高中数学演绎推理
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又因为a 1 1, 所以log( a1) a log( a1) (a 1) 1
由以上两个不等式可以 得到 loga (a 1) log( a1) a
在这个证明过程中，关键步骤是：
（ 1 ）loga (a 1) 1； （2）log a 1. （a 1）
因此∠B=∠C。
C
分析上述推理过程，可以看出，推理的
每一个步骤都是根据一般性命题（如“全
等三角形对应角相等”）推出特殊性命题
（如“∠B=∠C”）。
上面的推理都是从一般 性的原理出发, 推出某 个特殊情况下的结论 , 我们把这种推理称为 演 绎推理 demonstrative reasoning.简言之, 演绎推理是由一般到特 殊的推理. 演绎推理又称逻辑推理 .
就数学而言 ,演绎推理是证明数学结 论、建立数 学体系的重要思维过程 , 但数学结论、证明思路 等的发现, 主要靠合情推理 .因此, 我们不仅要学会 证明 , 也要学会猜想 .
因此原式成立。
这里用到的推理规则是“如果aRb, bRc, 这种推理规则叫做传递性关系推理。
则aRc”，其中“R”表示具有传递性的关系。
例3．证明函数f(x)=x6－x3+x2－x+1的值
恒为正数。 证明：当x<0时，f(x)的各项都为正数， 因此，当x<0时，f(x)为正数； 当0≤x≤1时， f(x)=x6+x2(1－x)+(1－x)>0； 当x>1时，f(x)=x3(x2－1)+x(x－1)+1>0， 综上所述，函数f(x)的值恒为正数。
B E A
F D
C
在此证明中，第一步实际上暗含着一个
一般性原理：三角形的中位线平行于第三
边。这是大前提。 而对特殊的△ABD，EF是中位线，这是 小前提。 把一般性原理用于特殊情况，便得到了
结论EF//BD。
例2.求证：当a＞ 1时，有loga (a 1) log( a1) a
证明：因为 a 1, 所以loga (a 1) loga a 1
归纳和类比是常用的合 情推理.从推理形式上看 , 归纳是部分到整体、个 别到一般的推理 , 类比是 由特殊到特殊的推理 ;演绎推理是是由一般到 特 殊的推理 .从推理所得结论来看 , 合情推理的结论
不一定正确 , 有待进一步证明 ;演绎推理在大前提、 小前提和推理形式都正 确的前提下 , 得到的结论 一定正确 . 人们在认识世界的过程 中,需要通过观察、实验 等获取经验 ; 也需要辨别它们的真伪 , 或将积累的 知识加工、整理 , 使之条理化、系统化 .合情推理 和演绎 推 理分别在这两个环节中 扮演着重要角 色.
演绎推理的特征是： 当前提为真时，结论必然为真。
演绎推理中经常使用的是由大前提、小前 提、得到结论的三段论推理。例如 所有平行四边形对角线互相平分 菱形是平行四边形 所以，菱形的对角线互相平分 这就是一个典型的三段论推理，其中大前 提是“所有平行四边形对角线互相平分”， 小前提是“所有平行四边形对角线互相平 分”，结论是“菱形的对角线互相平分”
在这个证明中，对x的所有可能的取值
都给出了f(x)为正数的证明，所以断定f(x)
恒为正数。 这种把所有情况都考虑在内的演绎推理 规则叫做完全归纳推理。 又如对所有的n (3≤n≤10)，证明n边形的 内角和为(n－2)π，就是完全归纳证明。
至此, 我们学习了两种推理方 式 推理.
合情推理与演绎
思考 合情推理与演绎推理的 主要区别是什么 ?
" 三段论" 是演绎推理的一般模式, 包括 : 1 大前提 已知的一般原理; 2小前提 所研究的特殊情况; 3结论 根据一般原理, 对特殊情况做出判断. 大前提 : M是P. " 三段论" 可以表示为 小前提 : S是P. 结 论 : S是P.
在实际使用三段论时，为了简洁起见，大家经常
省略去大前提或小前提，有时甚至两者都略去。
思考 你能再举出一些用 "三段论" 推理的例子吗 ? 数学的证明主要通过演 绎推理来进行的 .我们来看 一个例子 .
例1．已知空间四边形ABCD中，点E、F分 别是AB、AD的中点，求证：EF//平面BCD. 证明：连接BD，因为点E、F 分别是AB、AD的中点， 所以 EF//BD， 又因为EF 平面BCD， BD 平面BCD， 所以 EF//平面BCD。
3在一个标准大气压下 ,水的沸点是 100
0
C, 所
以在一个标准大气压下 把水加热到 1000 C时,水 会沸腾;
下面wk.baidu.com们再来看一个数学中的简单的例子。
命题：等腰三角形的两底角相等。
已知：如图，在△ABC中，AB=AC， A 求证：∠B=∠C。 证明：作∠A的角平分线AD， 则∠BAD=∠CAD， B D 又因为AB=AC，AD=AD， 所以△ABD≌△ACD（SAS），
2.1.2 演绎推理
在日常生活和数学学习 中, 我们还经常以某些 一般的判断为前提 , 得出一些个别的、具体 的 判断.例如 : 1所有的金属都能够导电 , 铀是金属, 所以铀 能够导电 ; 2太阳系的大行星都以椭 圆形轨道绕太阳运 行,冥王星是太阳系的大行 星,因此冥王星以椭 圆形轨道绕太阳运行 ;
由以上两个不等式可以 得到 loga (a 1) log( a1) a
在这个证明过程中，关键步骤是：
（ 1 ）loga (a 1) 1； （2）log a 1. （a 1）
因此∠B=∠C。
C
分析上述推理过程，可以看出，推理的
每一个步骤都是根据一般性命题（如“全
等三角形对应角相等”）推出特殊性命题
（如“∠B=∠C”）。
上面的推理都是从一般 性的原理出发, 推出某 个特殊情况下的结论 , 我们把这种推理称为 演 绎推理 demonstrative reasoning.简言之, 演绎推理是由一般到特 殊的推理. 演绎推理又称逻辑推理 .
