高中数学演绎推理
《演绎推理》 说课稿
《演绎推理》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的题目是《演绎推理》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析《演绎推理》是高中数学选修 2-2 推理与证明中的重要内容。
演绎推理是一种从一般到特殊的推理方法，它在数学证明、逻辑思维培养以及实际生活中的问题解决中都具有重要的作用。
本节课在教材中的地位十分重要，它是对合情推理的进一步深化和拓展，为学生后续学习数学证明、逻辑推理以及其他学科知识奠定了坚实的基础。
二、学情分析学生在之前的学习中已经接触过合情推理，对推理有了一定的认识和理解。
但演绎推理的概念和方法相对较为抽象，学生在理解和应用上可能会存在一定的困难。
此外，学生的逻辑思维能力还需要进一步的培养和提高，对于复杂的推理过程可能会感到困惑。
因此，在教学过程中，需要通过具体的例子和引导，帮助学生逐步理解和掌握演绎推理的方法。
1、知识与技能目标（1）理解演绎推理的概念和特点。
（2）掌握演绎推理的基本模式，即“三段论”。
（3）能够运用演绎推理进行简单的数学证明。
2、过程与方法目标（1）通过实例分析，培养学生观察、分析、归纳和抽象概括的能力。
（2）引导学生进行推理练习，提高学生的逻辑思维能力和推理能力。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生体会数学推理的严谨性和逻辑性，培养学生严谨的治学态度。
（2）激发学生学习数学的兴趣，增强学生学好数学的信心。
四、教学重难点1、教学重点（1）演绎推理的概念和“三段论”模式。
（2）运用演绎推理进行简单的数学证明。
（1）理解演绎推理的合理性和正确性。
（2）正确运用“三段论”进行推理和证明。
五、教法与学法1、教法（1）讲授法：讲解演绎推理的概念、特点和“三段论”模式，使学生对新知识有初步的了解。
（2）示例法：通过具体的例子，引导学生分析和理解演绎推理的应用，帮助学生掌握推理方法。
（3）练习法：安排适量的练习，让学生在实践中巩固所学知识，提高推理能力。
高三数学证明题推理方法
高三数学证明题推理方法数学学科担负着培养运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力，以及运用所学知识分析问题、解决问题的能力的重任。
下面就是小编给大家带来的高三数学证明题推理方法，希望大家喜欢!一、合情推理1.归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论;2.类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质。
在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质。
二、演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理，数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的，只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的，其结论一定是正确，一定要注意推理过程的正确性与完备性。
三、直接证明与间接证明直接证明是相对于间接证明说的，综合法和分析法是两种常见的直接证明。
综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法(或顺推证法、由因导果法)。
分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法。
间接证明是相对于直接证明说的，反证法是间接证明常用的方法。
假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫做反证法。
四、数学归纳法数学上证明与自然数 N 有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。
一、分类记忆法遇到数学公式较多，一时难于记忆时，可以将这些公式适当分组。
例如求导公式有 18 个，就可以分成四组来记： (1)常数与幂函数的导数(2 个); (2)指数与对数函数的导数(4 个); (3)三角函数的导数(6 个); (4)反三角函数的导数(6 个)。
演绎推理-高中数学知识点讲解
演绎推理1．演绎推理【知识点的认识】1．演绎推理：根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊命题为真的推理，叫做演绎推理．规则符号表示为：若p⇒q，p 为真，则q 为真．*演绎推理是一种收敛性的思维方法，只要前提为真，推理形式正确，结论必正确，前提和结论之间存在必然关系，因此演绎推理是数学中严格证明的工具．2．三段论推理：是演绎推理的一般模式．可表示为：若b⇒c，而a⇒b，则a⇒c三段论包括三要素：（1）大前提：已知的一般原理（2）小前提：所研究的特殊情况（3）结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断．演绎推理（1）定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理；（2）特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；（3）演绎推理是一种收敛性的思维方法，只要前提为真，推理形式正确，结论必正确，前提和结论之间存在必然关系，因此演绎推理是数学中严格证明的工具．（4）模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：“三段论”的结①大前提﹣﹣已知的一般原理；构②小前提﹣﹣所研究的特殊情况；③结论﹣﹣根据一般原理，对特殊情况做出的判断．“三段论”的表①大前提﹣﹣M 是P．示②小前提﹣﹣S 是M．③结论﹣﹣S 是P．【例题解析】例：关于演绎推理的说法正确的是（）A：演绎推理是由一般到一般的推理B：只要大前提正确，由演绎推理得到的结果必正确C：演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的情况下，得到的结论一定正确D：演绎推理不能用于命题的证明解答：解：演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，故A 不正确，演绎推理得到的结论不一定是正确的，还要取决于小前提是否真实，故B 不正确，演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提小前提和结论，在大前提、小前提和推理形式都正确的情况下，得到的结论一定正确，故C 正确，演绎推理不能用于命题的证明，故D 不正确，总上可知有C 是正确的，故选：C．本题考查演绎推理的意义，演绎推理是由一般性的结论推出特殊性命题的一种推理模式，演绎推理的前提与结论之间有一种蕴含关系．。
高中数学教学中的演绎推理与证明方法
高中数学教学中的演绎推理与证明方法数学是一门既抽象又具有逻辑性的学科，而演绎推理与证明方法则是数学中重要的思维方式和工具。
在高中数学教学中，演绎推理与证明方法的运用不仅能够培养学生的逻辑思维能力，还能够帮助他们深入理解数学知识的本质。
本文将探讨高中数学教学中演绎推理与证明方法的应用。
首先，演绎推理是数学中最基本的推理方法之一。
通过演绎推理，我们可以从已知的前提出发，逐步推导出结论。
这种推理方式常常用于解决几何问题。
例如，在证明两个三角形全等时，我们可以根据给定的条件，通过一系列的推理步骤来得出结论。
这种演绎推理的过程，不仅能够帮助学生理解几何形状之间的关系，还能够培养他们的逻辑思维能力和问题解决能力。
其次，证明方法是数学中的重要内容之一。
数学证明是通过逻辑推理和严密的论证来证明一个命题的正确性。
在高中数学教学中，学生需要学习并掌握不同的证明方法，如直接证明、间接证明、反证法等。
通过学习这些证明方法，学生不仅能够理解数学定理的证明过程，还能够培养他们的思辨能力和创新能力。
在数学教学中，演绎推理与证明方法的应用不仅仅局限于几何问题。
它们在其他数学领域，如代数、概率等方面也有广泛的应用。
例如，在代数中，我们可以通过演绎推理来解决方程和不等式问题。
而在概率中，我们可以通过证明方法来证明一些概率性质和定理。
这些应用不仅能够帮助学生理解和掌握数学知识，还能够培养他们的抽象思维能力和问题解决能力。
此外，演绎推理与证明方法也可以与其他学科相结合，促进跨学科的学习。
例如，在物理学中，演绎推理可以帮助学生理解物理定律和原理的推导过程。
在计算机科学中，证明方法可以帮助学生理解和分析算法的正确性和效率。
通过将演绎推理与证明方法应用于其他学科，可以帮助学生更好地理解和应用所学知识，提高他们的综合素质。
然而，在高中数学教学中，演绎推理与证明方法的应用也存在一些挑战和困难。
首先，学生对于演绎推理和证明方法的理解和掌握程度有差异。
_高中数学第二章推理与证明1
• 4．其他演绎推理形式 • (1)假言推理：“若p⇒q，p真，则q真”． • (2)关系推理：“若aRb，bRc，则aRc”R表示一种传递性关系
，如a∥b，b∥c⇒a∥c，a≥b，b≥c⇒a≥c等． • 注：假言推理、关系推理在新课标中未给定义，但这种推理
形式是经常见到的，为表述记忆方便，我们也一块给出，以 供学生扩展知识面．
第二章 推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.2 演绎推理
目标导航
• 理解演绎推理的概念，掌握演绎推理的形式，并能用它们进行 一些简单的推理，了解合情推理与演绎推理的联系与区别．
重点难点
• 重点：演绎推理的含义及演绎推理规则． • 难点：演绎推理的应用．
新知导学
1.演绎推理
• 日常生活中我们经常接触这样的推理形式：“所有金属都导 电，因为铁是金属，所以铁导电”，它是合情推理吗？这种 推理形式正确吗？
• (2)利用集合知识说明“三段论”：若集合M的所有元素都具有 性质P，S是M的一个子集，那么 __S_中__所__有__元__素__也__都__具__有__性__质__P__.
• (3)为了方便，在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或 小前提的表述方式．对于复杂的论证，总是采用一连串的三段 论，把前一个三段论的___结__论___作为下一个三段论的前提．
互动探究
1.演绎推理的基本形式——三段论
• 例题1 用三段论的形式写出下列演绎推理． • (1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对
角线相互垂直． • (2)若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不相等，则
此两角不是对顶角． • [分析] 即写出推理的大前提、小前提、结论．大前提可能
环小数，所以e是无理数． • [答案] (1)a＝－8，(2)无限不循环小数都是无理数
(新课程)高中数学《2.1.2演绎推理》课件 新人教A版选修2-2
所研究的 特殊情况 ；③结论——根据一般原理，对 特殊情况做
出的判断． (2)“三段论”的表示：①大前提—— S是M —— ③结论 . S是P M 是P ；②小前提 —— ；
(3)三段论的依据：用集合观点来看就是：①若集合M的所有元
素都具有性质 P，② S 是M 的一个子集，③那么 S 中所有元素也
即 S2 S△BCD.(10 分) △ABC＝S△BOC· 同理可证：S2 S△BCD，S2 △ACD＝S△COD· △ABD ＝S△BOD· S△BCD.
2 2 ∴S2 (S△ BOC＋S△ COD ＋S△ BOD)＝S△ BCD· S△ △ABC＋ S △ACD ＋ S △ABD ＝ S △ BCD· 2 BCD＝S△BCD.(12
∵G为A1B中点，∴A1B⊥DG，
又∵DG∩AB1＝G，∴A1B⊥平面AB1D. 又∵AD⊂平面AB1D，∴A1B⊥AD.
(2)连接 GE，∵EG∥A1A，∴GE⊥平面 ABC. ∵DC⊥平面 ABC，∴GE∥DC， 1 ∵GE＝DC＝ a，∴四边形 GECD 为平行四边形， 2 ∴EC∥GD. 又∵EC⊄平面 AB1D，DG⊂平面 AB1D， ∴EC∥平面 AB1D.
