工科数学分析课件 Chap4第5节 微分中值定理
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微分中值定理【高等数学PPT课件】
可导，且
证：设辅助函数
显然 在 因此至少存在
上满足罗尔定理条件, 使得
推广： 存在
使
例3. 若
可导, 试证在其两个零点间一定有 的零点.
的零点. 的零点.
(2) 提示: 欲证:
使
只要证
亦即
二、拉格朗日中值定理
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在区间 ( a , b ) 内可导
证: 在 I 上任取两点
日中值公式 , 得
由 的任意性知, 在 I 上为常数 .
例1. 证明等式 证: 设
由推论可知
(常数)
令x=0,得
又 经验: 欲证
故所证等式在定义域
上成立.
时
只需证在 I 上
自证:
例2. 证明不等式 证: 设 中值定理条件, 因此应有
即 因为
故 推论2: 若函数f 和g 均在区间上可导,且
证: M 和最小值 m .
若M=m,则 因此
故在[ a , b ]上取得最大值
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,
不妨设
则至少存在一点
使
则由费马引理得
注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,
2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为 在 ( a , b ) 内可导, 且
至少存在一点
使
证: 问题转化为证
作辅助函数
显然 ,
在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 由罗尔定理知至少存在一点
思路: 利用逆向思维找即出定一理个结满论足成罗立尔.定证理毕条件的函数
拉格朗日中值定理的有限增量形式:
微分中值定理PPT课件
f (1) f (0) 10
f () 2
f ( x) ( x 2 )
x .
设 g(x) x2 ,
则 f ( x), g( x) 在[0,1]上满足柯西中值定理的条件,
在(0,1)内至少存在一点, 有
f (1) f (0) f ()
10
2
即 f () 2[ f (1) f (0)].
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0
由
的任意性知,
在 I 上为常数 .
经验: 欲证 x I 时 f (x) C0, 只需证在 I 上 f (x) 0,
且 x0 I , 使 f (x0 ) C0.
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例5 证明 arcsin x arccos x (1 x 1). 2
证 设 f ( x) arcsin x arccos x, x [1,1]
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b).
结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
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y 几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
A
C
y f (x)
M
B
N
D
线平行于弦 AB.
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注意:
1. Lagrange定理是罗尔定理的推广.
2.等价形式 f (b) f (a) f ( ).
ba 3.设 f ( x)在 (a, b)内可导, x0 , x0 x (a, b), 则有
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 x) x (0 1).
即 f '() 0
微分中值定理78282
F (x ) C (a ,[b ],)F (x )在 ( a ,b )内,可 又 F ( a ) F ( b ) a 2 f( b ) b 2 f( a )
由罗尔定理, 至少存在一点 (a, b)使得
F ( ) 2 ( f ( b ) f ( a ) ( b ) 2 a 2 ) f ( ) 0
注意: 辅 助 函 数 也 可 为
F (x )f(x )f(b ) f(a )(x a )(绕 f(a )旋 转 与 伸 缩 ). b a
注1:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
注2：可解决一些根存在的问题，通过关于根 的代数式的形式来找原函数，通过原函数 的性质以及拉格朗日定理可得所需要的结 论。
注1:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其
结论可能不成立.
Y
例如, yx,x[1,1];
注2:若罗尔定理的条件仅
-1
是充分条件，不是必要的.
0 1X
例如,
x2 -1x1
f(x)
0 x1
f(0)0
例1 证明方x程 5 x10有且仅有一个. 正实
证：1）存在性
设 f(x)x5x1, 则f(x)在 [0,1]连,续
(1)若 Mm. 则f(x)M. 由此 f(x得 )0. (a,b), 都f有 ()0. (2)若 Mm . f(a)f(b), 最 大 值 与 最 小 值 不 可 能 同 时 在 端 点 a , b 处 取 得 . 设 Mf(a),
则(在 a,b)内至少存 使 f在 ()一 M . 点
值相等，即f(a) f(b),那末在(a,b)内至少有一点
(ab),使得函数f(x)在 y 该点的导数等于零，
由罗尔定理, 至少存在一点 (a, b)使得
F ( ) 2 ( f ( b ) f ( a ) ( b ) 2 a 2 ) f ( ) 0
注意: 辅 助 函 数 也 可 为
F (x )f(x )f(b ) f(a )(x a )(绕 f(a )旋 转 与 伸 缩 ). b a
注1:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
注2：可解决一些根存在的问题，通过关于根 的代数式的形式来找原函数，通过原函数 的性质以及拉格朗日定理可得所需要的结 论。
注1:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其
结论可能不成立.
