1 2.1 等式性质与不等式性质ppt课件

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第二章 一元二次函数、方程和不等式
利用不等式的性质证明不等式的方法 (1)简单不等式的证明可直接由已知条件，利用不等式的性质， 通过对不等式变形得证． (2)对于不等号两边式子都比较复杂的情况，直接利用不等式的 性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形， 根据条件确定每一个因式(式子)的符号，利用符号法则判断最 终的符号，完成证明．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
因此菜园面积 S＝x15－x2， 依题意有 S≥110，即 x15－x2≥110， 故该题中的不等关系可用不等式表示为 0<x≤18， x15－x2≥110.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
1．本例(2)中，若矩形的长、宽都不能超过 11 m，对面积没有 要求，则 x 应满足的不等关系是什么？ 解：因为矩形的另一边 15－x2≤11，所以 x≥8，又 0<x≤18， 且 x≤11，所以 8≤x≤11. 2．本例(2)中，若要求 x∈N，则 x 可以取哪些值？ 解：函数 S＝x15－x2的对称轴方程为 x＝15，令 S≥110，x∈ N，经检验当 x＝13，14，15，16，17 时 S≥110.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
某工厂在招标会上，购得甲材料 x 吨，乙材料 y 吨，若维持
工厂正常生产，甲、乙两种材料总量至少需要 120 吨，则 x，y
应满足的不等关系是( )
A．x＋y>120
B．x＋y<120
C．x＋y≥120
D．x＋y≤120
答案：C
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
【解】 (1)因为该车工 3 天后平均每天需加工 x 个零件，加工 (15－3)天共加工 12x 个零件，15 天里共加工(3×24＋12x)个零 件，则 3×24＋12x>408. 故填 72＋12x＞408. (2)由于矩形菜园靠墙的一边长为 x m，而墙长为 18 m，所以 0<x≤18， 这时菜园的另一条边长为30－2 x＝15－x2(m)．
若 x<1，M＝x2＋x，N＝4x－2，则 M 与 N 的大小关系为 ________． 解析：M－N＝x2＋x－4x＋2＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)， 又因为 x<1，所以 x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，所 以 M>N. 答案：M>N
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
利用不等式表示不等关系时的注意点 (1)必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用不等式 来表示，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示． (2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
1．某厂技术科组织工人参加某项技能测试，某职工参加完测试 后对自己的成绩进行了如下估计：理论考试成绩 x 超过 85 分，
a<0
b<0
正确．故填②③.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
(2)证明：因为 a>b>0⇒－a<－b⇒c－a<c－b. 因为 c>a，所以 c－a>0，所以 0<c－a<c－b. 上式两边同乘（c－a）1（c－b），得c－1 a>c－1 b>0. 又因为 a>b>0，所以c－a a>c－b b.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
数(式)大小的比较 (1)比较 3x3 与 3x2－x＋1 的大小． (2)已知 a≥1，试比较 M＝ a＋1－ a和 N＝ a－ a－1的大小． 【解】 (1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
2．常用的不等式的基本性质 性质 1 a>b⇔b_<__a； 性质 2 a>b，b>c⇒a_>__c； 性质 3 如果 a>b，那么 a＋c_>__b＋c； 性质 4 如果 a>b，c>0，那么 ac__>_bc；如果 a>b，c<0，那么 ac_<__bc； 性质 5 如果 a>b，c>d，那么 a＋c__>_b＋d； 性质 6 如果 a>b>0，c>d>0，那么 ac__>_bd； 性质 7 如果 a>b>0，那么 an_>__bn(n∈N，n≥2)．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
3．比较 5x2＋y2＋z2 与 2xy＋4x＋2z－2 的大小． 解：因为 5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy ＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，所以 5x2＋y2 ＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，当且仅当 x＝y＝12且 z＝1 时取到等号．
已知 a>b，c＞d，且 c，d 均不为 0，那么下列不等式一定成
立的是( )
A．ad＞bc
B．ac＞bd
C．a－c＞b－d D．a＋c＞b＋d
解析：选 D.令 a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除 A，B，
C.由不等式的性质 5 知，D 一定成立．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
【解】 (1)①中，c 的正、负或是否为 0 未知，因而判断 ac 与
bc 的大小缺乏依据，故①不正确．
②中，由 ac2>bc2，知 c≠0，故 c2>0，所以 a>b 成立，故②正
确．
③中，a<b，⇒a2>ab，a＜b，⇒ab>b2，所以 a2>ab>b2，故③
所以MN ＝
aa－＋1－a－1a＝
a＋ a－1 a＋1＋ a.
