2016全国高考数学试题及答案

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2016年全国统一高考数学试卷文科全国一附带答案解析

2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}2．（5分）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于（）A．﹣3B．﹣2C．2D．33．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（）A．B．C．2D．35．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）7．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π8．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．log a c＜log b c B．log c a＜log c b C．a c＜b c D．c a＞c b9．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，]C．[﹣，]D．[﹣1，﹣]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．14．（5分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．15．（5分）设直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若|AB|=2，则圆C的面积为．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a nb n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．18．（12分）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．19．（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）若n=19，求y与x的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？20．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；29：规律型；5J：集合．【分析】直接利用交集的运算法则化简求解即可．【解答】解：集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B={3，5}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查计算能力．2．（5分）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于（）A．﹣3B．﹣2C．2D．3【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的乘法运算法则，通过复数相等的充要条件求解即可．【解答】解：（1+2i）（a+i）=a﹣2+（2a+1）i的实部与虚部相等，可得：a﹣2=2a+1，解得a=﹣3．故选：A．【点评】本题考查复数的相等的充要条件的应用，复数的乘法的运算法则，考查计算能力．3．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】12：应用题；34：方程思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，可得结论．【解答】解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有=6种方法，红色和紫色的花在同一花坛，有2种方法，红色和紫色的花不在同一花坛，有4种方法，所以所求的概率为=．另解：由列举法可得，红、黄、白、紫记为1，2，3，4，即有（12，34），（13，24），（14，23），（23，14），（24，13），（34，12），则P==．故选：C．【点评】本题考查等可能事件的概率计算与分步计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．4．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（）A．B．C．2D．3【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；58：解三角形．【分析】由余弦定理可得cosA=，利用已知整理可得3b2﹣8b﹣3=0，从而解得b的值．【解答】解：∵a=，c=2，cosA=，∴由余弦定理可得：cosA===，整理可得：3b2﹣8b﹣3=0，∴解得：b=3或﹣（舍去）．故选：D．【点评】本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出椭圆的方程，求出直线的方程，利用已知条件列出方程，即可求解椭圆的离心率．【解答】解：设椭圆的方程为：，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则直线方程为：，椭圆中心到l的距离为其短轴长的，可得：，4=b2（），∴，=3，∴e==．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查点到直线的距离公式，椭圆的离心率的求法，考查计算能力．6．（5分）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】33：函数思想；48：分析法；57：三角函数的图像与性质．【分析】求得函数y的最小正周期，即有所对的函数式为y=2sin[2（x﹣）+]，化简整理即可得到所求函数式．【解答】解：函数y=2sin（2x+）的周期为T==π，由题意即为函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得图象对应的函数为y=2sin[2（x﹣）+]，即有y=2sin（2x﹣）．故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象平移变换，注意相位变换针对自变量x而言，考查运算能力，属于基础题和易错题．7．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．8．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．log a c＜log b c B．log c a＜log c b C．a c＜b c D．c a＞c b【考点】4M：对数值大小的比较．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性结合换底公式，逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵a＞b＞0，0＜c＜1，∴log c a＜log c b，故B正确；∴当a＞b＞1时，0＞log a c＞log b c，故A错误；a c＞b c，故C错误；c a＜c b，故D错误；故选：B．【点评】本题考查的知识点是指数函数，对数函数，幂函数的单调性，难度中档．9．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】27：图表型；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．10．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y2≥36，故y=4x，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5G：空间角．【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．（5分）若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，]C．[﹣，]D．[﹣1，﹣]【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】35：转化思想；4C：分类法；53：导数的综合应用．【分析】求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）≥0恒成立，设t=cosx（﹣1≤t ≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，对t讨论，分t=0，0＜t≤1，﹣1≤t＜0，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x﹣sin2x+asinx的导数为f′（x）=1﹣cos2x+acosx，由题意可得f′（x）≥0恒成立，即为1﹣cos2x+acosx≥0，即有﹣cos2x+acosx≥0，设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，当t=0时，不等式显然成立；当0＜t≤1时，3a≥4t﹣，由4t﹣在（0，1]递增，可得t=1时，取得最大值﹣1，可得3a≥﹣1，即a≥﹣；当﹣1≤t＜0时，3a≤4t﹣，由4t﹣在[﹣1，0）递增，可得t=﹣1时，取得最小值1，可得3a≤1，即a≤．综上可得a的范围是[﹣，]．另解：设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，由题意可得5﹣4+3a≥0，且5﹣4﹣3a≥0，解得a的范围是[﹣，]．故选：C．【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用．【分析】根据向量垂直的充要条件便可得出，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于x的方程，解方程便可得出x的值．【解答】解：∵；∴；即x+2（x+1）=0；∴．故答案为：．【点评】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，清楚向量坐标的概念．14．（5分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．【分析】由θ得范围求得θ+的范围，结合已知求得cos（θ+），再由诱导公式求得sin（）及cos（），进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan（θ﹣）的值．【解答】解：∵θ是第四象限角，∴，则，又sin（θ+）=，∴cos（θ+）=．∴cos（）=sin（θ+）=，sin（）=cos（θ+）=．则tan（θ﹣）=﹣tan（）=﹣=．故答案为：﹣．【点评】本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．15．（5分）设直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若|AB|=2，则圆C的面积为4π．【考点】J8：直线与圆相交的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；5B：直线与圆．【分析】圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0的圆心坐标为（0，a），半径为，利用圆的弦长公式，求出a值，进而求出圆半径，可得圆的面积．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0的圆心坐标为（0，a），半径为，∵直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，且|AB|=2，∴圆心（0，a）到直线y=x+2a的距离d=，即+3=a2+2，解得：a2=2，故圆的半径r=2．故圆的面积S=4π，故答案为：4π【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，难度中档．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；33：函数思想；35：转化思想．【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．故答案为：216000．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a nb n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．【考点】8H：数列递推式．【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）令n=1，可得a1=2，结合{a n}是公差为3的等差数列，可得{a n}的通项公式；（Ⅱ）由（1）可得：数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，进而可得：{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1=nb n．当n=1时，a1b2+b2=b1．∵b1=1，b2=，∴a1=2，又∵{a n}是公差为3的等差数列，∴a n=3n﹣1，+b n+1=nb n．（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b n+1即3b n=b n．+1即数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴{b n}的前n项和S n==（1﹣3﹣n）=﹣．【点评】本题考查的知识点是数列的递推式，数列的通项公式，数列的前n项和公式，难度中档．18．（12分）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MK：点、线、面间的距离计算．【专题】11：计算题；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）根据题意分析可得PD⊥平面ABC，进而可得PD⊥AB，同理可得DE⊥AB，结合两者分析可得AB⊥平面PDE，进而分析可得AB⊥PG，又由PA=PB，由等腰三角形的性质可得证明；（Ⅱ）由线面垂直的判定方法可得EF⊥平面PAC，可得F为E在平面PAC内的正投影．由棱锥的体积公式计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵P﹣ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB，又E为D在平面PAB内的正投影，∴DE⊥面PAB，则DE⊥AB，∵PD∩DE=D，∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，则AB⊥PG，又PA=PB，∴G是AB的中点；（Ⅱ）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC 内的正投影．∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，∴PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影．连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由（Ⅰ）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD=CG．由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE=PG，DE=PC．由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PG=3，PE=2．在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2．所以四面体PDEF的体积V=×DE×S=×2××2×2=．△PEF【点评】本题考查几何体的体积计算以及线面垂直的性质、应用，解题的关键是正确分析几何体的各种位置、距离关系．19．（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）若n=19，求y与x的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？【考点】3H：函数的最值及其几何意义；5C：根据实际问题选择函数类型；B8：频率分布直方图．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）若n=19，结合题意，可得y与x的分段函数解析式；（Ⅱ）由柱状图分别求出各组的频率，结合“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，可得n的最小值；（Ⅲ）分别求出每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件时的平均费用，比较后，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）当n=19时，y==（Ⅱ）由柱状图知，更换的易损零件数为16个频率为0.06，更换的易损零件数为17个频率为0.16，更换的易损零件数为18个频率为0.24，更换的易损零件数为19个频率为0.24又∵更换易损零件不大于n的频率为不小于0.5．则n≥19∴n的最小值为19件；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，所须费用平均数为：（70×19×200+4300×20+4800×10）=4000（元）假设这100台机器在购机的同时每台都购买20个易损零件，所须费用平均数为（90×4000+10×4500）=4050（元）∵4000＜4050∴购买1台机器的同时应购买19台易损零件．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，频率分布条形图，方案选择，难度中档．20．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求出P，N，H的坐标，利用=，求；（Ⅱ）直线MH的方程为y=x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y2﹣4ty+4t2=0，利用判别式可得结论．【解答】解：（Ⅰ）将直线l与抛物线方程联立，解得P（，t），∵M关于点P的对称点为N，∴=，=t，∴N（，t），∴ON的方程为y=x，与抛物线方程联立，解得H（，2t）∴==2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知k MH=，∴直线MH的方程为y=x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y2﹣4ty+4t2=0，∴△=16t2﹣4×4t2=0，∴直线MH与C除点H外没有其它公共点．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，正确联立方程是关键．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【考点】52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，讨论当a≥0时，a＜﹣时，a=﹣时，﹣＜a＜0，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）的单调区间，对a讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，可得f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①当a≥0时，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，即有f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增（如右上图）；②当a＜0时，（如右下图）若a=﹣，则f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上递增；若a＜﹣时，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（﹣2a）；由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．即有f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增；在（1，ln（﹣2a））递减；若﹣＜a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜ln（﹣2a）或x＞1；由f′（x）＜0，可得ln（﹣2a）＜x＜1．即有f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（1，+∞）递增；在（ln（﹣2a），1）递减；（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得当a＞0时，f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增，且f（1）=﹣e＜0，x→+∞，f（x）→+∞；当x→﹣∞时f（x）＞0或找到一个x＜1使得f（x）＞0对于a＞0恒成立，f（x）有两个零点；②当a=0时，f（x）=（x﹣2）e x，所以f（x）只有一个零点x=2；③当a＜0时，若a＜﹣时，f（x）在（1，ln（﹣2a））递减，在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增，又当x≤1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点；当a≥﹣时，在（﹣∞，ln（﹣2a））单调增，在（1，+∞）单调增，在（1n（﹣2a），1）单调减，只有f（ln（﹣2a））等于0才有两个零点，而当x≤1时，f（x）＜0，所以只有一个零点不符题意．综上可得，f（x）有两个零点时，a的取值范围为（0，+∞）．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点的判断，注意运用分类讨论的思想方法和函数方程的转化思想，考查化简整理的运算能力，属于难题．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK．根据等腰三角形AOB的性质知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，则AB是圆O的切线．（Ⅱ）设圆心为T，证明OT为AB的中垂线，OT为CD的中垂线，即可证明结论．【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，∴直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心．∵OA=OB，TA=TB，∴OT为AB的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT为CD的中垂线，∴AB∥CD．【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力．解答此题时，充分利用了等腰三角形“三合一”的性质．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QE：参数方程的概念．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）把曲线C1的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1是圆，化为一般式，结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ化为极坐标方程；（Ⅱ）化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，把C1与C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1﹣a2=0，则a值可求．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，②即（x﹣2）2+y2=4．由C3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x，∵曲线C1与C2的公共点都在C3上，∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，∴1﹣a2=0，∴a=1（a＞0）．【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．【考点】&2：带绝对值的函数；3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；（Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1时，当﹣1＜x＜时，当x≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x＜时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜，即有﹣1＜x＜或1＜x＜；当x≥时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或≤x＜3．综上可得，x＜或1＜x＜3或x＞5．则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题．。