Y
例如, yx,x[1,1];
注2:若罗尔定理的条件仅
-1
是充分条件，不是必要的.
0 1X
例如,
x2 -1x1
f(x)
0 x1
f(0)0
例1 证明方x程 5 x10有且仅有一个. 正实
证：1）存在性
设 f(x)x5x1, 则f(x)在 [0,1]连,续
(1)若 Mm. 则f(x)M. 由此 f(x得 )0. (a,b), 都f有 ()0. (2)若 Mm . f(a)f(b), 最 大 值 与 最 小 值 不 可 能 同 时 在 端 点 a , b 处 取 得 . 设 Mf(a),
则(在 a,b)内至少存 使 f在 ()一 M . 点
值相等，即f(a) f(b),那末在(a,b)内至少有一点
(ab),使得函数f(x)在 y 该点的导数等于零，
《微分学中值定理》课件
a. 证明f(x)在区间[a,b]上连续 b. 证明f(x)在(a,b)内可导 c. 利用极限的定义证明柯西定理
结论：柯西定理是微分学中值定理的一个重要结果，对于理解微 分学的基本概念和定理具有重要意义。
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼，言简意赅的阐述观点。 Nhomakorabea04
微分学中值定理的推论
推论一：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内单调
推论二：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内至多 存在一个极值点
极值点的定义：函数在某点处的导数为0，且该点两侧的导数符号相 反
极值点的存在性：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内至多 存在一个极值点
极值点的唯一性：若函数在某区间内可导，且该区间内只有一个极 值点，则该极值点为函数的最大值或最小值
极值点的应用：在微分学中，极值点是研究函数性质的重要工具， 可以用于求解函数的最大值和最小值，以及判断函数的单调性等。
推论三：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内取得 极值的必要条件
必要条件：函数在某区间内可导
极值：函数在某点处的值大于或小于其附近点的值
证明：通过微分学中值定理的推论，可以证明函数在某区间内取得极值的必要条件
利用微分学中值定理解决实际问题
实例1：求解函数在某点处的导 数
实例2：求解函数在某区间上的 最大值和最小值
实例3：求解函数在某点处的斜 率
实例4：求解函数在某点处的切 线方程
06
微分学中值定理的扩展
泰勒定理与微分学中值定理的关系
泰勒定理是微分 学中值定理的推 广和延伸
泰勒定理将微分 学中值定理中的 函数值扩展到函 数值和导数值
应用：在解决实际问题时，可以利用这个推论来判断函数是否取得极值，从而找到最优解
结论：柯西定理是微分学中值定理的一个重要结果，对于理解微 分学的基本概念和定理具有重要意义。
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼，言简意赅的阐述观点。 Nhomakorabea04
微分学中值定理的推论
推论一：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内单调
推论二：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内至多 存在一个极值点
极值点的定义：函数在某点处的导数为0，且该点两侧的导数符号相 反
极值点的存在性：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内至多 存在一个极值点
极值点的唯一性：若函数在某区间内可导，且该区间内只有一个极 值点，则该极值点为函数的最大值或最小值
极值点的应用：在微分学中，极值点是研究函数性质的重要工具， 可以用于求解函数的最大值和最小值，以及判断函数的单调性等。