2100＋1是奇数，
2100＋1不能被2整除． (3)三角函数都是周期函数， y＝tan α是三角函数， y＝tan α是周期函数．
小前提
结论 大前提 小前提 结论
用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段 论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊
情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联
被2整除； (3)三角函数都是周期函数，y＝tan α是三角函数，因此y＝tan α是周期函数．
高中数学选修系列《演绎推理》典例精析
演绎推理演绎推理主要考察应试者的逻辑推理能力，在这种题型中，每道试题给出一段陈述，这段陈述被假设为是正确的，不容置疑的。
题后的四个备选答案是与这段陈述有关的四个推理，其中有一个是不需要任何附加条件或说明就可以从陈述中直接推导出来的，要求应试者选出这个正确答案。
一、解题方法与注意事项从作题的要求也可以看出，做演绎推理题目必须紧扣题干内容，以题目中的陈述为依据，根据形式逻辑的推论法则推出正确结论。
题中的陈述是被假设为正确的，不要对其作出怀疑或否定，给自己解题带来不必要的干扰。
对于演绎推理题目中比较难的，多种条件相互制约或是数理逻辑的题目，可以忽略其具体情境，在草纸上抽象出其数理模型，加以逻辑运算，这样比较容易得出结论。
解答演绎推理题时，要注意以下事项：（1）紧扣题干内容，不要对题中陈述的事实提出任何怀疑，不要被与题中陈述不一致的常理所干扰；（2）紧紧依靠形式逻辑有关推论法则严格推理，注意大前提、小前提，结论三者间的关系。
（3）必要时，可以在草稿纸上根据你设计的符号来表示推论过程，帮助你记住一些重要信息和推出正确结论。
二、典型例题剖析【例题1】对于穿鞋来说，正合脚的鞋子比过大的鞋子好。
不过，在寒冷的天气，尺寸稍大点的毛衣与一件正合身的毛衣差别并不大。
这意味着：A．不合脚的鞋不能御冷B．毛衣的大小只不过是式样问题，与其功能无关C．不合身的衣服有时仍然有穿用价值D．在买礼物的时候，式样不如用途那样重要【解答】答案为C。
解答此类问题要先从问题人手，先把问题看一遍，带着问题看陈述。
在这段陈述中根本没有提到冬天穿鞋的问题，因而不存在合脚与否的问题，这样选项A被排除。
选项B的“毛衣大小只不过是式样问题，与其功能无关”，在陈述中是难以直接推出的。
整个陈述只字未提买礼物的事，所以选项D也应排除在正确答案之外。
故选项C为正确答案。
在此题中，选项B迷惑性最大，它往往使人脱离陈述的材料而直接依据自己的经验和想法作出错误的判断。
高中数学第一章推理与证明11归纳与类比演绎推理的三段论素材
1。
1 演绎推理的三段论演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式．其主要形式是由大前提、小前提和推出的结论的三段论式推理，可以表示为：用集合论的观点来讲，就是:若集合Ｍ的所有元素都具有性质Ｐ,Ｓ是Ｍ的子集,那么Ｓ中所有元素都具有性质Ｐ．其推理规则可用符号表示为:“如果M P S M ⇒⇒，，则S P ⇒．”三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提,它提供了一个一般的原理;第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生第三个判断——-结论．为了方便，在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表述方式．对于复杂的论证,总是采用一连串的三段论,把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提．例1 如图，D E F ，，分别是BC CA AB，，上的点,BFD A ∠=∠，DE BA ∥，求证：ED AF =．证明：（1）同位角相等，两条直线平行,(大前提） 大前提：M 是P小前提:S 是M结论:S 是PBFD ∠与A ∠是同位角,且BFD A ∠=∠，（小前提)所以，DE BA ∥．(结论）（2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形,（大前提)DE BA ∥且DF EA ∥,（小前提）所以，四边形AFDE 为平行四边形．（结论）（3）平行四边形的对边相等,(大前提）ED 和AF 为平行四边形的对边，（小前提)所以，ED AF =．（结论)上面的证明通常简略地表述为：BFD A DF EA DE BA ∠=∠⇒⎫⇒⎬⎭∥∥ 四边形AFDE 是平行四边形ED AF ⇒=．例2 已知a b m ，，均为正实数，b a <,求证：b b m a a m+<+． 证明：0b a mb ma ab mb ab ma m <⎫⇒<⇒+<+⎬>⎭, ()()()()()0()()b a m a b m b a m a b m b b m a a m a a m a a m a a m ⇒+<+⎫+++⇒<⇒<⎬+>+++⎭又．评注：1．每一步推理(即每一个“因为",“所以”）都体现一个演绎推理“三段论”，并且环环紧扣，推理清晰．2．演绎的前提是一般原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别,特殊事实,结论完全蕴涵于前提之中．3．演绎推理是一种必然性推理，因此，只要前提是真实的，推理的形式是正确的,那么结论必定是真实的．但错误的前提可能导致错误的结论．如整数是自然数(大前提），－3是整数（小前提），所以－3是自然数（结论）．由错误的大前提导致了错误的结论．但将小前提改为：3是整数，则结论：3是自然数．此时大前提错误，但结论正确．4．演绎推理是一种收敛性的思维方式,它较少创造性,但却具有条理清晰,令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．。
高中数学思想之演绎推理
演绎推理例1： 请你把不等式“若21,a a 是正实数，则有21122221a a a a a a +≥+”推广到一般情形，并证明你的结论。
答案： 推广的结论：若 n a a a ,,,21 都是正数， n n n n a a a a a a a a a a a ++≥+++-211212322221 证明： ∵n a a a ,,,21 都是正数 ∴ 122212a a a a ≥+，211222a a a a ≥+ ………，1212--≥+n n n n a a a a ，n n a a a a 2112≥+ n n n n a a a a a a a a a a a ++≥+++-211212322221例2：已知：23150sin 90sin 30sin 222=++ ； 23125sin 65sin 5sin 222=++ 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题： _____________________________________________________=23 （ * ） 并给出（ * ）式的证明。
