降次解一元二次方程辅导资料(含答案)
详解降次解一元二次方程B
降次--解一元二次方程一、选择题 （每题4分，共100分）属于一元二次方程的是⑦⑥⑤④③，②、方程：①04y ,03253,1002,05,2)5(,322912222222=-=-++-=-=+=+=y x x x x x x x x x x x x A 、①② ④ B 、①②⑤ C 、①⑤⑦ D 、①④⑥⑦答案：D解析：根据一元二次方程的定义②不是正式方程，③整理后不含二次项，⑤不是整式方程，其他各项满足定义，故选D的根为、一元二次方程0122=-xA.0=xB.1-=xC.11-==x x 和D.10-==x x 和答案：C解析：移项得21x =，直接开平方得11x x ==-和，故选C 。
3、某县为发展教育事业，加强可对教育经费的投入，2007年投入3000万元，预计2009年投入5000万元，设教育经费的年平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是A.5000)1(30002=+xB.500030002=xC.5000%)1(30002=+xD.5000)1(3000)1(30002=+++x x答案：A解析：年平均增长率为x ，则2008年的投入为3000(1)x +，则2009年的投入为23000(1)x +，所以列得23000(1)5000x +=，故选A 。
的值等于则、若31)(32,0242222+--+-=--x x x x x x A.332 B.33 C.3 D. 3或33 答案:A解析：由220x x --=得22x x -=，====A 。
次方程的是方程中，一定是一元二、下列关于x 5A.01222=---x x m ）（ B.03522=++k x kC.023132=--x xD.04232=-+xx 答案：C解析：根据一元二次方程的定义A 、B 项二次项系数可能为0，D 项不是整式方程，故选C 。
的一元二次方程，则是关于、若（x p x x p 03)2622=+-- A.2=p B.0≠p C.0>p D.2≠p答案：D解析：二次项系数不能为0，则2p ≠，故选D 。
数学：人教版九年级上-.-降次解一元二次方程(疑难解析)
(1) (2)
解:(1) ,
( 2)因式分解,得
于是得 或
评注：掌握好一元二 次方程的求根公式是本节的重点,这是学好本章内容的关键.因式分解法求根,解答过程较简单,但并 不具有普遍意义 .解一元二次方 程具有普遍意义的是一元二次方程的求根公式.
例题选讲
例1． 用配 方法解下列方程 ：
（1） （2）
解:(1 )移项，得
配方
由此可得
.
(2)移项，得
二次项系数化为1,得
配方 即
∴ ∴
评注：运用配方法解一元二次方程,先移项把含有未知数的项移到方程左边,常数项移到方程的右边,再在方程的两边同时除以二次项的系数,把二次项的系数化为“1”的形式,然后在方程的左右两边同时加上 一次项系数一半的平方,把方程化为 的形式,再用直接开平方的方法求解.配方的关键是在二次项系数为1的形式下,方程的两边同时加上一ห้องสมุดไป่ตู้项系数一半的平方.
22.2降次——解一元二次方程
疑难分析
1．通过配成完全平方形式来解一元二次方 程 的方法,叫做配 方法.可以看出,配方是为了降次 ,把一个一元二次方程转化成两个一元二次方程来解 .
2.一元二次方程的根由方程的系数a,b,c确定.因此,解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式,当 ,将a,b,c代入式子 就得到方程的根.这个式子就叫做一元二次方程的求根公式,利用它解一元二次方程 的方法叫做公式法.由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根.
3.用因式分解的方法使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0.从而实 现降次,这种解法叫做因式分解 法.
4. 配方法要先 配方,再降次;通过配方 法可以推出求根公式,公式法直接利用 求根公式;因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘,另一边为0,再分别使各个一次式等 于0.配方法、公式法适用于所有一元 二次方程,因式分解法用于某些一元二次方程.总之,解一元二次方 程的基本思想是:将二次方程化为一次方程,即降次.
降次--解一元二次方程(初中数学九年级)
降次--解一元二次方程(初中数学九年级) 学情分析:在学习本节之前，学生对一元一次方程及一元一次方程的解的有关知识有一定的了解，并且九年级的学生有一定的数学思维基础，分析和概括能力相对于八年级学生有很大的提高，容易开发学生的主观能动性，适合有特殊到一般的探究方式教学内容分析:本节课主要学习运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．教学目标:1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练。
2、会用公式法解简单系数的一元二次方程。
3、会利用b2-4ac来判断一元二次方程根的情况。
教学难点分析：重点：运用开平方法解形如（m x+ n）2=p（p≥0）的方程．难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程，知识迁移到形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．关键：理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．教学课时： 1课时教学过程：一、温故知新：1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？（口答）2、用配方法解下列方程：（1）x 2-6x+5=0 （2）2x 2-7x+3=0（学生扳演，教师点评）二、自主学习：〈一〉自学课本Ｐ40---P 41思考下列问题：1、结合配方法的几个步骤，看看教材中是怎样推导出求根公式的？2、配方时，方程两边同时加是什么？3、教材中方程②()224422a acb a b x -=+能不能直接开平方求解吗？为什么？4、什么叫公式法解一元二次方程？求根公式是什么？交流与点拨：公式的推导过程既是重点又是难点，也可以由师生共同完成，在推导时，注意学生对细节的处理，教师要及时点拨；还要强调不要死记公式。
关键感受推导过程。
在处理问题3时，要结合前边学过的平方的意义，何时才能开方。
三、例题学习：例1（教材P 41例2）解下列方程：（1）2x 2-x-1=0 （2）x 2+1.5x=-3 x（3）x 2-x 2= -21（4）4x 2-3x+2=0解：将方程化成一般形式 解：a=4, b= -3， c=2.x 2-x 2+21=0 b 2-4ac=（-3）2-4×4×2=9-32=-23＜0a=1, b= -2， c=21 因为在实数范围负数不能开平方，所以方b 2-4ac=(-2)2-4×1×21=0 程无实数根。
22.2.2降次--解一元二次方程公式法(一)
b b2 4ac x 2a 2a
x2
-b-
即 因为a≠0,所以4 a >0
2
2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
2
2
式子 b 4ac的值有以下三种情况：
2 2
4ac b (2) b 4ac 0, 这时 0 4a b b 4ac ＝0 即 x
2
2a
2a
此时，方程有两个相等的实数根 b x1 x2 2a
即 因为a≠0,所以4 a >0
2
2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
2
2
式子 b 4ac的值有以下三种情况：
2 2
b 而x取任何实数都不可能使 ( x ) 2a
因此方程无实数根
4ac b (3) b 4ac 0, 这时 0 4a
例2 用公式法解下列方程
（1） （2） （3 ） （4 ）
x - 4x - 7 0
2
2x - 2 2x 1 0
2
5x - 3x x 1
2
x 17 8x
2
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 的值。 1、把方程化成一般形式，并写出 a、、
2、求出 b 4ac 的值，
2、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为 互为相反数？
2
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解
b b 4ac 3、代入求根公式 : x 2a
2
x2 4、写出方程的解： x1、
随堂 练习 用公式法解下列方程：
2022年《降次--解一元二次方程(第二课时)》专题练习(附答案)