2016高考全国1数学试卷及解析

2016高考全国1数学试卷及解析2016年高考全国1卷数学试卷及解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1. 题干解析：答案和解析2. 题干解析：答案和解析3. 题干解析：答案和解析4. 题干解析：答案和解析5. 题干解析：答案和解析6. 题干解析：答案和解析7. 题干解析：答案和解析解析：答案和解析9. 题干解析：答案和解析10. 题干解析：答案和解析11. 题干解析：答案和解析12. 题干解析：答案和解析二、非选择题（共8小题，每小题10分，共80分）13. 题干解析：答案和解析14. 题干解析：答案和解析15. 题干解析：答案和解析解析：答案和解析17. 题干解析：答案和解析18. 题干解析：答案和解析19. 题干解析：答案和解析20. 题干解析：答案和解析综合题（共4小题，每小题15分，共60分）21. 题干解析：答案和解析22. 题干解析：答案和解析23. 题干解析：答案和解析解析：答案和解析本文为2016年高考全国1卷数学试卷及解析，主要回顾了该试卷的选择题和非选择题部分，同时提供了答案和解析。

本文按照试卷的结构分为三个部分：选择题、非选择题和综合题。

在选择题部分，共有12道题目，每题5分，总分60分；非选择题部分共有8道题目，每题10分，总分80分；综合题部分共有4道题目，每题15分，总分60分。

在解析部分，对每一道题目都提供了详细的解答过程和答案，以帮助考生更好地理解和掌握相应的解题方法。

整篇文章以简洁美观的排版和流畅的语句呈现，以保证读者的阅读体验。

总的来说，本文通过对2016年高考全国1卷数学试卷的回顾和解析，旨在帮助考生更好地了解考试内容和解题思路，为备战高考提供实际的帮助和指导。

希望本文能为广大考生带来实际的帮助，并祝愿大家在高考中取得好成绩！。

2016年全国高考数学(理科)试题及答案-全国1卷(解析版)(可编辑修改word版)

