工科数学分析课件演示文稿

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《工科数学分析教程下册第4版》最新版精品课件12.4 第一型曲面积分

§12.3 格林公式、路径无关全微分方程
§12.3 格林公式、路径无关全微分方程
授课内容
上节内容回顾全微分方程第一型曲面积分本节小结作业
§12.4 第一型曲面积分定义
§12.4 第一型曲面积分定义
பைடு நூலகம்
§12.4 第一型曲面积分性质
§12.4 第一型曲面积分计算
§12.4 第一型曲面积分计算
授课内容
上节内容回顾全微分方程第一型曲面积分本节小结作业
§12.4 第一型曲面积分小结
作业：作业册相应章节
§12.4 第一型曲面积分计算
§12.4 第一型曲面积分计算
§12.4 第一型曲面积分计算
§12.4 第一型曲面积分计算
§12.4 第一型曲面积分计算
§12.4 第一型曲面积分计算
§12.4 第一型曲面积分计算
§12.4 第一型曲面积分计算
§12.4 第一型曲面积分计算
工科数学分析教程（下）
§12.4 第一型曲面积分
主讲教师：工科数学分析组
授课内容
上节内容回顾全微分方程第一型曲面积分本节小结作业
上节内容回顾
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§12.3 格林公式、路径无关全微分方程
§12.3 格林公式、路径无关全微分方程

