动态几何问题 -

动态几何问题动态几何形成的最值问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的最值问题，双（多）动点形成的最值问题，线动形成的最值问题，面动形成的最值问题．本专题原创编写单动点形成的最值问题模拟题．在中考压轴题中，单动点形成的最值问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类和选择正确的解题方法．原创模拟预测题1．如图，已知直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，P 是以C （0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA 、PB ．则△PAB 面积的最大值是（ ）A ．8B ．12C ．212 D ．172【答案】C ．【解析】试题分析：∵直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，∴A 点的坐标为（4，0），B 点的坐标为（0，﹣3），34120x y --=，即OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5，∴点C （0，1）到直线34120x y --=223041234⨯-⨯-+165，∴圆C 上点到直线334y x =-的最大距离是1615+=215，∴△PAB 面积的最大值是121525⨯⨯=212，故选C ． 考点：圆的综合题；最值问题；动点型．原创模拟预测题2．菱形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B （2，0），∠DOB=60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E （0，﹣1），当EP+BP 最短时，点P 的坐标为 ．【答案】（233-，23-）．【解析】考点：菱形的性质；坐标与图形性质；轴对称-最短路线问题；动点型；压轴题；综合题．原创模拟预测题3．如图，已知抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）的对称轴为直线1x =-，且抛物线经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 轴交于点B ．（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．【答案】（1）3+=x y ，322+--=x x y ；（2）M （－1，2）；（3）P 的坐标为（－1，－2）或（－1，4） 或（－1，2173+） 或（－1，2173-）．【解析】试题分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y mx n =+，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA+MC 的值最小．把1x =-代入直线3+=x y 得y 的值，即可求出点M 坐标；（3）设P （﹣1，t ），又因为B （﹣3，0），C （0，3），所以可得2BC =18，2PB =22(13)t -++=24t +，2PC =22(1)(3)t -+-=2610t t -+，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．试题解析：（1）依题意得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++-=-`3012c c b a a b ，解之得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=321c b a ，∴抛物线解析式为322+--=x x y ，∵对称轴为x ＝－1，且抛物线经过A （1，0），∴B （－3，0），把B （－3，0）、C （0，3）分别代入直线y mx n =+，得：⎩⎨⎧==+-303n n m ，解之得：⎩⎨⎧==31n m ，∴直线y mx n =+的解析式为3+=x y ；（2）设直线BC 与对称轴x ＝－1的交点为M ，则此时MA ＋MC 的值最小．把x ＝－1代入直线3+=xy得，y＝2，∴M（－1，2）．即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（－1，2）；（注：本题只求M坐标没说要证明为何此时MA＋MC的值最小，所以答案没证明MA＋MC的值最小的原因）考点：二次函数综合题；最值问题；动点型；压轴题；分类讨论．原创模拟预测题4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线时的一点，且DG=AD，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿着A→C→G的路线向G点匀速运动（M不与A，G重合），设运动时间为t秒，连接BM并延长AG于N．（1）是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明理由；（2）当点N在AD边上时，若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分线于H，求证：BN=HN；（3）过点M分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S的最大值．