23 绝密 ★ 启用前2016 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 1 卷）数学（理科）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页.2. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3. 全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. （1）设集合 A = {x x 2 - 4x + 3 < 0} ,{x 2x - 3 > 0} ,则 A B =（A ） ⎭⎭⎝ ⎭⎝【答案】D考点：集合的交集运算【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算.（2）设(1+ i)x = 1+ y i ,其中 x , y 实数,则 x + y i =（A ）1（B ）（C ）（D ）2【答案】B【解析】试题分析：因为 x (1+ i )=1+yi , 所以 x + xi =1+yi ,x =1,y = x = 1,|x + yi | =|1+i |=考点：复数运算2, 故选 B.【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查⎛ -3, - 3 ⎫ （B ） ⎛-3,3 ⎫ （C ） ⎛1,3 ⎫ （D ） ⎛ 3, 3⎫⎝ 2 ⎪ ⎝2 ⎪2 ⎪ 2 ⎪ ⎭频率较高的内容有：复数相等,复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是i 2= -1 中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性. （3）已知等差数列{a n } 前 9 项的和为 27, a 10 = 8 ,则 a 100 =（A ）100（B ）99 （C ）98 （D ）97【答案】C【解析】试题分析：由已知,⎧9a 1 + 36d = 27, 所以 a= -1, d = 1, a= a + 99d = -1+ 99 = 98, 故选 C.⎨⎩ a 1 + 9d = 811001考点：等差数列及其运算【名师点睛】我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.（4）某公司的班车在 7:00,8:00,8:30 发车,小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 1 1 2 3 （A ）（B ）（C ）（D ）3 2 3 4【答案】B考点：几何概型【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度由：长度、面积、体积等.-=（5）已知方程x2m2+ny23m2 -n1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是（A）(-1, 3) （B）(-1, 3 )（C）(0, 3) （D）(0, 3 )【答案】A考点：双曲线的性质【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题学生出现,主要考查双曲线几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c 不是c,这一点易出错.（6）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何28体的体积是,则它的表面积是3（A）7（B）8（C）20（D）28【答案】A【解析】试题分析：该几何体直观图如图所示：17 4 3 28 是一个球被切掉左上角的 ,设球的半径为R ,则V = ⨯ R =,解得R = 2 ,所以它的8 8 337表面积是的球面面积和三个扇形面积之和8 S = 7 ⨯ 4⨯ 22 +3 ⨯ 1⨯ 22 =17故选 A ． 8 4考点：三视图及球的表面积与体积【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键. （7）函数 y = 2x 2- e x 在[-2, 2]的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D考点：函数图像与性质【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中,也可以说是高考的热点问题,这类题目一般比较灵活,对解题能力要求较高,故也是高考中的难点,解决这类问题的方法一般是利用间接法,即由函数性质排除不符合条件的选项. （8）若a > b > 1，0 < c < 1,则（A）a c<b c（B）ab c<b a c（C）a log b c <b log a c （D）log a c < log b c【答案】C【解析】试题分析：用特殊值法,令a = 3 ,b = 2 , c =1 1 1 1 1得32 > 22 ,选项A 错误, 3⨯ 22 > 2 ⨯ 32 ,选项B 错21 1 1误, 3log2 2< 2 log32 ,选项C 正确, log3 2> log2 2 ,选项D 错误,故选C．考点：指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.（9）执行右面的程序框图,如果输入的x = 0，y =1，n =1,则输出x,y 的值满足（A）y = 2x（B）y = 3x（C）y = 4x（D）y = 5x【答案】C考点：程序框图与算法案例【名师点睛】程序框图基本是高考每年必考知识点,一般以客观题形式出现,难度不大,求解此类入入入入x,y,nx2+y2≥36入入入x,yn=n+1n-1x=x+2入y=ny323问题一般是把人看作计算机,按照程序逐步列出运行结果.(10) 以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A 、B 两点,交 C 的准线于 D 、E 两点.已知|AB |= 4,|DE|= 2 ,则 C 的焦点到准线的距离为(A)2(B)4 (C)6 (D)8【答案】B考点：抛物线的性质.【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.(11) 平面过正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 的顶点 A ,//平面 CB 1D 1,I B 1A 1=n ,则 m 、n 所成角的正弦值为平面 ABCD =m ,I平面 AB1 (A) (B ) (C) (D)2 2 33【答案】A【解析】25⎛试题分析：如图,设平面CB 1D 1 平面 ABCD = m ' ,平面CB 1D 1 平面 ABB 1 A 1 = n ' ,因为/ /平面CB 1D 1 ,所以 m / /m ', n / /n ' ,则 m , n 所成的角等于 m ', n ' 所成的角.延长 AD ,过 D 1 作D 1E / / B 1C ,连接CE , B 1D 1 ,则CE 为m ' ,同理 B 1F 1 为n ' ,而 BD / /CE , B 1F 1 / / A 1B ,则 m ', n ' 所成的角即为 A 1B , BD 所成的角,即为60︒ ,故 m , n 所成角的正弦值为3 ,选 A.2考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补.（12）.已知函数 f (x ) = sin(x +)(> 0， ≤), x = - 2 4为 f (x ) 的零点, x = 为 45⎫ y =f(x ) 图像的对称轴,且 f (x ) 在单调,则的最大值为， ⎪ ⎝ 18 36 ⎭（A ）11（B ）9 （C ）7 （D ）5【答案】B考点：三角函数的性质( ) ( )() ( ) ( )() x = x 或.( 1) ( )1【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查 f x = A sin x + A ≠ 0,≠ 0能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:① 的单调f x = A sinx + A ≠ 0,≠ 0区间长度是半个周期;②若的图像关于直线 0 对称,f ( x 0 ) = Af ( x 0 ) = - A第 II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22) 题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 3 小题,每小题 5 分(13)设向量 a =(m ,1),b =(1,2),且|a +b |2=|a |2+|b |2,则 m = .【答案】-2【解析】试题分析：由| a + b |2 =| a |2 + | b |2 ,得a ⊥ b ,所以 m ⨯1+1⨯ 2 = 0 ,解得 m = -2 .考点：向量的数量积及坐标运算【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公a = x , y ,b = x , y 式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若,则a ⋅b = x 1 y 1 + x 2 y 2 .(14) (2x +【答案】10x )5 的展开式中,x 3 的系数是 .（用数字填写答案）考点:二项式定理【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项T r +1 ,再确定r 的值,从而确定指定项系数.则( ) （15）设等比数列{a n } 满足 a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则 a 1a 2 …a n 的最大值为．【答案】64【解析】⎧a + a = 10⎧⎪a (1+ q 2 ) = 10⎧a 1 = 8 1 31 ⎪ 试题分析：设等比数列的公比为q ,由⎨a + a= 5 得, ⎨a q (1+ q 2) = 5 ,解得⎨q = 1 .所以 ⎩ 2 4 ⎩⎪ 1⎩⎪ 2a a a = a n q 1+2+ +(n -1) = 8n ⨯ 1 n (n -1) 2 - 1 n 2+ 7 n= 2 2 2 ,于是当 n = 3 或4 时, a a a 取得最大 1 2 n 1 21 2 n 值26 = 64 .考点：等比数列及其应用高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意方程思想及数列相关性质的应用, 尽量避免小题大做.（16）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg,乙材料 1kg,用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg,用 3 个工时．生产一件产品A 的利润为2100 元,生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150kg, 乙材料 90kg,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A 、产品 B 的利润之和的最大值为元．【答案】 216000作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.考点：线性规划的应用3 327 【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离, 解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算失误.三.解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分为 12 分）∆ABC 的内角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ,已知2 cos C (a cos B+b cos A ) = c .（I ）求 C ；（II ）若c =7, ∆ABC 的面积为,求 ABC 的周长．【答案】（I ） C =【解析】（II ） 5 + 31试题分析：（I ）先利用正弦定理进行边角代换化简得得cos C = ,故C =2；（II ）根据31ab sin C = 3 3 ．及C = 得 ab = 6 ．再利用余弦定理得 (a + b )2= 25 ．再根据c = 2 2 3可得∆AB C 的周长为5 + ．77EA( ) 考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,sin ( A + B ) = sin C , c os ( A + B ) = -cos C , tan A + B = - tan C,就是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边.”（18）（本小题满分为 12 分）如图,在以 A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,面 ABEF 为正方形,AF =2FD ,∠AFD = 90 ,且二面角 D -AF -E 与二面角 C -BE -F 都是60 ．（I ）证明：平面 ABEF ⊥ 平面 EFDC ；（II ）求二面角 E -BC -A 的余弦值．DCFB【答案】（I ）见解析（II ） - 19试题解析：（I ）由已知可得A F ⊥ DF , A F ⊥ F E ,所以A F ⊥ 平面E FDC ．又AF ⊂ 平面ABE F ,故平面ABE F ⊥ 平面E FDC ．（II ）过D 作DG ⊥ E F ,垂足为G ,由（I ）知DG ⊥ 平面ABE F ．G x以为坐标原点, GF 的方向为轴正方向, GF 为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系G - xyz ．由（I ）知∠DF E 为二面角D - A F - E 的平面角,故∠DF E = 60 ,则 DF = 2 , DGA (1, 4, 0) ,B (-3, 4, 0) , E (-3, 0, 0) , D (0, 0, 3) ．由已知, AB //E F ,所以AB // 平面E FDC ．又平面AB CD 平面E FDC = DC ,故AB //CD , CD//E F ．由BE //A F ,可得BE ⊥ 平面E FDC ,所以∠C E F 为二面角C - BE - F 的平面角,2 192016 高考数学（理科）试卷（全国1 卷） 3 ,可得n⋅mnmC = 0⎩∠C E F = 60 ．从而可得C(-2, 0, 3 )．所以E C=(1,0,3), EB=(0, 4, 0), A C =(-3, -4, 3 ), AB=(-4, 0,0)．设n =(x, y, z )是平面B C E的法向量,则⎧⎪n ⋅E⎧⎪x+3z=0⎨ ,即⎨,4 y = 0⎪⎩n⋅EB=0⎪⎩所以可取n=(3, 0, - 3 )．⎧m⋅A设m是平面AB CD的法向量,则⎪C = 0,⎪⎨m⋅AB= 0同理可取m=(0, 3, 4)．则cos n ,m ==-2 19．19故二面角E-B C -A的余弦值为-2 19．19考点：垂直问题的证明及空间向量的应用【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.第二问一般考查角度问题,多用空间向量解决.（19）（本小题满分12 分）某公司计划购买2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200 元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2 台机器三年内共需更换的易损零件数, n 表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数. （I）求X 的分布列；（II）若要求P( X ≤n) ≥ 0.5 ,确定n 的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n =19 与n = 20 之中选其一,应选用哪个？【答案】（I）见解析（II）19（III）n = 19【解析】试题分析：（I）先确定X 的取值分别为16,17,18,18,20,21,22,,再用相互独立事件概率模型求概率,然后写出分布列；（I I）通过频率大小进行比较；（III）分别求出n=9,n=20 的期望,根据n = 19 时所需费用的期望值小于n = 20 时所需费用的期望值,应选n = 19 .x y所以 X 的分布列为（Ⅱ）由（Ⅰ）知 P ( X ≤ 18) = 0.44 , P ( X ≤ 19) = 0.68 ,故n 的最小值为 19.（Ⅲ）记Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.当 n = 19 时, EY = 19 ⨯ 200 ⨯ 0.68 + (19 ⨯ 200 + 500) ⨯ 0.2 + (19 ⨯ 200 + 2 ⨯ 500) ⨯ 0.08+ (19 ⨯ 200 + 3⨯ 500) ⨯ 0.04 = 4040 .当 n = 20 时,EY = 20 ⨯ 200 ⨯ 0.88 + (20 ⨯ 200 + 500) ⨯ 0.08 + (20 ⨯ 200 + 2 ⨯ 500) ⨯ 0.04 = 4080 .可知当 n = 19 时所需费用的期望值小于 n = 20 时所需费用的期望值,故应选 n = 19 .考点：概率与统计、随机变量的分布列【名师点睛】本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有一定综合性但难度不是太大大,求解关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.（20）. （本小题满分 12 分）设圆 x 2 + y 2 + 2x -15 = 0 的圆心为 A ,直线 l 过点 B （1,0）且与 x轴不重合,l 交圆 A 于 C ,D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E .（I ）证明 EA + EB 为定值,并写出点 E 的轨迹方程；（II ）设点 E 的轨迹为曲线 C 1,直线 l 交 C 1 于 M ,N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P ,Q两点,求四边形 MPNQ 面积的取值范围.2 2【答案】（Ⅰ） + 4 3= 1（ y ≠ 0 ）（II ）[12,8 3)试题解析：（Ⅰ）因为| AD |=| AC | , EB // AC ,故∠EBD = ∠ACD = ∠ADC ,所以| EB |=| ED | ,故| EA | + | EB |=| EA | + | ED |=| AD | .k 2 + 1 42- ( 2)24k 2 + 3k 2 + 1 1 + 1 4k 2 + 3又圆 A 的标准方程为(x + 1)2 + y 2 = 16 ,从而| AD |= 4 ,所以| EA | + | EB |= 4 .由题设得 A (-1,0) , B (1,0) , | AB |= 2 ,由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为：x 2 + y 2= 1（ y ≠ 0 ）. 4 3（Ⅱ）当l 与 x 轴不垂直时,设l 的方程为 y = k (x - 1)(k ≠ 0) , M (x 1, y 1 ) , N (x 2 , y 2 ) .⎧ y = k (x - 1) ⎪ 由⎨ x 2 + y 2 =得(4k 2 + 3)x 2 - 8k 2 x + 4k 2 - 12 = 0 .⎪⎩ 4 1 38k 24k 2 - 12 则 x 1 + x 2 = 4k 2 + 3 , x 1x 2 = 4k 2 + 3 .所以| MN |= | x 1 - x 2 |=12(k 2 + 1)4k 2 + 3 .过点 B (1,0) 且与l 垂直的直线m ： y = - 1 (x - 1) , A 到m 的距离为k2,所以| PQ |= 2 = 4 .故四边形 MPNQ 的面积S = 1| MN || PQ |= 12 .2可得当l 与 x 轴不垂直时,四边形 MPNQ 面积的取值范围为[12,8 3) .当l 与 x 轴垂直时,其方程为 x = 1, | MN |= 3 , | PQ |= 8 ,四边形 MPNQ 的面积为 12.综上,四边形 MPNQ 面积的取值范围为[12,8 3) .考点：圆锥曲线综合问题【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成, .其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.（21）（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ) = ( x - 2) e x + a ( x -1)2有两个零点.(I) 求 a 的取值范围；1 + k 2k 2+ 1(II)设x1,x2是f (x)的两个零点,证明：x1 +x2 < 2 .【答案】(0, +∞)试题解析;（Ⅰ）f '(x) = (x -1)e x+ 2a(x -1) = (x -1)(e x+ 2a) ．（i）设a = 0 ,则f (x) = (x - 2)e x, f (x) 只有一个零点．（ii）设a > 0 ,则当x ∈(-∞,1) 时, f '(x) < 0 ；当x ∈ (1, +∞) 时, f '(x) > 0 ．所以f (x) 在(-∞,1) 上单调递减,在(1, +∞) 上单调递增．又f (1) =-e , f (2) =a ,取b 满足b < 0 且b < ln a ,则2a 2 2 3f (b) >(b - 2) +a(b -1) =a(b - b) > 0 ,2 2故f (x) 存在两个零点．（iii）设a < 0 ,由f '(x) = 0 得x = 1 或x = ln(-2a) ．若a ≥-e,则ln(-2a) ≤ 1 ,故当x ∈ (1, +∞) 时, f '(x) > 0 ,因此f (x) 在(1, +∞) 上单调递增．又2当x ≤ 1时, f (x) < 0 ,所以f (x) 不存在两个零点．若a <-e,则ln(-2a) > 1,故当x ∈(1, ln(-2a)) 时, f '(x) < 0 ；当x ∈(ln(-2a), +∞) 时,2f '(x) > 0 ．因此f (x) 在(1, ln(-2a)) 单调递减,在(ln(-2a), +∞) 单调递增．又当x ≤ 1时, f (x) < 0 ,所以f (x) 不存在两个零点．综上, a 的取值范围为(0, +∞) ．D CO考点：导数及其应用【名师点睛】,对于含有参数的函数单调性、极值、零点问题,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；,解决函数不等式的证明问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.请考生在22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分10 分）选修4-1：几何证明选讲1如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB=120°.以O 为圆心, OA 为半径作圆.2(I)证明：直线AB 与 O 相切；(II)点C,D 在⊙O 上,且A,B,C,D 四点共圆,证明：AB∥CD.A B【答案】(I)见解析(II)见解析DCO O' E⎩试题解析：（Ⅰ）设 E 是 AB 的中点,连结OE ,因为OA = OB , ∠AOB = 120︒,所以OE ⊥ AB , ∠AOE = 60︒ ．在 Rt ∆AOE 中, OE = 1AO ,即O 到直线 AB 的距离等于圆O 的半径,所以直线 AB 与⊙ O 相2切．A B（Ⅱ）因为OA = 2OD ,所以O 不是 A , B , C , D 四点所在圆的圆心,设O ' 是 A , B , C , D 四点所在圆的圆心,作直线OO '．由已知得O 在线段 AB 的垂直平分线上,又O ' 在线段 AB 的垂直平分线上,所以OO ' ⊥AB ．同理可证, OO ' ⊥ CD ．所以 AB // CD ．考点：四点共圆、直线与圆的位置关系及证明【名师点睛】近几年几何证明题多以圆为载体命制,在证明时要抓好“长度关系”与“角度关系的转化”,熟悉相关定理与性质.该部分内容命题点有：平行线分线段成比例定理；三角形的相似与性质；四点共圆；圆内接四边形的性质与判定；切割线定理. （23）（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系 x O y 中,曲线 C 1 ⎧x = a cos t 的参数方程为⎨y = 1+ a sin t（t 为参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 2：ρ= 4 cos .（I ）说明 C 1 是哪一种曲线,并将 C 1 的方程化为极坐标方程；（II ）直线 C 3 的极坐标方程为=0 ,其中0 满足 tan 0 =2,若曲线 C 1 与 C 2 的公共点都在 C 3 上,求 a ．【答案】（I ）圆, 2 - 2sin + 1 - a 2 = 0 （II ）12⑵ C ：= 4cos ,两边同乘得 2 = 4cos 2 = x 2 + y 2 ，cos = x∴ x 2 + y 2 = 4x ,即( x - 2)2 + y 2 = 4②C 3 ：化为普通方程为 y = 2x ,由题意： C 1 和C 2 的公共方程所在直线即为C 3①—②得： 4x - 2 y + 1 - a 2 = 0 ,即为C∴1 - a 2 = 0 ,∴ a = 1考点：参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用.（24）（本小题满分 10 分）,选修 4—5：不等式选讲已知函数 f ( x ) = x +1 - 2x - 3 .（I ）在答题卡第（24）题图中画出 y =f ( x) 的图像；（II ）求不等式 f ( x ) > 1 的解集．3⎛-∞ 1 ⎫【答案】（I）见解析（II），⎪ (1，3) (5 ，+∞)⎝ 3 ⎭试题解析：⑴如图所示：考点：分段函数的图像,绝对值不等式的解法【名师点睛】不等式证明选讲多以绝对值不等式为载体命制试题,主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等.解决此类问题通常转换为分段函数求解,注意不等式的解集一定要写出集合形式.。