工科数学分析2课件-数项级数

工科数学分析(2)写在前➢停课不停学, 停课不停教;•虽没有传统课堂面对面的教与学•但有录课视频在网络平台随时学习➢祸兮福所倚, 福兮祸所伏;➢上课所需✓有网、PC或手机、下载app（学生）✓电子教材、课件、录课视频（老师）➢课程要求：时间、完整观看、完成作业、每周至少一次在线互动（检查+答疑）•存在问题：网络？观看成效？提交作业？1. 数项级数2. 函数列与函数项级数3. Fourier级数4. 多元函数的极限与连续目录5. 多元函数的微分学6. 多元函数的积分学➢数项级数研究内容:数项级数的敛散性判别法1112n++++12n a a a ++++221112n ++++无穷多个数相加有限个数相加第十一章数项级数第一节数项级数的基本概念与性质一、问题的提出二、数项级数的概念三、数项级数的基本性质重点：数项级数收敛的概念、性质难点：性质的应用一、问题的提出引例1. 计算圆的面积AR正六边形的面积正十二边形的面积1a2 1a a+正形的面积n23⨯na a a +++ 21na a a A +++≈ 21即()12lim n n A a a a →∞=+++即任何有限项求和都达不到预期的值, 必须进行无穷项求和.12n a a a =++++割之弥细, 所失弥少. 割之又割, 以至于不可割, 则与圆合体而无所失.引例2. 芝诺悖论——阿基里斯(Achilles)悖论内容:若乌龟在前, 则Achilles永远追不上乌龟！10 m1 m0.1m为什么v 2=10m/sv 1=1m/st 1=1st 2=0.1st 3=0.01s1. 路程上看：++++01.01.0110=10.11110 m1 m0.1m为什么v 2=10m/sv 1=1m/st 1=1st 2=0.1st 3=0.01s2. 时间上看：+++01.01.01=1.111引例3.)1664(年莱布尼茨.71513114π +−+−=,103103103103333.032 +++++=n ,23846 89793 26535 14159.3π =,1091051011041013π5432 ++++++=问题1：不加辨别地认定无穷多个数相加就是一个确定的数？+−+−=1111s (11)(11)000.s =−+−+=++=1(11)(11)100 1.s =−−−−−=−−−=s s −=−+−−=1)111(1 法一：法二：法三：.21=⇒s 问题2：有限个数相加的运算性质能简单地推广到无穷多个数的加法吗？(11)(11)0s =++−++=法四：错错错错1=definednn a ∞=∑12n a a a ++++结论：在没有给出无穷多个数相加的收敛性之前,不能随意结合(即加括号)、交换等.1nn kk s a ==∑研究问题的数学工具：数列极限理论()12lim n n a a a →∞=+++lim nn s →∞=第十一章数项级数第一节数项级数的基本概念与性质一、问题的提出二、数项级数的概念三、数项级数的基本性质重点：数项级数收敛的概念、性质难点：性质的应用二、数项级数的概念1. 数项级数的定义或简称(无穷)级数一般项(或通项)级数的第n 个部分和121nn n aa a a ∞==++++∑121nn n kk s a a a a ==+++=∑级数的部分和数列{}n s2. 级数的收敛与发散若,lim s s n n =∞→ 则称级数1nn a ∞=∑收敛, 且收敛到和,s 记作 121n n n s a a a a ∞==++++=∑否则, 称级数1nn a∞=∑发散.1nn a∞=∑收敛(发散)⇔n n s ∞→lim 存在(不存在){}()n s ⇔数列收敛发散例1 讨论等比级数(几何级数)+++++=∑∞=nn naq aq aq a aq20)0(≠a的敛散性.解1,q ≠如果时211n n ns a aq aq aqa aq q−=++++−=−3. 典型例题1, q <当时0lim =∞→nn q qa s n n −=∴∞→1lim 1,q >当时∞=∞→nn q lim ∞=∴∞→n n s lim 级数收敛级数发散1,q =如果时1,,n q s na ==→∞当时1,q a a a a =−−+−+当时级数变为级数发散级数发散为什么？综上01,1,n n q aq q ∞=⎧<⎪⎨≥⎪⎩∑当时收敛当时发散..1)1(2q S q q S −=+++= 注1. 在引例2中,.1 21<=v v q 二者之比记为Achilles 追赶乌龟的过程中跑过的路程为快者必能追上慢者！注2. 应用实例: 分形几何中的Koch 雪花给定一个正三角形, 将每条边三等分, 然后以中间三分之一段为边向外作小正三角形, 在每条新得到的边上重复类似的操作．求Koch 雪花的周长与面积(设正三角形的边长为1)43,311==A P 面积周长初始状态第一次操作11212913,34A A A P P ⋅⋅+==第二次操作1223123)91(43,)34(A A A P P ⋅⋅⋅+==,2,1)34(11==−n P P n n 2111134()9n n n n A A A −−−⎧⎫⎡⎤=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭1121211)91(43)91(43913A A A A n n −−⋅⋅++⋅⋅+⋅+=,3,2=n 周长为面积为22111414141()()()3393939n A −⎧⎫⎡⎤=+++++⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭第次分叉：n于是雪花的面积有∞=∞→n n P lim 11132331(1).45519A A ⎛⎫ ⎪=+=+= ⎪ ⎪−⎝⎭结论：Koch 雪花的面积有限.22111414141()()()3393939n A −⎧⎫⎡⎤++++++⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭但周长无限.例2 判别无穷级数++⋅−++⋅+⋅)12()12(1531311n n 的收敛性. 解1111335(21)(21)n s n n =+++⋅⋅−⋅+)121121(21)5131(21)311(21+−−++−+−=n n ),1211(21+−=n )1211(21lim lim +−=∴∞→∞→n s n n n ,21=.21,和为级数收敛∴例3 判别无穷级数)11(ln 1n n +∑∞=的收敛性. 解341ln 2ln ln ln 23 ln 2(ln 3ln 2)(ln 4ln 3)(ln(1)ln )n n s n n n +∴=++++=+−+−+++−ln(1)()n n =+→∞→∞.级数发散∴1ln ln(1)ln ,n n a n n n+==+−第十一章数项级数第一节数项级数的基本概念与性质一、问题的提出二、数项级数的概念三、数项级数的基本性质重点：数项级数收敛的概念、性质难点：性质的应用证明1,lim 0.n n n n a a ∞→∞==∑若收敛则定理1(级数收敛的必要条件)011(1), sin .n n n n n ∞∞==−∑∑例如发散1lim , ,n n n n n s s a s s −→∞==−设存在lim 0.n n a s s →∞=−=故等价叙述为：1lim 0, .n n n n a a ∞→∞=≠∑若则发散三、数项级数的基本性质注(1) 提供了判别级数发散的一种方法(2) 定理的逆命题为真吗？