空间向量与平行关系 课件

(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)， ∴u·a＝－6＋8－2＝0，∴u⊥a， ∴l⊂α 或 l∥α. ②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，u＝－14a， ∴l⊥α. ③∵u＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)，∴u 与 a 不共线，也不垂直， ∴l 与 α 相交，但不垂直．
(2)①u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，－12)， ∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，∴α⊥β. ②∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，∴u＝－3＝(4，－2,1)， ∴u 与 v 不共线，也不垂直， ∴α 与 β 相交但不垂直．
法二：∵ MN ＝C1N －C1M ＝12C1B1 －12C1C ＝12( D1 A1 － DA1 )＝12 DA1 ， ∴ MN ∥ DA1 .而 MN⊄平面 A1BD，DA1⊂平面 A1BD， ∴MN∥平面 A1BD.
6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中， 求证：平面A1BD∥平面CB1D1. 证明：如图，分别以AB,AD,AA1 为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标 系.设正方体的棱长为1， 则A1(0,0,1)，B(1,0,0)， D(0,1,0)，B1(1,0,1)， C(1,1,0)，D1(0,1,1)，
利用向量方法证明几何中的平行问题可以通过两条 途径实现，一是利用三角形法则和平面向量基本定理实 现向量间的相互转化，得到向量的共线关系；二是通过 建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法 向量进行平行关系的证明．
问题1：在空间中给定一个定点A(一个石耳)和一个定 方向(绳子方向)，能确定这条直线在空间的位置吗？
提示：能． 问题2：在空间过一定点且与一定直线垂直的平面位置 确定吗？ 提示：确定．
1．直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行或共线 的向量． 2．平面的法向量 直线l⊥α，取直线l的 方向向量 a，则a叫做平面α的 法向量.
(3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，根 据下列条件判断α和l的位置关系：
①u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)； ②u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)； ③u＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)． [思路点拨] 先判断直线的方向向量与平面的法向 量的关系，再判断线面、面面关系．
∵m＝n，∴m∥n，
∴平面 AMN∥平面 EFDB.
[一点通] 证明面面平行问题可由以下方法去证明： ①转化为相应的线线平行或线面平行;②分别求出这 两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行.本题采用 的是方法②，解题过程虽复杂，但思路清晰，是证明平面 平行的常用方法．
5.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1 中，M，N分别是C1C，B1C1的中点． 求证：MN∥平面A1BD. 证明：法一：如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1所 在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设正 方体的棱长为1，则可求得
[一点通] 解答本题的关键是：①搞清直线的方向 向量、平面的法向量和直线、平面的位置关系之间的内 在联系；②要熟练掌握判断向量共线、垂直的方法，在 把向量关系转化为几何关系时，注意其等价性．
1．已知直线l的方向向量为u＝(2,0，－1)，平面α的一个法向 量为v＝(－2,1，－4)，则l与α的位置关系为________． 解析：∵u·v＝(2,0，－1)·(－2,1，－4)＝－4＋0＋4＝0 ， ∴u⊥v，∴l∥α或l⊂α. 答案：l∥α或l⊂α
∴a2－x1a2＋x1a2＋y10＋×0y×1＋z1a＝z1＝0，0， ∴y1＝－x1＝－2z1.取 z1＝1， ∴平面 AMN 的一个法向量为 m＝(2，－2,1).
n·DB＝0，
同理由 n·DF
＝0，
可得 x2＝－y2，y2＝－2z2.
令 z2＝1，
∴平面 EFDB 的一个法向量为 n＝(2，－2,1).
于是 MN ＝(12，0，12)， DA1 ＝(1,0,1)， DB＝(1,1,0)， 设平面 A1BD 的法向量是 n＝(x，y，z)， 则 n·DA1 ＝0，且 n·DB＝0，得xx＋ ＋zy＝＝00，. 取 x＝1，得 y＝－1，z＝－1. ∴n＝(1，－1，－1)． 又 MN ·n＝(12，0，12)·(1，－1，－1)＝0， ∴ MN ⊥n.又 MN⊄平面 A1BD，∴MN∥平面 A1BD.
令 z＝1，得 x＝－2，y＝1.
∴n＝(－2,1,1)．
答案：C
4.四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°， SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD ＝1.在如图所示的坐标系Axyz中，分别 求平面SCD和平面SAB的一个法向量．
解：A(0,0,0)，D(1,0,0)，C(2,2,0)，S(0,0,2). ∵AD⊥平面 SAB，∴ AD＝(1,0,0)是平面 SAB 的一个法向量． 设平面 SCD 的法向量为 n＝(1，y，z)， 则 n· DS ＝(1，y，z)·(1,2,0)＝1＋2y＝0，
由直线上一点和直线的方向向量可以确定直线的位置； 由平面上一点和平面的法向量也可以确定平面的位置．
问题1：若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为u， 当a∥u时，l与α有什么关系？若a⊥u呢？
提示：a∥u时，l⊥α；a⊥u时，l∥α或l⊂α. 问题2：若u，v分别是平面α，β的法向量，则u∥v， u⊥v时，α，β是什么位置关系？ 提示：u∥v时，α∥β，u⊥v时，α⊥β.
