1 2.1 等式性质与不等式性质ppt课件
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2.1等式性质与不等式性质(共2课时)课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版必修第一册
1 比较两数(式)的大小
目 录
01 新知探究
问题2你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？
01 新知探究
问题2 常见的不等关系下列，你能用文字语言和符号语言表述吗？
文字 语言
大于
大于 等于
小于
小于 等于
至多
至少 不少于 不多于
符号 语言
>
≥
<
≤≤
≥ ≥≤
问题3 在初中阶段如何比较两个实数的大小关系呢？
还有其他方法吗
A
B
C
－4 －3 －2 －1
0
1 2 3 4 5x
实数与数轴上的点一一对应,且从左到右依次增大。
01 新知1——比较两数(式)的大小
1.两实数大小关系的基本事实 作差法
B
A
b
x
A（B）
（b）
x
A
B
b
x
0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆”.
练一练
练一练
例 2.已知a≥1,试比较 M a 1 a
解 依题意，得50x＋40y≤2 000，即5x＋4y≤200.
例2.一个两位数，个位数字为x，十位数字为y，且这个两位数大于70， 用不等式表示为1_0_y_＋__x_>_7_0____.
解 ∵该两位数可表示为10y＋x，∴10y＋x>70.
04 题型1－作差法比较大小
例3 比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小. 解 (2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝x＋122＋34. ∵x＋122≥0， ∴x＋122＋34≥34>0. ∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)>0，∴2x2＋5x＋3>x2＋4x＋2.
2.1等式性质与不等式性质课件(人教版)
综上所述，当a＝b时，a3＋b3＝a2b＋ab2；
当a≠b时，a3＋b3>a2b＋ab2.
④下结论
方法归纳
反思感悟
单调性）
作差法比较两个实数大小的基本步骤（后续证明函数的
新知探究
D
C
F
G
E
a
b
H
A
B
追问1：如果直角三角形的两条直角边边长分别为，b (a≠b)，你能
将发现的不等关系用不等式表示吗？
范围，再去求其他不等式的范围.
课堂练习
已知-1≤x＋y≤4，2≤x-y≤3，则z=2x-3y的取值范围是_____________.
课堂小结
等式性质与不等式性质(2)
实际问题、
几何问题
不等
关系
数学抽象
不等式
不等式
性质
两个实数大小
关系的基本事
实（作差法）
性质的应用
判断命题的真假
基本不等式
D
G
正方形
4个直角三角
大于
ABCD的面积
形的面积和
1
2
2
＞
+
4 ×
2
A
H
F
a
2 + 2
C
E
b
B
≠
追问2：如果直角三角形的两条直角边边长相等( = )，不等式
D
2 + 2＞2还成立吗？
2 + 2
=
2GΒιβλιοθήκη AHFE
B
C
新知讲授
追问3：∀， ∈ R，2 + 2 ≥ 2,这个猜想成立吗？请证明.
关系的基本事
实（作差法）
2.1等式性质与不等式性质(第一课时)课件(人教版)
= 2 > 0，
∴( + 2)( + 3) > ( + 1)( + 4).
作差法比较大小一般步骤
作差
变形
判号
结论
新知探究
思考：你能在这个图中找到一些相等关系和不等关系吗？
用以证明勾股定理：
1
∵ 4 × + −
2
2
= 2
∴ 2 + 2 + 2 − 2 = 2
情境导入
高矮
胖瘦
轻重
长短
在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，下面我们来
看一下具体的例子。
新知探究
问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？
（1）某段路限速40km/h
（2）某品牌酸奶的质量检查规定，
酸奶中脂肪的含量 f 应不少于2.5%，
蛋白质含量p应不少于2.3%；
2 + 2 − +
2
2
= −2 −
∵ 设 < < 0， ∴ > 0， − < 0
∴ −2 − > 0即 2 + 2 − − 2 − 2 + > 0
所以 2 + 2 − > 2 − 2 +
2 + 2＞2还成立吗？
2
+
2
=
C
D
G
2
A
H
F
E
B
C
新知探究
一般地，∀， ∈ ，有2 + 2 ≥ 2，当且仅当 = 时，等号成立.
证明：由完全平方公式可得a2 + b2 − 2ab = (a − b)2 .
2.1等式性质与不等式性质课件(人教版)PPT
不等式两边同乘一个正数， 所得不等式与原不等式同向； 不等式两边同乘一个负数，
所得不等式与原不等式反向.
高中数学
二、 不等式性质
性 质 1 : 如 果a=b, 那么b=a. 性 质 2 : 如 果a >b, b>c, 那么a >c.
性质3:如果a >b,那么a+c> b+c.
性 质 4 : 如 果 a>b,c> 0, 那么 ac>bc;
高中数学
二、不等式性质
性质3:如果a>b, 那么a+ c>b+c 追问2:两个实数大小关系还可以形象地在 数轴上表达出来，你能从几何意义的角度 对这个性质进行解释吗?
高中数学
二、不等式性质
性质3:如果a>b, 那么a+ c>b+c 追问2:两个实数大小关系还可以形象地在 数轴上表达出来，你能从几何意义的角度 对这个性质进行解释吗?
高中数学
二、不等式性质
性质3:如果a>b, 那么a+ c>b+c 追问2:两个实数大小关系还可以形象地在 数轴上表达出来，你能从几何意义的角度 对这个性质进行解释吗?