答案：一般形式: 23)120(sin )60(sin sin 222=++++ ααα 证明：左边 = 2)2402cos(12)1202cos(122cos 1 +-++-+-ααα = )]2402cos()1202cos(2[cos 2123 ++++-ααα = -+-+- 240cos 2cos 120sin 2sin 120cos 2cos 2[cos 2123ααα]240sin 2sin α = ]2sin 232cos 212sin 232cos 212[cos 2123ααααα+----= 右边=23 例3已知,a b c >> 求证：114.a b b c a c+≥--- 证明：a c a c a b b c a b b c a b b c a b b c ---+--+-+=+----224b c a b a b b c --=++≥+=--，()a b c >> 1144,.a c a c a b b c a b b c a c--∴+≥∴+≥----- 例4若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：∵a ，b ，c ∈R +，abc 成立．上式两边同取常用对数，得例5若定义在实数集R 上的函数()y f x =满足：①对于任意x R ∈，()()f x f x -=-；②函数()y f x =在[0,)+∞上递增求证：函数()y f x =在实数集上R 递增（定义法）证明：任取12,x x R ∈且12x x <（1）若120x x ≤<，则由②可知12()()f x f x <（2）若120x x <≤，则120x x ->-≥，由②可知12()()f x f x ->-由①可得12()()f x f x ->-，即12()()f x f x <（3）若120x x <<，则由前两种情况的证明可知，12()(0),(0)()f x f f f x <<∴12()()f x f x <综上，对于任意的12,x x R ∈且12x x <，总有12()()f x f x <成立∴函数()y f x =在实数集上R 递增课外练习基础题：1.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线 b ⊆/平面α，直线a ≠⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为 （ ）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误答案：A 。
高中数学选修《合情推理与演绎推理》教案
高中数学选修《合情推理与演绎推理》教案第一章：合情推理概述1.1 推理的定义与分类引导学生理解推理的定义介绍合情推理与演绎推理的区别与联系举例说明合情推理在数学中的应用1.2 合情推理的方法介绍归纳推理、类比推理、归纳猜想等合情推理方法通过具体例子讲解各种合情推理方法的步骤与特点引导学生掌握合情推理的方法并能够运用到实际问题中第二章：演绎推理的基本形式2.1 演绎推理的定义与特点引导学生理解演绎推理的定义与特点强调演绎推理的逻辑严密性与结论的必然性2.2 演绎推理的基本形式介绍演绎推理的三段论形式及其结构引导学生理解假言推理、选言推理等演绎推理的基本形式通过例题讲解各种演绎推理形式的应用与解题步骤第三章：演绎推理的应用3.1 演绎推理在数学证明中的应用引导学生理解演绎推理在数学证明中的重要性通过具体例子讲解演绎推理在证明题中的应用与步骤3.2 演绎推理在解决实际问题中的应用介绍演绎推理在解决实际问题中的应用范围与方法通过具体例子讲解演绎推理在实际问题解决中的步骤与技巧第四章：合情推理与演绎推理的综合应用4.1 合情推理与演绎推理的综合案例分析提供综合案例，要求学生运用合情推理与演绎推理的方法进行分析与解答引导学生理解合情推理与演绎推理在不同情境下的作用与重要性4.2 合情推理与演绎推理的综合练习提供综合练习题目，要求学生运用合情推理与演绎推理的方法进行解答引导学生通过练习巩固合情推理与演绎推理的知识与技能第五章：推理能力培养5.1 推理能力的培养方法介绍推理能力的培养方法与技巧引导学生掌握推理能力的培养方法并能够运用到实际学习中5.2 推理能力的学习与应用提供推理能力的学习与应用题目，要求学生进行练习与解答引导学生通过练习与应用提高自己的推理能力并能够运用到实际问题中第六章：数学归纳法与合情推理6.1 数学归纳法的概念与步骤介绍数学归纳法的定义与基本步骤通过具体例子讲解数学归纳法的应用与解题技巧6.2 数学归纳法在合情推理中的应用引导学生理解数学归纳法在合情推理中的作用与重要性提供合情推理题目，要求学生运用数学归纳法进行解答与证明第七章：演绎推理与数学证明7.1 演绎推理在数学证明中的作用强调演绎推理在数学证明中的重要性通过具体例子讲解演绎推理在数学证明中的应用与步骤7.2 演绎推理在证明题中的综合应用提供证明题目，要求学生运用演绎推理的方法进行解答与证明引导学生通过练习巩固演绎推理在数学证明中的知识与技能第八章：逻辑推理与演绎推理8.1 逻辑推理的基本概念介绍逻辑推理的定义与基本概念强调逻辑推理在演绎推理中的重要性8.2 逻辑推理在演绎推理中的应用提供演绎推理题目，要求学生运用逻辑推理的方法进行解答与证明引导学生通过练习与应用提高逻辑推理在演绎推理中的能力第九章：演绎推理与问题解决9.1 演绎推理在问题解决中的作用强调演绎推理在问题解决中的重要性通过具体例子讲解演绎推理在问题解决中的应用与步骤9.2 演绎推理在实际问题解决中的综合应用提供实际问题题目，要求学生运用演绎推理的方法进行解答与解决引导学生通过练习与应用提高演绎推理在问题解决中的能力第十章：总结与提高10.1 合情推理与演绎推理的总结对本课程的合情推理与演绎推理进行总结与回顾强调合情推理与演绎推理在数学学习与问题解决中的重要性10.2 推理能力的进一步提高提供推理能力提高的练习与题目，要求学生进行解答与实践引导学生通过练习与实践不断提高自己的推理能力，并能够运用到实际学习中。
高中数学选修《合情推理与演绎推理》教案
高中数学选修《合情推理与演绎推理》教案一、教学目标1. 让学生理解合情推理与演绎推理的定义及其相互关系。
2. 培养学生运用合情推理与演绎推理解决问题的能力。
3. 提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的逻辑思维能力。
二、教学内容1. 合情推理与演绎推理的定义及特点。
2. 合情推理与演绎推理在数学中的应用。
3. 合情推理与演绎推理的练习题解析。
三、教学重点与难点1. 合情推理与演绎推理的定义及其相互关系。
2. 运用合情推理与演绎推理解决实际问题。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解合情推理与演绎推理的定义、特点及应用。
2. 运用案例分析法，分析实际问题中的合情推理与演绎推理。
3. 开展小组讨论，培养学生合作学习的能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过生活中的实例，引导学生了解合情推理与演绎推理的概念。
2. 讲解合情推理与演绎推理的定义、特点及相互关系。
3. 案例分析：分析实际问题，展示合情推理与演绎推理的应用。
4. 练习题解析：讲解练习题，巩固所学知识。
5. 小组讨论：学生分组讨论，分享各自的理解和心得。
6. 总结归纳：对本节课的内容进行总结，强调合情推理与演绎推理在数学及生活中的重要性。
7. 布置作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学策略与手段1. 运用多媒体教学，通过动画、图片等形式展示合情推理与演绎推理的过程，增强学生的直观感受。
2. 设计丰富的教学活动，如游戏、竞赛等，激发学生的学习兴趣。
3. 创设问题情境，引导学生主动探究，培养学生的独立思考能力。
七、教学评价1. 课堂问答：检查学生对合情推理与演绎推理的理解程度。
2. 练习题：评估学生运用合情推理与演绎推理解决问题的能力。
3. 小组讨论：观察学生在讨论中的表现，评价其合作学习的能力。
八、教学案例案例一：通过分析一道数学题，引导学生运用合情推理与演绎推理求解。
案例二：以生活中的问题为背景，让学生运用合情推理与演绎推理寻找解决方案。
高中数学合情推理与演绎推理
合情推理是从已知的 结论推测未知的结论， 发现与猜想的结论都 要经过进一步严格证 明．
演绎推理是由一般到 特殊的推理，它常用 来证明和推理数学问 题，注意推理过程的 严密性，书写格式的 规范性．
归纳推理、类比推理、演绎推理等问题是 高考的热点，归纳、类比推理大多数出现 在填空题中，为中、低档题．演绎推理大 多数出现在解答题中，为中、高档题 目．在知识的交汇点处命题，背景新颖的 创新问题，常考常新，值得重视．
34.
