关于柯西_施瓦茨不等式证明

西南科技大学 高教研究 2009年第4期(总第93期)

关于柯西-施瓦茨不等式证明

付英贵

(西南科技大学理学院四川绵阳621010)

摘要:柯西-施瓦茨不等式是高等数学中一个难点问题,本文将用三种不同证明方法,注明三种不同方法在处理中的难点和重点,同时讨论柯西-施瓦茨不等式的应用。

关键词:定积分;二重积分;柯西-施瓦茨不等式

一、柯西-施瓦茨不等式:

设f(x),g(x)在区间[a,b]上均匀连续,证明:

!b

a f(x)g(x)dx

2

∀!b a f2(x)dx#!b a g2(x)dx

证法一:作函数,F(x)=!x a(t)g(t)dt2-!x a f2(x)d t#!x a g2(t)d t,因

F∃(x)=2!x a f(t)g(t)d t#f(x)g(x)-f2(x)!x a g2(t)d t-g2(x)!x a f2(t)d t

=!x a2f(x)g(x)f(t)g(t)d t-!x a f2(x)g2(t)d t-!x a f2(t)g2(x)dx

=-!x a[f(x)g(t)-f(t)g(x)]2dt∀0

故F(x)在[a,b]上单调下降,即F(b)∀F(a),(a

而F(a)=0,故F(b)∀0,即不等式成立。

注:本证明关键是建立辅助函数将问题转化成单调性来证明不等式。本方法中将b变成x而建立辅助函数对数学中辅助函数建立和学习有一定帮助。

例:b>a>e证明:a b>b a

分析:a b>b a b l n a>a l n b b l n a-a l n b>0

作f(x)=x l n a-a ln x(x%a)

证法二:对任意实数 有:[ f(x)+g(x)]2%0两边积分

!b a[ f(x)+g(x)]2dx= 2!b a f2(x)dx+2 !b a f(x)g(x)dx+!b a g2(x)dx%0故 的二次三项式的判别法

&=b2-4ac=4!b a f(x)g(x)dx2-4!b a f2(x)dx#!b a g2(x)dx∀0

即!b a f(x)g(x)dx2∀!b a f2(x)dx#!b a g2(x)dx

注:本证明方法关键是将问题转化成二次三项式有无根的问题,同时利用定积分性质来证明。本方法中建立二次三项式方法值得关注。

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证法三:

!b a

dx

!b

a [f (x )g (y )-f (y )g (x )]2

dy

=!b

a

dx !b

a

[f 2

(x )g 2

(y )-2f (x )g (x )f (y )g (y )+f 2(y )g 2

(x )]dy =!b a [!b

a f 2(x )g 2

(y )dy ]dx -2!b a f (x )g (x )dx !b a f (y )g (y )dy +!b a [!b

a

f 2(y )

g 2

(x )dy ]dx =!b

a f 2

(x )dx #!b

a

g 2

(y )dy -2!b a

f (x )

g (x )dx 2

+!b

a f 2

(y )dy #!b

a

g 2

(x )dx

=2!b

a f 2

(x )dx #!b

a

g 2

(x )dx -!

b

a

f (x )

g (x )dx 2

并且仅当x =y 时,!b a dx !b

a

[f (x )g (y )-f (y )g (x )]2

dy =0,故

!b

a f 2

(x )dx #!b

a

g 2g 2

(x )dx =!

b

a

f(x )g (x )dx 2

若x ∋y 时,!b a dx !b

a

[f (x )g (y )-f (y )g (x )]2

dy >0,故

!b

a f 2

(x )dx #!b

a g 2

(x )dx >!

b a

f (x )

g (x )dx 2

综上所述,则有!

b

a

f (x )

g (x )dx 2

∀!b a f 2

(x )dx #!b

a

g 2

(x )dx 注:本证明方法将本问题转化成二重积分问题,同时注意和轮换对称性和讨论。本方法中重积分轮换对称性,对称性在积分中应用是高等数学学习中一个重点、难点,在教学中请学生注意。

分析:!!D

f (x,y )dxdy =!!

D

f(y,x )dxdy D 关于y =x 对称例:

!!x 2+y 2∀1

3x 2

-y 2

x 2

+y 2

dxdy =!!x 2+y 2∀1

x 2+y

2x 2

+y

2

dxdy =2 二、例:设f (x )在区间[a ,b ]上连续,且f (x )>0,证明:

!

b

a

f (x )dx #

!b

a

1f (x )

dx %(b -a )2

证:

!

b a

f(x )dx #!b

a

1

f (x )

dx =!b

a

f (x )

2

dx #!

b a

1f(x )

2

dx

%

!

b

a

f (x )

1f(x )

dx 2

=(b -a )

2

参考文献

[1] 同济大学数学教研室.高等数学(上、下册)第四版[M ].北京:高等教育出版社,2006.

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