和近边界效应问题，采用相应的数 学方法进行处理，如坐标变换、特殊函数展开等。
04
工程实例分析与讨论
桥梁结构承载能力评估
桥梁结构类型与特点
工程实例分析
简要介绍桥梁的主要结构类型，如梁 桥、拱桥、悬索桥等，并分析其受力 特点和适用场景。
结合具体工程实例，阐述桥梁结构承 载能力评估的实际应用，包括评估流 程、关键步骤和注意事项等。
结合具体工程实例，阐述地下工程开挖支护方案选择的实际应用，包括 地质条件分析、支护方案设计与施工等。
05
渐近法优缺点及改进方向
优点总结
高效性
渐近法通过逐步逼近真实解的方 式，可以在相对较少的计算步骤 内得到较为精确的结果，从而提 高计算效率。
适用性广
渐近法可以应用于多种类型的结 构力学问题，如线性、非线性、 静力、动力等问题，具有较强的 通用性。
渐近法将与其他数值方法相结 合，形成更加完善的结构力学 分析方法体系，以满足不断增 长的工程需求。
针对渐近法的研究将不断深入 ，探索其在结构力学中的更多 应用可能性，推动结构力学学 科的发展。
THANK YOU
感谢聆听
计算精度受限于步长选择
渐近法的计算精度与步长选择密切相关，步长过大可能导致计算结 果不准确，步长过小则可能增加计算量。
改进方向探讨
01
02
03
04
改进初始值选择方法
通过引入更先进的初始值选择 算法，如全局优化算法、智能 算法等，提高初始值选择的准 确性和效率。
加强模型验证和修正
在采用渐近法进行结构力学计 算前，应对所使用的模型进行 充分的验证和修正，确保模型 的准确性和稳定性。
奇异积分与近边界效应处理
针对边界元法中出现的奇异积分和近边界效应问题，采用相应的数 学方法进行处理，如坐标变换、特殊函数展开等。
04
工程实例分析与讨论
桥梁结构承载能力评估
桥梁结构类型与特点
工程实例分析
简要介绍桥梁的主要结构类型，如梁 桥、拱桥、悬索桥等，并分析其受力 特点和适用场景。
结合具体工程实例，阐述桥梁结构承 载能力评估的实际应用，包括评估流 程、关键步骤和注意事项等。
结构力学第9章渐进法
9 kN/m
A B
80 kN
C
6m
3m
3m
（2）计算固端弯矩（查表8-1） ql 2 9 62 F M AB 27kN m 12 12
2 2 ql 9 6 F M BA 27kN m 12 12
M
F BC
3Fl 3 80 6 90kN m 16 16
F M CB 0
（3）进行弯矩分配与传递 u F F 结点B的不平衡力矩为 M B M BA M BC 63kN m
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
9 kN/m
A B
80 kN
C
分配系数 固端弯矩
分配与传递 最后弯矩 -27 18 -9
4／ 7 27 36 63
3／ 7
结点１分配传递 结点 1分配传递
结点 2分配传递 结点２分配传递 最后弯矩
+3.4
+0.5 +553.9
+6.9 +6.9 -1.0 +0.5 +0.5
+0.2
-1.9 -0.1 -1.5 -0.1 +0.2
0
结点１分配传递 +0.2 结点２分配传递 最后弯矩 -173.2
-173.2
-553.9 +311.3 -311.3
结点２分配传递
+48.2
-193
-386 -289 +48.2
-386 -289
0
0
结点 2分配传递 结点１分配传递 结点1分配传递 结点2分配传递
+48.2
-27.5 -20.7 +48.2 +3.4
A B
80 kN
C
6m
3m
3m
（2）计算固端弯矩（查表8-1） ql 2 9 62 F M AB 27kN m 12 12
2 2 ql 9 6 F M BA 27kN m 12 12
M
F BC
3Fl 3 80 6 90kN m 16 16
F M CB 0
（3）进行弯矩分配与传递 u F F 结点B的不平衡力矩为 M B M BA M BC 63kN m
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
9 kN/m
A B
80 kN
C
分配系数 固端弯矩
分配与传递 最后弯矩 -27 18 -9
4／ 7 27 36 63
3／ 7
结点１分配传递 结点 1分配传递
结点 2分配传递 结点２分配传递 最后弯矩
+3.4
+0.5 +553.9
+6.9 +6.9 -1.0 +0.5 +0.5
+0.2
-1.9 -0.1 -1.5 -0.1 +0.2
0
结点１分配传递 +0.2 结点２分配传递 最后弯矩 -173.2
-173.2
-553.9 +311.3 -311.3
结点２分配传递
+48.2
-193
-386 -289 +48.2
-386 -289
0
0
结点 2分配传递 结点１分配传递 结点1分配传递 结点2分配传递
+48.2
-27.5 -20.7 +48.2 +3.4
第9章 渐近法和近似法
C
求和反号后 分配
-0.9
④最后杆端弯矩
M AB 28.2kN m , M AD 26.4kN m , M AC 1.8kN m , M BA 0
-0.9 MCA
M DA 34.8kN m M CA 0.9kN m
例3
B q i A l i C l
杆端弯矩
22.9
45.7 54.3
40.3 40.3
100
-100
45.7
100 40.3 100
22.9
54.3
练习2
5m 100kN 5m B
100kN 结点 C 杆端 分配 系数 D 5m 固端 弯矩 分配
-125
A AB BA
0.5 125
B BC
0.5
C
D
CB CD DC
0.5 0.5
M
D
A
A
B
C
传递系数 远端弯矩称传递弯矩 M远= C · M近
远端弯矩 传递系数 近端弯矩
远端约束 固定 滑动 简支 近端弯矩
MAB=4iABA MAC=iACA MAD=3iADA
M
D
A
A
B
C
远端弯矩
MBA=2iABA MCA= - iACA MDA= 0
传递系数 C 1/2 -1 0
另：自由端传递系数为0
2. 单结点的力矩分配
计算目标：确定各杆端弯矩 计算目标：
P A MAB MBA P A MFAB MFBA B MBC MB 阻止转动约束 C (b) B MFBC=0 C
(a)
力矩分配法基本结构
P A MAB MBA P A MFAB A M’AB M’BA MFBA
结构力学完整：第九章《渐近法》ppt课件
.
