圆形薄板在均布载荷作用下的挠度

第四节平板应力分析平板应力分析
3.4.1概述
3.4.2圆平板对称弯曲微分方程
3.4.3圆平板中的应力
3.4.4承受对称载荷时环板中的应力
3.4.1概述
1、应用：平封头：常压容器、高压容器；
贮槽底板：可以是各种形状；
换热器管板：薄管板、厚管板；
板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板；
反应器触媒床支承板等。

2、平板的几何特征及平板分类
几何特征：中面是一平面厚度小于其它方向的尺寸。

t/b≤1/5时(薄板)
w/t≤1/5时（小挠度）按小挠度薄板计算
3、载荷与内力
载荷：①平面载荷：作用于板中面内的载荷
②横向载荷垂直于板中面的载荷
③复合载荷
内力：①薄膜力——中面内的拉、压力和面内剪力，并产生面内变形
②弯曲内力——弯矩、扭矩和横向剪力，且产生弯扭变形
◆当变形很大时，面内载荷也会产生弯曲内力，而弯曲载荷也会产生面内力，所以，
大挠度分析要比小挠度分析复杂的多。

◆本书仅讨论弹性薄板的小挠度理论。

4、弹性薄板的小挠度理论基本假设---克希霍夫K i r c h h o f f
①板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切变形，只有沿中面法
线w的挠度。

只有横向力载荷
②变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同一法线上，且法线上
各点间的距离不变。

类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍
然垂直于变形后的梁轴线。

③平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应力较小，可忽略不计。

◆研究:弹性,薄板/受横向载荷/小挠度理论/近似双向弯曲问题
3.4.2圆平板对称弯曲微分方程
分析模型
标系中，
分析模型：半径R，厚度t的圆平板受轴对称载荷P z，在r、θ、z圆柱坐
微元体内力 ：
径向：M r 、M r +（d M r /d r ）d r 周向：M θ、 M θ
横向剪力：Q r 、Q r +（d Q r /d r ）d r 微元体外力 ：
上表面z P p rd dr θ=
2、几何协调方程(W ~ε)
取AB dr =，径向截面上与中面相距为z ，半径为r 与r dr +两点A 与B 构成的微段
板变形后：
微段的径向应变为 ()r z d z d z dr dr
ϕϕϕϕ
ε+-=
=（第2假设）
过A 点的周向应变为()222r z r z r r
θπϕπϕ
επ+-==（第1假设）
作为小挠度dw
dr
ϕ=-
，带入以上两式，得 应变与挠度关系的几何方程：
22
r d w
z dr z dw r dr
θεε=-=-
（2-55） 3、物理方程
根据第3个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力状态。

由广义虎克定律可得圆板物理方程为：
()()2211r r
r E
E
θθθ
σεμεμ
σεμεμ
=
+-=+- （2-56）
4、圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程 (2-55)代入(2-56)式：
2222
22111r Ez d w dw dr r dr Ez dw d w r dr dr θμσμσμμ⎛⎫
=-+ ⎪
-⎝⎭
⎛⎫
=-+ ⎪
-⎝⎭
（2-57） 通过圆板截面上弯矩与应力的关系，将弯矩r M 和M θ表示成w 的形式。

由式（2-57）可见，r σ和θσ沿着厚度(即z 方向)均为线性分布，图2-31中所示为径向应力的分布图。

2r dr r dr ⎪⎝⎭同理221dw d w M D r dr dr θμ⎛⎫
'=-+ ⎪⎝
⎭ （2-58b ）
参照38页壳体的抗弯刚度，——“抗弯刚度”与圆板的几何尺寸及材料性能有关 (2-58)代入(2-57)，得弯矩和应力的关系式为：
3
31212r
r M z t M z
t
θθσσ=
= （2-59）
(2-58)代入平衡方程(2-54)，得：3232
211r
Q d w d w dw dr r dr r dr D +-='
即：受轴对称横向载荷圆形薄板小挠度弯曲微分方程：
1r
Q d d d r dr r dr dr D
ω⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥'⎝⎭⎣⎦ （2-60） Q r 值可依不同载荷情况用静力法求得
3.4.3 圆平板中的应力（圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程的应用）
承受均布载荷时圆平板中的应力：①简支②固支
承受集中载荷时圆平板中的应力
一、承受均布载荷时圆平板中的应力
据图2-32，可确定作用在半径为r 的圆柱截面上的剪力，即：222r r p pr
Q r ππ== 代入2-60式中，得均布载荷作用下圆平板弯曲微分方程为：
12d d dw pr
r dr r dr dr D ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥'⎝⎭⎣
⎦ 对r 连续两次积分得到挠曲面在半径方向的斜率：
312
162C r C dw pr dr D r
=++' （2-61） 对r 连续三次积分，得到中面在弯曲后的挠度。

24123ln 644
C r pr w C r C
D =+++' （2-62）
C 1、C 2、C 3均为积分常数。

对于圆平板在板中心处（r =0）挠曲面之斜率与挠度均为有限值，因而要求积分常数C 2 ＝0 ，于是上述方程改写为：
3124
13
162
644
C r dw pr dr
D C r pr
w C D =+
'=++' （2-63） 式中C 1、C 3由边界条件确定。

