立体几何(线、面平行、垂直的有关结论)必修2 立体几何线面关系的判定与性质
立体几何（线面平行、垂直的有关结论）
空间中线面平行、垂直关系有关的定理：
1、【线面平行的判定】平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行。
2、【线面平行的性质】如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行。
3、如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
4、如果两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面。
5、如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
6、如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
7、一条直线与两条平行直线中的一条直线相垂直，则这条直线也与另一条直线垂直。
8、与同一条直线都垂直的两条直线相互平行。（）
9、与同一个平面都垂直的两条直线相互平行。
10、两条平行直线中的一条直线与一个平面相垂直，则另一条直线也垂直于这个平面。
11、两条相互垂直的直线中的一条平行于一个平面，则另一条直线垂直于这个平面。（）
12、两条相互垂直的直线中的一条垂直于以个平面，则另一条直线平行于这个平面。（）
13、平面外的两条相互垂直的直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线平行于这个平面。
14、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另一个平面。
15、如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
16、两个平面都与另一个平面相垂直，则这两个平面平行。（）
17、一个平面垂直于两平行平面中的一个平面，则此平面也垂直于另一个平面。
18、如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直。
19、如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线。
20、如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。
21、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。【知识归纳】：【典型例题】：【高考小题】：
立体几何(线、面平行、垂直的有关结论)必修2 立体几何线面关系的判定与性质
立体几何（线面平行、垂直的有关结论） 空间中线面平行、垂直关系有关的定理： 1、【线面平行的判定】平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行。 2、【线面平行的性质】如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行。 3、如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 4、如果两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面。 5、如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 6、如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 7、一条直线与两条平行直线中的一条直线相垂直，则这条直线也与另一条直线垂直。 8、与同一条直线都垂直的两条直线相互平行。（） 9、与同一个平面都垂直的两条直线相互平行。 10、两条平行直线中的一条直线与一个平面相垂直，则另一条直线也垂直于这个平面。 11、两条相互垂直的直线中的一条平行于一个平面，则另一条直线垂直于这个平面。（） 12、两条相互垂直的直线中的一条垂直于以个平面，则另一条直线平行于这个平面。（） 13、平面外的两条相互垂直的直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线平行于这个平面。 14、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另一个平面。 15、如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。 16、两个平面都与另一个平面相垂直，则这两个平面平行。（） 17、一个平面垂直于两平行平面中的一个平面，则此平面也垂直于另一个平面。 18、如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直。 19、如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线。 20、如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。 21、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。【知识归纳】：【典型例题】：【高考小题】：
(完整版)高中数学必修二立体几何知识点总结
第一章 立体几何初步 特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'h 为斜高，l 为母线） ch S =直棱柱侧面积 '21ch S = 正棱锥侧面积 ')(2 121h c c S +=正棱台侧面积 rh S π2=圆柱侧 ()l r r S +=π2圆柱表 rl S π=圆锥侧面积 ()l r r S +=π圆锥表 l R r S π)(+=圆台侧面积 () 22R Rl rl r S +++=π圆台表 柱体、锥体、台体的体积公式 V Sh =柱 13V Sh =锥 '1()3 V S S h =台 2V Sh r h π==圆柱 h r V 23 1π=圆锥 '2211()()33 V S S h r rR R h π=+=++圆台 （4）球体的表面积和体积公式：V 球=343R π ； S 球面=24R π 第二章 直线与平面的位置关系 2.1 1 2 三个公理： （1符号表示为 A ∈L B ∈L => l α? A ∈α B ∈α （2符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理（3公理 L A · α C · B · A · α