22．2降次--解一元二次方程〔第二课时〕配方法(2)◆随堂检测1、将二次三项式x 2-4x+1配方后得〔 〕A ．〔x-2〕2+3 B ．〔x-2〕2-3 C ．〔x+2〕2+3 D ．〔x+2〕2-3 2、x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的选项是〔 〕 A 、x 2-8x+42=31 B 、x 2-8x+42=1 C 、x 2+8x+42=1 D 、x 2-4x+4=-113、代数式2221x x x ---的值为0，求x 的值． 4、解以下方程：〔1〕x 2+6x+5=0；〔2〕2x 2+6x-2=0；〔3〕〔1+x 〕2+2〔1+x 〕-4=0. 点拨：上面的方程都能化成x 2=p 或〔mx+n 〕2=p 〔p ≥0〕的形式，那么可得x=mx+n=〔p ≥0〕.◆典例分析用配方法解方程22300x -=，下面的过程对吗？如果不对，找出错在哪里，并改正．解：方程两边都除以2并移项，得2152x x -=，配方，得2211()15224x x -+=+， 即2161()24x -=，解得122x -=±，即121122x x -==．分析：配方法中的关键一步是等式两边同时加上一次项系数一半的平方。
此题中一次项系数是2-，因此，等式两边应同时加上2(或2才对 解：上面的过程不对，错在配方一步，改正如下：配方，得221158x x +=+，即2121(8x -=，解得44x -=±，即122x x ==-． ◆课下作业●拓展提高 1、配方法解方程2x 2-43x-2=0应把它先变形为〔 〕 A 、〔x-13〕2=89 B 、〔x-23〕2=0 C 、〔x-13〕2=89 D 、〔x-13〕2=1092、用配方法解方程x 2-23x+1=0正确的解法是〔 〕A 、〔x-13〕2=89，x=13±3 B 、〔x-13〕2=-89，原方程无解C 、〔x-23〕2=59，x 1=23，x 2 D 、〔x-23〕2=1，x 1=53，x 2=-133、无论x 、y 取任何实数，多项式222416x y x y +--+的值总是_______数． 4、如果16〔x-y 〕2+40〔x-y 〕+25=0，那么x 与y 的关系是________． 5、用配方法解以下方程：〔1〕x 2+4x+1=0；〔2〕2x 2-4x-1=0；〔3〕9y 2-18y-4=0；〔4〕x 26、如果a 、b 2-12b+36=0，求ab 的值．●体验中考1、〔2021年山西太原〕用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为〔 〕A ．()216x += B ．()216x -= C ．()229x +=D ．()229x -=2、〔2021年湖北仙桃〕解方程：2420x x ++=．3、〔2021年，陕西〕方程2(2)9x -=的解是〔 〕 A ．125,1x x ==- B ．125,1x x =-= C ．1211,7x x ==- D ．1211,7x x =-=4、〔2021年，青岛〕用配方法解一元二次方程：2220x x --=.参考答案： ◆随堂检测 1、B. 2、B.3、解:依题意,得222010x x x ⎧--=⎪⎨-≠⎪⎩,解得2x =．4、解：〔1〕移项，得x 2+6x=-5， 配方，得x 2+6x+32=-5+32，即〔x+3〕2=4， 由此可得：x+3=±2，∴x 1=-1，x 2=-5 〔2〕移项，得2x 2+6x=-2， 二次项系数化为1，得x 2+3x=-1， 配方x 2+3x+〔32〕2=-1+〔32〕2，即〔x+32〕2=54，由此可得x+32=∴x 1=2-32，x 2=-2-32〔3〕去括号整理，得x 2+4x-1=0， 移项，得x 2+4x=1， 配方，得〔x+2〕2=5，由此可得x+2=，∴x 1，x 2◆课下作业 ●拓展提高 1、D. 2、B.3、正 ()222224161(2)11110x y x y x y +--+=-+-+≥>.4、x-y=54 原方程可化为[]24()50x y -+=，∴x-y=54.5、解：〔1〕x 1=3-2，x 2=-3-2；〔2〕x 1=1+6，x 2=1-6；〔3〕y 1=133+1，y 2=1-133；〔4〕x 1=x 2=3.6、解：原等式可化为234(6)0a b ++-=，∴34060a b +=⎧⎨-=⎩，∴43a =-，6b =，∴8ab =-. ●体验中考1、 B.分析：此题考查配方，2250x x --=，22151x x -+=+，()216x -=，应选B ． 2、解：242x x +=-∴1222,2 2.x x =-3、A ∵2(2)9x -=，∴23x -=±,∴125,1x x ==-.应选A.4、解得1213,13x x ==第2课时 多项式与多项式相乘一、填空题〔每题3分，共24分〕1．假设a b c x x x x ＝2008x ，那么c b a ++＝______________． 2．(2)(2)a b ab --＝__________，2332()()a a --＝__________． 3．如果2423)(a a a x =⋅，那么______=x ．4．计算：(12)(21)a a ---= ．5．有一个长9104⨯mm ，宽3105.2⨯mm ，高3610⨯mm 的长方体水箱，这个水箱的容积是______________2mm ．6．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式〔一定成立的等式〕，请根据右图写出一个代数恒等式是：________________．7.假设3230123(2)x a a x a x a x -=+++，那么220213()()a a a a +-+的值为 ．8．：A ＝－2ab ，B ＝3ab 〔a ＋2b 〕，C ＝2a 2b －2ab 2 ，3AB －AC 21＝__________．二、选择题〔每题3分，共24分〕 9．以下运算正确的选项是〔 〕．A ．236x x x =B ．2242x x x +=C ．22(2)4x x -=-D ．358(3)(5)15a a a --=10．如果一个单项式与3ab -的积为234a bc -，那么这个单项式为〔 〕．A ．14acB ．214a cC ．294a cD ．94ac11．计算233[()]()a b a b ++的正确结果是〔 〕．A ．8()a b +B ．9()a b +C ．10()a b +D ．11()a b +12．长方形的长为〔a －2〕cm ，宽为〔3a ＋1〕 cm ，那么它的面积是多少？〔 〕．A ．2(352)a a cm --B ．2(352)a a cm -+C ．2(352)a a cm +-D ．2(32)a a cm +-13．以下关于301300)2(2-+的计算结果正确的选项是〔 〕．A ．3003013003016012(2)(2)(2)(2)+-=-+-=-B ．1301300301300222)2(2-=-=-+C ．300300300301300301300222222)2(2-=⨯-=-=-+D ．601301300301300222)2(2=+=-+14．以下各式中，计算结果是2718x x +-的是〔 〕． A ．(1)(18)x x -+ B ．(2)(9)x x -+ C ．(3)(6)x x -+ D ．(2)(9)x x ++15．以下各式，能够表示图中阴影局部的面积的是〔 〕．①()at b t t +- ②2at bt t +- ③()()ab a t b t --- ④2()()a t t b t t t -+-+ A ．只有① B ．①和② C ．①、②和③ D ．①、②、③、④16．：有理数满足0|4|)4(22=-++n n m ，那么33m n 的值为〔 〕．A.1B.－1C. ±1D. ±2 三、解答题〔共52分〕 17．计算：〔1〕3243-ab c 2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 〔2〕()2232315x y-xy -y -4xy 426⎛⎫⎪⎝⎭18．解方程：2(10)(8)100x x x +-=-19．先化简，再求值：用这种方法不仅可比大小，也能解计算题哟！〔1〕()()()2221414122x x x x x x ----+-，其中x ＝－2. 〔2〕()()()()5.0232143++--+a a a a ，其中a ＝－3.20．一个长方形的长为2xcm ，宽比长少4cm ，假设将长方形的长和宽都扩大3cm ，长方形比原来增大的面积是多少？拓广探索21.在计算时我们如果能总结规律，并加以归纳，得出数学公式， 一定会提高解题的速度，在解答下面问题中请留意其中的规律.〔1〕计算后填空：()()=++21x x ； ()()=-+13x x ； 〔2〕归纳、猜测后填空：()()()()++=++x x b x a x 2〔3〕运用〔2〕猜测的结论，直接写出计算结果：()()=++m x x 2 .22.有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答下面的问题．例 假设x ＝123456789×123456786，y ＝123456788×123456787，试比拟x 、y 的大小．解：设123456788＝a ，那么()()2122x a a a a =+=---，()21y a a a a ==--，∵()()222x y a a a a =-----＝－2，∴x ＜y看完后，你学到了这种方法吗？再亲自试一试吧，你准行！ 