推论三：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内取得 极值的必要条件
必要条件：函数在某区间内可导
极值：函数在某点处的值大于或小于其附近点的值
证明：通过微分学中值定理的推论，可以证明函数在某区间内取得极值的必要条件
利用微分学中值定理解决实际问题
实例1：求解函数在某点处的导 数
实例2：求解函数在某区间上的 最大值和最小值
实例3：求解函数在某点处的斜 率
实例4：求解函数在某点处的切 线方程
06
微分学中值定理的扩展
泰勒定理与微分学中值定理的关系
泰勒定理是微分 学中值定理的推 广和延伸
泰勒定理将微分 学中值定理中的 函数值扩展到函 数值和导数值
应用：在解决实际问题时，可以利用这个推论来判断函数是否取得极值，从而找到最优解
《高等数学课件：微分中值定理及应用》
泰勒展开公式，可以近似表示函数的
变化情况。
3
概念解释
泰勒中值定理是微分中值定理的一种 推广形式，能够更精确地描述函数在 某一区间内的变化。
实际应用
泰勒中值定理在工程建模、物理实验 和经济预测等领域中具有重要的应用 价值。
八、中值定理的应用
应用领域
中值定理在数学、物理、经济 和工程等领域的建模、分析和 问题求解中得到广泛应用。
原理解释
微分中值定理基于连续与 可导函数之间的关系，揭 示了函数导数在特定区间 内的性质。
二、一阶微分中值定理
定理内容
一阶微分中值定理描述了函数 沿着一条曲线的切线上的某一 点与曲线在该点的斜率之间的 关系。
几何意义
可以通过一阶微分中值定理来 分析函数在某一点的变化趋势 和曲线的凹凸性。
常见应用
一阶微分中值定理在求解最值、 优化问题和曲线绘制中具有广 泛应用。
五、柯西中值定理
定理概述
柯西中值定理是微分中值定理 的一种推广形式，适用于描述 两个函数的差商与导数之间的 关系。
图形解释
柯西中值定理可以通过观察函 数图像来理解，它描述了两个 函数之间的相对变化情况。
常见应用
柯西中值定理在求解方程根、 曲线相交和函数求导等问题中 有广泛的应用。
六、罗尔中值定理
金融学中的应用
中值定理可以用来解释金融市 场的波动、利率的变化和投资 收益的计算。
工程技术中的应用
中值定理可以应用于工程设计、 优化问题和自动控制系统的分 析与设计。
1 定理介绍
拉格朗日中值定理是一种特 殊的微分中值定理，描述了 函数在某一区间内的平均变 化率与导数之间的关系。
2 几何意义
拉格朗日中值定理可以用来 解释曲线的切线与曲线上其 他点的关系，帮助我们理解 函数的整体变化。
微分中值定理汇总课件
22
22
可导,
f ( 3 π) 1 f (π).因此sin x在[ 3 π, π]上满足罗
2
2
22
尔定理.应选C.
对于f(x)=|x|，在[－1,1]上连续，在(－1,1)内不可 导，因此应排除Ｄ.
综合之，本例应单选Ｃ.
例2 设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导，
f(a)=f(b),则曲线y=f(x)在(a,b)内平行于x轴的切线( ).
f ( ) f (b) f (a) 0,
ba
从而有f ( ) f (b) f (a) ，或表示为
ba
f (b) f (a) f ( )(b a).
上述结论对b<a也成立.
如果f(x)在(a,b)内可导，x0 (a,b), x0 x (a,b), 则 在以 x0与x0 x为端点的区间上f(x)也满足拉格朗日 中值定理，即
一、引理
引理 设f(x)在 x0 处可导,且在 x0 的某邻域内恒有 f (x) f (x0 )(或f (x) f (x0 )), 则有 f (x0 ) 0 .
二、罗尔定理
定理4.1 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续, (2) 在开区间(a,b)内可导, (3) f(a)=f(b),
不难发现 f (x) 1 ，在[－2,0]上不满足连续的 x
条件，因此应排除A.
对于f (x) (x 4)2，在[－2,4]上连续，在(－2,4)
内可导；f(－2)=36，f(4)=0，f (2) f (4)，因此
应排除B.
