新北师大初三数学下册圆知识点汇总知识讲解
(完整版)北师大版数学初中九年级下册第三章圆的知识点归纳
《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系<⇒点C在圆内；1、点在圆内⇒d r=⇒点B在圆上；2、点在圆上⇒d r>⇒点A在圆外；3、点在圆外⇒d r三、直线与圆的位置关系>⇒无交点；1、直线与圆相离⇒d r=⇒有一个交点；2、直线与圆相切⇒d r<⇒有两个交点；3、直线与圆相交⇒d r四、圆与圆的位置关系>+；外离（图1）⇒无交点⇒d R r=+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r-<<+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r=-；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r<-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
九年级数学圆知识点总结北师大版
九年级数学圆知识点总结北师大版点的连线与切线所夹角为直角.1.垂径定理及推论：在一个圆中，如果一条直线通过圆心且垂直于另一条直线，则这条直线被称为垂径，而另一条直线被称为弦。
根据垂径定理，垂径平分弦，并且中垂定理、中径定理和弧径定理都可以由垂径定理推导而来。
2.平行线夹弧定理：当两条平行弦穿过一个圆时，它们所夹的弧是相等的。
3.“角、弦、弧、距”定理：在同一个圆或等圆中，如果两个角相等，则它们所对的弦也相等；如果两个弦相等，则它们所对的角也相等；如果两个角相等，则它们所对的弧也相等；如果两个弧相等，则它们所对的角也相等；如果两个弦的弦心距相等，则它们也相等。
4.圆周角定理及推论：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；如果两个弧相等，则它们所对的角也相等；如果两个角相等，则它们所对的弧也相等；如果一个三角形的一条边的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形。
5.圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角线互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
6.切线定理及性质：如果一条直线通过圆的外部一点并且与圆相切，则这条直线被称为切线。
根据切线定理，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
7.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；圆心和这一点的连线与切线所夹角为直角。
点的连线平分两条切线的夹角。
因为AB是切线，所以OC垂直于AB。
（3）几何表达式举例：因为PA、PB是切线，所以PA=PB。
因为PO过圆心，所以∠APO=∠BPO。
弦切角定理及其推论：（1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；（2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；（3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
（如图）相交弦定理及其推论：（1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等；（2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项。
北师大版数学九年级下册：圆盘 知识点总结
北师大版数学九年级下册：圆盘知识点总结本文档总结了北师大版数学九年级下册关于圆盘的知识点。
下面是各个知识点的简要概述：1. 圆的定义和性质- 圆是由平面上到一个定点距离为定值的点的全体组成。
圆的性质包括：圆上任意两点与圆心的连线相等、圆心到圆上任意一点的距离相等。
- 圆的半径是圆心到圆上任意一点的距离，直径是通过圆心的直线段，直径是半径的2倍，弦是圆上的任意两点间的线段，弦的长度小于或等于直径。
- 弧是沿圆周的一段，圆的周长也可以称为圆周长。
2. 圆的面积和周长计算公式- 圆的面积公式为：面积= π × 半径的平方。
- 圆的周长公式为：周长= 2 × π × 半径。
3. 圆心角、弧度和弧长的关系- 圆心角是指两条射线，以圆心为顶点的角度。
弧度是衡量角度大小的一个单位，1弧度等于圆心角恰好为半径的一条弧长。
弧长是弧上的一段弧的长度。
- 圆周角是指整个圆的圆心角，它的度数是360°，弧度是2π。
4. 切线与弦的关系- 切线是指与圆交于一点且与圆垂直的直线。
切线与半径的关系包括：切线与半径垂直、切线与半径的夹角是直角。
- 弦是圆上的任意两点间的线段。
弦和切线的关系包括：切线与弦的夹角等于弦所对圆心角的一半。
5. 相交弦与切线的性质- 如果两条弦在圆内相交，则它们的弦所对的圆心角互补（和为180°）。
- 相交弦与切线交于圆上的点时，切线与弦所对的圆心角相等。
这些是北师大版数学九年级下册关于圆盘的主要知识点总结。
希望能对你的学习有所帮助！。
北师大九年级 圆 知识点
北师大九年级圆知识点圆是数学中一种基本的几何图形，它是由平面上与一个固定点的距离等于常数的所有点所组成的集合。
在几何学中，圆是最简单的曲线，它具有许多独特的性质和特征，是学习几何学的基础。
下面将介绍北师大九年级关于圆的一些重要知识点。
一、圆的定义和性质1. 圆的定义：圆是由平面内到一个固定点的距离等于半径长度的所有点组成的集合。
2. 圆的性质：- 圆上的任意两点与圆心的距离相等。
- 圆的直径是通过圆心的一条线段，其长度等于圆的半径的两倍。
- 圆的周长是圆上任意一点到相邻点的距离之和，它等于直径的乘积。
