误差理论与数据处理费业泰习题答案

《误差理论与数据处理》(第七版)
习题及参考答案
第一章 绪论
1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o
00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解：
绝对误差等于： 相对误差等于：
1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。

%
108.66 %
1002.31
1020 100%
max
max 4-6
-⨯=⨯⨯=⨯=
测得值
绝对误差相对误差
1-10检定级（即引用误差为%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？
%5.22%100%100
2
100%
<=⨯=
⨯=
测量范围上限
某量程最大示值误差
最大引用误差
该电压表合格
1-12用两种方法分别测量L1=50mm ，L2=80mm 。

测得值各为50.004mm ，80.006mm 。

试评定两种方法测量精度的高低。

相对误差
L 1:50mm 0.008%100%5050
004.501=⨯-=
I
L 2:80mm 0.0075%100%80
80
006.802=⨯-=I
21I I > 所以L 2=80mm 方法测量精度高。

1－13 多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过，优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高? 解：
多级火箭的相对误差为：
射手的相对误差为：
多级火箭的射击精度高。

1-14若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm ，其测量误差分别为
m μ11±和m μ9±；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm 。

其测量误差为m μ12±，试比较三种测量方法精度的高低。

相对误差
0.01%110111±=±
=mm m
I μ
0.0082%11092±=±
=mm m
I μ %008.0150123±=±
=mm
m
I μ
123I I I <<第三种方法的测量精度最高
第二章 误差的基本性质与处理
2-6测量某电路电流共5次，测得数据（单位为mA ）为，，，，。

试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。

168.41168.54168.59168.40168.50
5
x ++++=
168.488()mA =
)(082.01
55
1
2
mA v i i
=-=
∑=σ
0.037()x mA σ=
=
= 或然误差：0.67450.67450.0370.025()x R mA σ==⨯= 平均误差：0.79790.79790.0370.030()x T mA σ==⨯=
2-7在立式测长仪上测量某校对量具，重量测量5次，测得数据（单位为mm ）为，，，，。

若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确定测量结果。

20.001520.001620.001820.001520.0011
5
x ++++=
20.0015()mm =
0.00025σ=
=
正态分布 p=99%时，t 2.58= lim x x t δσ=±
2.58=± 0.0003()mm =±
测量结果：lim (20.00150.0003)x X x mm δ=+=±
2-9用某仪器测量工件尺寸，在排除系统误差的条件下，其标准差
mm 004.0=σ，若要求测量结果的置信限为mm 005.0±，当置信概率为
99%时，试求必要的测量次数。

正态分布 p=99%时，t 2.58=
lim x t
δ=±
2.580.004
2.064
0.005
4.265
n n ⨯=
===取
2－9 用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差σ＝，若要求测量的允许极限误差为±，而置信概率P 为时，应测量多少次？ 解：根据极限误差的意义，有
0015.0≤±=±n
t
t x σ
σ
根据题目给定得已知条件，有
5.1001
.00015
.0=≤
n
t
查教材附录表3有
若n ＝5，v ＝4，α＝，有t ＝，
24.1236
.278
.25
78.2==
=
n
t 若n ＝4，v ＝3，α＝，有t ＝，
59.12
18
.34
18.3==
=
n
t 即要达题意要求，必须至少测量5次。

2-12某时某地由气压表得到的读数（单位为Pa ）为，，，，，，，，其权各为1，3，5，7，8，6，4，2，试求加权算术平均值及其标准差。

)(34.1020288
1
8
1
Pa p
x
p x i i
i i
i ==
∑∑==
)(95.86)18(81
8
1
2
Pa p v p i i
i xi
i x ≈-=
∑∑==σ
2-13测量某角度共两次，测得值为6331241'''=ο
α，''24'13242ο=α，其
标准差分别为8.13,1.321''=''=σσ，试求加权算术平均值及其标准差。

961:190441
:
1
:2
2
2
1
21==
σσp p
''35'1324961
19044'
'4961''1619044''20'1324οο
=+⨯+⨯+
=x
''0.3961
1904419044
''1.32
1
≈+⨯
==∑=i i
i
x
x p
p i
σσ
2-14 甲、乙两测量者用正弦尺对一锥体的锥角α各重复测量5次，测得值如下：
;
5127,0227,5327,037,0227:'''''''''''''''οοοοο甲α
;5427,0527,0227,5227,5227:'''''''''''''''οοοοο乙α
试求其测量结果。