对于f (x) sin x，在[ 3 π, π]上连续, 在( 3 π, π)内
则至少存在一点 (a,b)，使f '( ) 0.
《微分中值定理》课件
2
高阶导数的定义
解释高阶导数的概念和意义，以及它在微分中值定理中的应用。
3
集中型与散布型表述
用集中型表述和散布型表述两种方式来理解高阶微分中值定理。
4
示例
通过具体的案例，演示高阶微分中值定理的应用和实际意义。
应用
最值问题
通过微分中值定理，我们可以解决一些与最值有关的问题，如寻找函数在某个区间内的最大 值或最小值。
《微分中值定理》PPT课 件
微分中值定理是微积分的重要定理之一，它揭示了函数在一定条件下的平均 变化率？
微分中值定理是用来研究函数在某个区间内的平均变化率和瞬时变化率之间 的关系的定理。
通过微分中值定理，我们可以推导出很多重要的结论，从而更好地理解函数 的性质和行为。
函数增减性及局部极值
微分中值定理可以帮助我们研究函数的增减性和局部极值点的存在性和位置。
平均值定理
微分中值定理中的平均值定理是函数平均变化率与瞬时变化率之间的关系的重要推论。
总结
微分中值定理的意义和 应用
微分中值定理是理解函数性 质和行为的重要工具，它帮 助我们研究函数的变化规律 和特性。
注意事项
一阶微分中值定理
1
集中型与散布型表述
2
一阶微分中值定理可以用集中型表述和
散布型表述两种不同的方式来描述。
3
公式推导
利用一阶导数的性质，推导出一阶微分 中值定理的公式。
示例
通过实际的例子，展示一阶微分中值定 理的应用和意义。
高阶微分中值定理
1
公式推导
通过对高阶导数进行推导，得到高阶微分中值定理的公式。
使用微分中值定理时需要注 意条件的限制和推导过程的 合理性，以确保结果的准确 性和可靠性。
微分中值定理与导数的应用课件
x
ex x
,
0
.
29
第30页/共112页
例6
tan x lim x tan3x
证 设 f (t) ln(1 t),
f (t)在[0, x]上满足拉格朗日定理的条件,
f ( x) f (0) f ()(x 0), (0 x)
f (0) 0, f ( x) 1 , 由上式得 1 x
ln(1 x) x , 1
又0 x
111 x
1 1 1, 1 x 1
(2) 若 M m. f (a) f (b),
最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a),
则 (a, b)，使 f ( ) M .
由费马引理,
f ( ) 0 .
5
第6页/共112页
注意： 如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论就可能不成立。
y
y
y
B
A
B
A
B
A
aO
bx a O c bx a O
而 f (0) , 且 f (1) f (1) ,
2
2
故 f ( x) , x 1,1 .
2
类似可得： arctan x arccot x , x R .
2 15
第16页/共112页
利用拉格朗日定理可证明不等式.
例5 证明： 1 ln b 罗尔(Rolle)定 理 如果函数yf(x)满足条件：(1)在闭区间[a, b]上连续，(2)在开区间(a, b)内可
导，(3) f(a)f(b)，则至少存在一点(a, b)，使得f () 0。
几何解释:
如果连续光滑的曲线 yf(x) 在端点 A、B 处的 纵坐标相等。那么，在 曲线弧上至少有一点
ex x
,
0
.
29
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例6
tan x lim x tan3x
证 设 f (t) ln(1 t),
f (t)在[0, x]上满足拉格朗日定理的条件,
f ( x) f (0) f ()(x 0), (0 x)
f (0) 0, f ( x) 1 , 由上式得 1 x
ln(1 x) x , 1
又0 x
111 x
1 1 1, 1 x 1
(2) 若 M m. f (a) f (b),
最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a),
则 (a, b)，使 f ( ) M .
由费马引理,
f ( ) 0 .
5
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注意： 如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论就可能不成立。
y
y
y
B
A
B
A
B
A
aO
bx a O c bx a O
而 f (0) , 且 f (1) f (1) ,
2
2
故 f ( x) , x 1,1 .