- 圆的面积是圆内所有点与圆心的距离之和，它等于半径的平方乘以π（π≈3.14159）。
二、圆的相关概念1. 弧：圆上的一段曲线称为圆弧。
圆弧的长度叫做弧长。
圆弧所对的圆心角称为弧度。
2. 弦：连接圆上的两点的线段称为圆弦。
3. 切线：与圆只有一个公共点的直线称为圆的切线。
切线与半径的夹角为直角。
4. 弦割定理：若一条直线同时截取圆的弦和切线，那么弦上的两线段的乘积等于切线与弦外的弦段的乘积。
三、圆的性质与定理1. 相交弦定理：两条相交的弦所对的弧相等。
2. 弦切角定理：切线和切线所截弦所对的弧所张角相等。
3. 弧切角定理：切线和切线所截圆弧所对的弦所张角相等。
4. 相交角性质：圆内接四边形的对角和为180度。
5. 弧与角关系：圆心角是弧上两点所对的角，圆心角的度数等于弧所对的圆心角的两倍。
四、圆的应用1. 圆的测量：通过给定的半径或直径，可以计算圆的周长和面积。
2. 圆的几何关系：如判定圆和直线的位置关系、圆与圆的位置关系等。
3. 圆的建模：在实际问题中，许多物体的形状可以近似看作圆，通过建立圆的模型可以进行问题的分析和求解。
总结：圆是数学中重要的几何图形之一，具有独特的性质和特征。
在学习和应用圆的知识时，我们需要了解圆的定义和性质，掌握一些相关概念和定理，并能够运用圆的知识解决实际问题。
希望通过对北师大九年级圆的知识点的学习，能够对同学们的数学能力提升和问题解决能力的培养有所帮助。
九年级数学圆知识点总结北师大版
九年级数学圆知识点总结北师大版一、圆的定义1、以点O与直线距离r为半径所画的圆称为以点O为圆心，以r为半径的圆2、圆上任意两点间的部分称为弧3、连接圆上任意两点的线段称为弦4、经过圆心且两个端点都在圆周上的线段称为直径二、圆的性质1、圆的对称性1)圆是中心对称图形，对称中心是圆心2)圆是轴对称图形，过圆心的每条直线都是圆的对称轴2、圆的旋转不变性圆任意半径所对的圆周角等于二分之一的半径所对的圆心角3、圆的直径所对的性质圆的直径所对的圆周角是直角；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。
4、圆的标准方程和一般方程圆的标准方程：(x - a)2 + (y - b)2 = r2；圆的一般方程：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0(D2 + E2 - 4F > 0)5、直线与圆的位置关系设直线L与圆O有交点A，B；若点A，B重合，则称直线与圆相切；若点A，B不重合，则称直线与圆相割；经过两点A，B画一直线L，则称直线L为圆O的割线；经过圆心O画一直线L‘，则称直线L’为圆O的切线。
三、点与圆的位置关系设P(x，y)，O为坐标原点，则：设d为点P到O的距离；r为半径；d与r的关系可总结为：当d < r时，点P在圆内；当d = r时，点P在圆上；当d > r时，点P在圆外。
四、垂径定理及其推论1、垂径定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧(在“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦”的前提下“垂直于弦的直径平分弦”也成立)推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
推论3：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。
九年级数学圆知识点总结一、圆的基本性质1、圆的定义：线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。
2、圆心：固定端点O称为圆心3、半径：线段OA称为圆的半径4、圆心角：从定点O引出的射线在圆内部分称为圆心角5、圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角，在圆心同侧，且顶点在圆上的角叫做圆周角6、圆的周长：圆上任意一点到圆心的距离(半径)和过该店画弧的两条线段的弧度之和叫做圆的周长7、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积二、与圆有关的位置关系1、点与圆的位置关系：以点P与圆O的为例(设P是一点，则PO是点到圆心的距离)，P在⊙O外，PO>r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O 内，PO<r。
北师大九年级圆知识点归纳
北师大九年级圆知识点归纳北师大九年级的数学教材中有一个重要的章节，那就是圆的知识点。
圆是我们生活中非常常见的几何图形，它在我们的日常生活中起着重要的作用。
在这篇文章中，我将对北师大九年级圆的相关知识点进行归纳和总结。
1. 圆的定义和性质首先，我们来看圆的定义。
圆是由平面上到一个固定点的距离相等的所有点组成的图形。
圆的性质有很多，其中最重要的性质是圆的半径相等，圆的直径是圆的两个点之间的最长距离，圆上任意两点和圆心都构成的线段是圆的弦。
2. 圆的周长和面积圆的周长是圆上任意一条弧的长度。
我们知道，一个完整的圆共有360度，所以圆的周长可以通过圆的半径或直径来计算。
周长等于直径乘以π（π的近似值为3.14）。
圆的面积是圆内部的所有点所围成的区域，可以通过圆的半径或直径来计算。
面积等于半径的平方乘以π。
3. 圆的切线和切点当一条直线只与圆相交于一点时，这条直线称为圆的切线。
切线的长度与切点到圆心的距离相等。
圆的切点是由一条与圆相切的直线与圆相交所得到的点。
4. 圆的弦和弧圆的弦是圆上任意两点间的线段。
弦的长度称为弦长。
圆的弧是圆上两点之间的一段弧线。
弧的长度是弧所对应的圆心角的度数除以360度的周长，再乘以圆的周长。
5. 圆的相似和相切两个圆相似的条件是它们的半径成比例。
两个圆相切的条件是它们的半径相等且它们的圆心之间的距离等于它们的半径之和。
6. 圆的位置关系当两个圆相交于两个点时，它们交于一条线。