+++++n131211例如调和级数lim 0,n n a →∞=即便有1.1n n ∞=∑但级数发散这是因为121111111111(1)()()(23456789101111 )()1621222m m m m s ++=++++++++++++++++++8项4项2项2项项m2,21加括号后的每项均大于121.2m m s ++>→∞定理2()111,,.n n n n n n n a b λa μb ∞∞∞===+∑∑∑设都收敛则也收敛()111.n n n n n n n λa μb λa μb ∞∞∞===+=+∑∑∑且证明11,{},{}n n n n n n a b s σ∞∞==∑∑设的部分和数列分别为()1{}n n n n n a b s λμλμσ∞=++∑则的部分和数列为lim()lim lim n n n nn n n s s λμσλμσ→∞→∞→∞∴+=+特别的设级数1nn a ∞=∑与1nn b ∞=∑分别收敛于和s 与,σ则级数1()nn n ab ∞=±∑收敛,且和为 σ±s , 即111()n n nn n n n a b ab ∞∞∞===±=±∑∑∑逐项相加（相减）性1212()()n n a a a b b b ++++±++++1122()()()n n a b a b a b =±+±++±+两个级数都收敛的条件下！11(1)1[],.23nn n n ∞+=−+∑判断的敛散性若收敛则求其和例4解111(1)11[()]222nnn n n ∞∞+==−=⋅−∑∑,收敛.311收敛同理∑∞=n n 11111111134[()],,11226321()123nnn n ∞∞==−⋅−==−==−−−∑∑又.312161]312)1([11=+−=+−∑∞=+n n n n 故1“.,”,n n a ∞=∑加括号后组成的新级数也收敛且若收敛和不变则定理3(收敛级数有结合律)设原来级数的部分和数列记为证明设加括号的新级数为11211211()() ()k k n n n n n n a a a a a a a a −+++++++++++++++{}n s11,n s σ=lim lim lim ,.k k n n k k n s s s σ→∞→∞→∞===收敛22,n s σ=,,,k k n s σ=11211211()() ()k k n n n n n n a a a a a a a a −+++++++++++++++{},k σ其部分和数列记为满足{}{},k n s σ故是的一个子列从而由子列极限一致性知+−+−)11()11(例如+−+−1111收敛,发散.扩展2如果加括号后所成的级数发散,则原级数发散.扩展1反之呢?不一定!(定理3的逆否命题)定理4如果括号中各项符号相同, 且加括号后收敛,则原级数必收敛, 且和不变.证明新级数的部分和数列：原级数的部分和数列：11211211()() ()k k n n n n n n a a a a a a a a −+++++++++++++++12,,,,,k σσσ12,,,,,n s s s lim ,k k σσ→∞=1σ↓112121,,,,,,,,n n n s s s s s +1,k n k s σσ−≤≤或者1k n k s σσ−≤≤11,k k n n n −+≤<要么此时成立利用夹逼性可知, n s 收敛.,{}{},k k n k n s s σσ=且从而是的一个子列111,,,,,,,k k k n n n n s s s s −−+2σ↓1k σ−↓kσ↓,,k k n n k n n s s σ===故要么从而1.n pkk n a ε+=+<∑恒有证明{}1lim n nnn n a s s ∞→∞=⇔⇔∑收敛存在是基本列**0,,,,N N n N p N ε⇔∀>∃∈>∈当时对一切.n p n s s ε+−<1nn a ∞=∑收敛**0,,,,N N n N p Nε⇔∀>∃∈>∀∈使时1.n p k k n a ε+=+<∑即定理5 (柯西收敛准则)定理6 添加、去掉、改变级数的有限项, 不改变级数的收敛性..112收敛性级数利用柯西审敛原理证明∑∞=n n例5211111(1)n pn pn pk k n k n k n a k k k +++=+=+=+=<−∑∑∑证1210,[]10,,0,||.n n n p N n N p a a a εεε+++∴∀>∃=+>>∀>+++<使得当时都有成立111111,1n pk n k k n n p n +=+⎛⎫=−=−< ⎪−+⎝⎭∑证111122n n n =+++++,212=>n n .级数发散∴.131211发散证明调和级数 +++++n例622111n nk k n k n a k=+=+=∑∑定理7证明都有对一切时当,*,,*,0N p N n N N ∈>∈∃>∀ε 若1n n a ∞=∑收敛, 则1n n a ∞=∑收敛. 设1nn a∞=∑收敛, 则由柯西收敛定理可知1.n pk k n a ε+=+<∑11.n pn pkk k n k n aa ε++=+=+∴≤<∑∑再由柯西收敛定理可知1nn a∞=∑收敛.绝对值的三角不等式四、小结1.由定义,若s s n →,则级数收敛;2.按基本性质.数项级数的基本概念基本判别法,,0,.n n a →∞→例如当则级数发散思考题.lim ,ln 131211存在证明设n n n x n nx ∞→−++++= 收敛存在的充要条件是提示：∑∞=−∞→−11)(lim n n n n n x x x教程上作业:习题9.1.1 1(1, 3), 2习题9.1.2 1(2), 2(2), 4, 6, 8(1, 3)黄本上作业:习题11.1 1(偶数), 2 (偶数), 4, 5第3节一般项级数的收敛性一、绝对收敛与条件收敛二、交错级数及其审敛法三、Dirichlet和Abel判别法重点：非正项级数的判敛法难点：条件收敛第3节一般项级数的收敛性一、绝对收敛与条件收敛二、交错级数及其审敛法三、Dirichlet和Abel判别法1. 柯西收敛准则一、绝对收敛与条件收敛定义1正项和负项任意出现的级数称为一般项级数.1.n pkk n a ε+=+<∑恒有1nn a ∞=∑收敛**0,,,,N N n N p Nε⇔∀>∃∈>∀∈使时例1{},0,n n a a >设数列单调递减且证明120,0,,.2n n N n N a a εε+∀>∃>>++<当时有2120, 22().n n n n a na a a ε+>∴≤++<2lim 20.n n na →∞∴=21220(21)20, ()n n n n a na a n +≤+≤+→→∞lim 0.n n na →∞∴=1,lim 0.n n n n a na ∞→∞==∑证明：若级数收敛则。