2016年高考全国卷一文科数学试题及答案

2016年普通高等学校招生全国统一考试全国卷一文科数学一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合,，则（A ）｛1，3} (B ）{3,5｝（C ）｛5,7｝ (D){1，7} （2）设的实部与虚部相等,其中a 为实数，则a=(A ）－3 (B)－2 (C ）2 (D ）3（3)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(A ）（B) (C ）（D ）（4)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知，,，则b=（A ）（B ）(C ）2 (D ）3（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的l 距离为其短轴长的41，则该椭圆的离心率为 (A)31 (B ）21 （C ）32 (D ）43（6）若将函数y =2sin (2x +6π)的图像向右平移41个周期后,所得图像对应的函数为 (A ）y =2sin(2x +4π）（B ）y =2sin （2x +3π) (C ）y =2sin （2x –4π) （D ）y =2sin （2x –3π)(7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径。

若该几何体的体积是328π,则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π（8）若a>b>0，0〈c<1，则(A)log a c<log b c （B）log c a<log c b （C）a c〈b c （D)c a〉c b（9）函数y=2x2–e｜x｜在[–2,2]的图像大致为(A）（B）（C）（D)（10）执行右面的程序框图,如果输入的n=1，则输出的值满足（A）（B）(C) (D ）（11）平面过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，, ,，则m ，n 所成角的正弦值为（A) (B) （C ） (D ）(12）若函数在单调递增，则a 的取值范围是（A ）（B ）（C ）（D ）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分(13）设向量a =（x ，x +1)，b =(1，2)，且a b ，则x =（14）已知θ是第四象限角，且sin （θ+）=，则tan(θ–）= .（15）设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay —2=0相交于A ,B 两点，若32AB ，则圆C 的面积为（16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。

2016年全国高考理科数学及答案

2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（）．A ．3(3,)2--B ．3(3,)2-C ．3(1,)2D ．3(,3)22．设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +（）．A ．1BC D ．23．已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （）．A ．100B ．99C ．98D ．974．某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）． A ．13B ．12C ．23D ．345．已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（）．A ．(1,3)-B -1（C ．0,3（）D ．0（ 6．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（）． A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π7．函数2||-=2x y x e 在[]-2,2的图像大致为（）．A ．B ．C ．D ．8．若1a b >>，01c <<，则（）． A ．c c a b <B ．c c ab ba <C ．log log b a a c b c <D ．log log a b c c <9.执行右面的程序图，如果输入的0x =，1y =,1n =则输出x ，y 的值满足（）．A ．2y x =B ．3y x =C ．4y x =D ．5y x =10．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的标准线于D 、E 两点.已知AB =，DE =C 的焦点到准线的距离为（）．A ．2B ．4C ．6D ．811．平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，α∥平面11CB D ，αI 平面ABCD m =，αI平面11ABA B n =，则m ，n 所成角的正弦值为（）．A B C D ．1312．已知函数()sin()(0f x x+ωϕω=>，)2πϕ≤，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调，则ω的最大值为（）． A ．11B ．9C ．7D ．5第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分13．设向量)=(1a m ，，=2(1)b ，，且222=a b a b++，则m =__________．14．5(2x +的展开式中，3x 的系数是__________．（用数字填写答案） 15．设等比数列满足1310a a +=，245a a +=，则12n a a a ⋯的最大值为__________．16．某高科技企业生产产品A 和产品B ,需要甲、乙两种新型材料。

2016年高考理科数学全国卷1-答案

【提示】（Ⅰ）设为中点，连结，根据等腰三角形的性质知，，，则是圆的切线；
（Ⅱ）设圆心为，证明为的中垂线，为的中垂线，即可证明结论．
【考点】圆的切线的判定定理的证明
23.【答案】（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，，
为以为圆心，以为半径的圆，化为一般式 ①，
由，，
得；
【考点】简单曲线的极坐标方程，参数方程的概念
24.【答案】（Ⅰ），由分段函数的图象画法，可得的图象，如图：
（Ⅱ）由，可得，当时，，解得或，即有；
当时，，解得或，即有或；
当时，，解得或，即有或．
综上可得，或或．
则的解集为
【提示】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；
【提示】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据不为0求出的值，即可确定出出的度数；
（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出的值，即可求的周长．
【考点】解三角形
18.【答案】（Ⅰ）为正方形，
，
，
，
，
平面，
平面，
平面平面；
10.【答案】B
【解析】设抛物线为，如图：，，，，，，，，解得，的焦点到准线的距离为4．
【提示】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．
【考点】圆与圆锥曲线的综合，抛物线的简单性质
11.【答案】A
【解析】如图，平面，平面，平面，可知：，，是正三角形，、所成角就是，则、所成角的正弦值为．

