对“几何直观”概念的几点辨析
小学数学几何直观教学中存在的问题及对策探讨
小学数学几何直观教学中存在的问题及对策探讨小学数学几何作为学科的一部分,是孩子们在学习中经常遇到的挑战之一。
然而直观教学中存在的问题使得学生们更容易对数学几何产生恐惧心理,这也是值得我们深思的。
本文将对小学数学几何直观教学中存在的问题进行探讨,并提出相应的对策,希望能够帮助教学者更好地教授数学几何知识,使学生们对此有一个更加清晰的认识。
一、问题探讨1. 学生对几何概念的理解不够清晰小学生在学习几何知识时,往往难以形成清晰的概念。
他们可能不明白点、线、面等基本概念的区别,也无法准确地描述geometric概念。
这种不清晰的认识使得学生们在学习几何知识时容易迷失方向。
2. 缺乏直观的几何图形展示传统的黑板上的几何图形展示不能给学生带来很强的直观感受,他们很难从中获取几何图形的形态、性质等方面的信息。
而且,几何图形的展示方式也可能会给学生们造成一定的困惑,使他们产生厌学的情绪。
3. 缺乏趣味性的几何教学方式小学生对数学几何知识的学习充满了好奇,而传统的板书式教学方式可能难以激发他们的学习兴趣。
由于教学方式的不足,学生们往往对几何知识产生抵触情绪,容易对学习失去兴趣。
二、对策探讨为了帮助学生更好地理解几何学的基本概念,我们需要更加清晰地说明点、线、面等概念的区别。
这可以通过实物展示、生动形象的语言描述等方式来实现,使孩子们从几何图形的基本构成入手,逐步建立清晰的概念。
在教学几何图形时,我们可以利用多媒体技术进行展示,通过视频、动态图像等方式展示各种几何图形的特点、性质等。
这样可以更生动地呈现几何图形,使学生们对其有更清晰的认识。
为了让小学生更加喜欢数学几何知识,我们可以创新教学方式,利用故事、游戏等方式来讲解几何知识。
这样可以激发学生的兴趣,使他们更加投入到学习中,从而更好地理解几何知识。
4. 注重实践操作,培养学生的几何形象思维学生在学习几何知识时,不仅需要理论知识的指导,更需要实践操作的指导。
我们可以通过实物展示、DIY制作等方式来让学生亲自动手进行几何图形的构建,这样可以更好地培养他们的几何形象思维,使几何知识有机地融入他们的学习中。
核心词解读四,几何直观-3
跨越断层,走出误区:《数学课程标准》核心词的实践解读之四上海市静安区教育学院曹培英一、怎样理解几何直观近年来,几何直观成了数学教育的热议话题之一,学者、教师纷纷撰文阐述,其中不乏深入的学理分析与经验总结。
然而,不少教师反映,阅读之后总体感觉相关概念难以辨析,有些文章“越看越玄”。
那么,基于小学数学教学的实际,我们应该如何解读几何直观这一核心词?有必要从直观的本意说起。
1.直观与几何直观的本意所谓直观,字面意义是“直接的观察”,通常指“通过对客观事物的直接接触而获得的感性认识”,即人们在实践中对客观事物的直接的、生动的、具体的反映。
我们常常赋予直观可视的意思,但“直接接触”并不仅指视觉,各种感官及其协同活动都能获得直接的感性认识。
例如,年幼儿童坐翘翘板,他们能够发现,如果坐在对面的小朋友比自己重,那么他离中间近一点,而自己离中间远一点,能使翘翘板平衡。
这实际上是通过动作在直观水平上获得了杠杆原理的感性认识。
又如,教师讲述猴王给小猴分桃的故事,通过语言,也能使学生初步感知商不变性质。
在教育心理学中,直观是相对于抽象、概括而言的。
一般认为:在实际教学中,就直观的对象来分,可以把直观分为实物直观、模象直观和语言直观三种。
三种直观都是直观教学的常规手段,上面“坐翘翘板”的实例,属于实物直观,“讲故事”是语言直观,平时大量使用的各种直观图形则为模象直观。
根据直观的本意,所谓几何直观,无非是指特殊的、数学的直观,即指借助于几何图形(空间形式)而获得的感性认识。
虽说这里的感性认识过程离不开知识、经验的介入,但毕竟感知是其主要的心理活动。
如果将几何直观诠释为只是“感性认识”,则一切都十分平常。
因为小学数学历来重视通过直观教学,使学生获得感性认识,其有效性的理论解释也早就为大家所熟知。
2.几何直观的引伸意义当下有关几何直观的论文,大多引用了一些哲学、数学、心理学视角的论述。
如:西方哲学家通常认为,“直观就是未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察,直接把握对象的全貌和对本质的认识。
对几何直观这个概念的理解
对几何直观这个概念的理解
《标准》中的10个核心概念有:数感、符号意识、运算能力、模型思想、空间观念、几何直观、推理能力、数据分析观念、应用意识和创新意识。
下面谈一谈对几何直观这个概念的理解。
几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。
借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果。
几何直观可以帮助学生直观地理解数学,在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
几何直观可以看成‘数形结合’的手段与方法。
‘数形结合’是一种数学思想方法,指利用代数里的模型来抽象地表示几何图形的本质内容,利用几何图形来形象直观地表示代数里的关系。
数学是抽象的,儿童喜欢具体形象的思维,几何直观经常能够解决抽象与形象之间的矛盾。
数学教学往往会利用简单的图形来表示比较抽象的数学问题或数量关系,如用线段图表示相差关系和倍数关系,用线段图表示相遇问题的已知、未知和数量关系,用简单图形表示田地面积的变化等,这些都十分有助于学生理解题意、找到问题的解法。
几何直观是人们理解复杂的数学问题,探索其解法的手段,是人们解决问题时经常采用的策略。
课程标准提出几何直观,不仅教师要充分利用这个手段教学数学知识,还应该培养学生自己运用几何直观的习惯和能力。
要联系实例让学生体会什么是几何直观,感受几何直观对解决问题的积极作用;要指导学生画图,初步学会几何直观;要鼓励学生经常运用几何直观,逐步成为个体的解决问题策略之一。
几何直观新课标解读
几何直观新课标解读随着时代的发展,教育也在不断地进步与发展。
新课标的实施,为学生带来了更加全面、深入、系统的教育体验。
在数学教育中,几何直观的学习也是新课标中的重要内容之一。
本文将从以下几个方面,对几何直观的学习进行解读。
一、几何直观的概念几何直观,是指通过对几何图形的观察、感性理解和几何运动的实验等方式,使学生对几何图形的性质有一种直观的认识和感受,从而达到深刻理解和掌握几何知识的目的。
几何直观的学习,既有理性思维的分析,也有感性认识的体验,是一种深入浅出的教学方式。
二、几何直观的教学方法1. 观察法观察法是几何直观教学中最基本、最重要的方法。
通过观察几何图形的形状、大小、位置等特征,使学生对几何图形的性质有一种直观的认识和感受,从而加深对几何知识的理解。
2. 实验法实验法是几何直观教学中的一种重要方法。
通过实验几何图形的运动、变形等过程,使学生对几何图形的性质有一种直观的认识和感受,从而掌握几何知识。
3. 模型法模型法是几何直观教学中的一种有趣的方法。