问题：假设x ＝20072007200720112007200820072010⨯-⨯，y ＝20072008200720122007200920072011⨯-⨯，试比拟x 、y 的大小．参考答案一、填空题1．2007 2．2242a b ab -+、12a - 3．18 4．214a - 5．16610⨯ 6．()ab a b a a 2222+=+ 7．1 8．32231638a b a b -- 二、选择题9．D 10．A 11．B 12．A 13．C 14．B 15．D 16．B 三、解答题〔共56分〕 17．〔1〕3612278a b c -〔2〕3324510323x y x y xy -++ 18．2281080100x x x x -+-=-，220x =-，∴10x =-． 19．〔1〕324864x x x +--，8 〔2〕26a --，0 20．(23)(21)x x +-－2(24)x x - ＝2(4623)x x x +--－2(48)x x - ＝2244348x x x x +--+ ＝123x -答：增大的面积是(123)x cm -．21．〔1〕232x x ++、223x x +- 〔2〕a b +、ab 〔3〕2(2)2x m x m +++ 拓广探索22．设20072007＝a ，x ＝(4)(1)(3)a a a a +-++＝224(43)a a a a +-++＝－3，y ＝(1)(5)(2)(4)a a a a ++-++＝2265(68)a a a a ++-++＝－3，∴x ＝y ．。
九年级上册数学 21.2降次--解一元二次方程习题课同步练习含答案
21．2降次--解一元二次方程（第六课时）（习题课）◆随堂检测1、关于x 的方程0232=+-x ax 是一元二次方程，则（ ）A 、0>aB 、0≠aC 、1=aD 、0≥a2、用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是（ ）A 、522=-x xB 、5422=-x xC 、542=+x xD 、522=+x x3、方程x x x =-)1(的根是（ ）A 、2=xB 、2-=xC 、0,221=-=x xD 、0,221==x x4、已知2240x x c -+=的一个根，则方程的另一个根是______________．5、用适当的方法解下列方程：（1）0672=+-x x ；（2）)15(3)15(2-=-x x ；（3）0362=+-x x ；（4）22510x x --=.◆典例分析 解方程022=--x x .分析:本题是含有绝对值的方程,可以转化为一元二次方程求解.转化的方法可以不同,请同学们注意转化的技巧.解法一:分类讨论（1）当0≥x 时，原方程化为022=--x x ， 解得：,21=x 12-=x （不合题意，舍去）（2）当0<x 时，原方程化为022=-+x x解得：21-=x ,12=x （不合题意，舍去）∴原方程的解为2,221-==x x .解法二:化归换元 原方程022=--x x 可化为220x x --=,令y x =，则220y y --=（0y ≥），解得12,y =21y =-（舍去），当12y =时,2x =,∴2x =±,∴原方程的解为2,221-==x x .◆课下作业●拓展提高1、方程062=--x x 的解是__________________．2、已知1x =-是关于x 的方程2220x ax a +-=的一个根，则a =_______．3、12、写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：_________________．4、当代数式532++x x 的值为7时，代数式2932-+x x 的值为（ ）A 、4B 、2C 、-2D 、-45、已知x 是一元二次方程2310x x +-=的实数根，求代数式235(2)362x x x x x -÷+---的值． 6、阅读材料，解答问题： 材料：为解方程222(1)5(1)40x x ---+=,我们可以视2(1)x -为一个整体.然后设21x y -=,原方程可化为2540y y -+=①.解得121,4y y ==.当11y =时，211x -=,即22x =，∴x =当24y =时，214x -=,即25x =，∴x =∴原方程的解为1234x x x x ==解答问题：（1）填空：在由原方程得到①的过程中利用_______法，达到了降次的目的，体现了_______的数学思想.（2）解方程4260x x --=. ●体验中考1、请你写出一个有一根为1的一元二次方程： ．2、如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AE EB EC a ===，且a 是一元二次方程2230x x +-=的根，则ABCD 的周长为（ ）A ．4+．12+．2+ D ．212+3、已知反比例函数ab y x=，当0x >时，y 随x 的增大而增大，则关于x 的方程220ax x b -+=的根的情况是（ ） A ．有两个正根 B ．有两个负根C ．有一个正根一个负根D ．没有实数根(提示：本题综合了反比例函数和一元二次方程根与系数的关系两个重要的知识点，请认真思考，细心解答.)4、三角形的每条边的长都是方程2680x x --=的根,则三角形的周长是_________________．(点拨：本题综合考查了一元二次方程的解法和三角形的有关知识，特别要注意应用三角形任意两边之和大于第三边这个定理.)参考答案：◆随堂检测1、B. 依据一元二次方程的定义可得.2、C.3、D. 注意不能在等式两边同除以含有未知数的式子.本题用因式分解法好.4、2依据一元二次方程根与系数的关系可得224x =∴方程的另一个根是22x =.5、解：（1）用因式分解法解0672=+-x x 得:121,6x x ==；（2）用因式分解法解)15(3)15(2-=-x x 得:1214,55x x ==； A DC EB（3）用配方法解0362=+-x x 得:1233x x ==（4）用公式法解22510x x --=得:12x x ==◆课下作业●拓展提高1、123,2x x ==-. 选用因式分解法较好.2、2-或1 将1x =-代入方程2220x ax a +-=得:220a a +-=,解得122,1a a =-=.3、答案不唯一：如2230x x +-=.4、A. 当2357x x ++=时，即232x x +=，∴代数式223923(3)23224x x x x +-=+-=⨯-=.故选A.5、解：∵2310x x +-=，∴231x x +=. 化简:223539(2)3623(2)2x x x x x x x x x x ---÷+-=÷---- 3213(2)(3)(3)3(3)x x x x x x x x --=⨯=-+-+∵∵∴ 21113(3)313x x ===+⨯， ∴代数式235(2)362x x x x x -÷+---的值是13． 6、解:（1）换元法,转化.（2）设2x y =,原方程可化为260y y --=①.解得123,2y y ==-.当13y =时，即23x =,∴x =当22y =-时，22x =-无解.∴原方程的解为12x x ==●体验中考1、答案不唯一，如21x =2、A.解析：本题考查平行四边形及一元二次方程的有关知识，∵a 是一元二次方程2230x x +-=的根，∴1a =，∴AE=EB=EC=1，∴BC=2，∴ABCD 的周长为4+A 。
《降次--解一元二次方程》
练习
解下列方程：
(1)(2a－3)2=(a－2)(3a－4)
(2)(4x－3)2=(x+3)2
小结
因式分解法的基本步骤：
（1）将方程变形，使方程的右边为零；
（2）将方程的左边因式分解； （3）根据若A· B=0，则A=0或B=0，将解 一元二次方程转化为解两个一元一次方程.
小结
一元二次方程的解法：
解： (2) a=1，b=-4，c=4 b2-4ac=(-4)2- 4×1×4=0
( 4) 0 4 0 x 2 1 2
4 即x1 x 2 2 2
解： (3) a=4，b=-3，c=1 b2-4ac=(-3)2- 4×1×4= -7<0 因为在实数范围内负数没有平方 根，所以方程无实数根。
梳理
上述解法中，通过因式分解使一元 二次方程化为两个一次式的乘积等于0的 形式，再使这两个一次式分别等于0，从
而实现降次，求出方程的根，这种解法
叫做因式分解法。
1、 什么样的一元二次方程 可以用因式分解法来解？
2、用因式分解法解一元二方 程，必须要先化成一般形式吗？ 3、用因式分解法解一元二次方 程，其关键是什么？
1、配方法；
适用任何一 2、公式法； 元二次方程 3、因式分解法.
适用部分一 元二次方程
回顾与思考
☞
一元二次方程的概念
只含有 一个未知数x 的 整式方程 ，并且都可以化为 的形式 ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０) 这样的方程叫做一元二次方程． 把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元 二次方程的一般形式，其中ax２ ， 项、一次项和常数项，a， 数．
练习
1.不计算，请你说出下列方程的根.