高中数学
二、不等式性质
追问3:你能从性质3中得到什么结论吗? 由性质3可得
a+b>c→a+b+(-b)>c+(-b)
→a >c-b
如果a>b>0, 那么 a²>b²
性质7:如果 a>b>0, 那么a”>b”
(n∈N*,n≥2)
高中数学
三、 不等式的简单应用
例：已知a>b>0,c<0, 求证
2.1等式与不等式的性质(第二课时)课件(人教版)
解： 设 2a − 4b = x a + b + y a − b = x + y a + x − y b x, y ∈ ,则
x + y = 2,
x = −1,
解得
y = 3.
x − y = −4,
∴ 2a − 4b = − a + b + 3 a − b .
解题感悟
∵ −1 < a + b < 5 , −4 < a − b < 2 ,
已知 1 a b 1, 则a b的取值范围是__________
1.
a b.
解 : 1 a b 1, 1 a 1,1 b 1,
1 b 1, a b a (b), 2 a b 2,
又 ∵ a b, a b 0, 2 a b 0. 关键：减化加
1
0,
ab
1
1
a
b ,
ab
ab
1 1
,
b a
1 1
.
a b
典例解析
例2 已知 a b 0，c 0 ，求证：c c .
a b
1
1
c c
分析：c 0，Biblioteka 证 ，只需证 a b证法2 c c c(b a )
a b
a b
ab
a
b
0
？
另证： a b a b 0
(a b) (c d ) 0
c d cd 0
(a c ) (b d ) 0 a c b d
x + y = 2,
x = −1,
解得
y = 3.
x − y = −4,
∴ 2a − 4b = − a + b + 3 a − b .
解题感悟
∵ −1 < a + b < 5 , −4 < a − b < 2 ,
已知 1 a b 1, 则a b的取值范围是__________
1.
a b.
解 : 1 a b 1, 1 a 1,1 b 1,
1 b 1, a b a (b), 2 a b 2,
又 ∵ a b, a b 0, 2 a b 0. 关键：减化加
1
0,
ab
1
1
a
b ,
ab
ab
1 1
,
b a
1 1
.
a b
典例解析
例2 已知 a b 0，c 0 ，求证：c c .
a b
1
1
c c
分析：c 0，Biblioteka 证 ，只需证 a b证法2 c c c(b a )
a b
a b
ab
a
b
0
？
另证： a b a b 0
(a b) (c d ) 0
c d cd 0
(a c ) (b d ) 0 a c b d
等式性质与不等式性质ppt课件
3．与 a > b等价的不等式是( )
A．| a |>| b |
B． a2 > b2
C. a > 1 b
D． a3 > b3
初试身手
4． 设x < a < 0， 则下列不等式一定成立的是( )
A． x2 < ax < a2
B． x2 > ax > a2
C． x2 < a2 < ax
D． x2 > a2 > ax
Байду номын сангаас
课程结束
cc
新探初知
等式性质（1 对称性） 如果a b,那么b a. ➢ 不等式性质1（对称性） 如果a b,那么b a;如果b a,那么a b.
即a b b a
等式性质（2 传递性） 如果a b,b c,那么a c.
➢ 不等式性质2（传递性） 如果a b,b c,那么a c.
新探初知
等式性质（5 除法） 如果a b, c 0那么a b . cc
➢ 不等式性质（除法） 如果a b, c 0那么a b ；
cc 如果a b, c 0那么a b
cc
新探初知
由性质2，3可推出 ➢ 不等式性质5（加法法则） 如果a b, c d，那么a c b d.
(2) 如果a b 0, c d 0,那么ac _____bd;
(3)
如果a
b
0,
那么
1 a2
1 ______ b2
;
(4) 如果a b c 0,那么c ______ c
a
b
初试身手
2. 若a＞b， c＞d， 则则下列不等关系中一定成立的是( ) A． a－b＞d－c B． a＋d＞b＋c C． a－c＞b－c D． a－c＜a－d
人教高中数学必修一2.1.等式性质与不等式性质课件
0 <v≤40
B,C
新课引入
练习：用不等式表示下面的不等关系：
1、a与b的和是非负数；
2、某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”
想一想,你还能举出哪些类似的例子?
a+b≥0
H≤4
学习新知
例题讲授
例1、某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
4．作差比较法 步骤：作差，变形，定号
3、a是一个非负实数。
在数学中，我们怎样来表示这些不等关系？
7℃≤t≤13℃
AB+AC>BC或……
a≥0
新课引入
4、右图是限速40km/h的路标，指导司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h ，写成不等式是：_________
40
5、某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，用不等式可以表示为：( )
练习巩固
变式1：若a>b,结果会怎样？
变式2：若没有a<b这个条件呢？
完成课本第40页第2题
课堂小结
1．不等关系是普遍存在的
2．用不等式（组）来表示不等关系
3．不等式基本原理 a - b > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b
变式：
例题讲授
例2、某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm的两种规格。按照生产的要求，600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？
B,C
新课引入
练习：用不等式表示下面的不等关系：
1、a与b的和是非负数；
2、某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”
想一想,你还能举出哪些类似的例子?
a+b≥0
H≤4
学习新知
例题讲授
例1、某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
4．作差比较法 步骤：作差，变形，定号
3、a是一个非负实数。
在数学中，我们怎样来表示这些不等关系？
7℃≤t≤13℃
AB+AC>BC或……
a≥0
新课引入
4、右图是限速40km/h的路标，指导司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h ，写成不等式是：_________
40
5、某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，用不等式可以表示为：( )
练习巩固
变式1：若a>b,结果会怎样？
变式2：若没有a<b这个条件呢？
完成课本第40页第2题
课堂小结
1．不等关系是普遍存在的
2．用不等式（组）来表示不等关系
3．不等式基本原理 a - b > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b
变式：
例题讲授
例2、某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm的两种规格。按照生产的要求，600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？
2.1等式性质与不等式性质(第1课时)课件(人教版)
解：∵3 3 − (3 2 − + 1) = (3 3 − 3 2 ) + ( − 1)
= 3 2 ( − 1) + ( − 1) = (3 2 + 1)( − 1).