2016年高考理科数学全国1卷--附答案

2016年高考数学全国1卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣） B．（﹣3，） C．（1，）D ．（，3）2．设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1 B ． C ． D．23．已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100 B．99 C．98 D．974．某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A ．B ．C ．D ．5．已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3） B．（﹣1，） C．（0，3） D．（0，）6．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17π B．18πC．20π D．28π7．函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A ．B ．C．D ．8．若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba c C．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．执行如图的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x10．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．811．平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A ．B ．C ．D ．12．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x ）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m= ．14．（2x+）5的展开式中，x3的系数是．（用数字填写答案）15．设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为．16．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B 的利润之和的最大值为元．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC 的面积为，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D ﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．19．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？20．（12分）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O 为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．2016年高考数学全国1卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3），B={x|2x﹣3＞0}=（，+∞），∴A∩B=（，3），故选：D2．【解答】解：∵（1+i）x=1+yi，∴x+xi=1+yi ，即，解得，即|x+yi|=|1+i|=，故选：B．3．【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和为27，S9===9a5．∴9a5=27，a5=3，又∵a10=8，∴d=1，∴a100=a5+95d=98，故选：C4．【解答】解：设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故P==，故选：B5．【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2，当焦点在x轴上时，可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1，∵方程﹣=1表示双曲线，∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）．当焦点在y轴上时，可得：﹣4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=﹣1，无解．故选：A．6．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π?22+=17π．故选：A．7．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D8．【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴函数f（x）=x c在（0，+∞）上为增函数，故a c＞b c，故A错误；函数f（x）=x c﹣1在（0，+∞）上为减函数，故a c﹣1＜b c﹣1，故ba c＜ab c，即ab c＞ba c；故B错误；log a c＜0，且log b c＜0，log a b＜1，即=＜1，即log a c＞log b c．故D错误；0＜﹣log a c＜﹣log b c，故﹣blog a c＜﹣alog b c，即blog a c＞alog b c，即alog b c＜blog a c，故C正确；故选：C 9．【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y2≥36，故y=4x，故选：C10．【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4，|AM|=2，|DE|=2，|DN|=，|ON|=，x A ==，|OD|=|OA|，=+5，解得：p=4．C的焦点到准线的距离为：4．故选：B．11．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n 所成角的正弦值为：．故选：A．12．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x ）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x ）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x ）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.13．【解答】解：|+|2=||2+||2，可得?=0．向量=（m，1），=（1，2），可得m+2=0，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．14．【解答】解：（2x+）5的展开式中，通项公式为：T r+1==25﹣r，令5﹣=3，解得r=4∴x3的系数2=10．故答案为：10．15．【解答】解：等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q（a1+a3）=5，解得q=．a1+q2a1=10，解得a1=8．则a1a2…a n=a1n?q1+2+3+…+（n﹣1）=8n ?==，当n=3或4时，表达式取得最大值：=26=64．故答案为：64．16．【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．故答案为：216000．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab?，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．18．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF?平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角；由ABEF为正方形，AF⊥平面EFDC，∵BE⊥EF，∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE，可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB?平面EFDC，EF?平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB?平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF，∴四边形EFDC为等腰梯形．以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，则E（0，0，0），B（0，2a，0），C （，0，a），A（2a，2a，0），∴=（0，2a，0），=（，﹣2a ，a ），=（﹣2a，0，0）设平面BEC 的法向量为=（x1，y1，z1），则，则，取=（，0，﹣1）．设平面ABC 的法向量为=（x2，y2，z2），则，则，取=（0，，4）．设二面角E﹣BC﹣A的大小为θ，则cosθ===﹣，则二面角E﹣BC﹣A 的余弦值为﹣．19．【解答】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，P（X=16）=（）2=，P（X=17）=，P（X=18）=（）2+2（）2=，P（X=19）==，P（X=20）===，P（X=21）==，P（X=22）=，∴X的分布列为：X 16 17 18 19 20 21 22P（Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（X≤18）=P （X=16）+P（X=17）+P（X=18）==．P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值为19．（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．买19个所需费用期望：EX1=200×+（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500×3）×=4040，买20个所需费用期望：EX2=+（200×20+500）×+（200×20+2×500）×=4080，∵EX1＜EX2，∴买19个更合适．解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当n=19时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040，当n=20时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.4=4080，∴买19个更合适．20．【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x2+y2+2x﹣15=0即为（x+1）2+y2=16，可得圆心A（﹣1，0），半径r=4，由BE∥AC，可得∠C=∠EBD，由AC=AD，可得∠D=∠C，即为∠D=∠EBD，即有EB=ED，则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且有2a=4，即a=2，c=1，b==，则点E 的轨迹方程为+=1（y≠0）；（Ⅱ）椭圆C1：+=1，设直线l：x=my+1，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），由可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2=﹣，y1y2=﹣，则|MN|=?|y1﹣y2|=?=?=12?，A到PQ的距离为d==，|PQ|=2=2=，则四边形MPNQ面积为S=|PQ|?|MN|=??12?=24?=24，当m=0时，S取得最小值12，又＞0，可得S＜24?=8，即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8）．21．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，∴f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①若a=0，那么f（x）=0?（x﹣2）e x=0?x=2，函数f（x）只有唯一的零点2，不合题意；②若a＞0，那么e x+2a＞0恒成立，当x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数；当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数；此时当x=1时，函数f（x）取极小值﹣e，由f（2）=a＞0，可得：函数f（x）在x＞1存在一个零点；当x＜1时，e x＜e，x﹣2＜﹣1＜0，∴f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2=a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e，令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e=0的两根为t1，t2，且t1＜t2，则当x＜t1，或x＞t2时，f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0，故函数f（x）在x＜1存在一个零点；即函数f（x）在R是存在两个零点，满足题意；③若﹣＜a＜0，则ln（﹣2a）＜lne=1，当x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1=0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当ln（﹣2a）＜x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x=ln（﹣2a）时，函数取极大值，由f（ln（﹣2a））=[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2=a{[ln（﹣2a）﹣2]2+1}＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；④若a=﹣，则ln（﹣2a）=1，当x＜1=ln（﹣2a）时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故函数f（x）在R上单调递增，函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；⑤若a ＜﹣，则ln（﹣2a）＞lne=1，当x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当1＜x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x=1时，函数取极大值，由f（1）=﹣e＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a的取值范围为（0，+∞）证明：（Ⅱ）∵x1，x2是f（x）的两个零点，∴f（x1）=f（x2）=0，且x1≠1，且x2≠1，∴﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，∵g′（x）=，∴当x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；设m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=﹣=，设h（m）=，m＞0，则h′（m）=＞0恒成立，即h（m）在（0，+∞）上为增函数，h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，则g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）?g（2﹣x1）＞g（x1）=g（x2）?2﹣x1＞x2，即x1+x2＜2．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，∴直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心．∵OA=OB，TA=TB，∴OT为AB的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT为CD的中垂线，∴AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，②即（x﹣2）2+y2=4．由C3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x，∵曲线C1与C2的公共点都在C3上，∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，∴1﹣a2=0，∴a=1（a＞0）．[选修4-5：不等式选讲]24．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x＜时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜，即有﹣1＜x＜或1＜x＜；当x≥时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或≤x＜3．综上可得，x＜或1＜x＜3或x＞5．则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．。

2016年全国各地高考数学试题及解答分类大全(导数及其应用)

（II）当 a b 4 时， f x x3 4x2 4x c ，所以 f x 3x2 8x 4 ．
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令 f x 0 ，得 3x2 8x 4 0 ，解得 x 2 或 x 2 ．
3
f x 与 f x 在区间 , 上的情况如下：
x
f x
（I）求曲线 y f x.在点 0, f 0 处的切线方程；
（II）设 a b 4 ，若函数 f x 有三个不同零点，求 c 的取值范围；
（III）求证： a2 3b＞0 是 f x.有三个不同零点的必要而不充分条件.
【答案】（Ⅰ）
y
bx
c
;（Ⅱ）
c
0,
32 27
;（III）见解析.
ln x, 0 x 1,
4.（2016 四川文、理）设直线 l1，l2 分别是函数 f(x)= ln x, x 1,
图象上点 P1，P2 处的切线，
l1 与 l2 垂直相交于点 P，且 l1，l2 分别与 y 轴相交于点 A，B，则△PAB 的面积的取值范围是（）
（A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+∞) （D）(1,& BPD 30 .
过 P 作直线 BD 的垂线，垂足为 O .设 PO d
则
SPBD
1 2
BD d
1 2
PD
PB sin
BPD ，
即 1 x2 2 3x 4 d 1 x 2sin 30 ，解得 d
x
.
2
2
x2 2 3x 4
而 BCD 的面积 S 1 CD BC sin BCD 1 (2 3 x) 2 sin 30 1 (2 3 x) .
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2016年高考数学全国I卷+答案解析

【详细解答】排除法：当 p 4 时，不妨令抛物线方程为 y 2 8x ，当 y 2 2 时， x 1 ，即 A 点坐标为（1， 2 2 ），所以圆的半径为 r 3 ，此时 D 点坐标为（-2， 5 ），符合题意，故 B 选项正确.
p 解法 2：不妨令抛物线方程为 y 2 px ，D 点坐标为（， 5 ），则圆的半径为 r 2
f ( x) loga x 的图像越靠近 x 轴，当 0 c 1 时， loga c logb c ，故 D 选项错误； abc bac 可化为
a a ( ) c ，由指数函数知，当 a 1 时， f ( x) a x 在 (0, ) 上递增，故 B 选项错误；a logb c b loga c 可 b b
【试题评析】考察三视图还原，球的体积表面积计算，经常考察，难易程度：中等. （7）函数 y 2 x2 e 在 [2, 2] 的图像大致为
x
（A）
（B ）
（C）【答案】D
（D）
2
【详细解答】解法 1（排除法）： f ( x) 2 x2 e 为偶函数，且
x
f (2) 8 e2 8 7.4 0.6 ，故选 D..
化为 log
1 ba
c log 1 c ，1 b a b b a b ，故 C 选项正确.
ab
1
1
1
【试题评析】本题综合考察幂函数、指数函数、对数函数的性质和不等式的性质，属于常考题型，难易程度：中等. 结合函数性质证明不等式是比较麻烦的，最好采用特殊值法验证排除.
，n 1 ，则输出 x，y 的值满足（9）执行右面的程序图，如果输入的 x 0，y 1

2016全国高考数学试题及答案

2016全国高考数学试题及答案【篇一：2016年高考全国卷(一)理科数学试题及答案】>试题类型：a2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合a?{x|x?4x?3?0}，b?{x|2x?3?0}，则a?b? 23333(?3,?)(1,)(,3)(?3,)2（b）2（c）2（d）2（a）（2）设(1?i)x?1?yi，其中x，y是实数，则x?yi=（a）1（bcd）2（3）已知等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，则a100=（a）100（b）99（c）98（d）97（4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.科网小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（a）1123（b）（c）（d） 3234x2y2??1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（5）已知方程22m?n3m?n（a）(–1,3) （b）(–3) （c）(0,3) （d）3)（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（7）函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为（a）（b）（c）（d）0?c?1，则（8）若a?b?1，（a）ac?bc（b）abc?bac（c）alogbc?blogac（d）logac?logbc（9）执行右面的程序图，如果输入的x?0，y?1，n?1，则输出x，y的值满足（a）y?2x（b）y?3x（c）y?4x（d）y?5x(10)以抛物线c的顶点为圆心的圆交c于a、b两点，交c的标准线于d、e两点.已知|ab|=|de|=则c的焦点到准线的距离为(a)2(b)4(c)6(d)8(11)平面a过正方体abcd-a1b1c1d1的顶点a，a//平面cb1d1，a?平面abcd=m，a?平面aba1b1=n，则m、n所成角的正弦值为1b)(d) 32?12.已知函数f(x)?sin(?x+?)(??0?2),x???4为f(x)的零点，x??4为y?f(x)图像的对称轴，且f(x)在???5???单调，则?的最大值为 1836??（a）11 （b）9 （c）7 （d）5第ii卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=__________.(14)(2x5的展开式中，x3的系数是_________.（用数字填写答案）满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为____________。