空间向量与平行关系
以前人们为夯实地面，采用的是一种 由三人合作使用的石制工具，石墩上有三 个石耳，用三根粗绳子拴着，三个人站在 三个方位上，同时拉绳子使石墩离开地面， 然后石墩落下夯实地面．若三个人所站方位使得绳子两两成 等角，且与水平地面所成角为 45°，为了使质量为 100 kg 的 石墩垂直离开地面，每个人至少需要用1003 2 kg 的力．
[精解详析] (1)①∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)， ∴a＝－13b，∴a∥b，∴l1∥l2. ②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b， ∴l1⊥l2. ③∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)， ∴a 与 b 不共线，也不垂直，∴l1 与 l2 相交或异面(不垂直)．
空间中平行关系、垂直关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向
量分别为u，v，则
线线平行 l∥m⇔ a∥b⇔ a＝kb，k∈R ；
线面平行 l∥α⇔ a⊥u ⇔ a·u＝0 ；
面面平行 α∥β⇔ u∥v⇔ u＝kv，k∈R.
线线垂直 l⊥m⇔ a⊥b ⇔ a·b＝0 ；
线面垂直 l⊥α⇔ a∥u ⇔ a＝ku，k∈R ；
[思路点拨] 建立空间直角坐标系
→ 分别求出两个平面的法向量m，n → 证明m∥n
[精解详析]如图，分别以DA,DC, DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空 间直角坐标系．
设正方体棱长为a， 则A(a,0,0)，A1(a,0，a)， D1(0,0，a)，B1(a，a，a)， B(a，a,0)，C1(0，a，a) .
解：(1)∵a＝(1，－2，－2)，b＝(－2，－3,2)， ∴a·b＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2. (2)∵u＝(1,3,6)，v＝(－2，－6，－12)， ∴v＝－2(1,3,6)＝－2u，∴u∥v，∴α∥β. (3)∵a＝(2,0,3)，v＝(1，－4，－3)， ∴a与v既不共线也不垂直，∴l与α斜交． (4)∵a＝(3,2,1)，v＝(1，－2,1)， ∴a·v＝3－4＋1＝0，a⊥v， ∴l⊂α或l∥α.
面面垂直 α⊥β⇔ u⊥v⇔ u·v＝0.
1.直线的方向向量不是唯一的，可以分为方向相同和 相反两类．解题时，可以选取坐标最简的方向向量．
2.一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可以根 据需要进行选取，一个平面的所有法向量共线．
3.因为直线的方向向量与平面的法向量可以确定直线 和平面的位置，所以可以利用直线的方向向量和平面的法 向量来表示空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系．
A1 B ＝(1,0，－1)， D1C ＝(1,0，－1)． B1D1 ＝(－1,1,0)， BD ＝(－1,1,0)， ∴ A1B∥ D1C ， B1D1 ∥ BD. ∴ A1B∥ D1C ，B1D1∥BD. 又∵D1C⊂平面 B1D1C，A1B⊄平面 B1D1C， ∴A1B∥平面 B1D1C，同理 BD∥平面 B1D1C. 又∵A1B∩BD＝B，∴平面 A1BD∥平面 B1D1C.
∴y＝－12. 又 n·DS ＝(1，y，z)·(－1,0,2)＝－1＋2z＝0， ∴z＝12. ∴n＝(1，－12，12)即为平面 SCD 的一个法向量.
[例3] 如图所示,正方体ABCD－ A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱 A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点． 求证：平面AMN∥平面EFDB.
[一点通] 利用待定系数法求法向量的解题步骤：
3．已知平面内的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则该平
面的一个法向量为
()
A．(1，－1,1)
B．(2，－1,1)
C．(－2,1,1)
D．(－1,1，－1)
解析：显然 a 与 b 不平行，设平面的法向量为 n＝(x，y，z)，
则有ab· ·nn＝ ＝00， ⇒25xx＋ ＋36yy＋ ＋z4＝z＝0， 0.
∴N(a2，0，a)，M(a，a2，a)，E(a2，a，a)，F(0，a2，a)， ∴ AN ＝(－a2，0，a)， NM ＝(a2，a2，0)， DB＝(a，a,0)， DF ＝(0，a2，a). 设平面 AMN 与平面 EFDB 的法向量分别为 m＝(x1，y1，z1)和 n＝(x2，y2，z2)， 则mm··NANM＝＝00，，
2．根据下列条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、 直线与平面的位置关系． (1)直线l1与l2的方向向量分别是 a＝(1，－2，－2)，b＝(－2，－3,2)． (2)平面α，β的法向量分别为 u＝(1,3,6)，v＝(－2，－6，－12)． (3)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是 a＝(2,0,3)，v＝(1，－4，－3)． (4)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是 a＝(3,2,1)，v＝(1，－2,1)．