工科数学分析课件 Cha3第1节函数极限

注 1 极限为局部性质，仅和 x0 附近取值有关. 与f ( x)在点x0是否有定义无关;
注 2 取值和有关.
几何意义
当x U o ( x0; ), 函数 y f ( x)图形完全落在以直线y A为中心线, 宽为2的带形区域内.
y
A
A
A
y f (x)
o
x0 x0 x0
x
例１证明 lim x2 1 2. x1 x 1
x x0 x x0 ,
x x0
x0
任给 0, 要使 x x0 ,
只要 x x0 x0
取 x0 ,
当0 x x0 时, 就有 x x0 ,
lim x x0
x
x0 .
定义1.3（函数的单侧极限）
左极限 0, 0,使当x0 x x0时, 恒有 f (x) A .
称x
x0时,
f ( x)以A为极限,记为 lim x x0
f (x)
A.
定义
lim
x x0
f ( x) A
0,
0,当0
x x0
时,
恒有 f (x) A .
lim
x x0
f (x)
A
0
0, 对
0, x
满足0 | x x0 | ,但 | f ( x) A | 0 .
x2,
x 0;
例4
设f
(
x)
x
sin
1 x
,
x 0.
,求 lim f ( x). x0
定理1.4(极限的局部保序性)
设 lim f (x) A, lim g(x) B,且A B,
x x0
x x0
则 0,当x U 0( x0 , )时, f ( x) g( x).