通过制作几何图形的模型,使学生对几何图形的性质有一种直观的认识和感受,从而深入理解几何知识。
三、几何直观的教学重点1. 视角转换视角转换是几何直观教学中的一个重点。
通过对几何图形的不同视角的观察和比较,使学生对几何图形的性质有更深刻的认识和理解。
2. 运动变形运动变形是几何直观教学中的又一个重点。
通过对几何图形的运动变形的观察和实验,使学生对几何图形的性质有更深刻的认识和理解。
3. 几何关系几何关系是几何直观教学中的最后一个重点。
通过对几何图形之间的关系的观察和分析,使学生对几何图形的性质有更深刻的认识和理解。
四、几何直观的教学效果几何直观的学习,不仅能够加深学生对几何知识的理解,还能够激发学生的兴趣和创造力,培养学生的空间想象力和思维能力。
同时,几何直观的学习也能够帮助学生更好地应对数学竞赛等考试,提高学生的数学成绩。
总之,几何直观的学习是新课标中非常重要的一部分。
小学数学教学的视角角解读几何直观
小学数学教学的视角角解读几何直观
几何直观是指通过直观的观察和感知,理解几何概念和性质的能力。
在小学数学教学中,引导学生形成正确的几何直观是非常重要的。
下面从几个角度对小学数学教学的视角解读几何直观。
1. 视觉角度:几何直观与视觉经验有着密切关系。
以平行线为例,学生在观察平行线时会发现它们永不相交,具有一定的距离关系。
通过直观的观察和感知,学生能够形成关于平行线的直观理解。
在教学中,可以通过给学生展示一些实际的平行线的例子,引导学生观察和感知平行线的性质,培养学生的几何直观。
2. 动手角度:动手操作可以帮助学生更好地形成几何直观。
通过让学生亲自操作几何图形,观察其性质和特点,可以帮助学生加深对几何概念的理解。
在学习平面图形的性质时,可以让学生用纸板剪下不同形状的图形,通过观察和摆弄,发现图形的对称性、面积关系等性质,从而培养学生的几何直观。
3. 运动角度:在运动中,学生可以通过观察和感知几何对象的运动轨迹,形成对几何性质的直观理解。
在学习直线的概念和性质时,可以让学生在操场上画出一条直线,然后走在直线上观察它的特点,如方向、长度等。
通过运动中的观察和感知,学生能够更好地理解直线的性质,形成对直线几何直观。
4. 实例角度:通过讲解一些实际问题和例子,可以帮助学生建立起几何直观。
在学习三角形的概念和性质时,可以通过讲解桥梁、房屋、山峰等实际事物的例子,引导学生观察和感知其中的三角形,从而理解三角形的特点和性质。
通过实例的引导,学生能够更加形象地理解几何概念,培养几何直观。
从课程与教学的角度认识“几何直观”
对“几何直观”及其培养的认识与分析首都师范大学100048 刘晓玫义务教育《数学课程标准》(实验稿)提出了与课程目标和内容有关的六个核心概念,其中的“数感”“符号感”“空间观念”等都对我们理解与认识数学课程及其教学带来了较大的变化。
《标准》(实验稿)又在原来的基础上对核心概念有了新的补充,“几何直观”就是新的核心概念之一,对它的理解、认识与如何在教学中体现,是很好的实施数学课程的基础。
1. 对“几何直观”的认识对于何为“直观”,可能有很多说法,但本质基本相同。
直观就是当人们接触事物时,借助于观察、经验、想象等所产生的对事物及其关系直接的感知与认识。
而几何直观则是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生的对事物的性质或数量关系的直接感知与认识。
几何直观是一种运用图形认识事物的能力。
《标准》(修改稿)指出“几何直观是指利用图形描述和分析问题。
借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果。
几何直观可以帮助学生直观地理解数学,在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
”《标准》言简意赅地阐释了“几何直观”的含义,也阐明它的价值和作用。
关于“几何直观”的意义,20世纪最伟大数学家希尔伯特(Hilbert)在名著“直观几何”一书中谈到,图形可以帮助我们发现、描述研究的问题;可以帮助我们寻求解决问题的思路;可以帮助我们理解和记忆得到的结果。
这就是几何直观带给我们的好处。
荷兰数学教育家弗莱登塔尔也指出,“几何直观能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可接近的,并使我们在课题、概念与方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。
”从另一个角度来说,几何直观是具体的,不是虚无的,它与数学的内容紧密相联。
很多重要的数学内容、概念,例如,数,度量,函数,解析几何,向量,等等,都具有“双重性”,既有“数的特征”,也有“形的特征”,必须从两个角度认识它们,否则就不能很好地理解它们,掌握它们,只有这样才能让这些内容、概念变得形象、直观,变得可以运用他们去思考问题,形成几何直观能力,这也就是经常说的“数形结合”。
几何直观的内涵和作用
几何直观的内涵和作用一、几何直观的内涵几何直观呀,就是一种超级有用的东西呢。
它就像是我们看几何图形时那种一眼就能抓到关键信息的感觉。
比如说一个三角形,我们看到它的形状、边的长短、角的大小这些直观的东西,这就是几何直观的一部分啦。
它不是那种复杂的计算或者推导,就是很直接的对几何图形的一种感受和理解。
从更专业的角度说呢,它是利用图形来描述和分析数学问题的一种手段。
就像我们看到一个正方形,能马上想到它四条边相等,四个角都是直角,这种直观的认识可以帮助我们解决很多和正方形有关的数学问题呢。
二、几何直观的作用1. 帮助理解概念在学习几何概念的时候,几何直观可太重要啦。
像学习圆的概念,如果光看文字描述,什么平面内到定点的距离等于定长的点的集合,可能有点晕乎乎的。
但是当我们看到一个画得漂漂亮亮的圆,就很容易理解啦。
圆心就是那个定点,半径就是定长,那些点构成了这个圆的轮廓。
这种直观的图形比单纯的文字能让我们更快更深刻地理解概念呢。
2. 解题好帮手做几何题的时候,几何直观就像我们的小助手。
比如说求一个不规则多边形的面积,如果我们能把它分割或者补全成我们熟悉的图形,像三角形、长方形之类的,这就是利用了几何直观。
我们能直观地看到怎么分割、怎么补全,然后再用学过的面积公式去计算,就简单多啦。
还有在证明几何定理的时候,画出准确的图形,能让我们更容易找到思路,看到各个元素之间的关系呢。
3. 培养空间想象力几何直观对我们空间想象力的培养是很有好处的。
我们看到一个立体图形的平面图,比如一个长方体的展开图,要能想象出它折叠起来后的样子,这就需要几何直观啦。
通过不断地观察图形、在脑海里构建图形,我们的空间想象力就会越来越强,以后再遇到更复杂的空间问题,也能轻松应对呢。
4. 沟通数学知识在和小伙伴们讨论数学问题的时候,几何直观也很有用哦。
我们可以通过画图来表达自己的想法,这样别人能更快地理解我们的思路。
比如说要解释为什么三角形的内角和是180度,我们画一个三角形,然后把三个角剪下来拼在一起,形成一个平角,这个直观的操作比干巴巴地说定理要容易理解得多呢。