2
类似可得： arctan x arccot x , x R .
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利用拉格朗日定理可证明不等式.
例5 证明： 1 ln b 罗尔(Rolle)定 理 如果函数yf(x)满足条件：(1)在闭区间[a, b]上连续，(2)在开区间(a, b)内可
导，(3) f(a)f(b)，则至少存在一点(a, b)，使得f () 0。
几何解释:
如果连续光滑的曲线 yf(x) 在端点 A、B 处的 纵坐标相等。那么，在 曲线弧上至少有一点
《高等数学教学课件》§4.1微分中值定理
证明方法
柯西中值定理的证明
应用实例2
求解某些复杂函数的导数问题。
应用实例3
研究函数的单调性、极值和拐点等问题。
应用实例1
证明等式$lim_{x to a} frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a)$。
柯西中值定理的应用实例
感谢观看
THANKS
详细描述
罗尔定理的表述
总结词：罗尔定理的证明基于中值定理和闭区间上连续函数的性质。通过构造一个新函数并利用中值定理证明存在至少一个点使得导数为零。
详细描述：证明罗尔定理的步骤如下
1. 构造新函数$F(x) = f(x) - f(a) - [f(b) - f(a)] cdot x$。
2. 证明$F(x)$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$上可导。
《高等数学教学课件》§4.1微分中值定理
目录
微分中值定理的概述 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理
01
微分中值定理的概述
定义与性质
定义
微分中值定理是描述函数在某区间内至少存在一个点，使得在该点的导数等于该函数在此区间内两个端点处的函数值的差的定理。
性质
微分中值定理具有普遍性，适用于所有连续可导的函数；同时，它也是导数存在定理的推论，为研究函数的单调性、极值等问题提供了重要的理论依据。
3. 利用中值定理，存在至少一个点$c in (a, b)$，使得$F'(c) = 0$。
4. 由于$F'(c) = f'(c) - [f(b) - f(a)]$，所以$f'(c) = 0$。
罗尔定理的证明
总结词：罗尔定理在数学分析、微积分和实变函数等领域有广泛的应用，它可以用于证明一些重要的数学结论和解决一些数学问题。
柯西中值定理的证明
应用实例2
求解某些复杂函数的导数问题。
应用实例3
研究函数的单调性、极值和拐点等问题。
应用实例1
证明等式$lim_{x to a} frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a)$。
柯西中值定理的应用实例
感谢观看
THANKS
详细描述
罗尔定理的表述
总结词：罗尔定理的证明基于中值定理和闭区间上连续函数的性质。通过构造一个新函数并利用中值定理证明存在至少一个点使得导数为零。
详细描述：证明罗尔定理的步骤如下
1. 构造新函数$F(x) = f(x) - f(a) - [f(b) - f(a)] cdot x$。
2. 证明$F(x)$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$上可导。
《高等数学教学课件》§4.1微分中值定理
目录
微分中值定理的概述 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理
01
微分中值定理的概述
定义与性质
定义
微分中值定理是描述函数在某区间内至少存在一个点，使得在该点的导数等于该函数在此区间内两个端点处的函数值的差的定理。
性质
微分中值定理具有普遍性，适用于所有连续可导的函数；同时，它也是导数存在定理的推论，为研究函数的单调性、极值等问题提供了重要的理论依据。
3. 利用中值定理，存在至少一个点$c in (a, b)$，使得$F'(c) = 0$。
4. 由于$F'(c) = f'(c) - [f(b) - f(a)]$，所以$f'(c) = 0$。
罗尔定理的证明
总结词：罗尔定理在数学分析、微积分和实变函数等领域有广泛的应用，它可以用于证明一些重要的数学结论和解决一些数学问题。
3.1微分中值定理讲稿
