23.3.1-相似三角形最新

似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。
E
D1
1
探究新知
定义：对应角相等、对应边成比例的
三角形叫相似三角形。
B
表示法：∽，读作“相似于”
相似比：相似三角形对应边的比k叫做相似比(求 相似三角形的相似比要注意顺序性)
如右图所示:△ABC相似于△DEF就可表示为
△ABC∽△DEF
E
对应顶点一定要写在对应位置，这样可以准 确地找出相似三角形的对应角和对应边。
DECF的周长.
解：∵DE∥AC，DF∥BC，
A
∴四边形DFCE是平行四边形，
D
△ADF∽△ABC，
F
∴
AD AF DF AB ＝AC＝BC
又∵点D为边AB的四等分点 AC=8，BC=12，
∴
AF DF AD 1 8 =12= AB=4
B
E
C ∴AF=2，DF=3
∴FC=AC-AF=8-2=6，
∴ DECF的周长为2(DF+CF)=2(3+6) =18
反之如果△ABC∽△DEF，则有 ∠A=_∠__D__,∠B=_∠__E__,∠C=_∠__F_,
且
AB BC AC K DE EF DF
.
议一议
相似比为1时，相似的 两个图形有什么关系？
当相似比等于1时，相似图形即是全等图形，全等是一种 特殊的相似.
例1.△ABC∽△ADE,AD=6,EC=4,AE=8,DB=10,则
A C
D
F
在△ABC与△DEF中， 如果∠A=∠D, ∠B=∠E,∠C=∠F,
AB BC AC K DE EF DF
我们就说△ABC与△DEF__相__似__，记作 ___△__A_B_C__∽__△__D_E_F___，△ABC与△A′B′C′的相似比是k， △A′B′C′与△ABC的相似比是____.
B
C
BC 3DE 15
例：如图D为△ABC的边AC上一点， DE∥AB，交BC于E. (1)证明△ABC∽△DEC (2)BE=1,EC=2，求AB:DE， 并计算△CDE与△ABC的相似比k.
如右图所示， △ABC与△DEC是否相似？ A
E
D
C
B
例1. ABCD,E为DC边一点， OD=3m,BD=9m.求证：DE=CE.
⑵因为△ABC∽△ADE，，所以由相似三角形对应边成比 例，得AE：AC=DE：BC，即50 ： （50+30）=DE：70，所 以DE=43.75cm
想一想:在上述的条件下,图中有哪些线段成比例? 线段DE与BC平行吗?为什么?
已知：如图，DE ∥ BC,并分别交边AB、 证AC明于：点∵DD、EE∥。求BC证： △ADE ～ △ABC
答：四边形DECF的周长是18．
4、如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC,点 E 是边 AD 的中点， 连接 BE 交 AC 于点 F， BE 的延长线交 CD 的延长线于点 G. （1）求证： GE AE ;（2）若 GE=2,BF=3，求线段 EF 的长.
GB BC
解： (1)证明：
(2)∵AD∥BC，
对应角相等
相 定义 似
对应边成比例
∽ 三
角
表示法：
形 相似比： 对应边的比
例2：AB平行GH平行 CD,AB=2,CD=3,求GH
例3.DE平行BC,
,DE=6,求BC长
1.如图， ABCD中，G是BC延长线上一点，
AG交BD于E，与DC交于点F，则图中相似三
角形共有___6___对。
B E
C
G
F
A
D
2、如图，在△ABC中，点D是边AB的四等分点，
DE∥AC，DF∥BC，AC=8，BC=12，求四边形
△ABC与△ADE的相பைடு நூலகம்比为（
）
看一看
观察下列图象，并找出各对相似三角形 的对应角和对应边：
A
C
A
D O
B 图1
C B 图2
B D
A E
DCF 图3
△ABC∽△ACD △AOC∽△BOD △ABC∽△EDF
例1.△ABC∽△ADE,AD=6,EC=4,AE=8,DB=10,则
△ABC与△ADE的相似比为（
∴△ADE ～ △ABC （相似三角形的定义）
猜想验证
如图，DE ∥ BC, DE与BA、CA延长线交于E、D，
那么△ADE与△ABC还会相似吗？试试看，如果相似 写出它们对应边的比例式.
D
E
A
B “X”型 C
F
归纳
平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线) 相交,所构成的三角形与原三角形相似.
A
∴ ∠ADE=∠B,∠AED=∠C；
AD AE =
D
E
AB AC
过点D作DF ∥AC, 交BC于点F，
AD FC
∴
= AB BC
又∵ DE ∥ BC
B
F
C
∴ ∴
D四E边=F形C.DFCE是平行四边形∠，A=∠A、∠ADE=∠B、∠AED=∠
AD DE AE
∴
== AB BC AC
又∵ ∠A=∠A
C AADB＝AACE＝DBCE
）
例 2. 如 图 ， 已 知 △ ABC∽ADE ， AE=50cm ， EC=30cm，BC=70cm，∠BAC=450，∠ACB=400， 求⑴∠ADE和∠AED的度数；⑵DE的长
C
55cmcm E 400
450 ？
A
D
B
EC
A DB
解：⑴因为△ABC∽ADE，所以由相似三角形对应角相 等 ， 得 ∠ AED=∠ACB=400 。 而 在 △ ADE 中 ∠AED+∠ADE+∠A=1800，所以∠ADE=1800-400-450=950
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴△GED∽△GBC，∴ABEC＝EBFF.
∴GGEB＝DBCE.
由(1)得GGEB＝ABEC，
又∵DE＝AE， ∴GGEB＝ABEC
∴EBFF＝GGEB，即E3F＝2＋32＋EF，EF2＋5EF－6＝0. ∴EF＝1(EF＝－6 舍去)，即 EF 的长为 1
我们学了些什么？
“A”型 A
“X”型
D
E
O
D
E
B （图1） C
B
（图2）
C
当堂训练
1.如图，在△ABC中，点D是边AB的三等分点，
DE//BC，DE=5.求BC的长。
A
解 ∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC
（平行于三角形一边的直线，和其
D
E
他两边相交所构成的三角形与原三
角形相似）
DE AD BC AB
1 3
23.3.1 相似三角形
复习
A
1、什么叫做全等三角形？
B
能够完全重合的两个三角形叫做全等三
D C
角形。
2、全等三角形的对应边、对应角之间各 有什么关系？
E AB
F
C
对应边相等、对应角相等。 3、什么叫做相似多边形？什么叫做相似
ED
A1
B1
多边形的相似比？
F1
对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫相