工科数学分析课件演示文稿
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证 任给 0, 若q0, 则 lim qnlim 00; n n 若 0q1, xn0qn, nlnqln,
n ln , ln q
取N [ln], lnq
则n 当 N时 ,
就q 有 n0, lim qn0. n
例4 设xn 0,且ln im xn a0, 求证 ln im xn a.
n
从而由 1ln1 ()ln1 ()
n ln n ln 2
得 0, 取 Nlnl1(n2)1
当 nN时，必有 0nn1成立
lim nn1 n
思考题解答
~ nn1 1lnnln1()（等价） n
证明中所采用的 1ln1 ()ln1 ()
n ln n ln 2
实际上就是不等式 ln2lnnln1()
nn 即证明中没有采用“适当放大” ln n 的值
2.N与任意给定的 有正 关 . 数
N定义 : ln i x m na 0 , N 0 ,使 n N 时 ,恒x n有 a.
其中 :每一个或任给; 的:至少有一个或存 . 在
几何解释:
a 2 a x 2 x 1 xN1 a xN2 x 3 x
当 nN 时 ,所有 xn都 的落 (a 点 ,在 a)内 ,
只有(至 有多 限 N 个 只 )个 落有 在 . 其外
注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.
例1 证l明 im n(1)n11. n n
证
xn
1
n(1)n1 n
1
1 n
任给 0,
要 xn1,
只要1 n
,
或n 1,
所以, 取N [1], 则n 当 N时 ,
就有 n(1)n11 即lim n(1)n11.
n
n
n
例2 设 x n C ( C 为 )证 常 , l n ix n 明 m 数 C .
证 任给 0,对于一切自然数n,
xn C CC 0成立, 所以, ln im xnC.
说明:常数列的极限等于同一常数.
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定0,寻找N,但不必要求最小的N.
例3 证li明 q m n0 ,其q 中 1 . n
工科数学分析课件演示文稿
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A 2
R
正62n1形的面积 A n
A 1,A 2,A 3, ,A n,S
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第
一天
截下
的杖 X1
长 1;为 2
第二天截下的为 杖 X2长 12总212和 ;
第 n天截下的杖 Xn长 1 2212 总 和 21n;为
定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么 小),总存在正数N,使得对于n N时的一切xn , 不等式xn a 都成立,那末就称常数a是数列 xn的极限,或者称数列xn 收敛于a,记为
lnim xn a, 或xn a (n).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：1 .不等 x na 式 刻x 划 n 与 a 的 了无 ; 限
1.2.3、数列的极限
观察{1 数 (1 列 )n1}当 n 时的变. 化 n
播放
Βιβλιοθήκη Baidu
问题: 当 n无限增大时, x n是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
通过上面演示实验的观察:
当 n无限,增 xn1大 (1 n )时 n1无限1 接 . 近
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
1,1,1, ,(1)n1, ; {(1)n1}
2,1,4, ,n(1)n1, ; {n(1)n1}
23
n
n
3 ,3 3 , ,3 3 3 ,
注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1,x2, ,xn, .
x3 x1 x2 x4 xn 2.数列是整标函数 xnf(n).
n
反而缩小为 ln 2 n
从而 nNln1() 时，
ln2
仅有 ln2ln1() 成立，
n
但不是 lnnln1() 的充分条件．
n
xn1(1)n1
1 n
1 n
给定 1 , 100
由1 1 , n 100
只n 要 10 时 ,0有xn
1 1 , 100
给定 1 , 1000
只n 要 10时 0,0有xn
1 1 , 1000
给定 1 , 10000
只要 n100时 0, 0 有xn
1 1 , 10000
给定 0, 只要 nN([1]时 ) , 有xn1成.立
Xn
1
1 2n
1
1.2.2、数列的定义
定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
x1, x2,, xn,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数
列的项,xn称为通项(一般项).数列(1)记为{xn}.
例如 2,4,8, ,2n, ;
{2 n }
12,14,18,,21n,;
1 {2 n }
证 任给 0, ln i m xna,
N 使 n 得 N 时 当 x n 恒 a 1 ,有
从 而 xn有 a
xna xn a
xn
a a
1 a
故 ln i m xn a.
思考题 指 出 下 列 证 明 lin m n1 中 的 错 误 。 n
证明 要使 nn1, 只要使 1lnnln1()
n ln , ln q
取N [ln], lnq
则n 当 N时 ,
就q 有 n0, lim qn0. n
例4 设xn 0,且ln im xn a0, 求证 ln im xn a.
n
从而由 1ln1 ()ln1 ()
n ln n ln 2
得 0, 取 Nlnl1(n2)1
当 nN时，必有 0nn1成立
lim nn1 n
思考题解答
~ nn1 1lnnln1()（等价） n
证明中所采用的 1ln1 ()ln1 ()
n ln n ln 2
实际上就是不等式 ln2lnnln1()
nn 即证明中没有采用“适当放大” ln n 的值
2.N与任意给定的 有正 关 . 数
N定义 : ln i x m na 0 , N 0 ,使 n N 时 ,恒x n有 a.
其中 :每一个或任给; 的:至少有一个或存 . 在
几何解释:
a 2 a x 2 x 1 xN1 a xN2 x 3 x
当 nN 时 ,所有 xn都 的落 (a 点 ,在 a)内 ,
只有(至 有多 限 N 个 只 )个 落有 在 . 其外
注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.
例1 证l明 im n(1)n11. n n
证
xn
1
n(1)n1 n
1
1 n
任给 0,
要 xn1,
只要1 n
,
或n 1,
所以, 取N [1], 则n 当 N时 ,
就有 n(1)n11 即lim n(1)n11.
n
n
n
例2 设 x n C ( C 为 )证 常 , l n ix n 明 m 数 C .
证 任给 0,对于一切自然数n,
xn C CC 0成立, 所以, ln im xnC.
说明:常数列的极限等于同一常数.
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定0,寻找N,但不必要求最小的N.
例3 证li明 q m n0 ,其q 中 1 . n
工科数学分析课件演示文稿
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A 2
R
正62n1形的面积 A n
A 1,A 2,A 3, ,A n,S
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第
一天
截下
的杖 X1
长 1;为 2
第二天截下的为 杖 X2长 12总212和 ;
第 n天截下的杖 Xn长 1 2212 总 和 21n;为
定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么 小),总存在正数N,使得对于n N时的一切xn , 不等式xn a 都成立,那末就称常数a是数列 xn的极限,或者称数列xn 收敛于a,记为
lnim xn a, 或xn a (n).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：1 .不等 x na 式 刻x 划 n 与 a 的 了无 ; 限
1.2.3、数列的极限
观察{1 数 (1 列 )n1}当 n 时的变. 化 n
播放
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问题: 当 n无限增大时, x n是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
通过上面演示实验的观察:
当 n无限,增 xn1大 (1 n )时 n1无限1 接 . 近
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
1,1,1, ,(1)n1, ; {(1)n1}
2,1,4, ,n(1)n1, ; {n(1)n1}
23
n
n
3 ,3 3 , ,3 3 3 ,
注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1,x2, ,xn, .
x3 x1 x2 x4 xn 2.数列是整标函数 xnf(n).
n
反而缩小为 ln 2 n
从而 nNln1() 时，
ln2
仅有 ln2ln1() 成立，
n
但不是 lnnln1() 的充分条件．
n
xn1(1)n1
1 n
1 n
给定 1 , 100
由1 1 , n 100
只n 要 10 时 ,0有xn
1 1 , 100
给定 1 , 1000
只n 要 10时 0,0有xn
1 1 , 1000
给定 1 , 10000
只要 n100时 0, 0 有xn
1 1 , 10000
给定 0, 只要 nN([1]时 ) , 有xn1成.立
Xn
1
1 2n
1
1.2.2、数列的定义
定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
x1, x2,, xn,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数
列的项,xn称为通项(一般项).数列(1)记为{xn}.
例如 2,4,8, ,2n, ;
{2 n }
12,14,18,,21n,;
1 {2 n }
证 任给 0, ln i m xna,
N 使 n 得 N 时 当 x n 恒 a 1 ,有
从 而 xn有 a
xna xn a
xn
a a
1 a
故 ln i m xn a.
思考题 指 出 下 列 证 明 lin m n1 中 的 错 误 。 n
证明 要使 nn1, 只要使 1lnnln1()