0
0
0
x → x0
g ( x)
x → x0
g ′( x)
当x→∞,x→ x0 等其它变化过程时定
理结论仍成立
+
例4.求 lim 求
sin x 1 2 解： ( x sin )′ x 解： (ln 2 x)′ 原式= x→0 原式 lim 原式= →+∞ 原式 xlim (sin x)′ ( x)′ 1 1 2 1 2 x sin + x (sin )′ 2 ln x ⋅ x x = lim x = lim x →0 cos x x → +∞ 1 1 1 1 2 x sin + x 2 ⋅ cos ⋅ (− 2 ) (2 ln x)′ x x x = lim (再用一次洛 (再用一次洛 = lim x →0 cos x x → +∞ ( x)′ 必达法则Ⅱ 必达法则Ⅱ) 1 1 2 x sin − cos x x 极限不存在 还能再用洛必达法 2 = lim = lim x →0 则Ⅱ吗？ cos x x → +∞ x
ξ
b
x
反之若三条件中有一条件不满足,就可 反之若三条件中有一条件不满足 就可 能在开区间(a,b)内找不到一个点的导数 能在开区间 内找不到一个点的导数 恰好为零(如图 图 图 如图1 恰好为零 如图 ,图2 ,图3)
满足条件： 2.拉格朗日中值定理 如果函数 f (x) 满足条件： 拉格朗日中值定理. 拉格朗日中值定理 ⑴在闭区间[a,b]上连续 在闭区间 上连续 ⑵在开区间(a,b)内可导 在开区间 内可导 则在开区间(a,b)内至少存在一个点 ξ 使 内至少存在一个点 则在开区间 f (b) − f (a) f ′(ξ ) = 或 f (b) − f (a) = f ′(ξ )(b − a) b−a y
0
0
x → x0
g ( x)
x → x0
g ′( x)
当x→∞,x→ x0 等其它变化过程时定
理结论仍成立
+
例4.求 lim 求
sin x 1 2 解： ( x sin )′ x 解： (ln 2 x)′ 原式= x→0 原式 lim 原式= →+∞ 原式 xlim (sin x)′ ( x)′ 1 1 2 1 2 x sin + x (sin )′ 2 ln x ⋅ x x = lim x = lim x →0 cos x x → +∞ 1 1 1 1 2 x sin + x 2 ⋅ cos ⋅ (− 2 ) (2 ln x)′ x x x = lim (再用一次洛 (再用一次洛 = lim x →0 cos x x → +∞ ( x)′ 必达法则Ⅱ 必达法则Ⅱ) 1 1 2 x sin − cos x x 极限不存在 还能再用洛必达法 2 = lim = lim x →0 则Ⅱ吗？ cos x x → +∞ x
ξ
b
x
反之若三条件中有一条件不满足,就可 反之若三条件中有一条件不满足 就可 能在开区间(a,b)内找不到一个点的导数 能在开区间 内找不到一个点的导数 恰好为零(如图 图 图 如图1 恰好为零 如图 ,图2 ,图3)
满足条件： 2.拉格朗日中值定理 如果函数 f (x) 满足条件： 拉格朗日中值定理. 拉格朗日中值定理 ⑴在闭区间[a,b]上连续 在闭区间 上连续 ⑵在开区间(a,b)内可导 在开区间 内可导 则在开区间(a,b)内至少存在一个点 ξ 使 内至少存在一个点 则在开区间 f (b) − f (a) f ′(ξ ) = 或 f (b) − f (a) = f ′(ξ )(b − a) b−a y
中值定理课件
( ) 0,
例 5 设 f ( x) 在 [a,b] 上连续, 在 (a,b) 内可导,
且 f (a) f (b) 0.
证明: 存在 (a,b), 使 f ( ) f ( ) 成立.
证
( x) f ( x)e x f ( x)e x ,
因此, 在 (a,b) 内至少存在一点 (a,b), 使
证 因 f (a) f (b) 0, 故 f (a) 和 f (b) 同号, 不妨设 f (a) 0, f (b) 0. 又因为 f (a) f (c) 0, 所以 f (c) 0. 在 [a,c]和 [c,b] 上 f ( x) 连续, 由于 f (a) 和 f (c) 异号, f (c) 和 f (b) 异号, 所以, 至少存在一点 x1 (a,c), 使 f ( x1) 0;
x) x
f ( x0 )
0;
当
x
0
时， f ( x0
x) x
f
( x0 )
0.