当两个圆相切于一个点时，它们相切于一条线。
当两个圆没有公共点时，它们是外离的。
当一个圆在另一个圆内时，它们是内含的。
7. 圆的应用圆的知识点在日常生活和实际问题中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，圆形的窗户和拱门能够给建筑物增添美感；在地理学中，地球的形状就是近似于一个圆球；在数学中，圆的几何性质在三角学和数学推理中起着重要的作用。
通过对北师大九年级圆的知识点的归纳和总结，我们可以更加系统地了解圆的相关概念和性质。
新北师版九下《圆》知识点归纳总结
新北师版九下《圆》知识点归纳总结(圆的三大定理：垂径定理；圆心角定理和圆周角定理)3.1圆（1）圆的有关概念：弦、直径、圆弧（简称“弧”可分为优弧和劣弧）、半圆、等圆、等弧. （2）点和圆的位置关系：点在圆外，即d————r；点在圆上，即d————r；点在圆内，即d————r.（共三种）反之也成立.3.2圆的对称性（1）轴对称性；（2）中心对称性；（3）圆心角关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的—————相等；所对的—————相等. （圆心角定理）推论：在同圆或等圆中，如果两个—————、两条—————、两条—————、两条—————中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等.3.3垂径定理（1）内容：垂直于弦的直径平分—————————，并且平分—————————————.推论：平分弦（不是———————）的直径———————，并且平分—————————————.3.4圆周角和圆心角的关系（1）圆周角的概念：顶点在——————，且两边都与圆——————，（2）圆周角定理：圆周角的度数等于——————————的圆心角度数的一半.推论1：同弧或等弧所对的———————————————。
推论2：直径所对的—————————是直角；90°的圆周角所对的弦是——————————。
（3）圆内接四边形的概念：四边形的四个顶点都在——————————————；这个圆叫做四边形的——————————————。
推论：圆内接四边形的—————————互补。
3.5确定圆的条件（1）——————————————————————的三个点确定一个圆；（2）外接圆：外心是指——————————————————，它是三角形———————的交点。
3.6直线和圆的位置关系（1）圆的切线：直线和圆有——————————的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做——————————————，这个公共点叫做————————。
最新北师大版数学初中九年级下册第三章圆的知识点归纳
《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系<⇒点C在圆内；1、点在圆内⇒d r=⇒点B在圆上；2、点在圆上⇒d r>⇒点A在圆外；3、点在圆外⇒d r三、直线与圆的位置关系>⇒无交点；1、直线与圆相离⇒d r=⇒有一个交点；2、直线与圆相切⇒d r<⇒有两个交点；3、直线与圆相交⇒d r四、圆与圆的位置关系>+；外离（图1）⇒无交点⇒d R r=+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r-<<+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r=-；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r<-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
北师大版九年级数学下 第21讲 圆的基本性质 中考知识点梳理
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个
交点的角叫做圆周角.
（6）弦心距：圆心到弦的距离.
（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；
（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个.
（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆.
第六单元圆
第21讲圆的基本性质
一、知识清单梳理
知识点一：圆的有关概念
关键点拨与对应举例
1.与圆有关的概念和性质
（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成
的图形．如图所示的圆记做⊙O.
（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过
圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的
延伸
根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：
1弧AC=弧BC;
②弧AD=弧BD；
③AE=BE;
④AB⊥CD;⑤CD是直径.
只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.
知识点三：圆心角、弧、弦的关系
3.圆心角、弧、弦的关系
定理
在同圆或等圆中，相等圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立.
推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
知识点四：圆周角定理及其推论
4.圆周角定理及其推论
（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.如图a,
∠A=1/2∠O.