工科数学分析课件 Chap4第1节导数的定义

x
lim x sin 1 0
x0
x
f (0) lim f ( x) 0 f ( x)在x 0处连续.
x0
但在x 0处有
y
(0
x)sin 1 0 x
0 sin
1
x
x
x
当x 0时, y 在 1和1之间振荡而极限不存在 . x
f ( x)在x 0处不可导.
常用函数的导数
导数计算
h0
2h
即 (sin x) cos x. 2
类似
(cos x) sin x.
15
例5 求函数 y x n (n为正整数)的导数.
解 ( x n ) lim ( x h)n x n
h0
h
lim[nxn1 n(n 1) x n2h hn1 ] nx n1
h0
2!
即 ( x n ) nx n1 .
即 (a x ) a x ln a. (e x ) e x .
导数的计算
例7 求函数 y loga x(a 0, a 1)的导数.
解 y lim loga ( x h) loga x
h0
h
lim
h0
log a
(1 h
h) x
1 x
1.x x ln a
即
(log a
x)
1. x ln a
例3 求函数 f ( x) C(C为常数)的导数.
解
f ( x) lim f ( x h) f ( x)
h0
h
lim C C 0. h0 h
即 (C) 0.
例4 f ( xsin x) lim sin( x h) sin x
h0
hh
lim cos( x h) sin 2 cos x.

工科数学分析教程上册第四版最新精品课件-3.2 函数的极限 2

授课内容
柯西准则本节小结作业
§3.2 函数的极限 2 柯西准则
§3.2 函数的极限2
作业：作业册对应章节
§3.2 函数的极限 2 不等式相关
§3.2 函数的极限 2 无穷小量
§3.2 函数的极限 2 无穷小量
§3.2 函数的极限 2 四则运算
函数极限的性质
单调函数的极限ຫໍສະໝຸດ 授课内容柯西准则本节小结作业
§3.2 函数的极限 2 单调函数
§3.2 函数的极限 2 单调函数
函数极限的性质
单调函数的极限
工科数学分析教程（上）
§3.2 函数的极限 2
函数极限的性质
单调函数的极限
授课内容
柯西准则本节小结作业
函数极限的性质
单调函数的极限
授课内容
柯西准则本节小结作业
§3.2 函数的极限 2 局部性质
§3.2 函数的极限 2 局部性质
§3.2 函数的极限 2 局部性质
§3.2 函数的极限 2 不等式相关

工科数学分析课件 Chap4第5节微分中值定理

(
x0
)
0.
定义5.2 若x0满足f ( x0 ) 0,称x0是f ( x)的驻点.
注(1)函数在极值点可导,则此极值点一定是驻点；
(2)驻点未必是极值点. 例如f ( x) x3, f (0) 0, 但x 0不是极值点.
(3)不可导的点也可能是极值点.
罗尔(Rolle)中值定理
罗尔(Rolle)中值定理
证明由于 f (a) f (b) 0, f(a) f(b) 0
不仿 f(a) 0, f(b) 0
f(a)
lim
xa
f (x) f (a) xa
0,
f(b)
lim
xb
f (x) f (b) xb
0,
由极限的保号性得知
(a, a ), f ( x) f (a) 0, (b, b ), f ( x) f (b) 0，
由定义知, 0,当x U( x0 , )时, 有f ( x0 ) f ( x).
当x
(
x0
,
x0
)时, lim x x0
f
(
x) x
f( x0
x0
)
0,即
f
(
x0
)
Hale Waihona Puke 0当x(x0
,
x0
)时, lim x x0
f
(
x) x
f( x0
x0
)
0,即
f
(
x0
)
0
f ( x0 )
f
'
(
x0
)
f
'
定理5.2设 f C[a,b], f在(a,b)内可导,且f (a) f (b),

