高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.1 空间几何体的结构及其表面积、体积 文

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2.已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底 面圆的半径为____2____ cm. 解析 S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π， ∴r2＝4，∴r＝2(cm).
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3.(2014∙陕西改编)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋 转一周，所得几何体的侧面积是__2_π_____. 解析 底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.
第八章 立体几何
§8.1 空间几何体的结构及其表面积、体 积
内容 索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想与方法系列 思想方法 感悟提高 练出高分
基础知识 自主学习
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知识梳理
1.空间几何体的结构特征 (1)多面体 ①棱柱的侧棱都 平行且相等 ，上、下底面是_全__等__的多边形. ②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形. ③棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是 相似 多 边形.
③若球与正方体的各棱相切，则 2R＝ 2a.
b.若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则 2R＝ a2＋b2＋c2. c.正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3∶1. (3)斜二测画法中的“三变”与“三不变”
坐标轴的夹角改变， “三变”与y轴平行的线段的长度变为原来的一半，
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4.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD＝a，则三棱锥D－ ABC的体积为___1_22_a_3__.
解析 O是AC的中点，连结DO，BO，△ADC，△ABC都是等腰直角三角形.
因为 DO＝BO＝A2C＝ 22a， BD＝a，所以△BDO也是等腰直角三角形.
又因为DO⊥AC，DO⊥BO，AC∩BO＝O，
所以DO⊥平面ABC，即DO就是三棱锥D－ABC的高. 因为 S△ABC＝12a2， 所以三棱锥 D－ABC 的体积为13×12a2× 22a＝122a3.
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5.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为 如图所示的一个正方形，则原来的图形是____①________.
解析 平面图形的直观图为正方形，且其边长为1，对角线长为 2 ， 所以原平面图形为平行四边形，且位于x轴上的边长仍为1，位于y轴 上的对角线长为2 2 .
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(2)下列结论： ①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； ④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台； ⑤用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何 体一定是球. 其中正确结论的序号是________.
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(3)设有以下四个命题： ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱台的相对侧棱延长后必交于一点. 其中真命题的序号是________.
思维升华
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给出下列命题： ①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； ②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直； ③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱 柱为直四棱柱； ④存在每个面都是直角三角形的四面体. 其中正确命题的序号是________.
45°(或135°) ，z′轴与x′轴、y′轴所在平面__垂__直___. (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于 坐标轴.平行于 x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度 不变 ，平行于y轴的线段长度 在直观图中变为 原来的一半.
答案
3.柱、锥、台和球的表面积和体积
名称 几何体
表面积
答案
2
考点自测
1.下列说法正确的是___④_____. ①相等的角在直观图中仍然相等； ②相等的线段在直观图中仍然相等； ③正方形的直观图是正方形； ④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行. 解析 由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的 平行性不变.故④正确.
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图形改变.
平行性不改变， “三不变”与x，z轴平行的线段的长度不改变，
相对位置不改变.
Байду номын сангаас
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( × ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( × ) (3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和 y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.( × ) (4)圆柱的侧面展开图是矩形.( √ ) (5)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算.( √ ) (6)菱形的直观图仍是菱形.( × )
柱体(棱柱和圆 S表面积＝S侧＋2S
柱)
底
体积
Sh
V＝1
3
锥体(棱锥和圆
锥)
S表面积＝S侧＋S底
4πR2
1
3 V＝ ShS上S下 4 3
答案
4.常用结论 (1)与体积有关的几个结论 ①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差. ②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等. (2)几个与球有关的切、接常用结论 a.正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的外接球，则 2R＝ 3a； ②若球为正方体的内切球，则 2R＝a；
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题型分类 深度剖析
题型一 空间几何体的结构特征
例1 (1)给出下列命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母 线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； ④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是________.
答案
(2)旋转体 ①圆柱可以由 矩形 绕其一边所在直线旋转得到. ②圆锥可以由直角三角形绕其 直角边所在直线旋转得到. ③圆台可以由直角梯形绕 直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中 点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到. ④球可以由半圆或圆绕 直径 所在直线旋转得到.
答案
2.空间几何体的直观图 画空间几何体的直观图常用 斜二测 画法，其规则是： (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为