图a图b图c
( 2 )推论：
九年级圆知识点北师大
九年级圆知识点北师大圆是几何学中的一个重要概念，也是中学数学中常见的一个知识点。
在九年级数学课程中，我们将学习有关圆的定义、性质以及与圆相关的定理和公式。
本文将为大家详细介绍九年级圆的知识点，以及北师大对于这些知识点的教学要求。
一、圆的定义与性质在九年级数学课程中，我们首先学习到了圆的定义与性质。
圆是平面上所有到一个固定点距离相等的点的集合，这个固定点就是圆心，而到圆心的距离称为半径。
圆的性质包括：1. 圆上任意两点到圆心的距离相等。
2. 圆的直径是通过圆心的任意两点，并且它的长度是半径的两倍。
3. 圆的周长公式为C=2πr，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径，π是一个常数，约等于3.14。
4. 圆的面积公式为A=πr²，其中A表示圆的面积，r表示圆的半径。
二、圆的定理与公式除了圆的定义与性质外，九年级还将学习一些和圆相关的定理与公式。
这些定理与公式可以帮助我们推导出更多的几何关系，解决实际问题。
1. 相交弦定理：如果一个圆上有两条弦相交，那么它们的交点到圆心的距离乘积等于弦的分割线段的乘积。
2. 位于圆上的角定理：圆内接四边形的一个对角线所对的角，等于由圆心角所对的弦所对的角。
3. 弧长公式：如果一个圆上的弧所对的圆心角是θ度，那么这个弧的长度为s=2πr(θ/360°)。
4. 扇形面积公式：如果一个圆上的扇形所对的圆心角是θ度，那么这个扇形的面积为A=(θ/360°)πr²。
5. 切线定理：如果一条直线与一个圆相切，那么这条直线与半径的连线垂直。
三、北师大对于九年级圆的教学要求旨在帮助学生全面理解和掌握九年级圆的知识，北师大对于九年级圆的教学要求如下：1. 理解圆的定义与性质，能够准确给出圆的定义，以及圆的直径、周长和面积的计算公式。
2. 掌握圆的定理与公式，能够准确应用相交弦定理、位于圆上的角定理、弧长公式、扇形面积公式和切线定理解决相关问题。
3. 能够分析和解决与圆相关的实际问题，灵活运用所学的知识和方法。
北师版数学九下9B教材知识梳理及中考复习 第21讲 圆的基本性质
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个
交点的角叫做圆周角.
（6）弦心距：圆心到弦的距离.
（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；
（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个.
（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆.
第六单元圆
第21讲圆的基本性质
一、知识清单梳理
知识点一：圆的有关概念
关键点拨与对应举例
1.与圆有关的概念和性质
（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成
的图形．如图所示的圆记做⊙O.
（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过
圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的
知识点二：垂径定理及其推论
2.垂径定理及其推论
定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形.
推论
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
延伸
根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：
1弧AC=弧BC;
②弧AD=弧BD；
③AE=Bபைடு நூலகம்;
④AB⊥CD;⑤CD是直径.
只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.
知识点三：圆心角、弧、弦的关系
3.圆心角、弧、弦的关系
定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
九年级数学圆知识点总结北师大版
圆上两点与圆心连线夹角相等
02
圆上两点与圆心连线形成的夹角相等，这个夹角叫做圆心角。
圆心角与对应的弧的关系
03
在同一个圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧也相等。
圆心、半径和直径
01
02
03
圆心的定义
圆心是圆的中心点，也是 圆上三点确定的唯一确定 的点。
半径的定义
从圆心到圆上任意一点的 线段叫做半径，半径的长 度等于圆的半径。
性运动。
04
总结词：均匀性
05
详细描述：圆周上的点以相同
的速度旋转，形成均匀的旋转
运动。
06
圆的物理应用
总结词：机械原理
详细描述：圆在机械运转中 起到关键作用，如轴承、传
动装置等。
总结词：动力传
详细描述：圆周运动可以转 化为其他形式的运动，如直 线运动、振动等。
总结词：能量转化
详细描述：圆周运动可以转 化和传递能量，如发电机、 电动机等。
圆的周长和面积
圆的周长
1 2
圆的周长的定义
圆的周长是指圆边界上所有点沿同一方向的距离 总和。
圆的周长的计算公式
$C = 2pi r$，其中$C$表示圆的周长，$r$表示 圆的半径，$pi$是一个常数，约等于3.14159。
3
圆的周长的应用
在几何学、物理学、工程学等领域中，圆的周长 公式被广泛应用于计算圆的周长、圆的直径、圆 弧长度等。
ห้องสมุดไป่ตู้
圆与其他图形的面积关系
与正方形的面积关系
当圆内接于一个正方形时，圆的面积与正方形的面积之比为 $pi : 4$。
与三角形的面积关系
当圆内接于一个三角形时，圆的面积与三角形的面积之比为 $pi : 2$。
九年级数学北师大版圆的知识点
九年级数学北师大版圆的知识点圆是我们数学中一个重要的几何概念，它在我们的生活中无处不在。
在九年级数学北师大版中，圆也是一个重要的知识点。
本文将通过几个方面来介绍九年级数学北师大版中关于圆的知识点。
一、圆的定义和性质圆是由平面上所有离一个固定点的距离都相等的点组成的集合。
这个固定点叫做圆心，距离是圆的半径。
九年级数学北师大版中解释了圆的定义，并引出了几个与圆相关的重要性质：圆的圆心角是圆周角的一半，圆心角大的弧长也大等等。
这些性质是我们研究圆的重要依据。