新课标 ·文科数学（安徽专用）
自 主
(2)归纳三角恒等式sin2α＋cos2(30°－α)－sin
落 实 ·
cos(30°－α)＝34.
固
基
证明如下：
础
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
高
α考 体 验
· 明 考 情
＝
1－cos 2
2α ＋
1＋cos（620°－2α） －sin
【思路点拨】
从特殊②计算结果为
3 4
，观察每个三角
函数式中三角函数名称与角的变化规律，归纳出一般性结
论；然后利根用据演(1绎)的推计理算进结行果证，将明该．同学的发现推
广为三角恒等式，并证明你的结论．
【尝试解答】 (1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝
01
归纳推理和类比推理的共同特点和区别是什么？
02
【提示】 共同点：两种推理的结论都有待于证明．
03
不同点：归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．
二．演绎推理所获得的结论一定可靠吗？
【提示】 演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命 题的一种推理模式，是一种必然性推理．演绎推理的 前提与结论之间有蕴含关系，因而，只要前提是真实 的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的， 但是错误的前提可能导致错误的结论．
高中数学课件-2 演绎推理
用集合的观点来理解:三段论推理的依据
若集合M的所有元素
都具有性质P，S是M
P
的一个子集，那么S
SM
中所有元素也都具有
性质P。
所有的金属(M)都能够导电(P) 铜(S)是金属(M) 铜(S)能够导电(P)
M……P S……M S……P
合情推理与演绎推理的区别
合情推理
归纳推理
类比推理
演绎推理
2
∴DM = EM.
结论
练习2: 1、如图，在△ABC 中，AC > BC , CD是AB上的高，
求证： ∠ACD > ∠BCD. C
证明：在△ABC 中，因为 CD AB ,
AC > BC, 所以AD > BD，
于是∠ACD > ∠BCD.
A
D
B
指出上面证明过程中的错误。
根据AD > BD，不能推出∠ACD > ∠BCD. 因为在同一个三角形中，才有大边对大角，AD和BD不是同一 个三角形的边。
1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电.
一般性的原理 特殊情况 结论
2.一切奇数都不能被2整除, 一般性的原理
因为2007是奇数,
特殊情况
所以2007不能被2整除. 结论
案例分析2：
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况 下的结论，这种推理称为演绎推理．
1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电.
思考题：
对于任意正整数n，试猜想（6n+1) 与（2n+1)2 的大小关系．并用演绎推理 证明你的结论．
推理 由部分到整体,个 由特殊到特殊的 由一般到特殊的
高中数学选修2《合情推理与演绎推理》课件
【推理】
推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新 的判断的思维过程. 合情推理具有猜测和发现新结论、探索和提供解 决问题的思路和方向的作用; 演绎推理则具有证明结 论, 整理和建构知识体系的作用.
合情推理又分归纳推理与类比推理.
问题1. 观察以下几个一元二次方程的根与常数 项, 你有什么发现? 5x2+2x+3=0, 5x2+2x-3=0, x2+x+1=0, x2+x-1=0, 2x2-3x+4=0, 2x2-3x-4=0. 问题2. 观察下面几个偶数的分解, 你有什么发现? 6=3+3, 8=3+5, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=5+11. 方程 5x2+2x+3=0, x2+x+1=0, 2x2-3x+4=0 无实根; 方程 5x2+2x-3=0, x2+x-1=0, 2x2-3x-4=0 有二不 等实根. 由问题 1 猜测: 一元二次方程中, 常数项为正时, 方程无实根; 常数项为负时, 方程有两不等实根.
归纳推理可以发现新事实, 获得新结论.
【课时小结】
2. 归纳推理的基本思路
(1) 在部分对象中寻找相同点. 如问题 1, 2. (2) 在部分对象中分析运行结果的相同点. 如例1, 例4. (3) 在部分对象中寻找相关关系. 如练习第2题.
习题 2.1 A组 第 1、2、3 题.