甲：20"60"35"20"15"
72'72'30"5
x ++++=+
=o
o 甲
σ甲
18.4"=
x 8.23"σ=
=
=甲 乙：25"25"20"50"45"
72'72'33"5
x ++++=+
=o
o 乙
σ=
=
乙13.5"=
x 6.04"σ==
=乙 22
22
x x
1
1
11
::
:3648:67738.23 6.04p p σσ=
=
=乙
乙甲甲
364830"677333"72'36486773
p x p x x p p +⨯+⨯=
=+++o
甲乙乙甲乙甲72'32"=o
78.46773
36483648
32.8''=+⨯
''=+=乙
甲甲甲
p p p x x σσ
''15''32'273±=±=οx x X σ
2-16重力加速度的20次测量具有平均值为2
/811.9s m 、标准差为
2/014.0s m 。

另外30次测量具有平均值为2/802.9s m ，标准差为2/022.0s m 。

假设这两组测量属于同一正态总体。

试求此50次测量的平均
值和标准差。

147:24230022.01:
20014.011
:
1
:2
2
22212
2
21
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
=
x
x p p σσ
)/(9.808147
2429.802
1479.8112242s m x ≈+⨯+⨯=
）
（2m/s 0.0025147242242
20
014.0≈+⨯=
x σ
2-19对某量进行10次测量，测得数据为，，，，，，，，，，试判断该测量列中是否存在系统误差。

96.14=x
按贝塞尔公式 2633.01=σ
按别捷尔斯法0.2642)
110(10253.110
1
i 2≈-⨯
=∑=i
v
σ
由
u +=112σσ 得 0034.011
2=-=σσ
u 67.01
2
=-<
n u 所以测量列中无系差存在。

2-18对一线圈电感测量10次，前4次是和一个标准线圈比较得到的，后6次是和另一个标准线圈比较得到的，测得结果如下（单位为mH ）： ，，，； ，，，，，。

试判断前4次与后6次测量中是否存在系统误差。

使用秩和检验法：
排序：
T=+7+9+10= 查表 14=-T 30=+T +>T T 所以两组间存在系差
2－21 对某量进行两组测量，测得数据如下：
试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差。

解：
按照秩和检验法要求，将两组数据混合排列成下表：
现n x ＝14，n y ＝14，取x i 的数据计算T ，得T ＝154。

由
203)2)1((
211=++=n n n a ；474)12
)
1((2121=++=n n n n σ求出：
1.0-=-=
σ
a
T t
现取概率295.0)(=t φ，即475.0)(=t φ，查教材附表1有96.1=αt 。

由于αt t ≤，因此，可以认为两组数据间没有系统误差。

第三章 误差的合成与分配
3-1相对测量时需用54.255mm 的量块组做标准件，量块组由四块量块研合
而成，它们的基本尺寸为mm l 401=，mm l 122=，mm l 25.13=，
mm l 005.14=。

经测量，它们的尺寸偏差及其测量极限误差分别为
m l μ7.01-=∆,m l μ5.02+=∆,m l μ3.03-=∆,
,
20.0,25.0,35.0,1.03lim 2lim 1lim 4m l m l m l m l μδμδμδμ±=±=±=+=∆m l μδ20.04lim ±=。

试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量
带来的测量误差。

修正值=)(4321l l l l ∆+∆+∆+∆- =)1.03.05.07.0(+-+-- =)(m μ 测量误差: l δ=4
3
2
1
lim 2lim 2lim 2lim 2l l l l δδδδ+++±
=2
222)20.0()20.0()25.0()35.0(+++± =)(51.0m μ±
3-2 为求长方体体积V ，直接测量其各边长为mm a 6.161=，
mm 44.5b =,mm c 2.11=,已知测量的系统误差为mm a 2.1=∆，mm b 8.0-=∆，mm c 5.0=∆，测量的极限误差为mm a 8.0±=δ，
mm b 5.0±=δ，mm c 5.0±=δ， 试求立方体的体积及其体积的极限误差。