《数学(职业模块工科类)》课件《数学(职业模块工科类)》课件第四、五章

9
第4章逻辑代数初步 4.1 二进制
具体方法是：第一次除以2所得余数是转换后所得二进制数的最低位，第二次除以2所得余数是转换后所得二进制数的倒数第二位，……，依次类推，最后一次除以2 且商为0时，所得余数是二进制数的最高位．
例如，将十进制数23转换为二进制数．
2 23
余 1 最低位 20 位
表4-2
整数部分
小数点
位置
…
第3位
第2位
第1位
起点
位权数
…
22
21
20
二进制数1010的意义是 1010 1 23 0 22 1 21 0 20．
为了区别不同进制的数，通常用下标指明基数，如 (1010)2 表示二进制中的数， (2015)10 表示十进制中的数．
8
第4章逻辑代数初步 4.1 二进制
27
第4章逻辑代数初步 4.2 逻辑变量
列出A，B的一切可能取值与相应逻辑式 A B AB 的值的表，叫做逻辑式 A B AB 的真值表．例如，表4-12为逻辑式 A B AB 的真值表．
表4-12
A
B
AB AB
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
如果对于变量A，B，C 的任何一组取值，两个逻辑式
0000
1101
即
1000001
(1101)2 (101)2 (1000001)2.
16
第4章逻辑代数初步 4.2 逻辑变量
4.2.1 逻辑变量与基本运算
1．逻辑与观察两个开关相互串联的电路，如图4-1所示．由串联电路的性质可知，只有当开关A，B同时闭合时，电灯S才会亮；只要有其中一个开关没有闭合（开关A没有闭合或开关B没有闭合）或者两个开关都没有闭合，电灯S就不会亮．

《数学(职业模块工科类)》电子课件

解由余弦定理可得 B 60, a 6,c 8
b2 a2 c2 2ac cos B 82 62 2 68 cos 60 100 48 52,
所以 b 2 13 .
1.3 正弦定理与余弦定理
1.3.3 正弦定理与余弦定理的应用
例一艘船以每小时 36 海里的速度向正北方向航行，在 A 处观察到
2.1 坐标轴的平移与旋转
2.1.2 坐标轴的旋转
π
例若将坐标轴逆时针旋转 4 ，求点 A(1,3),B(2,1),C(3,2),D(0,4) 经
坐标轴旋转后的新坐标. 解由已知条件和坐标轴旋转变换公式得
x1
y1
2 x 2 2 y 2
2 y, 2 2 x. 2
将各点的原坐标分别代入上式，得到各点的新坐标分别为
O(1,2), A(1,6), B(2,5), C(3,0), D(2,1) .
2.1 坐标轴的平移与旋转
2.1.2 坐标轴的旋转
不改变坐标原点的位置和单位长度，只改变坐标轴方向的坐标系的变换，称为坐标轴的旋转.
设点 M 在原坐标系 Oxy 中的坐标为 (x, y) ，OM r ，直线 OM 的倾斜角为 .将坐标轴绕坐标原点，按逆时针方向旋转角形成新坐标
1.2.1 正弦型函数的概念和性质
形如 y Asin(x ) (A 0, 0) 的函数称为正弦型函
数. 正弦型函数主要有以下性质：
（1）定义域为 R ；
（2）周期为 T
2π
；
（3）值域为[ A, A] ，即最大值为 A ，最小值为 A .
1.2 正弦型函数 y Asin(x )
1.2.1 正弦型函数的概念和性质
在物理学中，用 s Asin(t ) 表示简谐振动， s 表示位

工科数学分析课件

1
,
－1/π
0
1/π
x
在x = 0处不可导. 处不可导
4. 若f ′( x0 ) = ∞ , 且在点 x0的两个单侧导数符号相反 , 则称点 x 0为函数 f ( x )的尖点 (不可导点) .
y
y = f (x)
y
y = f (x)
o
x
o
x0
x
1 x sin , x ≠ 0 例8 讨论函数 f ( x ) = , x 0, x=0 在x = 0处的连续性与可导性 .
设函数 f ( x )在点 x 0 可导,
∆y lim = f ′( x 0 ) ∆x → 0 ∆ x ∆y = f ′( x 0 ) + α ∆x
∆ y = f ′( x0 ) ∆ x + α ∆ x
α → 0 ( ∆x → 0 )
∆x → 0 ∆x → 0
lim ∆y = lim [ f ′( x 0 )∆x + α∆x ] = 0
MN → 0, ∠NMT → 0.
y = f (x)
N T
C M
o
α
ϕ
x0
x
x
设 M ( x 0 , y 0 ), N ( x , y ).
y − y0 f ( x ) − f ( x0 ) 割线MN的斜率为 tan ϕ = 割线 , = x − x0 x − x0 N 沿曲线C → M , x → x 0 , f ( x ) − f ( x0 ) . 切线MT的斜率为 k = tan α = lim x → x0 x − x0
例1 求函数 f ( x ) = C (C为常数 ) 的导数 .
f ( x + h) − f ( x ) C −C 解 f ′( x ) = lim = 0. = lim h→ 0 h→ 0 h h