我对“几何直观”的理解
我对“几何直观”的理解
以前我认为几何直观类似于语文里面的看图说话,也就是根据见到的图形直接看出结论,而不需要逻辑和推理。
这几天听了李延林教授的讲座,我才发现自己的认识是何等的肤浅。
通过学习我才知道,几何直观与逻辑、推理是不可分的,几何直观往往靠逻辑支撑,它不仅是看到了什么,而是通过看到的图形思考到了什么,想象到了什么。
几何直观实际上就是依托、利用图形进行数学的思考和想象,它在本质上是一种通过图形所展开的想象能力。
几何直观实质上是个过程,它是在把现在看到的与过去学到的结合起来,通过思考、想象,猜想出一些可能的结论和论证思路。
这其实就是合符情理的推理。
另外我还认识到,几何直观与逻辑推理在几何学习中的作用是相辅相成的。
一方面,几何直观可以从图中感知性质,从图中析出关系。
另一方面,在通过看到的图形思考结论时,如果让看到的图形在头脑中动起来,就可以将看似没有关系的几何元素在有规律地移动后,建立起关系来。
基于以上我对几何直观的理解,我个人觉得在今后的几何教学中,我们的老师一定要教会学生研究图形的方法,还要让我们的学生学会结合几何图形,利用图形语言进行逻辑推理。
避免死教图形特征、
性质和硬灌推理证明步骤的极端做法,让所有学生乐学、勤学几何,进一步提高学习数学的兴趣!。
“几何直观”的认识
几何直观在小学数学中的运用2011年版课标指出:“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。
借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果。
几何直观可以帮助学生直观地理解数学,在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
”教师在理解几何直观的过程中,要注意以下几个问题:第一,几何直观指的是通过“几何”的手段,达到“直观”的目的,实现“描述和分析问题”的目标。
这里的“几何”手段主要是指“利用图形”,“直观”的目的主要是将“复杂、抽象的问题变得简明、形象”。
因此,几何直观对学生而言是一种有效的学习方法,对教师而言是一种有效的教学手段,它是数形结合思想的体现,在整个数学学习过程中发挥着重要作用。
第二,几何直观所利用的“图形”主要是指点、线、面、体以及由以上四要素组成的其他几何图形,在小学阶段主要有正方形、长方形、三角形、平等四边形、梯形、圆以及线段、直线、射线等。
几何直观所要描述和分析的问题,不仅可以是生活问题,而且可以是数学问题。
第三,几何直观的意义和价值主要体现在三个方面:一是有助于把复杂、抽象的问题变得简明、形象,二是有助于探索解决问题的思路并预测结果,三是有助于帮助学生直观地理解数学。
因此,教师要善于在教学中利用几何直观,将复杂、抽象的问题变得简明、形象,帮助学生探索解决问题的思路,帮助学生直观地理解数学。
如在教学“数的认识”时,教师要帮助学生利用圆形、三角形、正方形或长方形等纸片,直观理解数量和数的意义;在教学“解决复杂数量关系的问题”时,要善于利用线段图等描述和分析问题中的数量关系;在解决“鸡兔同笼”等问题时,要重视通过列表分析解决问题;在探索事件发生的变化规律时,要重视利用统计图表帮助学生直观感受事件发生的变化规律并预测结果;在探索函数关系的变化规律时,要重视利用表格、图像进行描述和分析等。
1/ 1。
几何直观能力的几点思考
几何直观能力的几点思考新课标下关于培养学生几何直观能力的几点思考一、几何直观的意义关于“几何直观”,在《数学课程标准》(实验稿)“设计思路” 中提到“能运用图形形象地描述问题,利用直观来进行思考”。
由于只是简单的涉及,所以咱们老师在教学实践中对学生这方面的能力培养可能有所忽略,部分老师觉得没什么作用,可用可不用,也有老师在教学中有时也利用几何直观来处理教学内容,但只是将其作为获得知识的桥梁,没有把它当作目标来对待,没有有意识地培养学生几何直观能力。
在(2011版)《数学课程标准》中作为新增加的核心概念之一,单独提出“几何直观”,而且专门进行了阐释:“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。
借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果。
几何直观可以帮助学生直观地理解数学,在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
”著名数学家曹培英说过:“几何直观一方面是数学抽象的基础与数学认知的有力支撑;另一方面又是数学抽象的重要内涵与数学认识的深化。
”下面结合我们在平时教学中的一些课例从动手操作、新旧结合、数形结合、闭目想象四个方面谈谈我们是如何培养学生几何直观能力的。
二、培养小学生几何直观能力的教学策略1、动手操作形成直观。
学生在动手动脑的过程中,往往会迸射出意想不到的思维火花,学生的思维能力、创新能力得到了提高,更有利于学生的发展。
在小学阶段,我们常用的手段就是动手操作,从某种意义上说,几何直观就是数学活动经验不断积累所形成的数学素养。
比如四年级上册第四单元三角形内角和的教学,一般来说,探究三角形内角和的方法有以下几种:方法一,量一量,度量三个内角的度数,求和;方法二,撕一撕,拼一拼,把三个内角撕下来,拼成一个平角;方法三,折一折,把三个内角向内折叠拼成一个平角。
(视频)学生们在一系列的动手操作实践中积累了活动经验,获得了直观体验。
在此基础上,我们进一步对这三种方法进行观察比较,不难发现他们都是想方设法将三个内角拼起来,体现了“求和”思想,这样实践的经验便上升为思维的经验,为初中阶段演绎几何的学习奠定了基础。
对几何直观的理解及培养策略
对几何直观的理解及培养策略作者:彭琦来源:《赢未来》2018年第31期摘要:几何直观的基本手段是利用图形描述与分析问题,其价值在于化难为易、化抽象为形象。
借助几何直观,对学生而言是一种有效的学习方法,对教师而言是一种有效的教学手段。
关键词:几何直观、数形结合前言:“几何直观”是小学数学课程标准中的核心概念。
在学生学习数学的过程中。
几何直观是非常重要的概念,教师应该重视它,让学生认识几何直观在解决问题过程中的作用与价值。
一、对几何直观的认识顾名思义。
几何直观所指有两点:一是几何,在这里几何是指图形;二是直观,这里不仅仅是指直接看到的东西,更重要的是依托现在看到的东西,以前看到的东西进行思考、想象、综合起来,几何直观就是依托、利用图形进行数学的思考和想象。
它在本质上是一种通过图形所展开的想象能力。
几何直观能力是人们利用实物、形体模型和图形,生动形象地描述几何或者其他数学问题,展开豐富多彩的空间联想,直观的反映和揭示问题的思路,形成表象,从而有效解决问题的一种认知能力。
几何直观能力主要包括空间想象力、直观洞察力、用图形语言来思考问题的能力。
二、几何直观在教学上的应用在义务教育阶段教学和指导学生学习时,认识和理解“几何直观可以帮助学生直观的理解数学,在整个数学学习过程中都发挥着重要的作用。