abc V = ),,(c b a f V =
2.115.446.1610⨯⨯==abc V
)(44.805413
mm =
体积V 系统误差V ∆为：
c ab b ac a bc V ∆+∆+∆=∆
)(74.2745)(744.274533mm mm ≈=
立方体体积实际大小为：)(70.777953
0mm V V V =∆-=
2
22222lim )()()(
c b a V c
f b f a f δδδδ∂∂+∂∂+∂∂±= 2
22
22
2)()()(c b a ab ac bc δδδ++±= )(11.37293mm ±=
测量体积最后结果表示为:
V V V V lim 0δ+∆-=3)11.372970.77795(mm ±=
3-4 测量某电路的电流mA I 5.22=，电压V U 6.12=，测量的标准差分
别为mA I 5.0=σ，V U
1.0=σ，求所耗功率UI P =及其标准差P σ。

UI P =5.226.12⨯=)(5.283mw =
),(I U f P =I U 、Θ成线性关系 1=∴UI ρ
I u I U P I
f U f I f U f σσσσσ))((2)()(
2
222∂∂∂∂+∂∂+∂∂=
I U I U U I I
f
U f σσσσ+=∂∂+∂∂=
5.06.121.05.22⨯+⨯= )(55.8mw =
3—12 按公式V=πr2h 求圆柱体体积，若已知r 约为2cm ，h 约为20cm ，要使体积的相对误差等于1％，试问r 和h 测量时误差应为多少? 解：
若不考虑测量误差，圆柱体积为
3222.25120214.3cm h r V =⨯⨯=⋅⋅=π
根据题意，体积测量的相对误差为1％，即测定体积的相对误差为：
%1=V
σ
即51.2%12.251%1=⨯=⋅=V σ 现按等作用原则分配误差，可以求出 测定r 的误差应为：
cm hr r V r 007.021
41.151.2/12
==∂∂=
πσ
σ
测定h 的误差应为：
cm r
h V h 142.01
41.151.2/122
=⋅=∂∂=
πσ
σ
3-14对某一质量进行4次重复测量，测得数据(单位g)为，，，。

已知测量的已定系统误差,6.2g -=∆测量的各极限误差分量及其相应的传递系数如下表所示。

若各误差均服从正态分布，试求该质量的最可信赖值及其极限误差。

4
=
x
)(8.428)(775.428g g ≈=
最可信赖值 )(4.4316.28.428g x x =+=∆-=
∑∑==∂∂+∂∂±=31222
2
5
1)(41)(
i i i i i i
x x f e x f δδ )(9.4g ±≈
测量结果表示为:x x x δ+∆-=g )9.44.431(±=
第四章 测量不确定度
4—1 某圆球的半径为r ，若重复10次测量得r ±σr =±cm ，试求该圆球最大截面的圆周和面积及圆球体积的测量不确定度，置信概率P=99％。

解：①求圆球的最大截面的圆周的测量不确定度
已知圆球的最大截面的圆周为：r D ⋅=π2 其
标
准不确定度应为：
()222
22
2
005.014159.342⨯⨯==
⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂=r r r D u σπσ
＝
确定包含因子。

查t 分布表（9）＝，及K ＝ 故圆球的最大截面的圆周的测量不确定度为：
U ＝Ku ＝×＝
②求圆球的体积的测量不确定度 圆球体积为：33
4
r V ⋅⋅=
π 其标准不确定度应为：
()616
.0005.0132.314159.316424222
22
2
=⨯⨯⨯=⋅⋅=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂=r
r r r V u σ
πσ
确定包含因子。

查t 分布表（9）＝，及K ＝ 最后确定的圆球的体积的测量不确定度为
U ＝Ku ＝×＝
4-4某校准证书说明，标称值10Ω的标准电阻器的电阻R 在20C ο
时为
Ω±Ωμ129000742.10（P=99%），求该电阻器的标准不确定度，并说明属于哪一类评定的不确定度。

Q 由校准证书说明给定
∴属于B 类评定的不确定度
Q R 在[ΩμΩ，Ω+129μΩ]范围内概率为99%，不为100% ∴不属于均匀分布，属于正态分布 129a =当p=99%时， 2.58p K = ∴129
50()2.58
R p a U K μ===Ω
4-5在光学计上用52.5mm 的量块组作为标准件测量圆柱体直径，量块组由三块量块研合而成，其尺寸分别是：
140l mm
=，
210l mm
=，
3 2.5l mm
=，量块按“级”使用，经查手册得其研合误差分别不超过
0.45m μ±、0.30m μ±、0.25m μ±（取置信概率P=%的正态分布），求该量
块组引起的测量不确定度。