图2-32均布载荷作用时圆板内Q r 的确定
下面讨论两种典型支承情况(两种边界条件)
,0,0dw
r R dr
r R w ====
将上述边界条件代入式（2-63），解得积分常数：2
14
3,
864pR C D
pR C D =-'=
'
代入式（2-63）得周边固支平板的斜率和挠度方程：
（2-64）
将挠度w 对r 的一阶导数和二阶导数代入式（2-58），便得固支条件下的周边固支圆平板弯矩表达式：
()()()()22
22
131611316r p M R r p M R r θμμμμ⎡⎤=
+-+⎣
⎦⎡⎤=+-+⎣⎦ （2-65）
由此（代入2-59）弯曲应力计算试，可得r 处上、下板面的应力表达式：
()()()()2222
26
22
26
313831138r
r t
t M p R r t M p R r t θθσμμσμμ⎡⎤==+-+⎣⎦⎡⎤==+-+⎣⎦m m m m （2-66）
周边固支圆平板下表面的应力分布，如图2-34(a )所示。

最大应力在板边缘上下表面，即()2
2
max
3
r pR σ=± ()()222
2224641R R r p w R r D μ⎡⎤-⎢⎥=
-+'+⎢⎥⎣⎦
（2-67）
()()()()2222
316
31316r p
M R r p M R r θμμμ=
+-⎡⎤=+-+⎣⎦ （2-68）
应力表达式：
()()()()22
2
22
233833138r p R r t p R r t
θσμσμμ=+-⎡⎤=+-+⎣⎦m
m （2-69）
可以看出，最大弯矩和相应的最大应力均在板中心处0r =，
()()()2
max max 316
r pR M M θμ==+ ()()()22
max max
338r pR t
θμσσ+== 周边简支板下表面的应力分布曲线见图2-34(b )。

3、比较两种支承 a . 边界条件
周边固支时:,0
,0
dw r R dr
r R w ====
周边简支时:,0
,0
r r R w r R M ====
b . 挠度
周边固支时，最大挠度在板中心4max
64f pR w
D ='
（2-70） 周边简支时，最大挠度在板中心4max
5164s pR w
D μμ+='
+ （2-71） 0.3μ=简支固支→max max 50.3
4.0810.3
s
f w w +==+ 表明: 周边简支板的最大挠度远大于周边固支板的挠度。

c . 应力
周边固支圆平板中的最大正应力为支承处的径向应力，其值为
()2
2
max
34f
r pR t σ= （2-72） 周边简支圆平板中的最大正应力为板中心处的径向应力，其值为
()()22
max
338s
r pR t μσ+= （2-73）
0.3
μ≈简支固支→()()max max
3.3
1.652s
r f
r σσ== 表明: 周边简支板的最大正应力大于周边固支板的应力。

内力引起的切应力：
在均布载荷p 作用下，圆板柱面上的最大剪力()max 2
r pR
Q =（r R =处）， 近似采用矩形截面梁中最大切应力公式max 32Q
bh
τ=
，
得到()max max
33214r Q pR t t
τ==⨯ 最大正应力与()2
R
t
同一量级；
最大切应力则与R t
同一量级。

因而对于薄板R >>t ，板内的正应力远比切应力大。

从以上可以看出：max σ与max w 圆平板的材料（E 、μ）、半径、厚度有关。

●若构成板的材料和载荷已确定，则减小半径或增加厚度都可减小挠度和降低最大正应力。

●工程中较多的是采用改变其周边支承结构，使它更趋近于固支条件
●增加圆平板厚度或用正交栅格、圆环肋加固平板等方法来提高平板的强度与刚度 4、结论
a . 板内为二向应力状态：r θσσ、且为弯曲应力，平行于中面各层相互之间的正应力z σ及剪力r Q 引起的切应力τ均可予以忽略。

b . 应力分布: 沿厚度呈线性分布 , 且最大值在板的上下表面。

沿半径呈抛物线分布,且与周边支承方式有关。

工程实际中的圆板周边支承是介于两者之间的形式。

c . 强度: 简支 ()()2
max 2max max 0
1.23s s
s
r r pR t
θσ
σσ====
固支 ()2
max 2max 0.75f
f
r r R
pR t
σ
σ===
∴
()()max
max
1.65s
r f
r σσ=
d . 刚度:
∴周边固支的圆平板在刚度和强度两方面均优于周边简支圆平板 e . 薄板结构的最大弯曲应力max σ与()2
R
t
成正比，而薄壳的最大拉( 压)应力max
σ
与R t 成正比。

故在相同R t 条件下，薄板所需厚度比薄壳大。

二、承受集中载荷时圆平板中的应力
挠度微分方程式（2-60）中，剪力r Q 可由图2-35中的平衡条件确定：2r F Q r
π=
采用与求解均布载荷圆平板应力相同的方法，可求得周边固支与周边简支圆板的挠度和弯矩方程及计算其应力值
3.4.4 承受轴对◆通常的环板的应力、应变，只是在内孔边缘上增加了一个边界条件。

◆当环板内半径和外半径比较接近时，环板可简化为圆环。

圆环在沿其中心线（通过形心）均布力矩M 作用下，矩形截面只产生微小的转角 而无其它变形，从而在圆环上产生周向应力。

这类问题虽然为轴对称问题，但不能应用上述圆平板的基本方程求解。

设圆环的内半径为i R 、外半径为o R 、形心处的半径为x R 、厚度t ，沿其中心线（通过形心）均布力矩M 的作用，如图2-37所示。

文献[40]给出了导出圆环绕其形心的转角φ和最大应力max θσ（在圆环内侧两表面）
3max
212ln 6ln x
o
i x o
i i
MR R Et R MR R t R R θφσ=
=
（2-74）
图2-37 圆环转角和应力分析。