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 —— 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 a α a ∩α=A a ∥α 共面直线 =>a ∥c 2
高中数学必修二立体几何知识点梳理
立体几何初步 1、 柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱'''''E D C B A ABCDE -或用对角线的端点字母，如五棱柱'AD 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于 底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥' ' ' ' ' E D C B A P - 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高 的比的平方。 （3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台' ' ' ' ' E D C B A P - 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体
几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图 定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、 俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度； 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 3、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变； ②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 （2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，'h为斜高，l为母线） ch S= 直棱柱侧面积 rh Sπ 2 = 圆柱侧
(完整版)立体几何中有关平行、垂直常用的判定方法
有关平行、垂直问题常见判定方法 一、 线线平行的判定 1、 公理4：平行于同一直线的另两直线互相平行. a ∥b ，b ∥c ==> a ∥c 2、 三角形中位线平行于底边；平行四边形对边平行；棱柱侧棱互相平行． 3、 线面平行的性质：一条直线与一个平面平行，过该直线的平面与已知平面相交，该直线与交线平行． a ∥α，a ⊂β， αβ=b ==> a ∥b β αb a 4、 面面平行的性质：两个平面平行，同时与第三个平面相交，所得的两条交线互相平行． α∥β, γα=a , γβ=b ==> a ∥b γ β αb a 5、 平行于同一平面的两直线互相平行． a ⊥α， b ⊥α ==> a ∥b αb a 二、 线面平行的判定 1、 线面平行的判定定理：若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此c b a
平面平行． a ⊄α， b ⊂α，a ∥b ==> a ∥α αb a 2、 若两平面平行，则一个平面内的任一直线与另一平面平行． α∥β，a ⊂α ==> a ∥β α βa 3、 α⊥β，a ⊥β，a ⊄α ==> a ∥α β α a 4、 a ⊥b ，b ⊥α，a ⊄α ==> a ∥α α a b 三、 面面平行的判定 1、 面面平行的判定定理：若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个 平面平行． a ⊂α， b ⊂α， a b =O ,a ∥β,b ∥β ==> α∥β
O α β a b αβa 2、 垂直于同一直线的两个平面互相平行． a ⊥α，a ⊥β ==> α∥β (见上图) 3、 平行于同一平面的两个平面互相平行． α∥γ，β∥γ ==> α∥β α γ β 4、 柱体的上下底面互相平行 四、 线线垂直 1、线线垂直的定义：a 与b 所成的角为直角． 2、线面垂直的定义：若一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面内的任一直线都垂直． a ⊥α，b ⊂α ==> a ⊥b αa b 3、a ⊥α，b ∥α ==> a ⊥b
线面平行、垂直的判定与性质
线面平行、垂直的判定与性质 作者：刘长柏 来源：《数学金刊·高中版》2011年第12期 线面平行、垂直的判定与性质，一直是高考重点考查的对象，其解题方法一般有两种以上，并且都能用空间向量求解．在空间元素位置关系的判断与证明中，通常利用线线、线面、面面的平行（垂直）的性质或判定定理，将线线、线面、面面的平行（垂直）相互转换． １．线面平行、垂直的判定与性质的重点 熟练掌握两类相互转化关系，平行转化：线线平行?圯线面平行，线面平行?圯线线平行；垂直转化：线线垂直?圯线面垂直，线面垂直?圯线线垂直． ２．线面平行、垂直的判定与性质的难点 ①直线与平面平行、垂直的判定与性质定理的交替使用． ②空间向量的引入，利用向量解题的关键是建立适当的空间直角坐标系及写出有关点的坐标，将几何问题转化为代数问题． 1．传统法证明线面平行、垂直 证明线面平行，依据直线和平面平行的判定定理，找“平面内的一条线”与已知直线平行；证明线面垂直，依据线面垂直的判定定理，找到所需的“平面内两条相交直线”．而有时证明线线平行、垂直时，又转化为证明线面平行、垂直，如此反复，直到证得结论． 2．向量法证明线面平行、垂直 （1）证明线面平行 ◆证明直线的方向向量与平面内一直线的方向向量平行． ◆证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
（2）证明线面垂直 ◆若要证直线l与平面α垂直，只要在α内找到两个不共线向量a，b，在l上取向量p，证得p•a=0且p•b=0即可． ◆证明直线的方向向量与平面的法向量平行． 如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．证明：EF∥平面SAD． 图1 图2 思索立体几何问题一般有两种方法：几何法与向量法．几何法：证明EF与平面SAD内的某条线平行；向量法：利用向量平行转化为两直线平行，从而线面平行． 破解法1：作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．连结AG，FGCD，又CDAB，故FGAE，AEFG为平行四边形． EF∥AG，又AG?奂平面SAD，EF?埭平面SAD．所以EF∥平面SAD． 法2：如图2，建立空间直角坐标系D－xyz．设A（a，0，0），S（0，0，b），则B （a，a，0），C（0，a，0），Ea，，0，F0，，，=－a，0，．取SD的中点G0，0，，则=－a，0，，=，EF∥AG，AG?奂平面SAD，EF?埭平面SAD，所以EF∥平面SAD．另解，=（0，a，0）显然为平面SAD的一条法向量，而•=0，所以EF∥平面SAD． 点评两种方法各有优缺点，在向量方法中注意动点的设法，在传统法中注意用分析法寻找思路． 如图2，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形， AB=BC=2，CD=SD=1．证明：SD⊥平面SAB． 思索几何法：只需要证明SD垂直于平面中的两条相交直线；向量法：利用向量的数量积为零证明线线垂直，从而证得线面垂直． 图4 图5