几何图形可以帮助学生把困难的数学问题变得容易,把复杂的问题变得简单。
化“数”为“形”抓住了数与形之间的联系,以“形”直观地表达数,便于学生形象地理解数量间的关系,达到化难为易、化繁为简、化隐为显的目的,使问题简捷地得以解决。
(一)借助几何直观探索解决问题的思路,预测结果通过图形的直观性质来阐明数之间的联系,将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化,实现代数问题与图形之间的互相转化,这样不仅使解题过程变得简洁明快,还开拓解题思路,为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。
数学中的很多问题的解决与灵感,往往都来自于几何直观。
“几何直观”的面面谈
“几何直观”的面面谈
几何直观在数学中是一个非常重要的概念,它指的是通过观察几何图形的形态和结构来推测它们的性质和规律的能力。
几何直观通常是根据我们对空间和形状的直观感受来形成的,而这种直观感受通常是通过视觉和运动感知来实现的。
几何直观可以帮助我们更好地理解抽象的几何概念和性质,例如平面和立体图形的形态、投影、对称性、比例和类似等。
通过几何直观,我们可以更好地理解几何公式和定理的含义和应用,以及在实际应用中如何将它们应用到实际问题中。
但是,几何直观也可能会误导我们,因为视觉和运动感知对于不同的人可能有所不同,我们的几何直观可能会导致错误的推断和结论。
因此,在使用几何直观时,我们需要注意验证和证明,以确保我们的推理和结论是准确和可靠的。
总的来说,几何直观是一个非常重要的数学概念,可以帮助我们更好地理解和应用几何知识,但需要谨慎使用,以避免误导和错误。
浅谈“几何直观”
一、几何直观
• 借助几何直观可以把复杂的数学问题变得 简明、形象,有助于探索解决问题的思路, 预测结果。
• 几何直观可以帮助学生直观地理解数学, 在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
一、几何直观
几何直观就是利用图形进行思 维及展开想象的能力。
二、几何直观的表现形式
三、如何培养学生的几何直观能力
2.从“数”“形”两方面诠释数学问题
三、如何培养学生的几何直观能力
3.利用图形的变换,培养学生的想象能力
三、如何培养学生的几何直观能力
4.掌握一些利用图形解决生活中问题的方式方法
3.图形直观
数形结合与几何直观
数形结合,是一种 重要的数学思想方 法,也是解决数学 问题的有效策略。
数形结合是指解决数学问题时 ,可借助于“形”的直观来理 解抽象的“数”,或反过来运 用“数”与“式”的描述来刻 画“形”的特征。 数形结合
最基本的形式为“以形助数” 和“以数解形”。
以 形 助 数
1.实物直观 2.替代物直观(已经具备一定的抽象性) 3.图形直观
1.实物直观
2.替代物直观
圆圈、三角形 点子图 小棒(一根、一捆) 小方块(个、条、面、体)
3.图形直观
线段图 面积模型图(乘法分配律、小数的意义) 统计图 图形的变换(对称、平移、旋转) 函数图(正、反比例)Fra bibliotek 3.图形直观
以 数 解 形
从几何直观的概念可知,它是指“利用图 形描述和分析数学问题”。
几何直观就是用“形”来解决数学问题。 这个“数学问题”可能并不仅仅是“数” ,可以是“形”或者其他数学问题。
这个“形”,可以是眼睛看到的,可以是 画出的,也可以是大脑想到的。
巧借几何直观,助力数学理解
巧借几何直观,助力数学理解作者:王丽娟来源:《天津教育·上》2022年第09期在当前的义务教育数学课程标准中提出了几何直观这一理念,主要指的是建立在几何教学的基础上,利用图形描述和分析问题。
利用几何直观能将较为复杂的数学问题简明化,将其抽象的问题形象化,有助于学生探索解决问题的思路,预测结果,提高学生解题的速度。
因此在数的运算教学过程中,教师可以合理利用几何直观进行教学融合,助力学生对算理、算法的理解,提高学生运算能力,提升其数学综合素养。
一、几何直观的基础概念分析几何直观是建立在数学几何问题的基础上,经过提炼和总结形成的理论,而根据当前的课程标准,我们可以从以下几个层面来分析几何直观的具体内涵。
(一)图形直观层面几何直观主要指的是人在描述和理解图形时的视觉感知性。
尤其是针对小学生的几何学习来讲,模型以及大量的实物道具是教学中能被利用的材料,因此可以将其作为实物直观以及模型直观。
这种直观最大的优势是化抽象为具体;几何直观是对图形的直观,而图形主要指的是几何图形的视觉可感知性,通过一个抽象的几何图形能够传递给学习者什么样的信息。
因此,图形直观是几何直观理论的最基础概念。
而从数学教学的角度来讲,几何直观的形成和图形与几何教学内容有直接的关联,这其中涉及了几何图形本身的空间关系、点线面体关系、结构特征。
(二)描述及分析问题从数学知识的角度来讲,几何直观往往体现的是学习者在分析几何图形的过程中,由自身主观思想产生的、对几何图形性质表征进行描述的事实,并且在已知信息的基础上进行问题分析的逻辑。
通过描述以及问题分析,能借助几何图形本身的性质以及数学本质进行信息提取,显示具体的数学对象以及数学问题,并且定位这些要素之间存在的关联性。
比如,在表达两个分数相乘这一概念时,其基本的算理本质是求一个数的几分之几是多少,那么利用画长方形示意图来表示两个分数相乘的最终结果是较为恰当的。
这种数形结合的方式,能帮助学生尽快获取问题中呈现出来的已知信息,然后通过分析问题的基本算理来进行解答。
对“几何直观”概念的几点辨析
对“几何直观”概念的几点辨析一、几何直观的含义《标准》指出:“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题.借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果.几何直观可以帮助学生直观地理解数学,在整个数学学习过程中都发挥着重要作用.”著名数学家徐利治先生也有过对几何直观的描述:“几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系,产生对数量关系的直接感知.”[1]也有学者这么描述:“几何直观是一种思维活动,是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态.”[2]从这些描述中,我们可以有以下的认识:◆几何直观是一种运用图形认识事物的能力[3],或者说是一种解决数学问题的思维方式.◆这种能力可外化为一种在解决某些数学问题时的方法,这种方法区别于其他方法的典型特征在于它是以几何图形为工具的——即“几何”两字的意义.◆用这种方法解决问题,不是运用几何中常用的论证方法,而是通过经验、观察、想象等途径,直观地感知问题的结果或方向——即“直观”两字的意义.例如,三年级学生要学习同分子分数大小比较,这个知识相对比较抽象,学生较难理解.此时,学生如果能主动地采取画出(或想到)以下几何图形(图1)的方式,然后通过观察(或想象)图形的特点及联系,那么就能直观地解决问题,并理解“分子相同的分数,分母小的反而大”的道理.