二、判断圆与直线的位置关系在九年级数学北师大版中，圆与直线的位置关系也是一个重要的知识点。
对于一条直线和一个圆，我们可以有三种情况：直线与圆相交于两点，直线与圆相切于一点，或者直线与圆没有交点。
九年级数学北师大版通过具体的图形示例和解题方法，帮助学生们理解和判断圆与直线的位置关系。
三、相交圆的性质当两个圆相交时，它们之间会有一些特殊的性质。
九年级数学北师大版详细介绍了两个相交圆的性质：两个相交圆的交点与圆心连线重合于相交弦的中点，并且相切于外切圆的两个相交弦相等。
这些性质可以帮助我们在解题过程中更好地理解和应用相交圆的概念。
四、圆的切线圆的切线在九年级数学北师大版中也是一个重要的知识点。
定义圆的切线是与圆只有一个交点的直线，九年级数学北师大版通过图形示例和解题方法，帮助学生们理解和判断圆的切线。
五、圆的相关定理和推论除了上述的知识点外，九年级数学北师大版还介绍了一些与圆相关的定理和推论。
比如：如果一个圆的直径垂直于一条弦，那么这条弦就是这个圆的直径；如果一个圆的直径被一条弦平分，那么这条弦垂直于这个圆的直径等等。
这些定理和推论为我们研究圆提供了更多的思路和方法。
六、应用题与解题策略九年级数学北师大版中提供了大量的实际应用题，帮助学生们将所学的圆的知识点运用到实际问题中。
同时，九年级数学北师大版也给出了不同类型题目的解题策略，帮助学生们更好地解决问题。
(完整版)新北师大初三数学下册圆知识点汇总
圆一. 点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则①点在圆上 <===> d=r;②点在圆内 <===> d<r;③点在圆外 <===> d>r.二. 圆的对称性:※1. 与圆相关的概念：④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆．．．。
⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。
⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．．。
⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．．．.⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距．．．.※2. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
※3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。
※4. 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。
推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.三. 圆周角和圆心角的关系:※1. 圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.※2. 圆周角定理；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.※推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；※推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；四. 确定圆的条件:※1. 理解确定一个圆必须的具备两个条件:经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.※2. 定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆.※3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.五. 直线与圆的位置关系※1.设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；①d<r <===> 直线L和⊙O相交.②d=r <===> 直线L 和⊙O 相切. ③d>r <===> 直线L 和⊙O 相离.※2. 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线. ※3. 切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径. ※推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. ※推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.※分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论: 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个. ①垂直于切线; ②过切点; ③过圆心.※4. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形. ※5. 三角形内心的性质:(1)三角形的内心到三边的距离相等.(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角. 六. 圆和圆的位置关系.※1. 两圆位置关系的性质与判定:(1)两圆外离 <===> d>R+r (2)两圆外切 <===> d=R+r(3)两圆相交 <===> R-r<d<R+r (R ≥r) (4)两圆内切 <===> d=R-r (R>r) (5)两圆内含 <===> d<R-r (R>r)※2. 相切两圆的性质: 如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上. ※3. 相交两圆的性质；相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 七. 弧长及扇形的面积※1. 圆周长公式:圆周长C=2πR (R 表示圆的半径) ※2. 弧长公式: 弧长180Rn l π=(R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数) ※3. 圆的面积公式. 