九年级上册22.2降次——解一元二次方程
人教九上22.2降次——解一元二次方程一、选一选！1. 把方程23402x x ++=左边配成一个完全平方式后，所得方程是< ）.<A ）2355()416x += <B ）2315()24x +=- <C ）2315()24x += <D ）2355()416x +=- 2. <2006年杭州）已知方程260x x q -+=可以配方成2()7x p -=的形式, 那么262x x q -+=可以配方成下列的 ( >(A> 2()5x p -= (B> 2()9x p -=(C> 2(2)9x p -+= (D> 2(2)5x p -+=3. <2006年广州）一元二次方程2230x x --=的两个根分别为( >．(A>Xl=1， x2=3 (B>Xl=1， x2=-3(C>X1=-1，X2=3 (D>XI=-1， X2=-34. 若2222()(1)60m n m n +--+=，则22m n +的值为< ）.<A ）3 <B ）－2 <C ）3或－2 <D ）－3或2ZXXmRZFJgc 5. 方程(3)x x x +=的根是< ）.<A ）－2 <B ）0 <C ）无实根 <D ）0或－2ZXXmRZFJgc 6. 已知x 满足方程2310x x -+=，则1x x +的值为< ）.<A ）3 <B ）－3 <C ）32<D ）以上都不对ZXXmRZFJgc7. 要使分式2544x x x -+-的值为0，x 等于< ）. <A ）1 <B ）4或1 <C ）4 <D ）－4或－1ZXXmRZFJgc 8. 关于x 的方程22(2)0a a x ax b --++=是一元二次方程的条件是< ）.<A ）2a ≠-且1a = <B ）2a ≠ <C ）2a ≠-且1a =- <D ）1a =-二、填一填！ 9. 222(_____)[(____)]3y y y -+=+.10. x =__________.11. 若代数式2713x x -+的值为31，则x =_________________.12.用公式法解方程2815x x =--，其中24b ac -=__________，1x =__________，2x =_______________.ZXXmRZFJgc 13. 一元二次方程x2-2x-1=0的根是__________．14. 若方程x2-m=0的根为整数，则m 的值可以是________<只填符合条件的一个即可）15. 若<2x+3y ）2+3<2x+3y ）-4=0，则2x+3y 的值为_________．16. 请写出一个根为x= 1, 另一根满足-1< x< 1 的一元二次方程_______.三、做一做！17.用配方法解下列方程：<1）210257x x -+=；<2）261x x +=；<3）23830x x +-=；<4）2310x x -+=.18.用公式法解下列方程：<1）271809610x x++=；<4）-+=；<3）2x xx x--=；<2）229802+=.1683x x19.用因式分解法解下列方程：<1）(41)(57)0x x x-=-；-+=；<2）3(1)22x x<3）2x x-=-.2(3)9+=+；<4）22(23)4(23)x x20. 阅读材料，解答问题:材料：为解方程<x2-1）2-5<x2-1）+4=0我们可以将x2-1视为一个整体，然后设x2-1=y，•则<x2-1）2=y2，原方程可化为y2-5y+4=0，解得y1=1，y2=4，当y=1时，x2-1=1，∴x2=2，；当y=4时，x2-1=4，∴x2=5为<1）填空，在解原方程得到①的过程中利用_________法达到了降次的目的，体现了_______•数学思想;ZXXmRZFJgc<2）利用上述方法解方程x4-x2-6=0．21. 若规定两数a、b通过“※”运算，得到4ab，即a※b=4ab，例如2※6=4 ×2 ×6=48ZXXmRZFJgc<1）求3※5的值；<2）求x※x+2※x-2※4=0中x的值；<3）若无论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．参考答案：一、选一选！1.D ；2.B ；3.C ；4.A ；5.D ；6.A ；7.A ；8.C ；二、填一填！ 9. 19，13-；10. －5或3；11．9或－2；12.4，－3，－5；；；14.如4 ， 提示：m 应是一个整数的平方，此题可填的数字很多．15. -•4或1；16.略；三、做一做！17.<1）15x =25x =<2）13x =-23x =-<3）113x =，23x =-；<4）1x=，2x=；18.<1）19x=，22x=-；<2）1x=，2x=；<3）121 3x x==-；<4）11 4x=，23 4x=-；19.<1）17 5x=-，21 4x=；<2）12 3x=-，21x=；<3）13 2x=-，21 2x=；<4）13x=，29x=.20. <1）换元，转化；<221. <1）3※5=4×3×5=60，<2）由x※x+2※x-2※4=0得4x2+8x-32=0，即x2+2x-8=0，∴x1=2，x2=-4，<3）由a*x=x得4ax=a，无论x为何值总有4ax=x，∴a=14．申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
降次——解一元二次方程
22.2 降次——解一元二次方程情境感知我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：“直田积（矩形面积），八百六十四（平方步），只云阔（宽）不及长十二步（宽比长少12步），问阔及长各几步？”基础准备一、配方法1．配方法的定义把一元二次方程的左边化成一个____________________，右边变成一个___________．通过这种形式解一元二次方程的方法，叫做配方法．2．用配方法解一元二次方程的步骤（1）如果二次项系数不是1，就在方程两边同时除以_____________，将其化为1；（2）把___________移到方程的右边；（3）方程两边都加上_________________的平方，使方程的左边变为一个完全平方式；（4）如果方程的右边是一个非负数，根据平方根的定义解方程．问题1．用配方法解方程：21090x x ++=．二、公式法3．一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根可用式子______________________求得，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法． 问题2．用公式法解方程：260x x --=．4．求根公式中的____________叫做一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根判别式． （1）当__________时，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根； （2）当__________时，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根；（3）当__________时，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠没有实数根．问题3．不解方程，判断下列关于x 的方程的根的情况：（1）245x +=；（2）()22410x mx m -+-=．三、因式分解法5．对于一元二次方程，一边是_________，另一边化为两个_____________的乘积，再使这两个因式分别等于0，从而实现降次，这种方法叫做因式分解法．问题4．用因式分解法解下列方程（1）20x -=；（2）23180x x +-=．要点探究探究1．一元二次方程四种解法的选择例1．用适当的方法解下列方程．（1）2710x x --=．（2）220x x +=．（3）2160x -=．（4）()44x x -=-． 解析：针对方程特点选择最简捷的方法解题．答案：（1）1a =，7b =-，1c =-，()()2247411530b ac -=--⨯⨯-=>，()77212x --±==⨯，∴172x =，272x =． （2）因式分解，得()20x x +=，∴0x =或20x +=，∴10x =，22x =-．（3）移项，得216x =，∴14x =，24x =-．（4）将方程化为一般形式2440x x -+=，即()220x -=，∴122x x ==． 智慧背囊：一元二次方程解法的选择顺序：先特殊，后一般，即先考虑是否可以用直接开平方法，若不能，则看能否用因式分解法，再考虑用公式法，一般没有特殊说明不用配方法，因为配方法比较麻烦，四种解法中最简单的是直接开平方法，最常用的是公式法．活学活用：选择适当的方法解下列方程：（1）2230x x --=；（2）29x =；（3）()2211x x +=+；（4）221x x -=-．探究2．一元二次方程的判别式例2．不解方程，判断下列方程根的情况．（1）22340x x +-=；（2）216924y y +=；（3）()25170x x +-=． 解析：先将方程化成一般形式，确定a ，b ，c 的值，再计算24b ac -的值，并与0进行比较．答案：（1）∵2a =，3b =，4c =-，∴()2243424410b ac -=-⨯⨯-=>，∴原方程有两个不相等的实数根．（2）原方程可变形为2162490y y -+=，∵16a =，24b =-，9c =，∴24b ac - ()22441690=--⨯⨯=，∴原方程有两个相等的实数根．（3）原方程可变形为25750x x -+=，∵5a =，7b =-，5c =，∴24b a c -=()27- 45549100510-⨯⨯=-=-<．∴原方程没有实数根．智慧背囊：判断方程根的情况的关键是准确计算24b ac -的值，并将其与0进行比较． 活学活用：不解方程，判断下列方程根的情况．（1）2100x -+=；（2)()11x x =+-．例3．已知关于x 的方程2450kx kx k -+-=有两个相等的实数根，求k 的值，并解这个方程．解析：若一元二次方程有两个相等的实数根，则240b ac -=．解题时注意题中隐含条件二次项系数0k ≠．答案：∵a k =，4b k =-，5c k =-，∴()()22244451220b ac k k k k k -=---=+． ∵方程有两个相等的实数根，∴240b ac -=，即212200k k +=，解得10k =，253k =-．当0k =时，原方程不是一元二次方程，∴0k =不合题意，舍去，当53k =-时，原方程化为2440x x -+=，解得122x x ==．智慧背囊：对于一次项系数含有字母的一元二次方程，在用根的判别式时必须考虑题目中的隐含条件，即二次项系数不能等于0．活学活用：已知关于x 的方程()21230m x mx m -+++=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．随堂尝试A 基础达标1．选择题（1）一元二次方程240x -=的解是（ ）（A ）2x =．（B ）2x =-．（C ）12x =，22x =-．（D ）1x =2x =（2）方程20x x +=的解是（ ）（A ）1x =±．（B ）0x =．（C ）1x =．（D ）10x =，21x =-．（3）用配方法将代数式245a a -+变形的结果是（ ）（A ）()221a -+．（B ）()221a ++．（C ）()221a +-．（D ）()221a --．（4）已知228x x k ++是完全平方式，则k 的取值是（ ）（A ）4．（B ）-4．（C ）4±．（D ）16．（5）下列方程中，无实数根的是（ ）（A ）270x =．（B ）()2116x -=．（C ）()()112x x +-=-．（D ）()210x +-=． 2．填空题（1）对于方程2316x x =，用_____________法解最简便．（2）当y =_____________时，代数式276y y ++的值与1y +的值相同．（3）当x =_____________（4）一个三角形两边长为2和4，第三边长适合方程2210120x x -+=，则三角形的周长为_____________．3．用适当的方法解下列方程： （1）21943x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；（2）260x x --=；（3）2310y y -+=；（4）22110362x x --=．4．若关于x 的方程()22(21)10m x m x -+++=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．B 能力升级5．试分别写出一个一元二次方程，使它的两根：（1）一根是0，一根是负数；（2）一根是正数，另一根是在-2与-1之间．6．已知实数a ，b ，c ()2130b c +++=，求方程20ax bx c ++=的根．7．若规定两个数a ，b 通过运算得4ab ，即a △b 4ab =，例如：2△642648=⨯⨯=．（1）求3△5的值；（2）求x △x 2+△x -2△40=中x 的值；（3）若不论x 是什么数时，总有a △x x =，求a 的值．C 感受中考8．下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）（A ）240x +=．（B ）24410x x -+=．（C ）230x x ++=．（D ）2210x x +-=．9．方程220x x +=的解为_____________．10．已知关于x 的一元二次方程2410x x m ++-=．（1）请你为m 选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根；（2）设α，β是（1）中你所得到的方程的两个实数根，求22αβαβ++的值．课后实践高次方程有求根公式吗一元二次方程有求根公式，一般的一元三次方程、一元四次方程等高次方程是否也有类似的求根公式呢？数学家们也曾提出过类似的问题，在意大利的数学家们之间还发生了一连串有趣的故事．1535年，意大利数学家塔尔塔利亚与另一位数学家举行了一场数学比赛，双方各出30个三次方程的问题，限30日交卷，约定谁解出的题目多谁就获胜，结果塔尔塔利亚取得了胜利．这次胜利促使塔尔塔利亚进一步潜心研究一般三次方程的解法．1541年，他终于完全解决了三次方程的求解问题．意大利米兰城有个学者卡尔达诺听说塔尔塔利亚会三次方程的解法，就多次向塔尔塔利亚恳求教他，并保证严守秘密，不告诉别人．当塔尔塔利亚把这个方法告诉了他之后，卡尔达诺却将其公开发表，因此现在还习惯称三次方程的求解公式为卡尔达诺公式．当然，塔尔塔利亚大为光火，两人为此曾展开公开论战．一元三次方程一经解出，一元四次方程的解法很快就被卡尔达诺的学生费拉里获得．此后200多年的时间里，推求四次以上高次方程的解法的人不可胜数，但都没有结果．久而久之，人们怀疑这个问题难以解决．挪威数学家阿贝尔证明了一般的五次及五次以上的方程都不可能有公式解法．而代数方程可解性问题的完满解决应归功于法国数学奇才伽罗瓦，他的成果被后人称之为伽罗瓦理论．。
22.2降次――解一元二次方程(含答案).