学生如果具备这种解决问题的思维方式,掌握这样的方法,我们就可以说学生有几何直观的能力.二、几何直观与数形结合在理解几何直观意义的过程中,教师们最大的困惑就是难以将几何直观与数形结合清晰地区别开来.比如说,上文所举的分数大小比较时用几何图形来思考的例子,在以前,我们一直将其视为用数形结合思想来解决问题的典型.而如今,这样的观念要调整,数形结合变成了几何直观,这就难免让人产生疑惑:数形结合与几何直观,区别到底在哪里?近期,笔者参与的或了解到的一些以几何直观为话题的教研活动,都呈现出了一个共同之处:教师呈现的所谓几何直观的例子,都是以前所讲的数形结合的例子.教师们更有这样的认识:几何直观,无非是数形结合的“同名词”,或者可能只是数形结合的“升级版”而已教师们对此的不解,也表现为“用到了几何图形,就是体现了几何直观”这样的想法.当然,笔者所言的这些教研活动,大多是很基层的,或许只是代表了部分一线普通教师的认识.但是,这足以说明对数形结合与几何直观作出区分是非常必要的.什么是数形结合?数形结合,是一种重要的数学思想方法,也是解决数学问题的有效策略.它是指解决数学问题时,可借助于“形”的直观来理解抽象的“数”,或反过来运用“数”与“式”的描述来刻画“形”的特征.[4]数形结合最基本的形式为“以形助数”和“以数解形”.如小学数学中的分数应用题,我们运用画线段图来分析其中的数量关系,这样的情况就可叫做“以形助数”.而我们在直角坐标系中,用数对来描述图形的变化(如平移、旋转),或计算两点之间的距离等,这样的情况则可叫做“以数解形”.“以形助数”,是在发挥“形”所具有的直观特点,来降低“数”的抽象度;而“以数解形”,则是在利用“数”的精确性,来准确刻画“形”,让“形”得以量化.如此,直观与抽象相互配合,取长补短,从而顺利、有效地解决问题.[5]如果用一个不太恰当的比喻来形容数形结合的特点,它就好比是架设在“数”与“形”之间的一条双向通道,起着由此及彼、相互促进的作用.我们再来看几何直观.从几何直观的概念可知,它是指“利用图形描述和分析数学问题”. 那么,我们不得不产生这样的理解:几何直观就是用“形”来解决数学问题.尽管这个“数学问题”可能并不仅仅是“数”,可以是“形”或者其他数学问题.但不管怎样,如果与数形结合做个对比,那么它就只能算是一条由“形”出发的单向通道而已.在小学数学中,因为“以数解形”的例子极少,所以就造成了教师们谈及数形结合时,都是举了单向的由“形”出发解决“数”的例子.如此一来,我们自然就会遇到这样的情况:数形结合的例子是“以形助数”,几何直观的例子也是“以形助数”,在小学中,两者所举的例子似乎是一样的.或许就是因为这样的原因,曾有专家提出:在小学数学中,不必区分数形结合和几何直观.这样的观点,笔者觉得也不无道理.当然,尽管有这样的观点,但并不是说几何直观就是数形结合的下位概念.笔者觉得,如果我们要将几何直观与“以形助数”作区别的话,那么就必须要抛开表面的相似,而去找到两者关键的区别.在笔者看来,几何直观的内涵最重要之处是“直接感知”(即徐利治先生所下定义中的用词).具体地说,数形结合的“以形助数”,的确是借助于“形”来分析“数”,但是,这个“形”需要我们相对规范地得出,解释的过程更是要借助于“形”的细节严谨地开展,是带有初步的演绎推理的成分(已类似于证明).而几何直观,也是在用“形”,但这个“形”,可以是眼睛见到的,可以是画出的,也可以是大脑想到的.更重要的是,它是要依托“形”直接地产生对数量关系及事物其他本质属性的感知,即“未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察,直接把握对象的全貌和对本质的认识”[6].直白地讲,几何直观是一种立足于“形”却带有思维跳跃性的解决数学问题的方式,它是基于表象的、在人头脑中进行的“快捷推理”.如前文所举的分数大小比较的例子,当学生头脑中想到“一个圆平均分成四份,其中的一份与平均分成五份中的一份相比”时,生活经验首先介入,然后支撑表象马上建立,于是“大于”的结果直接就在学生头脑中形成了.这明显与用图形来规范、严谨地进行说理是不一样的.因此,几何直观与数形结合虽有一定联系,却并非同一意义,这往往为很多人所混淆.也正因为站在这样的角度,笔者觉得,《标准》对几何直观的文字描述还不是最理想,至少是很难让人将几何直观与数形结合中的“以形助数”区别开来.当然,这也许是笔者理解不够造成的.三、几何直观与直观几何谈起几何直观,我们又不得不提及大家经常听到的另一个名词——直观几何.那么,几何直观和直观几何,这两者又是怎么回事呢?我们在初中阶段都经历过这样的几何学习——从定义、公设、公理或已证的命题出发,通过一系列严谨的步骤、严密的推理,完成对某个命题的证明.这样的几何就是论证几何,或称之为证明几何.论证几何有利于培养人的逻辑思维能力,提高人的理性思维水平,欧几里得的《几何原本》就是一个典范,它为数学的发展和人类的进步做出了卓越的贡献.但是,人除了逻辑思维能力之外,还需要形象思维能力.而在几何的学习中,如果能“从直观形象这一侧面”(希尔伯特语),通过观察、想象、操作等手段去认识图形、发现规律或解决问题,那么人的形象思维能力就会得到良好发展,发现能力和创新精神也会得到有效培养.这种“通过图形进行观察,根据直观认识来研究图形的性质和相关问题,以这种方法为主要手段的几何学叫直观几何”[7].在小学数学中,由于学生的年龄特点和认知特点,他们学习几何需要更多地从经验入手,通过观察比较,或通过动手操作,从而获得对图形的认识,并发展空间观念.举些例子来说明.例如,在学习两直线相交的相关知识时,我们引导学生通过观察、比较得出对顶角(学生叫对角)相等的结论(图2).若学生有疑义,则可让他们借助工具来测量,那就一定会得 出这样的结论.再如,在学习平行四边形面积时,我们也是让学生通过观察,想象到沿着平行四边形的高剪下一个三角形,拼到另一侧就可转化为一个长方形(图3),然后进行对比,找到两者之间的联系,从而得出面积计算公式.这种以观察、操作等为手段得出结论的几何学习方法,就是直观几何.在小学中,无论是几何图形的特征、性质还是求积的公式,基本上都是通过这样的直观方法得到的.(在欧氏几何中,这都是需要证明的)因此,“小学几何课程内容的性质实质上是直观几何、实验几何”[8].也正是由于直观几何具有诸多的论证几何所不具备的教育价值,因此也产生了以“直观”为理念来设计几何课程的尝试,并收到显著效果,如俄罗斯的中学几何教材《直观几何》就是典范.从上可见,直观几何和几何直观是两个不同的概念,直观几何是几何学的形态之一,也是一种几何学习的方法,而几何直观则是一种解决数学问题的思维方式,是一种能力.当然,尽管概念、内涵不同,但它们之间却并非毫无关联.比如,经历直观几何的学习,必定能为几何直观能力的形成打下基础.因为学生通过直观方式学习几何的过程,就一定是一个积累几何活动经验、发展几何直觉的过程.而这种不断增强的几何经验、直觉,就会积淀并转化为学生将来用几何直观能力解决问题时可调用的丰富资源.