习题 2.1 A 组 2an 1. 在数列{an}中, a1=1, an+1 = (nN*), 试 2 + an 猜想这个数列的通项公式. 解: a1=1. 2a1 21 2 = = . a2 = 2 + a1 2 + 1 3 2 2 2a2 1 3 = . = a3 = ∴猜想: 2 2 2 + a2 2 + 3 an = 2 . n+1 1 2 2a3 2 2 = . = a4 = 2 + a3 2 + 1 5 2 2 2 1 2 2 观察前 4 项: a1 = 1 = , a2 = , a3 = = , a4 = . 2 3 2 4 5
高中数学第二章推理与证明2.1.2演绎推理学案含解析
2．1.2 演绎推理看下面两个问题：(1)一切奇数都不能被2整除，(22 017＋1)是奇数，所以(22 017＋1)不能被2整除；(2)两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面，如果直线a 是其中一个平面内的一条直线，那么a平行于另一个平面．问题1：这两个问题中的第一句都说的什么？提示：都说的一般原理．问题2：第二句又都说的什么？提示：都说的特殊示例．问题3：第三句呢？提示：由一般原理对特殊示例做出判断．1．演绎推理的概念从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理称为演绎推理．2．三段论“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．“三段论”可以表示为：大前提：M是P.小前提：S是M.结论：S是P.演绎推理的三个特点(1)演绎推理的前提是一般性原理，演绎推理所得的结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴含于前提之中．(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具．(3)演绎推理是由一般到特殊的推理．(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数．(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°.(3)菱形对角线互相平分．(4)通项公式为a n＝3n＋2(n≥2)的数列{a n}为等差数列．(1)一切奇数都不能被2整除．(大前提)75不能被2整除．(小前提)75是奇数．(结论)(2)三角形的内角和为180°.(大前提)Rt△ABC是三角形．(小前提)Rt△ABC的内角和为180°.(结论)(3)平行四边形对角线互相平分．(大前提)菱形是平行四边形．(小前提)菱形对角线互相平分．(结论)(4)数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}为等差数列．(大前提)通项公式a n＝3n＋2，n≥2时，a n－a n－1＝3n＋2－＝3(常数)．(小前提)通项公式为a n＝3n＋2(n≥2)的数列{a n}为等差数列．(结论)三段论的推理形式三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“如果b⇒c，a⇒b，则a⇒c”．其中，b⇒c为大前提，提供了已知的一般性原理；a⇒b为小前提，提供了一个特殊情况；a⇒c为大前提和小前提联合产生的逻辑结果．把下列推断写成三段论的形式：(1)y＝sin x(x∈R)是周期函数．(2)若两个角是对顶角，则这两个角相等，所以若∠1和∠2是对顶角，则∠1和∠2相等．解：(1)三角函数是周期函数，大前提y＝sin x(x∈R)是三角函数，小前提y＝sin x(x∈R)是周期函数．结论(2)两个角是对顶角，则这两个角相等，大前提 ∠1和∠2是对顶角，小前提 ∠1和∠2相等．结论角△ABC 中，AD ，BE 是高，D ，E 为垂足，M 为AB 的中点．求证：ME ＝MD .∵有一个内角为直角的三角形为直角三角形，……大前提 在△ABD 中，AD ⊥CB ，∠ADB ＝90°，………………………………小前提∴△ABD 为直角三角形．………………………………………………结论 同理△ABE 也为直角三角形．∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，………………大前提M 是直角△ABD 斜边AB 上的中点，DM 为中线，………………………………小前提∴DM ＝12AB . ……………………………………………………………………………结论同理EM ＝12AB .∵和同一条线段相等的两条线段相等，………………………………………………大前提DM ＝12AB ，EM ＝12AB ，……………………………………………………………小前提∴ME ＝MD .结论三段论在几何问题中的应用(1)三段论是最重要且最常用的推理表现形式，我们以前学过的平面几何与立体几何的证明，都不自觉地运用了这种推理，只不过在利用该推理时，往往省略了大前提．(2)几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．如图，已知在梯形ABCD 中，，AB ＝CD ＝AD ，AC 和BD 是梯形的对角线，求证：AC 平分∠BCD ，DB 平分∠CBA .证明：∵等腰三角形两底角相等，………………………………………………大前提 △DAC 是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角，………………………………小前提∴∠1＝∠2.结论∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，………………………………大前提∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截得的内错角，………………………………小前提∴∠1＝∠3.结论∵等于同一个角的两个角相等，……………………………………………………大前提∠2＝∠1，∠3＝∠1，………………………………………………………………小前提∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD. …………………………………………………………结论同理可证DB平分∠CBA.已知函数f(x)＝a x＋x＋1(a＞1)，求证：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．如果在(－1，＋∞)上f′(x)>0，那么函数f(x)在(－1，＋∞)上是增函数，……………………………………………………………………………………………大前提∵a>1，∴f′(x)＝a x ln a＋3x ＋2>0，………………………………………………小前提∴函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．………………………………………………结论使用三段论应注意的问题(1)应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的、严密的，才能得出正确的结论．(2)证明中常见的错误：①条件分析错误(小前提错)．②定理引入和应用错误(大前提错)．③推理过程错误等．已知a，b，m均为正实数，b＜a，用三段论形式证明ba＜b＋ma＋m.证明：因为不等式两边同乘一个正数，不等号不改变方向，……………大前提b＜a，m＞0，………………………………………………………………小前提所以mb＜ma. …………………………………………………………………………结论因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向，…………………………大前提mb＜ma，………………………………………………………………………………小前提所以mb ＋ab ＜ma ＋ab ，即b (a ＋m )＜a (b ＋m )．………………………………结论 因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向，……………………………大前提b (a ＋m )＜a (b ＋m )，a (a ＋m )＞0，………………………………小前提所以b a ＋m a a ＋m ＜a b ＋m a a ＋m ，即b a ＜b ＋ma ＋m.………………………………结论6．混淆三段论的大、小前提而致误定义在实数集R 上的函数f (x )，对任意x ，y ∈R ，有f (x －y )＋f (x ＋y )＝2f (x )f (y )，且f (0)≠0，求证：f (x )是偶函数．证明：令x ＝y ＝0，则有f (0)＋f (0)＝2f (0)×f (0)． 又因为f (0)≠0，所以f (0)＝1. 令x ＝0，则有f (－y )＋f (y )＝2f (0)f (y )＝2f (y )， 所以f (－y )＝f (y )， 因此，f (x )是偶函数．以上证明结论“f (x )是偶函数”运用了演绎推理的“三段论”，其中大前提是________________________________________________________________________．通过两次赋值先求得“f (0)＝1”，再证得“f (－y )＝f (y )”，从而得到结论“f (x )是偶函数”．所以这个三段论推理的小前提是“f (－y )＝f (y )”，结论是“f (x )是偶函数”，显然大前提是“若对于定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，则f (x )是偶函数”．若对于定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，则f (x )是偶函数解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式：大前提—小前提—结论，其中大前提是一个一般性的命题，即证明这个具体问题的理论依据．因此结合f (x )是偶函数的定义和证明过程容易确定本题答案．本题易误认为题目的已知条件为大前提而导致答案错误．所有眼睛近视的人都是聪明人，我近视得很厉害，所以我是聪明人．下列各项中揭示了上述推理是明显错误的是________(填序号)．①我是个笨人，因为所有的聪明人都是近视眼，而我的视力那么好． ②所有的猪都有四条腿，但这种动物有八条腿，所以它不是猪．