由 ≤ 1，得 − 1 ≤ 0，而3 2 + 1 > 0，
∴(3 2 + 1)( − 1) ≤ 0.
键.在变形中，一般变得越彻底，越有利于下一步的判断.其中变形的技能较多，
常见的有因式分解法、配方法、有理化法等.
【巩固练习2】
（1)已知 ∈ ，比较3 3 与3 2 − + 1的大小.
解(1)：∵3 3 − (3 2 − + 1) = (3 3 − 3 2 ) + ( − 1)
园的面积不小于1102 ，靠墙的一边长为 .试用不等式表示其中的不等关系.
解：由于矩形菜园靠墙的一边长为 ，而墙长为18，∴0 < ≤ 18，
这时菜园的另一条边长为
30−��
2
= 15 − 2 .
因此菜园的面积 = ∙ (5 − 2)，
依题意有 ≥ 110，即 ∙ (5 − 2) ≥ 110.
想一想
设儿童的身高为米，如何利用不等式或不等式组来表示“身高深过1.2 m(含1.2 m)而不超过
1.5 m”、“身高深1.5 m”和“身高不足1.2米”呢？
【提示】
1. 不等关系与不等式
在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、
大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过和不
设P是直线AB外任意一点，PQ是P到AB的垂
线段，C是直线AB上任意一点，则PC≥PQ
= 3 2 ( − 1) + ( − 1) = (3 2 + 1)( − 1).
由 ≤ 1，得 − 1 ≤ 0，而3 2 + 1 > 0，
∴(3 2 + 1)( − 1) ≤ 0.
键.在变形中，一般变得越彻底，越有利于下一步的判断.其中变形的技能较多，
常见的有因式分解法、配方法、有理化法等.
【巩固练习2】
（1)已知 ∈ ，比较3 3 与3 2 − + 1的大小.
解(1)：∵3 3 − (3 2 − + 1) = (3 3 − 3 2 ) + ( − 1)
园的面积不小于1102 ，靠墙的一边长为 .试用不等式表示其中的不等关系.
解：由于矩形菜园靠墙的一边长为 ，而墙长为18，∴0 < ≤ 18，
这时菜园的另一条边长为
30−��
2
= 15 − 2 .
因此菜园的面积 = ∙ (5 − 2)，
依题意有 ≥ 110，即 ∙ (5 − 2) ≥ 110.
想一想
设儿童的身高为米，如何利用不等式或不等式组来表示“身高深过1.2 m(含1.2 m)而不超过
1.5 m”、“身高深1.5 m”和“身高不足1.2米”呢？
【提示】
1. 不等关系与不等式
在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、
大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过和不
设P是直线AB外任意一点，PQ是P到AB的垂
线段，C是直线AB上任意一点，则PC≥PQ
等式性质与不等式性质ppt课件
元，现有工人工资预算20 000元，设请木工x人，瓦工y人，则请工人满足的
关系式是（
D）
A.5x+4y<200
B.5x+4y≥200
C.5x+4y＝200
D.5x+4y≤200
2. 已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：
①若ab>0，bc-ad >0，则 - >0；②若ab>0，
bc-ad >0，
- >0，则ab>0.其中正确的是
- >0，则bc-ad>0；③若
.
①②③
➢ 课堂小结
性质6：如果a>b>0，c>d>0，则ac>bd.
a＞b＞0，c＞d＞0
ac＞bd
(正数同向不等式的可乘性)
证明：因为a>b，c>0，所以ac>bc，
又因为c>d，b>0，所以bc>bd，
根据不等式的传递性得 ac>bd。
几个两边都是正数的同向不等式的两边分别
相乘，所得的不等式与原不等式同向。
➢ 新知:不等式的性质
性质1：如果a>b，那么b<a；如果b<a，
那么a>b.
a＞b b＜a（对称性）
性质1表明，把不等式的左边和右边交
换位置，所得不等式与原不等式异向，我
们把这种性质称为不等式的对称性。
➢ 新知:不等式的性质
性质2：如果a>b，b>c，那么a>c.
a＞b，b＞c
a＜b，b＜c
a＞c；
关系式是（
D）
A.5x+4y<200
B.5x+4y≥200
C.5x+4y＝200
D.5x+4y≤200
2. 已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：
①若ab>0，bc-ad >0，则 - >0；②若ab>0，
bc-ad >0，
- >0，则ab>0.其中正确的是
- >0，则bc-ad>0；③若
.