工科数学分析教程上册第四版最新精品课件-5.6 几类最简单的无理函数的积分

工科数学分析教程（上）
§5.6 几类最简单的无理函数的积分法
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前节知识回顾直接换元三角换元综合解法举例本节小结
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§5.6 几类最简单的无理函数的积分法
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§5.6 几类最简单的无理函数的积分法
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本节小结

工科数学分析课件-幂级数

解： x (,)
cos x (sin x)' 1 x2 x4 x6 (1)k x2k
f (x)
an( x x0 )n
x ( x0 R, x0 R)
n0
f ( x)在( x0 R, x0 R)中有任意阶导数.
且必有： an
f (n)( x0 ) . n!
f
(x)
n0
f
(n)( x0 )( x n!
x0 )n , x ( x0
R, x0
R)
由此说明：f ( x)展开成幂级数是唯一的
S x n 12 xn, x 1
n0
S
x
n0
n1
2 xn
n0
n1
2
xn1 '
n
1
n0
n1
x
n1
'
x n0
xn1
'
'
x
n0
xn1
'
'
x
x 1
x
'
'
1 x
1 x3
,
x
1
例3：n 1n n0
2
xn
2
1 x3
,
x
1
证明： S x n 1n 2 xn 收敛区间为 x 1
R 1
lim
n
n
|
an
|
证明：令 lim an L n an1
由比值法
lim
n
an1 xn1 an xn
lim
n
x an1 an
① 当0 L
x
lim an1 a n
n

工科数学分析11-4

2）Marr小波
t 2 1 t 2 et2 / 2 ,ˆ 2 2 4 2e2 / 2 .
3
3
3）Gauss小波
t 1 tet2 /2 , ˆ ie2 /2 .
2
为什么小波变换称为“数学显微镜”.
小波基的一般构造方法，并阐明了用小波变换进行信号分析的基本原理，为用小波解决实际问题提供了强有力的工具.本节我们仅介绍小波变换的基本概念.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定义(小波变换) 设 t L1 R L2 R，且满足
t dt
0，称
t
为母小波函数，对母小波函数
伸缩平移得到小波函数a,b t
a,b t
§11.3 Fourier变换与小波变换
定理(Fourier变换定理)
假设 f ( x)dx ,且f ( x)为连续函数,则
F f ( ) fˆ f ( y)ei ydy,
F 1( f垐) x f x 1 f ( )eixd.
2
作为80年代中期出现的新的时/频域信号分析工具，小波分析（Wavelet Analysis）被认为是傅里叶分析（Fourier Analysis）发展史上新的里程碑.小波（Wavelet）以及小波变换（Wavelet Transform）的最初概念是法国地球物理学家Morlet在进行地震信号分析时于1984年提出.此文一发表立刻引起强烈反响，经三年短暂发展，法国数学家Meyer在理论上对小波做了系统研究，他的研究极大地丰富了现代调和分析的内容.Meyer等数学家对离散小波变换的贡献使小波变换成为重要的实用工具.继Meyer的离散小波之后，Lemarie和Battle又分别独立地给出具有指数衰减的小波函数.1990年日本京都的国际数学大会，小波理论得到了深入和长足的发展.同时，法国的信号处理专家Mallat提出了多分辨率分析的概念，统一了在此之前Meyer等人提出的具体小波的构造，他提出了对推广小波的应用具有重大意义的著名算法——Mallat 算法.同一时期，在美国数学家Daubechies提出了双正交紧支撑