③小陈十分高兴，所以小陈一定长得很胖，因为高兴的人都长得很胖． ④所有尖嘴的鸟都是鸡，这种总在树上待着的鸟是尖嘴的，因此这种鸟是鸡． 解析：根据④中的推理可得：这种总在树上待着的鸟是鸡，这显然是错误的．①②③不符合三段论的形式．答案：④1．“四边形ABCD 是矩形，所以四边形ABCD 的对角线相等”，补充该推理的大前提是( )A ．正方形的对角线相等B ．矩形的对角线相等C ．等腰梯形的对角线相等D ．矩形的对边平行且相等解析：选B 得出“四边形ABCD 的对角线相等”的大前提是“矩形的对角线相等”． 2．“因为对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，而y ＝log 13x 是对数函数(小前提)，所以y ＝log 13x 是增函数(结论)．”上述推理错误的原因是( )A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错解析：选A 大前提是错误的，因为对数函数y ＝log a x (0＜a ＜1)是减函数． 3．求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是a 有意义，即a ≥0，小前提是log 2x －2有意义，结论是________．解析：由三段论的形式可知，结论是log 2x －2≥0. 答案：log 2x －2≥04．用三段论证明函数f (x )＝x ＋1x在(1，＋∞)上为增函数的过程如下，试将证明过程补充完整：①________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________(大前提) ②________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________(小前提)③________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________(结论)答案：①如果函数f (x )满足：在给定区间内任取自变量的两个值x 1，x 2，若x 1＜x 2，则f (x 1)＜f (x 2)，那么函数f (x )在给定区间内是增函数．②任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－x 2x 1x 2－x 1x 2，由于1＜x 1＜x 2，故x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1，即x 1x 2－1＞0，所以f (x 1)＜f (x 2)．③函数f (x )＝x ＋1x在(1，＋∞)上为增函数．5．将下列推理写成“三段论”的形式．(1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向； (2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；(3)0.332·是有理数．解：(1)向量是既有大小又有方向的量．………………………………大前提 零向量是向量．……………………………………………………………小前提 零向量也有大小和方向．………………………………………………结论 (2)每一个矩形的对角线相等．……………………………………………大前提 正方形是矩形．………………………………………………………………小前提 正方形的对角线相等．………………………………………………………结论 (3)所有的循环小数都是有理数．……………………………………………大前提0．332·是循环小数．…………………………………………………………小前提0．332·是有理数．……………………………………………………………结论一、选择题1．给出下面一段演绎推理： 有理数是真分数，大前提 整数是有理数，小前提 整数是真分数．结论结论显然是错误的，是因为( ) A ．大前提错误 B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误解析：选A 推理形式没有错误，小前提也没有错误，大前提错误．举反例，如2是有理数，但不是真分数．2．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于( ) A ．演绎推理 B ．类比推理 C ．合情推理 D ．归纳推理解析：选A 是由一般到特殊的推理，故是演绎推理． 3．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C ．由三角形的性质，推测四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出a n 的通项公式解析：选A B 项是归纳推理，C 项是类比推理，D 项是归纳推理．4．“∵四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等．”补充以上推理的大前提( )A ．正方形都是对角线相等的四边形B ．矩形都是对角线相等的四边形C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形D ．矩形都是对边平行且相等的四边形解析：选B 推理的大前提应该是矩形的对角线相等，表达此含义的选项为B. 5．有一段演绎推理是这样的：直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线；已知直线b ⊄平面α，直线a ⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a .结论显然是错误的，这是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误解析：选A 大前提是错误的，直线平行于平面，则不一定平行于平面内所有直线，还有异面直线的情况．二、填空题6．若有一段演绎推理：“大前提：整数是自然数．小前提：－3是整数．结论：－3是自然数．”这个推理显然错误，则推理错误的是________(填“大前提”“小前提”或“结论”)．解析：整数不全是自然数，还有零与负整数，故大前提错误． 答案：大前提7．已知推理：“因为△ABC 的三边长依次为3,4,5，所以△ABC 是直角三角形”．若将其恢复成完整的三段论，则大前提是____________________．解析：大前提：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形；小前提：△ABC 的三边长依次为3,4,5，满足32＋42＝52；结论：△ABC 是直角三角形．答案：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形8．若不等式ax 2＋2ax ＋2＜0的解集为空集，则实数a 的取值范围为________． 解析：①a ＝0时，有2＜0，显然此不等式解集为∅.②a ≠0时需有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ≤0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，4a 2－8a ≤0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，0≤a ≤2，所以0＜a ≤2.综上可知，实数a 的取值范围是． 答案： 三、解答题9．如下图，在直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面是正方形，E ，F ，G 分别是棱B 1B ，D 1D ，DA 的中点．求证：(1)平面AD 1E ∥平面BGF ； (2)D 1E ⊥AC .证明：(1)∵E ，F 分别是B 1B 和D 1D 的中点， ∴D 1F 綊BE ，∴四边形BED 1F 是平行四边形，∴D 1E ∥BF . 又∵D 1E ⊄平面BGF ，BF ⊂平面BGF ， ∴D 1E ∥平面BGF .∵F ，G 分别是D 1D 和DA 的中点， ∵FG 是△DAD 1的中位线，∴FG ∥AD 1. 又∵AD 1⊄平面BGF ，FG ⊂平面BGF ，∴AD 1∥平面BGF . 又∵AD 1∩D 1E ＝D 1， ∴平面AD 1E ∥平面BGF . (2)如右图，连接BD ，B 1D 1， ∵底面ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD .∵D 1D ⊥AC ，BD ∩D 1D ＝D ， ∴AC ⊥平面BDD 1B 1.∵D 1E ⊂平面BDD 1B 1，∴D 1E ⊥AC .10．在数列{}a n 中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *.(1)证明数列{}a n －n 是等比数列． (2)求数列{}a n 的前n 项和S n .(3)证明不等式S n ＋1≤4S n ，对任意n ∈N *皆成立． 解：(1)证明：因为a n ＋1＝4a n －3n ＋1， 所以a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，n ∈N *. 又因为a 1－1＝1，所以数列{}a n －n 是首项为1， 公比为4的等比数列． (2)由(1)可知a n －n ＝4n －1，于是数列{}a n 的通项公式为a n ＝4n －1＋n ，所以数列{}a n 的前n 项和S n ＝4n－13＋nn ＋2.(3)证明：对任意的n ∈N *， S n ＋1－4S n ＝4n ＋1－13＋n ＋n ＋2－44n－13＋n n ＋2＝－12(3n 2＋n －4)≤0，所以不等式S n ＋1≤4S n ，对任意n ∈N *皆成立．。
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C
分析上述推理过程，可以看出，推理的
每一个步骤都是根据一般性命题（如“全
等三角形对应角相等”）推出特殊性命题
（如“∠B=∠C”）。
上面的推理都是从一般 性的原理出发, 推出某 个特殊情况下的结论 , 我们把这种推理称为 演 绎推理 demonstrative reasoning.简言之, 演绎推理是由一般到特 殊的推理. 演绎推理又称逻辑推理 .