①②③
➢ 课堂小结
性质6：如果a>b>0，c>d>0，则ac>bd.
a＞b＞0，c＞d＞0
ac＞bd
(正数同向不等式的可乘性)
证明：因为a>b，c>0，所以ac>bc，
又因为c>d，b>0，所以bc>bd，
根据不等式的传递性得 ac>bd。
几个两边都是正数的同向不等式的两边分别
相乘，所得的不等式与原不等式同向。
➢ 新知:不等式的性质
性质1：如果a>b，那么b<a；如果b<a，
那么a>b.
a＞b b＜a（对称性）
性质1表明，把不等式的左边和右边交
换位置，所得不等式与原不等式异向，我
们把这种性质称为不等式的对称性。
➢ 新知:不等式的性质
性质2：如果a>b，b>c，那么a>c.
a＞b，b＞c
a＜b，b＜c
a＞c；
2.1等式性质与不等式性质(第一课时)课件(人教版)
(定性描述)
a克糖水中含有b(a>b>0)克糖，再加入
m(m>0)克糖，糖水更甜了，为什么？
符
号
化
象
数学模型：
过
逻
辑
推
理
程
论证模型：
(定量描述)
+
+
>
(a>b>0，m>0)
？
问
+
求证：
+
>
(a>b>0，m>0)
-
核
心
素
养
之
题
逻
辑
推
理
论
(+)−(+)
=
(+)
证明：∵ a2+b2-2ab
=(a-b)2 ≥0
∴ a2+b2≥2ab (当a=b时取等号)
方
不等式就是用不等号连结两个数（式）得到的式子；
法
总 故证明不等式，本质上就是比较两个数的大小. 这里用了
结 作差比较法，今后会学习别的证明方法.
生活问题：
数
量
化
学
数学问题：
数
学
抽
象
抽
+
核
心
素
养
之
数
学
建
模
为什么糖水中加的糖越多越甜？
三、本节课训练的数学思想方法
转化与化归
方程思想
函数结合
分类讨论
主元思想
基础作业：
.
02 能力作业：
.
01
03
拓展延伸：（选做）
a克糖水中含有b(a>b>0)克糖，再加入
m(m>0)克糖，糖水更甜了，为什么？
符
号
化
象
数学模型：
过
逻
辑
推
理
程
论证模型：
(定量描述)
+
+
>
(a>b>0，m>0)
？
问
+
求证：
+
>
(a>b>0，m>0)
-
核
心
素
养
之
题
逻
辑
推
理
论
(+)−(+)
=
(+)
证明：∵ a2+b2-2ab
=(a-b)2 ≥0
∴ a2+b2≥2ab (当a=b时取等号)
方
不等式就是用不等号连结两个数（式）得到的式子；
法
总 故证明不等式，本质上就是比较两个数的大小. 这里用了
结 作差比较法，今后会学习别的证明方法.
生活问题：
数
量
化
学
数学问题：
数
学
抽
象
抽
+
核
心
素
养
之
数
学
建
模
为什么糖水中加的糖越多越甜？
三、本节课训练的数学思想方法
转化与化归
方程思想
函数结合
分类讨论
主元思想
基础作业：
.
02 能力作业：
.
01
03
拓展延伸：（选做）
2.1等式性质与不等式性质(第2课时)课件(人教版)
乘法
a b, c 0
a b
c c
a b，c 0 ac bc
a b 0，c d 0
ac bd
ab0
a n b n n N，n 2
运算的不变性，规律性
性质1：如果a＞b，那么b＜a；
性质2：如果a＞b，b＞c，那么a＞c；
性质3：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c；
π
π
π
π
π
π
由－2≤α<β≤2可知，－2≤α<2，－2<β≤2，α<β.
解析
π
π
∵－2≤α<β≤2，
π α π
π β π
π α＋β π
∴－4≤2<4，－4<2≤4.两式相加，得－2< 2 <2.
π β π
π
π α－β π
β π
∵－4<2≤4，∴－4≤－2<4，∴－2≤ 2 <2.
α－β
π α－β
又∵α<β，∴ 2 <0.∴－2≤ 2 <0.
B.如果 < ， < 0，那么 > .故错误.
1
1
C.如果0 > > ，那么 > .故错误.
D.∵ ≠ 0，∴ 2 > 0，∴如果 > ，那么 2 > 2 .即D正确.
【练一练】判断下列各命题的真假，并说明理由.
c c
(1)若 a<b，c<0，则a<b；
(2)若 ac3<bc3，则 a>b；
∴
3
−��
>
3
3
a b, c 0
a b
c c
a b，c 0 ac bc
a b 0，c d 0
ac bd
ab0
a n b n n N，n 2
运算的不变性，规律性
性质1：如果a＞b，那么b＜a；
性质2：如果a＞b，b＞c，那么a＞c；
性质3：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c；
π
π
π
π
π
π
由－2≤α<β≤2可知，－2≤α<2，－2<β≤2，α<β.
解析
π
π
∵－2≤α<β≤2，
π α π
π β π
π α＋β π
∴－4≤2<4，－4<2≤4.两式相加，得－2< 2 <2.
π β π
π
π α－β π
β π
∵－4<2≤4，∴－4≤－2<4，∴－2≤ 2 <2.
α－β
π α－β
又∵α<β，∴ 2 <0.∴－2≤ 2 <0.
B.如果 < ， < 0，那么 > .故错误.
1
1
C.如果0 > > ，那么 > .故错误.
D.∵ ≠ 0，∴ 2 > 0，∴如果 > ，那么 2 > 2 .即D正确.
【练一练】判断下列各命题的真假，并说明理由.
c c
(1)若 a<b，c<0，则a<b；
(2)若 ac3<bc3，则 a>b；
∴
3
−��
>
3
3
2.1.1等式性质与不等式性质课件(人教版)
那么 < .