高一数学必修2立体几何知识点详细总结
立体几何 一、立体几何网络图： （1）线线平行的判断： ⑴平行于同一直线的两直线平行。 ⑶如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交 线平行。 ⑹如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 ⑿垂直于同一平面的两直线平行。 （2）线线垂直的判断： ⑺在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 ⑻在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。 ⑽若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。 补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。 （3）线面平行的判断： ⑵如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 ⑸两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 （4）线面垂直的判断： ⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。 ⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 ⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ⒃如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。
（5）面面平行的判断： ⑷一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。 ⒀垂直于同一条直线的两个平面平行。 （6）面面垂直的判断： ⒂一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。 二、其他定理： （1）确定平面的条件：①不公线的三点；②直线和直线外一点；③相交直线； （2）直线与直线的位置关系：相交；平行；异面； 直线与平面的位置关系：在平面内；平行；相交（垂直是它的特殊情况）； 平面与平面的位置关系：相交；；平行； （3）等角定理：如果两个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等； 如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角 (或直角)相等； （4）射影定理（斜线长、射影长定理）：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长；反之，斜线段相等的射 影相等；斜线段较长的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短。 （5）最小角定理：斜线与平面内所有直线所成的角中最小的是与它在平面内射影所成的角。（6）异面直线的判定：①反证法； ②过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面直线。 （7）过已知点与一条直线垂直的直线都在过这点与这条直线垂直平面内。 （8）如果—直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行于两个平面的交线。 （9）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面。 三、唯一性定理： （1）过已知点，有且只能作一直线和已知平面垂直。 （2）过已知平面外一点，有且只能作一平面和已知平面平行。 （3）过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另一条平行。 四、空间角的求法：（所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题，尤其是直角三角形） （1）异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。
新教材人教版高中数学必修第二册期末复习全册立体几何常考定理总结(八大定理)
l m β α 立体几何(He)的八大定理 一、线面平行的判(Pan)定定理：线线平行⇒线面平行 文字语言：如果平面外．的一条直线与平面内． 的一条直线平行，则这条直线与平面平行. 符号语言： ()个条件共______________________________⇒⎪⎭ ⎪ ⎬⎫ 关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行 文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过．．这条直线的平面和这个平面相交．． ，那么这条直线就和交线．． 平行. 符 号 语 言 ： ()个条件共______________________________⇒⎪⎭ ⎪ ⎬⎫ 关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 三、面面平行的判定定理：线面平行⇒ 面面平行 文字语言：如果一个平面内．有两．条相交．．直线都平行．．于另一个平面．．，那么这两个平面平行． 符号语言： ()个条件共__________________________________________⇒⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪⎪⎬⎫ 关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行 文字语言：如果两个平行平面同时．．和第三个．．．平面相交．．,那么所得的两条交线．．平行. 符号语言: ()个条件共______________________________⇒⎪⎭ ⎪ ⎬⎫ 关键点：找第三个平面与已知平面都相．．．．．．．．．．．．．．．．．交，则交线平行．．．．．．． 推论：文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意．．一条直线平行于另一个平面. 符号语言:
