高中数学必修5课后限时训练21 解三角形复习题

高中数学必修5课后限时训练21 解三角形复习题

一、选择题

1．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 一定是( )

A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．等边三角形

D ．等腰三角形或直角三角形

答案：D

解析：由正弦定理，得a b ＝sin A sin B . 又a cos A ＝b cos B ，即a b ＝cos B cos A ，∴sin A sin B ＝cos B cos A

， 即sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B .

∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B .∴A ＝B 或A ＋B ＝π2

. ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形，故选D ．

2．在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，b ＝3，c ＝5，A ＝120°，则a ＝( )

A ．7

B ．19

C ．49

D ．19

答案：A

解析：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝9＋25－2×3×5cos120°＝49，∴a ＝7.

3．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150°

答案：A

解析：由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，由题知b 2－a 2＝－3bc ，c 2＝23bc ，则cos A ＝32

， 又A ∈(0°，180°)，∴A ＝30°，故选A ．

4．三角形两边之差为2，夹角的余弦值为35

，面积为14，那么这个三角形的此两边长分别是( ) A ．3和5 B ．4和6

C ．6和8

D ．5和7

答案：D

解析：设夹角为A ，∵cos A ＝35，∴sin A ＝45

， S ＝12

bc sin A ＝14，∴bc ＝35， 又b －c ＝2，∴b ＝7，a ＝5.

5．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．不确定

答案：B

解析：本题考查正弦定理．由正弦定理，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，所以sin(B ＋C )＝sin 2A ，∴sin A

＝sin 2A ，而sin A >0，∴sin A ＝1，A ＝π2

，所以△ABC 是直角三角形． 6．如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算A 、B 两点的距离为

( )

A ．502m

B ．503m

C ．252m

D ．2522m 答案：A 解析：由题意知∠ABC ＝30°，

由正弦定理得，AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠ACB ， ∴AB ＝AC ·sin ∠ACB sin ∠ABC ＝50×2212

＝502(m)． 二、填空题

7．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13

，S △ABC ＝43，则b ＝__________. 答案：23

解析：在△ABC 中，∵sin C ＝1－cos 2C ＝223，a ＝32，S △ABC ＝12

ab sin C ＝43， ∴b ＝2 3.

8．已知平面内四点O 、A 、B 、C 满足OA →＋OB →＋OC →＝0，OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →＝－1，则△ABC

的面积为________．

答案：332

解析：由OA →＋OB →＋OC →＝0知O 为△ABC 的重心，

又由OA →·OB →＝OB →·OC →得

OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →＝0，

所以OB →⊥CA →，同理OA →⊥BC →，OC →⊥AB →，

所以O 为△ABC 的垂心．

故△ABC 为正三角形．

即OC →·OA →＝|OC →|·|OA →|·cos120°＝－1，

∴|OC →|·|OA →|＝2.

∴S △AOC ＝12|OC →|·|OA →|sin120°＝32

， ∴S △ABC ＝332

.

三、解答题

9．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，且有2sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C ．

(1)求角A 的大小；

(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长．

解析：(1)由题设知，2sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ，

∵sin B ≠0，∴cos A ＝12

. 由于0

. (2)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A

＝4＋1－2×2×1×12＝3，

∴a 2＋c 2＝b 2，B ＝π2. ∵BD ＝32，AB ＝1，∴AD ＝1＋34＝72

. 10．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bC ．

(1)求A ；

(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值，并指出此时B 的值．

解析：(1)由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32

. 又∵0

. (2)由(1)得sin A ＝12

，又由正弦定理及a ＝3，得 S ＝12bc sin A ＝12·a sin B sin A

·a sin C ＝3sin B sin C ， ∴S ＋3cos B cos C ＝3(sin B sin C ＋cos B cos C )＝3cos(B －C )．

当B ＝C ，即B ＝π－A 2＝π12

时，S ＋3cos B cos C 取最大值3. 11．如下图所示，甲船以每小时302n mile 的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20n mile.当甲船航行20min 到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102n mile ，问乙船每小时航行多少n mile?

解析：解法一：如图，连结A 1B 2，

由题意知A 2B 2＝102n mile ，A 1A 2＝302×2060

＝102n mile. 所以A 1A 2＝A 2B 2.

又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°，

所以△A 1A 2B 2是等边三角形．

所以A 1B 2＝A 1A 2＝102n mile.

由题意知，A 1B 1＝20n mile ，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，

在△A 1B 2B 1中，由余弦定理，得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos45°＝202＋(102)2－2×20×102

×22

＝200. 所以B 1B 2＝102n mile.

因此，乙船速度的大小为10220×60＝302(n mile/h)．