【答案】（1）答案见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）当t=238秒时，S 的最大值为38．【解析】试题分析：（3）①当点M 在AC 上时，即0＜t≤22时，易知：△AMF 为等腰直角三角形．∵AM=t ，∴AF=FM=t 22，∴S=24122222121t t t FM AF =⋅⋅=⋅； 当点M 在CG 上时，即22＜t ＜24时，CM=t-22，MG=24-t ．∵AD=DG ，∠ADC=∠CDG ，CD=CD ，∴△ACD ≌△GCD （SAS ），∴∠ACD=∠GCD=45º，∴∠ACM=∠ACD+∠GCD=90º，∴∠G=90-∠GCD=90º-45º=45º，∴△MFG 为等腰直角三角形，∴t t MG FG 22422)24(45cos 0-=⋅-=⋅=，∴ACG CMJ FMG S S S S ∆∆∆=--=11142222CM CM FG FM ⨯⨯-⨯⨯-⋅=221124(22)(4)222t t----= 234284t t-+-，∴221t0t2243-t42t-8 22t424S⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+<<⎪⎩（）（）；②在0＜t≤22范围内，当t=22时，S的最大值为222412=⨯）（；在22＜t＜24范围内，38)238-t(432+-=S，当238t=时，S的最大值为38，∵823>，∴当t=238秒时，S的最大值为38．考点：四边形综合题；二次函数综合题；分段函数；二次函数的最值；最值问题；动点型；存在型；压轴题．原创模拟预测题5．如图1，已知直线3y x=+与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折线”）．（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；（2）如图2，双曲线kyx=与新函数的图象交于点C（1，a），点D是线段AC上一动点（不包括端点），过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．①试求△PAD的面积的最大值；②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形？若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）函数的最小值为0；函数图象的对称轴为直线x=﹣3；3 (3)3 (3)x xyx x+≥-⎧=⎨--<-⎩；（2）①258；②四边形PAEC不能为平行四边形．【解析】②先利用中点坐标公式求出AC的中点D的坐标，再计算DP，DE的长度，如果DP=DE，那么根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形PAEC为平行四边形；如果DP≠DE，那么不是平行四边形．试题解析：（1）如图1，均是正整数新函数的两条性质：①函数的最小值为0，②函数图象的对称轴为直线x=﹣3；由题意得A点坐标为（﹣3，0）．分两种情况：①x≥﹣3时，显然y=x+3；②当x＜﹣3时，设其解析式为y kx b=+．在直线y=x+3中，当x=﹣4时，y=﹣1，则点（﹣4，﹣1）关于x轴的对称点为（﹣4，1）．把（﹣4，1），（﹣3，0）代入y kx b=+，得：4130k bk b-+=⎧⎨-+=⎩，解得：13kb=-⎧⎨=-⎩，∴y=﹣x﹣3．综上所述，新函数的解析式为3 (3)3 (3)x xyx x+≥-⎧=⎨--<-⎩；（2）如图2，①∵点C（1，a）在直线y=x+3上，∴a=1+3=4．∵点C（1，4）在双曲线k yx =上，∴k=1×4=4，∴4y x =．∵点D 是线段AC 上一动点（不包括端点），∴可设点D 的坐标为（m，m+3），且﹣3＜m ＜1．∵DP ∥x 轴，且点P 在双曲线上，∴P （43m +，m+3），∴PD=43m m -+，∴△PAD 的面积为S=14()(3)23m m m -⨯++=213222m m --+=21325()228m -++，∵a=12-＜0，∴当m=32-时，S 有最大值，为258，又∵﹣3＜32-＜1，∴△PAD 的面积的最大值为258； ②在点D 运动的过程中，四边形PAEC 不能为平行四边形．理由如下：当点D 为AC 的中点时，其坐标为（﹣1，2），此时P 点的坐标为（2，2），E 点的坐标为（﹣5，2），∵DP=3，DE=4，∴EP 与AC 不能互相平分，∴四边形PAEC 不能为平行四边形．考点：反比例函数综合题；分段函数；动点型；最值问题；二次函数的最值；探究型；综合题；压轴题．原创模拟预测题6．如图，直线334y x =-+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线234y ax x c =++经过B 、C 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，当△BEC 面积最大时，请求出点E 的坐标和△BEC 面积的最大值？