由极限的保号性，
费马引理
证 不妨设 x U( x0 )时，f ( x) f ( x0 ).
则对 x0 x U( x0 ), 有 f ( x0 x) f ( x0 ),
从而 当 x 0
时，lxim0
f ( x0 x) x
(2, 3) 内.
完
例 3 证明方程 x 5 5 x 1 0 有且仅有一个小于
1的正实根.
证 设 f ( x) x 5 5x 1 1, 则 f ( x) 在 [0,1]上 连续, 且 f (0) 1, f (1) 3. 由介值定理, 存在
x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0,
则对 x0 x U( x0 ), 有 f ( x0 x) f ( x0 ),
例 5 设 f ( x) 在 [a,b] 上连续, 在 (a,b) 内可导,
且 f (a) f (b) 0.
证明: 存在 (a,b), 使 f ( ) f ( ) 成立.
证
( x) f ( x)e x f ( x)e x ,
因此, 在 (a,b) 内至少存在一点 (a,b), 使
证 因 f (a) f (b) 0, 故 f (a) 和 f (b) 同号, 不妨设 f (a) 0, f (b) 0. 又因为 f (a) f (c) 0, 所以 f (c) 0. 在 [a,c]和 [c,b] 上 f ( x) 连续, 由于 f (a) 和 f (c) 异号, f (c) 和 f (b) 异号, 所以, 至少存在一点 x1 (a,c), 使 f ( x1) 0;
x) x
f ( x0 )
0;
当
x
0
时， f ( x0
x) x
f
( x0 )
0.
由极限的保号性，
费马引理
证 不妨设 x U( x0 )时，f ( x) f ( x0 ).
则对 x0 x U( x0 ), 有 f ( x0 x) f ( x0 ),
从而 当 x 0
时，lxim0
f ( x0 x) x
(2, 3) 内.
完
例 3 证明方程 x 5 5 x 1 0 有且仅有一个小于
1的正实根.
证 设 f ( x) x 5 5x 1 1, 则 f ( x) 在 [0,1]上 连续, 且 f (0) 1, f (1) 3. 由介值定理, 存在
x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0,
则对 x0 x U( x0 ), 有 f ( x0 x) f ( x0 ),
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(
x0
)
0.
定义5.2 若x0满足f ( x0 ) 0,称x0是f ( x)的驻点.
注(1)函数在极值点可导,则此极值点一定是驻点；
(2)驻点未必是极值点. 例如f ( x) x3, f (0) 0, 但x 0不是极值点.
(3)不可导的点也可能是极值点.
罗尔(Rolle)中值定理
罗尔(Rolle)中值定理
证明 由于 f (a) f (b) 0, f(a) f(b) 0
不仿 f(a) 0, f(b) 0
f(a)
lim
xa
f (x) f (a) xa
0,
f(b)
lim
xb
f (x) f (b) xb
0,
由极限的保号性得知
(a, a ), f ( x) f (a) 0, (b, b ), f ( x) f (b) 0，
由定义知, 0,当x U( x0 , )时, 有f ( x0 ) f ( x).
当x
(
x0
,
x0
)时, lim x x0
f
(
x) x
f( x0
x0
)
0,即
f
(
x0
)
Hale Waihona Puke 0当x(x0
,
x0
)时, lim x x0
f
(
x) x
f( x0
x0
)
0,即
f
(
x0
)
0
f ( x0 )
f
'
(
x0
)
f
'
定理5.2设 f C[a,b], f在(a,b)内可导,且f (a) f (b),
则 (a,b),使f ( ) 0.
证明 f C[a,b], 必有最值m、M .
若M m, f ( x) c, (a,b), f ( ) 0. 若M m,由f (a) f (b), f在内部必取得M或m,
一点 C,在该点处的切
A
D
线平行于弦 AB.
o a 1
2 b
x
拉格朗日(Lagrange)中值定理
分析:
y
条件中与罗尔定理 相差 f (a) f (b).