2
§9—1 引 言
计算超静定结构，不论采用力法或位移法，均要组成 和解算典型方程，当未知量较多时，其工作量非常大。为 了寻求较简捷的计算方法，自本世纪三十年代以来，又陆 续出现了各种渐进法，力矩分配法就是其一。
渐进法的共同特点是，避免了组成和解算典型方程， 而以逐次渐进的方法来计算杆端弯矩，其结果的精度随计
1
A
MAB =4i
EI
L SAB=MAB=4i
的弯矩按一定比例传到远端一样，
1
故将B端弯矩与A端弯矩之比称为由
A
A端向B端的传递系数，用CAB表示。M=3AiB
即
CAB
M BA M AB
或 MBA=CABMAB
由右图或表(10—1)可得
1
A
MAB =i
EI
SAB=MAB=3i
EI
SAB=MAB=i
远端固定时： CAB=0.5 远端铰支时： CAB=0 远端滑动支撑： CAB=－1
然后可按叠加法 MMPM1Z1计算各杆端的最后弯
矩。
返回
.
7
结点1的各近端弯矩为：
M12=
M
F 12
S 12 S1
j
(M1Fj )
M1F2
12 (M1Fj)
M13=M1F3SS113j (M1Fj) M 1F313 (M 1Fj)
M14=M1F4SS114j (M1Fj)M 1F414(M 1Fj)
算轮次的增加而提高，最后收敛于精确解。
这些方法的概念生动形象，每轮计算的程序均相同，
易于掌握，适合手算，并可不经过计算结点位移而直接求
得杆端弯矩。在结构设计中被广泛采用。
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分配弯矩 M
(
1) 2
传递弯矩M C +4.83
杆端弯矩M总 -3.17
2/3 1/3 +8 -22.5 (-14.5) +9.67 +4.83
+17.67 -17.67
0
(0) 0 0
15
绘M 图
17.67
3.17
(12)
D
A
B
C
1.9
M 图(kN·m)
21.6
16
【例9-2】试用力矩分配法作图示刚架的弯矩图。
4
FP =10kN
A
D
B
B
C
EI
B EI
4m
4m
6m
MAB
FP =10kN MBA MBC
MCB
A
B
C
杆端弯矩M总 MAB
(主攻目标)
MBA MBC
MCB
5
FP =10kN
锁住节点
A
D
B
C
-10 A
固端弯矩M F MAFB =10
FP =10kN D
10 不平衡力矩(即约束反力矩)
MB=∑ MBFj =10
MB = 10
B
B
C 10
0
10 MP图(kN·m)
MBFA =10 MBFC=0
MCFB=0 (问题之一：M F 怎么求？)
1、“锁住”结点B，求固端弯矩 求结点不平衡力矩
M B M B F A M B F C 1 0 1k 0 m N
6
放松节点
B
B
A
B
C
B
待分配力矩 -5
-2.5
MB' =MB =10
5.0
D
A
B
C
11.25 M 图(kN·m)
杆端弯矩M总 MAB=MAFB+MACB
MBA=MBFA+MBA MBC=MBC
=102.5=12.5 =105=5
=5
MCB=0
3、利用叠加原理，汇总杆端弯矩
8
用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架，需要先解决三个问题：
第一，计算单跨超静定梁的固端弯矩； 第二，计算结点处各杆端的弯矩分配系数； 第三，计算各杆件由近端向远端传递的弯矩传递系数。 这也就是常称的力矩分配法的三要素。
+5 +5
(0)
+5 -35
D +10
35 30
0
B5C
10
E (60) 37.5
10 F
D
+2.5 A
c) 运算过程
A 2.5
d) M图(kN·m)
18
9.3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
第9章 渐近法和近似法
● 本章教学基本要求：理解力矩分配法的基本概念；会 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架在荷载及支座 移动作用下的内力；了解无剪力分配法的概念、应用 范围和计算方法；了解多层多跨刚架的近似计算法 （分层计算法和反弯点法）。