降次——解一元二次方程一、选一选！1.把方程左侧配成一个完整平方式后，所得方程是（）. （A）（B）（C）（D）2.已知方程能够配方成的形式, 那么能够配方成以下的((A (B (C (D3.一元二次方程的两个根分别为(．(AXl=1，x2=3(BXl=1，x2=－3(CX1=－1，X2=3(DXI=－1，X2=－34.若，则的值为（）.（A）3（B）－2（C）3或－2（D）－3或25.方程的根是（）.（A）－2（B）0（C）无实根（D）0或－26.已知知足方程，则的值为（）.（A）3（B）－3（C）（D）以上都不对7.要使分式的值为0，等于（）.（A）1（B）4或1（C）4（D）－4或－18.对于的方程是一元二次方程的条件是（）.（A）且（B）（C）且（D）二、填一填！9..10.若最简二次根式与能够归并，则__________.11.若代数式的值为31，则_________________.12.用公式法解方程，此中__________，__________，_______________.一元二次方程x2－2x－1=0的根是__________．若方程x2－m=0的根为整数，则m的值能够是________（只填切合条件的一个即可）若（2x+3y）2+3（2x+3y）－4=0，则2x+3y的值为_________．16.请写出一个根为x=1,另一根知足－1<x<1的一元二次方程_______.三、做一做！17.用配方法解以下方程：（1）；（2）；（3）；（4）.18.用公式法解以下方程：（1）；（2）；（3）；（4）.19.用因式分解法解以下方程：（1）；（2）；（3）；（4）.阅读资料，解答问题:资料：为解方程（x2－1）2－5（x2－1）+4=0我们能够将x2－1视为一个整体，而后设x2－1=y，?则（x2－1）2=y2，原方程可化为y2－5y+4=0，解得y1=1，y2=4，当y=1时，x2－1=1，∴x2=2，∴x=±；当y=4时，x2－1=4，∴x2=5，∴x=±，∴原方程的解为x1=，x2=－，x3=，x4=－，解答问题：1）填空，在解原方程获得①的过程中利用_________法达到了降次的目的，表现了_______?数学思想; 2）利用上述方法解方程x4－x2－6=0．若规定两数a、b经过“※”运算，获得4ab，即a※b=4ab，比如2※6=4?×2?×6=48（1）求3※5的值；2）求x※x+2※x－2※4=0中x的值；3）若不论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．参照答案一、选一选！；；；；；；；；二、填一填！9.，；－5或3；11．9或－2；，－3，－5；13.x1=1+；x2=1－；14.如4，提示：m应是一个整数的平方，本题可填的数字好多．15.－?4或1；16.略；三、做一做！17.（1），；2（），；3（），；（），；418.（1），；（2），；（3）；4（），；19.（1），；（2），；（3），；（4），.（1）换元，转变；（2）x=±；（1）3※5=4×3×5=60，2）由x※x+2※x－2※4=0得4x2+8x－32=0，即x2+2x－8=0，∴x1=2，x2=－4，3）由a*x=x得4ax=a，不论x为什么值总有4ax=x，∴a=．。
21.2 降次——解一元二次方程(1)
x1 3，
x2 1
x2 3
x2 3
=
x1 x2 0
= −
无解
归纳小结
思考：方程 = （P为常数）的解有几种情况，
当p>0时，方程x2=p有两个不等的实数根 = , = −
当p=0时，方程x2=p有两个相等的实数根 x1=x2=0.
变式4： (2 − 1)2 = 9
解： 直接开平方，得
2 x 1 3,
2 x 1 3,
2 x 1 3,
x1 2 ，x2 1
变式练习
变式5：
3(2 − 1)2 = 9
解： 系数化1得
（2 − 1）2 = 3
①
实质上是把一个一元二次方程“降
2 x 1 3,
A．8
B．8或－2
C．－2
D．28
3．若代数式2x2＋3与2x2－4的值互为相反数，则x=
± .
课堂小结
直
接
开
平
方
法
概念
利用平方根的定义求方程的根的方法
步骤
关键要把方程化成 x2=p或(mx+n)2=p .
