带你轻松认识不同坐标系下向量的“变脸”——基变换

这是《机器学习中的数学基础》系列的第6篇。

今天我们来介绍基变换，简单地说，基变换就是把向量用不同的基来表示。我们来举个例子：

图1

如上图，在我们常见的标准坐标系中，有一个向量w=（22）。此时的基向量是i、j，我们可以用2i+2j来表示向量w。那能不能更换基向量来表示w呢？可以的，如下图：

图2

向量w并没有变化，我们只是把原来的基向量都扩大了1倍，变成了新的基向量i’和j’。那w如何用新的基向量来表示呢？从图上就可以看出，w=i’+j’。由于基变换了，我们的坐标系自然也跟着变换了。因此，在新的坐标系中，向量w就表示为（11）。

好，现在让我们聚焦于图2中新的坐标系。其中，向量w=（11），我们想知道在标准坐标系中的向量w该如何表示呢（忘掉图1）？

在新坐标系中，w=1i’+1j’（1），而i’在标准坐标系中的坐标是（20），j’在标准坐标系中的坐标是（02），把它们代入到（1）式，可得：

这是啥？这不就是矩阵乘以向量的展开吗？如下：

因此，我们就求得了w在标准坐标系中的坐标是（22）。

我们再来看下上面的式子，矩阵[20;02]表示了一种线性变换，它把新坐标系中的向量表示为了标准坐标系中的向量。那肯定又有人问了，如果给定一个标准坐标系的向量，如何求出它在新坐标系中的向量坐标呢？聪明的你肯定想到了，矩阵[20;02]的逆就表示了从标准坐标系到新坐标系的转换。因此，只需用矩阵[20;02]的逆乘以标准坐标系中的向量，就可以得到新坐标系中的向量表示了。

这就是今天的全部内容，你都get到了吗？