动态几何问题 -

动态几何问题

动态几何形成的最值问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的最值问题，双（多）动点形成的最值问题，线动形成的最值问题，面动形成的最值问题．本专题原创编写单动点形成的最值问题模拟题．

在中考压轴题中，单动点形成的最值问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类和选择正确的解题方法．

原创模拟预测题1．如图，已知直线3

34y x =

-与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，P 是以C （0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA 、PB ．则△PAB 面积的最大值是（ ）

A ．8

B ．12

C ．21

2 D ．172

【答案】C ．

【解析】

试题分析：∵直线334y x =

-与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，∴A 点的坐标为（4，0），B 点的坐标为（0，﹣3），34120x y --=，即OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5，∴

点C （0，1）到直线34120x y --=223041234⨯-⨯-+16

5，∴圆C 上点到直线

334y x =-的最大距离是1615+=215，∴△PAB 面积的最大值是121525⨯⨯=212，故选C ． 考点：圆的综合题；最值问题；动点型．

原创模拟预测题2．菱形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B （2，0），∠DOB=60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E （0，﹣1），当EP+BP 最短时，点P 的坐标为 ．

【答案】（233-，23-）．

【解析】

考点：菱形的性质；坐标与图形性质；轴对称-最短路线问题；动点型；压轴题；综合题．

原创模拟预测题3．如图，已知抛物线

2y ax bx c =++（0a ≠）的对称轴为直线1x =-，且抛物线经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 轴交于点B ．

（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；

（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．

【答案】（1）3+=x y ，322+--=x x y ；（2）M （－1，2）；（3）P 的坐标为（－1，－

2）或（－1，4） 或（－1，2173+） 或（－1，217

3-）．

【解析】

试题分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y mx n =+，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；

（2）设直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA+MC 的值最小．把1x =-代入直线3+=x y 得y 的值，即可求出点M 坐标；

（3）设P （﹣1，t ），又因为B （﹣3，0），C （0，3），所以可得2BC =18，

2

PB =22(13)t -++=24t +，2PC =22(1)(3)t -+-=2610t t -+，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．

试题解析：（1）依题意得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++-=-`301

2c c b a a b ，解之得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=321c b a ，∴抛物线解析式为

322+--=x x y ，

∵对称轴为x ＝－1，且抛物线经过A （1，0），∴B （－3，0），把B （－3，0）、C （0，3）

分别代入直线y mx n =+，得：⎩⎨⎧==+-303n n m ，解之得：⎩

⎨⎧==31n m ，∴直线y mx n =+的解析式为3+=x y ；

（2）设直线BC 与对称轴x ＝－1的交点为M ，则此时MA ＋MC 的值最小．把x ＝－1代

入直线

3

+

=x

y得，y＝2，∴M（－1，2）．即当点M到点A的距离与到点C的距离之和

最小时M的坐标为（－1，2）；

（注：本题只求M坐标没说要证明为何此时MA＋MC的值最小，所以答案没证明MA＋MC的值最小的原因）

考点：二次函数综合题；最值问题；动点型；压轴题；分类讨论．

原创模拟预测题4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线时的一点，且DG=AD，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿着A→C→G的路线向G点匀速运动（M不与A，G重合），设运动时间为t秒，连接BM并延长AG于N．

（1）是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明理由；

（2）当点N在AD边上时，若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分线于H，求证：BN=HN；（3）过点M分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S的最大值．

【答案】（1）答案见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）当t=238秒时，S 的最大值为38

．

【解析】

试题分析：

（3）①当点M 在AC 上时，即0＜t≤22时，易知：△AMF 为等腰直角三角形．∵AM=t ，

∴AF=FM=t 22，∴S=2

412222212

1t t t FM AF =⋅⋅=⋅； 当点M 在CG 上时，即22＜t ＜24时，CM=t-22，MG=24-t ．∵AD=DG ，∠ADC=∠CDG ，CD=CD ，∴△ACD ≌△GCD （SAS ），∴∠ACD=∠GCD=45º，∴∠ACM=∠ACD+∠GCD=90º，∴∠G=90-∠GCD=90º-45º=45º，∴△MFG 为等腰直角三角形，

∴t t MG FG 22422)24(45cos 0-=⋅

-=⋅=，∴ACG CMJ FMG S S S S ∆∆∆=--