不等式两边同时乘上一个正数，所得不等式与原不等式同向；
不等式两边同时乘上一个负数，所得不等式与原不等式反向.
二、合作探究
性质5 如果 > ， > ，那么 + > + .
性质6 如果 > > 0， > > 0，那么 > .
性质7 如果 > > 0，那么 > ∈ , ≥ 1
于是 ·
由 <
1
>·
0，得
1
，
>
1
即 >
1
0，
1
，
> 0.
四、巩固训练
1. 用不等号“>” 或“<” 填空:
(1)如果 a b , c d ,那么 a c ______
> bd ;
< bd ;
(2)如果 a b 0 , c d 0 ,那么 ac ____
a b
四、巩固训练
2. 若a＞b＞0 ，则下列不等式总成立的是
(C )
四、巩固训练
3．设 2<a<3，-2<b<-1，则 2a-b 的范围是________．
解析：4<2a<6，-2<b<-1，
∴1<-b<2，由同向不等式相加得到 5<2a -b<8
四、巩固训练
3．设 2<a<3，-2<b<-1，则 2a-b 的范围是________．
五、课堂小结
性质
别名
等式性质与不等式性质ppt课件
2、三角形ABC的两边之和大于第三边；
3、a是一个非负实数。
在数学中，我们怎样来表示这些不等关系？
7℃≤t≤13℃
AB+AC&等式的定义：
用不等号表示不等关系的式子。
用不等式表示
文字语言
大于，高于，超过
小于，低于，少于
大于等于，至少，不低于
小于等于，至多，不多于，不超过
符号语言
性质2 如果a>b,且b>c,那么a>c.
对称性
利用性质1，性质2可写成“＜”形式：
传 递 性
性质3 如果a > b , 那么a + c > b + c .
可 加 性
性质4 如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d.
性质5 如果a>b,且c>0,那么ac>bc;
可 乘 性
如果a>b,且c<0,那么ac<bc.
2.1等式性质与不等式性质
教学目标
1.理解不等式的概念，能用不等式（组）表示实际问题中的不等关系. 2.梳理等式的性质，掌握不等式的性质，并能运用这些性质解决有关问题. 3.理解两实数大小关系的基本事实，初步学会用作差法比较两实数的大小.
实际生活中:
长 短
大 小
轻 重
高 矮
新课引入
1、今天的天气预报说：明天早晨最低温度为7℃，明天白天的最高温度为13℃；
性质6 如果a>b>0,且c>d>0,那么ac>bd.
性质7：若
性质8：若
(√)
(√)
(√)
(√)
练一练
(2)(3)(4)(5)
3、a是一个非负实数。
在数学中，我们怎样来表示这些不等关系？
7℃≤t≤13℃
AB+AC&等式的定义：
用不等号表示不等关系的式子。
用不等式表示
文字语言
大于，高于，超过
小于，低于，少于
大于等于，至少，不低于
小于等于，至多，不多于，不超过
符号语言
性质2 如果a>b,且b>c,那么a>c.
对称性
利用性质1，性质2可写成“＜”形式：
传 递 性
性质3 如果a > b , 那么a + c > b + c .
可 加 性
性质4 如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d.
性质5 如果a>b,且c>0,那么ac>bc;
可 乘 性
如果a>b,且c<0,那么ac<bc.
2.1等式性质与不等式性质
教学目标
1.理解不等式的概念，能用不等式（组）表示实际问题中的不等关系. 2.梳理等式的性质，掌握不等式的性质，并能运用这些性质解决有关问题. 3.理解两实数大小关系的基本事实，初步学会用作差法比较两实数的大小.
实际生活中:
长 短
大 小
轻 重
高 矮
新课引入
1、今天的天气预报说：明天早晨最低温度为7℃，明天白天的最高温度为13℃；
性质6 如果a>b>0,且c>d>0,那么ac>bd.
性质7：若
性质8：若
(√)
(√)
(√)
(√)
练一练
(2)(3)(4)(5)
2.1等式性质与不等式性质PPT课件(人教版)
A.P≥Q
B.P＞Q
C.P＜Q
D.P≤Q
解析：P－Q＝2a(a－2)＋3－(a－1)(a－3)＝a2≥0， 所以P≥Q.故选A．
学以致用：
2.已知－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3， 求a＋3b的取值范围．
解：设 a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b， 解得λ1＝53，λ2＝－23. 又－53≤53(a ＋b )≤53，－2≤－23(a －2b )≤－23， 所以－131≤a＋3b≤1. 故 a＋3b 的取值范围为－131≤a＋3b≤1.
（可加性）反之亦然
不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与 原不等式同向。
性质4：如果 a b且 c 0 ，那么 ac bc；
如果 a b且 c 0，那么 ac bc.
（可乘性）
不等式的性质：
性质5：如果 a b 且 c d ，那么
a c b d （相加法则）
两个同向不等式相加，所得不等式与原不等式同向。
性质5：如果a=b，c≠0，那么 a b cc
不等式的性质：
性质1：如果 a b ，那么 b a ；如果
b a ，那么 a b. （对称性）
abba
性质2：如果 a b ，b c ，那么 a c.
（传递性）
a b,b c a c
不等式的性质：
性质3：如果 a b，那么 a c b c.