52.5L mm = 140l mm = 210l mm =
3 2.5l mm =
123L l l l ∴=++ 99.73%p =Q 3p K ∴= 10.450.15()3l p a U m k μ=
== 20.30
0.10()3l p a U m k μ=== 30.250.08()3
l p a U m k μ=
==
321l l l L U U U U ++= = 0.20()m μ=
第五章 线性参数的最小二乘法处理
5-1测量方程为3 2.920.923 1.9x y x y x y +=⎧⎪
-=⎨⎪-=⎩
试求x 、y 的最小二乘法处理及其相应精度。

误差方程为123
2.9(3)0.9(2)1.9(23)v x y v x y v x y =-+⎧⎪
=--⎨⎪=--⎩
列正规方程11121111
212221
11n
n n
i i i i i i i i i n n n
i i i i i i i i i a a x a a y a l a a x a a y a l ======⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∑∑∑∑∑∑代入数据得
14513.4
514 4.6x y x y -=⎧⎨-+=-⎩解得 ⎩⎨
⎧==015
.0962.0y x 将x 、y 代入误差方程式123
2.9(30.9620.015)0.001
0.9(0.96220.015)0.0321.9(20.96230.015)0.021v v v =-⨯+=-⎧⎪
=--⨯=-⎨⎪=-⨯-⨯=⎩
测量数据的标准差为0.038σ=
=
=
求解不定乘数 111221
22d d d d ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦111211122122212214515140
1450
5141
d d d d d d d d -=⎧⎨
-+=⎩-=⎧⎨
-+=⎩ 解得 082.02211==d d
x 、y 的精度分别为01.011==d x σσ 01.022==d y σσ
5-7不等精度测量的方程组如下：1233 5.6,148.1,220.5,3
x y p x y p x y p -=-=⎧⎪
+==⎨⎪-==⎩
试求x 、y 的最小二乘法处理及其相应精度。

列误差方程11223
35.6(3),1
8.1(4),20.5(2),3
v x y p v x y p v x y p =---=⎧⎪
=-+=⎨⎪=--=⎩
正规方程为3
33
11121111
333
212221
11i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i p a a x p a a y p a l p a a x p a a y p a l ======⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∑∑∑∑∑∑
代入数据得
4562.2
1431.5x y x y -=⎧⎨-+=⎩解得 ⎩
⎨
⎧==352.2434.1y x 将x 、y 代入误差方程可得⎪⎩⎪
⎨⎧-===016.0012.0022
.03
21v v v
则测量数据单位权标准差为039.02
33
1
2
=-=
∑=i i
i v p σ
求解不定乘数 111221
22d d d d ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦1112111221222122451140
450
141
d d d d d d d d -=⎧⎨
-+=⎩-=⎧⎨
-+=⎩ 解得 ⎩⎨⎧==072.0022.022
11d d
x 、y 的精度分别为006.011==d x σσ 010.022==d y σσ
第六章 回归分析
6-1材料的抗剪强度与材料承受的正应力有关。

对某种材料试验的数据如
下：
假设正应力的数值是正确的，求
（1）抗剪强度与正应力之间的线性回归方程。

（2）当正应力为时，抗剪强度的估计值是多少？ （1）设一元线形回归方程 bx b y +=∧
0 12=N
⎪⎩⎪
⎨
⎧-==x b y b l l b xx xy 0
Θ047.43=∴xx l 533.29-=xy l 69.0047
.43533
.29-=-=
=
xx
xy l l b ()x y
b y x 69.069.42ˆ69.4297.2569.077.2477
.242.29712197.256.31112
1
0-==⨯--=∴=⨯==⨯=
Θ （2）当X=
)(79.255.2469.069.42ˆPa y
=⨯-=
6-10 用直线检验法验证下列数据可以用曲线x
y ab =表示。

()x b a y ab y x log )log()log(+-=-⇒=
)log(1y Z -= x Z =2
取点做下表
以Z 1与Z 2画图
所得到图形为一条直线，故选用函数类型x
ab y =合适。