● 本章教学内容的重点：应用力矩分配法计算连续梁和 无侧移刚架在荷载作用下的内力。
13
3、弯矩传递系数和传递弯矩
远端弯矩与近端弯矩的比值称为弯矩传递系数。
C Aj
M jA M Aj
待分配力矩
C
Z1 MA'
D
A
Z1
Z1
MBA2iAB Z1
MCA 0
MDAiAD Z1
MBA MAB
CAB
1 2
MCA MAC
CAC
0
MDA MAC
CAC
1
B
在等截面杆件中，弯矩传递系数C随远 端的支承情况而不同。三种基本等截
15kN/m
B
C
2EI
ห้องสมุดไป่ตู้
40kN
E 2EI
10kN DF
EI
A
2m
3m
3m 1m
4m
30kN
40kN 10kN
30kN·m
C
E
10kN·m D
不平衡力矩
MC
固端弯矩
A 外力偶30 C 40
0 (MC =40+30=10)
17
解：运算过程如图所示
)
1 2
(
CA CD
0.5 0.5 C -40
(40+30)=10
M A
(A)
M AC
S AC S
M A
M AD
S AD S
M A
( A)
( A)
( A)
引入弯矩分配系数
Aj
S Aj S
（j=B、C、D）
(A)
11
SAB =4i 1
SAB =3i 1
A
EI
B
A
B
l
SAB = i
1 A
SAB =0 1
B
A
B
远端固定，SAB = 4i；远端铰支，SAB = 3i
10
(2)弯矩分配系数和分配弯矩
待分配力矩
MAB MAC
4iABZ1 3iACZ1
SABZ1 SACZ1
C
Z1 MA'
D
A
Z1
Z1
MAD iADZ1 SADZ1
MA 0
B
M AB M AC M AD M A MA'
Z1
MA
MA
SABSACSAD
S
A
MAC
MAD
MAB
M AB
S AB S
A
B
MB' = -10
C -5
B -5
分配弯矩 M 传递弯矩M C
M B图(kN·m)
-5
(
1 2
)
MBA=(0.5) MB' =5
BA
MBC=(0.5)
M
' B
=5
分配系数
BC
MACB
传递系数 CBA
(问题之二： 怎么求？)
(问题之三：C怎么求？)
2、放松”结点B，求分配弯矩和传递弯矩
7
12.5
9
三、力矩分配法的三要素
1、固端弯矩 常用的三种基本的单跨超静定梁，在支座移动和 几种常见的荷载作用下的杆端弯矩，可由力法计 算或在计算表中查得。
2、弯矩分配系数和分配弯矩 (1)转动刚度 杆件杆端抵抗转动的能力，称为杆件的转动刚度， AB杆A端的转动刚度用SAB表示，它在数值上等 于使AB杆A端产生单位转角时所需施加的力矩。
远端滑动，SAB = i；远端自由，SAB = 0 杆端转动刚度不仅与杆件的线刚度i有关，而且与远端的支 承情况有关。
12
MAjAjMA
（j=B、C、D）
MAjAM j A
MAj称为分配弯矩。 同一结点各杆端的分配系数之和应等于1，即
M A j AB AC AD 1 （j=B、C、D）
(A )
MAC
MA' A
MAD
面直杆的传递系数如下：
MAB
1
远端固定 C Aj 2 远端滑动 CAj 1 远端铰支 CAj 0
14
四、用力矩分配法计算单刚结点结构
【例9-1】试用力矩分配法作图示连续梁的弯矩图。
q=6kN/m
A
EI
B
FP =20kN
D
EI
C
4m
3m
3m
分配系数
固端弯矩M F -8
不平衡力矩 MB
3
9.2 力矩分配法的基本概念
一、力矩分配法的正负号规定 力矩分配法的理论基础是位移法，故力矩分配法中对杆 端转角、杆端弯矩、固端弯矩的正负号规定与位移法相 同，即都假设对杆端顺时针旋转为正号。作用于结点的 外力偶荷载、作用于附加刚臂的约束反力矩，也假定为 对结点或附加刚臂顺时针旋转为正号。
二、力矩分配法的基本思路
● 本章教学内容的难点：无剪力分配法的概念。
1
整体概述
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2
● 本章内容简介:
9.1 概述 9.2 力矩分配法的基本概念 9.3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 9.4 无剪力分配法 *9.5 多层多跨刚架的近似计算法