涉及弹簧的力学问题

涉及弹簧的力学问题

1．弹簧的作用力分析

弹簧在弹性限度内，产生的弹力遵从胡克定律f=kx ，式中x 指相对原长的形变量。当形变量变化Δx 时，弹力也发生相应的变化Δf ，且Δf=k Δx 。

例1 如图1，轻弹簧上端固定，下端挂一质量为m o 的平盘，盘内放一质量为m 的物体。当盘静止时，弹簧的长度比其自然长度伸长了L 。今向下拉盘，使弹簧再伸长ΔL 后停止，然后松手放开。设弹簧总处在弹性限度内，则刚松开手时，盘对物体的支持力等于

(A)(1十ΔL ／L)mg

(B)(1十ΔL ／L)(m 十m 。)g

(C) ΔL(m 十m 。)g/L

(D) ΔL ·mg ／L

解析：对系统，静止时

kL ＝(m 十m o )g ①

再下拉ΔL 后松手瞬间，有

k(L+ΔL)—(m+m 。)g ＝(m+m 。)a ②

由①②得k ΔL ＝(m 十m 。)a ③ 图1

此时系统所受的合外力为k ΔL ，也可直接用Δf=k Δx 得出。

对物体m ：N 一mg ＝ma ④

联立③④得N ＝(1十ΔL/L)·mg

本题也可用特殊值验证：令ΔL ＝0，N ＝mg 只有选项(A)正确。

2．弹簧振子的运动分析

例2 一弹簧振子作简谐振动，周期为T 。

(A)若t 时刻和(t 十Δt)时刻振子运动的位移大小相等、方向相同，则Δt 一定等于T 的整数倍。

(B)若t 时刻和(t 十Δt)时刻振子运动速度大小相等、方向相反，则一Δt 定等于T ／2的整数倍

(C)若Δt ＝T ，则t 时刻和(t 十Δt)时刻振子运动的加速度一定相等

(D)若Δt ＝T ／2，则T 时刻和(t 十Δt)时刻弹簧的长度一定相等

解析 (1)弹簧振子作简谐振动，其位移x 一时间t 关系图线

应是正弦或余弦曲线。设为正弦曲线，如图2，并在图上找出t 和

(t 十Δt)两个时刻及其对应的a 、b 两点。

(2)从x 一t 图上可看出，虽然t 和(t 十Δt)两时刻振子位移x

大小相等、方向相同，但时间Δt 可不等于T 的整数倍，故选项(A)错。

(3)已知过x 一t 图线上某点的切线斜率表示速度。由图可看出，过a 、b 两点所作切线的斜率大小相等、符号相反(表示速度方向相反)，但Δt 不等于T ／2的整数倍，故选项(B)错。

(4)若Δt ＝T ，由简谐振动的周期性可知，和(t 十Δt)两时刻振子的位移一定等大同向，故两时刻的受力完全相同，振子的加速度一定相等，故选项(C)正确。

(5)若Δt ＝T ／2，则可从x 一t 图明确看出，若t 时刻弹簧被拉伸，则(t 十Δt)时刻弹簧被压缩，二者的长度不等，故选项(D)错。

3．弹簧储能变化分析

例3 质量为m 的钢板与直立轻弹簧上端连结，弹簧下端固定在地上。平衡时，弹簧的压缩量为x 0，如图3。一物体从钢板正上方距离为3x 0的A 处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连。它们到达最低点后又向上运动。已知物体质量也为m 时，它们恰能回到O 点。若物块质量为2m ，仍从A 处自由落下，则物块和钢板回到O 点时，还具有向上的速度，求物块向上运动到达的最高点与O 点的距离。

解析 物块与钢板相碰前的速度 ①

设V 1表示质量为m 的物块与钢板碰撞后一起向下运动的速度，因碰撞时间极短

006gx V

mV0 = 2mv1②

刚碰完时弹簧储存弹性势能Ep，当它们一起回到O点时，

弹性势能为零。题设此时物块和钢板速度也变为零，则

E p+(2m)V12/2=2mgx0 ③

设V2表示质量为2m的物块与钢板碰撞后一起向下运动

的速度，则有：

2mV。＝3mV2④

刚碰完时弹簧储存的弹性势能仍为Ep，它们回到O点时

弹性势能为零，但物块和钢板有向上的速度V，则有

Ep+(3m)V22/2 = 3mgx0+(3m)V2/2 ⑤

过O点后，钢板受弹簧向下的拉力，加速度大于g。物块与钢板不粘连，物块不可能受到钢板拉力，其加速度为g。故物块与钢板分离后，物块以速度V竖直上抛，向上到达最高点与O点距离为：

L=V2/2g=x o／2。

4．弹簧连结物的位置变化分析

例4 如图4，劲度系数为k1的轻弹簧两端分别与质量为m l、m 2的物块1、2拴接。劲度系数为k2的轻弹簧上端与物体2拴接，下端压在桌面上(不拴接)，整个系统处于平衡状态。现施力将物块1缓慢竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面。在此过程中物块2的重力势能增加了，物块1的重力势能增加了。

解析要求物块的重力势能变化ΔEp=mg.Δh，关键是求两物块各自上升的高度Δh1、Δh2。

系统最初静止，下部弹簧压缩量为

ΔL

2=（m1+m2）g/k2①

最后下部弹簧恢复原长，物块2上升高度

Δh2＝ΔL2②

故物块2重力势能增加

ΔEp2＝m2g·Δh2＝m2·(m1十m2)g2／k2

上部弹簧最初的压缩量为

ΔL1＝m1g／k l③

最后上部弹簧还要提住物块2，变为伸长态，伸长量为图4

ΔL1’＝m2g／k l ④

因此，物块1上升的高度为

Δh1＝ΔL l十ΔL2十ΔL l’＝(m l十m2)g2(1／k l十1／k2)

物块1重力势能增加了

ΔEp1＝m1g·Δh1＝m l(m l十m2)g2(1／k l十1／k2)

5．弹簧与“两个守恒”条件的分析

例5 如图5所示装置中，木块B与水平桌面间的接触是光滑的，子弹沿水平方向射入木块并留在木块内，将弹簧压缩到最短。现将子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象(系统)，则此系统在子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程中：

(A)动量和机械能都守恒、

(B)动量和机械能都不守恒

(C)动量守恒，机械能不守恒

(D)动量不守恒，机械能守恒图5

解析本题研究对象是整个系统，研究过程是从子弹开始射入到弹簧压缩到最短的整个

过程。此过程中，竖直墙对系统有向右的力，故系统水平方向合外力不为零，动量不守恒。子弹打入木块的过程中，要克服摩擦阻力做功，且做功有一部分机械能变为内能，故系统的机械能不守恒。

综上所述，选项(B)是正确的。