高中数学必修二立体几何立体几何总知识点
立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱' ' ' ' 'E D C B A ABCDE-或用对角线的端点字母，如五棱柱' AD 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等； 平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥' ' ' ' 'E D C B A P- 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 （3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台' ' ' ' 'E D C B A P-
几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图 定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、 俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度； 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 3、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变； ②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
高中数学必修2立体几何专题线面垂直典型例题地判定与性质
线面垂直 ●知识点 如果一条直线和一个平面的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直. 判定定理：如果一条直线和一个平面的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面. 判定定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面. 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 3.三垂线定理和它的逆定理. 三垂线定理：在平面的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直. 逆定理：在平面的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直. ●题型示例 【例1】如下列图，点S是平面ABC外一点， ∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，点A在直线SB和SC上的 射影分别为点E、F，求证：EF⊥SC. 【解前点津】用分析法寻找解决问题的途径，假设 EF⊥SC成立，结合AF⊥SC可推证SC⊥平面AEF，这样 SC⊥AE，结合AE⊥SB，可推证AE⊥平面SBC，因此证明 AE⊥平面SBCSA⊥平面ABC， ∠ABC=90°，可以推证BC⊥AE，结合AE⊥SB完成AE⊥平 例1题图 面SBC的证明. 【规解答】
【解后归纳】题设中条件多，图形复杂，结合题设理清图形中根本元素之间的位置关系是解决问题的关键. 【例2】：M∩N=AB,PQ⊥M于Q，PO⊥N于O，OR⊥M于R，求证：QR⊥AB. 【解前点津】由求证想判定，欲证线线垂直，方法有〔1〕a∥b,a⊥c⇒b⊥c;(2)a⊥α,b⊂α⇒a ⊥b;(3)三垂线定理与其逆定理. 由想性质，知线面垂直，可推出线线垂直或线线平行. 【解后归纳】处于非常规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题，要抓住“一个面〞、“四条线〞. 所谓“一个面〞：就是要确定一个垂面，三条垂线共处于垂面之上. 所谓“四条线〞：就是垂线、斜线、射影以与平面的第四条线，这四条线中垂线是关键的一条线，牵一发而动全身，应用时一般可按下面程序进展操作：确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连结射影，寻第四条线. 【例3】如图(1)所示，矩形纸片AA′A′1A1,B、C、B1、C1分别为AA′,A1A′的三等分点，将矩形纸片沿BB1,CC1折成如图(2)形状〔正三棱柱〕，假如面对角线AB1⊥BC1，求证:A1C⊥AB1. 例3题图解(1)
高中数学必修2立体几何专题线面垂直典型例题的判定与性质
线面垂直 ●知识点 １.直线和平面垂直定义 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,就说这条直线和这个平面垂直. ２.线面垂直判定定理和性质定理 判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面. 判定定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面. 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 3．三垂线定理和它的逆定理． 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它和这条斜线垂直. 逆定理:在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直. ●题型示例 【例１】如图所示，已知点S是平面ＡBC外一点， ∠ＡＢＣ=９0°，ＳＡ⊥平面ABC，点A在直线ＳB和SＣ上的 射影分别为点E、F，求证:EF⊥ＳC. 【解前点津】用分析法寻找解决问题的途径,假设 ＥF⊥SC成立，结合AＦ⊥ＳC可推证SC⊥平面AEF，这样 SC⊥AE,结合AE⊥SB，可推证AＥ⊥平面ＳＢC,因此证明 ＡＥ⊥平面SＢC是解决本题的关键环节．由题设SA⊥平面ABC， ∠ＡＢC＝90°，可以推证BC⊥ＡE，结合ＡE⊥SB完成AE⊥平 例1题图 面SBC的证明. 【规范解答】 【解后归纳】题设中条件多，图形复杂,结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解决问题的关键.