(n N且n 2) （可开方性）
例2：已知 a b 0，c 0，求证：c c . ab
证明： a b 0， ab 0， 1 0 ab
a 1 b 1 ab ab
11 ba
即
11 ab
又 c 0， c c ab
2.1等式性质与不等式性质课件(人教版)
用不等式表示。
万物皆数--毕达哥拉斯
2
人教A版（2019）
基本事实
由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上的点的位置关系来规定
实数的大小关系；如图，设，是两个实数，他们在数轴上所对应的点分别是A，
B，当点A在点B的左边时， < ；当点A在点B的右边时， > ；当点A和点B重
合时， = .
（2）已知1 < < 4，2 < < 8，求 的取值范围
（3）已知−6 < < 8，2 < <
3，求 的取值范围
解：（3）因为 < < ，所以 <
<
①当− < < 时，−< <
②当 ≤ < 时， ≤
由①②得，−< <
<
如果 > > ， > > ，那么 >
如果 > > 那么 > （ ∈ , 且 ≥ ）
万物皆数--毕达哥拉斯
8
人教A版（2019）
例题讲讲
例2 已知 > > ， < ，求证 >
方法一：作差法
证明：
− =
−
=
−
于是 ∙
由 <
>
，得
∙ ，即
>
万物皆数--毕达哥拉斯
2
人教A版（2019）
基本事实
由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上的点的位置关系来规定
实数的大小关系；如图，设，是两个实数，他们在数轴上所对应的点分别是A，
B，当点A在点B的左边时， < ；当点A在点B的右边时， > ；当点A和点B重
合时， = .
（2）已知1 < < 4，2 < < 8，求 的取值范围
（3）已知−6 < < 8，2 < <
3，求 的取值范围
解：（3）因为 < < ，所以 <
<
①当− < < 时，−< <
②当 ≤ < 时， ≤
由①②得，−< <
<
如果 > > ， > > ，那么 >
如果 > > 那么 > （ ∈ , 且 ≥ ）
万物皆数--毕达哥拉斯
8
人教A版（2019）
例题讲讲
例2 已知 > > ， < ，求证 >
方法一：作差法
证明：
− =
−
=
−
于是 ∙
由 <
>
，得
∙ ，即
>
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栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
利用不等式的性质证明不等式的方法 (1)简单不等式的证明可直接由已知条件，利用不等式的性质， 通过对不等式变形得证． (2)对于不等号两边式子都比较复杂的情况，直接利用不等式的 性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形， 根据条件确定每一个因式(式子)的符号，利用符号法则判断最 终的符号，完成证明．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
因此菜园面积 S＝x15－x2， 依题意有 S≥110，即 x15－x2≥110， 故该题中的不等关系可用不等式表示为 0<x≤18， x15－x2≥110.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
1．本例(2)中，若矩形的长、宽都不能超过 11 m，对面积没有 要求，则 x 应满足的不等关系是什么？ 解：因为矩形的另一边 15－x2≤11，所以 x≥8，又 0<x≤18， 且 x≤11，所以 8≤x≤11. 2．本例(2)中，若要求 x∈N，则 x 可以取哪些值？ 解：函数 S＝x15－x2的对称轴方程为 x＝15，令 S≥110，x∈ N，经检验当 x＝13，14，15，16，17 时 S≥110.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
某工厂在招标会上，购得甲材料 x 吨，乙材料 y 吨，若维持
工厂正常生产，甲、乙两种材料总量至少需要 120 吨，则 x，y
应满足的不等关系是( )
A．x＋y>120
B．x＋y<120
C．x＋y≥120
D．x＋y≤120
答案：C
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
【解】 (1)因为该车工 3 天后平均每天需加工 x 个零件，加工 (15－3)天共加工 12x 个零件，15 天里共加工(3×24＋12x)个零 件，则 3×24＋12x>408. 故填 72＋12x＞408. (2)由于矩形菜园靠墙的一边长为 x m，而墙长为 18 m，所以 0<x≤18， 这时菜园的另一条边长为30－2 x＝15－x2(m)．
若 x<1，M＝x2＋x，N＝4x－2，则 M 与 N 的大小关系为 ________． 解析：M－N＝x2＋x－4x＋2＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)， 又因为 x<1，所以 x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，所 以 M>N. 答案：M>N
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
利用不等式表示不等关系时的注意点 (1)必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用不等式 来表示，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示． (2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一．
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
1．某厂技术科组织工人参加某项技能测试，某职工参加完测试 后对自己的成绩进行了如下估计：理论考试成绩 x 超过 85 分，
a<0
b<0
正确．故填②③.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
(2)证明：因为 a>b>0⇒－a<－b⇒c－a<c－b. 因为 c>a，所以 c－a>0，所以 0<c－a<c－b. 上式两边同乘（c－a）1（c－b），得c－1 a>c－1 b>0. 又因为 a>b>0，所以c－a a>c－b b.