基本思路
一 元
两个一
降次
二 次
元一次
方 程 直接开平方法 方程
2 x 1 3,
2 x 1 3,
1 3
1 3
x1
，x2
2
2
上面的解法中 ，由方程①得到②，
②
次”，转化为两个一元一次方程，
这样就把方程①转化为我们会解的
方程了.同时运用了整体的思想。
归纳小结
直接开平方法三步骤：
初中数学降次解一元二次方程的计算题及答案
初中数学降次解一元二次方程的计算题及答案篇一：九年级数学降次解一元二次方程同步测试降次——解一元二次方程习题精选直接开平方法1．如果(x－2)=9，则x＝．2．方程(2y－1)－4=0的根是．3．方程(x+m)＝72有解的条件是．4．方程3(4x－1)=48的解是．因式分解法9．方程(x+1)=x+1的正确解法是( )A．化为x+1=0B．x+1＝1C．化为(x+1)(x+l－1)＝0D．化为x+3x+2＝010．方程9(x+1)－4(x－1)=0正确解法是( )A．直接开方得3(x+1)=2(x－1)B．化为一般形式13x2+5＝0C．分解因式得[3(x+1)+2(x－1)][3(x+1)－2(x—1)]=0D．直接得x+1＝0或x－l＝011．(1)方程x(x+2)=2(x+2)的根是．(2)方程x－2x－3=0的根是．12．如果a－5ab－14b=0，则公式法13．一元二次方程ax+bx+c＝0(a≠0)的求根公式是，其中b—4ac．14．方程(2x+1)(x+2)=6化为一般形式是，b—4ac ，用求根公式求得222222222222222a?3b= ．5bx1=，x2=，x1+x2=，x1x2?，15．用公式法解下列方程．(1)(x+1)(x+3)＝6x+4．(2)x2?1)x??0．(3) x－(2m+1)x+m＝0．216．已知x－7xy+12y＝0(y≠0)求x：y的值．综合题17．三角形两边的长是3，8，第三边是方程x—17x+66＝0的根，求此三角形的周长．18．关于x的二次三项式：x+2rnx+4－m是一个完全平方式，求m的值．19．利用配方求2x－x+2的最小值．20．x+ax+6分解因式的结果是(x－1)(x+2)，则方程x+ax+b ＝0的二根分别是什么?21．a是方程x－3x+1=0的根，试求的值．22．m是非负整数，方程mx－(3m—8m)x+2m－13m+15=0至少有一个整数根，求m的值．23．利用配方法证明代数式－10x+7x－4的值恒小于0．由上述结论，你能否写出三个二次三项式，其值恒大于0，且二次项系数分别是l、2、3．24．解方程(1)(x+x)·(x+x－2)=24；(2)x?x?6?025．方程x2－6x－k＝1与x－kx－7=0有相同的根，求k 值及相同的根．26．张先生将进价为40元的商品以50元出售时，能卖500个，若每涨价1元，就少卖10个，为了赚8 000元利润，售价应为多少?这时，应进货多少?27．两个不同的一元二次方程x+ax+b=0与x+ax+a=0只有一个公共根，则( )A．a=bB．a－b=lC．a+b=－1D．非上述答案28．在一个50米长30米宽的矩形荒地上设计改造为花园，使花园面积恰为原荒地面积的寺，试给出你的设计．29．海洲市出租车收费标准如下22222222222222222222(规定：四舍五入，精确到元，N≤15)N是走步价，李先生乘坐出租车打出的电子收费单是：里程11公里，应收29．1元，你能依据以上信息，推算出起步价N的值吗?30．方程(x－1)(x+2)(x－3)＝0的根是．31．一元二次方程x—2x＝0的解是( )A．0 B．2 C．0，－2 D．0，232．方程x+kx—6=0的一根是2，试求另一个根及k的值．33．方程(m?2)xm22?3mx?1?0是一元二次方程，则这方程的根是什么? 34．x1、x2是方程2x—3x—6=0的二根，求过A(x1+x2，0)B(0，xl·x2)两点的直线解析式．35．a、b、c都是实数，满足(2?a)c?c?8?0，ax+bx+c＝0，求代数222式x+2x+1的值．2a?b?8??36．a、b、c满足方程组求方程?的解。
22.2 降次——解一元二次方程(5)(含答案).doc
22.2降次——解一元二次方程（5）双基演练1．分解因式：（1）x2－4x=_________；（2）x－2－x（x－2）=________（3）m2－9=________；（4）（x+1）2－16=________2．方程（2x+1）（x－5）=0的解是_________3．方程2x（x－2）=3（x－2）的解是___________4．方程（x－1）（x－2）=0的两根为x1·x2，且x1>x2，则x1－2x2的值等于_______ 5．已知y=x2+x－6，当x=________时，y的值为0；当x=________时，y的值等于24．6．方程x2+2ax－b2+a2=0的解为__________．7．若（2x+3y）2+3（2x+3y）－4=0，则2x+3y的值为_________．8．方程x（x+1）（x－2）=0的根是（）A．－1，2 B．1，－2 C．0，－1，2 D．0，1，29．若关于x的一元二次方程的根分别为－5，7，则该方程可以为（）A．（x+5）（x－7）=0 B．（x－5）（x+7）=0C．（x+5）（x+7）=0 D．（x－5）（x－7）=010．已知方程4x2－3x=0，下列说法正确的是（）A．只有一个根x=34B．只有一个根x=0C．有两个根x1=0，x2=34D．有两个根x1=0，x2=－3411．解方程2（5x－1）2=3（5x－1）的最适当的方法是（）A．直接开平方法B．配方法C．公式法D．分解因式法12．方程（x+4）（x－5）=1的根为（）A．x=－4 B．x=5 C．x1=－4，x2=5 D．以上结论都不对13．用适当的方法解下列方程．（1）x2－2x－2=0 （2）（y－5）(y+7）=0（3）x（2x－3）=（3x+2）（2x－3）（4）（x－1）2－2（x2－1）=0（5）2x2x （6）2（t－1）2+t=1● 能力提升14．（x 2+y 2－1）2=4，则x 2+y 2=_______．15．方程x 2=│x │的根是__________．16．方程2x （x －3）=7（3－x ）的根是（ ）A ．x=3B ．x=72C ．x 1=3，x 2=72D ．x 1=3，x 2=－7217．实数a 、b 满足（a+b ）2+a+b －2=0，则（a+b ）2的值为（ ）A ．4B ．1C ．－2或1D ．4或118．阅读下题的解答过程，请判断是否有错，•若有错误请你在其右边写出正确的解答． 已知：m 是关于x 的方程mx －2x+m=0的一个根，求m 的值．解：把x=m 代入原方程，•化简得m 3=m ，两边同除以m ，得m 2=1，∴m=1，把m=1代入原方程检验可知：m=1符合题意．•答：m 的值是1．19．若规定两数a 、b 通过“※”运算，得到4ab ，即a ※b=4ab ，例如2※6=4•×2•×6=48（1）求3※5的值；（2）求x ※x+2※x －2※4=0中x 的值；（3）若无论x 是什么数，总有a ※x=x ，求a 的值．● 聚焦中考20、方程20x x -=的解为 ．21、方程x （x+1）=3（x+1）的解的情况是（ ）A ．x=－1 B.x=3 C.3,121=-=x x D.以上答案都不对22、在实数范围内定义一种运算“＊”，其规则为22b a b a -=＊，根据这个规则，方程05)2(=+＊x 的解为 。
新人教版初中数学九年级上册21.2降次--解一元二次方程(第四课时)过关习题和解析答案
22．2降次--解一元二次方程（第四课时）22.2.3 因式分解法◆随堂检测1、下面一元二次方程的解法中，正确的是（ ）A ．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x 1=13，x 2=7B ．（2-5x ）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x 1=25，x 2=35 C ．（x+2）2+4x=0，∴x 1=2，x 2=-2D ．x 2=x 两边同除以x ，得x=12、x 2-5x 因式分解结果为_______；2x （x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______．3、用因式分解法解方程（1）2411x x =；（2）2(2)24x x -=-．点拨：用因式分解法解方程的关键是要将方程化为一边为两个一次式的乘积，另一边为0的形式．4、已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程2430x x -+=的解，求这个三角形的周长． ◆典例分析方程2200920100x x +-=较大根为m ，方程2(2010)2009201110x x +⨯-=较小根为n ，求n m +的值.分析：本题中两个方程的系数都较大，用配方法和公式法都会遇到烦琐的运算，因此考虑到系数的特点，选用因式分解法最合适．解：将方程2200920100x x +-=因式分解，得：(2010)(1)0x x +-=，∴20100x +=或10x -=，∴12010x =-，21x =.∴较大根为1，即1m =.将方程2(2010)2009201110x x +⨯-=变形为： 2(2010)(20101)(20101)10x x +-⨯+-=，∴22(2010)201010x x x +--=，∴22010(1)(1)0x x x +-+=，∴∴∴2(20101)(1)0x x -+=，∴2201010x -=或10x +=，∴1212010x =，21x =-. ∴较小根为-1，即1n =-.∴1(1)0m n +=+-=.◆课下作业●拓展提高1、二次三项式x 2+20x+96分解因式的结果为________；如果令x 2+20x+96=0，那么它的两个根是_________．2、下列命题①方程kx 2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x 2=1是同解方程；③方程x 2=x 与方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3.其中正确的命题有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3、已知()(2)80x y x y +++-=，求x y +的值.点拨将x y +看作一个整体,不妨设x y z +=，则求出z 的值即为x y +的值.4、我们知道2()()()x a b x ab x a x b -++=--，那么2()0x a b x a b -++=就可转化为()()0x a x b --=，请你用上面的方法解下列方程：（1）2340x x --=；（2）2760x x -+=；（3）2450x x +-=. 5、已知22940a b -=，求代数式22a b a b b a ab +--的值． 分析：要求22a b a b b a ab+--的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a 与b 的关系后代入即可．6、已知1x =是一元二次方程2400ax bx +-=的一个解，且a b ≠，求2222a b a b --的值. ●体验中考1、（2009年，河南）方程2x x =的解是（ ）A ．1x =B ．0x =C ．11x =，20x =D ．11x =-，20x =2、（2008年，淮安）小华在解一元二次方程240x x -=时，只得出一个根是4x =，则被他漏掉的一个根是________.（提示：方程两边不能同除以含有未知数的式子，否则会失根的.）参考答案：◆随堂检测1、B 用因式分解法解方程的关键是要将方程化为一边为两个一次式的乘积等于0的形式．只有B 是正确的.2、x （x-5）；（x-3）（2x-5）.3、解：（1）移项，得：24110x x -=，因式分解，得：(411)0x x -=于是，得：0x =或4110x -=，∴10x =，2114x =. （2）移项，得2(2)240x x --+=，即2(2)2(2)0x x ---=，因式分解，得：(2)(22)0x x ---=，整理，得：(2)(4)0x x --=，于是，得20x -=或40x -=，∴12x =，24x =.4、解方程2430x x -+=，得(3)(1)0x x --=，∴13x =，21x =.∵三角形两边长分别为2和4，∴第三边只能是3.∴三角形周长为9.◆课下作业●拓展提高1、（x+12）（x+8）；x 1=-12，x 2=-8.2、A ①中方程当k=0时不是一元二次方程；②中x=1比方程x 2=1少一个解x=-1；③中方程x 2=x 比方程x=1多一个解x=0；④中由（x+1）（x-1）=3不能必然地得到x+1=3或x-1=3.因此没有正确的命题，故选A.3、解：设x y z +=，则方程可化为(2)80z z +-=,∴2280z z +-=, ∴(4)(2)0z z +-=,∴14z =-，22z =.∴x y +的值是4-或2.4、解（1）∵234(4)(1)x x x x --=-+，∴(4)(1)0x x -+=，∴40x -=或10x +=，∴14x =，21x =-.（2）∵276(6)(1)x x x x -+=--，∴(6)(1)0x x --=， ∴60x -=或10x -=，∴16x =，21x =.（3）∵245(5)(1)x x x x +-=+-，∴(5)(1)0x x +-=， ∴50x +=或10x -=，∴15x =-，21x =.5、解：原式=22222a b a b b ab a---=- ∵22940a b -=，∴(32)(32)0a b a b +-=，∴320a b +=或320a b -=，∴23a b =-或23a b =， ∴当23a b =-时，原式=-223b b -=3；当23a b =时，原式=-3． 6、解：把1x =代入方程，得：a ＋b ＝40，又∵a b ≠， ∴2222a b a b --＝()()2()a b a b a b +--＝2a b +＝20.●体验中考1、C 先移项，得20x x -=，因式分解，得：(1)0x x -=，∴10x =，21x =. 故选C.2、0x = 将方程因式分解，得(4)0x x -=，∴10x =，24x =.∴被他漏掉的根是0x =.。
21.2.1一元二次方程降次求解(九下数学)
根据平方根的意义，得x1=2 ，x2= -2 .
