第1章_线性空间与线性变换

1 p111 p21 2 pn1 n
2
p121 p22 2
pn2 n
n p1n1 p2n 2 pnn n
（1.1.9）
上式用矩阵可以写成
(1 , 2 ,, n ) (1, 2 ,, n )P
(1.1.10)
P11
P
P21
P12
P22
P1n P2n
Pn1 Pn2 Pnn
dim(W ) dim(V )
下面讨论子空间的生成问题。
设 S {1, 2 ,, m} 是数域 P上的线性空间 V 中的一 个向量组，在 P 中任取 m 个数 k1, k2,, km ， 做 S 中向 量的线性组合
k11 k2 2 km m
(1.2.1)
显然 V ，这样全体 的集合，我们表示成
定义1.1.5 设 Vn 与 Vn* 同为域P 上的两个线性空
间，若 Vn与 V的n* 元素之间可以建立一一对应关系，
即
*, ( Vn , *，V且n*)当
*, *,
, Vn ,
*
,
*
V* n
时，有
* *
k k *
称在数域 P 上的线性空间 Vn 与 Vn* 是同构的， 并且称这种对应关系是 Vn 与Vn* 的同构对应.
定理1.1.3 设向量 Vn ，在基 S {1, 2 ,, n}
下的坐标是 x (x1, x2 ,, xn )T , x Pn;
在基
S * {1, 2 ,, n} 下的坐标是 y ( y1, y2 ,, yn )T , y Pn;
假设从 S 到 S*的基满足关系式(1.1.10)，那么
显然，数域 P 上的任何 n 维向量空间与Pn 同构. 例1.1.8 例1.1.9
1.1.3 基变换与坐标变换
(1) 基变换
S {1 , 2 ,, n } 和 S * {1, 2 ,, n} 是线性空 间 Vn 的两个基, 由于 j (1 j n) 也是 Vn 中 的向量，所以可以用 S 的线性组合表示.设：
⒈ 如果 , W，则 W ； ⒉ 如果 W, k P ，则 k W. 则称 W 是 V 的线性空间的子空间.
容易验证，线性子空间 W 也是线性空间。
线性空间 V 和由单个零向量构成的非空子 集 {0} 都是 V 的子空间. {0} 称为 V 的零子空 间； V 和 {0} 叫做线性空间 V 的两个平凡子 空间，其他子空间叫做非平凡子空间.
例1.2.4
dim(V1 V2 ) 1
定义1.2.2 如果 V1 V2 中任一向量只能唯
一的表示成子空间 V1 的一个向量和子空间
V2 中的一个向量的和，则称 V1 V2 是 V1,V2
的直和，记为 V1 V2（或
）. •
V1 V2
定理1.2.5 两个子空间的和是直 和的充分必要条件是：
V1 V2 L(0)
数乘满足以下两条规则：
⑸ 1
V, 1 P
⑹ k(l ) (kl)
V, k,l P
数乘和加法满足以下两条相容性规则：
⑺ k( ) k k ⑻ (k l) k l
, V, k P
V, k,l P
对加法、数乘两种运算满足⑴―⑻条规则的非 空集合V，称为定义在数域 P上的线性(向量) 空间，V 中的元素称为向量.
, V ；
, , V；
⑶ V 中存在一个元素“0”，满足 0 ，其中 V ，称“0”是V 的零元素；
⑷ 对任一 V ，存在 V，使得 () 0， 称 是 的负元素；
2. 数乘: 就是给定了一个法则, 对V 中任一元
素 和数域 P 中任一数 k ，在V 中都有唯一 的元素 与它们对应称为 与 k 的数乘，记 为 k.