C
y f (x)
M
B
A
N
D
弦AB方程为
o a 1 x
y f (a) f (b) f (a) ( x a).
ba
2 b
x
曲线 f ( x) 减去弦 AB,
§5 微分中值定理
费马引理
定义5.1 (极大极小值定义）
费马引理
设 x0 I ,如果存在U( x0 , ) I , 若对x U( x0 , ), 总有 f ( x0 ) f ( x), 称f ( x0 )是f 在I上的极大值, x0称为极大值点.
若对x U( x0 , ), 总有 f ( x0 ) f ( x),
因此得证
拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日(Lagrange)中值定理
定理5.3 设f C[a,b],在(a,b)内可导,则 (a, b), 使
f (b) f (a) f ( ), 或 f (b) f (a) f ( )(b a).
ba
y
几何解释:
C
y f (x)
B
在曲线弧 AB 上至少有
称f ( x0 )是f 在I上的极小值, x0称为极小值点.
注 (1)极值为局部性质,最值为整体性质； (2)极大值未必比极小值大； (3)函数的极值点可以有无穷多个.
例如f ( x) sin 1 在(0,1)内有无穷多个极值点 x
定理5.1 f在x0处可导,且x0是极值点,则f ( x0 ) 0 证明 设x0为极大值点
ba
证明2：
拉格朗日(Lagrange)中值定理
f ( x)(b a) [ f (b) f (a)]是谁的导数?
0
y x, x [0,1].
例1 设f在[0,1]连续, (0,1)内可导, 且f (1) 0. 求证c (0,1), 使f (c) f (c)
c 思路：构造辅助函数
将c记为x f ( x) xf ( x) 0
证明 令F( x) xf ( x),
F(0) F(1) 0, F C[0,1],在(0,1)可导, c (0,1),使F(c) 0.
所得曲线a, b两端点的函数值相等.
证明1：
令F( x) f ( x) y
f ( x) f (a) f (b) f (a) ( x a), ba
此时 F(a) F(b) 0, F C[a,b], 且在(a,b)内可导.
(a, b), 使F( ) 0.
即f ( ) f (b) f (a) .
因此存在 (a,b),使f ( ) 0.
几何解释
满足条件的曲线弧AB上至少有一点C, 在该点处 的切线是水平的.
y
C y f (x)
o a 1
2 b x
注意: 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立
例如 y x , x [2,2];
y
1
x, 0,
x x
(0,1] ;
由Rolle定理，知 ( x1, x2 )使f ( ) 0.
推广：若f有n个零点，且n阶可导
f 至少有n 1个零点， f 至少有n 2 个零点，
f (k)至少有n k个零点.
例4 若f (x)在[a,b]可导，在(a,b)二次可导，且 f (a) f (b) 0, f(a) f(b) 0，证明 （1） (a, b), f ( ) 0； （2） (a, b), f () f ().
即f (c) f (c) . c
例2 设f (a) f (b) 0, f C[a,b],在(a,b)内可导, 求证 (a,b),使 f ( ) f ( ) 0.
分析 x f ( x) f ( x)是谁的导数？
证明
xf ( x) x2
f (x) 是谁的导数
?
令F ( x) f ( x) , x
由介值定理得到
(a, b), f ( ) 0.
（2） (a, b), f () f ()
f ( x) f ( x) 0 有零点 ex ( f ( x) f ( x)) 有两个零点
e x f ( x) 有三个零点 由于
F( x) ex ( f ( x)), F(a) F(b) F( ) 0
F(a) F(b) 0, F C[a,b],在(a,b)内可导,
(a,b),使F( ) 0. 即 f ( ) f ( ) 0.
例3 若 f可导,则 f ( x)的任意两个相邻零点间 至少存在f 的一个零点. 证明 设x1, x2为零点,由f C[ x1, x2 ], 且( x1, x2 )可导,