2016全国卷高考数学试题及答案

2016年高考题全国Ⅰ卷文数题干+解析1.(2016·全国Ⅰ卷,文1)设集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B等于( B )(A){1,3} (B){3,5} (C){5,7} (D){1,7}解析:集合A与集合B公共元素有3,5,故A∩B={3,5},选B.2.(2016·全国Ⅰ卷,文2)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a等于( A )(A)-3 (B)-2 (C)2 (D)3解析:(1+2i)(a+i)=a-2+(1+2a)i,由已知,得a-2=1+2a,解得a=-3,选A.3.(2016·全国Ⅰ卷,文3)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( C ) (A)(B)(C)(D)解析:将4种颜色的花中任选两种种在一个花坛中,余下2种种在另一个花坛,有6种种法,其中红色和紫色不在一个花坛的种数有4种,故概率为,选C.4.(2016·全国Ⅰ卷,文4)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cos A=,则b等于( D )(A)(B)(C)2 (D)3解析:由余弦定理得5=b2+4-2×b×2×,解得b=3(b=-舍去),选D.5.(2016·全国Ⅰ卷,文5)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为( B )(A)(B)(C)(D)解析:设椭圆方程为+=1(a>b>0)(-c,0),B(0,b)F1点O到直线l的距离为OM,则OM=.O中,=sin 30°,=,所以∠OBM=30°,在△BF1所以e=.故选B.6.(2016·全国Ⅰ卷,文6)若将函数y=2sin(2x+)的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为( D )(A)y=2sin(2x+) (B)y=2sin(2x+)(C)y=2sin(2x-) (D)y=2sin(2x-)解析:因为T==π,=,所以y=2sin(2x+)y=2sin[2(x-)+],所以y=2sin(2x-).故选D.7.(2016·全国Ⅰ卷,文7)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是( A )(A)17π(B)18π(C)20π(D)28π解析:因为·πR3=π,所以R=2.S=·4π·R2+3·πR2=17π,故选A.8.(2016·全国Ⅰ卷,文8)若a>b>0,0<c<1,则( B )(A)loga c<logbc (B)logca<logcb(C)a c<b c (D)c a>c b 解析:由题意令a=4,b=2,c=.A选项:loga c=-,logbc=-1,logac>logbc,A错误.B选项:logc a=-2,logcb=-1,logca<logcb,B正确.同理C,D选项错误,故选B.9.(2016·全国Ⅰ卷,文9)函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图象大致为( D )解析:结合图象f(-x)=f(x),函数为偶数,在[0,2]区间内,f(x)=2x2-e x,f′(x)=4x-e x.当0<x<时,f′(x)<0.当<x<2时,f′(x)>0.得出f(x)在(0,)上为减函数,在(,2)上为增函数.故选D.10.(2016·全国Ⅰ卷,文10)执行如图所示的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y 的值满足( C )(A)y=2x (B)y=3x (C)y=4x (D)y=5x 解析:当x=0,y=1,n=1,x=0,y=1,x2+y2=1<36,当n=2时,x=,y=2,x2+y2<36,当n=3时,x=+=,y=2×3=6,x2+y2>36,输出x=,y=6,令y=kx,得k=4,所以y=4x.故选C.11.(2016·全国Ⅰ卷,文11)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( A )(A) (B) (C)(D)解析:在正方体ABCD A1B1C1D1中,由题意,直线m∥BD,直线n∥A1B,则△A1DB为等边三角形,∠DBA1=60°,sin 60°=,所以m,n所成角的正弦值为,故选A.12.(2016·全国Ⅰ卷,文12)若函数f(x)=x-sin 2x+asin x在(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是( C )(A)[-1,1] (B)[-1,](C)[-,] (D)[-1,-]解析:排除法:令a=-1,f(x)=x-sin 2x-sin x=x-sin xcos x-sin x,f′(x)=-cos 2x-cos x=-(cos x+)2,当cos x=1时,f′(x)=-<0,因为f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,所以f′(x)>0在(-∞,+∞)上恒成立,所以a=-1不正确,排除A,B,D.故选C.13.(2016·全国Ⅰ卷,文13)设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x= .解析:因为a⊥b,所以a·b=(x,x+1)·(1,2)=x+2x+2=0,x=-.答案:-14.(2016·全国Ⅰ卷,文14)已知θ是第四象限角,且sin(θ+)=,则tan(θ-)= .解析:因为θ+-(θ-)=,所以(θ-)=.因为θ在第四象限,所以sin(θ-)=-,tan(θ-)==-.答案:-15.(2016·全国Ⅰ卷,文15)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的面积为.解析:因为x2+y2-2ay-2=0,所以x2+(y-a)2=2+a2,点(0,a)到直线y=x+2a的距离h==.2+a2-=3,所以a2=2,所以r2=2+a2=4,圆面积S=πr2=4π.答案:4π16.(2016·全国Ⅰ卷,文16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.解析:设生产A产品x件,B产品y件,产品A,B的利润之和为z.则z=2 100x+900y.画出可行域.解得所以z=2 100×60+900×100=216 000,所以生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216 000元. 答案:216 00017.(本小题满分12分)(2016·全国Ⅰ卷,文17)已知{an }是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b 1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求{an}的通项公式;(2)求{bn}的前n项和.解:(1)由已知a1b2+b2=b1,b1=1,b2=,得a1=2.所以数列{an }是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1.(2)由(1)和an bn+1+bn+1=nbn得bn+1=,因此{bn}是首项为1,公比为的等比数列.记{bn}的前n项和为Sn,则Sn==-.18.(本小题满分12分)(2016·全国Ⅰ卷,文18)如图,在已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.(1)证明G是AB的中点;(2)作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.解:(1)因为P在平面ABC内的正投影为D,所以AB⊥PD.因为D在平面PAB内的正投影为E,所以AB⊥DE.所以AB⊥平面PED,故AB⊥PG.又由已知可得PA=PB,从而G是AB的中点.(2)在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.理由如下:由已知可得PB⊥PA,PB⊥PC,又EF∥PB,所以EF⊥PA,EF⊥PC,因此EF⊥平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影.连接CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心.由(1)知,G是AB的中点,所以D在CG上,故CD=CG.由题设可得PC⊥平面PAB,DE⊥平面PAB,所以DE∥PC,因此PE=PG,DE=PC.由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=2.在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2.所以四面体PDEF的体积V=××2×2×2=.19.(本小题满分12分)(2016·全国Ⅰ卷,文19)某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰,机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件,得下面柱状图:记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.(1)若n=19,求y与x的函数解析式;(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?解:(1)当x≤19时,y=3 800;当x>19时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700.所以y与x的函数解析式为y=(x∈N).(2)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最小值为19.(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800元,20台的费用为4 300元,10台的费用为4 800元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000元.若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000元,10台的费用为4 500元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(4 000×90+4 500×10)=4 050元.比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.20.(本小题满分12分)(2016·全国Ⅰ卷,文20)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.(1)求;(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.解:(1)由已知得M(0,t),P(,t).又N为M关于点P的对称点,故N(,t),ON的方程为y=x,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=,因此H(,2t),所以N为OH的中心,即=2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.理由如下: 直线MH的方程为y-t=x,即x=(y-t).代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.21.(本小题满分12分)(2016·全国Ⅰ卷,文21)已知函数f(x)=(x-2)e x+a(x-1)2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.解:(1)f′(x)=(x-1)e x+2a(x-1)=(x-1)(e x+2a).①设a≥0,则当x∈(-∞,1)时,f′(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0.所以f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.②设a<0,由f′(x)=0得x=1或x=ln(-2a).③若a>-,则ln(-2a)<1,故当x∈(-∞,ln(-2a))∪(1,+∞)时,f′(x)>0;当x∈(ln(-2a),1)时,f′(x)<0,所以f(x)在(-∞,ln(-2a)),(1,+∞)上单调递增,在(ln(-2a),1)上单调递减.④若a<-,则ln(-2a)>1,故当x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)时,f′(x)>0;当x∈(1,ln(-2a))时,f′(x)<0,所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)单调递增,在(1,ln(-2a))单调递增. (2)①设a>0,则由(1)知,f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.又f(1)=-e,f(2)=a,取b满足b<0且<ln,则f(b)>(b-2)+a(b-1)2=a(b2-b)>0,所以f(x)有两个零点.②设a=0,则f(x)=(x-2)e x,所以f(x)只有一个零点.③设a<0,若a≥-,则由(1)知,f(x)在(1,+∞)上单调递增.又当x≤1时f(x)<0,故f(x)不存在两个零点;若a<-,则由(1)知,f(x)在(1,ln(-2a))上单调递减,在(ln(-2a),+∞)上单调递增.又当x≤1时f(x)<0,故f(x)不存在两个零点.综上,a的取值范围为(0,+∞).22.(本小题满分10分)(2016·全国Ⅰ卷,文22)(选修4-1:几何证明选讲)如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以☉O为圆心,OA为半径作圆.(1)证明:直线AB与☉O相切;(2)点C,D在☉O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:AB∥CD.解:(1)设E是AB的中点,连接OE.因为OA=OB,∠AOB=120°,所以OE⊥AB,∠AOE=60°.在Rt△AOE中,OE=AO,即O到直线AB的距离等于☉O半径,所以直线AB与☉O相切.(2)因为OA=2OD,所以O不是A,B,C,D四点所在圆的圆心.设O′是A,B,C,D四点所在圆的圆心,作直线OO′.由已知得O在线段AB的垂直平分线上,又O′在线段AB的垂直平分线上,所以OO′⊥AB. 同理可证,OO′⊥CD,所以AB∥CD.23.(本小题满分10分)(2016·全国Ⅰ卷,文23)(选修44:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2: =4cos .(1)说明C1是哪种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为=a,其中a满足tan a=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.解:(1)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a2=0,解得a=1,a=1(舍去).a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C2上,所以a=1.24.(本小题满分10分)(2016·全国Ⅰ卷,文24)(选修45:不等式选讲)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)求不等式|f(x)|>1的解集.解:(1)f(x)=y=f(x)的图象如图所示.(2)由f(x)的表达式及图象,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=或x=5,故f(x)>1的解集为{x|1<x<3};f(x)<-1的解集为{x x<或x>5}.所以|f(x)|>1的解集为{x x<或1<x<3或x>5}.2016年普通高等学校招生全国统一考试Ⅱ文科数学第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2016·全国Ⅱ卷,文1)已知集合A={1,2,3},B={x|x2<9},则A∩B等于( D )(A){-2,-1,0,1,2,3} (B){-2,-1,0,1,2}(C){1,2,3} (D){1,2}解析:B={x|-3<x<3},A∩B={1,2}.故选D.2.(2016·全国Ⅱ卷,文2)设复数z满足z+i=3-i,则等于( C )(A)-1+2i (B)1-2i(C)3+2i (D)3-2i解析:z=3-2i,=3+2i.故选C.3.(2016·全国Ⅱ卷,文3)函数y=Asin(ωx+ϕ)的部分图像如图所示,则( A )(A)y=2sin(2x-)(B)y=2sin(2x-)(C)y=2sin(x+)(D)y=2sin(x+)解析:T=2(+)=π=得ω=2,A=2.当x=时,y=2sin(2x+ϕ)=2,+ϕ=+2kπ,k∈Z,ϕ=-+2kπ,k∈Z.故选A.4.(2016·全国Ⅱ卷,文4)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( A )(A)12π(B)π(C)8π(D)4π解析:由题知正方体棱长为2,球的直径为2,半径R=,则球的表面积S=4πR2=12π.故选A.5.(2016·全国Ⅱ卷,文5)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x 轴,则k等于( D )(A)(B)1 (C)(D)2解析:由题P(1,2),2=k.故选D.6.(2016·全国Ⅱ卷,文6)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a等于( A )(A)-(B)-(C)(D)2解析:同全国Ⅱ理4解析.7.(2016·全国Ⅱ卷,文7)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( C )(A)20π(B)24π(C)28π(D)32π解析:几何体的表面积为S=π·2×+2π·2×4+π22=8π+16π+4π=28π.故选C.8.(2016·全国Ⅱ卷,文8)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( B )(A)(B)(C)(D)解析:由题至少等15秒遇绿灯的概率为P==.故选B.9.(2016·全国Ⅱ卷,文9)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s等于( C )(A)7 (B)12 (C)17 (D)34解析:由输入x=2,n=2.k=0,S=0,a=2,则S=2,k=1<n,再输入a=2,得S=6,k=2=n,再输入a=5,得S=17,k=3>n,输出S=17.故选C.10.(2016·全国Ⅱ卷,文10)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是( D )(A)y=x (B)y=lg x(C)y=2x(D)y=解析:由y=10lg x定义域值域均为(0,+∞),与D符合.故选D.11.(2016·全国Ⅱ卷,文11)函数f(x)=cos 2x+6cos(-x)的最大值为( B )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析:f(x)=1-2sin2x+6sin x=-2(sin2x-3sin x)+1=-2[(sin x-)2-]+1=-2(sin x-)2+.当sin x=1时,f(x)max=5.故选B.12.(2016·全国Ⅱ卷,文12)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则xi等于( B )(A)0 (B)m (C)2m (D)4m解析:由题y=f(x)与y=|x2-2x-3|均关于x=1对称.则两函数交点个数m为偶数.=×2=m.故选B.第Ⅱ卷二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.(2016·全国Ⅱ卷,文13)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m= .解析:由题-2m+12=0,m=6.答案:614.(2016·全国Ⅱ卷,文14)若x,y满足约束条件则z=x-2y的最小值为.解析:由线性约束条件得可行域如图则z=x-2y在B(3,4)处取得最小值为3-2×4=-5.答案:-515.(2016·全国Ⅱ卷,文15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=, cos C=,a=1,则b= .解析:解析:由题sin A=,sin C=,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=×+×=.则由=得b===.答案:16.(2016·全国Ⅱ卷,文16)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3,甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是.解析:设三张卡片分别为A(1,2),B(1,3),C(2,3),由丙得数字和不是5,则丙的卡片可能为A或B.若丙为A(1,2),则乙为C(2,3),甲为B(1,3)合题,若丙为B(1,3),则甲、乙为相同数字2,不合题.答案:1,3三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2016·全国Ⅱ卷,文17)等差数列{an }中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn =[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.解:(1)设数列{an }的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3.解得a1=1,d=.所以{an }的通项公式为an=.(2)由(1)知,bn=[].当n=1,2,3时,1≤<2,bn=1;当n=4,5时,2≤<3,bn=2;当n=6,7,8时,3≤<4,bn=3;当n=9,10时,4≤<5,bn=4.所以数列{b}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.n18.(本小题满分12分)(2016·全国Ⅱ卷,文18)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出0 1 2 3 4 ≥5险次数保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:出险次数0 1 2 3 4 ≥5频数60 50 30 30 20 10(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值;(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值;(3)求续保人本年度平均保费的估计值.解:(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2,由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为=0.55,故P(A)的估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4,由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为=0.3,故P(B)的估计值为0.3.(3)由所给数据得保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a.因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.19.(本小题满分12分)(2016·全国Ⅱ卷,文19)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD 上,AE=CF,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.(1)证明:AC⊥HD′;(2)若AB=5,AC=6,AE=,OD′=2,求五棱锥D′-ABCFE的体积.(1)证明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.又由AE=CF得=,故AC∥EF.由此得EF⊥HD,EF⊥HD′,所以AC⊥HD′.(2)解:由EF∥AC得==.由AB=5,AC=6得DO=BO==4.所以OH=1,D′H=DH=3.于是OD′2+OH2=(2)2+12=9=D′H2,故OD′⊥OH.由(1)知AC⊥HD′,又AC⊥BD,BD∩HD′=H,所以AC⊥平面BHD′,于是AC⊥OD′.又由OD′⊥OH,AC∩OH=O,所以OD′⊥平面ABC.又由=得EF=.五边形ABCFE的面积S=×6×8-××3=.所以五棱锥D′-ABCFE的体积V=××2=.20.(本小题满分12分)(2016·全国Ⅱ卷,文20)已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).(1)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求a的取值范围.解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞).当a=4时,f(x)=(x+1)ln x-4(x-1),f′(x)=ln x+-3,f′(1)=-2,f(1)=0.曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为2x+y-2=0.(2)当x∈(1,+∞)时,f(x)>0等价于ln x->0.设g(x)=ln x-,则g′(x)=-=,g(1)=0.(ⅰ)当a≤2,x∈(1,+∞)时,x2+2(1-a)x+1≥x2-2x+1>0,故g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)上单调递增,因此g(x)>0。

