动态几何之胡不归阿氏圆,旋转相似 问题

“胡不归”“阿氏圆”及旋转相似

一、胡不归型

【背景知识】 有一则历史故事：

说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便

日夜赶路回家。然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？”

早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线。

（如下

图）A 是出发地，B 是目的地；ＡC 是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。

为了急切回家，小伙子选择了直线路程

AB 。

但是，他忽略了在驿道上行走要比在砂土地带行走快

的这一因素。如果他能选

择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但是速度可以加快），是可以提前抵达家门的。

那么，

这应该是那条路线呢？显然，根据两种路面的状况和在其上行走

的速度值，可以在AC 上选定一点D ，小伙子从A 走到D ，然后从D 折往B ，可望最早到达B 。用现代的科学语言表达，就是：

若在驿道上行走的速度为，在沙地上行走的速度为，即求的最

小值．

例题1、如图，Ｐ为正方形ABCD 对角线BD 上一动点，若AB ＝２，则AP ＋ＢP

＋ＣP 的最小值为＿______

解析：∵正方形ABCD 为轴对称图形

∴ＡP=PC

A

B C

D

P

∴ＡP+BP+CP=2A P+BP=

∴即求的最小值

接下去就是套路

我们要构造一个出来

连接A E，作∠ＤBE=30°，交AC于E，过A作A F⊥ＢE，垂足为F 在Rt△ＰBF中，

∵∠ＰBF=30°

∴

由此我们把构造出来了

∴的最小值即为A F线段的长

∵∠ＢA E=45°，∠ＡEB=60°

∴解直角△ＡBE，得A O=BO=，ＯE=，ＯB=

根据面积法，·=·

求出A F=

（此外本题费马点亦可）

例题2

图1图2

总结步骤：第一步：将所求线段和改写为的形式（＜１）

第二步：在PB的一侧，ＰA的异侧，构造一个角度，使得sin=

第三步：过A作第二步所构造的角的一边垂线，该垂线段即为所求最小值第四步：计算即可

模型具体归纳如下：

练习1如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，Ａ、B的直线距离是13千米．一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米／小时，而在草地上的最快速度是40千米／小时，则消防车在出发后最快经______小时可到达居民点 B.(友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶．)

练习2

练习4

如图，△ＡBC在直角坐标系中，ＡB=AC，Ａ（０，２），Ｃ（１，０），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→Ｄ→Ｃ，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为＿______

练习5

如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，ＢC=6，∠ＡBC=150°，则线段AP+BP+PD的最小值为．

练习6

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，０），B（０，﹣），Ｃ（２，０），其对称轴与x轴交于点D

（１）求二次函数的表达式及其顶点坐标；

（２）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为；

练习7

如图，在△ＡCE中，ＣA=CE，∠ＣAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．

（１）试说明CE是⊙Ｏ的切线；

（２）若△ＡCE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径

AB；（３）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．

二、阿氏圆型

阿氏圆也是形如的形式（＜１）最终还是化分为整。

“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点，设点在同一平面上且满足

当且时，点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。（时点的轨迹是线段的中垂线）

如图：为固定值，则此时点P的运动轨迹为。

证明：设B点坐标为（０，０）；A点坐标为（ｍ，０）；Ｐ（ｘ,y）．

则，.

由得

整理得：

所以当且时，点的轨迹是个圆，圆心为，半径。所以此时有

所以一定会有△ＯPB∽△ＯAP。

例１.在△ＡBC中，∠ＡBC=90°，ＢC=8,AC=6,以C为圆心，４为半径的圆上有一个动点D,连接AD、ＢD、ＣD，则BD+AD最小值

解析：根据阿氏圆定义=为定值，不妨设BC与圆C交与E点取EC 中点F,由已知且∠ＦCD=∠ＤCB所以△ＦCD∽△ＤCB FD=BD所以BD+AD=FD+AD AF由勾股定理可得AF=2

图1图2

注意：阿氏圆本质与胡不归不同，构造的关键是利用相似三角形的判定：对应

线段成比例夹角相等从而化分为整，最后转化为两点之间线段最短问题

例2.如图，在△ＡBC中，∠ＡCB=90°，AC=BC=4，

的半径为2，点D是上的动点，点E在BC上，

CE=1，连接A D、ＤE，则的最小值为＿_________。

例2题图

例3.在△ＡBC中，A B=9，ＢC=8，∠ＡBC=60°，的半径为6，Ｐ是上的动点，连

接PB、ＰC，则的最小值为＿__________。

练习1

例3题图