因为 a＋1＋ a> a＋ a－1>0，
所以MN<1，所以 M<N.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
利用作差法比较大小的四个步骤 (1)作差：对要比较大小的两个式子作差． (2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形． (3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号． (4)作出结论． [注意] 上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号” 是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式 分解法、配方法、有理化法等．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
1．若 x∈R，y∈R，则( ) A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1 C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1 解析：选 A.因为 x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋ 1>0，所以 x2＋y2>2xy－1，故选 A.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
1．给出下列命题： ①a>b⇒a2>b2； ③a>b⇒ba<1； 其中正确的命题个数是( A．0 C．2
②a2>b2⇒a>b； ④a>b⇒1a<1b. ) B．1 D．3
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
解析：选 A.由性质 7 可知，只有当 a>b>0 时，a2>b2 才成立， 故①②都错误； 对于③，只有当 a>0 且 a>b 时，ba<1 才成立，故③错误； 当 a>0，b<0 时，1a＞1b，故④错误．
2.1 等式性质与不等式性质
.-.
第二章 一元二次函数、方程和不等式
考点
学习目标
会用不等式(组)表示实际 不等关系 数(式)大小比较
数或式的大小
掌握不等式的性质，会用
不等式的性质 不等式的性质证明不等
式或解决范围问题
核心素养 数学建模 逻辑推理
逻辑推理
第二章 一元二次函数、方程和不等式
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
不等式的基本性质 (1)对于实数 a，b，c，有下列说法： ①若 a>b，则 ac<bc； ②若 ac2>bc2，则 a>b； ③若 a<b<0，则 a2>ab>b2； 其中正确的是________(填序号)． (2)若 c>a>b>0，求证：c－a a>c－b b.
当 x≤1 时，有 x－1≤0，而 3x2＋1>0.所以(3x2＋1)(x－1)≤0， 所以 3x3≤3x2－x＋1. 当 x>1 时，(3x2＋1)(x－1)>0， 所以 3x3>3x2－x＋1.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
(2)因为 a≥1，
所以 M＝ a＋1－ a>0，N＝ a－ a－1>0.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
2．已知 x>y>0，试比较 x3－2y3 与 xy2－2x2y 的大小． 解：由题意，知(x3－2y3)－(xy2－2x2y)＝x3－xy2＋2x2y－2y3＝ x(x2－y2)＋2y(x2－y2)＝(x2－y2)(x＋2y) ＝(x－y)(x＋y)(x＋2y)， 因为 x>y>0，所以 x－y>0，x＋y>0，x＋2y>0， 所以(x3－2y3)－(xy2－2x2y)>0，即 x3－2y3>xy2－2x2y.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
(4)性质 5(即同向可加性)，即“同向不等式只能相加，不等号 方向不变，不能相减”． (5)性质 6 和性质 7(即同向同正可乘性，可乘方性)，即均为正 数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除式．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数 a 不大于－2，用不等式表示为 a≥－2.( × ) (2)不等式 x≥2 的含义是指 x 不小于 2.( √ ) (3)若 a<b 或 a＝b 之中有一个正确，则 a≤b 正确．( √ ) (4)若 a＋c>b＋d，则 a>b，c>d.( × )
用不等式(组)表示不等关系 (1)某车工计划在 15 天里加工零件 408 个，最初三天中， 每天加工 24 个，则以后平均每天至少需加工多少个，才能在规 定的时间内超额完成任务？设以后平均每天至少需要加工 x 个，求解此问题需要构建的不等关系式为________． (2)用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙 长 18 m，要求菜园的面积不小于 110 m2，靠墙的一边长为 x m．试用不等式表示其中的不等关系．
问题导学 预习教材 P37－P42，并思考以下问题： 1．如何比较两个实数的大小？ 2．等式的基本性质有哪些？ 3．不等式的基本性质有哪些？
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
1．比较实数 a，b 的大小 (1)文字叙述 如果 a－b 是正数，那么 a_>_b；如果 a－b 等于 0，那么 a_＝__b； 如果 a－b 是负数，那么 a_<__b，反过来也对． (2)符号表示 a－b>0⇔a_>__b；a－b＝0⇔a_＝__b；a－b<0⇔a_<__b. ■名师点拨 符号“⇔”叫做等价号，读作“等价于”，“p⇔q”的含义是： p 可以推出 q，q 也可以推出 p，即 p 与 q 可以互推．
技能操作成绩 y 不低于 90 分，答辩面试成绩 z 高于 95 分，用 不等式组表示为( )
A.xy≥>8950 z≥95
C.xy≥>8950 z>95
x≥85 B.y>90
z>95 x≥85 D.y>90 z≥95
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
解析：选 C.x 超过 85 分表示为 x>85，y 不低于 90 分表示为 y≥90， z 高于 95 分，表示为 z>95，故选 C. 2．雷电的温度大约是 28 000 ℃，比太阳表面温度的 4.5 倍还 要高．设太阳表面温度为 t ℃，那么 t 应满足的关系式是 ________． 解析：由题意得，太阳表面温度的 4.5 倍小于雷电的温度，即 4.5t<28 000. 答案：4.5t<28 000
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
■名师点拨 对不等式性质的五点说明
(1)性质 1 和性质 2，分别称为“对称性”与“传递性”，在它 们的证明中，要用到比较大小的“定义”等知识． (2)性质 3(即可加性)的依据是移项法则“不等式中任何一项的 符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”． (3)性质 4(即可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”．