四、几何直观与空间观念对几何直观的论述,《标准》中还出现在课程总体目标中的“数学思考”部分——建立数感、符号意识和空间观念,初步形成几何直观和运算能力,发展形象思维与抽象思维.这样的表述,在向我们传递着几何直观是一种能力的同时,更吸引着我们去关注句中出现的另一个熟悉的名词——空间观念.之所以要拿出它们两者来进行讨论,是因为在我们的传统认识中,空间观念也是一种能力,而且这种能力的形成过程也是与几何图形紧密相关的.更重要的是,在实验稿的课标中,“能运用图形形象地描述问题,利用直观来进行思考”,是作为空间观念的特征来描述的.而在《标准》中,这句话略作修改变成了几何直观的定义——几何直观主要是指利用图形描述和分析问题.于是,这不禁让我们深思:几何直观和空间观念,它们到底存在怎样的关联呢?先得说空间观念.所谓空间观念,可以看成是物体和图形的形状、大小、位置、关系等在人脑中的表象(周玉仁语).在《标准》中,是从四个方面来具体描述空间观念特征的.发展空间观念的有效途径,经典理论认为,那就是在几何学习时多用经验、观察、操作、想象、交流等手段.以这样的论述对比几何直观的概念,我们可以有两点认识:(1)空间观念是几何教学领域中的一个专用名词,是几何教学的一个重要目标.而几何直观却并非是限于几何领域内的一个名词,它尽管是借助了几何,但却跳出了几何,适用到了更宽广的领域.(2)空间观念更多地体现为教学的结果,目标性特征比较明显,而几何直观作为一种思维的方式和能力,过程性特征更加凸显.也许正是两者具有这些差异,《标准》就从实验稿课标对空间观念的描述中剥离出一项,提升成为另一个核心的概念——几何直观.(当然,将两者作为两个能力目标区别看待,并不是新生事物,2003年颁布的《普通高中数学课程标准(实验稿)》早已这样提出)同时,我们不难想到,由于共同元素“几何”的存在,两者之间想要毫无瓜葛那也是不现实的.明显地,要清晰表象、发展空间观念,宜借助图形,采用观察、想象等直观手段,但这样的过程中就已经蕴含了运用几何直观方法的元素.反之,在运用几何直观方法思考问题、解决问题的时候,观察、想象等手段也必定相伴而行,空间观念自然也在潜移默化地得到发展.因此,如果将它们两者做个比喻的话,是否有“同饮一江水,风情两相宜”的意境呢?五、题外话 尽管笔者以较长的篇幅谈了对几何直观的粗浅思考,但事实上,对于几何直观这个《标准》中新提的名词,笔者和大多数小学数学教师一样,除了文中谈及的几个话题之外,还有很多的不明之处、疑惑之处.比如,小学数学教材中承载几何直观能力培养的内容具体有哪些?我们如何教学,才可以说是正确地展现了几何直观的方法?培养学生的几何直观能力到底有哪些可借鉴的策略?再如,对于小学中的几何直观,《标准》只在第二学段提了一句“感受几何直观的作用”(在第二学段“学段目标”中的“数学思考”部分).而“感受”是一个描述过程目标的行为动词,这是否意味着,小学阶段的几何直观只需要感受即可?类似的疑问还有不少,但在我们见到的《标准》中,对这方面的阐述却很少,涉及小学阶段的具体论述和相应案例更是没有出现.目前我们所看到的一些解读材料,也更多地是在以中学的教学内容为例说事.这对小学教师的学习、实践而言,都造成了一定的障碍.为此,笔者和教师们一样,有一种强烈的愿望:当一个新的名词(教学要求)提出来的时候,我们希望尽早见到权威部门对此作非常详尽的解读,而不是由一线教师自己作茫然的思考或资料的找寻. 。
浅谈几何直观的含义
浅谈几何直观的含义数学是研究数量关系与空间形式的科学。
空间形式最主要的表现就是图形。
在数学研究、学习、讲授中,不仅需要关注研究图形的方法、研究图形的结果,还需要感悟图形给我们带来的好处,几何直观就是在“数学――几何――图形”这样的一个关系链中让我们体会到它带来的最大好处。
《课程标准(2011版)》中指出:几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。
几何直观所指有两点:一是几何,这是主要是指图形;二是直观,这里的直观不仅仅是指直接看到的东西(直接看到的是一个层次),更重要的是依托现在看到的东西,以前看到的东西进行思考、想象、综合起来,几何直观就是依托、利用图形进行数学的思考和想象。
它在本质上是一种通过图形所展开的想象力。
用最通俗的话说几何直观,就是看图想事,看图说理,也包括想图、画图、表达想法。
借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果。
几何直观可以帮助学生直观地理解数学,在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
培养学生的几何直观(1)使学生养成画图习惯,鼓励用图形表达问题可以通过多种途径和方式使学生真正体会到画图对理解概念、寻求解题思路上带来的便利。
在教学中应有这样的导向:能画图时尽量画,其实质是将相对抽象的思考对象“图形化”,尽量把问题、计算、证明等数学的过程变得直观,直观了就容易展开形象思维,无论计算还是证明,逻辑的、形式的结论都是在形象思维的基础上产生的。
(2)重视变换----让图形动起来几何变换或图形的运动既是学习的对象,也是认识数学的思想和方法。
在数学中,我们接触的最基本的图形都是对称图形,例如球、圆锥、圆台、正多面体、圆、正多边形、长方体、长方形、菱形、平行四边形等;另一方面,在认识、学习、研究非对称图形时,又往往是运用这些对称图形为工具的。
变换又可以看作运动,让图形动起来是指再认识这些图形时,在头脑中让图形动起来,例如,平行四边形是一个中心对称图形,可以把它看作一个刚体,通过围绕中心(两条对角线的交点)旋转180度,去认识、理解、记忆平行四边形的其他性质。
关于几何直观的含义与表现形式——对《义务教育数学课程标准(2011年版)》的一点认识
关于几何直观的含义与表现形式——对《义务教育数学课程标准(2011年版)》的一点认识关于几何直观的含义与表现形式——对《义务教育数学课程标准(2011年版)》的一点认识引言:几何作为数学的一个重要分支,旨在研究空间和图形的形状、大小、位置关系以及变化规律等。
它在日常生活中有着广泛的应用,同时也是培养学生空间想象力和几何直观的重要手段之一。
《义务教育数学课程标准(2011年版)》中对几何的教学目标、内容和活动设计做出了明确规定,本文将对几何直观的含义与表现形式进行探讨和分析,并结合课程标准,探究如何培养学生的几何直观。
一、几何直观的含义几何直观是指对图形的形状、大小、方位和位置关系的直观认识。
几何直观的核心在于学生对于空间关系的感知和理解。
它是学生构建几何概念和解决几何问题的基础,具有重要的意义。
几何直观的内涵有以下几个方面:1. 图形特征的感知:学生通过感知和观察,形成对不同图形特征的直观印象,如线段、角、平行线等。
2. 图形形状的感知:学生能够辨认和理解不同形状的图形,如三角形、四边形、多边形等。
3. 图形大小的感知:学生能够感知和比较图形的大小,并形成概念上的理解,如长短、宽度等。
4. 图形位置关系的感知:学生能够观察并描述图形之间的位置关系,如上下、左右、内外等。
几何直观的形成需要通过大量的感知和实践活动,培养学生的观察能力、比较能力、分类能力和空间想象力。