圆的面积2R S π= (R 表示圆的半径) ※4. 扇形的面积公式: 扇形的面积3602R n S π=扇形(R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数) 八. 圆锥的有关概念:※1. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算:圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点.如果设圆锥底面半径为r,侧面母线长(扇形半径)是l, 底面圆周长(扇形弧长)为c,那么它的侧面积是:rl rl cl S ππ=⋅==22121侧)(2l r r r rl S S S +=+=+=πππ底面侧表九. 与圆有关的辅助线1.如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.2.如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.3.如一个圆有切线的条件,常作过切点的半径(或直径)为辅助线.4.若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.十. 圆内接四边形若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.圆内接四边形的特征: ①圆内接四边形的对角互补;②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.十一.北师版数学未出现的有关圆的性质定理※1.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
最新北师版初三数学下册第三章 圆概念.讲义资料
ABC九年级（下）第三章圆1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆；记作“⊙O ”，读作“圆O ”2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线；3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；一.圆的基本概念1.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫直径。
注：圆中有无数条直径2.弧.圆上任意两点间的部分，简称为“弧”以A,B 两点为端点的弧.记作AB ⋂,读作“弧AB”.3.半圆，劣弧，优弧：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中每一条弧都叫半圆。
如弧AD.小于半圆的弧叫做劣弧,如记作AB ⋂(用两个字母). 大于半圆的弧叫做优弧,如记作ACB ⋂(用三个字母).4.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.也就是等弧一定是同圆或等圆5.圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角6.同心圆：圆心相同，半径不同的两个圆叫做同心圆7.弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距二.点与圆的位置关系:点在圆内 d<r 点C 在圆内 点在圆上 d=r 点B 在圆上 点在此圆外 d>r 点A 在圆外图1图2图4图5直线与圆的位置关系:直线与圆相离 d>r 无交点 直线与圆相切 d=r 有一个交点直线与圆相交 d<r 有两个交点相离 相交 相切圆与圆的位置关系外离（图1） 无交点 d>R+r 外切（图2） 有一个交点 d=R+r 相交（图3） 有两个交点 R-r<d<R+r 内切（图4） 有一个交点 d=R-r 内含（图5） 无交点 d<R-r外离 外切 相交内切 内含三.圆的对称性(1)圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴;注意：不能说每条直径都是圆的对称轴，因为图形的对称轴是一条直线，二直径是线段，应该叙述为每条直径所在的直线都是圆的对称轴。
九年级下册北师大数学圆的知识点
九年级下册北师大数学圆的知识点北师大数学圆的知识点圆是数学中一种特殊的几何形状，它在我们的日常生活中无处不在。
在九年级下册的北师大数学课程中，我们将学习关于圆的一系列知识点，包括圆的定义、性质以及相关的定理。
本文将对这些知识点进行介绍，帮助同学们更好地理解和应用圆的概念。
一、圆的定义和性质1. 定义：圆是平面上与给定点距离相等的所有点的集合。
这个给定点称为圆心，距离称为半径。
2. 性质一：圆的半径相等的两条弦相等。
也就是说，在一个圆上，若两条弦的两端点都在圆上，且弦的长度相等，那么这两条弦的中点肯定也在圆上。
3. 性质二：圆的半径垂直于弦。
对于一个圆，若弦的两端点在圆上，那么弦的中点和圆心连线一定垂直于弦。
二、圆的相关定理1. 切线定理：如果一条直线与圆相切，那么它与半径的连线垂直。
2. 切圆定理：如果一条直线与圆只有一个公共点，那么它与圆的切点和圆心连线垂直。
3. 正切定理：如果一条直线能同时切两个圆，并且两个切点分别位于两个圆心对连线的两侧，那么这条直线的两个切点和两个圆心连线的两个交点共圆。
三、圆的计算1. 弧长和扇形面积的计算：对于一个圆，我们可以通过已知半径和角度来计算弧长和扇形面积。
弧长的计算公式为l = rθ，其中l 代表弧长，r 代表半径，θ 代表圆心角的弧度。
扇形面积的计算公式为S = 1/2r²θ，其中 S 代表扇形面积。
2. 弧度和角度的转换：圆心角的弧度和角度之间存在一个转换关系，即角度 = 弧度× 180°/π，其中π 是一个无限不循环小数，它的近似值约为3.14。
四、应用实例1. 圆的应用：圆的应用非常广泛，它在建筑、艺术、科学等领域中都有重要的应用。
比如，我们常见的圆柱体、圆锥体和球体都是基于圆的形状构建的。
2. 弧长和扇形面积的实际问题：弧长和扇形面积的计算在实际生活中也有很多应用。
比如，在设计汽车驶过弯道的路径时，我们需要计算弧长和扇形面积来提供行驶的参考。
九年级数学圆知识点总结北师大版
九年级数学圆知识点总结北师大版九年级数学圆知识点总结（北师大版）一、圆的定义1、圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。
2、圆心：圆中心的点叫做圆心。