即
L(1,2 ,,m ) L(1,2 ,,r ) Span{1,2 ,,r}
定理1.2.1 设 W 是数域 P 上线性空间 的一个 m 维子空间，S {1, 2 ,, m} 是 W 的基，则 S 的向量一定可以扩充为 Vn 的 一个基。
定理1.2.2 设 V1 和 V2 是线性空间 V 的两 个子空间，则它们的交
例1.1.1 例1.1.2 例1.1.3 例1.1.4 例1.1.5
注意：数域、两种运算如何定义的影响
1. V C, P R 2. V C, P C
3. V R, P C
4. V R , P R, 通常运算 5. V R , P R
定 义 新 的 运 算:
: 对, V , ; : 对 V , k P, k k
这说明，当线性空间Vn 的基 S 取定后，Vn 中任一 个向量的坐标是确定的,即假设 S {1, 2 ,, n} 是 Vn 的一个基， x11 x2 2 xn n 是 Vn 中的 一个向量，就有 与 x 之间的一一对应，因此 当基确定以后，我们常常用坐标来代替向量.
记 x1, x2 ,, xn T.
假如 S 是线性无关组，那么，dim(W ) m ；如果 S 是线性相关组，S 中的最大线性无关向量是 S 的一部分. 不妨设前 r (r m) 个向量线性无关， 令 S * {1, 2 ,, r }， W 也可写成
W { l11 l22 lrr , i S,li P,1 i r}
定理1.1.1 （线性空间的性质）
假设V 是数域 P 上的线性空间,则 1. V 中的零向量是唯一的;
2. 对 V ,的负元素是唯一的, 记为; 3. 0 ;k ; 4. (k) (k ), 特别地, (1) ; 5. k k 0或
1.1.2 基、坐标
定义1.1.2 设 S {1,2,,m} 是线性空间V 中 的非空子集合，方程
维数是 n 的线性空间 V 称为 n 维线性空间， 记为Vn. 假如 V 中存在任意多个线性无关的向量 时，称 V 为无限维线性空间.
如果 S {1, 2 ,, n} 是 Vn 的一个基，那么对于 V 中的任一向量 可写成1, 2 ,, n 的线性组合.
注： 定义1.1.3描述的基在线性空间中不唯一.
定义1.1.4 设 S {1, 2 ,, n} 是线性空间 Vn 的 一个基（底）， 是 Vn 中的一个向量，而且
x1
(
1
,
2
,,
n
)
x2
xn
xi P
(1.1.4)
称 x x1, x2,, xn T 是向量 在基 S下的坐标，
且 x P.n
定理1.1.2 在 n 维线性空间 Vn 中，任一向量 在一个基下的坐标唯一.
相关.
例1.1.6 例1.1.7
定义1.1.3 设在数域 P 上的线性空间 V 中有非 空子集 S {1, 2 ,, n} 满足以下条件:
⑴ S 是线性无关向量组； ⑵ V 中任一向量都是 S 中向量的线性组合. 称 S 是 V 的一个基（底），1,2,,n 称为V 的基 向量， S 中向量的个数 n ，称为线性空间 V 的维 数，记为 dim(V ) n。
坐标 x 与 y 满足关系式
x1 y1
x2
P
y2
xn yn
(1.1.11)
y1
x1
即
y2
P
1
x2
yn
xn
例1.1.11 例1.1.12
(1.1.12)
1.2 线性空间的子空间
1.2.1线性子空间
定义1.1.2 设 W 是wk.baidu.com性空间 V 的非空子集， 如果 W 对 V 中所定义的加法和数乘两种运算 满足以下条件：
W { k11 k22 kmm,i V, ki P 1 i m}
容易验证，W 对 V 中定义的加法和数乘运算是 封闭的，所以 W 是 V 的线性子空间.这个子空 间称为由 V 中向量 S {1, 2 ,, m} 生成的线性子 空间，记为
W L(1,2,,m ) Span{1,2,,m} (1.2.2)
(1.1.9) 式称为 Vn 中两个基的变换公式. 矩阵 P 称为从 S 到 S* 的过渡矩阵. 由于 S 和 S*都是线性 无关向量组，所以 P 是可逆矩阵即 det P 0, 过渡 矩阵 P 的第 j 列是 j (1 j n) 在 S 下的坐标向量.