2016年高考全国卷(一)理科数学试题及答案

绝密★启封并使用完毕前试题类型：A2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3。

全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1)设集合2{|430}A x x x =-+<,{|230}B x x =->，则A B = (A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C)3(1,)2(D ）3(,3)2 (2）设(1i)1i x y +=+，其中x ,y 是实数,则i =x y +（A)1（B ）2(C ）3(D ）2（3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a(A ）100（B ）99（C ）98（D)97（4)某公司的班车在7:00，8：00，8:30发车，学.科网小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A ）31（B)21（C ）32（D)43 (5）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是 (A ）（–1，3) （B ）（–1,错误!) (C ）（0，3) （D ）(0,错误!）(6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（A ）17π(B ）18π（C)20π（D ）28π（7)函数y =2x 2–e｜x ｜在［–2，2]的图像大致为（A)（B ）（C ）（D)（8）若101a b c >><<，,则（A ）c c a b <（B ）c c ab ba <（C)log log b a a c b c <（D ）log log a b c c <（9）执行右面的程序图,如果输入的011x y n ===，，，则输出x ,y 的值满足（A ）2y x =(B ）3y x =（C ）4y x =(D ）5y x =（10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的标准线于D 、E 两点。

2016年高考全国数学卷一试题答案解析

2016年高考全国数学卷一试题班级：_________ 姓名：_________ 考号：_________一、单选题（共12小题）1．设集合，，则（）A．B．C．D．2．设的实部与虚部相等，其中是实数，则（）A．-3B．-2C．2D．33．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A．B．C．D．4．的内角的对边分别为，已知，则（）A．B．C．2D．35．直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）B．C．D．A．6．若将函数的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为（）A．B．C．D．7．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径。

若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．B．C．D．8．若，，则（）A．B．C．D．9．函数在的图像大致为（）A．B．C．D．10．执行下面的程序图，如果输入的，则输出的值满足（）A．B．C．D．11．平面过正方体的顶点，平面，平面，平面，则所成角的正弦值为（）A．B．C． D．12．若函数在单调递增，则的取值范围是（）A．B．C ．D ．二、填空题（共4小题）13.设向量，且，则__________14.已知是第四象限角，且，则________15.设直线与圆相交于,两点，若，则圆C 的面积为________。