3、半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。
4、直径：通过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径。
二、圆的性质1、圆的对称性（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
（2）圆是中心对称图形，其对称中心是圆心。
2、圆心角和圆周角（1）顶点在圆心上的角叫做圆心角。
（2）顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
3、圆的基本性质（1）半径相等的圆是等圆。
（2）直径是圆中最长的弦。
（3）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
4、圆的面积和周长（1）圆的面积 S=πr²，其中r为半径。
（2）圆的周长 C=2πr，其中r为半径。
三、点和圆的三种位置关系1、点在圆内：点和圆心的距离小于半径。
2、点在圆上：点和圆心的距离等于半径。
3、点在圆外：点和圆心的距离大于半径。
四、直线和圆的三种位置关系1、直线和圆相离：直线和圆没有公共点。
2、直线和圆相切：直线和圆只有一个公共点。
3、直线和圆相交：直线和圆有两个公共点。
五、圆和圆的位置关系1、外离：两圆没有公共点，且一个圆在另一个圆外面。
2、外切：两圆只有一个公共点，且一个圆在另一个圆外面。
3、相交：两圆有两个公共点。
4、内切：两圆只有一个公共点，且一个圆在另一个圆里面。
5、内含：两圆没有公共点，且一个圆在另一个圆里面。
六、正多边形和圆1、把正多边形的各边中心连向它的各边所在直线时，中心和边的垂线组成的角叫做正多边形的中心角。
2、正多边形的半径和边数之间存在如下关系：半径=r，边数n=2πr/α，其中α为正多边形的中心角。
七、弧长和扇形面积1、弧长公式：l=nπr/180，其中n为弧度制下的扇形圆心角。
2、扇形面积公式：S=nπr²/360，其中n为扇形圆心角。
九年级北师版圆知识点总结
九年级北师版圆知识点总结圆是几何学中的基本图形之一，它具有许多独特的性质和特点。
在九年级北师版数学教材中，我们学习了关于圆的各种知识点。
本文将对这些知识进行总结，并探讨其应用。
一、圆的定义和基本要素圆可以由一个平面上的点集组成，该点到另一个固定点的距离始终保持不变。
这个固定点称为圆心，到圆心距离相等的点构成圆上的点。
圆上任意两点之间的距离称为弦，通过圆心且在圆上的弦称为直径，直径的一半称为半径。
二、圆的性质1. 圆上任意两点与圆心的距离相等。
2. 圆的半径相等。
3. 圆的直径是圆上最长的弦，且等于两倍的半径。
4. 圆的任意一条直径把圆分成两个等面积的半圆。
5. 圆的周长公式：C = 2πr，其中C表示圆的周长，r表示半径。
6. 圆的面积公式：S = πr²，其中S表示圆的面积。
三、圆的相关定理1. 直径定理：若一条弦恰好等于圆的直径，那么它一定是圆的直径。
2. 弦长定理：在同一个圆或等圆的两条弦等长的充分必要条件是它们所对应的弧相等。
3. 切线定理：如果一条直线与一个圆相切，那么它垂直于半径，并且切点在半径的延长线上。
4. 弧度制与角度制的转换：1弧度= 180° / π四、圆的应用1. 圆的应用广泛，例如在建筑、工程和制图等领域中常常需要绘制圆形的物体或地图。
2. 圆的性质也可以应用于解决相关的几何问题，如相切线的判定、弦长的计算等等。
3. 圆的面积和周长可用于计算物体的表面积和边界长度。
综上所述，九年级北师版数学教材中对圆的知识点进行了系统的介绍和讲解。
掌握了这些知识，我们可以更好地理解和应用圆的性质，解决与圆相关的几何问题。
在实际生活和工作中，圆的知识也有着广泛的应用价值。
因此，我们应该深入学习和理解圆的性质，做到理论与实践相结合，为今后的学习和发展打下坚实的基础。
希望本文的总结能够帮助到你对九年级北师版圆知识的复习和理解，同时也希望你能认真学习并运用这些知识，提高自己的数学水平。
北师大九年级下圆知识点
北师大九年级下圆知识点北师大九年级下学期的数学课程中，圆的知识点是一个非常重要的部分。
圆是几何学中的一个基本概念，也是数学领域中的重要研究对象之一。
本文将对北师大九年级下圆的知识点进行一些深入的讨论和解析，希望能够帮助同学们更好地理解和应用这一知识。
一、圆的定义和性质圆可以用多种方式进行定义，其中最常见的是“一个平面上的所有点到一个固定点的距离相等”，这个固定点被称为圆心，到圆心的距离被称为半径。
圆的性质包括：圆上任意两点与圆心的距离相等、半径相等的圆互相重合、圆的任意一点到圆心的距离等于半径等。
同学们在学习这些性质时，可以通过练习题来加深对圆的理解。
二、圆的元素圆除了圆心和半径外，还有一些相关的元素需要了解。
其中包括直径、弦、弧、切线等。
直径是圆上任意两点间的最长距离，同时也是通过圆心的一条线段。
弦是圆上连接两点的线段，与直径相似但长度不一定等于直径。
弧是圆上的一段弯曲的线段，可以通过角度来度量。
切线是与圆相切的一条直线，切点是圆上的一个点。
三、圆周角和弧度制圆周角是以圆心为顶点的角，其所夹的弧长等于半径的长度。
圆周角的度量单位是度。
在学习圆周角时，也会遇到弧度制。
弧度是一种角度的度量单位，其定义是：半径长的弧所对应的圆周角的角度是1弧度。
我们可以通过角度和弧度之间的换算来互相转换这两种单位。
四、弦切角和切线定理弦切角是指一个弦所对应的圆内角，切线定理是指一个切线与弦所夹的角等于其所对应的弧。
在解题时，可以利用这些关系来求解相应的角度。
五、圆的相交和切线当两个圆相交时，形成的交点有多种情况，包括外切、内切、相交和不相交。
同学们可以通过画图和运用相应的定理来判断和证明相交的情况。
对于切线，我们需要了解切线定理和切线与半径的垂直关系，这些知识对于解题非常有帮助。
结语：圆是数学中的一个重要概念，掌握圆的定义、性质以及相关的元素和定理是十分必要的。
通过学习圆的知识，我们可以更好地了解几何学的相关概念和方法，为以后的学习打下坚实的基础。
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圆
一. 点与圆的位置关系及其数量特征：
如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则
①点在圆上 <===> d=r;
②点在圆内 <===> d<r;
③点在圆外 <===> d>r.