（3）在（2）的结论下，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，连接AM ，点Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得以P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）2333 84y x x=-++；（2）点E的坐标是（2，3）时，△BEC的面积最大，最大面积是3；（3）P的坐标是（﹣3，218-）、（5，218-）、（﹣1，158）．【解析】试题解析：（1）∵直线334y x=-+与x轴交于点C，与y轴交于点B，∴点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0），∵抛物线234y ax x c=++经过B、C两点，∴3164043a cc⎧+⨯+=⎪⎨⎪=⎩，解得：383ac⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴233384y x x=-++；（2）如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点，∴设点E的坐标是（x，233384x x-++），则点M的坐标是（x，334x-+），∴EM=23333(3)844x x x-++--+=23382x x-+，∴S△ABC=S△BEM+S△MEC=12EM•OC=2133()4282x x⨯-+⨯=2334x x-+=23(2)34x--+，∴当x=2时，即点E的坐标是（2，3）时，△BEC的面积最大，最大面积是3；（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．①如图2，由（2），可得点M的横坐标是2，∵点M在直线334y x=-+上，∴点M的坐标是（2，32），又∵点A的坐标是（﹣2，0），∴223[2(2)](0)2--+-732，∴AM所在的直线的斜率是：30322(2)8-=--；∵233384y x x=-++的对称轴是x=1，∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，2333 84x x-++），则2222333384183373(1)(3)844x x mxx x x m⎧-++-⎪=⎪-⎨⎪-+-++-=⎪⎩，解得：3218xy=-⎧⎪⎨=-⎪⎩或5218xy=⎧⎪⎨=-⎪⎩，∵x＜0，∴点P的坐标是（﹣3，218-）．②如图3，由（2），可得点M的横坐标是2，∵点M在直线334y x=-+上，∴点M的坐标是（2，32），又∵点A的坐标是（﹣2，0），∴223[2(2)](0)2--+-732，∴AM所在的直线的斜率是：30322(2)8-=--；∵233384y x x=-++的对称轴是x=1，∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，233384x x-++），则2222333384183373(1)(3)844x x mxx x x m⎧-++-⎪=⎪-⎨⎪-+-++-=⎪⎩，解得：3218xy=-⎧⎪⎨=-⎪⎩或5218xy=⎧⎪⎨=-⎪⎩，∵x＞0，∴点P的坐标是（5，218-）．学科网③如图4，由（2），可得点M 的横坐标是2，∵点M 在直线334y x =-+上，∴点M 的坐标是（2，32），又∵点A 的坐标是（﹣2，0），∴223[2(2)](0)2--+-73，∵233384y x x =-++的对称轴是x=1，∴设点Q 的坐标是（1，m ），点P 的坐标是（x ，233384x x -++），则23333084221(2)12222x x m x x ⎧-++-⎪-=⎪---⎨⎪+-=⎪⎩， 解得：1158x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，∴点P 的坐标是（﹣1，158）．综上，可得：在抛物线上存在点P ，使得以P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形，点P 的坐标是（﹣3，218-）、（5，218-）、（﹣1，158）． 考点：二次函数综合题；动点型；存在型；分类讨论；最值问题；二次函数的最值；压轴题． 原创模拟预测题7．如图，边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上点A ，C 间的一个动点（含端点），过点P 作PF ⊥BC 于点F ，点D 、E 的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD 、PE 、DE ．（1）请直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P 的位置发现：当P 与点A 会点C 重合时，PD 与PF 的差为定值，进而猜想：对于任意一点P ，PD 与PF 的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE 的面积为整数”的点P 记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE 的周长最小的点P 也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE 周长最小时“好点”的坐标．