(2)整理，得x2= ；
根据平方根的意义，得x1= ，x2=
.
(3)整理，得(x+6)2=9；降次，得x+6=3或x+6= -3，
解得x1= -3，x2= -9.
练习(P6) 解下列方程：
(4)3(x-1)2-6=0；(5)x2-4x+4=5；(6)9x2+5=1. (4)整理，得(x-1)2=2；降次，得x-1= 或x-1= - . 解得x1= 1+ ，x2= 1- . (5)整理，得(x-2)2=5；降次，得x-2= 或x-2= - . 解得x1= 2+ ，x2= 2- .
应用
一桶油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林ห้องสมุดไป่ตู้这桶油漆
恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表
面，你能算出盒子的棱长吗？
可设棱长为x dm，则
每个盒子的表面积为6x2 dm2.
x
依题意，列方程：10×6x2=1500.
整理，得x2=25.
根据平方根的意义，得x=±5，即x1=5, x2= -5(舍去).
解：根据平方根的意义，
观察：这些方程
(1) x-1=±2；解得x1=3, x2=-1. 有什么特点？
(2)整理，得(x+3)2=3；即x+3=± ,
解得x1= -3+ , x2= -3- . (3)整理，得(2x-1)2= -1<0；∴原方程没有实数根.
小结
1、一次项系数为0(即b=0)的一元二次方程，都可 以利用平方根的意义求解.
一元二次方程最简单的形式：
x2=p. (即x是p的平方根)
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22.2 降次——解一元二次方程本章内容“一元二次方程”是《课程标准》“数与代数”的重要内容，解一元二次方程的算法是《一元二次方程》一章的重点内容，也是方程中重点内容，是学习二次函数等内容的基础，本节的主要内容是一元二次方程的解法。
这部分知识是对一次方程（组）知识学习的延续和深化，是后续内容学习的基础和工具。
主要学习下列三个内容：1.配方法配方法是继探索一元二次方程近似解的基础上研究的一种求精确解的方法．它是一元二次方程的解法的通法．因为用配方法解一元二次方程比较麻烦，一个一元二次方程需配一次方，所以在实际解一元二次方程时，一般不用配方法．但是，配方法是导出求根公式的关键，且在以后的学习中，会常常用到配方法．因此，要理解配方法，并会用配方法解一元二次方程.根据教材的特点主要设置了直接开平方法解一元二次方程和二次项系数是1的一元二次方程的解法.直接开平方法解一元二次方程比较简单，主要设置了【典例引路】中的例1、例2.【当堂检测】中的第1、2题，【课时作业】中的第1，2，11题.配方及二次项系数是1的一元二次方程的解法为本节的难点，为此设置了【拓展应用】中的例2，【当堂检测】中的第3，5题，【课时作业】中的第4，5，6，7，8，9，10，12题，【选做题】中的第1，2题，【备选题目】中的第1，2题。
2.公式法此内容是本节课的重点，是学习一元二次方程的基础，为此设计【典例引路】的例3、[当堂检测]的第1、2、4题，[课时作业]的第1—5题。
3.因式分解法利用方程解的含义，可求方程中的待定系数，也可由此把二次三项式变形求值，为此设计【典例引路】的例4，[当堂检测]的第3题，[选做题]和[备选题目]的问题。
4.整体思想和数感整体思想是数与代数中常用的数学思想，为此设计[拓展应用]的例1，课标虽不要求解含字母系数的方程,为提高数感, 为此设计[备选题目]的问题。
点击一：利用直接开平方法解一元二次方程 用此法可解形如c x =2、)0()(2≥=+c c b ax 或可化为这种形式的一类方程，这种解法的优点是能迅速准确地求出方程的解，缺点是只适用于一些特殊的方程。
针对练习1: 方程（x －5）2＝6的解是 . A. 5+6,5+6 B. －5+6,－5+6C. 5+66,5－6D. －5+6,－5－6【解析】方程两边开平方,得x －5＝±6，x ＝5±6.【答案】5+66,5－6点击二：利用配方法解一元二次方程配方法是一种重要的数学思想方法，它的应用非常广泛，解方程只是它的一个具体应用。
任何一个形如bx x +2的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来求解的方程。
实际上我们解一元二次方程时，一般是不用此法的，主要是要掌握这种配方的思想方法。
针对练习2: 解下列方程：(1)x 2－12x +5=0; (2)x 2－2x －8=0;答案： (1)移项，得x 2－12x =－5,配方，得x 2－12x +36=－5+36,(x －6)2=31，解这个方程，得x －6=±31.即x 1=6+31,x 2=6－31.(2) 移项，得x 2－2x=8,x 2－2x+1=9,配方，得(x －1)2=9.解这个方程，得x －1=±3,即x 1=4,x 2=－2.点击三：利用公式法解一元二次方程我们可以通过配方法推导出求一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的解的公式)04(2422≥--±-=ac b a ac b b x ，称为求根公式。
用公式的一般步骤：（1）把方程化成一般式；（2）求出ac b 42-的值，若ac b 42-≥0，将a 、b 、c 的值代入求根公式，求出方程的根；若ac b 42-＜0，则原方程没有实数根。
针对练习3: 用公式法解方程.(1)5x+2=2x 2； (2)23t 2+4t －2=0. 【解析】先整理成一般式,特别要注意各系数的符号.【解答】(1)∵a=2,b=－5,c=－2,∴b 2－4ac=25+16=41>0.∴x=4415±.∴x 1=4415+,x 2=4415-. (2)∵a=23,b=4,c=－2, ∴b 2－4ac=16+12=28>0.∴t=3284+-. ∴t 1=3724+-,t 2=－3724+. 点击四：利用因式分解法解一元二次方程当把一元二次方程的一边化为0，而另一边可以分解成两个一次因式的积时，就可以用因式分解法来解这个方程。
要清楚使乘积ab=0的条件是a=0或b=0。
如使方程x （x －3）=0的条件是x=0或x －3=0，x 的两个值都可以使方程成立，所以方程x （x －3）=0有两个根。
针对练习4: 用分解因式法解方程：（1）3(2)5(2)x x x -=-；（2）22(1)1t t -+=；（3）22(31)4(23)0x x --+=． 答案：（1）12325x x ==，； （2）12112t t ==，； （3）12577x x =-=-，．类型之一：直接开平方法例1．方程（X —2）2=9的解是______ 【解析】本题利用直接开平方法，把（x －2）看成是一个整体。
