第四章：空间问题的有限元

第四章 空间问题的有限元在工程问题中，有些结构形状非常复杂，必须按照空间问题来求解。

由于4节点四面体单元可以很好的模拟几何体的边界形状而被广泛使用。

因此本章将介绍此种单元及8节点六面体单元。

§4.1 空间问题的离散化在工程实际中，有些结构由于形体复杂，并且三个方向的尺寸同量级，必须按空间问题求解。

空间问题有限元法的原理、思路和解题方法完全类同于平面问题的有限元法，所不同的是它具有三维特点。

它所采用的离散化模型仍然是由若干单元在节点处连接而成的，而且节点仍为铰接，但是这些单元具有块体形状。

它的基本未知量是节点位移，有3个分量：,,u v w 。

它的分析方法仍然是先进行单元分析，再进行整体分析，最后求解整体平衡方程。

但必须指出，由平面问题转换为空间问题给有限元分析带来了两个主要困难：1、空间结构离散不像平面问题直观，当人工离散时很容易产生错误。

2、未知量的数量剧增，对于比较复杂的空间问题，计算机存储容量和计算机费用都会产生问题。

为解决上述两个问题，前者可通过寻找规律，建立网格自动生成前处理程序来克服，而后者则可采用高阶元以提高单元精度，达到减少未知量和节省机时的目的。

§4.2常应变四面体单元§4.2.1位移函数图4-1所示为四面体单元，以四个角点i ，j ，m ，l 为结点，每个结点有三个自由度，因此由广义坐标给出的线性位移函数为000000u ϕϕβϕβϕ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦(4.2.1) 其中[]1x y z ϕ= 图4-1 四面体单元[]1212Tββββ=把四个节点坐标代入(4.2.1)式时，可得{}000000A q A A Aββ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦(4.2.2) 其中{}Tii i j j j m m m l ll q u v w u v w u v w u v w ⎡⎤=⎣⎦1111ii i j j j m m m lll x y z xy z Ax y z x y z ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦由(4.2.2)式求出{}1A qβ-= (4.2.3) 将(4.2.3)式代入(4.2.1)式后，则有{}{}1ijml u B A q N N N N q-⎡⎤=Φ=Φ=I I I I ⎣⎦ (4.2.4) 其中100010001⎡⎤⎢⎥I =⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ()16i i i i i N a b x c y d z V=+++ ()16j j j j j N a b x c y d z V=-+++ ()16m m m m m N a b x c y d z V=+++ ()16l l l l l N a b x c y d z V=-+++ 称为形函数，它们的系数为ij ji mm m lll x y z a x y z x y z = 111jj i m m lly z b y z y z = 111jj i mm l l x z c x z x z = 111jj i m m llx y d x y x y =111161i i i j j j m m m lllx y z x y z V x y z x y z =V 为四面体的体积，为了使V 不为负值，单元的4个顶点的标号i ，j ，m ，l 必须按照一定的順序：在右手坐标系中，要使得右手螺旋在按照i j m →→的转向转动时向l 的方向前进。

§4.2.2应变矩阵、应力矩阵如图4-1所示，单元内任一点的应变为[]{}{}ij ml B q B B B B q ε⎡⎤==--⎣⎦ (4.2.5)其中Txy z xy yz zx εεεεγγγ⎡⎤=⎣⎦ 00000010600ii i i ii i i ii b c d B c b V d c d b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦( i ，j ，m ，l ) 显然(,,,)i B i j m l 矩阵中的元素都是常量，因此，采用线性位移模型的四面体单元是常应变单元。

将(4.2.5)式代入空间问题的物理方程得：[][][]{}[]{}{}ij ml D D B q S q S S S S q σε⎡⎤====--⎣⎦ (4.2.6)式中 Tx y z xy yz zx σσσστττ⎡⎤=⎣⎦[]100011100011100011(1)12(1)(12)000002(1)12000002(1)12002(1)E D ννννννννννννννννννννν⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥---=⎢⎥-+-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ []11111132222220600iii i i i ii i i ii i i ii b A c A d A b c A d A b A c d A S A cA b V A d A c A d A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦( i ，j ，m ，l ) 而11A νν=- 2122(1)A νν-=- 3(1)(1)(12)E A ννν-=-- (4.2.7)式中S 称为应力矩阵，显然单元中的应力也是常量。

§4.2.2 单元刚度矩阵和单元等效节点载荷向量利用最小势能原理，得到单元节点位移的公式：[]{}{}k q F = (4.2.8)其中[][][][][][][]TTVk B D B dxdydz B D B V ==⎰称为单元刚度矩阵，它也可以写为[]iiij im il jijj jm jl mi mj mm ml liljlmll K K K K KK K K k K K K K K K K K --⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥--⎢⎥⎣⎦其中[]2121231221212122()()36()r s r s r s r s r s r s r s rs r s r s r s r s r s r s r s r s r s r s r s r s r s r s b b A c c d d A b c A c b A b d A d b A k A c b A b c c c A b b d d A c d A d c V A c b A b d A d c A c d d d A b b c c ++++⎡⎤⎢⎥=++++⎢⎥⎢⎥++++⎣⎦(,,,,r s i j m l =){}F 是单元等效节点载荷向量。