二. 圆的对称性:
※1. 与圆相关的概念：
④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆
．．．。
⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。
⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧
．．。
⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角
．．．.
⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距
．．．.
※2. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
※3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：
①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。
※4. 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。
推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
三. 圆周角和圆心角的关系:
※1. 圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.
※2. 圆周角定理；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
※推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；
※推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；
四. 确定圆的条件:
※1. 理解确定一个圆必须的具备两个条件:
经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.
※2. 定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆.
※3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:
(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的
外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.
(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.
(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.
五. 直线与圆的位置关系
※1.设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；
①d<r <===> 直线L和⊙O相交.
②d=r <===> 直线L 和⊙O 相切. ③d>r <===> 直线L 和⊙O 相离.
※2. 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线. ※3. 切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径. ※推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. ※推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
※分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论: 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个. ①垂直于切线; ②过切点; ③过圆心.
※4. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形. ※5. 三角形内心的性质:
(1)三角形的内心到三边的距离相等.
(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.
由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角. 六. 圆和圆的位置关系.
※1. 两圆位置关系的性质与判定:
(1)两圆外离 <===> d>R+r (2)两圆外切 <===> d=R+r
(3)两圆相交 <===> R-r<d<R+r (R ≥r) (4)两圆内切 <===> d=R-r (R>r) (5)两圆内含 <===> d<R-r (R>r)
※2. 相切两圆的性质: 如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上. ※3. 相交两圆的性质；相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 七. 弧长及扇形的面积
※1. 圆周长公式:圆周长C=2πR (R 表示圆的半径) ※2. 弧长公式: 弧长180
R
n l π=
(R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数) ※3. 圆的面积公式. 圆的面积2
R S π= (R 表示圆的半径) ※4. 扇形的面积公式: 扇形的面积360
2R n S π=扇形
(R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数) 八. 圆锥的有关概念:
※1. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算:
圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点.
如果设圆锥底面半径为r,侧面母线长(扇形半径)是l, 底面圆周长(扇形弧长)为c,那么它的侧面积是:
rl rl cl S ππ=⋅==22
1
21侧
)(2l r r r rl S S S +=+=+=πππ底面侧表
九. 与圆有关的辅助线
1.如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.
2.如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.
3.如一个圆有切线的条件,常作过切点的半径(或直径)为辅助线.
4.若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.
十. 圆内接四边形
若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.
圆内接四边形的特征: ①圆内接四边形的对角互补;
②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.
十一.北师版数学未出现的有关圆的性质定理
※1.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
∴PA=PB，PO平分∠APB
※2．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
如图7，CD切⊙O于C，则，∠ACD=∠B
_图6
※3．和圆有关的比例线段：
①相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等；
②推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
如图8，AP•PB=CP•PD
如图9，若CD⊥AB于P，AB为⊙O直径，则CP2=AP•PB
※4．切割线定理
①切割线定理，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线
段长的比例中项；
②推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
如图10，①PT切⊙O于T，PA是割线，点A、B是它与⊙O的交点，则PT2=PA•PB
②PA、PC是⊙O的两条割线，则PD•PC=PB•PA
※5．两圆连心线的性质
①如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，或者说，连心线过切点。
②如果两圆相交，那么连心线垂直平分两圆的公共弦。
如图11，⊙O1与⊙O2交于A、B两点，则连心线O1O2⊥AB且AC=BC。
※6．两圆的公切线
两圆的两条外公切线的长及两条内公切线的长相等。
如图12，AB分别切⊙O1与⊙O2于A、B，连结O1A，O2B，过O2作O2C⊥O1A于C，公切线长为l，两圆的圆心距为d，半径分别为R，r则外公切线长：
2)
2
=
-
R
(r
d
L-
如图13，AB 分别切⊙O 1与⊙O 2于A 、B ，O 2C ∥AB ，O 2C ⊥O 1C 于C ，⊙O 1半径为
R ，⊙O 2半径为r ，则内公切线长：22)(r R d L +-=
_O
_B
_D
_P
_C
_ 图9
_P
_A
_B
_C
_D
_O _ 图
10
_B
_D _C
_O
_A
_
T _P
_ 图
11 _B _C _A _O _
2 _O _
1 _O _2
_d
_C
_R _r
_A
_B
_O _
1 _ 图13
_O
_A
_B _ 图
7。