【例2】已知：M∩N＝ＡB,PQ⊥M于Q,ＰO⊥N于O,OR⊥M于R,求证:ＱR⊥AB. 【解前点津】由求证想判定，欲证线线垂直，方法有（1）a∥b,a⊥c⇒b⊥ｃ；(２)ａ⊥α,b⊂α⇒a⊥ｂ;（３）三垂线定理及其逆定理. 由已知想性质，知线面垂直，可推出线线垂直或线线平行. 【解后归纳】处于非常规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题，要抓住“一个面”、“四条线”. 所谓“一个面”:就是要确定一个垂面，三条垂线共处于垂面之上. 所谓“四条线”:就是垂线、斜线、射影以及平面内的第四条线，这四条线中垂线是关键的一条线,牵一发而动全身，应用时一般可按下面程序进行操作:确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连结射影，寻第四条线. 【例３】已知如图(1)所示,矩形纸片AＡ′A′１A1,B、Ｃ、Ｂ1、Ｃ1分别为ＡＡ′,A1Ａ′的三等分点，将矩形纸片沿ＢB1,CC１折成如图(2)形状(正三棱柱)，若面对角线AＢ1⊥BC1，求证:A１Ｃ⊥AB1. 例3题图解(1)
高中数学必修2立体几何专题线面垂直典型例题的判定及性质
线面垂直 ●知识点 1.直线和平面垂直定义 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直. 2.线面垂直判定定理和性质定理 判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面. 判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于同一平面. 判定定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面. 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行. 3.三垂线定理和它的逆定理. 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线垂直. 逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面上的射影垂直. ●题型示例 【例1】如图所示，已知点S是平面ABC外一点， ∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，点A在直线SB和SC上的 射影分别为点E、F，求证：EF⊥SC. 【解前点津】用分析法寻找解决问题的途径，假设 EF⊥SC成立，结合AF⊥SC可推证SC⊥平面AEF，这样 SC⊥AE，结合AE⊥SB，可推证AE⊥平面SBC，因此证明 AE⊥平面SBC是解决本题的关键环节.由题设SA⊥平面ABC， ∠ABC=90°，可以推证BC⊥AE，结合AE⊥SB完成AE⊥平 例1题图 面SBC的证明. 【规范解答】 【解后归纳】题设中条件多，图形复杂，结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解决问题的关键. 【例2】已知：M∩N=AB,PQ⊥M于Q，PO⊥N于O，OR⊥M于R，求证：QR⊥AB. 【解前点津】由求证想判定，欲证线线垂直，方法有（1）a∥b,a⊥c⇒b⊥c;(2)a⊥α,b⊂α⇒a⊥b;(3)三垂线定理及其逆定理. 由已知想性质，知线面垂直，可推出线线垂直或线线平行. 【解后归纳】处于非常规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题，要抓住“一个面”、“四条线”. 所谓“一个面”：就是要确定一个垂面，三条垂线共处于垂面之上. 所谓“四条线”：就是垂线、斜线、射影以及平面内的第四条线，这四条线中垂线是关键的一条线，牵一发而动全身，应用时一般可按下面程序进行操作：确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连结射影，寻第四条线. 【例3】已知如图(1)所示，矩形纸片AA′A′1A1,B、C、B1、C1分别为AA′,A1A′的三等分点，将矩形纸片沿BB1,CC1折成如图(2)形状（正三棱柱），若面对角线AB1⊥BC1，求证:A1C⊥AB1.