体力与面力的等效节点载荷向量公式同平面问题类似，特别地，若体力为重力，即0{}0b F g ρ⎧⎫⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪-⎪⎪⎩⎭时，体力的等效节点载荷向量公式为1111{}0000000044441111000000004444b Te F TR gV W ρ⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥如果弹性体划分为n 个单元，经过类似平面问题的组集可得到[]{}{}K r R = (4.2.9)其中[]K 为整体刚度矩阵；{}r 称为整个结构的结点位移矩阵，是所求的基本未知量；{}R 是由单元的结点载荷集合而成。

四面体单元具有有限的拟合边界的能力，但单元划分较复杂易出错，故许多前处理程序不支持这一单元的划分。

鉴于线性模式导致的常应变特征，给使用上带来较大的不便，特别是变形梯度较大的区域，可造成较大的错误，有些程序也不支持此类单元。

§4.3六面体单元如同在平面问题中采用矩形单元一样，在空间问题中也可采用六面体单元。

图XXX 表示了8节点六面体单元，每个结点有三个自由度，整个单元有24个自由，采用广义坐标系表示时，采用如下形式的位移模式可得证单元的完备性。

000000u ϕϕβϕ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦(4.3.1) 其中[]1xy z xy xzyz xyz ϕ=[]1224Tββββ=图4-2 八节点六面体单元 作类似于上节的工作，可求得{}[]q A β=从而有[]{}1A q β-=，代入(4.2.1)式可得[][]{}[]{}11238u u v A q N N N N q w -⎧⎫⎪⎪==Φ=I I I I ⎨⎬⎪⎪⎩⎭其中{}[]111222888Tq u v w u v w u v w = ，i N 是形函数。

图4-3出示了20点六面体单元，除了角点外，每边中点另加一副节点，这样单元共有60个自由度，位移模型中包括下述各式，可保证单元的完备性。

2222222222221x y z xy xz yz x y z x y xyx zxzy zyz xyz x yzxy zxyz ϕ⎡=⎣⎤⎦5图4-2 二十节点六面体单元如采用§3.1.2所述步骤，求[]A 阵及[]1A -矩阵，推导出用节点位移表示的广义坐标β，从而得到插值函数i N 的表达式。

不论是8节点还是20节点六面体单元都将是十分麻烦的，同时此种单元不易于拟合实际结构的外形，故应用中受到了限制。

克服上述缺点的有效方法是采用自然坐标直接构造单元的插值函数和利用等参变换而避免采用规则的六面体，在第五章将讨论这样的问题。

§4.4轴对称问题的有限元格式工程中常遇到一些结构，它们的几何形状、约束条件以及作用载荷都对称于某一固定轴，则在载荷作用下产生的位移、应变和应力也都对称于此对称轴，这种问题称为轴对称问题。

轴对称问题在工程实际与日常生活中得到了广泛的应用，如锅炉、水缸、烟囱、受内压的球壳、回转圆盘和发动机缸体等，无限大、半无限大的弹性体受一集中载荷作用时，也可作为轴对称问题处理。

轴对称问题在物理应属空间问题，但如果采用取圆柱坐标(,,)r z θ描述，以对称轴作为z 轴，则应力、应变和位移都与θ无关，只是r ，z 的函数。

任一点的位移只有两个方向的分量，即r 向的u 和z 向的w ，而θ的位移为零，因此轴对称问题可简化为二维处理，但和上章中所述的平面问题又有一定的差别，故在此专门进行讨论。

y5图4-4 轴对称结构图 4-5 空间轴对称问题的离散化 §4.4.1空间轴对称问题的几何方程与物理方程由于对称性，通过对轴的任一平截面（子午面）内任一点的径向位移u 和轴向位移w 完全确定了物体的应变状态，因此也确定了应力状态。

由位移分量u 和w ，可以确定轴向应变 z w z ε∂=∂ 径向应变 r u r ε∂=∂ 剪应变 xz w u r zγ∂∂=+∂∂ 此外，径向位移u 和自动产生的环向应变θε。

半径为r 的圆环，经径向位移u 后，半径变化为r u +，则环向应变θε为2()22r u r ur rθππεπ+-==。

因没有θ方向的位移（即0u θ=），u 和w 又均与θ无关，由弹性力学知，0r u u r r θθγθ∂∂=+=∂∂，0z u w r zθθγθ∂∂=+=∂∂。