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只有(至有多限 N 个只 )个落有在 . 其外
注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.
例1 证l明 im n(1)n11. n n
证
xn
1
n(1)n1 n
1
1 n
任给 0,
要 xn1,
只要1 n
,
或n 1,
所以, 取N [1], 则n 当 N时 ,
就有 n(1)n11 即lim n(1)n11.
xn1(1)n1
1 n
1 n
给定 1 , 100
由1 1 , n 100
只n 要 10 时 ,0有xn
1 1 , 100
给定 1 , 1000
只n 要 10时 0,0有xn
1 1 , 1000
给定 1 , 10000
只要 n100时 0, 0 有xn
1 1 , 10000
给定 0, 只要 nN([1]时 ) , 有xn1成.立
证任给 0, 若q0, 则 lim qnlim 00; n n 若 0q1, xn0qn, nlnqln,
n ln , ln q
取N [ln], lnq
则n 当 N时 ,
就q 有 n0, lim qn0. n
例4 设xn 0,且ln im xn a0, 求证 ln im xn a.
n
反而缩小为 ln 2 n
从而 nNln1() 时，
ln2
仅有 ln2ln1() 成立，
n
但不是 lnnln1() 的充分条件．
n
Xn
1
1 2n
1
1.2.2、数列的定义
定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
x1, x2,, xn,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数
列的项,xn称为通项(一般项).数列(1)记为{xn}.
例如 2,4,8, ,2n, ;
{2 n }
12,14,18,,21n,;
1 {2 n }
证任给 0, ln i m xna,
N 使 n 得 N 时当 x n 恒 a 1 ,有从而 xn有 ax Nhomakorabeaa xn a
xn
a a
1 a
故 ln i m xn a.
思考题指出下列证明 lin m n1 中的错误。 n
证明要使 nn1, 只要使 1lnnln1()
n
n
n
例2 设 x n C ( C 为 )证常 , l n ix n 明 m 数 C .
证任给 0,对于一切自然数n,
xn C CC 0成立, 所以, ln im xnC.
说明:常数列的极限等于同一常数.
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给定0,寻找N,但不必要求最小的N.
例3 证li明 q m n0 ,其q 中 1 . n
2.N与任意给定的有正关 . 数
N定义 : ln i x m na 0 , N 0 ,使 n N 时 ,恒x n有 a.
其中 :每一个或任给; 的:至少有一个或存 . 在
几何解释:
a 2 a x 2 x 1 xN1 a xN2 x 3 x
当 nN 时 ,所有 xn都的落 (a 点 ,在 a)内 ,
n
从而由 1ln1 ()ln1 ()
n ln n ln 2
得 0, 取 Nlnl1(n2)1
当 nN时，必有 0nn1成立
lim nn1 n
思考题解答
~ nn1 1lnnln1()（等价） n
证明中所采用的 1ln1 ()ln1 ()
n ln n ln 2
实际上就是不等式 ln2lnnln1()
nn 即证明中没有采用“适当放大” ln n 的值
1.2.3、数列的极限
观察{1 数 (1 列 )n1}当 n 时的变. 化 n
播放
问题: 当 n无限增大时, x n是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
通过上面演示实验的观察:
当 n无限,增 xn1大 (1 n )时 n1无限1 接 . 近
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.
定义如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),总存在正数N,使得对于n N时的一切xn , 不等式xn a 都成立,那末就称常数a是数列 xn的极限,或者称数列xn 收敛于a,记为
lnim xn a, 或xn a (n).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：1 .不等 x na 式刻x 划 n 与 a 的了无 ; 限
工科数学分析课件演示文稿
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A 2
R
正62n1形的面积 A n
A 1,A 2,A 3, ,A n,S
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第
一天
截下
的杖 X1
长 1;为 2
第二天截下的为杖 X2长 12总212和 ;
第 n天截下的杖 Xn长 1 2212 总和 21n;为
1,1,1, ,(1)n1, ; {(1)n1}
2,1,4, ,n(1)n1, ; {n(1)n1}
23
n
n
3 ,3 3 , ,3 3 3 ,
注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1,x2, ,xn, .
x3 x1 x2 x4 xn 2.数列是整标函数 xnf(n).