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
数(式)大小的比较 (1)比较 3x3 与 3x2－x＋1 的大小． (2)已知 a≥1，试比较 M＝ a＋1－ a和 N＝ a－ a－1的大小． 【解】 (1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2．常用的不等式的基本性质 性质 1 a>b⇔b_<__a； 性质 2 a>b，b>c⇒a_>__c； 性质 3 如果 a>b，那么 a＋c_>__b＋c； 性质 4 如果 a>b，c>0，那么 ac__>_bc；如果 a>b，c<0，那么 ac_<__bc； 性质 5 如果 a>b，c>d，那么 a＋c__>_b＋d； 性质 6 如果 a>b>0，c>d>0，那么 ac__>_bd； 性质 7 如果 a>b>0，那么 an_>__bn(n∈N，n≥2)．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
3．比较 5x2＋y2＋z2 与 2xy＋4x＋2z－2 的大小． 解：因为 5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy ＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，所以 5x2＋y2 ＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，当且仅当 x＝y＝12且 z＝1 时取到等号．
已知 a>b，c＞d，且 c，d 均不为 0，那么下列不等式一定成
立的是( )
A．ad＞bc
B．ac＞bd
C．a－c＞b－d D．a＋c＞b＋d
解析：选 D.令 a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除 A，B，
C.由不等式的性质 5 知，D 一定成立．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
【解】 (1)①中，c 的正、负或是否为 0 未知，因而判断 ac 与
bc 的大小缺乏依据，故①不正确．
②中，由 ac2>bc2，知 c≠0，故 c2>0，所以 a>b 成立，故②正
确．
③中，a<b，⇒a2>ab，a＜b，⇒ab>b2，所以 a2>ab>b2，故③
所以MN ＝
aa－＋1－a－1a＝
a＋ a－1 a＋1＋ a.
因为 a＋1＋ a> a＋ a－1>0，
所以MN<1，所以 M<N.
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
利用作差法比较大小的四个步骤 (1)作差：对要比较大小的两个式子作差． (2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形． (3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号． (4)作出结论． [注意] 上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号” 是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式 分解法、配方法、有理化法等．
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
1．若 x∈R，y∈R，则( ) A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1 C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1 解析：选 A.因为 x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋ 1>0，所以 x2＋y2>2xy－1，故选 A.
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
1．给出下列命题： ①a>b⇒a2>b2； ③a>b⇒ba<1； 其中正确的命题个数是( A．0 C．2
②a2>b2⇒a>b； ④a>b⇒1a<1b. ) B．1 D．3
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
解析：选 A.由性质 7 可知，只有当 a>b>0 时，a2>b2 才成立， 故①②都错误； 对于③，只有当 a>0 且 a>b 时，ba<1 才成立，故③错误； 当 a>0，b<0 时，1a＞1b，故④错误．
2.1 等式性质与不等式性质
.-.
第二章 一元二次函数、方程和不等式
考点
学习目标
会用不等式(组)表示实际 不等关系 数(式)大小比较
数或式的大小
掌握不等式的性质，会用
不等式的性质 不等式的性质证明不等
式或解决范围问题
核心素养 数学建模 逻辑推理
逻辑推理
第二章 一元二次函数、方程和不等式
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
不等式的基本性质 (1)对于实数 a，b，c，有下列说法： ①若 a>b，则 ac<bc； ②若 ac2>bc2，则 a>b； ③若 a<b<0，则 a2>ab>b2； 其中正确的是________(填序号)． (2)若 c>a>b>0，求证：c－a a>c－b b.
当 x≤1 时，有 x－1≤0，而 3x2＋1>0.所以(3x2＋1)(x－1)≤0， 所以 3x3≤3x2－x＋1. 当 x>1 时，(3x2＋1)(x－1)>0， 所以 3x3>3x2－x＋1.
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
(2)因为 a≥1，
所以 M＝ a＋1－ a>0，N＝ a－ a－1>0.
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2．已知 x>y>0，试比较 x3－2y3 与 xy2－2x2y 的大小． 解：由题意，知(x3－2y3)－(xy2－2x2y)＝x3－xy2＋2x2y－2y3＝ x(x2－y2)＋2y(x2－y2)＝(x2－y2)(x＋2y) ＝(x－y)(x＋y)(x＋2y)， 因为 x>y>0，所以 x－y>0，x＋y>0，x＋2y>0， 所以(x3－2y3)－(xy2－2x2y)>0，即 x3－2y3>xy2－2x2y.
第二章 一元二次函数、方程和不等式
利用不等式的性质证明不等式的方法 (1)简单不等式的证明可直接由已知条件，利用不等式的性质， 通过对不等式变形得证． (2)对于不等号两边式子都比较复杂的情况，直接利用不等式的 性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形， 根据条件确定每一个因式(式子)的符号，利用符号法则判断最 终的符号，完成证明．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
因此菜园面积 S＝x15－x2， 依题意有 S≥110，即 x15－x2≥110， 故该题中的不等关系可用不等式表示为 0<x≤18， x15－x2≥110.