" 三段论" 是演绎推理的一般模式, 包括 : 1 大前提 已知的一般原理; 2小前提 所研究的特殊情况; 3结论 根据一般原理, 对特殊情况做出判断. 大前提 : M是P. " 三段论" 可以表示为 小前提 : S是P. 结 论 : S是P.
在实际使用三段论时，为了简洁起见，大家经常
因此原式成立。
这里用到的推理规则是“如果aRb, bRc, 这种推理规则叫做传递性关系推理。
则aRc”，其中“R”－x+1的值
恒为正数。 证明：当x<0时，f(x)的各项都为正数， 因此，当x<0时，f(x)为正数； 当0≤x≤1时， f(x)=x6+x2(1－x)+(1－x)>0； 当x>1时，f(x)=x3(x2－1)+x(x－1)+1>0， 综上所述，函数f(x)的值恒为正数。
B E A
F D
C
在此证明中，第一步实际上暗含着一个
一般性原理：三角形的中位线平行于第三
边。这是大前提。 而对特殊的△ABD，EF是中位线，这是 小前提。 把一般性原理用于特殊情况，便得到了
结论EF//BD。
例2.求证：当a＞ 1时，有loga (a 1) log( a1) a
证明：因为 a 1, 所以loga (a 1) loga a 1
在这个证明中，对x的所有可能的取值
都给出了f(x)为正数的证明，所以断定f(x)
恒为正数。 这种把所有情况都考虑在内的演绎推理 规则叫做完全归纳推理。 又如对所有的n (3≤n≤10)，证明n边形的 内角和为(n－2)π，就是完全归纳证明。
至此, 我们学习了两种推理方 式 推理.
合情推理与演绎
思考 合情推理与演绎推理的 主要区别是什么 ?
2.1.2 演绎推理
在日常生活和数学学习 中, 我们还经常以某些 一般的判断为前提 , 得出一些个别的、具体 的 判断.例如 : 1所有的金属都能够导电 , 铀是金属, 所以铀 能够导电 ; 2太阳系的大行星都以椭 圆形轨道绕太阳运 行,冥王星是太阳系的大行 星,因此冥王星以椭 圆形轨道绕太阳运行 ;
就数学而言 ,演绎推理是证明数学结 论、建立数 学体系的重要思维过程 , 但数学结论、证明思路 等的发现, 主要靠合情推理 .因此, 我们不仅要学会 证明 , 也要学会猜想 .
演绎推理的特征是： 当前提为真时，结论必然为真。
演绎推理中经常使用的是由大前提、小前 提、得到结论的三段论推理。例如 所有平行四边形对角线互相平分 菱形是平行四边形 所以，菱形的对角线互相平分 这就是一个典型的三段论推理，其中大前 提是“所有平行四边形对角线互相平分”， 小前提是“所有平行四边形对角线互相平 分”，结论是“菱形的对角线互相平分”
归纳和类比是常用的合 情推理.从推理形式上看 , 归纳是部分到整体、个 别到一般的推理 , 类比是 由特殊到特殊的推理 ;演绎推理是是由一般到 特 殊的推理 .从推理所得结论来看 , 合情推理的结论
不一定正确 , 有待进一步证明 ;演绎推理在大前提、 小前提和推理形式都正 确的前提下 , 得到的结论 一定正确 . 人们在认识世界的过程 中,需要通过观察、实验 等获取经验 ; 也需要辨别它们的真伪 , 或将积累的 知识加工、整理 , 使之条理化、系统化 .合情推理 和演绎 推 理分别在这两个环节中 扮演着重要角 色.
省略去大前提或小前提，有时甚至两者都略去。
思考 你能再举出一些用 "三段论" 推理的例子吗 ? 数学的证明主要通过演 绎推理来进行的 .我们来看 一个例子 .
例1．已知空间四边形ABCD中，点E、F分 别是AB、AD的中点，求证：EF//平面BCD. 证明：连接BD，因为点E、F 分别是AB、AD的中点， 所以 EF//BD， 又因为EF 平面BCD， BD 平面BCD， 所以 EF//平面BCD。
又因为a 1 1, 所以log( a1) a log( a1) (a 1) 1
由以上两个不等式可以 得到 loga (a 1) log( a1) a
在这个证明过程中，关键步骤是：
（ 1 ）loga (a 1) 1； （2）log a 1. （a 1）
3在一个标准大气压下 ,水的沸点是 100
0
C, 所
以在一个标准大气压下 把水加热到 1000 C时,水 会沸腾;
下面我们再来看一个数学中的简单的例子。
命题：等腰三角形的两底角相等。
已知：如图，在△ABC中，AB=AC， A 求证：∠B=∠C。 证明：作∠A的角平分线AD， 则∠BAD=∠CAD， B D 又因为AB=AC，AD=AD， 所以△ABD≌△ACD（SAS），