二、几何直观的表现形式几何直观可以通过多种形式来表现和呈现。
在几何学习中,可以采用以下形式培养学生的几何直观:1. 实物图形展示:通过展示具体的实物图形,让学生直观地感知形状、大小和位置关系。
可以利用实物材料、拼图等让学生亲自进行操作和观察。
2. 平面图形呈现:在纸上或黑板上画出平面图形,让学生观察和理解图形的几何特征,如图形边长、角度等。
这样的呈现方式可以促使学生发现和分析图形的规律。
3. 立体几何模型:利用立体几何模型,让学生观察和感知图形的三维特征,如立体体积、表面积等。
“几何直观”的面面谈
江苏无锡连元街小学(214000) 马德忠谈及“直观”,似乎与数学格格不入,因为从它们的定义就可知一二:“直观”是指通过与客观事物的直接接触而获得的感性认识和判断,而数学则是一门逻辑性强的、推理严谨的学科。
然而就在看似“格格不入”情况下,2011年版的《义务教育数学课程标准》却将它们完美地糅合在一起,并生成一个崭新的名词——“几何直观”,可以说这个名词是《义务教育数学课程标准(2011年版)》的十大核心概念中的重要一员,它的出现远远超出对几何图形本身的研究。
曾如弗莱登塔尔所言:“几何直观的出现,让我们在最短的时间内,最有成效地把握‘什么可能重要、什么可能有意义、什么可能最接近的’,并能帮助我们在课题、概念与方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。
”一、理解几何直观概念的诞生,可以帮助我们从另一层面理解数学“几何直观”,是一个新鲜话题,想要真切地了解它的内涵,还得从它的上级科目内容——“直观”说起:直观这一词汇早已出现,并在不同国度、不同人群里有着不同的解释,《现代汉语词典》是这样解释的:“用感官直接接受,直接观察。
”在心理学家的心目中:“直观是从感觉到的具体对象背后,发现抽象的能力。
”在数学领域,数学家们把“直观”明确为 “从感觉的具体的对象背后,发现抽象的,理想的(状态)的能力。
”……综上所述:直观是一种能力,一种能够透过现象看到本质的能力,一种能够看出事物之间相互关联的能力。
那么这种能力是否可以延伸到数学领域?是否可以帮助我们更好地解决问题?答案是肯定的。
“几何直观”的诞生,就是让我们更好地借助这种能力把复杂的数学问题变得简明、形象,从而帮助我们更好地探索解决问题的思路,预测事物发展的轨迹。
换句话说,几何直观就是借助见到的(或想象出来的)几何图形的形象关系,对数学的研究对象(空间形式和数量关系)进行直接感知和整体把握。
二、把握几何直观的表现形式,可以帮助我们从更多角度呈现数学虽说“几何直观”的概念是最近提出的,但关于“几何直观”的探究却早已在进行,伽利略就曾有过这样一段表述:“展现在我们眼前的宇宙像一本用数学语言写成的大书,如果不掌握数学的符号语言,就像在黑暗的迷宫里游荡,什么也认识不清。
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对“几何直观”概念的几点辨析省海盐县实验小学教育集团顾志能在《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称《标准》)中,“几何直观”是课程目标的核心概念。
《标准》提出:“在数学课程中,应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想……要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。
”而在《义务教育数学课程标准(实验稿)》中,“几何直观”却并不是课程目标的核心概念,这预示着,几何直观将成为数学教学研究中的一个新的关注点。
在这个时候,理解几何直观的含义,了解与相关概念的区别,对小学数学教师而言,就显得非常必要和迫切。
为此,笔者从自己的困惑出发,结合所看到的相关资料,谈一些粗浅的认识,供老师们讨论。
一、几何直观的含义《标准》:“几何直观主要是指利用图形描述和分析数学问题。
借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果。
几何直观可以帮助学生直观地理解数学,在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
”著名数学家徐利治先生也有过对几何直观的描述:“几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。
”[1]也有学者这么描述:“几何直观是一种思维活动,是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态。
”[2]从这些描述中,我们可有以下的认识:◆几何直观是一种运用图形认识事物的能力[3],或者说一种解决数学问题的思维方式。
◆这种能力可外化成为一种在解决某些数学问题时的方法,这种方法区别于其它方法的典型特征在于它是以几何图形为工具的——即“几何”两字的意义。
◆用这种方法解决问题,不是运用几何中常用的论证方法,而是通过经验、观察、想象等途径,直观地感知问题的结果或方向——即“直观”两字的意义。
如三年级学生要学习同分子分数大小比较,这个知识相对比较抽象,学生较难理解。
此时,学生如果能主动地采取画出(或想到)以下几何图形(图1)的方式,然后通过观察(或想象)图形的特点及联系,直观地解决问题,并理解了“分子相同的分数,分母小的反而大”的原理。
学生如果具备这种解决问题的思维方式,掌握这样的方法,我们就可说学生有几何直观的能力。
图1二、几何直观与数形结合在理解几何直观意义的过程中,老师们最大的困惑就是难以将几何直观与数形结合清晰地区别开来。
比如说,上文所举的分数大小比较时用几何图形来思考的例子,在以前,我们一直是视为这是用数形结合思想来解决问题的典型。
而如今,这样的观念要调整,数形结合变成了几何直观,这就难免让人疑惑:数形结合与几何直观,区别到底在哪里?近期,在笔者参与的或了解到的一些以几何直观为话题的教研活动,都呈现出了一个共同之处:教师呈现的所谓几何直观的例子,都是以前所讲的数形结合的例子。
教师们更有这样的认识:几何直观,无非是数形结合的“同名词”,或者可能只是数形结合的“升级版”而已。
教师们对此的不解,甚至于表现为“用到了几何图形,就是体现了几何直观”这样的想法。
当然,笔者所言的这些教研活动,大多是很基层的,或许只是代表了部分一线普通教师的认识。
但是,这足以说明对数形结合与几何直观作出区分是非常必要的。
什么是数形结合?数形结合,是一种重要的数学思想方法,也是解决数学问题的有效策略。
它是指解决数学问题时,可借助于“形”的直观来理解抽象的“数”,或反过来运用“数”与“式”的描述来刻画“形”的特征。
[4]数形结合最基本的形式为“以形助数”和“以数解形”。
如小学数学中的分数应用题,我们运用画线段图来分析其中的数量关系,这样的情况就可叫做“以形助数”。
而我们在直角坐标系中,用数对来描述图形的变化(如平移、旋转),或计算两点之间的距离等,这样的情况则可叫做“以数解形”。