【答案】（1）8812+-=x y ；（2）正确，PD-PF=2；（3）11个好点，P （-4，6）．【解析】试题分析：（1）设抛物线解析式为：2y ax c =+，把C （0，8），A （﹣8，0）代入即可求出抛物线解析式；（2）表示出P ，F 点坐标，再利用两点之间距离公式得出PD ，PF 的长，进而求出即可；（3）根据题意当P 、E 、F 三点共线时，PE+PF 最小，得出P 点坐标以及利用△PDE 的面积可以等于4到13所有整数，在面积为12时，a 的值有两个，进而得出答案．试题解析：（1）∵边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，∴C （0，8），A （﹣8，0），设抛物线解析式为：2y ax c =+，则：8640c a c =⎧⎨+=⎩，解得：188a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，故抛物线的解析式为：8812+-=x y ；（2）正确，理由：设P （a ，2188a -+），则F （a ，8），∵D （0，6），∴2221(2)8a a +-221(2)8a +2128a +，PF=21888()a -+-=218a ，∴PD ﹣PF=2；（3）在点P 运动时，DE 大小不变，则PE 与PD 的和最小时，△PDE 的周长最小，∵PD ﹣PF=2，∴PD=PF+2，∴PE+PD=PE+PF+2，∴当P 、E 、F 三点共线时，PE+PF 最小，此时点P ，E 的横坐标都为﹣4，将x=﹣4代入8812+-=x y ，得y=6，∴P （﹣4，6），此时△PDE 的周长最小，且△PDE 的面积为12，点P 恰为“好点，∴△PDE 的周长最小时”好点“的坐标为：（﹣4，6），由（2）得：P （a ，2188a -+），∵点D 、E 的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），∴设直线DE的解析式为：y kx b=+，则640bk b=⎧⎨-+=⎩，解得：326kb⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴lDE：362y x=+，则PE=2138682a a-+--，∴S△=）（6238814212--+⨯⨯aa=21344a a--+=21(6)134a-++，∵﹣8≤a≤0，∴4≤S △PDE≤13，∴△PDE的面积可以等于4到13所有整数，在面积为12时，a的值有两个，所以面积为整数时好点有11个，经过验证周长最小的好点包含这11个之内，所以好点共11个，综上所述：11个好点，P（﹣4，6）．考点：二次函数综合题；动点型；定值问题；阅读型；新定义；综合题；压轴题．原创模拟预测题8．问题探究：（一）新知学习：圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）．（二）问题解决：已知⊙O的半径为2，AB，CD是⊙O的直径．P是BC上任意一点，过点P分别作AB，CD的垂线，垂足分别为N，M．（1）若直径AB⊥CD，对于BC上任意一点P（不与B、C重合）（如图一），证明四边形PMON内接于圆，并求此圆直径的长；（2）若直径AB⊥CD，在点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程汇总，证明MN的长为定值，并求其定值；（3）若直径AB与CD相交成120°角．①当点P运动到BC的中点P1时（如图二），求MN的长；②当点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值．（4）试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值．【答案】（1）证明见试题解析，直径为2；（2）证明见试题解析，定值为2；（3）①3；②证明见试题解析；（4）当直径AB与CD相交成90°角时，MN取得最大值2．【解析】试题解析：（1）如图一，∵PM⊥OC，PN⊥OB，∴∠PMO=∠PNO=90°，∴∠PMO+∠PNO=180°，∴四边形PMON内接于圆，直径OP=2；（2）如图一，∵AB⊥OC，即∠BOC=90°，∴∠BOC=∠PMO=∠PNO=90°，∴四边形PMON 是矩形，∴MN=OP=2，∴MN的长为定值，该定值为2；（3）①如图二，∵P1是BC的中点，∠BOC=120°∴∠COP1=∠BOP1=60°，∠MP1N=60°．∵P1M⊥OC，P1N⊥OB，∴P1M=P1N，∴△P1MN是等边三角形，∴MN=P1M．∵P1M=OP1sin∠MOP1=2×sin60°=3，∴MN=3；②设四边形PMON的外接圆为⊙O′，连接NO′并延长，交⊙O′于点Q，连接QM，如图三，则有∠QMN=90°，∠MQN=∠MPN=60°，在Rt△QMN中，sin∠MQN=MNQN，∴MN=QN•sin∠MQN，∴MN=OP•s in∠MQN=2×sin60°=2×32=3，∴MN是定值．（4）由（3）②得MN=OP•sin∠MQN=2sin∠MQN．当直径AB与CD相交成90°角时，∠MQN=180°﹣90°=90°，MN取得最大值2．考点：圆的综合题；定值问题；最值问题；动点型；阅读型；探究型；综合题；压轴题．。