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
1．本例(2)中，若矩形的长、宽都不能超过 11 m，对面积没有 要求，则 x 应满足的不等关系是什么？ 解：因为矩形的另一边 15－x2≤11，所以 x≥8，又 0<x≤18， 且 x≤11，所以 8≤x≤11. 2．本例(2)中，若要求 x∈N，则 x 可以取哪些值？ 解：函数 S＝x15－x2的对称轴方程为 x＝15，令 S≥110，x∈ N，经检验当 x＝13，14，15，16，17 时 S≥110.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
某工厂在招标会上，购得甲材料 x 吨，乙材料 y 吨，若维持
工厂正常生产，甲、乙两种材料总量至少需要 120 吨，则 x，y
应满足的不等关系是( )
A．x＋y>120
B．x＋y<120
C．x＋y≥120
D．x＋y≤120
答案：C
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
【解】 (1)因为该车工 3 天后平均每天需加工 x 个零件，加工 (15－3)天共加工 12x 个零件，15 天里共加工(3×24＋12x)个零 件，则 3×24＋12x>408. 故填 72＋12x＞408. (2)由于矩形菜园靠墙的一边长为 x m，而墙长为 18 m，所以 0<x≤18， 这时菜园的另一条边长为30－2 x＝15－x2(m)．
若 x<1，M＝x2＋x，N＝4x－2，则 M 与 N 的大小关系为 ________． 解析：M－N＝x2＋x－4x＋2＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)， 又因为 x<1，所以 x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，所 以 M>N. 答案：M>N
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
利用不等式表示不等关系时的注意点 (1)必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用不等式 来表示，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示． (2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
1．某厂技术科组织工人参加某项技能测试，某职工参加完测试 后对自己的成绩进行了如下估计：理论考试成绩 x 超过 85 分，
a<0
b<0
正确．故填②③.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
(2)证明：因为 a>b>0⇒－a<－b⇒c－a<c－b. 因为 c>a，所以 c－a>0，所以 0<c－a<c－b. 上式两边同乘（c－a）1（c－b），得c－1 a>c－1 b>0. 又因为 a>b>0，所以c－a a>c－b b.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
数(式)大小的比较 (1)比较 3x3 与 3x2－x＋1 的大小． (2)已知 a≥1，试比较 M＝ a＋1－ a和 N＝ a－ a－1的大小． 【解】 (1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
2．常用的不等式的基本性质 性质 1 a>b⇔b_<__a； 性质 2 a>b，b>c⇒a_>__c； 性质 3 如果 a>b，那么 a＋c_>__b＋c； 性质 4 如果 a>b，c>0，那么 ac__>_bc；如果 a>b，c<0，那么 ac_<__bc； 性质 5 如果 a>b，c>d，那么 a＋c__>_b＋d； 性质 6 如果 a>b>0，c>d>0，那么 ac__>_bd； 性质 7 如果 a>b>0，那么 an_>__bn(n∈N，n≥2)．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
3．比较 5x2＋y2＋z2 与 2xy＋4x＋2z－2 的大小． 解：因为 5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy ＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，所以 5x2＋y2 ＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，当且仅当 x＝y＝12且 z＝1 时取到等号．
已知 a>b，c＞d，且 c，d 均不为 0，那么下列不等式一定成
立的是( )
A．ad＞bc
B．ac＞bd
C．a－c＞b－d D．a＋c＞b＋d
解析：选 D.令 a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除 A，B，
C.由不等式的性质 5 知，D 一定成立．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
【解】 (1)①中，c 的正、负或是否为 0 未知，因而判断 ac 与
bc 的大小缺乏依据，故①不正确．
②中，由 ac2>bc2，知 c≠0，故 c2>0，所以 a>b 成立，故②正
确．
③中，a<b，⇒a2>ab，a＜b，⇒ab>b2，所以 a2>ab>b2，故③
所以MN ＝
aa－＋1－a－1a＝
a＋ a－1 a＋1＋ a.
因为 a＋1＋ a> a＋ a－1>0，
所以MN<1，所以 M<N.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
利用作差法比较大小的四个步骤 (1)作差：对要比较大小的两个式子作差． (2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形． (3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号． (4)作出结论． [注意] 上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号” 是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式 分解法、配方法、有理化法等．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
1．若 x∈R，y∈R，则( ) A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1 C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1 解析：选 A.因为 x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋ 1>0，所以 x2＋y2>2xy－1，故选 A.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
1．给出下列命题： ①a>b⇒a2>b2； ③a>b⇒ba<1； 其中正确的命题个数是( A．0 C．2
②a2>b2⇒a>b； ④a>b⇒1a<1b. ) B．1 D．3
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
解析：选 A.由性质 7 可知，只有当 a>b>0 时，a2>b2 才成立， 故①②都错误； 对于③，只有当 a>0 且 a>b 时，ba<1 才成立，故③错误； 当 a>0，b<0 时，1a＞1b，故④错误．
2.1 等式性质与不等式性质
.-.
第二章 一元二次函数、方程和不等式
考点
学习目标
会用不等式(组)表示实际 不等关系 数(式)大小比较
数或式的大小
掌握不等式的性质，会用
不等式的性质 不等式的性质证明不等
式或解决范围问题
核心素养 数学建模 逻辑推理
逻辑推理
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
不等式的基本性质 (1)对于实数 a，b，c，有下列说法： ①若 a>b，则 ac<bc； ②若 ac2>bc2，则 a>b； ③若 a<b<0，则 a2>ab>b2； 其中正确的是________(填序号)． (2)若 c>a>b>0，求证：c－a a>c－b b.
当 x≤1 时，有 x－1≤0，而 3x2＋1>0.所以(3x2＋1)(x－1)≤0， 所以 3x3≤3x2－x＋1. 当 x>1 时，(3x2＋1)(x－1)>0， 所以 3x3>3x2－x＋1.
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(2)因为 a≥1，
所以 M＝ a＋1－ a>0，N＝ a－ a－1>0.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
2．已知 x>y>0，试比较 x3－2y3 与 xy2－2x2y 的大小． 解：由题意，知(x3－2y3)－(xy2－2x2y)＝x3－xy2＋2x2y－2y3＝ x(x2－y2)＋2y(x2－y2)＝(x2－y2)(x＋2y) ＝(x－y)(x＋y)(x＋2y)， 因为 x>y>0，所以 x－y>0，x＋y>0，x＋2y>0， 所以(x3－2y3)－(xy2－2x2y)>0，即 x3－2y3>xy2－2x2y.