精选中考数学易错题专题复习二次函数附答案解析

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知二次函数223y ax ax =-+的最大值为4，且该抛物线与y 轴的交点为C ，顶点为

D .

（1）求该二次函数的解析式及点C ，D 的坐标； （2）点(,0)P t 是x 轴上的动点，

①求PC PD -的最大值及对应的点P 的坐标；

②设(0,2)Q t 是y 轴上的动点，若线段PQ 与函数2

||23y a x a x =-+的图像只有一个

公共点，求t 的取值范围.

【答案】（1）2y x 2x 3=-++，C 点坐标为(0,3)，顶点D 的坐标为(1,4)；（2）①最

，P 的坐标为(3,0)-，②t 的取值范围为3t ≤-或332

t ≤<或72t =.

【解析】 【分析】

（1）先利用对称轴公式x=2a

12a

--

=，计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两点代入列二元一次方程组求出解析式；

（2）根据三角形的三边关系：可知P 、C 、D 三点共线时|PC-PD|取得最大值，求出直线CD 与x 轴的交点坐标，就是此时点P 的坐标；

（3）先把函数中的绝对值化去，可知22x 23,0,

y x 23,0.

x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩，此函数是两个二次函数

的一部分，分三种情况进行计算：①当线段PQ 过点（0，3），即点Q 与点C 重合时，两图象有一个公共点，当线段PQ 过点（3，0），即点P 与点（3，0）重合时，两函数有两个公共点，写出t 的取值；②线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c （x≥0）时有一个公共点时，求t 的值；③当线段PQ 过点（-3，0），即点P 与点（-3，0）重合时，线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c （x ＜0）时也有一个公共点，则当t≤-3时，都满足条件；综合以上结论，得出t 的取值． 【详解】 解：（1）∵2a

x 12a

-=-

=， ∴2y ax ax 3=-+的对称轴为x 1=. ∵2y ax ax 3=-+人最大值为4， ∴抛物线过点()1,4. 得a 2a 34-+=， 解得a 1=-.

∴该二次函数的解析式为2y x 2x 3=-++.

C 点坐标为()0,3，顶点

D 的坐标为()1,4.

（2）①∵PC PD CD -≤，

∴当P,C,D 三点在一条直线上时，PC PD -取得最大值.

连接DC 并延长交y 轴于点P ，PC PD CD -===

∴PC PD -

. 易得直线CD 的方程为y x 3=+. 把()P t,0代入，得t 3=-. ∴此时对应的点P 的坐标为()3,0-.

②2

y a |x |2a x 3=-+的解析式可化为22x 23,0,

y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩

设线段PQ 所在直线的方程为y kx b =+，将()P t,0，()Q 0,2t 的坐标代入，可得线段

PQ 所在直线的方程为y 2x 2t =-+.

（1）当线段PQ 过点()3,0-，即点P 与点()3,0-重合时，线段PQ 与函数

22x 23,0,

y x 23,0.

x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点，此时t 3=-.

∴当t 3≤-时，线段PQ 与函数22x 23,0,

y x 23,0.

x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点.

（2）当线段PQ 过点()0,3，即点Q 与点C 重合时，线段PQ 与函数

22x 23,0,y x 23,0.

x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点，此时3t 2=.

当线段PQ 过点()3,0，即点P 与点()3,0重合时，t 3=，此时线段PQ 与函数

22x 23,0,

y x 23,0.

x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像有两个公共点.

所以当3

t 32≤<时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.

x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点.

（3）将y 2x 2t =-+带入()2

y x 2x 3x 0=-++≥，并整理，得2x 4x 2t 30-+-=.

()Δ1642t 3288t =--=-.

令288t 0-=，解得7

t 2

=

. ∴当7

t 2=时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.

x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点.

综上所述，t 的取值范围为t 3≤-或3t 32≤<或7t 2

=. 【点睛】

本题考查了二次函数的综合应用，先利用待定系数法求解析式，同时把最大值与三角形的三边关系联系在一起；同时对于二次函数利用动点求取值问题，从特殊点入手，把函数分成几部分考虑，按自变量从大到小的顺序或从小到大的顺序求解．

2．如图所示，抛物线2y ax bx c =++的顶点为()2,4M --，与x 轴交于A 、B 两点，且

()6,0A -，与y 轴交于点C ．

()1求抛物线的函数解析式；

()2求ABC 的面积；

()3能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P ，使

APC 的面积最大？若能，请求出点

P 的坐标；若不能，请说明理由．

【答案】()1 2

134

y x x =

+-；()212；()27334

APC x S =-当时，有最大值

，点P 的坐标是153,4P ⎛

⎫-- ⎪⎝

⎭． 【解析】 【分析】

(1)设顶点式并代入已知点()6,0A -即可；

(2)令y=0，求出A 、B 和C 点坐标，运用三角形面积公式计算即可；

(3)假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ，线段PF 的长度即为两函数值之差，将APC 的面积计算拆分为APF

CPF

S S

+即可.

【详解】

()1设此函数的解析式为2()y a x h k =++， ∵函数图象顶点为()2,4M --，

∴2(2)4y a x =+-， 又∵函数图象经过点()6,0A -， ∴20(62)4a =-+-