必修2立体几何线面、面面平行、线面、面面垂直-2
立体几何空间点、线、面的位置关系 1．五种位置关系,用相应的数学符号表示 〔1〕点与线的位置关系：点A 在直线l 上；点B 不在直线l 上 〔2〕点与面的位置关系：点A 在平面α内；点B 在平面α外 〔3〕直线与直线的位置关系：a 与b 平行；a 与b 相交于点O 〔4〕直线与平面的位置关系：直线a 在平面α内；直线a 与平面α相交于点A ；直线a 与平面α平行 〔5〕平面与平面的位置关系：平面α与平面β平行 平面α与平面β相交于a 平 行 问 题 〔一〕直线与直线平行 1.定义：在同一平面内不相交的两条直线平行 2.判定两条直线平行的方法： 〔1〕平行于同一条直线的两条直线互相平行〔公理4〕,记为a//b,b//c ⇒ a//c 〔2〕线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平 行.记为：//,,//a a b a b αβα β⊂=⇒． 〔3〕两个平面平行的性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. 〔4〕线面垂直的性质定理：如两条直线同垂直与一个平面,则这两条直线平行 〔二〕直线与平面平行 1.定义：直线a 与平面α没有公共点,称直线a 平行与平面α,记为a//α 2.线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行. 定理模式：． 3、*找线线平行常用的方法： ①中位线定理 ②平行四边形 ③比例关系 ④面面平行-线面平行 ① 中位线定理 例题：已知如图：平行四边形ABCD 中,6BC =,正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直,G ,H 分别是DF ,BE 的中点． 〔１〕求证：GH ∥平面CDE ；〔２〕若2,2CD DB ==求四棱锥F-ABCD 的体积． 〔1〕证明：连结EA ,∵ADEF 是正方形 ∴G 是AE 的中点 ∴在⊿EAB 中,//GH AB 又∵AB ∥CD ,∴GH ∥CD , ∵HG ⊄平面CDE,CD ⊂平面CDE ∴GH ∥平面CDE 〔2〕∵平面ADEF ⊥平面ABCD ,交线为AD 且FA ⊥AD , ∴FA ⊥平面ABCD . ∵6BC =,∴6FA = 又∵2,2CD DB == ,222 CD DB BC += ∴BD ⊥CD ∴ABCD S CD BD =⋅＝82∴F ABCD V -= 1 3ABCD S FA ⋅＝18261623 ⨯=_ H _ G _ D _ A _ B _ C E F
人教A版必修二立体几何 直线、平面平行的判定及其性质——解答题篇常规运用
一、直线与平面平行 1．判定定理 2 (1)证线面平行 ①若a∥α，a∥b，b⊄α，则b∥α．②若a∥α，α∥β，a⊄β，则a∥β． (2)线面平行的性质 ①若a∥α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b．②若a∥α，a⊥β，则α⊥β． 二、平面与平面平行 1．判定定理 2
平面与平面平行的几个性质 (1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． (5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． (6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行． 一、直线与平面平行的判定 1．(2015·海淀模拟)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，P A ＝PB ， 且侧面P AB ⊥平面ABCD ，点E 是棱AB 的中点． (1)求证：CD ∥平面P AB ； 【证明】(1)因为底面ABCD 是菱形，所以CD ∥AB ． 又因为CD ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，所以CD ∥平面P AB ． 2．(2015·南京检测)如图，在正三棱锥ABC -A 1B 1C 1中，E ，F 分别为BB 1，AC 的中点． (1)求证：BF ∥平面A 1EC ； 【证明】(1)连接AC 1交A 1C 于点O ，连接OE ，OF ， 在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为平行四边形，所以OA ＝OC 1． 又因为F 为AC 中点，所以OF ∥CC 1且OF ＝1 2CC 1． 因为E 为BB 1中点，所以BE ∥CC 1且BE ＝1 2 CC 1． 所以BE ∥OF 且BE ＝OF ，所以四边形BEOF 是平行四边形，所以BF ∥OE ． 又BF ⊄平面A 1EC ，OE ⊂平面A 1EC ， 所以BF ∥平面A 1EC ．