就数学而言 ,演绎推理是证明数学结 论、建立数 学体系的重要思维过程 , 但数学结论、证明思路 等的发现, 主要靠合情推理 .因此, 我们不仅要学会 证明 , 也要学会猜想 .
因此原式成立。
这里用到的推理规则是“如果aRb, bRc, 这种推理规则叫做传递性关系推理。
则aRc”，其中“R”表示具有传递性的关系。
例3．证明函数f(x)=x6－x3+x2－x+1的值
恒为正数。 证明：当x<0时，f(x)的各项都为正数， 因此，当x<0时，f(x)为正数； 当0≤x≤1时， f(x)=x6+x2(1－x)+(1－x)>0； 当x>1时，f(x)=x3(x2－1)+x(x－1)+1>0， 综上所述，函数f(x)的值恒为正数。
B E A
F D
C
在此证明中，第一步实际上暗含着一个
一般性原理：三角形的中位线平行于第三
边。这是大前提。 而对特殊的△ABD，EF是中位线，这是 小前提。 把一般性原理用于特殊情况，便得到了
结论EF//BD。
例2.求证：当a＞ 1时，有loga (a 1) log( a1) a
证明：因为 a 1, 所以loga (a 1) loga a 1
归纳和类比是常用的合 情推理.从推理形式上看 , 归纳是部分到整体、个 别到一般的推理 , 类比是 由特殊到特殊的推理 ;演绎推理是是由一般到 特 殊的推理 .从推理所得结论来看 , 合情推理的结论
不一定正确 , 有待进一步证明 ;演绎推理在大前提、 小前提和推理形式都正 确的前提下 , 得到的结论 一定正确 . 人们在认识世界的过程 中,需要通过观察、实验 等获取经验 ; 也需要辨别它们的真伪 , 或将积累的 知识加工、整理 , 使之条理化、系统化 .合情推理 和演绎 推 理分别在这两个环节中 扮演着重要角 色.
演绎推理的特征是： 当前提为真时，结论必然为真。
演绎推理中经常使用的是由大前提、小前 提、得到结论的三段论推理。例如 所有平行四边形对角线互相平分 菱形是平行四边形 所以，菱形的对角线互相平分 这就是一个典型的三段论推理，其中大前 提是“所有平行四边形对角线互相平分”， 小前提是“所有平行四边形对角线互相平 分”，结论是“菱形的对角线互相平分”
在这个证明中，对x的所有可能的取值
都给出了f(x)为正数的证明，所以断定f(x)
恒为正数。 这种把所有情况都考虑在内的演绎推理 规则叫做完全归纳推理。 又如对所有的n (3≤n≤10)，证明n边形的 内角和为(n－2)π，就是完全归纳证明。
至此, 我们学习了两种推理方 式 推理.
合情推理与演绎
思考 合情推理与演绎推理的 主要区别是什么 ?
" 三段论" 是演绎推理的一般模式, 包括 : 1 大前提 已知的一般原理; 2小前提 所研究的特殊情况; 3结论 根据一般原理, 对特殊情况做出判断. 大前提 : M是P. " 三段论" 可以表示为 小前提 : S是P. 结 论 : S是P.
在实际使用三段论时，为了简洁起见，大家经常
省略去大前提或小前提，有时甚至两者都略去。
思考 你能再举出一些用 "三段论" 推理的例子吗 ? 数学的证明主要通过演 绎推理来进行的 .我们来看 一个例子 .
例1．已知空间四边形ABCD中，点E、F分 别是AB、AD的中点，求证：EF//平面BCD. 证明：连接BD，因为点E、F 分别是AB、AD的中点， 所以 EF//BD， 又因为EF 平面BCD， BD 平面BCD， 所以 EF//平面BCD。
3在一个标准大气压下 ,水的沸点是 100
0
C, 所
以在一个标准大气压下 把水加热到 1000 C时,水 会沸腾;
下面wk.baidu.com们再来看一个数学中的简单的例子。
命题：等腰三角形的两底角相等。
已知：如图，在△ABC中，AB=AC， A 求证：∠B=∠C。 证明：作∠A的角平分线AD， 则∠BAD=∠CAD， B D 又因为AB=AC，AD=AD， 所以△ABD≌△ACD（SAS），
2.1.2 演绎推理
在日常生活和数学学习 中, 我们还经常以某些 一般的判断为前提 , 得出一些个别的、具体 的 判断.例如 : 1所有的金属都能够导电 , 铀是金属, 所以铀 能够导电 ; 2太阳系的大行星都以椭 圆形轨道绕太阳运 行,冥王星是太阳系的大行 星,因此冥王星以椭 圆形轨道绕太阳运行 ;