(lecture_05)计算几何基础_20090316

思考：此方法的缺点： 思考：此方法的缺点：
计算量大 精度损失 更好的方法？
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计算几何的方法： 计算几何的方法：
在计算几何里，我们知道，△ABC的面积 就是“向量AB”和“向量AC”两个向量叉 积的绝对值的一半。其正负表示三角形 顶点是在右手系还是左手系。
B C A ABC成左手系，负面积
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分别求出每个三角形的面积Ai， 总面积为各个面积 相加根据物理学知识得：n个点(xi,yi)每个重量是mi, 则重心是 X = (x1*M1+x2*M2+...+xn*Mn) /(M1+M2+....+Mn) Y = (y1*M1+y2*M2+...+yn*Mn) /(M1+M2+....+Mn) 由于密度均匀，所以这里重量mi都用面积Ai代替。
Thank You ~
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从三角形的重心谈起： 从三角形的重心谈起：
三角形的重心是： (x1+x2+x3) / 3，(y1+y2+y3) / 3 可以推广否？ Sigma(xi)/N , sigma(yi)/N (i=1…N) ???
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看看一个特例： 看看一个特例：
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传统的计算线段相交的方法是什么？ 1、传统的计算线段相交的方法是什么？ 传统方法和本方法的区别是什么？ 2、传统方法和本方法的区别是什么？
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特别提醒： 特别提醒：
以上介绍的线段的三个属性， 以上介绍的线段的三个属性，是计 算几何的基础， 算几何的基础，在很多方面都有应 用，比如求凸包等等，请务必掌握！ 比如求凸包等等，请务必掌握！
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Any good idea?
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先看最简单的多边形——三角形 三角形 先看最简单的多边形
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三角形的面积： 三角形的面积：
在解析几何里， △ABC的面积可以通过 如下方法求得： 点坐标 => 边长 => 海伦公式 => 面积
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P3 P2 P4 P0 P5 P6
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P1
前面的三角剖分显然对于多边形内部 任意一点都是合适的！ 任意一点都是合适的！
我们可以得到： A=sigma(Ai) （ i=1…N ）
来自百度文库
即：A= ∣
sigma
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Xi – X0
Yi –Y0
X(i+1) – X0 Y(i+1) –Y0
也可把叉积看做以下平行四边形的面积
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P0p1是否在p0p2的顺时针方向上？
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P0p1和p1p2在p1点向是向左转还是向右转？
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P1p2和p3p4是否相交？
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思考： 思考：
凸多边形的三角形剖分
很自然地，我们会想到以 P1为扇面中心， 连接P1Pi就得到N-2个三角形，由于凸性， 保证这些三角形全在多边形内，那么， 这个凸多边形的有向面积： A=sigma(Ai) (i=1…N-2)
P6 P1 A4 P5 A3 A1 P2
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A2 P3
P4
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凹多边形的面积？ 凹多边形的面积？
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C B A ABC成右手系，正面积
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大功告成： 大功告成：
Area(A,B,C)= 1/2 * (↑AB) × (↑AC)
=∣
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Xb – X a Xc – X a
Yb –Y a
Yc –Y a
∣/2
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特别注意： 以上得到是有向面积（有正负）！ 有向面积（ 有向面积 有正负）
ACM程序设计 程序设计
第五讲
计算几何初步
(Computational Geometry Basic)
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第一单元
线段属性
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P0p1是否在p0p2的顺时针方向上？
P0p1和p1p2在p1点向是向左转还是向右转？
P1p2和p3p4是否相交？
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叉积——线段算法的中心 可把叉积定义为以下行列式
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公式： 公式：
C=sigma(Ai * Ci) / A (i=1…N) Ci=Centroid(△ O Pi Pi+1) = (O + ↑Pi +↑Pi+1 )/3 ↑ C=sigma((↑Pi +↑Pi+1)(↑Pi ↑ ↑ ↑ ×↑Pi+1) ) /(6A)
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P3
P2 P4
P1
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依然成立！！！ 依然成立！！！
多边形面积公式：A=sigma(Ai) (i=1…N-2)
结论： “有向面积”A比“面积”S其实更本 本 质！
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任意点为扇心的三角形剖分：
我们能把多边形分成N-2个三角形，为什么不 能分成N个三角形呢？ 比如，以多边形内部的一个点为扇心，就可以 把多边形剖分成 N个三角形。
原因： 原因：
错误的推广公式是“质点系重心公式”， 即如果认为多边形的质量仅分布在其顶 点上，且均匀分布，则这个公式是对的。 但是，现在多边形的质量是均匀分布在 其内部区域上的，也就是说，是与面积 有关的！
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Solution:
剖分成N个三角形，分别求出其重心和面 积，这时可以想象，原来质量均匀分布 在内部区域上，而现在质量仅仅分布在 这N个重心点上（等假变换），这时候就 可以利用刚才的质点系重心公式了。 不过，要稍微改一改，改成加权平均 加权平均数， 加权平均 因为质量不是均匀分布的，每个质点代 表其所在三角形，其质量就是该三角形 的面积（有向面积 有向面积！），——这就是权！ 有向面积
面积问题 搞定！ 搞定！
Yi
A=
sigma
∣
Xi
X(i+1) Y(i+1)
∣/2
（ i=1…N ）
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基本问题（ ）： 基本问题（2）：
给定一个简单多边形，求其重心。 给定一个简单多边形，求其重心。 输入：多边形（ 输入：多边形（顶点按逆时针顺 序排列） 序排列） 输出：重心点C 输出：重心点C
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全部搞 定！
第三单元
凸包( Convex Hull ) 凸包(
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第二单元
多边形面积和重心
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基本问题（ ）： 基本问题（1）：
给定一个简单多边形，求其面积。 给定一个简单多边形，求其面积。 输入：多边形（ 输入：多边形（顶点按逆时针顺 序排列） 序排列） 输出：面积S 输出：面积S
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思考如下图形： 思考如下图形：
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凸包模板： 凸包模板：
//xiaoxia版 #include <stdio.h> #include <math.h> #include <stdlib.h> typedef struct { double x; double y; }POINT; POINT result[102]; //保存凸包上的点 POINT a[102]; int n,top;
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double Distance(POINT p1,POINT p2)
//两点间的
Any question?
课后在线作业： 课后在线作业：
1086 1115 1392 2036 2108 1147 /*2324 2805 2948*/
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Welcome to HDOJ
∣/2
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（ i=1…N ）
能否把扇心移到多边形以外呢？ 能否把扇心移到多边形以外呢？
P3 P4
P2
P1
P0
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既然内外都可以，为什么不设 既然内外都可以，为什么不设P0 为坐标原点呢？ 为坐标原点呢？
P3 P4
P2
P1
现在的公式？
O
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简化的公式： 简化的公式：