例 1.1.10
（2) 向量的坐标变换
图1.2.1中 直线 l ，平面 是 R3 的两个线性子空间，而在 图1.2.2中由于直线 m 和平面 不含原点所以不能形成 R3 的 子空间。
图1.2.1
图1.2.2
由于零子空间不含线性无关的向量，因此 没有基，它的维数规定为零。而对于 V 的其它 的子空间，由于它的线性无关的向量个数不可 能比整个线性空间线性无关的向量个数多，所 以子空间的维数比原空间的维数小，即
称 T 是零变换，记为 0 ，即对任意 V ,
恒有 0( ) 0 。 (2) 如果对任意 V，恒有 T() ，则
称 T 是恒等变换，记为 I ，即
I( ) V
例1.3.2
P'(x',y') P(x,y)
C' A' B
B'
C A
例1.3.3
图1.3.2
关于线性变换有以下简单性质：
(1) T (0) 0，T() T()，其中 0, Vn . (2) 若 k11 k22 krr,Ki P, i V , 1 i r. 则 T( ) k1T(1 ) k2T(2 ) krT(r ) (1.3.2) (3) 若 1, 2 ,, r 线性相关，则
V2
V1 V2
直和,那么 S {1,, s , 1,, t } 是 V1 V2
的基.
1.3 线性变换及其矩阵表示
1.3.1 线性变换 定义 从线性空间到线性空间的映射叫做变换.
例1.3.1
定义1.3.1 设 Vn 和 Wm 是两个线性空间，假如 一个从 Vn 到 Wm 的变换 T :V W 具有以下性质: （1） T( ) T( ) T( ) , V
第1章 线性空间与线性变换
1.1 线性空间
定义1.1.1 设 V 是非空集合，P是数域. 在 V 中
定义了两种代数运算，
1. 加法: 就是给定了一个法则“+”，对于V 中
的任意两个元素, ，V在 中都有唯一的元素
与它们对应称为 与 的和，记为
加法运算满足以下四条规则：
⑴ ⑵ ( ) ( )
（2） T(k ) kT( ) V , k P
称作V 的一个线性变换或线性算子。特别 当 V W 时，称 T :Vn Vn 是 Vn 上的线性变换.
注:定义中两个条件可以用一个表达式来表示， 即T 是线性变换的充要条件是：
T (k l ) kT() lT( )
例：两个特殊线性变换 (1) 如果对任意 V ，恒有 T() 0，则
k11 k2 2 km m 0
(1.1.1)
如果仅有平凡解 k1 k2 km 0，称 S 是线性 无关的；如果方程有非平凡解，则称 S 是线性相 关的。
对仅有一个向量的集合S {}， V，令 k 0， 如果 0，只有k 0，所以S {}是线性无关的； 如果 0，k 0 有非平凡解，所以S {}线性
V1 V2 { V1 且 V2}
是 V 的子空间，称为 V1 和 V2 的交空间.
定理1.2.3 设 V1 和 V2 是线性空间 V 的 两个子空间，则它们的和
V1 V2 {1 2 1 V1,2 V2} 是 V 的子空间，称为 V1 和 V2 的和空间.
例1.2.3
假如 V1 L(1,2 ,,s ), V2 L(1, 2 ,, t ) 那么它们的和
推论⒉ 设 V1, V2 是的 V 两个子空 间，则V1 V2 V1 V2 的充分必要条 件是：
dim(V1 V2 ) dim(V1) dim(V2 )
推论2也可以作为定义1.2.2的等价 定义。
推论3
如果 是 的 S (1) {1, 2,, s }
V1
基； 是 的基, 是 S (2) {1, 2 ,, t }
V1 V2 L(1,2 ,,s , 1, 2 ,, t )
定理1.2.4 (维数公式)设 V1 和 V2 是 Vn 的两个线性子空间，则
dim(V1) dim (V2) dim (V1 V2) dim (V1 V2)
推论1 如果 n 维线性空间的两个子空间 V1 和 V2 的和空间维数小于 V1和 V维2 数之和， 那么它们的交空间一定含有非零向量，即