16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料。

生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元。

该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_________元三、解答题（共8小题）17.已知是公差为3的等差数列，数列满足，（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求的前项和。

2016全国各省市高考数学试题及答案

（10）B
第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分
（13）
3 2 3
（14）
（15） y 2 x 1 （16）4
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 y sin
x 3 cos ( 为参数 )
，以坐标原点为极点，
以 x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为 sin( ) 2 2 . 4
（17）（本小题满分 12 分）解：（Ⅰ）由题意得 a1 S1 1 a1 ，故 1 ， a1
1 ， a1 0 . 1
由 S n 1 an ， S n 1 1 an 1 得 an 1 an 1 an ，即 an 1 ( 1) an . 由 a1 0 ，
所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约 1.82 亿吨. （19）（本小题满分 12 分）解：（Ⅰ）由已知得 AM 知 TN // BC ， TN
2 AD 2 ，取 BP 的中点 T ，连接 AT , TN ，由 N 为 PC 中点 3
1 BC 2 . 2
又 AD // BC ，故 TN 平行且等于 AM ，四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MN // AT . 因为 AT 平面 PAB ， MN 平面 PAB ，所以 MN // 平面 PAB . （ Ⅱ）取 BC 的中点 E ，连结 AE ，由 AB AC 得 AE BC ，从而 AE AD ，且

2016年全国各地高考数学试题及解答分类大全(解析几何初步)

第 1页（共 6页）
a 12 12
a2
22 2
2
，解得 a
2 ，圆
的圆心为 1,1
，半径为 r2
1 ，所以
0 12 2 12 2 ， r1 r2 3 ， r1 r2 1，因为 r1 r2 r1 r2 ，所以圆
与圆相交，故选 B．
考点：1.直线与圆的位置关系；2.圆与圆的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离 d 与半径长 r 的大小关系来判断．若 d>r，则直线与圆相离；若 d＝r，则直线与圆相切；若 d<r，则直线与圆相交． (2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于 x(或 y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；如果Δ＝0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切；如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交．提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法．
【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系问题，是高考常考知识内容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，解答此类问题，注重“圆的特征直角三角形”是关键，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.
3.（2016 北京文）.圆 (x 1)2 y2 2 的圆心到直线 y x 3 的距离为（）
(2)因为直线 l||OA，所以直线 l 的斜率为 4 0 2 . 20
设直线 l 的方程为 y=2x+m，即 2x-y+m=0，
则圆心 M 到直线 l 的距离 d 2 6 7 m m 5 .

2016年全国高考数学(理科)试题及答案-全国1卷(解析版)

绝密 ★ 启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国1卷)数学(理科）注意事项： 1。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页。

2。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3。

全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一. 选择题:本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

(1)设集合{}2430A x x x =-+< ，{}230x x ->,则A B =（A ）33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ (B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（D)3,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D考点：集合的交集运算【名师点睛】集合是每年高考中的必考题，一般以基础题形式出现，属得分题。

解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算，如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算，常借助数轴进行运算。

(2）设(1i)1i x y +=+，其中x ,y 实数,则i =x y + (A ）1 （B 2 （3 （D ）2 【答案】B 【解析】试题分析：因为(1)=1+,x i yi +所以=1+,=1,1,||=|1+|2,x xi yi x y x x yi i +==+=故选B 。

考点:复数运算【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现，属得分题。

高考中复数考查频率较高的内容有：复数相等，复数的几何意义，共轭复数，复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大，但容易出现运算错误，特别是2i 1=-中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性。

(3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =，则100a = (A ）100 （B ）99 （C ）98 （D)97 【答案】C 【解析】试题分析：由已知，1193627,98a d a d +=⎧⎨+=⎩所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C 。

(完整word版)2016年全国高考数学(理科)试题及答案-全国1卷(解析版)

范围是
（A） 1,3 （B） 1, 3 （C） 0,3 （D） 0, 3
【答案】A
考点：双曲线的性质【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题学生出现,主要考查双曲线几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是 2c 不是 c,这一点易出错. （6）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何
一. 选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合 A x x2 4x 3 0 , x 2x 3 0 ,则 A B
（A）
3,
3 2
【答案】D
（B）
3,
3 2
（C）
1,
3 2
（D）
3 2
,
3
考点：集合的交集运算【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算.
（8）若 a b 1，0 c 1,则（A） ac bc （B） abc bac （C） a logb c b loga c （D） loga c logb c
【答案】C 【解析】
试题分析：用特殊值法,令 a 3, b
2,c
1
1
得 32
1
22 ,选项
A
1
错误, 3 22
1
2 32 ,选项
2016 高考数学（理科）试卷（全国 1 卷）
绝密 ★ 启用前
2016 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 1 卷）
数学（理科）
注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷

2016年高考数学试卷附标准答案与解析

高考数学试卷一.选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．（5分）（2016•真题）设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）3．（5分）（2016•真题）设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的（）=1 ．﹣y2=1﹣x2=1=15．（5分）（2016•真题）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正6．（5分）（2016•真题）若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（）7．（5分）（2016•真题）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）+++228．（5分）（2016•真题）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（）|=1 ．⊥•=1 4+）⊥9．（5分）（2016•真题）函数f（x）=的图象如图所示，则下列结论成立的是（）10．（5分）（2016•真题）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（）二.填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）（2016•真题）（x3+）7的展开式中的x5的系数是（用数字填写答案）12．（5分）（2016•真题）在极坐标系中，圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值是．13．（5分）（2016•真题）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为14．（5分）（2016•真题）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{a n}的前n项和等于．15．（5分）（2016•真题）设x3+ax+b=0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是（写出所有正确条件的编号）①a=﹣3，b=﹣3．②a=﹣3，b=2．③a=﹣3，b＞2．④a=0，b=2．⑤a=1，b=2．三.解答题（共6小题，75分）16．（12分）（2016•真题）在△ABC中，∠A=，AB=6，AC=3，点D在BC边上，AD=BD，求AD的长．17．（12分）（2016•真题）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）18．（12分）（2016•真题）设n∈N*，x n是曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x轴交点的横坐标（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）记T n=x12x32…x2n﹣12，证明：T n≥．19．（13分）（2016•真题）如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F．（Ⅰ）证明：EF∥B1C；（Ⅱ）求二面角E﹣AD﹣B1的余弦值．20．（13分）（2016•真题）设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A 的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为（Ⅰ）求E的离心率e；（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．21．（13分）（2016•真题）设函数f（x）=x2﹣ax+b．（Ⅰ）讨论函数f（sinx）在（﹣，）内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；（Ⅱ）记f n（x）=x2﹣a0x+b0，求函数|f（sinx）﹣f0（sinx）|在[﹣，]上的最大值D2（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a n=b n=0，求s=b﹣满足条件D≤1时的最大值．高考数学试卷一.选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．（5分）（2016•真题）设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）=i3．（5分）（2016•真题）设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的（）=1 ．﹣y2=1﹣x2=1=1y=5．（5分）（2016•真题）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正6．（5分）（2016•真题）若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（）则对应的标准差为=7．（5分）（2016•真题）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）+++22×2×1+2××+×2×1．8．（5分）（2016•真题）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（）|=1．⊥•=1 4+）⊥，根据已知三角形为等边三角形解之．的等边三角形，，满足=2，=2+，又，，=4×1×2×cos120°=﹣，=4，所以4），所以9．（5分）（2016•真题）函数f（x）=的图象如图所示，则下列结论成立的是（），∴b＞﹣﹣10．（5分）（2016•真题）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（）x=2x+=2x=∴2×+φ=2kπ+，，可解得：φ=2kπ+（2x+2kπ+）2x+））﹣4+2π）＞4+=Asin＞＞﹣4+2π＞＞，而2x+）在区间（，二.填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）（2016•真题）（x3+）7的展开式中的x5的系数是35 （用数字填写答案）=；∴r=4，可得：12．（5分）（2016•真题）在极坐标系中，圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值是 6 ．θ=y=xθ=θ=y=xd=（ρ∈13．（5分）（2016•真题）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为 4时不满足条件，，，14．（5分）（2016•真题）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{a n}的前n项和等于2n﹣1 ．项和为：15．（5分）（2016•真题）设x3+ax+b=0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是①③④⑤（写出所有正确条件的编号）①a=﹣3，b=﹣3．②a=﹣3，b=2．③a=﹣3，b＞2．④a=0，b=2．⑤a=1，b=2．三.解答题（共6小题，75分）16．（12分）（2016•真题）在△ABC中，∠A=，AB=6，AC=3，点D在BC边上，AD=BD，求AD的长．解：∵∠A=AC=3…4中，由正弦定理可得：，…8AD=== (12)17．（12分）（2016•真题）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）=．=．=．=200 300 400+300×+400×18．（12分）（2016•真题）设n∈N*，x n是曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x轴交点的横坐标（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）记T n=x12x32…x2n﹣12，证明：T n≥．，时，时，因为=19．（13分）（2016•真题）如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F．（Ⅰ）证明：EF∥B1C；（Ⅱ）求二面角E﹣AD﹣B1的余弦值．=的一个法向量为===，，得=∴cos（，==的余弦值为20．（13分）（2016•真题）设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A 的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为（Ⅰ）求E的离心率e；（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．即，可得=1，线段，∴=．，∴==1NS，解得∴a=3的方程为：21．（13分）（2016•真题）设函数f（x）=x2﹣ax+b．（Ⅰ）讨论函数f（sinx）在（﹣，）内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；（Ⅱ）记f n（x）=x2﹣a0x+b0，求函数|f（sinx）﹣f0（sinx）|在[﹣，]上的最大值D2（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a n=b n=0，求s=b﹣满足条件D≤1时的最大值．的最大值．，）递增，，f′（（；或，当时，参与本试卷答题和审题的老师有：刘长柏；changq；双曲线；maths；742048；w3239003；qiss；孙佑中；雪狼王；cst（排名不分先后）菁优网2016年6月13日。