“以形助数”,是在发挥“形”所具有的直观特点,来降低“数”的抽象度;而“以数解形”,则是在利用“数”的精确性,来准确刻画“形”,让“形”得以量化。
如此,直观与抽象相互配合,取长补短,从而顺利、有效地解决问题。
[5]如果用一个不太恰当的比喻来形容数形结合的特点,它就好比是架设在“数”与“形”之间的一条双向通道,起着由此及彼、相互促进的作用。
我们再来看几何直观。
从几何直观的概念可知,它是指“利用图形描述和分析数学问题”。
那么,我们不得不产生这样的理解:几何直观就是用“形”来解决数学问题。
尽管这个“数学问题”可能并不仅仅是“数”,可以是“形”或者其它数学问题。
但不管怎样,如果与数形结合做个对比,那么它就只能算是一条由“形”出发的单向通道而已。
在小学数学中,因为“以数解形”的例子极少,所以就造成了老师们谈及数形结合时,都是举了单向的由“形”出发解决“数”的例子。
如此一来,我们自然就会遇到这样的情况:数形结合的例子是“以形助数”,几何直观的例子也是“以形助数”,在小学中,两者所举的例子似乎是一样的。
或许就是因为这样的原因,曾有专家提出:在小学数学中,不必区分数形结合和几何直观。
这样的观点,笔者觉得也不无道理。
当然,尽管有这样的观点,但并不是说几何直观就是数形结合的下位概念。
笔者觉得,如果我们要将几何直观与“以形助数”作区别的话,那就必须要抛开表面的相似,而去找到两者关键的区别。
在笔者看来,几何直观的涵最重要之处是“直接感知”(即徐利治先生所下定义中的用词)。
具体地说,数形结合的“以形助数”,的确是借助于“形”来分析“数”,但是,这个“形”需要我们相对规地得出,解释的过程更是要借助于“形”的细节严谨地开展,是带有初步的演绎推理的成分(已类似于证明)。
而几何直观,也是在用“形”,但这个“形”,可以是眼睛见到的,可以是画出的,也可以是大脑想到的。
更重要的是,它是要依托“形”直接地产生对数量关系及事物其它本质属性的感知,即“未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察,直接把握对象的全貌和对本质的认识。
[6]”直白地讲,几何直观是一种立足于“形”却带有思维跳跃性的解决数学问题的方式,它是基于表象的、在人头脑中进行的“快捷推理”。
如前文所举的分数大小比较的例子,当学生头脑中想到“一个圆平均分成四份,其中的一份与平均分成1五份中的一份相比”,这时,生活经验首先介入,然后支撑表象马上建立,于是“4大于51”的结果直接就在学生头脑中形成了。
这明显与用图形来规严谨地进行说理是不一样的。
因此,几何直观与数形结合虽有一定联系,却并非同一意义,这往往为很多人所混淆。
也正因为站在这样的角度,笔者觉得,《标准》对几何直观的文字描述还不是最理想,至少是很难让人将几何直观与数形结合中的“以形助数”区别开来。
当然,这也许是笔者理解不够造成的。
三、几何直观与直观几何谈起几何直观,我们又不得不提及大家经常听到的另一个名词——直观几何。
那么,几何直观和直观几何,这两者又是怎么回事呢?我们在初中阶段都经历过这样的几何学习——从定义、公设、公理或已证的命题出发,通过一系列严谨的步骤、严密的推理,完成对某个命题的证明。
这样的几何就是论证几何,或称之为证明几何。
论证几何有利于培养人的逻辑思维能力,提高人的理性思维水平,欧几里得的《几何原本》就是一个典,它为数学的发展和人类的进步做出了卓越的贡献。
但是,人除了逻辑思维能力之外,还需要形象思维能力。
而在几何的学习中,如果能“从直观形象这一侧面”(希尔伯特语),通过观察、想象、操作等手段去认识图形、发现规律或解决问题,那么,人的形象思维能力就会得到良好发展,发现能力和创新精神也会得到有效培养。
这种“通过图形进行观察,根据直观认识来研究图形的性质和相关问题,以这种方法为主要手段的几何学叫直观几何。
[7]”在小学数学中,由于学生的年龄特点和认知特点,他们学习几何需要更多地从经验入手,通过观察比较,或通过动手操作,从而获得对图形的认识,并发展空间观念。
举些例子来说明:如,在学习两直线相交的相关知识时,我们引导学生通过观察、比较,他们就会得出对顶角(学生叫对角)相等的结论(图2)。
倘若学生有疑义,则可让他们借助工具来测量,那就一定会得出这样的结论。
再如,在学习平行四边形面积时,我们也是让学生通过观察,想象到沿着平行四边形的高剪下一个三角形,拼到另一侧就可转化为一个长方形(图3),然后进行对比,找到两者之间的联系,从而得出面积计算公式。
这种以观察、操作等为手段得出结论的几何学习方法,就是直观几何。
在小学中,无论是几何图形的特征、性质还是求积的公式,基本上都是通过这样的直观方法得到的。
(在欧氏几何中,这都是需要证明的)因此,“小学几何课程容的性质实质上是直观几何、实验几何。
[8]”图2 图3也正是因为直观几何具有诸多的论证几何所不具备的教育价值,因此,也产生了以“直观”为理念来设计几何课程的尝试,并收到显著效果,如俄罗斯的中学几何教材《直观几何》就是典。
从上可见,直观几何和几何直观是两个不同的概念,直观几何是一种几何学习的方法,而几何直观则是一种解决数学问题的思维方式,是一种能力。
当然,尽管概念涵义不同,但它们之间却并非毫无关联。
比如,经历直观几何的学习,必定能为几何直观能力的形成打下基础。
因为学生通过直观方式学习几何的过程,就一定是一个积累几何活动经验、发展几何直觉的过程。
而这种不断增强的几何经验、直觉,就会积淀并转化为学生将来用几何直观方法解决问题时可调用的丰富资源。
四、几何直观与空间观念对几何直观的论述,《标准》中还出现在课程总体目标中的“数学思考”部分——建立数感、符号意识和空间观念,初步形成几何直观和运算能力,发展形象思维与抽象思维。
这样的表述,在向我们传递着几何直观是一种能力的同时,更吸引着我们去关注句中出现的另一个熟悉的名词——空间观念。
之所以要拿出它们两者来进行讨论,是因为在我们的传统认识中,空间观念也是一种能力,而且这种能力的形成过程也是与几何图形紧密相关的。
更重要的是,在实验稿的课标中,“能运用图形形象地描述问题,利用直观来进行思考”,是作为空间观念的特征来描述的。
而在《标准》中,这句话略作修改竟变成了几何直观的定义——几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。
于是,这不禁让我们深思:几何直观和空间观念,它们到底存在怎样的关联呢?先得说空间观念。
所谓空间观念,可以看成是物体和图形的形状、大小、位置、关系等在人脑中的表象(周玉仁语)。
在《标准》中,是从四个方面来具体描述空间观念特征的。
发展空间观念的有效途径,经典理论认为,那就是在几何学习时多用经验、观察、操作、想象、交流等手段。
以这样的论述对比几何直观的概念,我们可以有两点认识:一,空间观念,是几何教学领域中的一个专用名词,是几何教学的一个重要目标。
而几何直观,却并非是限于几何领域的一个名词,它尽管是借助了几何,但它却跳出了几何,适用到了更宽广的领域。
二,相对而言,空间观念更多地体现为教学的结果,目标性特征比较明显,而几何直观作为一种思维的方式和能力,过程性特征更加凸显。