【解答】125,1x x ==-类型之二：配方法例2用配方法解下列一元二次方程：（1）x 2+12x=9 964； （2）9x 2－12x=1【解析】本题要求用配方法解一元二次方程，因此方程的左边应先化成（ax+b ）2•的形式．对于第（1）小题，配方较为容易，只需两边都加上36即可．对于第（2）小题，联想公式（a+b ）2=a 2+2ab+b 2，应在方程两边都加上4，才能把左边的式子化成（ax+b ）•的形式． 【解答】（1）x 2+12x=9 964．两边都加上36，得x 2+12x+36=9 964+36．即（x+6）2=10 000．∴ x+6=100，或x+6=－100．解得x 1=94，x 2=－106．（2）9x 2－12x=1．两边都加上4，得9x 2－12x+4=1+4，即（3x －2）2=5．∴ 3x －2=5，或3x －2=－5．解得 x 1=253+，x 2=253-． 类型之三：公式法例3解下列方程：（1）22x ＋x －6＝0； （2）2x ＋4x ＝2；（3）52x －4x －12＝0；（4）42x ＋4x ＋10＝1－8x ．【解析】把一元二次方程化成一般形式，然后计算b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时，把各项系数a ， b ， c 的值代入求根公式x =242b b ac a -±- (b 2－4ac ≥0)就可得到方程的根． 【解答】（1）这里a ＝2，b ＝1，c ＝－6，2b －4ac ＝21－4×2×（－6）＝1＋48＝49，所以47122491242±-=⨯±-=-±-=a ac b b x ，即23,221=-=x x ．（2）将方程化为一般式，得2x ＋4x －2＝0．因为2b －4ac ＝24，所以622244±-=±-=x ．即62,6221--=+-=x x ．（3） 因为2b －4ac ＝256，所以5821016452256)4(±=±=⨯±--=x ．得2,5621=-=x x ．（4） 整理，得42x ＋12x ＋9＝0．因为2b －4ac ＝0，所以8012±-=x ，即2321-==x x ．类型之四：因式分解法例4：解方程1.x 2－25=02.(x+1)2=(2x －1)23.x 2－2x+1=44.x 2=4x 【解答】1.解：(x+5)(x －5)=0∴x+5=0或x －5=0∴x 1=5,x 2=－52.解：(x+1)2－(2x －1)2=0(x+1+2x －1)(x+1－2x+1)=0∴3x=0或－x+2=0，∴x 1=0,x 2=23.解：x 2－2x －3=0(x －3)(x+1)=0∴x －3=0或x+1=0，∴x 1=3,x 2=－14.解：x 2－4x=0x(x －4)=0∴x=0或x －4=0，∴x 1=0,x 2=4类型之五：综合应用例5. 阅读理解．例如：因为2256(23)23x x x x ++=+++⨯，所以256(2)(3)x x x x ++=++．所以方程2560x x ++=用分解因式法解得2132x x =-=-，． 又如：2256[2(3)](2)(3)x x x x -+=+-+-+-⨯-．所以256(2)(3)x x x x -+=--．所以方程2560x x -+=用分解因式法解得1223x x ==，． 一般地，2()()()x a b x ab x a x b +++=++．所以2()0x a b x ab +++=，即()()0x a x b ++=的解为12x a x b =-=-，．请依照上述方法，用分解因式法解下列方程：（1）2870x x ++=；（2）211280x x -+=．【解答】（1）1217x x =-=-，；（2）1247x x ==，．1. 解下列方程：(1)x 2－25=O ； (2)16x 2一49=0； (3)(x 一5)2－36=0； (4)4(6x 一1)2=3【解析】（1）利用开平方法可解形如x 2=a(a≥0)的方程．(2)如果把x 一5看作一个字母y,就变成解方程y 2=36了.也就是说，如果一个一元二次方程的一边是一个含有未知数的式子的平方,另一边是一个非负的常数,那么这个一元二次方程就可以用开平方法来解,即形如(x －a)2=b(b≥0)的一元二次方程都可以用开平方法来解.【解答】（1）移项,得x 2=25.∵x 是25的平方根，∴x=±25，即x=±5。
∴x 1=5,x 2=－5.（2）移项，得16x 2=49,x 2=1649. ∴x 1=47,x 2=－47. (3)移项，得(x 一5)2=36，即x 一5=6或x 一5=一6，∴x 1=11, x 2=－1.(4)方程两边都除以4，得(6x 一1)2=436， 6x －1=±3,6x －1=3或6x －1=－3,6x=4或6x=－2,∴x 1=32,x 2=－31 2. 用配方法解下列方程：（1）0762=--x x ；（2）0132=++x x ．【解析】配方法是以直接开平方法为基础的一种解一元二次方程的方法．即把一元二次方程的常数项移到方程的右边，把左边配成一个完全平方式，此时，如果右边是一个非负数，就可以通过直接开平方法求出方程的解来．【解答】（1）移项，得762=-x x ．方程左边配方，得 32237332+=+⋅⋅-x x ，即16)3(2=-x ． 所以 x －3＝±4．得 1,721-==x x ．（2） 移项，得132-=+x x ．方程左边配方，得222)23(1)23(232+-=+⋅⋅+x x ， 即45)23(2=+x ． 所以2523±=+x ． 得2523,252321--=+-=x x x ． 【点评】配方法本身是一种方法，它是公式法的基础，是一种基本的代数方法．它以配方为手段，而以直接开平方法为基础，适用于任何特点的一元二次方程，但过程较繁；3. 已知方程3x 2+4x=0,下列说法正确的是( )A.只有一个根x=34 B.只有一个根x=0 C.有两个根,x 1=0,x 2=－34 D.有两个根,x 1=0,x 2=34 【解析】C ∵b 2－4ac=42－4×3×0=16,∴x=32164⨯±-=644±-,x 1=0,x 2=－34. 4. 用分解因式法解下列一元二次方程：(1)(x －1)(x+3)=12; (2)(3x －1)2=4(2x+3)2.【解析】(1)先化成一元二次方程的一般形式，再分解因式；(2)先将方程右边的代数式移到左边，再用平方差公式分解因式.【解析】(1)x 2+3x －x －3－12=0,x 2+2x －15=0,(x －3)(x+5)=0,x －3=0或x+5=0.∴x 1=3,x 2=－5.(2)(3x －1)2－［2(2x+3)］2=0,［3x －1+2(2x+3)］［3x －1－2(2x+3)］=0,(3x －1+4x+6)(3x －1－4x －6)=0,(7x+5)(－x －7)=0,7x+5=0或－x －7=0,∴x 1=－75,x 2=－7.1. 一元二次方程x 2－9=0的根为( )A. x=3B. x=－3C. x 1=3,x 2=－3D. x 1=0,x 2=3【解析】C 可解形如x 2=a(a≥0)的方程.2. 用配方法解下列方程时，配方错误的是( )A.x 2+2x －99=0化为(x+1)2=100B.2x 2－7x －4=0化为(x －47)=1681 C.x 2+8x+9=0化为(x+4)2=25 D.3x －4x －2=0化为(x －32)2=910 【解析】C 检验的办法是把配方后的结果展开对照.3. 解方程0342=--x x ．【解答】移项，得243x x -=，配方，得2224(2)3(2)x x -+-=+-，2(2)7x -=． 解这个方程，得72±=-x ，即1222x x ==4. 用公式法解方程.(1)5x+2=2x 2； (2)23t 2+4t －2=0. 【解析】先整理成一般式,特别要注意各系数的符号.【解答】(1)∵a=2,b=－5,c=－2,∴b 2－4ac=25+16=41>0.∴x=4415±.∴x 1=4415+,x 2=4415-. (2)∵a=23,b=4,c=－2, ∴b 2－4ac=16+12=28>0.∴t=3284+-.∴t 1=3724+-,t 2=－3724+. 5. 已知一元二次方程 x 2－2x ＋1=0的两个根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＋x 1·x 2的值是 .A.3B.2C.－3D.－2【解析】由根与系数的关系，得：x 1＋x 2=2 ，x 1·x 2=1 。